Méthodes particulaires et fusion de données

Journées d’étude Météo-SMAI-DSNA, Toulouse
Méthodes particulaires et fusion de données
François Caron
INRIA Bordeaux
Institut de Mathématiques de Bordeaux
8 mars 2010
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
1 / 67
Plan
1
Introduction
2
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Algorithmes déterministes
Filtrage particulaire
3
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
2 / 67
Introduction
Plan
1
Introduction
2
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Algorithmes déterministes
Filtrage particulaire
3
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
3 / 67
Introduction
Introduction
Etat caché xt (t = 0, . . .) qui n’est pas directement observable
...
xt−1
xt
Non observable
Observable
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
4 / 67
Introduction
Introduction
Etat caché xt (t = 0, . . .) qui n’est pas directement observable
Exemple
Position et vitesse d’un véhicule xt = {Xt , Yt , Ẋt , Ẏt }
...
xt−1
xt
Non observable
Observable
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
4 / 67
Introduction
Introduction
Etat caché xt (t = 0, . . .) qui n’est pas directement observable
Mesures zt (t = 1, . . .)
Exemple
Position et vitesse d’un véhicule xt = {Xt , Yt , Ẋt , Ẏt }
...
xt−1
xt
Non observable
Observable
...
François Caron (INRIA)
zt−1
zt
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
4 / 67
Introduction
Introduction
Etat caché xt (t = 0, . . .) qui n’est pas directement observable
Mesures zt (t = 1, . . .)
Exemple
Position et vitesse d’un véhicule xt = {Xt , Yt , Ẋt , Ẏt }
Capteur délivrant la vitesse du véhicule
...
xt−1
xt
Non observable
Observable
...
François Caron (INRIA)
zt−1
zt
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
4 / 67
Introduction
Introduction
Objectif
Estimer à chaque instant t la séquence x0:t à partir
...
xt−1
xt
Non observable
Observable
...
François Caron (INRIA)
zt−1
zt
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
5 / 67
Introduction
Introduction
Objectif
Estimer à chaque instant t la séquence x0:t à partir
des observations z1:t (filtrage)
...
xt−1
xt
Non observable
Observable
...
François Caron (INRIA)
zt−1
zt
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
5 / 67
Introduction
Introduction
Objectif
Estimer à chaque instant t la séquence x0:t à partir
des observations z1:t (filtrage)
des observations z1:T , T ≥ t (lissage)
...
xt−1
xt
Non observable
Observable
...
François Caron (INRIA)
zt−1
zt
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
5 / 67
Introduction
Introduction
Objectif
Estimer à chaque instant t la séquence x0:t à partir
des observations z1:t (filtrage)
des observations z1:T , T ≥ t (lissage)
Modèles stochastiques
...
xt−1
xt
Non observable
Observable
...
François Caron (INRIA)
zt−1
zt
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
5 / 67
Introduction
Introduction
Objectif
Estimer à chaque instant t la séquence x0:t à partir
des observations z1:t (filtrage)
des observations z1:T , T ≥ t (lissage)
Modèles stochastiques
Ï
Modèle de mesure p(zt |xt )
...
xt−1
xt
Non observable
?
...
François Caron (INRIA)
zt−1
?
Observable
zt
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
5 / 67
Introduction
Introduction
Objectif
Estimer à chaque instant t la séquence x0:t à partir
des observations z1:t (filtrage)
des observations z1:T , T ≥ t (lissage)
Modèles stochastiques
Ï
Ï
Modèle de mesure p(zt |xt )
Modèle d’évolution p(xt |xt−1 )
...
- xt−1
- xt
Non observable
?
...
François Caron (INRIA)
zt−1
?
Observable
zt
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
5 / 67
Introduction
Introduction
Objectif
Estimer à chaque instant t la séquence x0:t à partir
des observations z1:t (filtrage)
des observations z1:T , T ≥ t (lissage)
Modèles stochastiques
Ï
Ï
Modèle de mesure p(zt |xt )
Modèle d’évolution p(xt |xt−1 )
Modèle de Markov caché
...
- xt−1
- xt
Non observable
?
...
François Caron (INRIA)
zt−1
?
Observable
zt
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
5 / 67
Introduction
Introduction
Modèle de mesure
zt = h(xt ) + wt
avec wt le bruit de mesure aléatoire
...
- xt−1
- xt
Non observable
?
...
François Caron (INRIA)
zt−1
?
Observable
zt
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
6 / 67
Introduction
Introduction
Modèle de mesure
zt = h(xt ) + wt
avec wt le bruit de mesure aléatoire
Modèle d’évolution
xt+1 = f (xt , vt )
avec vt le bruit d’évolution aléatoire
...
- xt−1
- xt
Non observable
?
...
François Caron (INRIA)
zt−1
?
Observable
zt
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
6 / 67
Introduction
Introduction
Exemple
Modèle de mesure du capteur de vitesse
q
zt = Ẋt2 + Ẏt2 + wt
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
7 / 67
Introduction
Introduction
Exemple
Modèle de mesure du capteur de vitesse
q
zt = Ẋt2 + Ẏt2 + wt
Modèle d’évolution
Ẋt+1
∆t 2
Ẍt
2
∆t 2
= Yt + ∆t Ẏt +
Ÿt
2
= Ẋt + ∆t Ẍt
Ẏt+1
= Ẏt + ∆t Ÿt
Xt+1
Yt+1
= Xt + ∆t Ẋt +
avec vt = {Ẍt , Ÿt }
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
7 / 67
Introduction
Inférence bayésienne
Inférence bayésienne : incertitude sur la séquence x0:t après
l’observation des mesures z1:t est représentée par la densité de
probabilité a posteriori p(x0:t |z1:t )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
8 / 67
Introduction
Inférence bayésienne
Inférence bayésienne : incertitude sur la séquence x0:t après
l’observation des mesures z1:t est représentée par la densité de
probabilité a posteriori p(x0:t |z1:t )
Celle-ci s’exprime selon
p(x0:t |z1:t ) ∝ p(x0:t )p(z1:t |x0:t )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
8 / 67
Introduction
Inférence bayésienne
Inférence bayésienne : incertitude sur la séquence x0:t après
l’observation des mesures z1:t est représentée par la densité de
probabilité a posteriori p(x0:t |z1:t )
Celle-ci s’exprime selon
p(x0:t |z1:t ) ∝ p(x0:t )p(z1:t |x0:t )
Solution analytique fournie par le filtre de Kalman dans le cas de
modèles linéaires à bruits additifs gaussiens
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
8 / 67
Introduction
Inférence bayésienne
Inférence bayésienne : incertitude sur la séquence x0:t après
l’observation des mesures z1:t est représentée par la densité de
probabilité a posteriori p(x0:t |z1:t )
Celle-ci s’exprime selon
p(x0:t |z1:t ) ∝ p(x0:t )p(z1:t |x0:t )
Solution analytique fournie par le filtre de Kalman dans le cas de
modèles linéaires à bruits additifs gaussiens
Dans le cas général : approximation numérique de cette densité
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
8 / 67
Introduction
Inférence bayésienne
Inférence bayésienne : incertitude sur la séquence x0:t après
l’observation des mesures z1:t est représentée par la densité de
probabilité a posteriori p(x0:t |z1:t )
Celle-ci s’exprime selon
p(x0:t |z1:t ) ∝ p(x0:t )p(z1:t |x0:t )
Solution analytique fournie par le filtre de Kalman dans le cas de
modèles linéaires à bruits additifs gaussiens
Dans le cas général : approximation numérique de cette densité
Ï
Méthodes de Monte Carlo
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
8 / 67
Introduction
Méthodes de Monte Carlo
Méthodes de Monte Carlo : Approximation de la distribution a
(i)
posteriori par un ensemble de N points pondérés {x0:t
, w(i) }
(i = 1, . . . , N)
N
X
PN (dx0:t |z1:t ) = w(i) δx(i) (dx0:t )
i=1
François Caron (INRIA)
0:t
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
9 / 67
Introduction
Méthodes de Monte Carlo
Méthodes de Monte Carlo : Approximation de la distribution a
(i)
posteriori par un ensemble de N points pondérés {x0:t
, w(i) }
(i = 1, . . . , N)
N
X
PN (dx0:t |z1:t ) = w(i) δx(i) (dx0:t )
i=1
0:t
Comment générer ces échantillons ?
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
9 / 67
Introduction
Méthodes de Monte Carlo
Méthodes de Monte Carlo : Approximation de la distribution a
(i)
posteriori par un ensemble de N points pondérés {x0:t
, w(i) }
(i = 1, . . . , N)
N
X
PN (dx0:t |z1:t ) = w(i) δx(i) (dx0:t )
i=1
0:t
Comment générer ces échantillons ?
