rapport PDF

Thomas Benseghir & Lydie Luengo
Master 2 Mathématiques, spécialité Automatique
Année Universitaire 2010-2011
PROJET M2 :
DEBRUITAGE D'IMAGE
PAR METHODES
VARIATIONNELLES
1.
Introduction ................................................................................................................................3
2.
Les différents Algorithme ............................................................................................................3
2.1.
Chambolle ...........................................................................................................................3
2.1.1.
Principe .......................................................................................................................3
2.1.2.
Algorithme ...................................................................................................................3
2.1.3.
Critère d’arrêt ..............................................................................................................4
2.1.4.
Résultat numérique .....................................................................................................5
2.2.
Nesterov..............................................................................................................................6
2.2.1.
Principe .......................................................................................................................6
2.2.2.
Algorithme ...................................................................................................................6
2.2.3.
Résultats numériques ..................................................................................................7
2.3.
Passage à l’ordre 2...............................................................................................................7
2.3.1.
Chambolle ordre2 ........................................................................................................7
2.3.2.
Nesterov 2 ................................................................................................................ 10
3.
Rapidité de convergence ........................................................................................................... 10
4.
Passage image couleur .............................................................................................................. 13
4.1.
4.2.
Preuve ........................................................................................................................... 13
Test numérique ................................................................................................................. 14
Bibliographie .................................................................................................................................... 15
1. Introduction
Le débruitage d’une image est un problème essentiel en traitements d’images. Effectivement il
arrive continuellement que lors d’une capture d’image des phénomènes comme le bruit, le flou,
la mauvaise qualité … apparaissent. Le modèle que nous allons présenter ici à pour but
d’atténuer le bruit pour se rapprocher d’une image plus authentique.
Notre projet est basé sur le modèle ROF2 (de Loïc Piffet). C’est un modèle variationnel de
débruitage d’ordre deux qui s’appui sur le modèle de Rudin, Osher et Fatemi (ROF). ROF2 a pour
objectif de diminuer le starcaising que déclenche ROF sur les images. Nous pourrons remarquer
cependant qu’après son application grâce à l’algorithme de Nesterov notre résultat est flou.
2. Les différents Algorithme
2.1. Chambolle
2.1.1. Principe
Dans le modèle de ROF (Rudin,Osher et Fatemi ) une image
se décompose en deux parties la
partie qui correspond au bruit et la partie dite "régulière" noté . Le but sera alors de
minimiser le bruit à l'aide de la variation total d'ordre 1. On se placera alors avec
et
gradient de . Où sera un espace euclidien de
avec M et N le nombre de lignes et de
colonnes de notre images.
L’algorithme de Chambolle (Chambolle, 2004) permet de minimiser une énergie définit comme
suit :
(1.1)
Avec :
notre image de taille
, u l’image projetée,
la variation total d’ordre 1.
l’espace euclidien
et
2.1.2. Algorithme
La solution de (1.1) est donnée par :
Avec :
le projecteur orthogonal sur
minimisation suivant :
c'est à dire
Qui se résout grâce aux algorithmes ci après :
Chambolle sans le max :
est solution du problème de
Chambolle avec le max :
2.1.3. Critère d’arrêt
Nous avons tout d’abord pris le critère d’arrêt de (Chambolle, 2004).
Qui précise qu’entre la solution finale
Avec
et la solution à l’instant
on a :
le produit scalaire
Par linéarité de la divergence
On sait de plus que
ie :
est l’opérateur adjoint de
avec
Par linéarité du gradient
De la même manière que dans (Chambolle, 2004) on cherche à trouver un critère d’arrêt en
majorant
pour cela nous inversons les signes.
Or on sait que
et donc ici on a
on a
avec
ce qui revient à
On peut alors écrire :
En changeant à nouveau de signe on obtient alors notre critère d’arrêt :
.
2.1.4. Résultat numérique
Les tests ont été effectués sur une image bruitée avec un bruit gaussien
.
Nous avons utilisé les algorithmes précédent avec un
et nous obtenons des résultats
similaire. Néanmoins l’image est touchée par un phénomène de starcaising(on observe que
l’image est constante par morceau ).
(en haut image bruité,à gauche Chambolle sans le max et à gauche Chambolle avec le max )
2.2. Nesterov
2.2.1. Principe
Le Principe est le même que dans Chambolle on essaye de minimiser l’énergie définit par ROF
qui est la suivante :
(2.2.1)
Avec :
notre image de taille
, u l’image projetée,
la variation total d’ordre 1.
l’espace euclidien
et
2.2.2. Algorithme
Pour trouver la solution au problème (2.2.1) nous cherchons à résoudre :
avec :
(fonction L-Lipschitz différentiable),
(fonction convexe que nous prendrons égale à la fonction indicatrice d’un ensemble convexe K) et
est un espace vectoriel de dimension finie.
Qui se solutionne à l’aide de l’algorithme suivant :
Entrée : nombre d’itération N,
Sortie :
(une estimée de la solution )
8 (la constante de Lipschitz )
Pour k allant de 0 à N-1
Fin
.
2.2.3. Résultats numériques
De la même façon que pour Chambolle les tests ont été effectués sur une image bruitée avec un
bruit gaussien
avec en paramètre de l’algorithme
et nous observons des
résultats similaire à Chambolle.
