Seul document autorisé : feuille double manuscrite
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UTBM PS26 / Examen médian / Avril 2006 / Durée 2h Eric Bachard Seul document autorisé : feuille double manuscrite exclusivement Eléments de correction ( Auteur : Eric Bachard ) Exercice 1 Condensateur plan (sur 16 points) 1.1 Un condensateur plan est constitué par deux armatures A et B circulaires, parallèles et centrées sur un axe perpendiculaire, de rayon R, distantes de e (épaisseur entre les armatures). 1.1.1 Préciser les conditions géométriques à respecter pour que le condensateur soit considéré comme "plan" On suppose R>>e. Dans ce cas, l'influence est supposée totale, et les effets de bord ( E n'est plus uniforme au bord) sont négligeables. [1 pt] 1.2 On suppose ces conditions vérifiées 1.2.1 En utilisant le théorème de Gauss, exprimer le champ électrique entre les armatures, et à l'extérieur Soit un plan unifomément chargé, avec = densité surfacique de charge électrique S S ⇒ E= Orienté vers l'extérieur du plan chargé si 0 , orienté 0 2 0 vers l'intérieur si 0 =1 2 =2 ES = Pour 2 plans chargés, l'un avec 0 , et l'autre avec 0 , on procède par superposition, ce qui donne: E1 E'1 E'1 E'1 E2 E2 E2 E'2 x 0 E1 x e E'1 E'1 E'1 0 E2 e E2 E2 E'2 Plan chargé 1 crée E1 seul ( E'1 à droite, pour x>0) Plan chargé 2 seul Figure2 Champ créé par plan 1 seul Figure3 Champ créépar plan 2 seul Comme les champs ont même module, la superposition donne le double du module quand on superpose des champs orientés dans le même sens, et 0 ailleurs (voir figure 4 page suivante) [ 2pts ] Page 1/5 UTBM PS26 / Examen médian / Avril 2006 / Durée 2h 2E'1 E=0 2E'1 0 Eric Bachard E=0 x e 2E'1 2E'1 Figure4 Superposition des champs créés par les 2 plans 1.2.2 En utilisant la définition de la capacité, retrouver l'expression de C en fonction de 0 , R et e. B E Par définition Q=C⋅V A−V B =C⋅U AB avec U AB =∫ E⋅ dx= 0 A S C⋅ e ⇔C = 0 Ensuite, il vient : Q= [ 2pts ] e 0 1.2.3 Calculer sa capacité C et sa charge Q accumuléee pour R = 0,6 m ; e = 3 mm et UAB = 600 V A.N. : C=1/3 10 -8 F Q= 2.10 – 6 C [ 1 pt ] 1.3 Après avoir isolé le condensateur, on introduit entre les armatures un disque metallique D (voir figure 1 ci -dessous), initialement neutre, d'épaisseur uniforme x, parallèle aux armatures, de rayon R, centré sur l'axe du condensateur. On appelle e1 et e2 les distances de ces faces aux armatures. A e1 x D e2 B Figure 1 : Condensateur initial avec disque metallique placé entre les armatures 1.3.1 Décrire les phénomènes electriques qui se produisent lorsqu'on introduit ce conducteur. Rappel : dans un conducteur parfait, le potentiel est constant. Comme E=− grad V ⇒ E= 0 à l'intérieur d'un conducteur parfait. Page 2/5 UTBM PS26 / Examen médian / Avril 2006 / Durée 2h Eric Bachard Par influence, des charges vont apparaitre sur les surfaces du conducteur, avec un signe opposé aux charges en regard ( armature A ou B). Pour le conducteur, les modules des champs induits sont les mêmes à l'extérieur de celui-ci que le module des champs causés par les armatures du condensateur. À l'intérieur, le champ vaut 0. Conséquence immédiate est que le champ E est inchangé dans les zones e1 et e2 et vaut 0 dans l'épaisseur x. ( dessin identique au précédent). Tout se passe comme si on avait fabriqué une zone intérmédiaire dans laquelle il n'y avait pas de champ électrique, cf la cage de Faraday. + un dessin explicatif complète le barême [ 3pts ] 1.4 Pression électrostatique. Soit une surface chargée uniformément (densité surfacique ) , et un élément de surface dS, portant une charge dS , baignant dans le champ électrique E uniforme créé par les charges environnantes. 