lycee pothier

Spé 2007-2008
Devoir n°5
ÉLECTROMAGNÉTISME
Remarques préliminaires importantes. Il est rappelé aux candidat(e)s que
• les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques,
• tout au long de l’énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d’aider à la
compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions,
• tout résultat fourni dans l’énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s’il
n’a pas été démontré par les candidat(e)s.
Partie I
ÉQUILIBRE ELECTROSTATIQUE
Soit un fil de longueur et de conductivité infinies, de rayon a et possédant la charge linéique
l (figure 1).
r
uq
y
y
r
ur
a
M
O
x
O
r
uZ
z
figure 1
I-1) Rappeler les équations de Maxwell dans le vide. Que vaut la densité volumique de charges r dans le fil ?
I-2) Montrer que le champ électrostatique est radial et qu’il ne dépend que de r, tel que :
r
r
E = E(r) u r.
I-3) En appliquant le théorème de Gauss sur une surface à préciser, établir l’expression de
E(r) en fonction de l, e0, r et der constantes à déterminer en distinguant deux domaines (à définir).
r
Quelle relation existe-t-il entre E = E(r) u r et le potentiel électrostatique V(r) ?
I-4) Le fil conducteur est porté au potentiel V1. Exprimer la différence de potentiel V(r) - V1,
en fonction de l, e0, a et r .
Considérons deux fils (1) et (2) de longueur infinie, infiniment conducteurs, de rayon a, parallèles entre eux, espacés de h >> a et possédant les charges linéiques l et –l constantes et uniformes (figure 2). Nous ferons l’hypothèse que les charges restent uniformément réparties à la périphérie des conducteurs cylindriques. Ces deux conducteurs forment une ligne bifilaire.
y
r
uq
(1)
r
ur
(2)
M
O1
figure 2
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O2
x
h
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I-5) En appliquant le théorème de superposition, exprimer V1 – V2, la différence de potentiel
entre le fil (1) et le fil (2).
I-6) Réaliser un tracé qualitatif des lignes de champ et des surfaces équipotentielles relatives
aux conducteurs cylindriques.
I-7) Montrer qu’une surface équipotentielle particulière est un plan et donner son équation.
r
I-8)
r Déterminer l’expression du champ électrique E en tout point de ce plan. Tracer le module de E en fonction d’une variable à préciser.
I-9) rMontrer que certaines lignes de champ sont portéesr par une droite. Exprimer le champ
électrique E en tout point de cette droite. Tracer le module de E en fonction d’une variable à préciser.
L’ensemble des deux conducteurs forme un condensateur de capacité linéique C0. Pour la
pe 0
.
suite, il sera admis que C0 =
h-a
Ln
a
FG
H
IJ
K
Partie II
REGIME STATIONNAIRE
La ligne bifilaire est utilisée pour alimenter une charge. Le conducteur (1) constitue le
conducteur aller du courant électrique constant d’intensité I0 (dans le sens de l’axe Oz). Le
conducteur (2) est le conducteur retour de ce courant. La répartition du courant est uniforme sur
chaque conducteur. Les vecteurs densité de courant sont respectivement :
r
r
I r
-I r
J1 = 0 2 uZ et J 2 = 02 uZ
pa
pa
II-1) Montrer que le
r champ rmagnétique créé par le conducteur (1) est orthoradial et qu’il ne
dépend que de r, tel que : B = B1(r) u q.
II-2) À partir du théorème d’Ampère sur un contour à préciser, établir l’expression de B1(r)
en distinguant deux domaines (à définir). Tracer le graphe de B(r).
r
II-3) De même, exprimer B , le champ magnétique résultant crée par les conducteurs (1) et
(2), mais uniquement dans le plan défini par les axes des deux conducteurs et entre les conducteurs.
L’ensemble des deux conducteurs forme une bobine d’inductance linéique L0. Dans la suite
m
h-a
du problème, il sera admis que L0 = 0 Ln
.
p
a
II-4) À l’aide d’une figure, montrer ce que représente la grandeur physique L0I0.
II-5) Que vaut le produit L0C0 ? Application numérique.
