Dynamique des comètes du nuage de Oort

Dynamique des comètes du nuage
de Oort
Marc Fouchard
Hans Rickman
Giovanni Valsecchi
et Christiane Froeschlé
Lille avril 2008
Les comètes dont la période T > 200
ans sont supposées se trouver dans le
nuage de Oort
Leur trajectoire peut être
perturbée par:
La marée galactique
Les étoiles passantes
Les planètes
Les éléments orbitaux
Sommaire (I)
La marée galactique et la modélisation de ses
effets :

Le Soleil dans la Voie Lactée et définition de la
marée ;

Le cas intégrable ;

Le modèle de marée galactique ;

Intégration à long terme et influence de la
composante radiale de la marée.
Le Soleil dans la Galaxie

R o =8,5 kpc
V 0 =o R o =220 km .s −1 ainsi Po ≈237 Myr
2
P n=
≈62 Myr avec 0 =0,18 Mo pc−3
 4  o
Le Soleil dans la Galaxie: la courbe de
rotation et les constantes de Oort

A=-B
A>
-B

B
<
A
Les constantes de Oort sont définies par:

R d
A=−
2 dR

RO

R d
B=− 
2 dR

RO

O =A −B

Les constantes de Oort:

données par Oort (1927):
−1
A=19 km s kpc

−1
B =−24 km s kpc
−1
A partir de données Hipparcos:
A=14.8
B =−12.4

−1
A=11.3
B =−13.9
A=13 km s −1 kpc−1
−1
−1
B =−13 km s kpc
La densité locale du disque galactique:

Avant Hipparcos:
0.10 o 0.26 Mo pc
−3
−3

Aprés Hipparcos:
0.076 o 0.110 Mo pc
−3
 o =0.1 Mo pc
La marée galactique

Force due à la marée:

F Tide =−G1 x ' 
x '− G2 y ' 
y ' −G3 z z
où
G1 =− A −B 3A B =7.0707 ×10 y ears
2
G2 = A −B  =−G1
2
2
−15
−2
G3 =4  0 −2  B −A =5.6530 ×10 y ears

o =−G1
−16
−2

Sommaire (I)
La marée galactique et la modélisation de ses
effets :

Le Soleil dans la Voie Lactée et définition de la
marée ;

Le cas intégrable ;

Le modèle de marée galactique ;

Intégration à long terme et influence de la
composante radiale de la marée.
Le modèle hamiltonien moyenné

Le Hamiltonien :

2
2
2
μ
x'
y'
z
H =− +G 1
+G 2
+G 3
2a
2
2
2
Utilisation des éléments de Delaunay :

l=m, L=  μa
g=ωg , G=  μa  1−e 2 
h= g , H=  μa  1−e  cos i g
2
Moyennisation du Hamiltonien :

1
⟨ H ⟩=
H dm
∫
2π
Les équations de Hamilton moyennées

Les équations de Hamilton :
∂ ⟨H ⟩
dl
dL
=
,

⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
dt
∂L
dt
H
∂⟨
⟩
dg
=
,
dt
∂G
H
∂⟨
⟩
dh
=
,
dt
∂H
⟨ ⟩
⟨ ⟩
2
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩

=−
∂⟨
H⟩
∂l
H
∂⟨
⟩
dG
=−
dt
∂g
H
∂⟨
⟩
dH
=−
dt
∂h
2

dG
5L
H
2
2


=−G3
L
−G
1
−
sin 2 g ,
2
2
dt
4
G
dg
dt
2
[

2
2
L G
L H
2
= G3
1
−5
sin
g
1
−
2
4
2
G
]
Le système
est intégrable!
Exemple d'évolution à long terme de la
distance périhélique

Dans la situation d'intégrabilité :

Quand l'intégrabilité ne vaut plus :
(ici avec la composante radiale)
Effets à long terme de la marée galactique
106 comètes sont intégrées sur une période de 5 Gyr.
 Les éléments orbitaux initiaux sont tels que :
● 3 000 <= a <= 100 000 AU, avec un distribution
0
uniforme en 1/a,
● 0<= e <1, avec une distribution proportionnelle à
0
e et telle que q0 > 32 AU,


●
-1 <= cos i0 <= 1,
●
0o <= ω0, Ω0, M0 <= 360o.
L'intégration d'une comète s'arrête quand la
distance Soleil-comète rC < 15 AU (région cible).
Effets à long terme de la marée avec
seulement la composante normale (I)

Flux vers la région cible :
r <15 AU
t (yr)
r < 5 AU
t (yr)
a < 10 000 AU
10 000 < a < 30 000 AU
30 000 < a < 50 000 AU
50 000 AU < a <100000
Éléments orbitaux des comètes dans la région
cible pendant les derniers 500 Myr :