1.4.1 Montrer que la force df subie par cette surface élémentaire vaut, en module : 2 df = ⋅dS . Préciser la notion de pression électrostatique 2 ⋅0 dS⋅ 2 dS = Soit df =q⋅E ambiant = (1pt) 2 0 2 0 2 df = Pour la pression électrostatique, on peut définir le rapport assimilable à un pression car dS 2 0 s'agissant d'un rapport force/unité de surface, subie par dS, qui porte la charge dq ( 1pt) 1.4.2 En déduire la résultante des forces électrostatiques agissant sur D Comme les forces sont de même directions, opposées, et que le milieu est supposé indéformable, celles-ci se compensent. La résultante sur le milieu conducteur est donc nulle. On peut quand même 2 R2 2 S Q2 = = noter que sur chaque face s'applique la force F = en posant : S = R 2 2 0 2 0 2 0 S [ 1 pt ] 1.4.3 Calculer la nouvelle capacité C' du condensateur, et la ddp U'AB entre les armatures On peut calculer C' de 2 manières différentes : – – 0 S S et C 2 = 0 e1 e2 en calculant la circulation de entre les points A et B E association en série de 2 condensateurs C 1 = Page 3/5 ⇒ 1 1 1 = C1 C2 C ' UTBM PS26 / Examen médian / Avril 2006 / Durée 2h e e e e 2 1 1 1 = '= 1 2 = 1 C1 C2 C 0 S 0 S 0 S Eric Bachard d'où la valeur de C' : C ' = 0 S e 1 e 2 Le calcul utilisant la circulation de E entre les points A et B n'est pas beaucoup plus compliqué : V A−V B =U AB=E⋅e 1 E⋅e 2 =E e 1 e 2 et Q=C '⋅U AB = S permet de retrouver la même 0 S expression, soit : C ' = e 1 e 2 C Pour la nouvelle différence de potentiel U'AB , on utilise : Q=CU =C ' U ' ⇒ U ' =U⋅ ' C Application numérique : U'AB = 500V C' = 4.10 -9 F < C [ 2 pts] 1.5 On refait l'opération en maintenant constante la ddp UAB grâce à un générateur. Calculer la nouvelle charge Q' du condensateur On utilise tout simplement Q' = C' UAB avec UAB = VA-VB = 600 V, valeur initiale de la différence de potentiel. A.N. : Q' = 2,4.10 -6 C Exercice 2 [ 2 pts ] Champ uniforme et lignes de champ (sur 4 pts) Le but de cet exercice est de démontrer que si, dans le vide les lignes de champ d'un champ électrostatique E sont des droites parallèles, le champ est uniforme. 2.1 On suppose les lignes de champ // à Ox. En utilisant un tube de champ de faible section, limité par les planx x = x1 et x = x2, et le théorème de Gauss, montrer que E ne dépend pas de x. Par hypothèse, tout se passe dans le vide : il n'y a donc pas de charges présentes. Appliquons le théorème de Gauss en prenant comme surface de Gauss un cylindre d'axe Ox, se section S. x = x1 x = x2 n2 O x n1 Le flux sortant est nul sur la paroi latérale car E étant supposé parallèle à Ox, il est tangent en tout point à cette surface latérale, et donc perpendiculaire en tout point à toute normale à celle-ci. Pour les extrémités : n1 ⋅ E 1 n 2⋅ n2 ⇒ −E x 1, y , z E x 2, y , z =0 ⇔ E x 1, y , z =E x 2, y , z => =0 = Conclusion : E ne dépend pas de x [ 2 pts ] Page 4/5 UTBM PS26 / Examen médian / Avril 2006 / Durée 2h Eric Bachard 2.2 En utilisant la circulation de E sur un contour fermé judicieusement choisi, montrer que E ne dépend pas de y non plus. On se place dans le plan xOy, en décrivant le contour fermé abcda Avec le point a (x1, y1) , b (x2, y1), c (x2, y2), d ((x1, y2). Comme le contour est fermé, et qu'on n'est pas en régime variable, la circulation de E le long de ce trajet est nulle. Segments ab et cd : a priori non nulle car E est parallèle au déplacement Segments bc et da : E est prependiculaire en tout point du déplacement, done la circulation sur ces deux segments vaut 0. Soit l la distance x1x2 . La circulation de E se résume à : l E(y1, z) - l E(y2, z) = 0 l E y 1, z −l E y 2, z ⇔ E y 1, z =E y 2, z et donc E ne dépend pas de y non plus. [ 1 pt ] 2.3 Même question pour montrer que E ne dépend pas de z et conclure La démonstration est analogue, en prenant cette foi une circulation le long du contour fghif, avec : f (x1, z1) , g (x2, z1), h (x2, z2), i ((x1, z2) : Les deux circulations nulles sont entre g et h, ainsi qu'entre i et f, celles qui ne le sont pas sont entre f et g, et h et i, telles que : E (x,y,z1) = E(x,y,z2) => E ne dépend pas de z non plus. Conclusion : dans le vide, si les lignes de champ de E sont toutes parallèles entre elles E est uniforme [ 1 pt ] FIN du sujet Page 5/5