Ï
Markov Chain Monte Carlo (itérative)
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
9 / 67
Introduction
Méthodes de Monte Carlo
Méthodes de Monte Carlo : Approximation de la distribution a
(i)
posteriori par un ensemble de N points pondérés {x0:t
, w(i) }
(i = 1, . . . , N)
N
X
PN (dx0:t |z1:t ) = w(i) δx(i) (dx0:t )
i=1
0:t
Comment générer ces échantillons ?
Ï
Ï
Markov Chain Monte Carlo (itérative)
Méthodes de Monte Carlo séquentielles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
9 / 67
Introduction
Cadre multicapteur
Un seul capteur est en général incapable de fournir une information
complète sur un phénomène donné
-
+
xt−1
?
-
~
z1,t−1 . . . zk,t−1 . . . zn,t−1
François Caron (INRIA)
+
z1,t
xt
-
~
?
...
Méthodes particulaires et fusion de données
zk,t
...
zn,t
8 Mars 2010
10 / 67
Introduction
Cadre multicapteur
Un seul capteur est en général incapable de fournir une information
complète sur un phénomène donné
On considère donc plusieurs capteurs k délivrant chacun une mesure
zk,t (k = 1, . . . , n) et des modèles de mesure p(zk,t |xt )
-
+
xt−1
?
-
~
z1,t−1 . . . zk,t−1 . . . zn,t−1
François Caron (INRIA)
+
z1,t
xt
-
~
?
...
Méthodes particulaires et fusion de données
zk,t
...
zn,t
8 Mars 2010
10 / 67
Introduction
Modèles d’observation multiples
La relation entre l’état caché xt et la mesure zk,t est donnée par le
modèle de mesure p(zk,t |xt )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
11 / 67
Introduction
Modèles d’observation multiples
La relation entre l’état caché xt et la mesure zk,t est donnée par le
modèle de mesure p(zk,t |xt )
Cette relation peut être amenée à évoluer en fonction de
l’environnement extérieur
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
11 / 67
Introduction
Modèles d’observation multiples
La relation entre l’état caché xt et la mesure zk,t est donnée par le
modèle de mesure p(zk,t |xt )
Cette relation peut être amenée à évoluer en fonction de
l’environnement extérieur
Exemple
Ï
Caméra en fonction de la luminosité
Ï
Radar en fonction des conditions météorologiques
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
11 / 67
Introduction
Modèles d’observation multiples
La relation entre l’état caché xt et la mesure zk,t est donnée par le
modèle de mesure p(zk,t |xt )
Cette relation peut être amenée à évoluer en fonction de
l’environnement extérieur
Exemple
Ï
Caméra en fonction de la luminosité
Ï
Radar en fonction des conditions météorologiques
Dysfonctionnement du capteur
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
11 / 67
Introduction
Modèles d’observation multiples
La relation entre l’état caché xt et la mesure zk,t est donnée par le
modèle de mesure p(zk,t |xt )
Cette relation peut être amenée à évoluer en fonction de
l’environnement extérieur
Exemple
Ï
Caméra en fonction de la luminosité
Ï
Radar en fonction des conditions météorologiques
Dysfonctionnement du capteur
Exemple
Ï
GPS en cas de trajets multiples
Ï
Exploration en environnement hostile et/ou inconnu (exploration
martienne)
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
11 / 67
Introduction
Modèles d’observation multiples
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
12 / 67
Introduction
Modèles d’observation multiples
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
12 / 67
Introduction
Modèles d’observation multiples
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
12 / 67
Introduction
Modèles d’observation multiples
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
12 / 67
Introduction
Modèles d’observation multiples
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
12 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Plan
1
Introduction
2
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Algorithmes déterministes
Filtrage particulaire
3
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
13 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Algorithmes déterministes
Récursions bayésiennes
La densité de filtrage p(xt |z1:t ) vérifie les récursions suivantes, en deux
étapes
1
La densité de probabilité de filtrage p(xt |z1:t ) est obtenue par la règle de
Bayes
p(xt |z1:t−1 )p(zt |xt )
p(xt |z1:t ) = R
(1)
X p(xt |z1:t−1 )p(zt |xt )dxt
2
La densité de probabilité de prédiction à un pas p(xt+1 |z1:t ) est obtenue
par l’équation de Chapman-Kolmogorov
Z
p(xt+1 |z1:t ) =
p(xt+1 |xt )p(xt |z1:t )dxt
(2)
X
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
14 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Algorithmes déterministes
Filtre de Kalman
Dans le cas de modèles linéaires et gaussiens
xt+1 = Ft xt + Ct ut + Gt vt
(3)
zt = Ht xt + wt
(4)
les équations de récurrence (1) et (2) sont calculables analytiquement,
et les densités de filtrage/lissage sont gaussiennes
p(xt−1 |z1:t−1 ) = N (xt−1 ; b
xt−1|t−1 , Σt−1|t−1 )
p(xt |z1:t−1 ) = N (xt ; b
xt|t−1 , Σt|t−1 )
p(xt |z1:t ) = N (xt ; b
xt|t , Σt|t )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
15 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Algorithmes déterministes
Filtre de Kalman
Le filtre de Kalman donne la relation de récurrence entre les moments
successifs
b
xt|t−1 = Ft−1 b
xt−1|t−1 + Ct−1 ut−1
T
T
Σt|t−1 = Ft−1 Σt−1|t−1 Ft−1
+ Gt−1 Qt−1 Gt−1
et
b
xt|t = b
xt|t−1 + Kt νt
Σt|t = Σt|t−1 − Kt St KtT
Kt est le gain de Kalman défini à l’instant t par
£
¤−1
Kt = Σt|t−1 HtT Ht Σt|t−1 HtT + Rt
νt est l’innovation
νt = zt − Ht b
xt|t−1
de matrice de covariance
St = Ht Σt|t−1 HtT + Rt
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
16 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Algorithmes déterministes
Filtrage de Kalman multicapteur
A chaque capteur est associé un modèle de mesure différent. On
suppose que l’on dispose d’un modèle d’évolution défini par
xt+1 = Ft xt + Ct ut + Gt vt
et de n modèles de mesure linéaires définis par
zk,t = Hk,t xt + wk,t , k = 1..n
avec wk,t un bruit blanc gaussien centré de matrice de covariance
connue
Rk,t
h
i . Du fait des indépendances conditionnelles, on a
T
E wi,t wj,t = 0, ∀i, j.
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
17 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Algorithmes déterministes
Filtrage de Kalman multicapteur
Trois approches sont envisageables pour utiliser le formalisme du filtre
de Kalman en fusion multicapteur
Ï
Ï
Ï
regrouper toutes les observations sous un seul vecteur et appliquer
directement les équations du filtre de Kalman,
considérer chaque observation individuellement et faire la fusion
séquentiellement,
utiliser l’algorithme du filtre de Kalman multicapteur.
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
18 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Algorithmes déterministes
Filtrage de Kalman multicapteur
Capteur Groupe
Regroupement de toutes les mesures et modèles de mesure sous un
seul capteur, appelé capteur "groupe"






z1,t
H1,t
w1,t
zt =  ...  , Ht =  ...  , wt =  ... 
zn,t
Hn,t
wn,t
£
¤
T
Rt = E wt wt = blockdiag(R1,t , .., Rn,t )
On obtient alors un seul modèle de mesure "groupe"
zt = Ht xt + wt
et l’on peut appliquer les équations du filtre de Kalman.
P
Si zk,t est de dimension lk , St est de dimension l × l avec l = nk=1 lk .