Effets à long terme de la marée avec les
composantes normale et radiale (II)
Flux vers la région cible :

r <15 AU
r < 5 AU
a < 10 000 AU
10 000 < a < 30 000 AU
30 000 < a < 50 000 AU
50 000 AU < a
Marée (2 comp)
marée(comp normale
t (yr)
t (yr)
Éléments orbitaux des comètes dans la région
cible pendant les derniers 500 Myr :

q
a
cos i g
mod (ωg,180o)
1/
Sommaire (II)
Perturbations des étoiles passantes :

L'environnement stellaire du Soleil ;

Le modèle de perturbations stellaires ;

Intégrations à long terme :

Tenant compte seulement des étoiles,

Les pluies cométaires,

Tenant compte de étoiles et de la marée.
Environnement stellaire du Soleil
Construction d'un ensemble de passages stellaires
respectant les critères suivants (dépendant du type
d'étoiles) :



la masse est fixée ;
la vitesse et les instants de passages choisis de
manière aléaoire en respectant les distributions
observées ;
la direction des vitesses est choisie de manière
aléatoire en respectant une distribution isotrope.
197 906 passages stellaires sur 5 Milliard d'années
sont construits.
Simulation des perturbations stellaires SIA
Chaque passage d'étoile est segmenté en pas constant de l'anomalie vraie
astérocentrique du corps le plus proche de l'étoile :

I
le
i
o
t
é
'
l
e
re d
i
o
t
c
e
j
a
tr
✔
 c
106 AU
avant I
C
 s
S
5
où

et

correspondent
un
t
=5
×10
ann ées.
c
c
 Sur chaque segment
l'impulsion est calculée à partir des anomalies vraies
astérocentriques des deux corps :
ψc1
1
ψ s1
ψ s2
✔
ψc2
 V =f  c ,  c ,  s ,  s
Δ V

2
1
2

Le modèle hybride de perturbation
stellaire
Globalement SIA est prêt de 20 fois plus
rapide que des intégrations numériques
effectuées avec Radau. Si une des distance
d'impact est très petite ce n'est plus le cas.

Ainsi :
si min(bs,bc) > 2 000 UA on utilise le SIA,
sinon on utilise Radau.

Dynamique à long terme induite par les
passages stellaires (I)

Flux vers la région cible :

rC < 15 AU

r C < 5 AU
t (yr)
t (yr)
a < 10 000 AU
10 000 < a < 30 000 AU
30 000 < a < 50 000 AU
50 000 AU < a
Dynamique induite par les passages
stellaires: exemple de pluie cométaire (II)

Paramètres du passage :

9

−1

t P =4,832545 ×10 yrs V =9,7 km .s
M =0,69 Mo
b s =2 528 AU sin b  =−0,08 l  =34,8 o

Flux vers la région cible :
rc < 15 AU
t (yrs)
rc < 5 AU
t (yrs)
a < 10 000 AU
10 000 < a < 30 000 AU
30 000 < a < 50 000 AU
50 000 AU < a <100000
Effets de la marée galactique et des
perturbations stellaires
Passage stellaire + marée galactique (II)

Flux vers la région cible :

rC < 15 AU
t (yr)
a < 10 000 AU
10 000 < a < 30 000 AU
30 000 < a < 50 000 AU
50 000 AU < a

r C < 5 AU
t (yr)
Marée (2 composantes) + étoiles
Marée seule (2 composantes)
Etoiles seules
La composante radiale de la marée
joue-t-elle encore un rôle?

Flux vers la région cible :

rC < 15 AU
t (yr)
a < 10 000 AU
10 000 < a < 30 000 AU
30 000 < a < 50 000 AU
50 000 AU < a

rC < 5 AU
t (yr)
Marée (2 composantes) + étoiles
Marée (comp. normal) + étoiles
Conclusion
La marée engendre une dynamique quasi-intégrable. Le
flux de comètes vers la région cible décroît rapidement
avec le temps. La composante radiale augmente
l'efficacité du transport ;
Les étoiles passantes engendrent un processus
stochastique. Leur effet se traduit essentiellement par des
pluies cométaires intenses et de courte durée ;
La marée + les étoiles : on observe un flux de fond vers
la région cible plus intense, auquel s'ajoutent les pluies
cométaires.
Les planètes ...
REPONSES
Sommaire (II)
Perturbations des étoiles passantes

L'environnement stellaire du Soleil ;

Le modèle de perturbations stellaires ;

Intégrations à long terme :

