Electrostatique f ma

Enoncés d'exercices complémentaires au cours de Physique Générale
Electrostatique
1. Quel
est le potentiel
V ( x, y, z ) correspondant au champ électrique uniforme suivant
E ( x, y, z ) = E0 1x ?
2. Supposons un électron plongé dans le potentiel obtenu en 1. Calculez
l'accroissement d'énergie cinétique acquise par cet électron sur un mètre de longueur
dans le champ si E0 = 1 N/C. Faites le calcul à partir de la loi de Newton f = ma et
ensuite à partir du principe de conservation de l'énergie : énergie cinétique + énergie
potentielle = énergie totale (constante). Comparez les résultats. S'ils ne sont pas
identiques : retour à la case départ.
3. Considérons un proton de position fixe dans l'espace (à l'origine des coordonnées,
par exemple). Un électron situé à l'infini à vitesse nulle est capté par le potentiel
électrique de ce proton. Quelle vitesse aura atteint l'électron lorsqu'il sera à 0,1 nm du
proton? (petit conseil : utilisez le principe de conservation de l'énergie ; remarque :
0,1 nm est à peu près la distance entre l'électron et le proton de l'atome d'hydrogène).
4. Supposons un électron situé à 0,1 nm d'un proton. Quelle est la vitesse initiale
minimum vmin qu'il faut lui donner pour qu'il puisse s'éloigner à une distance infinie du
proton? Que se passe-t-il si la vitesse initiale est plus grande que vmin? Que se
passe-t-il si la vitesse initiale est plus petite que vmin? Calculez la distance
d'éloignement maximum lorsque la vitesse initiale de l'électron vaut seulement vmin/2.
5. Dans un tube cathodique, le faisceau d'électrons est formé à partir de l'accélération
d'électrons dans un condensateur. La plaque du condensateur chargée négativement
délivre les électrons (ceux-ci sont arrachés par le champ électrique du condensateur
lui-même ; l'énergie nécessaire à cet arrachement est à négliger dans cet exercice),
c'est l'anode. L'autre plaque, chargée positivement, est trouée de façon à laisser
passer une partie des électrons accélérés, c'est la cathode. L'écran phosphorescent
du tube est mis au même potentiel que la cathode de façon à ce que le champ
électrique soit nul au-delà de la cathode. En supposant une distance entre plaques de
1 mm, calculez le champ électrique nécessaire à l'obtention d'une vitesse de 1 km/s
pour les électrons du faisceau. Déduisez-en le nombre d'électrons nécessaires à la
surface de l'anode en supposant que celle-ci ait une surface de 1 cm2. Calculez
également la tension à appliquer aux bornes du condensateur.
6. Dans le tube cathodique considéré ci-dessus, un deuxième condensateur sert à
défléchir le faisceau électronique dans un plan vertical. Calculez le champ électrique
qu'il faut dans ce deuxième condensateur simplement pour que le faisceau
d'électrons ne tombe pas dans le champ gravitationnel de la terre, c'est-à-dire, pour
que le faisceau reste horizontal et rectiligne.
7. Considérons le champ électrique généré par trois plaques (supposées infiniment
minces) portant les densités de charge de surface données ci-dessous. A partir d'une
simple analyse basée sur le théorème de Gauss, identifiez la zone de champ nulle
(parmi les quatre zones marquées I à IV sur le schéma ci-dessous) ainsi que la zone
de champ maximum. Calculez ensuite le champ en V/m dans chacune des zones.
σ 1 = 1 C/m 2 , σ 2 = 2 C/m 2 , σ 3 = 3 C/m 2
σ1
0
I
σ2
σ3
1
II
3
III
x [m]
IV
8. Un filet d'eau coulant d'un robinet peut être facilement dévié quand on place un objet
chargé à sa proximité (si si, vous pouvez facilement essayer chez vous par exemple
avec un morceau de tissu en acrylique que vous aurez frotté auparavant sur un
morceau de tissu en coton ; les vêtements sont les candidats idéaux pour ce genre
d'expérience). Expliquez ce phénomène. A-t-il lieu seulement avec l'eau ou bien se
manifeste-t-il aussi avec d'autres liquides ou matériaux (matériaux non polaires par
exemple)? Pourriez-vous expliquer pourquoi ce phénomène n'a lieu que si le champ
électrique appliqué est inhomogène (champ non uniforme).
