Devoir à la Maison n°6 Elasticité de la fibre de verre

DM 6 Signal. Oscillateurs Pour le lundi 6 janvier 2014
TSI 1 Lycée Louis Vincent Metz
Devoir à la Maison n°6
Elasticité de la fibre de verre
Le verre est un matériau très dur. On peut toutefois le déformer légèrement sans le casser : on parle
d’élasticité. Récemment, des expériences de biophysique ont été menées pour étudier l’ADN. Le
capteur utilisé était simplement une fibre optique en silice amincie à l’extrémité de laquelle on
accroche un brin d’ADN. L’expérience consistait à suivre la déformation de flexion de la fibre.
La masse volumique du verre est ρ = 2500 kg.m-3.
La fibre de verre de longueur l et de diamètre d est encastrée horizontalement dans une paroi
immobile. Au repos, la fibre est horizontale (on néglige son poids). Quand on applique une force
verticale F (on supposera que la force F reste verticale tout au long de l’expérience) à l’extrémité
libre de la fibre, celle-ci est déformée. L’extrémité est déplacée verticalement d’une distance Y que
l’on appelle la flèche (figure 9).
Figure 1 : Déformation d’une fibre de verre
La flèche Y est donnée par la relation suivante (on notera la présence du facteur numérique 7, sans
dimension, qui est en fait une valeur approchée pour plus de simplicité) :
Y=7l3F
Ed 4
où E est le
module d’Young du verre. Pour les applications numériques on prendra pour le module d’Young
E=7.1012SI.
Modélisation du système :
1. Donner, en justifiant, l’unité SI du module d’Young E ?
2. En considérant uniquement la force F, montrer que F se met sous la forme F=kY où k est une
constante dont on donnera l’expression analytique en fonction de E, d et l . A quel système
mécanique la fibre est elle équivalente ? Quelle serait la longueur à vide de ce système ?
3. Calculer numériquement k pour une fibre de longueur l = 7 mm et de diamètre d = 10 µm.
Etude énergétique :
4. Rappeler l’expression de l’énergie potentielle élastique d’un ressort de longueur à vide l0, de
constante de raideur k, lorsque sa longueur est l(t). En reprenant l’analogie du ressort, montrer
que l’énergie potentielle élastique de la fibre de verre peut s’écrire :
Ep=1
2
Ed 4
7l3Y2
On admet que lors des vibrations de la fibre, l’énergie cinétique de la fibre de verre est donnée par
l’expression :
EC= ρ ld2Vy
2
où VY est la vitesse de l’extrémité de la fibre.
5. Ecrire l’expression de l’énergie mécanique de la fibre.

DM 6 Signal. Oscillateurs Pour le lundi 6 janvier 2014
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On écarte l’extrémité de la tige de verre de sa position d’équilibre. Lorsque Y = Y0 , on lâche la tige
sans lui communiquer de vitesse initiale.
6. Sachant que l’énergie mécanique se conserve, déterminer l’expression de la vitesse maximale de
l’extrémité de la fibre. Effectuer l’application numérique pour une fibre de verre de longueur 7
mm et diamètre 10 µm avec Y0 = 1 mm
Etude dynamique :
On a tous fait l’expérience suivante : faire vibrer une règle ou une tige sur le bord d’une table
lorsque une de ses extrémités est bloquée. On cherche ici à chercher les grandeurs pertinentes qui
fixent la fréquence des vibrations. L’extrémité de la tige vaut Y(t) à l’instant t.
L’étude mécanique du système permet de montrer que l’équation différentielle régissant l’évolution
de Y(t) se met sous la forme :
2 ρ ld 2d2Y
dt2+Ed 4 7l3Y=0
7. Cette équation est-elle harmonique ? Si oui, la mettre sous forme canonique. On précisera
l’expression de la pulsation propre ω0 ainsi que de la position à l’équilibre.
8. En déduire l’expression de la fréquence propre de vibration d’une tige de verre de module
d’Young E, de longueur l et de diamètre d.
9. Comment varie la fréquence en fonction de la longueur l.
10. Calculer numériquement la fréquence des vibrations d’une fibre de verre de longueur 7 mm et
diamètre 10 µm.
11. Contrairement à la fibre, les oscillations d’une règle en plastique s’atténuent rapidement.
Proposer une explication.
Circuit RLC
Un circuit électrique est composé d'une résistance R, d'une bobine
d'inductance pure L et d'un condensateur de capacité C. Ces
dipôles sont disposés en série et on soumet le circuit à un échelon
de tension U(t) de hauteur E tel que
0 pour t < 0,
U(t) = E pour t > 0
⎧
⎨
⎩
On pose
2
R
L
γ =
et
0
1
LC
ω =
1. Expliquer simplement pourquoi à
t = 0−
, la tension uC et le courant i sont nuls.
2. Préciser, en les justifiant soigneusement, les valeurs initiales de uC(0+) et de
duC
dt
0+
( )
.
3. En utilisant un circuit équivalent, déterminer les valeurs de i et uC à la fin du régime transitoire.
4. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension uC(t) aux bornes du condensateur pour t >
0.
5. Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme :
uC+
ω
0
Q
uC+ ω
0
2uC=
ω
0
2E
où Q est le
facteur de qualité dont on donnera l’expression en fonction de R, L et C.
6. Le circuit présente différents régimes suivant les valeurs de Q. Donner le nom de ces régimes
ainsi que les valeurs de Q associées.
On suppose, dans la suite, la condition
ω
0=10.
γ
réalisée.
7. Déterminer la valeur du facteur de qualité. Dans quel régime évolue le système ?
8. Tracer l’allure de la courbe uC(t) (On cherchera à respecter au mieux le nombre d’oscillations, la
valeur finale, etc …).
9. En utilisant SCILAB, tracer la courbe de uC(t) en choisissant ω0 = 10 rad/s et E = 5V.