Introduction à la Mécanique des Fluides Principes et fondements de la modélisation mathématique des écoulements de fluides visqueux newtoniens incompressibles Damien VIOLEAU – EDF R&D / LNHE Ecole Nationale des Ponts et Chaussées Ecole des Ingénieurs de la Ville de Paris ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 1 / 46 Cours de Mécanique des Fluides Objectif du cours • • • • Présenter et expliquer les phénomènes Démontrer les équations fondamentales Donner des outils simples d’expertise Justifier et éclaircir les modèles numériques Plan sommaire • • • Notions de cinématique des milieux continus Equations de bilans des milieux continus Equations des fluides visqueux newtoniens incompressibles ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 2 / 46 Première partie : Notions de cinématique des milieux continus T. Levi-Civita ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 3 / 46 Contexte Problématique La mécanique des milieux continus a pour objectif de donner des outils mathématiques simples permettant : • d’estimer les efforts (contraintes) • de déterminer les déformations … au sein d’un milieu déformable (béton, métal, sol, fluide, etc.) Cas des fluides Il s’agit de déterminer, pour un écoulement donné : • • en chaque point de coordonnées x, y, à chaque instant t z … les quantités suivantes : • • les 3 composantes de la vitesse la pression ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 4 / 46 Description spatiale Représentation eulérienne et lagrangienne Euler Lagrange J.-L. Lagrange L. Euler Points fixes (virtuels) Particules mobiles (réelles) Deux approches… • en théorie équivalentes • complémentaires. Dans un logiciel, les deux approches aboutissent à des modélisations différentes et permettent de prédire des phénomènes différents : Eulérien Lagrangien ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 5 / 46 Champs de tenseurs On se donne une base orthonormée de vecteurs ei. Les coordonnées spatiales (eulériennes) d’un point sont notées xk (k = 1, 2, 3) ou x, y, z. ez ey On distingue différents tenseurs : • Ordre 0 (scalaires) : A( xk , t ) Ai ( xk , t )e i • Ordre 1 (vectoriels) : A( xk , t ) = ex ∑ • Ordre 2 (matriciels) : A( x , t ) = ∑ A ( x , t )e ⊗ e 10 20 30 scalaire i =1, 2 , 3 k k i j i , j =1, 2 , 3 Conventions • Convention d’Einstein : ij Ai e i = ∑ vectoriel Ai ( xk , t )e i i =1, 2 , 3 • On omet souvent la dépendance explicite en xi et t • Symbole de Kronecker : coefficients δij de la matrice ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau I ⎛ 1 0 0⎞ ⎟ ⎜ I = ⎜ 0 1 0⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ 6 / 46 Opérateurs différentiels (1) Opérateurs « gradient » ∂A ⎛ ∂A ∂A ∂A ⎞ ei = ⎜ , , ⎟ • Vectoriel : grad A = ∂xi ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂Ai ⎛ ∂Ax ∂Ax ∂Ax ⎞ grad A = e ⊗ e = • Tensoriel : i j ⎜ ⎟ ∂x j ∂y ∂z ⎟ ⎜ ∂x ∂Ay ∂Ay ∂Ay ⎟ ⎜ 60 A 70 ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ 80 ⎜ ∂A ∂A ∂A ⎟ grad A z z ⎟ ⎜⎜ z ⎟ x y z ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ Opérateur « rotationnel » y ⎛ ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax ⎞ (rot A)z > 0 rot A = ⎜ − , , − − ⎟ ⎝ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ⎠ ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 7 / 46 x Opérateurs différentiels (2) Opérateurs « divergence » ∂Ai ∂Ax ∂Ay ∂Az • Scalaire : div A = + + = ∂xi ∂x ∂y ∂z ∂Aij ⎛ ∂Axx ∂Axy ∂Axz ⎞ ei = ⎜ • Vectorielle : div A = + + ⎟ ∂x j ∂z ⎟ ∂y ⎜ ∂x ⎜ ∂Ayx ∂Ayy ∂Ayz ⎟ div A > 0 ⎜ ∂x + ∂y + ∂z ⎟ ⎜ ⎟ Opérateurs « Laplacien » ∂Azx ∂Azy ∂Azz ⎟ ⎜ + + 2 ⎜ ⎟ ∂ A x y z ∂ ∂ ∂ ⎠ ⎝ • Scalaire : ΔA = div grad A = ∂xi ∂xi ∂ 2 Aj • Vectoriel : Δ A = div grad A = ej ∂xi ∂xi ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 8 / 46 Opérations élémentaires Opérations entre tenseurs • Produit scalaire : A ⋅ B = Ai Bi T • Transposée d’une matrice : ( Aij e i ⊗ e j ) = Aji e i ⊗ e j T • Produits matrice-vecteur : A ⋅ B = Aij B j e i B ⋅ A = Bi Aij e j = A ⋅ B • Produit de deux matrices : A ⋅ B = Aik Bkj e i ⊗ e j • Trace d’une matrice : tr A = Aii • Double produit de deux matrices : A : B = Aij B ji = tr ( A ⋅ B ) Théorème de Green-Ostrogradski n • Ω : volume de contrôle • n : normale extérieure ∂Ω unitaire au bord ∂Ω Ω ∫ div A dΩ = ∫ A ⋅ n dΓ ∫ div A dΩ = ∫ A ⋅ n dΓ Ω ∂Ω Ω ∂Ω ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 9 / 46 Champ de vitesse Notion de « particule » d’un milieu continu • Ensemble de molécules suffisamment grand pour définir une vitesse statistique : ℓ 1 N (A ) v(A ) = vk N (A ) k =1 Particule ∑ • … mais suffisamment petit pour demeurer microscopique ! (Typiquement, A ∼ 10−5 m) L’approche statistique est nécessaire : • • Pour utiliser correctement la notion de vitesse à l’échelle moléculaire ; Pour obtenir un champ de vitesse régulier (continu et dérivable) u ( xi , t ) ≡ v(A 0 ) (ms−1) Molécule v(ℓ) Î On appelle quantité de mouvement la grandeur ρu (u est donc la quantité de mouvement par unité de masse) ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau ℓ ℓ0 10 / 46 Autres champs Champ de densité • Définition : ρ( xi , t ) ≡ ρ(A 0 ) = • 1 V (A 0 ) N (A 0 ) ∑m k k =1 Comme la vitesse, c’est un champ régulier (kg.m−3) Dérivée matérielle (ou lagrangienne) d’un champ • Taux de variation d’un champ en suivant une particule : ∂A ∂A ∂A ∂A dA = dt + dx + dy + dz ∂t ∂x ∂y ∂z dA ∂A ∂A ∂A = + ui = + grad A ⋅ u dt ∂t ∂xi ∂t N N dérivée lagrangienne dérivée eulérienne u(xi,t) Particule à l’instant t + dt Particule à l’instant t transport (convection) A(xi+dxi,t+dt) A(xi,t) d u ∂u = + gradu ⋅ u Î Accélération d’une particule : dt ∂t inertie ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 11 / 46 Déformation d’un milieu (1) Tenseur taux de déformation • • Dérivée lagrangienne d’un petit vecteur matériel : d (d r ) d = (r '− r ) = u (r + d r ) − u (r ) = gradu ⋅ d r dt dt u(r) u(r+dr) dr Dérivée d’un produit scalaire de vecteurs élémentaires : d (d r ⋅ d r ' ) d (d r ) d (d r ' ) = ⋅ d r '+ d r ⋅ dt dt dt = (gradu ⋅ d r )⋅ d r '+ d r ⋅ gradu ⋅ d r ' = d r ⋅ (gradu ) ⋅ d r '+ d r ⋅ gradu ⋅ d r ' T dr dr’ d (d r ⋅ d r ' ) = 2d r ⋅ s ⋅ d r ' dt Î On introduit le tenseur taux de déformation : 1 ⎛ ∂ui ∂u j ⎞ ⎟ = s ji + ou sij = ⎜⎜ 2 ⎝ ∂x j ∂xi ⎠⎟ ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 12 / 46 [ 1 T s = gradu + (gradu ) 2 ] Déformation d’un