FG
H
IJ
K
Partie III
REGIMES VARIABLES
L’étude est menée dans le cadre de la théorie générale de l’électromagnétisme. La répartition des courants possède les propriétés suivantes : à un instant t et à une abscisse z donnés, i(z, t)
est l’intensité du courant à travers une section droite du conducteur (1) et –i(z, t) l’intensité du courant à travers une section droite du conducteur (2). Les vecteurs densité de courant sont respectir
r
i ( z, t ) r
-i ( z , t ) r
u
et
J
uZ .
vement J1 ( z , t ) =
Z
2 ( z, t ) =
2
pa
pa 2
La répartition des charges est donnée par la densité linéique de charges l(z, t) pour le
conducteur (1) et –l(z, t) pour le conducteur (2). La différence de potentiel électrique entre (1) et
(2) est de la forme v(z, t) et le conducteur (2) sera pris comme référence de potentiel.
Seul l’espace compris entre les conducteurs et au voisinage du plan contenant les axes des
conducteurs sera considéré. Les coordonnées cartésiennes seront utilisées.
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III-1) Justifier que dans le domaine considéré,
lesr champs
r
r magnétique
r et électrique peuvent
s’écrire avec les approximations suivantes : B » B(x, z, t) u Y et E = E(x, z, t) u X
r
r
r
II sera admis que le potentiel vecteur A s’exprime sous la forme A = A(x, z, t) u Z et que
EZ(r, z, t) = 0.
III-2) À partir de la forme locale de l’équation de Maxwell-Ampère appliquée à l’espace entre les conducteurs, établir une relation notée [R1] entre une dérivée partielle de B(x, z, t) et une dérivée partielle de E(x, z, t).
III-3) Appliquer la forme locale de l’équation de Maxwell-Faraday dans le domaine considéré. En déduire une relation notée [R2] entre une dérivée partielle de B(x, z, t) et une dérivée partielle
de E(x, z, t).
III-4) Établir l’expression suivante du champ magnétique :
1
1
B ( x , z , t ) = a B . i ( z , t ). +
x h- x
FG
H
IJ
K
où aB est une constante à déterminer.
III-5) Déduire des trois questions précédentes que l’intensité i(z, t) satisfait à l’équation
2
¶ i ( z , t ) 1 ¶ 2i ( z , t )
- 2
= 0 que l’on établira.
¶z 2
c
¶t 2
III-6) Trouver l’expression du champ E(x, z, t) en fonction de l(z, t) et de paramètres à expliciter.
¶l ( z , t )
III-7) En déduire une relation entre
et une dérivée partielle de l’intensité i(z, t). À
¶t
quoi correspond cette relation ?
r
¾
¾®
r
¶A
III-8) À partir de la relation générale E = - grad (V ) , établir une relation entre v(z, t),
¶t
l(z, t) et C0.
¶v ( z , t ) ¶i ( z , t )
III-9) À partir de la relation [R2], établir l’équation liant
,
et des constantes à
¶z
¶t
déterminer.
¶i ( z , t ) ¶v ( z , t )
III-10) À partir de la relation [R1], établir l’équation liant
,
et des constantes
¶z
¶t
à déterminer.
III-11) Est-ce que l’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires est vérifiée ? Pourquoi ?
Partie IV
CONDUCTIVITE D’ANNEAUX MESOSCOPIQUES ISOLES
Un système mésoscopique est un échantillon à une échelle intermédiaire entre la matière à
l’état microscopique (l’atome) et macroscopique (le solide). Sa taille, micronique, lui confère un
grand nombre d’électrons qui, si la température est assez basse (typiquement de l’ordre de quelques centièmes de degrés Kelvin), vont conserver leur «cohérence quantique». La physique mésoscopique est une physique récente, qui se développe avec l’avancée des nanotechnologies.
On sait fabriquer par lithographie des petits anneaux carrés de quelques micromètres de
côté dans lesquels des électrons sont contraints de se déplacer. Un champ magnétique constant
imposé perpendiculairement au plan de l’anneau va forcer les électrons à tourner dans l’anneau,
créant ainsi un courant permanent. Il apparaît que la valeur de ce courant est une fonction périodique du flux magnétique. Pour mesurer ce courant, les anneaux sont couplés à un résonateur formé
d’une ligne bifilaire en régime harmonique.
