Calcul de valeurs propres - IA

- p. 1/51
Calcul de valeurs propres
VIET HUNG NGUYEN - FABIEN RICO
[email protected]
EPU Pierre et Marie Curie - Science de la Terre
Introduction
Décomposition QR
Rappel
Exemple
Intéret
Le problème
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
Introduction - p. 2/51
Introduction
Introduction
Décomposition QR
Rappel
Exemple
Intéret
Le problème
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 3/51
Décomposition QR
Il existe différents moyens de décomposer une matrice quelconque.
L’une des plus utilisée est la décomposition QR.
Théorème Soit Aune matrice quelconque de Mn,m(C).
∃Q∈ Mm,m une matrice orthogonale,
∃R∈ Mn,m(C)une matrice triangulaire supérieure telles que
A=QR
■On peut utiliser cette décomposition pour résoudre le système
linéaire
Ax =b⇔QRx =b⇔Rx =tQb
■An’est pas forcement carrée (système surdéterminé).
■La décomposition n’est pas unique.
Introduction
Décomposition QR
Rappel
Exemple
Intéret
Le problème
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 4/51
Rappel
Définition (Matrice orthogonales) On appelle matrice
orthogonale une matrice dont les colonnes sont orthonormées.
C’est à dire les matrices Otelles que :
tOO =I
■Les matrices orthogonales sont les matrices de changement de
bases orthogonales.
■Si Oest orthogonale, det(O) = ±1.
■Elles ne changent pas la norme associée au produit scalaire :
∀u∈IRm
kOuk=kuk
■Le produit de deux matrices orthogonales est une matrice
orthogonale :
t(OO′)OO′=tO′tOOO′=I
Introduction
Décomposition QR
Rappel
Exemple
Intéret
Le problème
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 5/51
Exemple
Par exemple :
■Matrices de rotation,
A= cos θ−sin(θ)
sin θcos(θ)!
■Matrices de permutation,
A=
0 1 0
0 0 1
1 0 0
■Matrices de symétrie.
Introduction
Décomposition QR
Rappel
Exemple
Intéret
Le problème
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 6/51
Intéret
Comme la décomposition LU, cette décomposition transforme une
matrice quelconque en produit de matrices plus simples.
A=QR
■Une matrice orthogonale est facile à inverser (tQ=Q−1).
⇒cela peut être utilisé pour la résolution d’équations linéaires :
au lieu de résoudre Ax =b, on résout Rx =tQb
■Cela fonctionne pour les matrices rectangulaires
⇒résolution d’équations linéaires surdéterminés (avec plus
d’équations que d’inconnues)
■Les matrices orthogonales ont de bonnes propriétés :
◆le déterminant de Aest égale à celui de R;
◆multiplier par une matrice orthogonale ne change pas la norme
(Problème des moindres carrés);
◆le conditionnement de Aest égale à celui de R.
■Cette décomposition est aussi utilisée pour le calcul des valeurs
propres d’une matrice (voir cours).
■...
Introduction
Décomposition QR
Rappel
Exemple
Intéret
Le problème
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 7/51
Le problème
On dispose d’une matrice Aque l’on veut décomposer en Q
orthogonale et Rtriangulaire supérieure :
A=
Q
R
■Le problème est le même que de trouver Horthogonale telle
que :
HA =R
car Q=tH
■On procède par étapes comme pour le pivot de GAUSS
Introduction
Décomposition QR
Étape de la décomposition
Symétries
Transformation de
HOUSEHOLDER
Comment trouver u
Première itération
Itérations suivantes
Algorithme
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
Décomposition QR - p. 8/51
Décomposition QR

Introduction
Décomposition QR
Étape de la décomposition
Symétries
Transformation de
HOUSEHOLDER
Comment trouver u
Première itération
Itérations suivantes
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Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 9/51
Étape de la décomposition
■On procède de la même façon que le pivot de GAUSS
Hn−1. . . H2H1A=
.
rij
■Mais les matrices Hisont des matrices orthogonales, donc
H−1
i=tHi
■Alors :
A=t(Hn−1. . . H1)R
Q=tH1tH2...tHn−1
Introduction
Décomposition QR
Étape de la décomposition
Symétries
Transformation de
HOUSEHOLDER
Comment trouver u
Première itération
Itérations suivantes
Algorithme
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Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 10/51
Symétries
■Soit a1,a2,..., anles
vecteurs formés par les
colonnes de A.
