MÉCANIQUE DES FLUIDES ( ), ( ), ( ) ( ) ( )

Spé ψ 2013-2014
Devoir n°4
MÉCANIQUE DES FLUIDES
Partie I
ÉTUDE D'UNE CANALISATION DOMESTIQUE D'AMENEE D'EAU.
On étudie un écoulement incompressible, laminaire et en régime permanent d'eau liquide dans un tube cylindrique d'axe horizontal Oz et de diamètre D. On note ρ sa masse volumique
et η sa viscosité dynamique, supposées constantes.
On néglige l'effet de la pesanteur. On rappelle que la densité volumique des forces de
viscosité s'écrit : f V = η∆v .
I-1-a) Quelle(s) hypothèse(s) nous conduit (conduisent) à chercher l'expression de
forme v = v ( r , z ) e z ?
sous la
b) Rappeler l'équation locale de conservation de la masse. En déduire que la vitesse
v ( r , z ) ne dépend pas de z. On la notera donc v ( r ) par la suite.
I-2) Par application de l'équation de Navier-Stokes :
∂v
ρ + ρ v ⋅ grad v = − grad ( P ) + µ g + η∆v :
∂t
a) Montrer que la pression P ne dépend pas de r,
(
b)
Montrer
que
la
)
fonction
v (r )
vérifie
l'équation
différentielle :
η d  dv ( r ) 
r
 = K , où K est une constante supposée connue.
r dr  dr 
c) En remarquant que v ( r ) reste finie et en précisant une autre condition aux limites,
déterminer l'expression de v ( r ) en fonction de K, ρ, r et D. Quel est le signe de K lorsque v > 0 ?
d) Déterminer l'expression du débit volumique, noté QV, en fonction de K, ρ et D.
e) À quelle distance r de l'axe la vitesse est-elle maximale ? En notant v0 cette vitesse
maximale, exprimer v0 en fonction de QV et D.
I-3) Le nombre de Reynolds est défini comme le quotient de deux termes de même dimension.
a) Comment se nomment ces deux termes ? Préciser l'expression du nombre de Reynolds en fonction de ρ, D, η et QV. On admettra que la vitesse caractéristique de l'écoulement
4Q
correspond à la vitesse moyenne U = V2 .
πD
b) Application numérique : évaluer le débit maximal QV,MAX et la valeur maximale
de v0 correspondante, notée v0,MAX, pour que l'écoulement de l'eau dans notre canalisation de diamètre D = 0,05 m reste laminaire. Conclure.
Partie II
ÉCOULEMENT DANS UN CANAL
On considère l'écoulement stationnaire, supposé incompressible, d'eau liquide assimilable à
un fluide parfait, dans un canal rectiligne de section rectangulaire. La base de ce canal se situe dans
le plan horizontal Oxy. Sa hauteur h = 50 cm est constante selon z.
II-1) Ce canal subit localement un brusque rétrécissement, sa largeur passe de L1 = 50cm à
L2 = 2L1/3 = 33cm.
La figure 1 représente les lignes de courant de l'écoulement, de part et d'autre du rétrécissement.
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B•
K•
y
J•
L1
•D
L2 = 2L1/3
A•
I•
x
•C
figure 1
a) Au vu de la figure 1, comparer v ( J ) , v ( K ) , v ( A) et v ( C ) .
b) La vitesse au point A, mesurée par un tube de Pitot est de 0,5 m⋅s–1. Déterminer le
débit volumique dans la canalisation. En déduire la vitesse v ( C ) .
II-2) Un tube de Pitot (figure 2), de diamètre d = 1 cm, est plongé dans le fluide en écoulement dont on veut évaluer la vitesse locale U. Il possède deux ouvertures. L'une, située au point M,
est parallèle à l'écoulement du fluide. L'autre, située au point N, est perpendiculaire à cet écoulement. Par construction du capteur, les points M et N ont quasiment la même altitude. Ces deux ouvertures sont reliées par un tube vertical contenant un autre fluide, statique, plus dense, de masse
volumique r0, de sorte qu'on puisse évaluer la différence de pression entre les points M et N, qui est
une image de la vitesse U à déterminer.
M
N
h
fluide dense de masse
volumique ρ0 > ρ
Écoulement
de vitesse U
fluide de masse volumique ρ
figure 2
a) Rappeler l'équation de Bernoulli en précisant bien ses hypothèses d'application.
b) Que peut-on dire de la vitesse au point M, notée v ( M ) ? En assimilant l'eau à un
fluide parfait, en déduire la vitesse U de l'écoulement en fonction de la masse volumique ρ et de la
différence de pression ∆P = P ( M ) − P ( N ) entre les points M et N.
c) Exprimer la différence de pression ∆P = P ( M ) − P ( N ) en fonction de h, ρ0, ρ et
g.
d) En déduire l'expression de la vitesse U en fonction de h, ρ0, ρ et g.
e) Calculer le nombre de Reynolds au niveau du tube de Pitot, situé à l'entrée du canal de largeur L1. Que pensez-vous de la validité de la mesure de la vitesse au point A ?
II-3) La largeur L du canal est maintenant supposée uniforme et la vitesse v uniforme et
constante sur toute une section droite du canal. À un instant donné, le canal est obturé à un endroit
par une paroi verticale. Une vague (appelé ressaut hydraulique) remonte alors le canal à la vitesse w
mesurée dans le référentiel terrestre.
w
v
S1
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h
(S)
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h’
S2
x
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La hauteur d’eau en amont du ressaut est h et la vitesse du courant est v. En aval du ressaut,
la hauteur d’eau est h’ constante et la vitesse du fluide est nulle.
On étudie dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, le système fermé (S) formé du fluide
contenu à l’instant t dans la surface délimitée par les sections (en pointillés sur le dessin) amont S1
et S2. On supposera que l’on peut encore calculer les forces de pression dues à la colonne d’eau
comprise entre S2 et la paroi. Pour simplifier, on supposera que le front de la vague est vertical.
III-1-a) En traduisant la conservation de la masse du système (S) entre les instant t et t + dt,
établir une relation entre v, w, h et h’.
b) Faire un dessin du système (S) à l’instant t et à l’instant t + dt. On pourra griser ou
hachurer le fluide déplacé. En déduire la variation de la composante horizontale de la quantité de
mouvement du système (S) pendant la durée dt. On montrera qu’elle s’écrit sous la forme
dp ( t )
= − ρLh × f1 ( v, w ) où f1 ( v, w ) est une fonction de v et w que l’on explicitera. On rappelle
dt
que la vitesse v du fluide est nulle entre le front de la vague et le mur.
III-2-a) La pression étant P0 sur la surface de l’eau en écoulement, calculer, en fonction de la
profondeur, la pression qui règne dans l’eau, en appliquant, en le justifiant rapidement, la relation
fondamentale de la statique des fluides.
b) Soit une paroi rectangulaire plongée verticalement dans l’eau, de largeur L et de
hauteur h. Calculer la résultante des forces de pression s’exerçant sur la face amont de cette paroi.
Exprimer le résultat en fonction de L, h, ρ, P0 et g. On pourra introduire un vecteur n normal à la
paroi que l’on exprimera en fonction du vecteur unitaire e x de l’axe (Ox).
c) Que vaut la résultante des forces de pression sur la section gauche S1 de (S) ?
Même question pour la section droite S2 de (S) et pour le front de vague qui est supposé vertical. En
déduire l’expression de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur (S), en fonction de ρ, g,
L, h et h’.
1
d) En déduire alors que h ( v + w ) v = g × f 2 ( h, h ' ) , où f2 est une fonction de h et h’
2
que l’on précisera.
e) Déduire des relations obtenues en 3.a et 3.f la célérité w de la vague en fonction de
g, h et h’.
Partie III
ECOULEMENT AUTOUR D’UN CYLINDRE
On place un cylindre de rayon R et d’axe ∆ perpendiculaire à l’écoulement du canal. Suffisamment loin du cylindre, la vitesse de l’écoulement est uniforme. Dans ce cas, on choisit une base
cartésienne telle que v = v0 e x (avec v0 > 0).
III-1) On admet que le potentiel des vitesses de l’écoulement, exprimée dans la base polaire
B