La ligne bifilaire est un micro-résonateur constitué de deux fils parallèles d’une longueur ℓ
et distants de 2d . Celui-ci est fabriqué par lithographie optique sur un substrat de saphir. Afin de
limiter la dissipation par effet Joule, un supraconducteur, le niobium, a été choisi comme matériau
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constitutif de la ligne. Enfin, pour minimiser la taille du résonateur, une géométrie en méandre a
été adoptée (voir figure 3)Y
r
uY
r
uZ ¤
r
uX
figure 3 : microphotographie optique d’une partie de la ligne bifilaire en méandre et de ses
anneaux mésoscopiques carrés
L’espace est muni d’un repère cartésien (O, x, y, z). Un champ magnétique permanent et
r
r
uniforme règne en tout point, dirigé selon l’axe(Oz) B = B u Z.
IV-1) On considère un anneau circulaire métallique de rayon R , situé dans le plan z = 0 .
r ¾¾®
Exprimer la quantité F = B. dS en fonction de la norme B du champ magnétique et du
zz
rayon R . En quelle unité exprime-t-on F ?
IV-2) Un électron de masse m et de charge –e est assujetti à se déplacer dans la circonférence de l’anneau d’épaisseur très faible. Il est alors soumis à la force de Lorentz. En appliquant le
principe fondamental de la dynamique à l’électron, montrer que la norme v de la vitesse de cet
électron s’exprime simplement en fonction des grandeurs suivantes : e , F, m et R .
IV-3) Nous allons utiliser maintenant une hypothèse émise par Bohr au début du vingtième
siècle afin d’expliquer les niveaux d’énergie quantifiés des électrons dans les atomes : le moment
h
cinétique de l’électron est quantifié. Il ne peut prendre que des valeurs multiples de
où h est la
2p
constante de Planck. On donne h = 6,62´10–34 J.s .
a) Montrer que h possède bien la dimension d’un moment cinétique.
b) En appliquant la condition de quantification de Bohr à l’électron tournoyant dans
l’anneau, montrer que la quantité F est quantifiée, c’est-à-dire qu’elle ne peut prendre que des valeurs multiples d’une certaine autre quantité F1 que l’on exprimera en fonction de la constante de
Planck h et de la charge élémentaire e . La quantité F1 est appelée quantum de flux.
c) Application numérique : calculer la valeur numérique de F1 sachant que
–19
e = 1,6´10 C.
IV-4) On peut montrer en utilisant la mécanique quantique que l’anneau est le siège d’un
courant permanent périodique avec le flux F, de période F1 . Sachant que la valeur moyenne (sur le
flux) du courant permanent est nulle, donner l’expression de la composante fondamentale du courant permanent. On notera I0 l’amplitude de cette harmonique, on remarquera aussi que le courant
est nul lorsque le flux est nul.
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Partie V
COUPLAGE D’ANNEAUX ISOLES AVEC LA LIGNE BIFILAIRE
On arrive à placer, dans les méandres de la ligne bifilaire, des anneaux mésoscopiques carrés (figures 3). En fait, ils ne sont pas dans le même plan que la ligne bifilaire. On négligera ce fait.
La ligne bifilaire crée au niveau des anneaux un champ magnétique oscillant dont la variation de
flux va induire sur les anneaux un courant oscillant à la même fréquence, dont une partie est en
phase avec le champ magnétique émis (la partie réactive) et l’autre en quadrature (la partie dissipative). Les anneaux créent à leur tour un champ magnétique oscillant qui est détecté par le circuit
émetteur (couplage par induction mutuelle), modifiant la courbe de résonance.
V-1) Estimer sur la microphotographie de la figure 3 la valeur numérique du côté des carrés.
V-2) Établir l’expression du champ magnétique créé par un fil infini parcouru par un courant
I. Il sera tenu compte dans la correction de la copie de la façon dont le calcul est mené s’il n’a pas
déjà été fait aux questions II-1 et II-2 (symétries du
problème, application des théorèmes, rigueur, etc).
V-3) Calculer le flux magnétique à travers le
carré de côté a dont le centre est situé à une distance
d du fil (voir figure 4 ci-contre). En partant de la
relation liant le flux à l’intensité créant ce flux, exprimer le coefficient de mutuelle M entre le fil et
l’anneau.
V-4) On admet que les seuls anneaux qui
participent effectivement au couplage par induction
sont ceux qui sont proches des fils. De plus, on supposera que ces anneaux, sont situés exactement au
centre de la ligne bifilaire, c’est-à-dire que leur centre est à une distance de d des fils. Soit N leur
nombre. Exprimer alors le coefficient de mutuelle MT de l’ensemble en fonction de N et M .