■La matrice H1doit
envoyer le vecteur a1sur
le premier vecteur de la
base canonique : e1
■Pour cela on utilise la
symétrie par le plan qui
passe entre ces deux
vecteurs.
x
y
z
a1
e1
+
Introduction
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Étape de la décomposition
Symétries
Transformation de
HOUSEHOLDER
Comment trouver u
Première itération
Itérations suivantes
Algorithme
Introduction
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Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 11/51
Transformation de HOUSEHOLDER
A quoi ressemble une matrice de symétrie?
Définition (Matrice de HOUSEHOLDER)On appelle matrice de
HOUSEHOLDER, une matrice de la forme :
H=I−2utu, où u∈IRnavec kuk= 1
Toute matrice de HOUSEHOLDER est symétrique et orthogonale.
La matrice de HOUSEHOLDER est la matrice de la symétrie par
rapport à l’hyperplan perpendiculaire à u.
Introduction
Décomposition QR
Étape de la décomposition
Symétries
Transformation de
HOUSEHOLDER
Comment trouver u
Première itération
Itérations suivantes
Algorithme
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Algorithme de la puissance
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Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 12/51
Comment trouver u
x
y
z
a1
e1H1a1
v
■La symétrie conserve la norme, donc H1(a1) = ka1ke1
■Soit α=ka1k, et v=a1−αe1,vest perpendiculaire au plan de
symétrie.
■On peut choisir u=1
kvkv
Introduction
Décomposition QR
Étape de la décomposition
Symétries
Transformation de
HOUSEHOLDER
Comment trouver u
Première itération
Itérations suivantes
Algorithme
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Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 13/51
Première itération
Pour une étape,
■On pose α=ka1ket v=a−αe1
■kvk2=t(a−αe1)(a−αe1)
= (ta−αte1)(a−αe1)
=taa −αte1a−αtae1+α2te1e1
= 2α2−2αtae1
■En posant β=α2−αtae1=kvk2
2
H1=I−2
kvk2vtv
=I−1
βvtv
Alors, on pose A2=H1A
- p. 14/51
Itérations suivantes
Pour continuer le processus,
■On considère la matrice réduite ˜
A2qui est obtenue en supprimant la
première ligne et la première colonne de A2.
■Alors, on peut appliquer le même processus pour trouver H2qui envoie la
première colonne de ˜ A2sur e2
■On recommence avec ˜
A2,A3... jusqu’à obtenir R=An.
...
hn−1
1
1
...
h2
1 0 ... 0
0
.
.
.
0
I−1
β1v1tv1A=
.
rij
- p. 15/51
Algorithme
Donn´ ees :A
d´ ebut
H←I
pour k=1,..., n-1 faire
α←v
u
u
t
m
X
i=k
A2
ik
β←α2−αAkk
// construction du vecteur v
vk←Akk −α
pour i=k+1,..., m faire
vi←Aik
pour j=k,..., n faire
// Construction de Ak+1
c←1
β
m
X
i=k
viAij
pour i=k,..., m faire
Aij ←Aij −cvi
pour j=1,..., m faire
// Construction de H=Hk···H2H1
c←1
β
m
X
i=k
viHij
pour i=k,..., m faire
Hij ←Hij −cvi
Q←tH
fin
retourner Q, R = A
Introduction
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Introduction
Le problème
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Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
Introduction - p. 16/51
Introduction

Introduction
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Le problème
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itérée
Méthode de déflation
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inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 17/51
Le problème
Soit une matrice A, répondant à certaines conditions par exemple :
■Aest symétrique, hermitienne
■Aest diagonalisable
■Les valeurs propres de Asont toutes différentes
On cherche à obtenir les valeurs propres et les vecteurs propres de
A.
