Seul document autorisé : feuille double manuscrite

UTBM PS26 / Examen médian / Avril 2006 / Durée 2h Eric Bachard
Seul document autorisé : feuille double manuscrite exclusivement
Eléments de correction ( Auteur : Eric Bachard )
Exercice 1 Condensateur plan (sur 16 points)
1.1 Un condensateur plan est constitué par deux armatures A et B circulaires, parallèles et centrées
sur un axe perpendiculaire, de rayon R, distantes de e (épaisseur entre les armatures).
1.1.1 Préciser les conditions géométriques à respecter pour que le condensateur soit considéré
comme "plan"
On suppose R>>e. Dans ce cas, l'influence est supposée totale, et les effets de bord (
E
n'est plus
uniforme au bord) sont négligeables. [1 pt]
1.2 On suppose ces conditions vérifiées
1.2.1 En utilisant le théorème de Gauss, exprimer le champ électrique entre les armatures, et à
l'extérieur
Soit un plan unifomément chargé, avec = densité surfacique de charge électrique
=1 2=2ES =S
0
⇒E=S
2 0
Orienté vers l'extérieur du plan chargé si
0
, orienté
vers l'intérieur si
0
Pour 2 plans chargés, l'un avec
0
, et l'autre avec
0
, on procède par superposition, ce
qui donne:
Comme les champs ont même module, la superposition donne le double du module quand on
superpose des champs orientés dans le même sens, et 0 ailleurs (voir figure 4 page suivante)
[ 2pts ]
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Figure2 Champ créé par plan 1 seul
E1E'1
0 e
x
Plan chargé 1 crée E1 seul ( E'1 à droite, pour x>0)
E'1E'1
E1E'1E'1E'1
Figure3 Champ créépar plan 2 seul
E'2 E2
0 e
x
Plan chargé 2 seul
E2
E2
E'2 E2 E2 E2

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1.2.2 En utilisant la définition de la capacité, retrouver l'expression de C en fonction de
0
, R et e.
Par définition
Q=C⋅VA−VB=C⋅UAB
avec
UAB=∫
A
B
E⋅ dx=E
0
Ensuite, il vient :
Q=C⋅ e
0
⇔C=0 S
e
[ 2pts ]
1.2.3 Calculer sa capacité C et sa charge Q accumuléee pour R = 0,6 m ; e = 3 mm et UAB = 600 V
A.N. : C=1/3 10 -8 F Q= 2.10 – 6 C [ 1 pt ]
1.3 Après avoir isolé le condensateur, on introduit entre les armatures un disque metallique D (voir
figure 1 ci -dessous), initialement neutre, d'épaisseur uniforme x, parallèle aux armatures, de rayon
R, centré sur l'axe du condensateur. On appelle e1 et e2 les distances de ces faces aux armatures.
1.3.1 Décrire les phénomènes electriques qui se produisent lorsqu'on introduit ce conducteur.
Rappel : dans un conducteur parfait, le potentiel est constant. Comme
E=− grad V ⇒ E= 0
à
l'intérieur d'un conducteur parfait.
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Figure 1 : Condensateur initial avec disque
metallique placé entre les armatures
e1
e2
A
B
Dx
Figure4 Superposition des champs créés par les 2 plans
2E'1
0
e
x
2E'1
2E'12E'1
E = 0E = 0

