Devoir non surveillé n 08 (pour le 27 janvier 2016) 1 Transformateur

le nombre de spires au primaire, N2 le nombre de spires au secondaire,
µr la perméabilité magnétique relative du milieu (non infinie !), Φ le
flux magnétique à travers la section droite S du noyau. On appelle l la
longueur moyenne d’une ligne de champ dans le fer.
On ne tient pour l’instant pas compte des pertes par effet Joule et des
pertes fer.
Lycée Naval, Spé 2.
◦
Devoir non surveillé n 08 (pour le 27 janvier 2016)
1
Transformateur réel
On étudie un transformateur monophasé 220 V/110 V de puissance apparente
500 VA.
Ce transformateur est alimenté au primaire en 220 V sous 50 Hz.
longueur
l
enroulement
primaire
i1
i2
v1
N1
v2
N2
longueur
l
enroulement
secondaire
s
i. En se plaçant en régime forcé à la pulsation ω, montrer que :
v 1 = jωN1 Φ ;
2s
v 2 = jωN2 Φ ;
N1 i1 + N2 i2 = RΦ
l
appelée réluctance du dispositif.
Sµ0 µr
ii. Montrer que la dernière relation peut se réécrire :
N2
i1 − I m = − i2
N1
v1
avec I m =
le courant magnétisant, et L1 l’inductance propre
jωL1
du circuit primaire.
avec R =
Pour réaliser ce transformateur, on utilise le circuit magnétique représenté cidessus.
On admet que la section du tube d’induction est s = 8, 0 cm2 et que la longueur de
la ligne de champ magnétique moyenne (en pointillé sur la figure) est l = 25 cm.
Les tôles utilisées, non saturées, ont les caractéristiques suivantes : perméabilité
relative µr = 3, 1 × 103 , masse volumique 7, 2 × 103 kg.m−3 .
iii. Que vaudrait I m pour µr → +∞ ?
1. Sachant que le primaire est alimenté par une tension de 220 V de fréquence
50 Hz, déterminer le nombre N1 de spires du primaire pour que, dans le fer,
le champ magnétique soit de un tesla. En déduire N2 . Combien faudrait-il
de spires si la fréquence valait 400 Hz ?
2. Modèle du transformateur réel :
On cherche maintenant à représenter un modèle linéaire de ce transformateur
réel. Par rapport au transformateur idéal étudié en cours, on souhaite tenir
compte :
— du caractère fini de la perméabilité relative µr ;
— des pertes par effet Joule dans les enroulements et des pertes fer ;
— des fuites de champ caractérisant la canalisation non parfaite du flux du
champ magnétique par le matériau ferromagnétique.
iv. Justifier alors le nouveau schéma proposé pour le transformateur pour
tenir compte de ce courant magnétisant.
m
i1
v1
i2
im
L1
v2
v. Calculer la valeur efficace du courant magnétisant pour le transformateur réel étudié à la première question.
(b) Prise en compte des fuites de champ :
Les lignes de champ n’étant pas parfaitement canalisées, il existe un flux
de fuite au niveau de chaque enroulement. On suppose que ce flux de
fuite est proportionnel à l’intensité du courant, on peut donc ainsi écrire
au primaire :
Chaque effet va être étudié séparément.
(a) Perméabilité finie. Courant magnétisant im :
On considère le schéma suivant pour le transformateur : on appelle N1
1
N1 Φ1 = N1 Φf er + N1 Φf = N1 Φf er + l1 i1
Justifier alors le schéma proposé pour le transformateur compte tenu de
ces fuites de champ :
i1
m
l1
i2
ii. Déterminer le courant I1,v , absorbé à vide par le primaire, ainsi que
le facteur de puissance à vide.
iii. Lors de la réalisation du transformateur, on a mesuré la résistance
des enroulements r1 = 0, 21 Ω pour le primaire et r2 = 0, 11 Ω pour
le secondaire.
Déterminer la résistance ramenée au secondaire appelée R2 sur le
schéma.
l2
v1
v2
(c) Fonctionnement en court-circuit :
Un essai avec le secondaire en court-circuit a donné les résultats suivants :
I2 = 5, 0 A et V1 = 3, 4 V. Déterminer L2 ω l’impédance de fuite ramenée
au secondaire.
(c) Prise en compte des pertes :
Pour tenir compte des pertes fer et des pertes par effet Joule, on ajoute
des résistances r1 et r2 dues aux enroulements et une résistance RF due
aux pertes fer :
r1
v1
m
i2
r2
2
L’autofocus, AF, ou mise au point automatique, permet de régler la netteté de
l’image que donne un instrument d’optique. On s’intéresse dans cette partie à la
motorisation d’un tel système.
L’objectif EF 50 mm 1 :1.8 II, commercialisé fin 1990, possède un micromoteur à
courant continu à aimants permanents.
Pour simplifier l’étude, on privilégie finalement la représentation cidessous pour le transformateur où R2 modélise l’ensemble des pertes
dues aux enroulements et L2 l’ensemble des fuites de champ.
