DS04-15-élec-régim trans + RSF

PCSI A et B 9 janvier 2016
Devoir de sciences physiques n°4 (4h)
PROBLEME I : Régime transitoire d'un circuit RC (barème sur 70 points)
Étude théorique
Un dipôle AB est constitué d’une résistance R en série avec un condensateur de
capacité C.
On place ce dipôle aux bornes d’un générateur de tension continue de force
électromotrice E > 0 et de résistance interne Rg avec un interrupteur K selon le
montage de la figure 1.
Initialement, le circuit est ouvert et le condensateur déchargé.
A t = 0, on ferme K. On note us(t) la tension aux bornes du condensateur à l’instant t.
1. Pour t > 0, établir l’équation différentielle à laquelle obéit us(t) sous la forme:
dust
dt ust
=E
Z
pour t > 0.
◦Exprimer τ et Z en fonction des caractéristiques du circuit.
◦Comment s'appelle τ , quelle est son unité SI ?
◦Quelle est sa signification physique ?
2. En utilisant les paramètres E et τ , tracer la trajectoire de phase représentant
dus
dt
en fonction de us(t), en prenant soin de préciser
les coordonnées du point de départ P0 et du point d'arrivé PF de cette trajectoire.
3. Résoudre l'équation de la question 1 et tracer us(t), en utilisant toujours les paramètres E et τ.
4. Étude énergétique : on considère pour cette question, l’état du système à la date t1 > 0 et Rg = 0.
On donnera toutes les expressions des énergies en fonction de C, E, τ et t1.
4.1. Donner l'expression simplifiée de τ .
4.2. Établir l'expression de l’énergie EC emmagasinée dans le condensateur à la date t1 ?
4.3. Établir l'expression de l’énergie ER dissipée dans la résistance pendant l’intervalle de temps [0, t1] ?
4.4. Établir l'expression de l’énergie Eg fournie par le générateur pendant l’intervalle de temps [0, t1] ?
4.5. A l’aide des expressions obtenues précédemment, montrer qu’une relation lie les trois grandeurs Eg, ER, EC ? Expliquer.
Étude expérimentale
5. Question préliminaire: Montrer que 2 condensateurs C1 et C2 placés en parallèle entre 2 bornes A et B sont équivalents du
point de vue des bornes A et B à un condensateur unique de capacité Ceq = C1 + C2.
Pour l’étude expérimentale de ce circuit RC, on branche en
parallèle avec le condensateur C un oscilloscope selon le
montage de la figure 2.
Pour l'analyse du circuit, il faut tenir compte des
caractéristiques d’entrée de l’oscilloscope modélisables par
l’association parallèle d’une résistance Re et d’un
condensateur de capacité Ce .
6. Sans négliger Rg devant R, mais en utilisant Ceq que vous
préciserez, faire un schéma simplifié de la figure 2 et établir
la nouvelle équation différentielle à laquelle obéit us(t) sous
la forme:
dus(t)
dt +us(t) τ'=E Z '
. Exprimer τ' et Z' en
fonction des caractéristiques du circuit.
7. A quelle condition sur Rg peut-on négliger l’influence du
générateur ? A quelle condition sur Ce d'une part et Re d'autre
part, peut-on négliger l'influence de l’oscilloscope ?
8. Dans cette question, on néglige l’influence des éléments Re et Ce de l’oscilloscope mais pas Rg. En utilisant l’une des deux voies
de l’oscillo, on visualise la tension us(t). Une copie de l’écran de l’oscilloscope fournit l’oscillogramme de la figure 3.
8.1. Soit t1 le temps au bout duquel le condensateur est chargé à 10% et t2 le temps au bout duquel il est chargé à 90%. Exprimer la
constante de temps du circuit en fonction de t2-t1.
8.2. Déterminer grâce à l'oscillogramme de la figure 3, la force électromotrice E du générateur, t2 -t1 en expliquant votre démarche
puis en déduire la valeur de la constante de temps du circuit.
8.3. Sachant que R+Rg = 150 Ω , déterminer la capacité C du condensateur.
1
Oscilloscope
us(t)
Générateur
K
C
Figure 2
E
i(t)
R
Rg
A
B
ReCe
us(t)
générateur
K
C
Figure 1
E
i(t)
R
Rg
A
B