milieu (2) Interprétation du taux de déformation • Taux de dilatation : d (d r ⋅ d r ) = 2d r ⋅ s ⋅ d r dt d(d r ) 2 d r = 2d r ⋅ s ⋅ d r dt u(r) u(r+dr) dr 1 d(dr ) d r dr = ⋅s⋅ d r dt dr dr Î Il s’agit de la rapidité avec laquelle le matériau se dilate dans la direction dr • Taux de distorsion : d r ⋅ d r ' = dθ dr dr =2 ⋅s⋅ dt dr d r' d r d r ' sin θ ≈ d r d r ' θ Î Il s’agit de la rapidité avec laquelle le matériau se distord dans le plan contenant dr et dr’ ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau dr θ dr’ 13 / 46 Dilatation Taux de contraction / dilatation Dans la base de diagonalisation de s : d (dz ) d (dΩ ) d (dx ) d (dy ) dxdz + dxdy = dydz + dt dt dt dt 1 d (dΩ ) 1 d (dx ) 1 d (dy ) 1 d (dz ) ⇒ = + + dΩ dt dx dt dy dt dz dt = ex ⋅ s ⋅ ex + e y ⋅ s ⋅ e y + ez ⋅ s ⋅ ez = s xx + s yy + s zz = tr s ∂ui 1 d ( dΩ ) ⇒ = tr s = = div u dΩ dt ∂xi e M z e dz M M y dy dx M ex dΩ = dxdydz représente donc le taux de dilatation. Î Exemple : le taux de dilatation de l’Univers en expansion est nommé par les cosmologues la constante de Hubble H0 ≈ 3.10–15 s–1 ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 14 / 46 Cisaillement Taux de déformation scalaire Par opposition, une mesure de la déformation du matériau, même en l’absence de dilatation / contraction, est donnée par le taux de déformation scalaire : s = 2 sij sij = 2 s : s Invariants de déformation dΩ = cte tr s = 0 s≠0 Un tenseur diagonalisable possède 3 invariants (indépendants de la base), par exemple ses valeurs propres, ou encore les p quantités tr s , p = 1, 2, 3 : 1 2 2 (Cayley-Hamilton) s − (tr s )s + [tr s − (tr s ) ]s − (det s )I = 0 2 s2 3 2 tr s = sij s jk ski tr s = div u tr s = sij sij = 2 3 2 ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 15 / 46 Exemple : cisaillement constant Glissement linéaire à volume constant On se donne une échelle de temps τ z u = u ( z )e x = e x τ ⎛0 ⎜ gradu = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝ 1/ τ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟⎠ ⎛0 ⎜ 1⎜ 0 s= 0 2τ ⎜ ⎜1 0 ⎝ ∂u 1 = s = 2(s xz2 + s zx2 ) = 2 s xz = ∂z τ 0 0 0 0 z x 1⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠ Î D’une manière générale, le taux de déformation scalaire est l’inverse du temps caractéristique de déformation du matériau : ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 1 τ~ s 16 / 46 Vorticité Tenseur taux de rotation ou vorticité Partie antisymétrique du gradient des vitesses : 1 ⎛ ∂ui ∂u j ⎞ 1 T ⎟ ωij = ⎜⎜ − ω = [gradu − (gradu ) ] 2 ⎝ ∂x j ∂xi ⎟⎠ 2 ∂u ∂v ∂u ∂w ⎞ ⎛ 0 − − ⎟ ⎜ 0 − (rotu )z (rot u ) y ⎞ ⎛ ∂y ∂x ∂z ∂x ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ∂v ∂u ∂v ∂w ⎟ 1 ⎜ 0 ω= ⎜ − 0 − ⎟= − (rotu )x ⎟ (rotu )z ⎟ 2 ∂x ∂y 2⎜ ∂z ∂y ⎟ ⎜ ∂w ∂u ∂w ∂v ⎜ − (rot u ) (rot u ) ⎟ 0 y x ⎝ ⎠ ⎜⎜ − 0 ⎟⎟ − ⎝ ∂x ∂z ∂y ∂z ⎠ ω s=0 gradu = s + ω ω = ω(e x ⊗ e z Rotation Déformation − ez ⊗ ex ) pure pure ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 17 / 46 Deuxième partie : Equations de bilans des milieux continus A.