Sujet 2014-15

Cours d’optique de Fourier avancée 2ème année IOGS / M2 OIV, décembre 2014 Examen : restitution d’un hologramme numérique à porteuse inclinée Le but de ce petit problème est de restituer un hologramme numérique, enregistré (au Laboratoire Hubert Curien) sur un capteur CCD. L’idée est très voisine de celle développée dans la séance de TD n°3, mais cette fois‐ci il s’agit d’un hologramme hors axe, correspondant exactement à celui décrit dans le cours du 5 décembre. Les devoirs achevés seront adressés par voie électronique à [email protected], qui répondra sous 24 heures à toute question portant dans l’intitulé du message « question sur l’examen ». Date limite : lundi 19 janvier au soir. Il est recommandé de rendre son travail sous forme de compte‐rendu Matlab. On pourra utiliser toutes les fonctions Matlab introduites lors des séances de TD. On rappelle que l’aide détaillée sur les fonctions à utiliser est fournie par la commande Matlab help fonction. 1) Expression de l’hologramme. L’hologramme fourni (fichier USAF_holo.tiff) a été obtenu en faisant interférer une onde objet et une onde porteuse sur une matrice de photodiodes. La figure 1 fournit un schéma complet du montage (HWP : lames demi‐ondes règlant la quantité de lumière sur les deux voies et assurant que les deux ondes interférant au niveau du capteur sont de même polarisation ; PBS : cube séparateur de polarisation ; BS : cube séparateur sans effet notable sur la polarisation). Ce montage à cubes séparateurs permet d’assurer la superposition sur le capteur de l’onde porteuse et de l’onde objet et le réglage aisé de l’angle de l’onde porteuse par rapport à l’axe du système d’imagerie qui porte l’onde objet. Figure 1. Schéma d’ensemble. L’onde porteuse et l’onde objet sont monochromatiques, cohérentes, issues d’un même laser de longueur d’onde dans le vide   532 nm . 
Au niveau du capteur, les deux seules ondes qui interviennent (voir figure 2) sont l’onde porteuse, plane, dessinée en brun, Sujet de contrôle des connaissances Optique de Fourier avancée 2014‐2015, page 1. 
l’onde objet, issue d’un objet secondaire plan qui est en fait l’image agrandie par l’objectif de microscope de l’objet de la figure 1, dessinée en vert. L’éclairage est tel que cet objet secondaire est éclairé en onde plane : l’onde objet est simplement une onde plane modulée par l’objet secondaire « holographié ». Cet objet secondaire est situé dans un plan  parallèle au plan objet et situé à la (faible) distance d de ce dernier. On notera Ao t  x, y  l’onde objet à la sortie de l’objet secondaire. Ao est une amplitude complexe telle que la fonction t  x, y  soit, mises à part la diffraction et les éventuelles aberrations de l’objectif de microscope, une version agrandie de la transmittance en amplitude complexe de l’objet. On appellera  le grandissement de cette image. Onde porteuse d
z Onde objet Plan Π : objet secondaire = image de l’objet Figure 2. Ondes objet et porteuse au niveau du capteur. Le vecteur unitaire de l’onde porteuse fait un angle  par rapport à la normale au plan  . On écrira son vecteur d’onde sous la forme k  k sin  ,0, k cos   , avec k 
2

ce qui définit le système d’axes à utiliser. Ecrire l’éclairement E  x, y  reçu par la matrice de photodiodes en suivant le même raisonnement que dans le cours du 5 décembre (équation 6.2). La matrice comporte L lignes et C colonnes de photodiodes. Le pas en x et en y des photodiodes est p  4, 4  m . Exprimer l’éclairement Eij reçu par le pixel  i , j  en son centre (ce n’est qu’une réécriture de l’expression précédente pour tenir compte de l’échantillonnage ; on a le choix de l’origine des numéros de pixels). 2) Principe de la restitution Après numérisation, le flux détecté par chaque pixel est M ij . On considérera dans cette question qu’il est proportionnel à Eij , la proportionnalité tenant compte du rendement de conversion Sujet de contrôle des connaissances Optique de Fourier avancée 2014‐2015, page 2. photoélectronique de la matrice et du temps de pose. On considérera que la saturation n’a été atteinte en aucun pixel. Exprimer la transformée de Fourier de E  x, y  et montrer à partir du résultat de la question 1 qu’elle contient trois termes principaux séparés spatialement, dans l’espace de Fourier, d’une quantité que l’on précisera en fonction des paramètres  et  . Où dans l’espace de Fourier se situe le quatrième terme, parasite ? Expliquer en rédigeant quelques phrases pourquoi la restitution de l’onde objet enregistrée telle qu’elle se présente sur l’hologramme consiste à isoler le terme utile par une fenêtre dans le plan de Fourier, à le centrer dans le plan de Fourier et à calculer la transformée inverse. Comment peut‐
on ensuite restituer l’onde objet dans son propre plan et non pas dans celui de l’hologramme ? Connaissant les valeurs de  et du pas p des pixels, exprimer  (on pourra discuter de la précision avec laquelle cette valeur est accessible). 3) Restitution numérique a) Sélectionner dans l’image fournie, qui est l’hologramme USAF_holo.tiff, une sous‐image carrée de côté 1024 lignes. À partir d’ici, on a donc L  C  1024 . Restituer ensuite l’hologramme, en suivant ces 4 étapes b)
c)
d)
e)
Transformée de Fourier de l’hologramme Filtrage de l’ordre +1, suivie de sa translation au centre du plan de Fourier Transformée de Fourier inverse pour trouver l’expression de l’onde objet Remise au point par propagation (par propagation suivant la méthode du spectre angulaire). L’ordre de grandeur de la distance de propagation est d’environ – 1 mm. Pour chaque étape commenter le résultat intermédiaire obtenu. 4) Questions subsidiaires hors barème : 

Estimer plus précisément la distance de propagation Calculer le grandissement  (on trouvera les caractéristiques de la mire USAF sur 
http://en.wikipedia.org/wiki/1951_USAF_resolution_test_chart) En fait, en plus des ondes prévues, un faisceau parasite s’est ajouté et enregistré sur l’hologramme. Identifiez‐le dans le plan de Fourier et analyser d’où il a pu provenir. Sujet de contrôle des connaissances Optique de Fourier avancée 2014‐2015, page 3.