PROBLEME 2: Bobine en régime transitoire (barème sur 55 points)
On considère le circuit de la figure 1 . Un générateur de tension
continue de fem E alimente un circuit RLC constitué d’un
condensateur de capacité C = 0,10 μF, d’une bobine réelle
d’inductance L et de résistance r inconnues, placés en série avec une
résistance R =350 Ω. On attend que le régime permanent soit établi.
1. Préciser lorsque le régime permanent est atteint les valeurs de i ,
uL , uR et uC .
Une fois le régime permanent atteint, on remplace le générateur
par un fil à une date prise comme origine des temps. On étudie
donc la décharge du condensateur pour t > 0.
2. Établir l’équation différentielle régissant l’évolution de uC(t) et la
mettre sous la forme canonique :
d2uc(t)
dt2+ω0
Q
d uc(t)
dt +ω0
2uc(t)=0
où on exprimera ω0 et Q , le facteur de qualité du circuit, en fonction
des données du problème.
3. Rappeler les relations de continuité à l’intérieur d’une bobine et
d’un condensateur. En déduire les valeurs uC(0+) et
(
d uc(t)
dt
)
(0+)
.
4. Comme le montre le graphe ci-contre, on se trouve en régime
pseudo-périodique. Montrez que ceci n’est possible que si la
résistance R est inférieure à une valeur maximale RC que l’on
explicitera en fonction de L , r et de C .
5. Montrer que
uC(t)=E e−μ t
[
cos Ωt+μ
Ωsin Ωt
]
, formule dans laquelle on exprimera la pseudo-pulsation
Ω
et μ en
fonction de
Q
et
ω0
.
6. Dans le tableau ci-dessous, on donne les coordonnées des deux premiers maxima pour (t ≠0) correspondants à S1 et S2 sur le
graphe . En déduire la valeur expérimentale de la pseudo-période T et de la pseudo-pulsation
Ω
.
S1S2
Valeur de la tension u1max = 2,73 V u2max = 0,73 v
Date en ms 0,65 1,29
7. On pose
δ=ln u1max
u2max
. Montrer que
δ=ω0T
2Q
. En déduire l’expression de Q en fonction de
δ
.Calculer Q et ω0.
8. À quelle condition peut–on assimiler la pseudo-période à la période propre ? Cette approximation est-elle vérifiée dans le cas
étudié ?
9. Trouvez les valeurs numériques de L et r.
2
EuC(t)
i(t)
C
R
Générateur
uR(t)
Figure 1
(L,r)
uL(t)

PROBLEME 3 : Étude d'un filtre de Wien (barème sur 80 points)
Les parties 1 et 2 sont indépendantes
Le filtre étudié , représenté figure 1 , comporte deux résistors identiques de résistance
R=2k Ω
ainsi que deux condensateurs
identiques de capacité
C=5nF
.
On applique à l'entrée du filtre la tension sinusoïdale
ue(t)=Uem cos(ωt)
. On recueille en sortie, la tension
us(t)=Usm cos(ω t+φ)
.
Les grandeurs Uem, Usm , ω et
φ
sont indépendantes du temps.
Première partie :
1. En effectuant un schéma équivalent en BF (basse fréquence), puis un autre en HF (haute fréquence), déterminer sans calcul la
nature de ce filtre.
2. Montrer que la fonction de transfert peut s’écrire sous la forme :
H(jω)= 1
a+j(ω
ω0−ω0 ω)
où a est un entier et
ω0
une
pulsation à déterminer en fonction de R et C.
3. Déduire de la question précédente, l'équation différentielle reliant ue(t) et us(t). Quel est l'ordre du filtre ?
4. Pour la suite du problème, on choisit comme variable d'étude
x=ω
ω0
la pulsation réduite. Donner l'expression de
H(jx)
.
5. On pose
H(jx)=G(x)ejφ(x)
, exprimer
G(x)
ainsi que
tanφ( x)
en précisant la domaine de variation de
φ( x)
.
6. Pour quelle valeur x1 de x
G(x)
est-il maximum ? Quelle est la fréquence f1 correspondante ? Faire l'application numérique.
Déterminer
G(x1)
et
φ( x1)
.
7. En annexe 1, on a tracé le diagramme de Bode asymptotique en gain du filtre sur papier semi-log sans préciser l'échelle sur chaque
axe. Grâce à l'expression de la fonction de transfert, établir l'équation des 2 asymptotes, tracer sur le graphe l'échelle d'étude ainsi que
les coordonnées des points A, B et C.
8. Tracer le diagramme de Bode asymptotique en phase sur le papier semi-log vierge.
9. Tracer le diagramme de Bode réel.
10. Le signal d'entrée est une tension créneau de f =16 MHz, quelle est la forme du signal en sortie ?
11. Deuxième partie :
Un élève distrait, chargé de réaliser le filtre, oublie de mettre le condensateur en série avec la résistance . Le condensateur est ainsi
remplacer par un fil.
12. Montrer que la nouvelle fonction de transfert du filtre peut s'écrire sous la forme :
H(jx)= 1
b+j x
où b est un entier à
déterminer et
x=ω
ω1
la pulsation réduite dépendant de la pulsation
ω1
que l'on déterminera en fonction de R et C.
13. Quelle est la nature de ce nouveau filtre ? Justifier votre réponse.
14. Établir l'expression de sa fréquence de coupure fc à -3dB? Faire l'application numérique.
15. En basse fréquence l'élève détermine le gain du filtre , il trouve GdB = -10,05 dB. Ce résultat est-il celui attendu ?
16. La tension d'entrée est un échelon de tension d'amplitude E = 10V. Parmi les figures ci-dessous, quelle est celle qui représente la
tension de sortie us(t) ? justifier votre réponse en établissant l'expression théorique de us(t).
3
C
us(t)
ue(t)
R
R
Figure 1 C