-L. Cauchy ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 18 / 46 Bilans Bilan d’un champ sur un volume matériel On considère un volume Ω constitué d’un nombre fixé de particules, Et on note n le vecteur normal unitaire extérieur à sa frontière. La variation (lagrangienne) de l’intégrale d’un champ sur ce volume est due : • • à la variation intrinsèque du champ en chaque point au mouvement du volume de contrôle d ∂A AdΩ = dΩ + Au ⋅ n dΓ Ω ∂t ∂Ω dt Ω ∫ ∫ variation locale ∫ flux à travers les bords ∂A ⎡ = ⎢ + div( Au )⎤⎥ dΩ Ω ⎣ ∂t ⎦ ∫ ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau n ∂Ω(t ) Ω(t ) u ( xi , t ) n Ω(t + dt ) ∂Ω(t + dt ) 19 / 46 Équation de continuité (1) Cas général On dresse un bilan de densité (A = ρ) d ρdΩ = Ω dt ∫ u ⎡ ∂ρ ⎤ u dΩ + div ( ρ ) ⎥ Ω⎢ ⎣ ∂t ⎦ ∫ ∂ρ <0 ∂t =M La conservation de la masse M contenue dans Ω donne ∂ρ ∂ρ ∂ρui + =0 + div(ρu ) = 0 ou ∂t ∂t ∂xi Illustration monodimensionnelle ∂ρ ∂ρu Modèle de l’autoroute : =− ∂t ∂x ∫ div(ρu )dΩ = ∫ ρu ⋅ n dΓ > 0 Ω Conclusion : un ralentissement crée un bouchon ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau ∂Ω Zone de ralentissement 20 / 46 Équation de continuité (2) Autre forme de l’équation générale En séparant le terme sous le digne divergence : ∂ρui ∂ui ∂ρ + ui =ρ ∂xi ∂xi ∂xi ou div(ρu ) = ρ div u + u ⋅ gradρ … l’équation de continuité s’écrit encore : 1 dρ 1 d (dΩ ) = − div u à rapprocher de = div u ρ dt dΩ dt Cas incompressible (ρ = cte) : ∂ui ∂u ∂v ∂w div u = 0 ou = 0 ou + + =0 ∂xi ∂x ∂y ∂z Î On se ramène dans ce cas à la conservation du volume. Remarque : un fluide n’est jamais vraiment incompressible. Il s’agit en réalité d’une propriété d’un écoulement donné. ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 21 / 46 Retour sur les bilans Bilan massique sur un volume matériel Cas où A = ρB (B représente la densité de A par unité de masse) : d ⎡ ∂ρB ⎤ ρBdΩ = ⎢ + div(ρBu )⎥ dΩ Ω ⎣ ∂t dt Ω ⎦ ∂ρ ⎡ ∂B ⎤ B B u u B = ⎢ρ + + div(ρ ) + ρ ⋅ grad ⎥ dΩ Ω⎣ ∂t ∂t ⎦ ∫ ∫ ∫ = 0 (continuité) Ainsi, la dérivée lagrangienne et l’intégrale commutent : d dB ρBdΩ = ρ dΩ Ω dt Ω dt … même si ρ varie, mais uniquement si Ω est un volume matériel ! d ρdΩ = 0 Î En particulier, pour la densité (B = 1): Ω dt ∫ ∫ ∫ ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 22 / 46 Flux d’une quantité physique Bilan massique d’une quantité physique B L’intégrale d’un champ B varie à cause d’un flux (sortant) qB de cette quantité à travers les bords, dû à différentes raisons physiques : ∫ ∫ ∫ d B ρBdΩ = − q ⋅ n dΓ dt Ω ∂Ω dB B ρ dΩ = − div q dΩ dt Ω Ω dB ∂B 1 B = + gradB ⋅ u = − div q dt ∂t ρ ∂B ∂B 1 ∂qiB ui = − + ou encore : ρ ∂xi ∂t ∂xi ∫ Î Pour la densité (B = 1) : n q ( xi , t ) B Ω(t ) ∂Ω(t ) q = 0 (conservativité de la masse) B ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 23 / 46 Exemple : traceur passif Equation de transport d’une substance C Bilan massique de la quantité C (concentration, par exemple) ∂C 1 C + gradC ⋅ u = − div q ∂t ρ qC Il est nécessaire de proposer un modèle pour le flux : 1 C 1 C ,0 ∂C + ... qi = qi − KC ρ ρ ∂xi termes d'ordres 1 C ou encore : q = − K C gradC ρ supérieurs à 1 ∂C Finalement : + gradC ⋅ u = div(K C gradC ) + SC ∂t • KC (m2s−1) est le coefficient de diffusion du traceur (positif) • Des termes-source SC peuvent apparaître (réactions chimiques, etc.) Î Si C