Cette représentation, qui tient compte des pertes, de la perméabilité finie
et des fuites de champ sera celle utilisée pour la suite de l’étude.
m
i1
v1
RF
Motorisation auto-focus (extrait CS PSI 2015)
v2
RF
iF
i2
im
L1
R2
2.1
L2
Principe d’une machine à courant continu à charge constante
Le rotor est constitué d’un noyau de fer doux, cylindrique, sur lequel sont enroulées N spires. Chaque spire, représentée sur la figure suivante, est rectangulaire,
de longueur b suivant l’axe (Oz) vertical ascendant et de largeur a, et est enroulée
sur le noyau parallèlement dans un de ses plans de symétrie. Les N spires sont
réparties uniformément sur le périmètre du noyau. L’ensemble {noyau + spires}
constitue le rotor. Chaque spire, de résistance Re , est reliée à un générateur de
tension continue U par l’intermédiaire de deux électrodes A et C et est parcourue
par un courant d’intensité i constante. La position du rotor est repérée par l’angle
dθ
θ de la base orthonormée directe cylindrique (~er , ~eθ , ~ez ). On notera Ω =
la vidt
tesse angulaire de rotation du rotor et J son moment d’inertie par rapport à (Oz).
Le rotor est placé dans le champ magnétique stationnaire produit par les aimants
permanents constituant le stator. On admettra que, dans le volume situé entre le
~ = B0 cos θ~er (avec
stator et le noyau du rotor, ce champ est radial et de la forme B
B0 > 0). Le fer doux sera assimilé à un matériau magnétique linéaire, de perméabilité magnétique µ = µr µ0 . On négligera tout phénomène d’autoinduction. Le
couplage électromécanique est parfait.
v2
transformateur idéal
Justifier qualitativement la possibilité d’une telle représentation.
3. Mesures des caractéristiques du modèle :
(a) Pour le matériau ferromagnétique utilisé, les pertes fer à 50 Hz sont de
2,5 W par kilogramme pour un champ magnétique maximal de 1 tesla.
Calculer les pertes fer au sein du transformateur.
(b) Fonctionnement à vide :
Dans cette partie, le transformateur fonctionne à vide, c’est à dire que
le circuit secondaire est ouvert.
i. Connaissant les pertes fer, déterminer la valeur de la grandeur efficace
du courant IF,v qui traverse RF .
2
On suppose que le rotor entraîne une charge dont le couple résistant est ~ΓR =
−ΓR~ez où ΓR est une constante positive. À l’instant t = 0, on a θ(t = 0) = 0 et
Ω(t = 0) = 0.
On rappelle que la valeur moyenne d’une fonction f continue et positive sur un
Z b
1
intervalle [a, b] est
f (x)dx.
b−a a
magnétique subi par le rotor, noté Γ0em et montrer qu’il est proportionnel à
i.
On pose Γ0em = Ki. Comparer les ordres de grandeur de K et de K0 .
4. Déterminer la force contre-électromotrice moyenne e induite dans le rotor
en fonction de K et Ω.
5. Déterminer, en fonction de K, Re et U , l’expression littérale de la caractéristique Ω = f (Γ0em ) en régime permanent de fonctionnement et à tension
d’induit U constante.
1. Dans un premier temps, on néglige les propriétés magnétiques du fer doux
qui est alors assimilé à un milieu non magnétique.
Déterminer, en moyenne sur un tour, le moment par rapport à l’axe (Oz)
du couple électromagnétique subi par le rotor, noté Γem .
6. Déterminer la loi d’évolution Ω(t) pour t ≥ 0. Faire de même pour la loi
Re J
U
Re ΓR
θ(t). On posera τ =
et Ωlim =
−
.
2
K
K
K2
7. À la date t = t0 , un système d’asservissement vient annuler le courant :
i(t = t0 ) = 0, de façon à ce que le moteur puisse s’arrêter. Déterminer les
lois d’évolution Ω(t) et θ(t) pour t ≥ t0 .
8. Pour faire la mise au point, le rotor initialement immobile doit tourner d’un
angle θmp . À la date tmp , θ(t = tmp ) = θmp et le rotor est à l’arrêt. Exprimer
θmp et la durée de mise au point tmp en fonction de ΓR , J, t0 , τ et Ωlim .
2.2
Application au moteur à courant continu DN12M de la
R
marque Canon
1. En vous aidant de la figure ci-dessous, déterminer K et Re pour le moteur
mentionné ci-dessus.
2. En fait, un système permet la commutation de A et C à chaque demi-tour
du rotor, si bien que le courant i circule toujours dans le même sens. Quel
est ce système ?
Pour quelles valeurs de θ y a-t-il inversion du sens du courant parcourant
une spire ?
Montrer alors qu’on a Γem = K0 i où K0 est une constante à déterminer en
fonction de a, b, N et B0 . Quelle est la dimension de K0 ?
3. Désormais on prend en compte les propriétés magnétiques du fer doux, qui
sera assimilé à un milieu magnétique linéaire de perméabilité magnétique
~s
µ = µr µ0 (avec µr > 1). À l’intérieur du noyau, le champ magnétique B
créé par le stator est approximativement uniforme et est orienté selon ~ex ;
~ s = Bs~ex où Bs > 0.
on a ainsi B
Justifier que les courants rotoriques, parcourant les spires du rotor, induisent
~ r orienté selon l’axe (Oy). En prédans le noyau un moment magnétique M
ciser le sens. Justifier que ce moment magnétique est proportionnel à l’intensité i du courant dans une spire du rotor. En déduire le couple électro3
2. Toujours en vous aidant de la figure précédente, déterminer le couple de
démarrage ΓD du moteur.
3. On donne J = 0, 24 g.cm2 . Calculer U et τ .
ΓR
= 0, 5 et U = 3, 1 V, déterminer Ωlim puis la
4. Dans les conditions où
ΓD
puissance du moteur en régime permanent.
5. Pour une durée de mise au point tmp de l’ordre de 100 ms (ordre de grandeur du temps de réponse d’un micromoteur à courant continu associé à
R
un réducteur de vitesse installé dans un objectif Canon),
quel angle θmp
peut-on espérer ?
4