5.4 Équation quasi-géostrophique des tendances du géopoten

CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 115
5.4 Équation quasi-géostrophique des tendances du géopoten-
tiel
Afin de développer une équation de tendance du géopotentiel, l’idée est de combiner
l’équation thermodynamique et l’équation du tourbillon quasi-géostrophique. De cette fa-
çon, il sera possible d’obtenir une équation de variation dans le temps du géopotentiel, ce
qui permettra d’étudier le mouvement des systèmes météorologiques dans l’atmosphère.
A. On fait f2
0
σ
B
Bp[Éq. thermodynamique QG] adiabatique :
´B
Bp
f2
0
σ
B
BpˆBΦ Bt˙“B Bp
f2
0
σ„´�vg¨∇ˆ´BΦ Bp˙`B Bpf2
0ω(5.16)
B. On fait f0ˆ[Éq. du tourbillon QG] :
∇2ˆBΦ
Bt˙“´f0�vg¨∇ˆ1 f0
∇2Φ`f˙`f2
0
Bω
Bp(5.17)
C. On définit la tendance du géopotentiel comme suit : χ“BΦ
Bt. L’équation du tourbillon
sans frottement devient :
∇2χ“´f0�vg¨∇ˆ1
f0
∇2Φ`f˙`f2
0
Bω
Bp(5.18)
Et l’équation thermodynamique (5.16) adiabatique devient :
´B
Bp
f2
0
σ
B
Bpχ“B Bp
f2
0
σ„´�vg¨∇ˆ´BΦ Bp˙`B Bpf2
0ω(5.19)
D. On fait (5.19) ´(5.18) et on obtient l’équation quasi-géostrophique des tendances du
géopotentiel sans frottement et adiabatique :
ˆ∇2`f2
0
σ
B2
Bp2˙χ
loooooooooomoooooooooon
1
“´ B
Bp
f2
0
σ„´�vg¨∇ˆ´BΦ Bp˙
looooooooooooooomooooooooooooooon
2
´f0�vg¨∇ˆ1
f0
∇2Φ`f˙
loooooooooooooomoooooooooooooon
3
(5.20)
Si on connait Φpartout à un temps donné, on peut calculer les termes 2 et 3 et résoudre
pour χ. On connait alors la variation de Φdans le temps et il est possible de le calculer à t
= t+∆t. Cette équation était utilisée dans les années 50-60 pour faire les prévisions météo-
rologiques. C’est une équation pronostique.

CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 116
‚Terme 1 : Laplacien de χen trois dimensions
Supposons que χa cette forme :
χpx, y, p, tq„χ0ptqcos ˆπp
p0˙sinpkxqcosplyq
où p0est la pression à la surface, k“2π
Lx
et l“2π
Ly
✻
z
✲
χ
p0=1000 hPa
500 hPa
✻
y✲x❥
✖✕
✗✔
✫✪
✬✩
+❥
✖✕
✗✔
✫✪
✬✩
–
ˆ∇2`f2
0
σ
B2
Bp2˙χ“ˆ´k2´l2´f2
0
σ
π2
p2
0˙χ0ptqcos ˆπp
p0˙sinpkxqcosplyq
ˆ∇2`f2
0
σ
B2
Bp2˙χ“´ˆk2`l2`f2
0
σ
π2
p2
0˙χ
Parce que σ> 0, pk2`l2qą0et ˆf2
0
σ
π2
p2
0˙ą0,ˆ∇2`f2
0
σ
B2
Bp2˙χ9´χ.
Alors, pour
ˆ∇2`f2
0
σ
B2
Bp2˙χą0ùñ χă0ùñ BΦ Btă0: Chute des hauteurs du géopotentiel.
ˆ∇2`f2
0
σ
B2
Bp2˙χă0ùñ χą0ùñ BΦ Btą0: Augmentation des hauteurs du géopo-
tentiel

CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 117
‚Terme 2 : Différentiel vertical d’advection de température (ou d’épaisseur)
Pour une advection chaude de température : ´�vg¨∇ˆ´BΦ
Bp˙9´�vg¨∇Tą0
Si l’advection chaude de température décroit avec l’altitude, on aura que
´B
Bp
f2
0
σ„´�vg¨∇ˆ´BΦ Bp˙ă0ùñ ˆ∇2`f2
0
σ
B2
Bp2˙χă0ùñ χą0
Analysons Φsur le niveau de 500 hPa :
t=0
☞
☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞
1000 hPa
500 hPa
200 hPa
´#” vg¨∇Tą0
´#” vg¨∇T„0
☞
☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞
t>0
☞
☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞
1000 hPa
500 hPa
200 hPa
´#” vg¨∇Tą0
´#” vg¨∇T„0
☞
☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞
Pour une advection froide de température : ´�vg¨∇ˆ´BΦ
Bp˙9´�vg¨∇Tă0
Si l’advection froide de température décroit avec l’altitude, on aura que :
´B
Bp
f2
0
σ„´�vg¨∇ˆ´BΦ Bp˙ą0ùñ ˆ∇2`f2
0
σ
B2
Bp2˙χą0ùñ χă0

CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 118
Note : En général, l’atmosphère devient de plus en plus barotrope avec l’altitude.
L’advection de température est plus importante dans la région inférieure de l’atmo-
sphère.
✲
x
✻
z
Φ`∆Φ
Φ
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
✁✁✁✁
✁
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
✁✁✁✁
✁
200 hPa
500 hPa
✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆ ✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆
H
✍✌
✎☞ L
✍✌
✎☞ H
✍✌
✎☞
´#” vg¨∇Tă0´#” vg¨∇Tą0
CRETE CREUX CRETE
– Devient de plus en plus équivalente-barotrope avec la hauteur
– Barocline niveau ą500 hPa ùñ advection devient plus importante
– L’advection de température chaude fait monter les isohypses :
Ce terme est responsable de l’intensification des creux/crêtes en altitude.

CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 119
‚Terme 3 : Advection du tourbillon absolu géostrophique
On peut séparer les termes :
´f0�vg¨∇ˆ1
f0
∇2Φ`f˙“´f0�vg¨∇ζg´f0�vg¨∇f
L’interprétation de l’advection du tourbillon absolu géostrophique est similaire à l’ad-
vection de tourbillon absolu.
◗◗
◗�
✑✑
✑✸
✲
#”
vg
#”
vg
#”
vg
ζg<0
ζg>0
ζg<0
∇ζg>0
-ug
Bζg
Bx<0
-f0
#”
vg¨∇ζg<0 ùñ χą0
∇f>0
-vg
Bf
By>0
-f0
#”
vg¨∇f>0 ùñ χă0
∇ζg<0
-ug
Bζg
Bx>0
-f0
#”
vg¨∇ζg>0 ùñ χă0
∇f>0
-vg
Bf
By<0
-f0
#”
vg¨∇f<0 ùñ χą0
Note :
i. On obtient le même résultat avec l’équation du tourbillon parce que Bζg
Bt“
1
f0
∇2BΦ
Bt.
ii. L’advection de tourbillon relatif tend à déplacer l’onde vers l’est. L’advection
du tourbillon planétaire tend à déplacer l’onde vers l’ouest. La propagation de
l’onde dépend donc du terme dominant.
iii. ∇ζg“0et vg“0dans l’axe associé à un creux ou à une crête. Ceci implique
que l’advection de tourbillon absolu ne peux changer l’intensité d’une onde, elle
peut seulement la déplacer.
Ce terme est responsable de la propagation des creux/crêtes en altitude.