9. Le champ électrique peut-il avoir des lignes de champ concentriques telles que celles
représentées ci-dessous ? Justifiez votre réponse (bien sûr).
10. Un problème pour ceux qui tiennent la forme : à partir du développement du cours
qui montre que le gradient d'une fonction de deux variables est un vecteur qui pointe
dans la direction de pente maximale, montrez que les courbes équipotentielles d'un
problème électrostatique à 2 dimensions sont orthogonales aux lignes de champ
électrique. Que ceux qui ont trouvé ça viennent me voir…
11. Une sphère conductrice de charge nulle et creuse contient une seconde sphère
concentrique métallique chargée (charge totale Q>0) comme suggéré sur le schéma
ci-dessous. Décrivez les répartitions du champ électrique et des charges dans ce
système (ajoutez sur le dessin des petits + et des petits – pour les charges et des
flèches pour le champ). Déduisez de vos réflexions la charge totale présente à la
surface de la grande sphère.
Q
12. Calculez la différence de potentiel existant entre les deux sphères métalliques
concentriques considérées à la question 11 lorsque Q = 1 µC. Les diamètres
extérieurs des sphères sont de 2 et 6 cm et l'épaisseur de métal de la grande
sphère est de 1 cm.
13. Calculez la vitesse de déplacement d'ensemble des électrons dans un fil de cuivre
d'une longueur de 10 cm (et de section circulaire de 1 mm de diamètre) soumis à
une différence de potentiel de 4,5 Volt, sachant que la résistivité du cuivre est de 1,7
10-8 Ωm et que la densité d'électrons libres dans le cuivre vaut approximativement
1023 cm-3. Au passage vous devrez évaluer la mobilité des électrons dans le cuivre ;
combien vaut-elle? (à vos calculettes)
14. Calculez le champ électrique généré par une distribution continue de charge de la
forme ρ ( x, y , z ) = α pour 0<x<L et ρ ( x, y , z ) = 0 partout ailleurs, comme
suggéré sur le schéma ci-dessous. Utilisez le théorème de Gauss sous sa forme
intégrale et puis sous sa forme locale (comparer les deux approches du problème).
ρ
0
L
x
15. Calculez le temps mis pour décharger de moitié un condensateur d'une capacité de
1 Farad au travers d'une résistance de 1 Ω. Le résultat est-il Farad-mineux?
16. Donnez l'expression mathématique du champ électrique généré par la surface plane
(supposée infinie) d'un matériau conducteur portant une densité de charge de
surface donnée.
17. De quel facteur augmente la capacité d'un condensateur vide d'épaisseur e
lorsqu'on y introduit une plaque métallique dont l'épaisseur vaut e/2? Décrivez la
répartition des charges et du champ dans ce système.
18. Calculez la densité de charge qui génère le champ E ( x, y, z ) = E0 cos( kx)1x (k=6,28
cm-1 et E0 = 1 V/m) ainsi que celle qui génère le champ E ( x, y, z ) = E0 cos( ky )1x .
Ceux qui arrivent à s'expliquer l'incongruité à laquelle mène le deuxième cas sont
très très forts.
19. Calculez le moment de force que subit une molécule d'HCl dans un champ
électrique de 1 MV/m, sachant que son moment dipolaire est de 3,4 10-30 Cm. On
ne dirait peut-être pas comme ça mais je vous assure que c'est un petit calcul tout
simple faisable à partir de la matière vue au cours.
20. Imaginez un condensateur diélectrique plan duquel on peut extraire le matériau
diélectrique comme suggéré à la figure ci-dessous. Supposez ensuite que le
matériau diélectrique ait une permittivité relative de 10 et que le condensateur vide
ait une capacité de 1 F. Calculez alors les énergies emmagasinées dans le
condensateur vide et le condensateur rempli lorsqu'il porte une charge de 1 C.
Déduisez-en l'énergie nécessaire à l'extraction complète du matériau diélectrique.
Pouvez-vous identifier l'origine de cette énergie.