Cette matrice doit être inversée pour calculer le gain de Kalman →
Complexité en O(l3 )
Approche simple mais peu appropriée lorsque le nombre de capteurs
augmente
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
19 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Algorithmes déterministes
Filtrage de Kalman multicapteur
Capteur séquentiel
Faire un pas de mise à jour de Kalman pour chaque mesure
Appropriée pour un faible nombre de capteurs
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
20 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Algorithmes déterministes
Filtrage de Kalman multicapteur
Filtre de Kalman multicapteur
Reformulation du filtre de Kalman
1
Estimation
b
xt|t = b
xt|t−1 +
n
X
Kk,t νk,t
k=1
n
X
−1
Σ−1
t|t = Σt|t−1 +
k=1
T −1
Rk,t Hk,t
Hk,t
avec
νk,t = zk,t − Hk,t b
xt|t−1
T −1
Kk,t = Σt|t Hk,t
Rk,t
2
Prédiction identique à Kalman monocapteur
Complexité de l’algorithme en O(p3 +
François Caron (INRIA)
Pn
l3 )
k=1 k
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
21 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Introduction
Méthodes de Monte Carlo séquentielles
Population de particules en interaction
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
22 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Introduction
Méthodes de Monte Carlo séquentielles
Population de particules en interaction
Deux mécanismes stochastiques
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
22 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Introduction
Méthodes de Monte Carlo séquentielles
Population de particules en interaction
Deux mécanismes stochastiques
Ï
Mutation : les particules explorent de façon aléatoire leur
environnement
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
22 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Introduction
Méthodes de Monte Carlo séquentielles
Population de particules en interaction
Deux mécanismes stochastiques
Ï
Ï
Mutation : les particules explorent de façon aléatoire leur
environnement
Sélection : Duplication des particules les mieux adaptées et mort des
particules moins bien adaptées
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
22 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Introduction
Méthodes de Monte Carlo séquentielles
Population de particules en interaction
Deux mécanismes stochastiques
Ï
Ï
Mutation : les particules explorent de façon aléatoire leur
environnement
Sélection : Duplication des particules les mieux adaptées et mort des
particules moins bien adaptées
Applications
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
22 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Introduction
Méthodes de Monte Carlo séquentielles
Population de particules en interaction
Deux mécanismes stochastiques
Ï
Ï
Mutation : les particules explorent de façon aléatoire leur
environnement
Sélection : Duplication des particules les mieux adaptées et mort des
particules moins bien adaptées
Applications
Ï
Inférence bayésienne, filtrage : filtrage particulaire
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
22 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Introduction
Méthodes de Monte Carlo séquentielles
Population de particules en interaction
Deux mécanismes stochastiques
Ï
Ï
Mutation : les particules explorent de façon aléatoire leur
environnement
Sélection : Duplication des particules les mieux adaptées et mort des
particules moins bien adaptées
Applications
Ï
Ï
Inférence bayésienne, filtrage : filtrage particulaire
Optimisation, recherche stochastique : recuit simulé non linéaire
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
22 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Introduction
Méthodes de Monte Carlo séquentielles
Population de particules en interaction
Deux mécanismes stochastiques
Ï
Ï
Mutation : les particules explorent de façon aléatoire leur
environnement
Sélection : Duplication des particules les mieux adaptées et mort des
particules moins bien adaptées
Applications
Ï
Ï
Inférence bayésienne, filtrage : filtrage particulaire
Optimisation, recherche stochastique : recuit simulé non linéaire
Nombreux résultats théoriques ces 15 dernières années
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
22 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Introduction
Méthodes de Monte Carlo séquentielles
Population de particules en interaction
Deux mécanismes stochastiques
Ï
Ï
Mutation : les particules explorent de façon aléatoire leur
environnement
Sélection : Duplication des particules les mieux adaptées et mort des
particules moins bien adaptées
Applications
Ï
Ï
Inférence bayésienne, filtrage : filtrage particulaire
Optimisation, recherche stochastique : recuit simulé non linéaire
Nombreux résultats théoriques ces 15 dernières années
Ï
Convergence asymptotique
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
22 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Introduction
Méthodes de Monte Carlo séquentielles
Population de particules en interaction
Deux mécanismes stochastiques
Ï
Ï
Mutation : les particules explorent de façon aléatoire leur
environnement
Sélection : Duplication des particules les mieux adaptées et mort des
particules moins bien adaptées
Applications
Ï
Ï
Inférence bayésienne, filtrage : filtrage particulaire
Optimisation, recherche stochastique : recuit simulé non linéaire
Nombreux résultats théoriques ces 15 dernières années
Ï
Ï
Convergence asymptotique
Vitesses de convergence
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
22 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Approximation de Monte Carlo
De façon générale, calcul d’intégrales de type
Z
Ep(x0:t |z1:t ) [h] =
h(x0:t )p(x0:t |z1:t )dx0:t
(5)
X t+1
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
23 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Approximation de Monte Carlo
De façon générale, calcul d’intégrales de type
Z
Ep(x0:t |z1:t ) [h] =
h(x0:t )p(x0:t |z1:t )dx0:t
(5)
X t+1
Méthodes basées sur une grille non adaptées
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
23 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Approximation de Monte Carlo
De façon générale, calcul d’intégrales de type
Z
Ep(x0:t |z1:t ) [h] =
h(x0:t )p(x0:t |z1:t )dx0:t
(5)
X t+1
Méthodes basées sur une grille non adaptées
Méthodes de Monte Carlo
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
23 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Approximation de Monte Carlo
De façon générale, calcul d’intégrales de type
Z
Ep(x0:t |z1:t ) [h] =
h(x0:t )p(x0:t |z1:t )dx0:t
(5)
X t+1
Méthodes basées sur une grille non adaptées
Méthodes de Monte Carlo
Ï
Simuler N variables e
x(i)
0:t
e
x(i)
0:t ∼ p(x0:t |z1:t ) pour i = 1, .., N
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
(6)
8 Mars 2010
23 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Approximation de Monte Carlo
De façon générale, calcul d’intégrales de type
Z
Ep(x0:t |z1:t ) [h] =
h(x0:t )p(x0:t |z1:t )dx0:t
(5)
X t+1
Méthodes basées sur une grille non adaptées
Méthodes de Monte Carlo
Ï
Simuler N variables e
x(i)
0:t
e
x(i)
0:t ∼ p(x0:t |z1:t ) pour i = 1, .., N
Ï
(6)
Approcher l’intégrale par
Ep(x0:t |z1:t ) [h] ≈
François Caron (INRIA)
N
1 X
h(e
x(i)
0:t )
N i=1
Méthodes particulaires et fusion de données
(7)
8 Mars 2010
23 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Approximation de Monte Carlo
L’intégration de Monte Carlo est fondée sur l’approximation de
p(x0:t |z1:t ) par
N
1 X
pN (x0:t |z1:t ) =
δ (i) (dx0:t )
N i=1 ex0:t
(8)
où δx (·) est la mesure de Dirac au point x.
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
24 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Approximation de Monte Carlo
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
25 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Approximation de Monte Carlo
Propriétés
L’estimée est asymptotiquement convergente, i.e. converge vers
Ep(x0:t |z1:t ) [h] p.s.
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
26 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Approximation de Monte Carlo
Propriétés
L’estimée est asymptotiquement convergente, i.e. converge vers
Ep(x0:t |z1:t ) [h] p.s.
Théorème de la limite centrale (vitesse de convergence)
p
dist.
N(Ep(x0:t |z1:t ) [h] − EpN (x0:t |z1:t ) [h]) → N (0, Vp(x0:t |z1:t ) [h])
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
26 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Approximation de Monte Carlo
Propriétés
L’estimée est asymptotiquement convergente, i.e. converge vers
Ep(x0:t |z1:t ) [h] p.s.
Théorème de la limite centrale (vitesse de convergence)
p
dist.
N(Ep(x0:t |z1:t ) [h] − EpN (x0:t |z1:t ) [h]) → N (0, Vp(x0:t |z1:t ) [h])
Vitesse de convergence indépendante de la dimension de l’espace
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
26 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Approximation de Monte Carlo
Propriétés
L’estimée est asymptotiquement convergente, i.e. converge vers
Ep(x0:t |z1:t ) [h] p.s.
Théorème de la limite centrale (vitesse de convergence)
p
dist.
N(Ep(x0:t |z1:t ) [h] − EpN (x0:t |z1:t ) [h]) → N (0, Vp(x0:t |z1:t ) [h])
Vitesse de convergence indépendante de la dimension de l’espace
Problème : il est en général impossible d’échantillonner selon
p(x0:t |z1:t )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
26 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance
Soit π(x0:t |z1:t ) une densité de probabilité simple telle que
π(x0:t |z1:t ) > 0 quand p(x0:t |z1:t ) > 0.
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
27 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance
Soit π(x0:t |z1:t ) une densité de probabilité simple telle que
π(x0:t |z1:t ) > 0 quand p(x0:t |z1:t ) > 0.
