Systèmes de Déduction

Systèmes de Deduction
Info-F302
Séance 2
(version de l’énoncé avec des changements/corrections)
Exercice 1 Montrez que pour chaque formule ψ de la logique propositionnelle il existe
une formule propositionnelle ψ→ de la logique propositionnelle telle que ψ→ ≡ ψ et que
ψ→ contient seulement l’implication → comme opérateur logique, ⊥, et des propositions
atomiques.
Un système de deduction est donné par un ensemble des axioms et un ensemble fini des
règles de déduction. Le système de déduction style Hilbert-KSP sera donné par des
schemas des axioms K, S et P suivants (A et B sont des formules propositionnelles quelconques qui seulement utilisent →, ⊥ et des propositions atomiques) :
– K : A → (B → A)
– S : (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
– P : ((A → B) → A) → A
(Peirce’s law)
et la règle de déduction :
A→B
MP
B
On introduise des déductions dans ce système en analogie avec le cours et utilisera `KSP pour
noter des séquents conformes.
A
Exercice 2 Comparez le système Hilbert-KSP avec le système de la déduction naturelle
(nombre des règles, axioms, longueur des preuves,. . .).
Exercice 3 Supposant les propositions atomiques sont {int, string, f loat}, montrez que le
système Hilbert-KSP permet de déduire les postulats suivants :
(i) `KSP int → int → int
(ii) `KSP ((string → int) → string) → string
(iii) `KSP string → string
(astuce : commencez avec “A → ((B → A) → A)”)
Exercice supplémentaire Interprétons une formule int → string comme une fonction quelconque avec la domaine int (type integer) et la codomaine string (type string). Une formule
A → (B → C) est interprété comme une fonction quelconque qui associé un element du type
A a une autre fonction du type B vers le type C (fonctions d’ordre supérieur). Comment on
pouvait maintenant “interpreter” les axioms K et S ? La règle MP correspond à quoi ?
Notez que des systèmes de déduction similaires à celui ci-dessus jouent un rôle très important
pour la fondation des langages de programmation fonctionnelles (ML, Haskell,. . .).
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Exercice 4 A l’aide des règles de la déduction naturelle, montrer les postulats suivants :
(i) (p ∧ q) ∧ r, s ∧ t ` q ∧ s
(∗)
(ii) q → (p → r), ¬r, q ` ¬p
(∗)
(iii) ` p → p
(∗)
(iv) ` p → (q → p)
(v) ` (p ∧ q) → p
(∗)
(∗)
(vi) p ` (p → q) → q
(∗)
(vii) (p → r) ∧ (q → r) ` (p ∧ q) → r
(viii) q → r ` (p → q) → (p → r)
(ix) p → (q ∧ r) ` (p → q) ∧ (p → r)
(x) p → (q ∨ r), q → s, r → s ` p → s
(xi) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ` p ∧ (q ∨ r)
(xii) ¬(p ∧ q) ` ¬p ∨ ¬q
(∗)
(xiii) p ∨ q, ¬q ∨ r ` p ∨ r
(xiv) ¬p ∨ ¬q ` ¬(p ∧ q)
(xv) ` ((p → q) → p) → p
(∗)
(∗)
Exercice 5 Montrez que φ1 , . . . , φn `KSP ψ implique φ1 , . . . , φn ` ψ pour toutes formules
propositionnelles φ1 , . . . , φn , ψ.
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A. Règles de Déduction Naturelle
introduction
φ
∨i
φ∨ψ 1
φ
¬i
∨e
φ→ψ
→e
ψ
→i
φ hyp.
..
.
⊥f in hyp.
¬φ
ψ2 hyp.
..
.
ψ1 ∨ ψ2 φ f in hyp. φ f in hyp.
φ
φ
ψ f in hyp.
φ→ψ
¬
⊥
ψ
∨i
φ∨ψ 2
ψ1 hyp.
..
.
φ hyp.
..
.
→
φ∧ψ
∧e2
ψ
φ∧ψ
∧e1
φ
φ ψ
∧i
φ∧ψ
∧
∨
elimination
¬φ
¬e
⊥
⊥
⊥e
φ
(no introduction rule for ⊥)
¬¬φ
¬¬e
φ
¬¬
Règles dérivées :
φ ∨ ¬φ
LEM
φ → ψ ¬ψ
MT
¬φ
φ
¬¬i
¬¬φ
3
¬φ hyp.
..
.
⊥ f in hyp.
φ
RAA