Systèmes de Déduction

Systèmes de Deduction Info-F302
Séance 2
(version de l’énoncé avec des changements/corrections)
Exercice 1 Montrez que pour chaque formule ψde la logique propositionnelle il existe
une formule propositionnelle ψ→de la logique propositionnelle telle que ψ→≡ψet que
ψ→contient seulement l’implication →comme opérateur logique, ⊥, et des propositions
atomiques.
Un système de deduction est donné par un ensemble des axioms et un ensemble fini des
règles de déduction. Le système de déduction style Hilbert-KSP sera donné par des
schemas des axioms K, S et P suivants (Aet Bsont des formules propositionnelles quel-
conques qui seulement utilisent →,⊥et des propositions atomiques) :
– K : A→(B→A)
– S : (A→(B→C)) →((A→B)→(A→C))
– P : ((A→B)→A)→A(Peirce’s law)
et la règle de déduction :
A A →B
BMP
On introduise des déductions dans ce système en analogie avec le cours et utilisera `KSP pour
noter des séquents conformes.
Exercice 2 Comparez le système Hilbert-KSP avec le système de la déduction naturelle
(nombre des règles, axioms, longueur des preuves,. . .).
Exercice 3 Supposant les propositions atomiques sont {int, string, f loat}, montrez que le
système Hilbert-KSP permet de déduire les postulats suivants :
(i) `KSP int →int →int
(ii) `KSP ((string →int)→string)→string
(iii) `KSP string →string (astuce : commencez avec “A→((B→A)→A)”)
Exercice supplémentaire Interprétons une formule int →string comme une fonction quel-
conque avec la domaine int (type integer) et la codomaine string (type string). Une formule
A→(B→C)est interprété comme une fonction quelconque qui associé un element du type
Aa une autre fonction du type Bvers le type C(fonctions d’ordre supérieur). Comment on
pouvait maintenant “interpreter” les axioms K et S ? La règle MP correspond à quoi ?
Notez que des systèmes de déduction similaires à celui ci-dessus jouent un rôle très important
pour la fondation des langages de programmation fonctionnelles (ML, Haskell,. . .).
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Exercice 4 A l’aide des règles de la déduction naturelle, montrer les postulats suivants :
(i) (p∧q)∧r, s ∧t`q∧s(∗)
(ii) q→(p→r),¬r, q ` ¬p(∗)
(iii) `p→p(∗)
(iv) `p→(q→p) (∗)
(v) `(p∧q)→p(∗)
(vi) p`(p→q)→q(∗)
(vii) (p→r)∧(q→r)`(p∧q)→r
(viii) q→r`(p→q)→(p→r)
(ix) p→(q∧r)`(p→q)∧(p→r)
(x) p→(q∨r), q →s, r →s`p→s
(xi) (p∧q)∨(p∧r)`p∧(q∨r)
(xii) ¬(p∧q)` ¬p∨ ¬q(∗)
(xiii) p∨q, ¬q∨r`p∨r
(xiv) ¬p∨ ¬q` ¬(p∧q) (∗)
(xv) `((p→q)→p)→p(∗)
Exercice 5 Montrez que φ1, . . . , φn`KSP ψimplique φ1, . . . , φn`ψpour toutes formules
propositionnelles φ1, . . . , φn, ψ.
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A. Règles de Déduction Naturelle
introduction elimination
∧φ ψ
φ∧ψ∧i
φ∧ψ
φ∧e1
φ∧ψ
ψ∧e2
∨φ
φ∨ψ∨i1
ψ
φ∨ψ∨i2
ψ1hyp. ψ2hyp.
.
.
..
.
.
ψ1∨ψ2φ fin hyp. φ f in hyp. ∨e
φ
→
φ hyp.
.
.
.
ψ f in hyp. →i
φ→ψ
φ φ →ψ
ψ→e
¬
φ hyp.
.
.
.
⊥fin hyp. ¬i
¬φ
φ¬φ
⊥¬e
⊥(no introduction rule for ⊥)⊥
φ⊥e
¬¬ ¬¬φ
φ¬¬e
Règles dérivées :
φ∨ ¬φLEM φ→ψ¬ψ ¬φMT φ ¬¬φ¬¬i
¬φ hyp.
.
.
.
⊥fin hyp. RAA
φ
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