ne dépend pas de u, l’équation est linéaire en C ! (si SC l’est…) ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 24 / 46 Convection et diffusion Modes de transport de la quantité C Il y a deux manières de communiquer une information dans un milieu continu : ∂C + gradC ⋅ u = div(K C gradC ) + SC ∂t Convection Diffusion • La convection (transport par la matière en mouvement) • La diffusion (passage de proche en proche par « contagion ») convection diffusion Î Le phénomène de diffusion homogénéise un champ au cours du temps (phénomène irréversible !) ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 25 / 46 Contraintes dans un milieu continu Efforts exercés sur une surface élémentaire On considère une surface élémentaire Σ orientée par le vecteur n. La contrainte T exercée par le milieu 1 sur le milieu 2 par T unité de surface sur Σ vérifie la loi de l’action – réaction : 2 T (n ) = −T (− n ) 1 2 2 Σ 1 n 1 Efforts exercés sur un volume n T Les efforts intérieurs s’annulent mutuellement : F= ∫ Ω ∫ f dΩ = T dΓ ∂Ω ⇒ f = divσ ∫ ⇒ F = σ ⋅ n dΓ Ω ∂Ω Î Conclusion : en chaque point de l’espace, il existe un tenseur σ dit « tenseur des contraintes » tel que T (n ) = σ ⋅ n ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 26 / 46 Tenseur des contraintes Pressions / tractions et cisaillements La contrainte T exercée par le milieu 1 sur le milieu unité de surface sur Σ possède : • une composante normale p (pression / traction) • une composante tangentielle τ (cisaillement) Tenseur des contraintes de Cauchy Nous avons montré les résultats suivants : Il existe un tenseur du second ordre σ tel que : T = σ⋅n • • • • ou 2 par ez p = σzz ey ex T 2 τ = σxz Σ 1 n Ti = σij n j Les termes diagonaux σ ii représentent les pressions / tractions Par convention, les σ ii sont négatifs s’il s’agit d’une pression Les termes extra-diagonaux σ ij ( i ≠ j ) représentent les cisaillements σ se mesure en pascals (force / surface) ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 27 / 46 Équation de quantité de mouvement Principe fondamental de la dynamique C’est un bilan de quantité de mouvement : n d ρu dΩ = T dΓ + ρ g dΩ Ω ∂Ω Ω dt ∫ ∫ Quantité de mouvement Contraintes ∫ T ∂Ω Champs extérieurs Ω du ρ dΩ = σ ⋅ n dΓ + ρ g dΩ Ω ∂Ω Ω dt g ⎛ ∂u ⎞ ρ⎜ + gradu ⋅ u ⎟ dΩ = divσ dΩ + ρ g dΩ Ω ⎝ ∂t Ω Ω ⎠ Equations de Cauchy : ∂u 1 ∂ui ∂ui 1 ∂σij + gradu ⋅ u = divσ + g ou ∀i, + uj = + gi ∂t ρ ∂t ∂x j ρ ∂x j ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 28 / 46 Symétrie des contraintes Calcul du moment des forces Densité de force : ∫ ∫ F = σ ⋅ n dΓ = div σ dΩ ∂Ω ∫ Ω ∫ ⎛ σ xx ⎜ σ = ⎜ σ xy ⎜σ ⎝ xz ⇒ M = r × (σ ⋅ n ) dΓ = r × div σ dΩ ∂Ω ∂σ jA ⎞ ⎛ ∂σ kA ⎟⎟dΩ M i = ⎜⎜ x j − xk Ω ∂xA ⎠ ⎝ ∂xA = (x j σ kA − xk σ jA )nA dΓ − Ω ∫ ⎛ ∂x ⎞ ∂x ∫ ∫ ⎜⎜⎝ ∂x σ − ∂x σ ⎟⎟⎠dΩ = [x (σ ⋅ n ) − x (σ ⋅ n ) ] dΓ − (δ σ − δ σ )dΩ ∫ ∫ ⇒σ =σ = r × (σ ⋅ n ) dΓ − (σ − σ )dΩ ∫ ∫ ∂Ω ∂Ω ∂Ω j j k Ω kj jA A j k σ yy σ yz σ xz ⎞ ⎟ σ yz ⎟ σ zz ⎟⎠ k kA Ω σ xy A Ω jA kA kA jk jk Î Conclusion : jA σxy= σyx n ey ex kj σ est symétrique. ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 29 / 46 n Résumé des équations obtenues Equation de continuité (milieu incompressible) ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z Equations de quantité de mouvement (z vertical) 1 ∂σ xx 1 ∂σ xy 1 ∂σ xz ∂u ∂u ∂u ∂u + u+ v+ w= + + ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ρ ∂y ρ ∂z 1 ∂σ yx 1 ∂σ yy 1 ∂σ yz ∂v ∂v ∂v ∂v + u+ v+ w= + + ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ρ ∂y ρ ∂z 1 ∂σ zx 1 ∂σ zy 1 ∂σ zz ∂w ∂w ∂w ∂w + u+ v+ w= + + −g ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ρ ∂y ρ ∂z … soit 4 équations pour 9 inconnues (u, v, w et les 6 Î Il est donc nécessaire de fermer le modèle. ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau A. L. Cauchy σij) ! 30 / 46 Loi de comportement Idée maîtresse • On ne connaît pas encore les contraintes σ ij , car elles dépendent du matériau considéré. • Un matériau est caractérisé par une loi de comportement, reliant les contraintes aux déformations : σ = f (s ) • La loi de comportement dépendant de la structure moléculaire du matériau, elle sera donnée par la thermodynamique. ez σ zz σ zz σ zz ey ex s xz s xz s xz 3 échantillons de matériaux différents, réagissant différemment à une même sollicitation ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 31 / 46 Troisième partie : Les équations de Navier-Stokes C.-L.-M. Navier ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 32 / 46 Bilan d’énergie Energie cinétique On multiplie l’équation de Cauchy par u : du 1 (divσ ) ⋅ u = div(σ ⋅ u ) − σ : gradu ⋅ u = (divσ ) ⋅ u + g ⋅ u dt ρ 2 d u = σ:s ⇒ ρ = div(σu ) + ρ g ⋅ u − σ : s dt 2 =σ s ij ij … puis on intègre sur un volume matériel : d dt ∫ u2 ρ dΩ = Ω 2 = δEc ∫ ∫ ∫ (σ ⋅ u ) ⋅ n dΓ + ρ g ⋅ u dΩ − σ : s dΩ Ω Ω = T ⋅u ∂Ω puissance des forces extérieures puissance dissipée …ou encore E c = Pext − eΩ e = σ : s est la puissance dissipée par unité de volume et de temps. ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 33 / 46 Résumé sur les flux Analogie des lois de bilans Toutes les équations vues présentent des formes semblables : équation ∂C + gradC ⋅ u = div(K C gradC ) + SC ∂t ∂u 1 + gradu ⋅ u = divσ ∂t ρ ∂Ec 1 + gradEc ⋅ u = div(σ ⋅ u ) − e ∂t ρ flux source q = −ρK C gradC SC q = −σ 0 C u −e q = −σ ⋅ u Ec • La quantité −Ti = −σijnj représente le flux de ui passant de 1 vers 2 à travers une facette orientée par ni, par unité de temps, de surface et de masse. 2 1 n • A un vecteur correspond un flux tensoriel ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 34 / 46 Thermodynamique Premier principe Il donne la variation d’énergie totale dans un milieu : dEc + dEint = dE = δWext + δQ o E c + E int = Pext + Q − (E c = Pext − eΩ ) o E int = σij sij Ω + Q … l’énergie cinétique dissipée est convertie en énergie interne. Puissance dissipée par une déformation virtuelle On se limite aux transformations sans échange de chaleur (par exemple à T constant), puis on fait varier la déformation. On obtient la puissance virtuelle associée à cette déformation : eint = E int / Ω deint T = σij dsij ∂eint ⇒ σij = ∂sij ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau T 35 / 46 Tenseur des contraintes d’un fluide Détermination de σij Pour un fluide, eint ne peut dépendre que des invariants de sij : 2 3 eint = f (s ) = f (tr s, tr s , tr s ) λ 2 2 = α tr s + μ tr s + (tr s ) + ... 