■Méthodes basées sur le polynôme caractéristique
■Méthodes basées sur les matrices semblables
■Méthodes itératives
Les méthodes itératives sont basées sur une suite de vecteurs
(xk)k∈IN qui tendent vers un vecteur propre.
Comment construire cette suite?
Introduction
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Principe
Principe (suite)
Algorithme
Vitesse de Convergence
Vitesse de convergence
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
Algorithme de la puissance itérée - p. 18/51
Algorithme de la puissance itérée
- p. 19/51
1234−1−2−3−4
1
−1
matrice A= 1,36 0,56
0.14 0.94 !dont les vecteurs propres sont :
■ 4
1!de valeur propre 1,5
■ −1
1!de valeur propre 0,8
- p. 20/51
Principe
Soit la matrice A∈ Mn,n(IR) dont on cherche les valeurs propres,
■supposons que Apossède nvaleurs propres de modules différents
λ1, λ2,...,λntelles que |λ1|<|λ2|<···<|λn|
et soient −→ u1,−→ u2,...,−→ unles vecteurs propres associés
■Alors, si −→
x0est un vecteur quelconque,
−→
x0=a1−→
u1+a2−→
u2+···+an−→
un
■Supposons que an6= 0, on calcule la suite −−→
xk+1 =A−→ xk
c’est à dire −→
xk=Ak−→
x0
−→
xk=λk
1a1−→
u1+λk
2a2−→
u2+···+λk
nan−→
un
−→
xk=λk
nλ1
λnk
a1−→ u1+···+λn−1
λnk
an−1−−−→ un−1+an−→ un
Or si i6=n,λi
λnk
→0donc le terme prépondérant devient λk
nan−→
un
Introduction
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Principe
Principe (suite)
Algorithme
Vitesse de Convergence
Vitesse de convergence
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 21/51
Principe (suite)
Au bout d’un «certain nombre » d’itérations :
■La plus grande valeur propre est |λn| ≃ k−−−→
xk+1 k
k−→
xkk
■Le vecteur propre associé est −→
un≃−→ xk
En pratique :
■Si λnest grand, il peut y avoir dépassement de capacité
⇒On normalise la suite
−→
bk=−→
xk
k−→ xkket −−→
xk+1 =A−→ bk
■On cherche à obtenir λn, pour cela on utilise le produit scalaire :
t−→
bk−−→ xk+1 =t−→ bkA−→ bk
≃λnt−→
bk−→
bk
≃λnsi les −→ bksont normalisés
Introduction
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Principe
Principe (suite)
Algorithme
Vitesse de Convergence
Vitesse de convergence
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 22/51
Algorithme
Donn´ ees :A,−→ x0et ε
d´ ebut
−→
x←−→ x0
λanc ←1;λ←0
tant que |λ−λanc|> ε faire
λanc ←λ
−→
b←−→
x
k−→
xk
−→
x←A−→ b
λ←t−→ b−→ x
retourner λ,b
fin
■On peut ajouter un test de convergence sur le vecteur pour
obtenir un vecteur propre.