d’origine O sur l’axe ∆ telle que θ est l’angle e x , er , est ϕ(r , θ) =  Ar +  cos(θ) où A et B sont
r

des constantes. Il vérifie v = grad ( ϕ ) .
a) Établir l’expression des composantes vr ( r , θ ) et vθ ( r , θ ) de v dans la base polaire considérée. En déduire l’équation des lignes de courant.
b) En étudiant les conditions aux limites de v , exprimer A et B à l’aide de v0 et R.
III-2) Le cylindre est mis en rotation autour de son axe ∆, correspondant à l’axe Oz.
a) On montre que dans la base polaire indiquée, le potentiel des vitesses devient

R2 
Γθ
ϕ ( r , θ ) = v0  r +
où Γ est une constante. Déterminer les composantes de la vitesse
 cos ( θ ) +
r 
2π

du fluide en un point quelconque du cylindre.
(
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()
b) Calculer div v . Conclure.
III-3) On note P0 la pression qui règne dans le fluide en un point très éloigné du cylindre. On
néglige les effets de la pesanteur.
a) Déterminer la pression exercée par le fluide en un point quelconque du cylindre.
b) En déduire la résultante des forces de pression exercée par le fluide sur le cylindre.
Conclure
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
Formulaire
rot rot A = grad div A − ∆ A
DANS LA BASE CYLINDRIQUE er , eθ , e z
( ( ))
( ( ))
(
)
∂f ( r , θ, z ) 1 ∂f ( r , θ, z ) ∂f ( r , θ, z ) grad ( f ) =
er +
eθ +
eZ
∂r
r
∂θ
∂z
1 ∂ ( rAr ( r , θ, z ) ) 1 ∂Aθ ( r , θ, z ) ∂Az ( r , θ, z )
div A =
+
+
r
∂r
r
∂θ
∂z
1  ∂A ∂ ( rAθ )   ∂A ∂A  1  ∂ ( rAθ ) ∂A
r
rot A =  z −
− z  eθ + 
− r
 er + 
r  ∂θ
∂z 
∂r 
r  ∂r
∂θ
 ∂z
( )
( )
∆f =

 ez

2
2
1 ∂  ∂f ( r , θ, z )  1 ∂ f ( r , θ, z ) ∂ f ( r , θ, z )
r
+
+

 2
r ∂r 
∂r
∂θ2
∂z 2
 r

∂A ( r , θ, z )   
∂Ar ( r , θ, z )   1
1
e
A
A
r
,
,
z
2
e
A
e
∆ A =  ∆Ar − 2  Ar ( r , θ, z ) + 2 θ
+
∆
−
θ
−
+
∆
r
θ
z
(
)
[
]




 θ

θ
z
r 
∂θ
r2 
∂θ

 
 

Données numériques et constantes physiques.
Masse volumique de l'eau liquide : 103 kg⋅m–3.
Viscosité de l'eau liquide : 1,7×10–3 Pa⋅s.
Quelques ordres de grandeurs :
Valeur critique du nombre de Reynolds : 2300.
Débit maximal d'une canalisation domestique : 5 m3⋅h–1.
Débit usuel d'une canalisation domestique : 200 L⋅h–1.
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