(à gauche l’image bruité et à droite l’image débruité par Nestrov d’ordre1)
Pour Nesterov nous n’avons pas travaillé sur le critère d’arrêt et nous avons voulu vérifier dans
un premier temps la rapidité de convergence des trois algorithmes précédents.
2.3. Passage à l’ordre 2
2.3.1. Chambolle ordre2
2.3.1.1.
Principe
ROF2 repose sur le même principe que le premier ordre et devrait permettre de supprimer le
staircasing en prenant la variation totale de ses dérivées.
ROF2 tente de minimiser une énergie d’ordre 2 :
(2.3.1)
Avec :
notre image de taille
, u l’image projetée,
la variation total d’ordre 2.
l’espace euclidien
et
2.3.1.2.
Algorithme
La solution de (2.3.1)est donnée par :
Avec :
la Hessienne adjointe de (« divergence seconde ») et
sur
c'est à dire
est solution du problème de point fixe :
2.3.1.3.
le projecteur orthogonal
Critère d’arrêt
Comme à l’ordre 1 nous avons dans un premier temps calculé un critère d’arrêt.
De la même manière que précédemment nous observons entre la solution finale
et la solution à l’instant
une erreur que l’on cherche à majorer.
Avec
le produit scalaire
Par linéarité de la divergence seconde
On sait de plus que
ie :
est l’opérateur adjoint de
avec
Par linéarité de la Hessienne
Or on sait que
et donc on a
on a
.
avec
On peut alors écrire :
L’inégalité se simplifie et on obtient alors notre critère d’arrêt :
du problème
2.3.1.4.
Résultat numérique
Les tests ont été effectués sur une image bruitée avec un bruit gaussien
. L’algorithme à
été exécuter avec
. Les résultats ont certes supprimé le starcaising mais on voit alors
apparaitre un léger flou sur l’image.
(en haut image bruité,à gauche Chambolle sans le max et à gauche Chambolle avec le max )
2.3.2. Nesterov 2
L’algorithme de Nesterov peut lui aussi être adapté à l’ordre 2. Dans ce cas, on obtient le problème ROF2
réécrit :
avec :
(fonction L-Lipschitz différentiable),
(fonction convexe que nous prendrons égale à la fonction indicatrice d’un ensemble convexe K) et
est un espace vectoriel de dimension finie.
Qui se solutionne à l’aide de l’algorithme suivant :
Entrée : nombre d’itération N,
Sortie :
.
(une estimée de la solution )
64 (la constante de Lipschitz)
Pour k allant de 0 à N-1
Fin
3. Rapidité de convergence
Pour connaitre la rapidité de nos algorithmes nous avons voulu comparer leur énergie à chaque
itération.
Nous avons appliqué à notre image bruitée (
les trois algorithmes (Chambolle avec max
,Chambolle sans max et Nesterov ) , en affichant à chaque itération l’énergie
(
pour l’ordre 1 et
pour
l’ordre 2 ). Les résultats ont permis de conclure que Nesterov convergé plus rapidement (voir
courbe ci-dessous) à l’ordre 1 comme à l’ordre 2.
Image bruitée
Nous avons ensuite voulu comparer les temps d’exécution de nos programmes pour savoir le
quel était le plus couteux en temps de calcul.
Le bilan de notre expérience à permis de confirmer que Nesterov est supérieur par rapport aux
deux autres algorithmes.
4. Passage image couleur
4.1. Preuve
Pour les images couleur chaque pixel correspond à trois valeurs numériques. Nous utiliserons ici
le système RGB (de l’anglais red green blue). Une image se décompose donc comme une somme
de trois images (rouge, vert et bleu). En nous inspirant de (Vincent Duval, 2010) nous avons pu
appliquer nos algorithmes aux images couleur.
Le produit scalaire d’une image par elle-même est donc définit comme la somme du produit
scalaire de chaque composante de couleur.
Avec : u notre image,
le canal rouge de notre image,
canal bleu de notre image .
le canal vert de notre image ,
le
On peut sous le même principe définir le produit scalaire entre deux images.
On décrire alors le gradient comme la somme des gradients RGB.
)+
)
On démontre ainsi que la divergence couleur est
)
car :
On peut démonter de même l’ordre 2. Ainsi la Hessienne correspond à la somme des
Hessiennes de chaque canal puisque la Hessienne est le gradient du gradient de notre image.
On en déduit facilement que la divergence couleur à l’ordre 2 est :
Il suffit maintenant d’appliquer nos algorithmes en faisant la somme de tous les canaux.
4.2. Test numérique
(En haut image bruitée (
, à gauche ordre 1 et à droite ordre 2 )
On observe comme pour les images en niveau de gris du starcaising pour l’ordre1 et un effet de
flou pour l’ordre 2.
(Il faudrait cependant tester canal par canal nos algorithmes pour voir le temps de convergence)
Bibliographie
Chambolle, A. (2004). An algorithm for total variation minimization an applications. Journal of
Mathematical Imaging an Vision , 20 89-97.
Piffet, L. (2010). Décomposition d'image par modèles variationnels-Débruitage et extraction de
texture.
Vincent Duval, J.-F. A. (2010). Mathematical Modeling of Textures: Application to Color Image
Decomposition with a Projected Gradient Algorithm. Journal of Mathematical Imaging and Vision
.
Weiss, P.-F. (2009). Efficient schemes for total variation minimization under constraints in image
processing. SIAM Journal on Scientific Computiing , to appear.