Tenant compte seulement des étoiles,

Les pluies cométaires,

Tenant compte de étoiles et de la marée ;
Conclusions.
L'intégrateur sympléctique dans les variables
KS (LARKS)
On ajoute le temps “regularisé” a³ Ó
V =−H ,


v =t ,
d
dt
=
et les variables :

4r
K =K 0K 1
dt
dt

Le nouvel Hamiltonien
devient
:
K 0= d  H 0V  , K 1= d  H 1


v
v
c  L


0
P 0 
K
v  =C  e
v
C
 , with  =m ax
,
20  P 0 
V
V
i
V L'intégrateur symplectique
V  s'écrit (avec correcteur) :
i
0,1


Test des modèles
Integration sur une période cométaire de 400 000 comètes telles que :


3 000 a0 ‡ 100 000 AU,

0 e0 1,

­1 cos i0 1,

0o ‡
o
,
,M
‡
360
.
0
0
0
Calcul de l'erreur E définie par : 
E=
∣q mode l−q re f∣
×1 0 0 ,
q re f
 Le plan (log a — e ) est partagé en cellule. Pour 0 0
chaque cellule on considère l'erreur maximale Emax. Précision et temps de calcul
Précision :

LARKS
LP2
a=1 0 4. 576  1 −e 0. 152
Modè le
LP2
LA RKS
RA DA U
TCPU(s)
1 .8
88
1820
Le Modèle Hybride pour la marée galactique
Soient a et e le demi-grand axes et l'excentricité d'une
orbite cométaire. On calcule ac défini par :
a c =1 0 4. 576 1 −e 0. 152



Si a < ac alors on applique LP2 ;
Si a > ac alors on utilise LARKS si a < 105 AU,
sinon on utilise Radau ;
Le passage d'un modèle à l'autre ne peut se faire
qu'au périhélie.
L'intégrateur sympléctique dans les variables
KS (LARKS)
On part du Hamiltonian complet :
2
v

H 0= − ,
2
r

H=H0H1 ,
2
2
2
x'
y'
z
H 1 = G1 G2 G3
2
 
2
2
0
0
2
2
2
2
V 0 v 0 V 1 v 1 −V 2 v 2 −V 3 v 3
v
−v
−v
v
0
2
3
0 ,

= 1
2r 0 =
écrit
dans
variables
régularisées
KS,
v
et
V,
x
X
V
v
V
v
V
v 1 V 3 v 0
2 v 1 vles
v
v

0
3
1
2
2
2
3 0
définies
: v 
−V 0 v 2 V 1 v 3 −V 2 v 0 V 3 v 1
2 vpar
v
−v
1 3
2 0

=−
 

H 0 

Sommaire (I)
La marée galactique et la modélisation de ses
effets:

Le Soleil dans la Voie Lactée et définition de la
marée

Le cas intégrable

Le modèle de marée galactique

Intégration à long terme et influence de la
composante radiale de la marée
Sommaire (I)
La marée galactique et la modélisation de ses
effets :

Le Soleil dans la Voie Lactée et définition de la
marée ;

Le cas intégrable ;

Le modèle de marée galactique ;

Intégration à long terme et influence de la
composante radiale de la marée.
Application des perturbations
galactiques le long des trajectoires
La marée est toujours appliquée sur une période :
 tout le long de la trajectoire, si LARKS ou Radau est
utilisé ;
 comme une impulsion si LP2 est utilisé (puis la
comète avance sur son orbite keplerienne pendant une
période).

Contrôle de la distance
Soleil-comète rC
Exemple d'application du SIA


Paramètres du passage :
*
-1
 Paramètres de l'étoile : V = 2,93 km.s
et M* = 3,2 Mo

Paramètres initiaux de la comète : ao = 30 000 AU et qo=100

Paramètres d'impacts : bs = 163 288,3 AU et bc= 160 694,4 AU

Perturbation du périhélie : a qref= 7,6672 AU et a qmod= 7,6744 AU
Trajectoire de la comète et de l'étoile dans le repère d'impact :
Fiabilité du modèle SIA
Près de 16x106 de passages stellaires sont simulées ;
 Pour chaque perturbation faisant partie des 25% plus importantes ,
on calcule l'erreur définie par :

E=
∣q ref −q mod∣
m ax ∣q ref∣, ⟨∣q ref∣⟩ 25 %sup 
Le plan as– min(bs,bc) est divisé en cellule. Dans chaque cellule on
considère l'erreur E* telle que 90% des erreurs de la cellule lui sont
inférieures :
min(bs,bc)

a s = M Mo /V 2
Sommaire (II)
Perturbations des étoiles passantes :

L'environnement stellaire du Soleil ;