On a
Ep(x0:t |z1:t ) [h] =
Z
ZX
=
t+1
X t+1
h(x0:t )p(x0:t |z1:t )dx0:t
h(x0:t )
p(x0:t |z1:t )
π(x0:t |z1:t )dx0:t
π(x0:t |z1:t )
Z
=
François Caron (INRIA)
X t+1
h(x0:t )w(x0:t )π(x0:t |z1:t )dx0:t
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
27 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance
Ep(x0:t |z1:t ) [h] =
=
François Caron (INRIA)
Z
ZX
t+1
X t+1
h(x0:t )
p(x0:t |z1:t )
π(x0:t |z1:t )dx0:t
π(x0:t |z1:t )
h(x0:t )w(x0:t )π(x0:t |z1:t )dx0:t
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
28 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance
Ep(x0:t |z1:t ) [h] =
=
Z
ZX
t+1
X t+1
h(x0:t )
p(x0:t |z1:t )
π(x0:t |z1:t )dx0:t
π(x0:t |z1:t )
h(x0:t )w(x0:t )π(x0:t |z1:t )dx0:t
Approximation de p(x0:t |z1:t ) par la distribution empirique
pN (x0:t |z1:t ) =
N
X
i=1
e (i) δex(i) (dx0:t )
w
0:t
avec
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
28 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance
Ep(x0:t |z1:t ) [h] =
=
Z
ZX
t+1
X t+1
h(x0:t )
p(x0:t |z1:t )
π(x0:t |z1:t )dx0:t
π(x0:t |z1:t )
h(x0:t )w(x0:t )π(x0:t |z1:t )dx0:t
Approximation de p(x0:t |z1:t ) par la distribution empirique
pN (x0:t |z1:t ) =
N
X
i=1
e (i) δex(i) (dx0:t )
w
0:t
avec
Ï
e
x(i)
0:t ∼ π(x0:t |z1:t ), i = 1 . . . N,
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
28 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance
Ep(x0:t |z1:t ) [h] =
=
Z
ZX
t+1
X t+1
h(x0:t )
p(x0:t |z1:t )
π(x0:t |z1:t )dx0:t
π(x0:t |z1:t )
h(x0:t )w(x0:t )π(x0:t |z1:t )dx0:t
Approximation de p(x0:t |z1:t ) par la distribution empirique
pN (x0:t |z1:t ) =
N
X
i=1
e (i) δex(i) (dx0:t )
w
0:t
avec
Ï
e
x(i)
0:t ∼ π(x0:t |z1:t ), i = 1 . . . N,
Ï
e (i) =
w
François Caron (INRIA)
p(e
x(i)
0:t |z1:t )
π(e
x(i)
0:t |z1:t )
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
28 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance
Ep(x0:t |z1:t ) [h] =
=
Z
ZX
t+1
X t+1
h(x0:t )
p(x0:t |z1:t )
π(x0:t |z1:t )dx0:t
π(x0:t |z1:t )
h(x0:t )w(x0:t )π(x0:t |z1:t )dx0:t
Approximation de p(x0:t |z1:t ) par la distribution empirique
pN (x0:t |z1:t ) =
N
X
i=1
e (i) δex(i) (dx0:t )
w
0:t
avec
Ï
Ï
Ï
e
x(i)
0:t ∼ π(x0:t |z1:t ), i = 1 . . . N,
p(e
x(i) |z1:t )
e (i) = 0:t
w
π(e
x(i)
0:t |z1:t )
PN
(i)
e
w
=
1
i=1
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
28 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
29 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance séquentiel
Approximation séquentielle de la densité a posteriori
p(x0:t |z1:t ) = p(x0:t−1 |z1:t−1 )
François Caron (INRIA)
p(zt |xt )p(xt |xt−1 )
p(zt |z1:t−1 )
Méthodes particulaires et fusion de données
(9)
8 Mars 2010
30 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance séquentiel
Approximation séquentielle de la densité a posteriori
p(x0:t |z1:t ) = p(x0:t−1 |z1:t−1 )
p(zt |xt )p(xt |xt−1 )
p(zt |z1:t−1 )
(9)
Densité d’importance
πt (x0:t |z1:t ) = πt−1 (x0:t−1 |z1:t−1 )qt (xt |xt−1 , zt )
Q
= π0 (x0 ) tj=1 qj (xj |xj−1 , zj )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
30 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance séquentiel
Approximation séquentielle de la densité a posteriori
p(x0:t |z1:t ) = p(x0:t−1 |z1:t−1 )
p(zt |xt )p(xt |xt−1 )
p(zt |z1:t−1 )
(9)
Densité d’importance
πt (x0:t |z1:t ) = πt−1 (x0:t−1 |z1:t−1 )qt (xt |xt−1 , zt )
Q
= π0 (x0 ) tj=1 qj (xj |xj−1 , zj )
Au temps t, les poids sont donnés par
(i)
e t−1
e t(i) ∝ w
w
François Caron (INRIA)
p(zt |e
x(i)
x(i)
x(i)
t )p(e
t |e
t−1 )
(10)
qt (e
x(i)
x(i)
t |e
t−1 , zt )
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
30 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance séquentiel
R
La valeur de l’intégrale Ep(x0:t |z1:t ) [h] = X t+1 h(x0:t )p(x0:t |z1:t )dx0:t est
approchée par
N
X
e t(i) h(e
Ep(x0:t |z1:t ) [h] ' w
x(i)
(11)
0:t )
i=1
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
31 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance séquentiel
R
La valeur de l’intégrale Ep(x0:t |z1:t ) [h] = X t+1 h(x0:t )p(x0:t |z1:t )dx0:t est
approchée par
N
X
e t(i) h(e
Ep(x0:t |z1:t ) [h] ' w
x(i)
(11)
0:t )
i=1
L’estimée MMSE est donc approchée par
b
xMMSE
t|t '
François Caron (INRIA)
N
X
i=1
e t(i) e
w
x(i)
t
Méthodes particulaires et fusion de données
(12)
8 Mars 2010
31 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance séquentiel
La qualité de l’approximation peut être évaluée par l’Effective Sample
Size (ESS)
1
ESSt =
PN ³ (i) ´2
e
i=1 wt
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
32 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance séquentiel
La qualité de l’approximation peut être évaluée par l’Effective Sample
Size (ESS)
1
ESSt =
PN ³ (i) ´2
e
i=1 wt
1 ≤ ESSt ≤ N
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
32 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance séquentiel
La qualité de l’approximation peut être évaluée par l’Effective Sample
Size (ESS)
1
ESSt =
PN ³ (i) ´2
e
i=1 wt
1 ≤ ESSt ≤ N
Problème : la variance des poids augmente au cours du temps
(ESSt → 1)
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
32 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance séquentiel et
rééchantillonnage
Rééchantillonnage : dupliquer les particules de forts poids et
supprimer les particules de poids faibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
33 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance séquentiel et
rééchantillonnage
Rééchantillonnage : dupliquer les particules de forts poids et
supprimer les particules de poids faibles
Le nombre de fils de chaque particule n(i)
est tiré aléatoirement de
fils
telle sorte que
h
i
N
X
(i)
e
Ep(n(i) ) n(i)
=
N
w
avec
n(i)
=N
t
fils
fils
fils
François Caron (INRIA)
i=1
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
33 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance séquentiel et
rééchantillonnage
Rééchantillonnage : dupliquer les particules de forts poids et
supprimer les particules de poids faibles
Le nombre de fils de chaque particule n(i)
est tiré aléatoirement de
fils
telle sorte que
h
i
N
X
(i)
e
Ep(n(i) ) n(i)
=
N
w
avec
n(i)
=N
t
fils
fils
fils
i=1
Les échantillons x(i)
0:t sont approximativement distribués selon
p(x0:t |z1:t ) mais statistiquement dépendants =⇒ plus difficile à étudier
théoriquement
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
33 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Echantillonnage d’importance séquentiel et
rééchantillonnage
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
34 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Algorithme de filtrage particulaire
• Etape 1 Initialisation
Pour i = 1, .., N, faire
(i)
Ï Générer x
0
Ï
∼ π0 (x0 )
Calculer le poids initial w0(i) =
Calculer W0 =
PN
i=1
p(x(i)
0 )
π0 (x(i)
0 )
w(i)
w0(i) et pour i = 1, .., N, faire w0(i) ← W0
0
• Etape 2 Itérations
Pour t = 1, 2, ...faire
Ï
Pour i = 1, .., N faire
% Mutation
F
F
(i)
Générer e
x(i)
t selon qt (xt |xt−1 , zt )
Mettre à jour les poids récursifs selon
(i)
e t(i) ∝ w
e t−1
w
(i)
p(zt |e
x(i)
x(i)
t )p(e
t |xt−1 )
(i)
qt (e
x(i)
t |xt−1 , zt )
P
e (i) = 1,
avec N
w
i=1 t
% Rééchantillonnage/Sélection
Ï
Copier les particules de poids élevé et détruire les particules de poids faible pour obtenir
1
N nouvelles particules, notées sanse·. Les nouveaux poids sont wt(i) = N
.
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
35 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
Modèle d’évolution (p(xt |xt−1 ))
xt+1 = F · xt + G · bt




1 0 T 0
T 2 /2
0
 0 1 0 T 
 0
T 2 /2 




où xt = (pxt , pzt , vtx , vtz )T , F = 
, G = 
,
 0 0 1 0 
 T
0 
0
T
0 0 0 1
µ x ¶
at
bt =
un bruit blanc Gaussien de matrice de covariance Q = σ2b I2 .
y
at
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
36 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
Modèle de mesure (p(zt |xt ))
zt = h(xt ) + wt

pz
arctan( pxt )
t
 et wt un bruit blanc
où zt = (at , dt ), h(xt ) =  q
y
(pxt )2 + (pt )2
µ 2
¶
σa 0
Gaussien de matrice de covariance connue R =
.