Annexe à rendre avec la copie
Nom prénom :
4
GdB
logx
A
B
C
Diagramme de Bode en gain
Diagramme de Bode en phase

Correction du problème 1:
Étude théorique
1. Pour t > 0, on applique la loi des mailles :
uR+us=Ri (t)+us(t)=E−Rgi(t)
or
i(t)=Cd us(t)
dt
d'où :
d us(t)
dt +us(t) C(R+Rg)=E C(R+Rg)
. Par identification :
τ=C(R+Rg)
et
Z=τ
.
•
τ
est la constante de temps ou le temps de relaxation du circuit RC.
•Son unité SI est la seconde.
•Elle donne l'ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
2. On pose
x=us(t)
. Le portrait de phase consiste à tracer
y(t)= dus(t)
dt
en fonction de
x=us(t)
. D'après l'équation
différentielle la trajectoire de phase a pour équation :
y(t)=ax (t)+b
avec
a=−1
τ
et
b=E
τ
•La trajectoire de phase est mathématique une fonction affine.
État initial :
A t=0+
us(0+)=us(0−)=0
. Le condensateur est initialement déchargé et il y a continuité de la charge dans la
condensateur. Grâce à l'équation on établit :
y0=( dus(t)
dt )
0
=E
τ
• La trajectoire de phase commence au point de coordonnées
P0(0, E
τ)
.
État final :
L'état final correspond mathématiquement à un temps infini.
Physiquement il correspond au régime permanent qui est ici le régime continu donc
y(∞)=dus(t)
dt =0
d'après l'équation on déduit :
x(∞)=E
•La trajectoire de phase s'arrête à l'origine de coordonnées
PF(E ,0)
.
3.
us(t)=ush+usp (t)=A e
−t
τ+E
A t = 0+
uC(0+)=uC(0−)=0
. On en déduit que A = - E. d'où la solution :
us(t)=E(1−e
−t
τ)
lim
t→∞
uC(t)=E
. On en déduit le graphe ci-contre ( us et noté uc):
4. Étude énergétique.
4.1. Rg = 0,
τ=R C
.
4.2. Énergie emmagasinée dans le condensateur :
EC=WC(t1)−WC(0)=1
2C E2(1−e
−t1
τ)2
4.3. On calcule dans un premier temps l'intensité traversant la résistance :
i(t)=Cd u s(t)
dt =E Re
−t
τ
. On en déduit :
ER=∫
0
t1
R i2(t)dt=∫
0
t1
R(E
R)
2
e
−2t
τdt=
[
−τ
2R(E R)
2
e
−2t
τ
]
0
t1
=1
2C E2(1−e
−2t1
τ)
4.4. Énergie délivrée par le générateur :
EG=∫
0
t1
E i(t)dt=∫
0
t1
E(E
R)e
−t
Rdt=
[
−τ R(E
R)
2
e
−t
τ
]
0
t1
=C E2(1−e
−t1
τ)
5
x=us(t)
y=dus / dt
E/τ
E
EI?
EF
Trajectoire de
phase
i(t)
us(t)
C
E
R
Rg
A
B
uR(t)