Le modèle de perturbations stellaires ;

Intégrations à long terme:

Tenant compte seulement des étoiles,

Les pluies cométaires,
Modélisations des perturbations à
long terme

Pour chaque comète les perturbations stellaires
sont considérées comme des impulsions
appliquées à l'instant du passage au périhélie de
l'étoile :
t=tP1
t=tP2
t=0
t=tP3
t=tP4

Contrôle de la distance Soleil-comète.
Passage stellaire + marée galactique (I)
La marée est appliquée comme une
impulsion une fois par période cométaire si
LP2 est applicable sinon elle est appliquée
entre chaque passage stellaire :

Contrôle de la distance Soleil-comète.
Exemple d'intégration à long terme (I)
Exemple d'intégration à long terme (II)
Exemple de perturbation


Paramètres du passage :
*
-1
 Paramètres de l'étoile : V = 9,69 km.s
et M* = 0,69 Mo

Paramètres initiaux de la comète : ao = 10 000 AU et qo=100

Paramètres d'impacts : bs = 2527,9 AU et bc= 5153,4 AU

Perturbation du périhélie : a qref= 64,9280 AU et a qmod= 64,9283 AU
Trajectoire de la comète et de l'étoile dans le repère d'impact :
Dynamique induite par les passages
stellaires: exemple de pluie cométaire (II)

Paramètres du passage :

9

−1

t P =4,832545 ×10 yrs V =9,7 km .s
M =0,69 Mo
b s =2 528 AU sin b  =−0,08 l  =34,8 o

Flux vers la région cible :
a < 10 000 AU
10 000 < a < 30 000 AU
30 000 < a < 50 000 AU
50 000 AU < a
Marée (2 composantes) + étoiles
Etoiles seules
Sommaire (III)
Perturbations planétaires :


Le modèle de Monte Carlo utilisé ;
Dynamique à long terme tenant compte de tout
les effets ;
Conclusion
La méthode de Monte Carlo: étape I 
Choix d'un domaine d'étude:

a > 3 000 UA  0 < q < 32 UA
 ­1 < cos i < 1
 0o < ‡
< 360o 
 Calcul d'un ensemble de perturbations sur tout le domaine (1,3 106 perturbations pour la convergence statistique):
C0

     
z 0 =−1 /a0
q0
i0
0
0
T0
C1
z 1=−1/ a1
q1
i1
ω1
1
T1
Δz=z 1− z 0
Δq=q1 −q 0
P
Δi=i 1−i 0
Δω=ω1−ω 0
Δ =1 −0

La méthode de Monte Carlo: Construction des boîtes  Partage de l'espace (cos i, q) en boîtes. Pour chaque boîtes: q1
m –  Δz  +σ –  Δz 
–
m  Δz 
qm


m  Δz  +σ  Δz 

qo
m  Δz 
cos io
cos i1

–
–
m
−m
,
m
−
m




1
0
1
0 
η=

–
–
max  m
1 ,m 0 ,  m 1  ,  m 0  
max
 Evolution de max
:
Méthode de Monte Carlo:
homogénéité
m  Δz  +σ  Δz 

m  Δz 
–
–
m  Δz  +σ  Δz 
m –  Δz 
Méthode de Monte Carlo: étape II
Perturbation des comètes par les planètes:


z
q
C i
ω


q
Δz
Δq
P Δi
Δω
Δ
cos i
 
z'=z+Δz
q'=q+Δq
C'
i'=i+Δi
ω'=ω+Δω
'= +Δ 
Le portrait de phase dans le cas
intégrable

Constantes du mouvement :
a=30 000 AU
2
1
−e
 cos i=0.1

La période de l'excentricité est telle que : P e ≥
1
4  5 a o
3
L'intégrateur de Lie­Poisson (LP2)

Basé sur le Hamiltonien moyenné écrit sous la
forme :
K=K 1 +K 2 +K 3 ,
5
1+ν 2
5
1−ν 2
5
nν
K 1=− νe 21 
h1 , K 2 = νe22 
h 2 , K 3=− e 23 −
h
4
4
4
4
4
0 3



2
cos ω cos −cos i sin ω sin 
sin i sin 

a
0
2
n=
, ν=
, e=e cos ω sin cos i sin ω cos  , h= 1−e −sin i cos 
μ
G3
sin i sin ω
cos i
où :

3

h  T+ΔT  =e
e
ΔT
L
2 K1
e
ΔT
L
2 K2 ΔTL K3
e
e
ΔT
L
2 K2
e
ΔT
L
2 K1

h T 
e

Dynamique à long terme du nuage de Oort
avec les perturbations planétaires
☹