0 σ2d

François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
37 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
Objectifs
A chaque instant t et de façon séquentielle
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
38 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
Objectifs
A chaque instant t et de façon séquentielle
Ï
Approcher la densité de filtrage p(xt |z1:t )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
38 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
Objectifs
A chaque instant t et de façon séquentielle
Ï
Ï
Approcher la densité de filtrage p(xt |z1:t )
Approcher xtMMSE = Ep(x0:t |z1:t ) [xt ]
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
38 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Poursuite de cibles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
39 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Choix de la densité d’importance
Son choix est crucial pour les performances de l’algorithme
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
40 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Choix de la densité d’importance
Son choix est crucial pour les performances de l’algorithme
Un mauvais choix va faire explorer des zones peu intéressantes par un
grand nombre de particules et faire augmenter la variance des poids
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
40 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Choix de la densité d’importance
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
41 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Choix de la densité d’importance
Loi d’évolution de l’état
(i)
qt (xt |x(i)
t−1 , zt ) = p(xt |xt−1 )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
42 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Choix de la densité d’importance
Loi d’évolution de l’état
(i)
qt (xt |x(i)
t−1 , zt ) = p(xt |xt−1 )
Les poids sont simplement mis à jour par
(i)
e t(i) ∝ w
e t−1
w
p(zt |x(i)
t )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
42 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Choix de la densité d’importance
Loi d’évolution de l’état
(i)
qt (xt |x(i)
t−1 , zt ) = p(xt |xt−1 )
Les poids sont simplement mis à jour par
(i)
e t(i) ∝ w
e t−1
w
p(zt |x(i)
t )
+ Facile à programmer
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
42 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Choix de la densité d’importance
Loi d’évolution de l’état
(i)
qt (xt |x(i)
t−1 , zt ) = p(xt |xt−1 )
Les poids sont simplement mis à jour par
(i)
e t(i) ∝ w
e t−1
w
p(zt |x(i)
t )
+ Facile à programmer
– Ne tient pas compte de la nouvelle observation et est souvent peu
efficace, conduisant à une variance élevée des poids.
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
42 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Choix de la densité d’importance
Densité optimale
(i)
qt (xt |x(i)
t−1 , zt ) = p(xt |xt−1 , zt )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
43 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Choix de la densité d’importance
Densité optimale
(i)
qt (xt |x(i)
t−1 , zt ) = p(xt |xt−1 , zt )
Les poids sont mis à jour par
(i)
e t(i) ∝ w
e t−1
w
p(zt |x(i)
t−1 )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
43 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Choix de la densité d’importance
Densité optimale
(i)
qt (xt |x(i)
t−1 , zt ) = p(xt |xt−1 , zt )
Les poids sont mis à jour par
(i)
e t(i) ∝ w
e t−1
w
p(zt |x(i)
t−1 )
+ Densité d’importance optimale (minimise la variance des poids)
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
43 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Choix de la densité d’importance
Densité optimale
(i)
qt (xt |x(i)
t−1 , zt ) = p(xt |xt−1 , zt )
Les poids sont mis à jour par
(i)
e t(i) ∝ w
e t−1
w
p(zt |x(i)
t−1 )
+ Densité d’importance optimale (minimise la variance des poids)
– Souvent impossible d’échantillonner selon cette loi
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
43 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Choix de la densité d’importance
Densité optimale
(i)
qt (xt |x(i)
t−1 , zt ) = p(xt |xt−1 , zt )
Les poids sont mis à jour par
(i)
e t(i) ∝ w
e t−1
w
p(zt |x(i)
t−1 )
+ Densité d’importance optimale (minimise la variance des poids)
– Souvent impossible d’échantillonner selon cette loi
En pratique, utiliser comme loi d’importance une approximation de la
densité optimale
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
43 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Résultats de convergence
Del Moral, 2004
Pour une fonction h bornée
¯¸
·¯Z
Z
¯
¯
Ct khk
¯
E ¯ h(x0:t )p(x0:t |z1:t )dx0:t −
h(x0:t )pN (x0:t |z1:t )dx0:t ¯¯ ≤
N
X
X
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
44 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Résultats de convergence
Del Moral, 2004
Pour une fonction h bornée
¯¸
·¯Z
Z
¯
¯
Ct khk
¯
E ¯ h(x0:t )p(x0:t |z1:t )dx0:t −
h(x0:t )pN (x0:t |z1:t )dx0:t ¯¯ ≤
N
X
X
Résultat peu utile car Ct explose au cours du temps
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
44 / 67
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Filtrage particulaire
Résultats de convergence
Del Moral, 2004
Pour une fonction h bornée
¯¸
·¯Z
Z
¯
¯
Ct khk
¯
E ¯ h(x0:t )p(x0:t |z1:t )dx0:t −
h(x0:t )pN (x0:t |z1:t )dx0:t ¯¯ ≤
N
X
X
Résultat peu utile car Ct explose au cours du temps
On a
¯¸
·¯Z
Z
¯
¯
C khk
¯
E ¯ h(xt )p(x0:t |z1:t )dx0:t −
h(xt )pN (x0:t |z1:t )dx0:t ¯¯ ≤
N
X
X
sous des hypothèses d’ergodicité sur le modèle
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
44 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Plan
1
Introduction
2
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Algorithmes déterministes
Filtrage particulaire
3
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
45 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Problématique de cette partie
1
En supposant que chaque capteur commute entre plusieurs états de
fonctionnement, comment estimer son état à chaque instant et la
probabilité qu’il soit dans un tel état ?
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
46 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Problématique de cette partie
1
En supposant que chaque capteur commute entre plusieurs états de
fonctionnement, comment estimer son état à chaque instant et la
probabilité qu’il soit dans un tel état ?
Pour chaque capteur k, on a dk modèles de mesure, définis pour un
état de capteur ck,t ∈ {1, . . . , dk } par
zk,t = hk,ck,t ,t (xt ) + wk,ck,t ,t
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
46 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Problématique de cette partie
1
En supposant que chaque capteur commute entre plusieurs états de
fonctionnement, comment estimer son état à chaque instant et la
probabilité qu’il soit dans un tel état ?
Pour chaque capteur k, on a dk modèles de mesure, définis pour un
état de capteur ck,t ∈ {1, . . . , dk } par
zk,t = hk,ck,t ,t (xt ) + wk,ck,t ,t
ck,t = 0 correspond à l’état de dysfonctionnement du capteur
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
46 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Problématique de cette partie
1
En supposant que chaque capteur commute entre plusieurs états de
fonctionnement, comment estimer son état à chaque instant et la
probabilité qu’il soit dans un tel état ?
Pour chaque capteur k, on a dk modèles de mesure, définis pour un
état de capteur ck,t ∈ {1, . . . , dk } par
zk,t = hk,ck,t ,t (xt ) + wk,ck,t ,t
ck,t = 0 correspond à l’état de dysfonctionnement du capteur
dk + 1 états de fonctionnement pour chaque capteur k
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
46 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle à saut
Variable indicatrice discrète ck,t commande le modèle de mesure
p(zk,t |xt , ck,t )
ck,t−1
ck,t
...
- xt−1
N ?
N ?
...
zk,t−1
zk,t
François Caron (INRIA)
- xt
-
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
47 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle à saut
Variable indicatrice discrète ck,t commande le modèle de mesure
p(zk,t |xt , ck,t )
Quel modèle statistique pour ck,t ?
ck,t−1
ck,t
...
- xt−1
N ?
N ?
...
zk,t−1
zk,t
François Caron (INRIA)
- xt
-
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
47 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle à saut
Variable indicatrice discrète ck,t commande le modèle de mesure
p(zk,t |xt , ck,t )
Quel modèle statistique pour ck,t ?
Littérature
ck,t−1
ck,t
...
- xt−1
N ?
N ?
...
zk,t−1
zk,t
François Caron (INRIA)
- xt
-
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
47 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle à saut
Variable indicatrice discrète ck,t commande le modèle de mesure
p(zk,t |xt , ck,t )
Quel modèle statistique pour ck,t ?
Littérature
Ï
Modèle à saut de Markov
- ck,t−1
- ck,t
-
...
- xt−1
N ?
N ?
...
zk,t−1
zk,t
François Caron (INRIA)
- xt
-
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
47 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle à saut
Variable indicatrice discrète ck,t commande le modèle de mesure
p(zk,t |xt , ck,t )
Quel modèle statistique pour ck,t ?