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Par influence, des charges vont apparaitre sur les surfaces du conducteur, avec un signe opposé aux
charges en regard ( armature A ou B).
Pour le conducteur, les modules des champs induits sont les mêmes à l'extérieur de celui-ci que le
module des champs causés par les armatures du condensateur. À l'intérieur, le champ vaut 0.
Conséquence immédiate est que le champ
E
est inchangé dans les zones e1 et e2 et vaut 0 dans
l'épaisseur x. ( dessin identique au précédent).
Tout se passe comme si on avait fabriqué une zone intérmédiaire dans laquelle il n'y avait pas de
champ électrique, cf la cage de Faraday.
+ un dessin explicatif complète le barême
[ 3pts ]
1.4 Pression électrostatique.
Soit une surface chargée uniformément (densité surfacique ) , et un élément de surface dS,
portant une charge
dS
, baignant dans le champ électrique
E
uniforme créé par les charges
environnantes.
1.4.1 Montrer que la force
df
subie par cette surface élémentaire vaut, en module :
df =2
2 ⋅0
⋅dS
. Préciser la notion de pression électrostatique
Soit
df =q⋅Eambiant =dS⋅
2 0
=2 dS
2 0
(1pt)
Pour la pression électrostatique, on peut définir le rapport
df
dS =2
2 0
assimilable à un pression car
s'agissant d'un rapport force/unité de surface, subie par dS, qui porte la charge dq ( 1pt)
1.4.2 En déduire la résultante des forces électrostatiques agissant sur D
Comme les forces sont de même directions, opposées, et que le milieu est supposé indéformable,
celles-ci se compensent. La résultante sur le milieu conducteur est donc nulle. On peut quand même
noter que sur chaque face s'applique la force
F=2 R2
2 0
=2 S
2 0
=Q2
2 0 S
en posant :
S= R2
[ 1 pt ]
1.4.3 Calculer la nouvelle capacité C' du condensateur, et la ddp U'AB entre les armatures
On peut calculer C' de 2 manières différentes :
–association en série de 2 condensateurs
C1 =0 S
e1
et
C2 =0 S
e2
⇒1
C1
1
C2
=1
C '
–en calculant la circulation de
E
entre les points A et B
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1
C1
1
C2
=1
C'=e1
0 Se2 0 S=e1 e2 0 S
d'où la valeur de C' :
C ' =0 S
e1 e2
Le calcul utilisant la circulation de
E
entre les points A et B n'est pas beaucoup plus compliqué :
VA−VB=UAB=E⋅e1 E⋅e2 =Ee1 e2
et
Q=C '⋅UAB= S
permet de retrouver la même
expression, soit :
C '=0 S
e1 e2
Pour la nouvelle différence de potentiel U'AB , on utilise :
Q=CU =C ' U ' ⇒U ' =U⋅C
C'
Application numérique : U'AB = 500V C' = 4.10 -9 F < C [ 2 pts]
1.5 On refait l'opération en maintenant constante la ddp UAB grâce à un générateur. Calculer la
nouvelle charge Q' du condensateur
On utilise tout simplement Q' = C' UAB avec UAB = VA-VB = 600 V, valeur initiale de la différence de
potentiel.
A.N. : Q' = 2,4.10 -6 C [ 2 pts ]
Exercice 2 Champ uniforme et lignes de champ (sur 4 pts)
Le but de cet exercice est de démontrer que si, dans le vide les lignes de champ d'un champ
électrostatique
E
sont des droites parallèles, le champ est uniforme.
2.1 On suppose les lignes de champ // à Ox. En utilisant un tube de champ de faible section, limité
par les planx x = x1 et x = x2, et le théorème de Gauss, montrer que
E
ne dépend pas de x.
Par hypothèse, tout se passe dans le vide : il n'y a donc pas de charges présentes.
Appliquons le théorème de Gauss en prenant comme surface de Gauss un cylindre d'axe Ox, se
section S.
Le flux sortant est nul sur la paroi latérale car
E
étant supposé parallèle à Ox, il est tangent en tout
point à cette surface latérale, et donc perpendiculaire en tout point à toute normale à celle-ci.
Pour les extrémités :
=>
=0 = n1 ⋅ E1  n2 ⋅ n2 ⇒
−Ex1, y , zEx2, y , z=0 ⇔Ex1, y , z =Ex2, y , z 
Conclusion :
E
ne dépend pas de x [ 2 pts ]
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x = x1x = x2
n2
n1
O
x

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2.2 En utilisant la circulation de
E
sur un contour fermé judicieusement choisi, montrer que
E
ne dépend pas de y non plus.
On se place dans le plan xOy, en décrivant le contour fermé abcda
Avec le point a (x1, y1) , b (x2, y1), c (x2, y2), d ((x1, y2). Comme le contour est fermé, et qu'on n'est
pas en régime variable, la circulation de
E
le long de ce trajet est nulle.
Segments ab et cd : a priori non nulle car
E
est parallèle au déplacement
Segments bc et da :
E
est prependiculaire en tout point du déplacement, done la circulation sur
ces deux segments vaut 0.
Soit l la distance x1x2 . La circulation de
E
se résume à : l E(y1, z) - l E(y2, z) = 0
l E y1, z−l E y2, z⇔ Ey1, z=Ey2, z
et donc
E
ne dépend pas de y non plus. [ 1 pt ]
2.3 Même question pour montrer que
E
ne dépend pas de z et conclure
La démonstration est analogue, en prenant cette foi une circulation le long du contour fghif, avec :
f (x1, z1) , g (x2, z1), h (x2, z2), i ((x1, z2) :
Les deux circulations nulles sont entre g et h, ainsi qu'entre i et f, celles qui ne le sont pas sont entre
f et g, et h et i, telles que : E (x,y,z1) = E(x,y,z2) => E ne dépend pas de z non plus.
Conclusion : dans le vide, si les lignes de champ de
E
sont toutes parallèles entre elles
E
est
uniforme [ 1 pt ]
FIN du sujet
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