■Ici, on utilise la norme euclidienne k−→
xk=√t−→ x−→ xpour utiliser
une autre norme, il faut changer le calcul de λ:λ←
t−→
b−→ x
t−→
b−→ b
- p. 23/51
Vitesse de Convergence
■supposons que Apossède nvaleurs propres de modules différents
λ1, λ2,...,λntelles que |λ1|<|λ2|<···<|λn|
et soient −→ u1,−→ u2,...,−→ unles vecteurs propres associés
−→
x0=a1−→ u1+a2−→ u2+···+an−→ un
En normalisant,
−→
bk=λk
n
kAk−→ x0kλk
1
λk
n
a1−→ u1+···+λk
n−1
λk
n
an−1−−−→ un−1+an−→ un
=λk
n
kAk−→ x0kan−→
un+λk
n
kAk−→ x0kλk
1
λk
n
a1−→ u1+···+λk
n−1
λk
n
an−1−−−→ un−1
Le terme d’erreur le plus important est λn−1
λnk
an−−−→ un−1
- p. 24/51
Vitesse de convergence
Par définition, |λn|k
kAk−→
x0kest borné car −→
bkest de norme 1. Donc il existe Ctel
que :
−→
bk−λk
n
kAk−→ x0kan−→
un
≤C
λk
1
λk
n
a1−→ u1+···+λk
n−1
λk
n
an−1−−−→ un−1
≤C|λn−1|k
|λn|k(ka1−→
u1k+ka2−→ u2k+kan−1−−−→ un−1k)
La convergence dépend donc du rapport entre la plus grande et la deuxième
plus grande valeur propre :
|λn−1|
|λn|
⇒Si les valeurs propres sont très proches, la convergence sera lente

Introduction
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de déflation
Méthode de déflation (suite)
Utilisation de la méthode
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
Méthode de déflation - p. 25/51
Méthode de déflation
- p. 26/51
Méthode de déflation
Comment faire pour trouver la deuxième plus grande valeur propre?
Idée : trouver une matrice qui a pour valeurs propres λ1,...,λn−1et 0
Soient −→ u1,...,−→ unles vecteurs propres de A, ils forment une base de IRn. Il
existe alors une base duale −→
v1,···,−→ vntelle que
∀i, j t−→
vi−→ uj=δij
Rappel : δij = 0 si i6=j,δii = 1
Alors soit
B=A−λn−→
unt−→
vn
∀i∈ {1,2,...,n}B(−→
ui) = A−→ ui−λn−→
un(t−→
vn−→ ui)
=λi−→ ui−λnδin−→ un
=(0si i=n
λi−→ uisi i6=n
Donc B a pour valeurs propres λ1,...,λn−1et 0et les mêmes vecteurs
propres que A.
Introduction
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de déflation
Méthode de déflation (suite)
Utilisation de la méthode
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 27/51
Méthode de déflation (suite)
En appliquant la méthode de la puissance itérée à B, on obtient
λn−1et −−−→ un−1
Connaissant λnet −→ unet A, comment trouver le vecteur de la base
duale −→
vn?
■Si Aest symétrique, les vecteur propres sont orthogonaux donc
−→
vn=−→
un
t
−→
un−→
un.
■Sinon, considérons tA,
◆Elle a les mêmes valeurs propres que A.
◆Soit −→
vle vecteur propre associé à λn,
t−→
v A−→ ui= (t−→
v A)−→ ui=λnt−→
v−→ ui
=t−→ v(A−→ ui) = λit−→
v−→ ui
Donc si i6=n,t−→ v−→ ui= 0, la base duale est celle des vecteurs
propres de tA.
Pour construire la matrice de déflation, il suffit donc de trouver
un vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de tA.
Introduction
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de déflation
Méthode de déflation (suite)
Utilisation de la méthode
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 28/51
Utilisation de la méthode
■La méthode de déflation permet de trouver toutes les valeurs
propres de la matrice
◆Sans les connaître
◆En obtenant des vecteurs propres
■Il y a accumulation de l’erreur
◆La méthode de la puissance donne une approximation de la
plus grande valeur propre et du vecteur propre.
◆La matrice Butilisée n’est pas exactement la bonne.
◆Il y a dégradation du résultat.