Littérature
Ï
Ï
Modèle à saut de Markov
Modèle à probabilité a priori fixée
π0
)
q
ck,t−1
...
...
François Caron (INRIA)
ck,t
- xt−1
- xt
N ?
N ?
zk,t−1
zk,t
-
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
47 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle à saut
Variable indicatrice discrète ck,t commande le modèle de mesure
p(zk,t |xt , ck,t )
Quel modèle statistique pour ck,t ?
Littérature
Ï
Ï
Modèle à saut de Markov
Modèle à probabilité a priori fixée
Limites
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
48 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle à saut
Variable indicatrice discrète ck,t commande le modèle de mesure
p(zk,t |xt , ck,t )
Quel modèle statistique pour ck,t ?
Littérature
Ï
Ï
Modèle à saut de Markov
Modèle à probabilité a priori fixée
Limites
Ï
Indépendance ou dépendance markovienne entre les états de
fonctionnement (pas de mémoire)
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
48 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle à saut
Variable indicatrice discrète ck,t commande le modèle de mesure
p(zk,t |xt , ck,t )
Quel modèle statistique pour ck,t ?
Littérature
Ï
Ï
Modèle à saut de Markov
Modèle à probabilité a priori fixée
Limites
Ï
Ï
Indépendance ou dépendance markovienne entre les états de
fonctionnement (pas de mémoire)
Paramètres difficiles à définir a priori
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
48 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Contributions
[2]
Définition d’un modèle à saut original où les probabilités a priori des
états de fonctionnement sont estimées et suivent un modèle de
Markov
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
49 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Contributions
[2]
Définition d’un modèle à saut original où les probabilités a priori des
états de fonctionnement sont estimées et suivent un modèle de
Markov
Définition d’algorithmes de Monte Carlo séquentiels avec des lois
d’importance efficaces, prenant en compte des données
synchrones/asynchrones, des modèles linéaires/non linéaires et le cas
binaire capteur valide/invalide
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
49 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Contributions
[2]
Définition d’un modèle à saut original où les probabilités a priori des
états de fonctionnement sont estimées et suivent un modèle de
Markov
Définition d’algorithmes de Monte Carlo séquentiels avec des lois
d’importance efficaces, prenant en compte des données
synchrones/asynchrones, des modèles linéaires/non linéaires et le cas
binaire capteur valide/invalide
Comparaison avec les modèles classiques sur des exemples
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
49 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Contributions
[2]
Définition d’un modèle à saut original où les probabilités a priori des
états de fonctionnement sont estimées et suivent un modèle de
Markov
Définition d’algorithmes de Monte Carlo séquentiels avec des lois
d’importance efficaces, prenant en compte des données
synchrones/asynchrones, des modèles linéaires/non linéaires et le cas
binaire capteur valide/invalide
Comparaison avec les modèles classiques sur des exemples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
49 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle statistique
La probabilité a priori que ck,t (pour k = 1, . . . , n) soit dans un état
donné j (j = 0, . . . , dk ) est notée αk,j,t .
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
50 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle statistique
La probabilité a priori que ck,t (pour k = 1, . . . , n) soit dans un état
donné j (j = 0, . . . , dk ) est notée αk,j,t .
Les αk,j,t représentent la confiance que l’on a dans le fait qu’un
capteur soit dans un état donné
Pr(ck,t = j) = αk,j,t , 0 ≤ j ≤ dk
où αk,j,t ≥ 0 et
François Caron (INRIA)
Pdk
j=0
αk,j,t = 1.
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
50 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle statistique
La probabilité a priori que ck,t (pour k = 1, . . . , n) soit dans un état
donné j (j = 0, . . . , dk ) est notée αk,j,t .
Les αk,j,t représentent la confiance que l’on a dans le fait qu’un
capteur soit dans un état donné
Pr(ck,t = j) = αk,j,t , 0 ≤ j ≤ dk
où αk,j,t ≥ 0 et
Pdk
j=0
αk,j,t = 1.
Difficiles à définir a priori, et peuvent évoluer
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
50 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle statistique
La probabilité a priori que ck,t (pour k = 1, . . . , n) soit dans un état
donné j (j = 0, . . . , dk ) est notée αk,j,t .
Les αk,j,t représentent la confiance que l’on a dans le fait qu’un
capteur soit dans un état donné
Pr(ck,t = j) = αk,j,t , 0 ≤ j ≤ dk
où αk,j,t ≥ 0 et
Pdk
j=0
αk,j,t = 1.
Difficiles à définir a priori, et peuvent évoluer
Modèle d’évolution markovien suivant pour le vecteur de probabilités
αt
α
(αk,0,t , . . . , αk,dk ,t ) ∼ D(σα
k,t αk,0,t−1 , . . . , σk,t αk,dk ,t−1 )
où σα
est un coefficient spécifique à chaque capteur qui ajuste la
k,t
variance des αk,j,t .
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
50 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle statistique (2)
Le coefficient σα
règle l’évolution de αk,t . Afin d’éviter de définir une
k,t
valeur fixée pour σα
(et donc une dynamique fixée pour αk,t ) ce
k,t
coefficient est également estimé, selon le modèle suivant
α
α
log(σα
k,t ) = log(σk,t−1 ) + λ
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
(13)
8 Mars 2010
51 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle statistique (3)
xt
∼ p(xt |xt−1 )
-
xt−1
zt−1
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
-
xt
-
zt
8 Mars 2010
52 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle statistique (3)
xt
∼ p(xt |xt−1 )
zt
∼ p(zt |ct , xt )
ct−1
-
ct
xt−1
?+
zt−1
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
-
xt
-
?
zt
8 Mars 2010
52 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle statistique (3)
xt
∼ p(xt |xt−1 )
zt
∼ p(zt |ct , xt )
ct
∼ Pr(ct |αt )
αt−1
αt
?
ct−1
?
ct
-
xt−1
?+
zt−1
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
-
xt
-
?
zt
8 Mars 2010
52 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle statistique (3)
σt−1
σt
?
- αt−1
xt
∼ p(xt |xt−1 )
zt
∼ p(zt |ct , xt )
ct
∼ Pr(ct |αt )
αt
∼ p(αt |αt−1 , σt−1 )
-
?
ct−1
-
-
?
ct
xt−1
?+
zt−1
François Caron (INRIA)
?
αt
Méthodes particulaires et fusion de données
-
xt
-
?
zt
8 Mars 2010
52 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Modèle statistique (3)
xt
∼ p(xt |xt−1 )
zt
∼ p(zt |ct , xt )
ct
∼ Pr(ct |αt )
αt
∼ p(αt |αt−1 , σt−1 )
σt
∼ p(σt |σt−1 )
- σt−1
-
σt
-
?
- αt−1
-
?
αt
-
?
ct−1
-
?
ct
xt−1
?+
zt−1
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
-
xt
-
?
