rapport PDF

Thomas Benseghir & Lydie Luengo
Master 2 Mathématiques, spécialité Automatique
Année Universitaire 2010-2011
PROJET M2 :
DEBRUITAGE D'IMAGE
PAR METHODES
VARIATIONNELLES

1. Introduction ................................................................................................................................3
2. Les différents Algorithme ............................................................................................................3
2.1. Chambolle ...........................................................................................................................3
2.1.1. Principe .......................................................................................................................3
2.1.2. Algorithme ...................................................................................................................3
2.1.3. Critère d’arrêt ..............................................................................................................4
2.1.4. Résultat numérique .....................................................................................................5
2.2. Nesterov ..............................................................................................................................6
2.2.1. Principe .......................................................................................................................6
2.2.2. Algorithme ...................................................................................................................6
2.2.3. Résultats numériques ..................................................................................................7
2.3. Passage à l’ordre 2 ...............................................................................................................7
2.3.1. Chambolle ordre2 ........................................................................................................7
2.3.2. Nesterov 2 ................................................................................................................ 10
3. Rapidité de convergence ........................................................................................................... 10
4. Passage image couleur .............................................................................................................. 13
4.1. Preuve ........................................................................................................................... 13
4.2. Test numérique ................................................................................................................. 14
Bibliographie .................................................................................................................................... 15

1. Introduction
Le débruitage  il
 des phénomènes comme le bruit, le flou,
our but
 plus authentique.
 a pour
objectif de diminuer le starcaising que déclenche ROF sur les images. Nous pourrons remarquer
 flou.
2. Les différents Algorithme
2.1. Chambolle
2.1.1. Principe
Dans le modèle de ROF (Rudin,Osher et Fatemi ) une image  se décompose en deux parties la
partie qui correspond au bruit  et la partie dite "régulière" noté . Le but sera alors de
minimiser le bruit à l'aide de la variation total d'ordre 1. On se placera alors avec  et 
gradient de . Où  sera un espace euclidien de avec M et N le nombre de lignes et de
colonnes de notre images.
(Chambolle, 2004) permet de minimiser une énergie définit comme
suit :
 (1.1)
Avec : notre image de taille , u l’image projetée,  l’espace euclidien  et 
 la variation total d’ordre 1.
2.1.2. Algorithme
La solution de (1.1) est donnée par :
Avec :  le projecteur orthogonal sur  c'est à dire  est solution du problème de
minimisation suivant :
Qui se résout grâce aux algorithmes ci après :
Chambolle sans le max :

Chambolle avec le max :
2.1.3. Critère d’arrêt
(Chambolle, 2004).
 on a :
 Avec   le produit scalaire
 Par linéarité de la divergence
On sait de plus que  avec 
ie : 
 Par linéarité du gradient
De la même manière que dans (Chambolle, 2004) 
majorant  pour cela nous inversons les signes.
Or on sait que on a   avec
 et donc ici on a  ce qui revient à .
On peut alors écrire :
 :

2.1.4. Résultat numérique
Les tests ont été effectués sur une image bruitée avec un bruit gaussien.
Nous avons utilisé les algorithmes précédent avec un  et nous obtenons des résultats
 starcaising(on observe que
morceau ).
(en haut image bruité,à gauche Chambolle sans le max et à gauche Chambolle avec le max )