Introduction
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Algorithme de la puissance
inverse
Algorithme
Méthode de décalage
Exemple d’utilisation
Méthode de décalage (fin)
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
Méthode de la puissance inverse - p. 29/51
Méthode de la puissance inverse
- p. 30/51
Algorithme de la puissance inverse
Que faire si on recherche la valeur propre de plus petit module?
Rq : Les valeurs propres de A−1sont les inverses des valeurs propres de A
Si Aest inversible, on applique l’algorithme de la puissance itérée à A−1:
■On effectue la décomposition P LU de A:P A =LU
■soit −→
b0le vecteur de départ,
■On construit les suites −→
bket λk:
◆On résout le système LU −→
xk+1 =P−→ bk
◆On pose :
−→
bk=−→
xk
k−→ xkket λk=1
t−→
xk+1−→
bk
■On s’arrête quand |λk+1 −λk|< ε
La suite λkconverge vers l’inverse de la plus grande valeur propre de A−1
donc vers la valeur propre de Ade plus petit module.
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Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Algorithme de la puissance
inverse
Algorithme
Méthode de décalage
Exemple d’utilisation
Méthode de décalage (fin)
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 31/51
Algorithme
Donn´ ees :A,P, L, U tels que P A =LU,−→ x0et ε
d´ ebut
−→
x←−→ x0
λanc ←1
λ←0
tant que |λ−λanc|> ε faire
λanc ←λ
−→
b←−→
x
k−→
xk
résoudre LU−→ x=P−→ b
λ←1
t
−→
x−→ b
retourner λet −→ b
fin
Introduction
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Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Algorithme de la puissance
inverse
Algorithme
Méthode de décalage
Exemple d’utilisation
Méthode de décalage (fin)
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 32/51
Méthode de décalage
Quelles sont les valeurs propres de la matrice A−αI ? Si λiest
valeur propre de Ade vecteur propre −→ ui,
(A−αI)−→ ui=A−→ ui−α−→ ui
=λi−→ ui−α−→ ui
= (λi−α)−→ ui
Que se passe-t-il si on applique à la matrice A−αI
■la méthode de la puissance itérée?
◆On obtient la valeur propre λk−αde module maximum.
◆Cela permet d’accélérer le calcul d’une valeur propre.
■la méthode de la puissance inverse?
◆Cela permet d’obtenir la valeur propre λk−αde module
minimum
◆C’est la valeur propre la plus proche de α
⇒C’est un moyen d’améliorer le calcul d’une valeur propre et
d’obtenir un vecteur propre correspondant à cette valeur

Introduction
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Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Algorithme de la puissance
inverse
Algorithme
Méthode de décalage
Exemple d’utilisation
Méthode de décalage (fin)
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 33/51
Exemple d’utilisation
Supposons qu’un premier calcul est fourni une approximation d’une
valeur propre : α.
Donn´ ees :A,α,−→ x0et ε
d´ ebut
−→
x←−→ x0
λanc ←0
λ←α
tant que |λ−λanc|> ε faire
λanc ←λ
−→
b←−→
x
k−→
xk
résoudre (A−αI)−→ x=−→ b
λ←1
t
−→
x−→ b
retourner λet −→ b
fin
Cet algorithme améliore l’approximation et permet de calculer un
vecteur propre associé à la valeur propre.
Introduction
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Algorithme de la puissance
inverse
Algorithme
Méthode de décalage
Exemple d’utilisation
Méthode de décalage (fin)
Conditions de convergence
Matrices semblables
Conclusion
- p. 34/51
Méthode de décalage (fin)
Cette méthode permet
■de calculer un vecteur propre correspondant à une valeur propre
connue approximativement
■d’améliorer la précision de la valeur propre.
■Avantages :
◆Convergence plus rapide
◆Permet de s’approcher indéfiniment d’une valeur et d’un
vecteur propre
■Inconvénients :
◆Utilisation d’un système linéaire presque singulier
◆Peut converger vers une autre valeur propre.