zt
8 Mars 2010
52 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Objectifs d’estimation
On souhaite obtenir une approximation de la distribution a posteriori
Pr(dx0:t , c1:t , dα1:t , dσ1:t |z1:t )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
53 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Objectifs d’estimation
On souhaite obtenir une approximation de la distribution a posteriori
Pr(dx0:t , c1:t , dα1:t , dσ1:t |z1:t )
Approchée par la distribution empirique
PN (dx0:t , c1:t , dα0:t , dσ0:t ) =
N
X
i=1
François Caron (INRIA)
e t(i) δex(i) ,ec(i) ,α
w
e (i) ,e
σ(i) (dx0:t , c1:t , dα0:t , dσ0:t )
0:t
1:t
0:t
Méthodes particulaires et fusion de données
0:t
8 Mars 2010
53 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Objectifs d’estimation
On souhaite obtenir une approximation de la distribution a posteriori
Pr(dx0:t , c1:t , dα1:t , dσ1:t |z1:t )
Approchée par la distribution empirique
PN (dx0:t , c1:t , dα0:t , dσ0:t ) =
N
X
i=1
e t(i) δex(i) ,ec(i) ,α
w
e (i) ,e
σ(i) (dx0:t , c1:t , dα0:t , dσ0:t )
0:t
1:t
0:t
0:t
e (i)
e (i)
e t(i) obtenus à l’aide d’un
Particules e
x(i)
c(i)
0:t , e
1:t , α
0:t , σ
0:t et poids w
algorithme de Monte Carlo séquentiel
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
53 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Objectifs d’estimation
On souhaite obtenir une approximation de la distribution a posteriori
Pr(dx0:t , c1:t , dα1:t , dσ1:t |z1:t )
Approchée par la distribution empirique
PN (dx0:t , c1:t , dα0:t , dσ0:t ) =
N
X
i=1
e t(i) δex(i) ,ec(i) ,α
w
e (i) ,e
σ(i) (dx0:t , c1:t , dα0:t , dσ0:t )
0:t
1:t
0:t
0:t
e (i)
e (i)
e t(i) obtenus à l’aide d’un
Particules e
x(i)
c(i)
0:t , e
1:t , α
0:t , σ
0:t et poids w
algorithme de Monte Carlo séquentiel
Plusieurs algorithmes développés
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
53 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Objectifs d’estimation
On souhaite obtenir une approximation de la distribution a posteriori
Pr(dx0:t , c1:t , dα1:t , dσ1:t |z1:t )
Approchée par la distribution empirique
PN (dx0:t , c1:t , dα0:t , dσ0:t ) =
N
X
i=1
e t(i) δex(i) ,ec(i) ,α
w
e (i) ,e
σ(i) (dx0:t , c1:t , dα0:t , dσ0:t )
0:t
1:t
0:t
0:t
e (i)
e (i)
e t(i) obtenus à l’aide d’un
Particules e
x(i)
c(i)
0:t , e
1:t , α
0:t , σ
0:t et poids w
algorithme de Monte Carlo séquentiel
Plusieurs algorithmes développés
Ï
Capteurs synchrones/asynchrones
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
53 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Objectifs d’estimation
On souhaite obtenir une approximation de la distribution a posteriori
Pr(dx0:t , c1:t , dα1:t , dσ1:t |z1:t )
Approchée par la distribution empirique
PN (dx0:t , c1:t , dα0:t , dσ0:t ) =
N
X
i=1
e t(i) δex(i) ,ec(i) ,α
w
e (i) ,e
σ(i) (dx0:t , c1:t , dα0:t , dσ0:t )
0:t
1:t
0:t
0:t
e (i)
e (i)
e t(i) obtenus à l’aide d’un
Particules e
x(i)
c(i)
0:t , e
1:t , α
0:t , σ
0:t et poids w
algorithme de Monte Carlo séquentiel
Plusieurs algorithmes développés
Ï
Ï
Capteurs synchrones/asynchrones
Modèle linéaire/non linéaire
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
53 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Objectifs d’estimation
On souhaite obtenir une approximation de la distribution a posteriori
Pr(dx0:t , c1:t , dα1:t , dσ1:t |z1:t )
Approchée par la distribution empirique
PN (dx0:t , c1:t , dα0:t , dσ0:t ) =
N
X
i=1
e t(i) δex(i) ,ec(i) ,α
w
e (i) ,e
σ(i) (dx0:t , c1:t , dα0:t , dσ0:t )
0:t
1:t
0:t
0:t
e (i)
e (i)
e t(i) obtenus à l’aide d’un
Particules e
x(i)
c(i)
0:t , e
1:t , α
0:t , σ
0:t et poids w
algorithme de Monte Carlo séquentiel
Plusieurs algorithmes développés
Ï
Ï
Ï
Capteurs synchrones/asynchrones
Modèle linéaire/non linéaire
Cas binaire capteur valide/invalide
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
53 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Algorithme de Monte Carlo séquentiel
Point crucial de l’algorithme de Monte Carlo séquentiel : choix de la
densité d’importance q(xt , ct , αt , σt−1 |xt−1 , ct−1 , αt−1 , σt−2 , zt )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
54 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Algorithme de Monte Carlo séquentiel
Point crucial de l’algorithme de Monte Carlo séquentiel : choix de la
densité d’importance q(xt , ct , αt , σt−1 |xt−1 , ct−1 , αt−1 , σt−2 , zt )
Cette densité jointe est égale au produit des densités d’importances
q(σt−1 |αt , αt−1 , σt−2 ), q(αt |ct , αt−1 , σt−2 ), q(xt |xt−1 , ct , zt ) et
q(ct |xt−1 , αt−1 , zt )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
54 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Algorithme de Monte Carlo séquentiel
Point crucial de l’algorithme de Monte Carlo séquentiel : choix de la
densité d’importance q(xt , ct , αt , σt−1 |xt−1 , ct−1 , αt−1 , σt−2 , zt )
Cette densité jointe est égale au produit des densités d’importances
q(σt−1 |αt , αt−1 , σt−2 ), q(αt |ct , αt−1 , σt−2 ), q(xt |xt−1 , ct , zt ) et
q(ct |xt−1 , αt−1 , zt )
De mauvaises densités d’importance vont faire explorer des zones de
faible probabilité par un grand nombre de particules
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
54 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Algorithme de Monte Carlo séquentiel
Point crucial de l’algorithme de Monte Carlo séquentiel : choix de la
densité d’importance q(xt , ct , αt , σt−1 |xt−1 , ct−1 , αt−1 , σt−2 , zt )
Cette densité jointe est égale au produit des densités d’importances
q(σt−1 |αt , αt−1 , σt−2 ), q(αt |ct , αt−1 , σt−2 ), q(xt |xt−1 , ct , zt ) et
q(ct |xt−1 , αt−1 , zt )
De mauvaises densités d’importance vont faire explorer des zones de
faible probabilité par un grand nombre de particules
Définition de densités d’importance efficaces
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
54 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Exemples
Sur 2 exemples non linéaire et linéaire, comparaison de notre modèle
avec
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
55 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Exemples
Sur 2 exemples non linéaire et linéaire, comparaison de notre modèle
avec
Ï
Modèle à saut à probabilités a priori fixées
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
55 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Exemples
Sur 2 exemples non linéaire et linéaire, comparaison de notre modèle
avec
Ï
Ï
Modèle à saut à probabilités a priori fixées
Modèle à saut de Markov
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
55 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Exemples
Sur 2 exemples non linéaire et linéaire, comparaison de notre modèle
avec
Ï
Ï
Modèle à saut à probabilités a priori fixées
Modèle à saut de Markov
Meilleure adaptivité de l’algorithme en cas de défaillance soudaine,
mémoire des défaillances passées
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
55 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Exemples
Sur 2 exemples non linéaire et linéaire, comparaison de notre modèle
avec
Ï
Ï
Modèle à saut à probabilités a priori fixées
Modèle à saut de Markov
Meilleure adaptivité de l’algorithme en cas de défaillance soudaine,
mémoire des défaillances passées
Diminution de l’erreur d’estimation de l’état d’environ 20%
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
55 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Sommaire
1
Introduction
2
Algorithmes pour la fusion bayésienne de données
Algorithmes déterministes
Filtrage particulaire
3
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Modèles et algorithmes
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
56 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Applications en robotique mobile
Modèles/algorithmes développés adaptés aux problématiques de
robotique mobile
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
57 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Applications en robotique mobile
Modèles/algorithmes développés adaptés aux problématiques de
robotique mobile
Développement de véhicules autonomes (drones, taxis automatiques)
pour le transport de biens/personnes ou des opérations en milieu
hostile (exploration martienne, désamorçage de mine terrestre...)
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
57 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Applications en robotique mobile
Modèles/algorithmes développés adaptés aux problématiques de
robotique mobile
Développement de véhicules autonomes (drones, taxis automatiques)
pour le transport de biens/personnes ou des opérations en milieu
hostile (exploration martienne, désamorçage de mine terrestre...)
Plusieurs capteurs utilisés
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
57 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Applications en robotique mobile
Modèles/algorithmes développés adaptés aux problématiques de
robotique mobile
Développement de véhicules autonomes (drones, taxis automatiques)
pour le transport de biens/personnes ou des opérations en milieu
hostile (exploration martienne, désamorçage de mine terrestre...)
Plusieurs capteurs utilisés
Ï
Positionnement (GPS, centrale inertielle, compas magnétiques...)
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
57 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Applications en robotique mobile
Modèles/algorithmes développés adaptés aux problématiques de
robotique mobile
Développement de véhicules autonomes (drones, taxis automatiques)
pour le transport de biens/personnes ou des opérations en milieu
hostile (exploration martienne, désamorçage de mine terrestre...)
Plusieurs capteurs utilisés
Ï
Ï
Positionnement (GPS, centrale inertielle, compas magnétiques...)
Détection d’obstacle (radars, caméras...)
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
57 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Applications en robotique mobile
Modèles/algorithmes développés adaptés aux problématiques de
robotique mobile
Développement de véhicules autonomes (drones, taxis automatiques)
pour le transport de biens/personnes ou des opérations en milieu
hostile (exploration martienne, désamorçage de mine terrestre...)
Plusieurs capteurs utilisés
Ï
Ï
Positionnement (GPS, centrale inertielle, compas magnétiques...)
Détection d’obstacle (radars, caméras...)