V-5) Supposons que la ligne bifilaire soit parcourue par un courant dont l’expression complexe est I1 (w ) = I1e jwt . Quelle est alors l’expression complexe du flux capté par un anneau de la
part de la ligne bifilaire ? En déduire l’expression complexe de la force électromotrice dans
l’anneau en fonction de I1 , M , w et t.
V-6) On note G l’admittance a priori complexe, de l’anneau. Donner l’expression complexe
du courant alternatif qui naît dans l’anneau. Déterminer alors l’expression complexe du flux induit
dF par ce courant dans la ligne bifilaire.
V-7) La ligne bifilaire étant modélisée par une inductance L en parallèle sur une capacité C .
Calculer le flux total reçu par la ligne bifilaire. Puis en ne conservant que les termes en phase avec
le signal I1 (w ) = I1e jwt , montrer que le couplage avec tous les anneaux se traduit par une modification de l’inductance d’une quantité dL = Len pré sence - L = 4 NM 2 w Im( G ) où Im(G) désigne la partie
d'anneaux
imaginaire de G .
V-8) En notant que la fréquence de résonance de la ligne est donnée par f 0 =
la variation relative
df 0 dL
à
.
f0
L
1
2 p LC
,
relier
V-9) Le flux magnétique capté par un anneau a deux origines :
• une, due au champ magnétique émis par la ligne dF(w)
• une autre, due à un champ magnétique permanent créé par un solénoïde dont l’axe
est orthogonal au plan du résonateur, notée FDC.
Ainsi le flux magnétique total s’écrit F = FDC + dF.
a) Comment peut-on modifier le flux FDC en pratique ?
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b) En se limitant à des termes d’ordre 1, on montre que la partie imaginaire de
l’admittance G d’un anneau est proportionnelle à la dérivée du courant permanent par rapport au
1 ¶I
¶I
.
flux FDC : Im( G ) =
. En déduire dL en fonction de M , N et
w ¶F F = F DC
¶F F = F DC
FG IJ
H K
FG IJ
H K
V-10) En reprenant l’expression de l’intensité des courants permanents de la question IV-4,
¶I
exprimer
en fonction de
¶F F = F DC
I0, F1 et F .
V-11) Comment faire expérimentalement
pour
mesurer
Im(G) ?
V-12) La figure 5 ci-contre
donne l’évolution des parties réelles
dG G - G0
=
et imaginaires de la conductance
G0
G0
relative en fonction du champ magnétique B créé par le solénoïde. La
conductance relative est définie par
G - G0
le rapport
où G0 est la
G0
conductivité lorsque le champ magnétique appliqué est nul. Sachant
que 1 gauss correspond à 10–4 T ,
vérifier que les courants ont une
période égale au quantum de flux
Figure 5 : variations relatives des parties imaginaires et rée lles de la conductance en fonction du champ magnétique
F1 à partir du graphe de la figure 5.
FG IJ
H K
%%%%%%%%%
Données numériques :
m0 = 4p´10–7 H.m–1
e0 =
1
F.m–1
9
36p.10
c=
1
= 3.108 m. s–1.
e 0m 0
Rappels d’analyse vectorielle
Expressions des opérateurs gradient, divergence, rotationnel et laplacien en coordonnées
cylindriques,
pour une fonction scalaire V = V(r, q, z) et pour une fonction vectorielle
r r
r
r
r
A A = Ar (r , q, z )u r + Aq (r , q, z )u q + AZ (r , q, z )u Z :
¶V r 1 ¶V r ¶V r
ur +
uq +
uZ
¶r
r ¶q
¶z
r 1 ¶(rAr ) 1 ¶Aq ¶AZ
div( A) =
+
+
r ¶r
r ¶q
¶z
¾
¾® r
1 ¶AZ ¶Aq r
¶Ar ¶AZ r 1 ¶(rAq ) ¶Ar r
rot ( A) =
ur +
uq +
uZ
r ¶q
¶z
¶z
¶r
r
¶r
¶q
¾
¾®
grad (V ) =
FG
H
DV =
FG
H
IJ
K
IJ FG
K H
IJ
K
FG
H
IJ
K
1 ¶
¶V
1 ¶ 2V ¶ 2V
r
+ 2
+
r ¶r
¶r
r ¶q 2 ¶z 2
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