Introduction
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Conditions
si an= 0
si an= 0 (suite)
Autres conditions de
convergences
Sous espace propre de
dimension >1
Sous espace propre de
dimension >1
Valeurs de même module
Résumé
Matrices semblables
Conclusion
Conditions de convergence - p. 35/51
Conditions de convergence
Introduction
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Conditions
si an= 0
si an= 0 (suite)
Autres conditions de
convergences
Sous espace propre de
dimension >1
Sous espace propre de
dimension >1
Valeurs de même module
Résumé
Matrices semblables
Conclusion
- p. 36/51
Conditions
Plusieurs conditions sont nécessaires pour que la méthode
fonctionne :
■Aest une matrice de dimension npossédant nvaleurs propres
de modules différents |λ1|<|λ2|<···<|λn|
=⇒A est diagonalisable
■Soient −→
u1,−→ u2,...,−→ unles vecteurs propres associés aux valeurs
propres de A. On doit partir d’un vecteur −→ x0
−→
x0=a1−→ u1+···+an−→ un
où an6=0
Que se passe-t-il si an= 0 ?
Introduction
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Conditions
si an= 0
si an= 0 (suite)
Autres conditions de
convergences
Sous espace propre de
dimension >1
Sous espace propre de
dimension >1
Valeurs de même module
Résumé
Matrices semblables
Conclusion
- p. 37/51
si an= 0
Si on part du point de départ
−→
x0=a1−→ u1+···+an−1−→ un−1+ 0−→ un
■Lorsqu’on calcule le premier terme
−→
x1=A−→ x0
=λ1a1−→ u1+···+λn−1an−1−→ un−1+ 0−→ un
à cause des erreurs de calcul, on obtient en fait
g
−→
x1=] λ1a1−→ u1+···+^ λn−1an−1−→ un−1+ε−→ un
■Si λnest beaucoup plus grande que les autres valeurs propres,
les calculs suivants font ressortir le coefficient associé à −→ unalors
qu’ils annulent les autres.
■Donc l’algorithme nous donne toujours −→
unet λngrâce aux
erreurs de calcul.
Introduction
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Conditions
si an= 0
si an= 0 (suite)
Autres conditions de
convergences
Sous espace propre de
dimension >1
Sous espace propre de
dimension >1
Valeurs de même module
Résumé
Matrices semblables
Conclusion
- p. 38/51
si an= 0 (suite)
■Si les deux plus grandes valeurs propres λnet λn−1sont proches
l’une de l’autre,
■l’algorithme peut s’arrêter en obtenant λn−1et −→
un−1au lieu de
λnet −→ un.
Si on généralise le phénomène en utilisant la méthode de déflation,
cela signifie que les valeurs propres qui sont proches les unes des
autres ne sont pas forcément obtenues dans le bon ordre.
Introduction
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Conditions
si an= 0
si an= 0 (suite)
Autres conditions de
convergences
Sous espace propre de
dimension >1
Sous espace propre de
dimension >1
Valeurs de même module
Résumé
Matrices semblables
Conclusion
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Autres conditions de convergences
Jusqu’à présent on a considéré que les valeurs propres de la
matrice Aont des modules différents. Mais que se passe-t-il si :
■Apossède une valeur propre dégénérée
◆Un espace propre de dimension >1
■Apossède des valeurs propres différentes mais de module
identique
Introduction
Décomposition QR
Introduction
Algorithme de la puissance
itérée
Méthode de déflation
Méthode de la puissance
inverse
Conditions de convergence
Conditions
si an= 0
si an= 0 (suite)
Autres conditions de
convergences
Sous espace propre de
dimension >1
Sous espace propre de
dimension >1
Valeurs de même module
Résumé
Matrices semblables
Conclusion
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Sous espace propre de dimension >1
xy
z
Matrice A=
3 0 0
0 3 0
0 0 1
on trace Ax
kAxk