Mesures délivrées par les capteurs peuvent être altérées à cause de
conditions extérieures difficiles
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
57 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Applications en robotique mobile
Modèles/algorithmes développés adaptés aux problématiques de
robotique mobile
Développement de véhicules autonomes (drones, taxis automatiques)
pour le transport de biens/personnes ou des opérations en milieu
hostile (exploration martienne, désamorçage de mine terrestre...)
Plusieurs capteurs utilisés
Ï
Ï
Positionnement (GPS, centrale inertielle, compas magnétiques...)
Détection d’obstacle (radars, caméras...)
Mesures délivrées par les capteurs peuvent être altérées à cause de
conditions extérieures difficiles
Ï
Tempête de sable sur Mars salissant la lentille de la caméra
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
57 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Applications en robotique mobile
Modèles/algorithmes développés adaptés aux problématiques de
robotique mobile
Développement de véhicules autonomes (drones, taxis automatiques)
pour le transport de biens/personnes ou des opérations en milieu
hostile (exploration martienne, désamorçage de mine terrestre...)
Plusieurs capteurs utilisés
Ï
Ï
Positionnement (GPS, centrale inertielle, compas magnétiques...)
Détection d’obstacle (radars, caméras...)
Mesures délivrées par les capteurs peuvent être altérées à cause de
conditions extérieures difficiles
Ï
Ï
Tempête de sable sur Mars salissant la lentille de la caméra
Chutes de neige ajoutant des perturbations à la mesure radar
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
57 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Localisation d’un véhicule terrestre
Véhicule terrestre équipé de 3 capteurs
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
58 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Localisation d’un véhicule terrestre
Véhicule terrestre équipé de 3 capteurs
Ï
Récepteur GPS
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
58 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Localisation d’un véhicule terrestre
Véhicule terrestre équipé de 3 capteurs
Ï
Ï
Récepteur GPS
Capteur d’angle de braquage
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
58 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Localisation d’un véhicule terrestre
Véhicule terrestre équipé de 3 capteurs
Ï
Ï
Ï
Récepteur GPS
Capteur d’angle de braquage
Capteur de vitesse
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
58 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Localisation d’un véhicule terrestre
Véhicule terrestre équipé de 3 capteurs
Ï
Ï
Ï
Récepteur GPS
Capteur d’angle de braquage
Capteur de vitesse
Récepteur GPS potentiellement défaillant à cause de phénomènes de
trajets multiples
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
58 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Modèle statistique
Modèles d’évolution
Basé sur un modèle cinématique de braquage d’Ackerman
·
¸
Vt
Xt+1 = Xt + T Vt cos ψt + (−a sin ψt + b cos ψt ) tan βt
L
·
¸
Vt
Yt+1 = Yt + T Vt sin ψt + (a cos ψt + b sin ψt ) tan βt
L
Vt+1 = Vt + T V̇t
Vt
ψt+1 = ψt + T tan(βt )
L
βt+1 = βt + T β̇t
β̇t+1 = β̇t + T β̈t
avec vt = [V̇t , β̈t ]T le bruit d’état supposé blanc, gaussien et centré, de
matrice de covariance connue.
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
59 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Modèle statistique
Modèles de mesure
Modèle d’observation nominal du GPS
µ
z1,t = h1 (xt ) + w1,t =
François Caron (INRIA)
Xt
Yt
¶
Méthodes particulaires et fusion de données
+ w1,t
8 Mars 2010
60 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Modèle statistique
Modèles de mesure
Modèle d’observation nominal du GPS
µ
z1,t = h1 (xt ) + w1,t =
Xt
Yt
¶
+ w1,t
Si le capteur GPS est défaillant, densité vague p0 (z1,t )
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
60 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Modèle statistique
Modèles de mesure
Modèle d’observation nominal du GPS
µ
z1,t = h1 (xt ) + w1,t =
Xt
Yt
¶
+ w1,t
Si le capteur GPS est défaillant, densité vague p0 (z1,t )
Modèles d’observation des capteurs de vitesse et d’angle de braquage
z2,t = h2 (xt ) + w2,t = (1 + tan(βt )
H
)vt + w2,t
L
et
z3,t = h3 (xt ) + w3,t = βt + w3,t
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
60 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Modèle statistique
Défaillance du récepteur GPS
Défaillance du GPS modélisée selon les modèles décrits
précédemment
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
61 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Modèle statistique
Défaillance du récepteur GPS
Défaillance du GPS modélisée selon les modèles décrits
précédemment
Variable indicatrice discrete c1,t ∈ {0, 1}
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
61 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Modèle statistique
Défaillance du récepteur GPS
Défaillance du GPS modélisée selon les modèles décrits
précédemment
Variable indicatrice discrete c1,t ∈ {0, 1}
Probabilités α1,t
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
61 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Modèle statistique
Défaillance du récepteur GPS
Défaillance du GPS modélisée selon les modèles décrits
précédemment
Variable indicatrice discrete c1,t ∈ {0, 1}
Probabilités α1,t
Hyperparamètres σα
1,t
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
61 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Algorithme
Evolution quasi-déterministe (bruits d’évolution faibles)
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
62 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Algorithme
Evolution quasi-déterministe (bruits d’évolution faibles)
Ï
Problème d’appauvrissement des échantillons dans le filtre particulaire
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
62 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Algorithme
Evolution quasi-déterministe (bruits d’évolution faibles)
Ï
Problème d’appauvrissement des échantillons dans le filtre particulaire
Utilisation d’un filtre de Kalman sans parfum rao-blackwellisé [Briers
et al., 2003]
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
62 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Algorithme
Evolution quasi-déterministe (bruits d’évolution faibles)
Ï
Problème d’appauvrissement des échantillons dans le filtre particulaire
Utilisation d’un filtre de Kalman sans parfum rao-blackwellisé [Briers
et al., 2003]
Banque de filtres de Kalman sans parfum en interaction
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
62 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Résultats
Données réelles collectée par l’ACFR 1
1. Australian Center for fields Robotics
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
63 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Résultats
Données réelles collectée par l’ACFR 1
Ï
Simulation de trajets multiples par l’ajout d’un biais aléatoire constant
par morceaux aux données réelles GPS
1. Australian Center for fields Robotics
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
63 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Résultats
Données réelles collectée par l’ACFR 1
Ï
Ï
Simulation de trajets multiples par l’ajout d’un biais aléatoire constant
par morceaux aux données réelles GPS
Simulation d’un dérapage du véhicule en modifiant la mesure d’angle
de braquage
1. Australian Center for fields Robotics
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
63 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Résultats
Données réelles collectée par l’ACFR 1
Ï
Ï
Simulation de trajets multiples par l’ajout d’un biais aléatoire constant
par morceaux aux données réelles GPS
Simulation d’un dérapage du véhicule en modifiant la mesure d’angle
de braquage
Comparaison du modèle/algorithme proposé
1. Australian Center for fields Robotics
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
63 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Résultats
Données réelles collectée par l’ACFR 1
Ï
Ï
Simulation de trajets multiples par l’ajout d’un biais aléatoire constant
par morceaux aux données réelles GPS
Simulation d’un dérapage du véhicule en modifiant la mesure d’angle
de braquage
Comparaison du modèle/algorithme proposé
Ï
Filtre de Kalman sans parfum classique
1. Australian Center for fields Robotics
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
63 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Résultats
Données réelles collectée par l’ACFR 1
Ï
Ï
Simulation de trajets multiples par l’ajout d’un biais aléatoire constant
par morceaux aux données réelles GPS
Simulation d’un dérapage du véhicule en modifiant la mesure d’angle
de braquage
Comparaison du modèle/algorithme proposé
Ï
Ï
Filtre de Kalman sans parfum classique
Filtre de Kalman sans parfum avec rejet des mesures selon un test
statistique
1. Australian Center for fields Robotics
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
63 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Résultats
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
64 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Résultats
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
65 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
Bibliographie
M. Briers, S. Maskell, and R. Wright.
A Rao-Blackwellised Unscented Kalman Filter.
In Proceedings of 6th International Conference on Information Fusion, 2003.
F. Caron, M. Davy, E. Duflos, and P. Vanheeghe.
Particle Filtering for Multisensor Data Fusion with Switching Observation Models.
Application to Land Vehicle Positioning.
IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 55, 2007.
A. Doucet, N. de Freitas, N. Gordon (Edt.)
Sequential Monte Carlo Methods in Practice.
Springer, 2001.
P. Del Moral
Feynman-Kac Formulae. Genealogical and Interacting Particle Systems with
Applications.
Springer, 2004.
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
66 / 67
Fusion de capteurs à modèles d’observation multiples
Application à la localisation d’un véhicule terrestre
This is the end
Merci pour votre attention ! !
http ://www.math.u-bordeaux1.fr/∼fcaron
François Caron (INRIA)
Méthodes particulaires et fusion de données
8 Mars 2010
67 / 67