2 ⇒ σij = αδ ij + 2μsij + λ(tr s )δij σij sij = αδ ij sij + 2μsij sij + λ(tr s )δij sij = α tr s + μs 2 + λ(tr s ) 2 ⇒ e = μs 2 Rôle de la grandeur α (fluide incompressible) 1 dΩ tr s = Pour une petite déformation : e ≈ α tr s o Ω dt dE = α d Ω + δ Q Eint = Ωe + Q int o ⇒ σij = − pδij + 2μsij = Ωα tr s + Q −p ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 36 / 46 Pression et viscosité Viscosité • La quantité μ est appelée viscosité dynamique • Elle est caractéristique d’un fluide donné et dépend de la température ; elle se mesure en kg.m–1s–1 • Les contraintes visqueuses sont les seules dissipatives, et μ • On appelle fluide newtonien un fluide de viscosité constante (seul cas considéré dans ce cours) I. Newton >0 Pression • La pression p se mesure en Pa, comme les contraintes • Elle existe parce qu’un fluide est toujours légèrement compressible : ρ ≈ cte • Elle est extrêmement sensible à de très légères variations de densité. Il s’agit donc d’une nouvelle inconnue : p = p( xk , t ) ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 37 / 46 Exemples de comportements Résumé de la loi de comportement d’un fluide ⎛ ∂ui ∂u j ⎞ ⎟ ou σ = − p I + μ(gradu + T gradu ) σij = − pδij + μ⎜⎜ + ⎟ ⎝ ∂x j ∂xi ⎠ = τ (cisaillement) Quelques exemples simples • Cas d’un fluide au repos (sij = 0) : σ ij = − pδ ij … Les contraintes y sont isotropes. • Cas d’un écoulement simplement cisaillé : ∂u τ xz = μ ∂z • z u Flux de quantité de mouvement x − τ xz Cas d’un écoulement purement rotationnel : s=0 ⇒ τ=0 … Le frottement y est nul. ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 38 / 46 Équations de Navier-Stokes (1) Introduction de la loi dans les équations de Cauchy ∂u 1 + gradu ⋅ u = divσ + g ⎫ ∂u 1 ⎪ ∂t ρ + gradu ⋅ u = − grad p + νΔu + g ⎬⇒ ∂t ρ σ = − p I + 2μ s ⎪ ⎭ ∂ui ∂ui 1 ∂p uj = − + νΔui + g i + ou ∀i, ∂t ∂x j ρ ∂xi Î ν = μ / ρ est la viscosité cinématique du fluide. … à 20° C : • • • Eau : ν = 10−6 m2s−1 Air : ν = 1,5.10−5 m2s−1 Mercure : ν = 12 m2s−1 ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 39 / 46 Analyse physique des termes Diffusion des vitesses ∂C + ... = div(K C gradC ) + ... ∂t ≡ K C ΔC • • • • ∂u + ... = ... + νΔu ∂t Le terme visqueux homogénéise le champ de vitesses en diffusant la quantité de mouvement ν joue le rôle d’un coefficient de diffusion des vitesses Il s’agit bien d’une conséquence du frottement Le changement t → − t affecte le terme visqueux seul (irréversibilité) Convection des vitesses ∂ui u j ei • Le terme de convection est non-linéaire : gradu ⋅ u = ∂x j (transport de la vitesse par la vitesse) • Dans la suite, il sera important de comparer les ordres de grandeur de ces deux termes ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 40 / 46 Équations de Navier-Stokes (2) Equation de continuité (fluide incompressible) ∂u ∂v ∂w =0 + + ∂x ∂y ∂z Equations de quantité de mouvement (z vertical) ∂u ∂u ∂u ∂u 1 ∂p ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ + u+ v+ w=− + ν⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ C. Navier (1822) ∂v ∂v ∂v ∂v 1 ∂p ⎛ ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v ⎞ + ν⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ + u+ v+ w=− ∂y ∂z ρ ∂y ∂t ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂w ∂w ∂w ∂w 1 ∂p ⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞ + ν⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ − g + u+ v+ w=− ∂z ρ ∂z ∂y ∂z ⎠ ∂t ∂x ∂y G. Stokes (1845) ⎝ ∂x … soit 4 équations pour 4 inconnues (u, v, w et p) Î Le modèle est fermé. ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 41 / 46 Conditions aux limites Sur la frontière de l’ensemble du fluide : • Sur les parois solides imperméables, la vitesse du fluide est celle de la paroi : u = U paroi • Aux interfaces entre deux fluides, il y a continuité de la contrainte : [σij n j ] = 0 • En particulier, sur une surface libre, la pression est égale à la pression atmosphérique : psurface = patmosphérique • Paroi fixe : u=0 Saint-Malo … et la contrainte de cisaillement est continue : ⎛ μ ∂u ⎞ = ⎛ μ ∂u ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ∂ n ⎠ eau ⎝ ∂ n ⎠ air ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 42 / 46 Hydrostatique Pression hydrostatique On considère un fluide au repos (u = 0) sous l’effet de la pesanteur : ∂u 1 + gradu ⋅ u = − grad p + νΔu + g ∂t ρ grad p = ρ g z z=η p( z ) = patm + ρg (η − z ) • • • La pression suit un profil linéaire (pression hydrostatique) L’équation de continuité div u = 0 est automatiquement satisfaite En toute rigueur, la cote η de la surface libre peut varier * p = p + ρgz = p − phydrostatique + Cte Pression dynamique : 1 1 C’est la partie de la pression liée − grad p * = − grad p + g au mouvement du fluide. ρ ρ ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 43 / 46 Écoulement de Poiseuille laminaire (1) Ecoulement entre deux plaques fixes « infinies » • Régime permanent ( ∂ / ∂t = 0) y • Invariance selon z (∂ / ∂z = 0) 2e • Vitesses parallèles aux plaques : u = z x u ex ∂u ∂v ∂w + + = 0 ⇒ u ( x, y , z ) = u ( y ) ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ∂u 1 ∂p * ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ + u+ v+ w=− + ν⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂p * ∂ 2u =μ 2 ∂x ∂y N F ( x) G( y) ∂p * ⇒ = cte ∂x J.-L. Poiseuille 1 ⎡ ∂p * ⎤ 2 2 ( ) − u( y ) = e − y ⎢ ⎥ 2μ ⎣ ∂x ⎦ ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau = cte 44 / 46 Écoulement de Poiseuille laminaire (2) Commentaires 1 ⎡ ∂p * ⎤ 2 2 ( ) − u( y ) = e − y ⎢ ⎥ 2μ ⎣ ∂x ⎦ • Le profil des vitesses est parabolique • Le gradient de pression est le terme moteur de l’écoulement, qui se fait des fortes pressions vers les faibles pressions • La pression est déterminée par ses valeurs en amont et en aval de la « conduite » (conditions aux limites), et varie linéairement • La pression intervient sous sa forme dynamique (p*), car l’inclinaison de la conduite peut générer un écoulement : terme moteur dZ ∂p * ∂p − = − − ρg ∂x ∂x dx • Z x L’hypothèse de vitesses parallèles aux plaques est la plus contraignante. En réalité, ce profil est souvent instable (turbulence) ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 45 / 46 Merci de votre attention. ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau 46 / 46