Étude thermodynamique d`un système hybride opto

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M2 Physique, concepts et applications
École Normale Supérieure de Lyon
Université Claude Bernard Lyon I
2012-2013
Stage de M2
Elouard Cyril
Étude thermodynamique d’un système
hybride opto-mécanique
Le principe de Landauer (1961) fixe la quantité minimale d’énergie nécessaire pour initialiser un unique bit d’information dans un état donné. Cette limite a une grande importance
théorique car elle témoigne que l’information peut être réversiblement convertie en énergie. Grâce aux récents progrès en nanotechnologies, cette limite a récemment été démontrée
expérimentalement avec une bille de colloïde dans un double puits de potentiel. Cependant,
ce système modélise un bit classique et ne permet qu’un accès indirect au travail et à la
chaleur échangés. Trouver un dispositif permettant d’observer directement les conversions
information-énergie dans un qubit unique est un des objectifs de la thermodynamique de
l’information quantique. Cette discipline en émergence vise à étendre les lois de la thermodynamique au monde quantique, afin de proposer de nouvelles manières d’exploiter les
propriétés non-classiques telles que l’intrication. Durant mon stage, j’ai étudié de manière
théorique un dispositif appelé système hybride optomécanique et j’ai montré qu’il permet de
réaliser des opérations sur un qubit unique, tout en autorisant un suivi inédit des échanges
de travail et de chaleur.
Mots clefs : thermodynamique quantique, système hybride optomécanique, optique
quantique, principe de Landauer.
Stage dirigé par : Alexia Auffèves
[email protected]
tél. 04 56 38 70 11
Institut Néel,
25 rue des Martyrs BP 166
38042 Grenoble cedex 9
http://neel.cnrs.fr
Table des matières
I
Introduction : l’initialisation de Landauer
II Présentation du système d’étude
II.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2 Approche semi-classique et équations de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3 Régime adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5
6
8
8
III Initialisation de Landauer avec un système hybride optomécanique
10
III.1 Interprétation thermodynamique des couplages laser - atome - oscillateur . . . . 10
III.2 Initialisation de Landauer dans le système hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III.3 Faisabilité expérimentale de l’initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
IV Conversions information - énergie au cours de la dynamique du système
13
IV.1 Solution des équations de Bloch : interprétation thermodynamique . . . . . . . . 14
IV.2 Utilisation en moteur optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
IV.3 Convertisseur photon - phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
V Conclusion
19
1
Remerciements
Je remercie chaleureusement ma directrice de stage Alexia Auffèves pour m’avoir proposé ce
sujet de stage passionnant et avoir toujours été disponible durant ce stage pour m’aider à m’y
plonger, ainsi que Maxime Richard pour avoir partagé avec moi son expérience des dispositifs
expérimentaux de systèmes hybrides optomécaniques. Je remercie également G. Hornecker, P.L. De Assis, Q. Mermillod et le reste de l’équipe NPSC pour m’avoir intégré et avoir rendu ce
stage si agréable à vivre.
2
I
Introduction : l’initialisation de Landauer
La thermodynamique de l’information quantique est un domaine en émergence, à l’interface
entre plusieurs champs de la physique : d’une part, la thermodynamique, développée au 19ème
siècle pour des systèmes macroscopiques, d’autre part, la mécanique quantique, dont l’élaboration a commencé au début du 20ème siècle, enfin, la théorie de l’information de Shannon,
développée autour des années 1950 [7, 8]. Le lien entre la théorie de l’information et la thermodynamique vient en particulier de la notion d’entropie, qui est commune aux deux théories.
La connexion entre théorie de l’information et mécanique quantique a donné naissance dans les
années 1990 au domaine de l’information quantique, qui a eu des résultats spectaculaires en
cryptographie [9] et en informatique [10]. Depuis les années 2000, un nouveau questionnement
sur les liens entre information et énergie dans les systèmes quantiques relie ces trois disciplines.
Les progrès récents en nanotechnologies fournissent les moyens expérimentaux pour réaliser ce
type d’études en permettant la constructions de machines thermiques à l’échelle du quantum
unique [12, 11]. Par ailleurs, des premières études théoriques de thermodynamique quantique
ont relevé de nouvelles manières d’exploiter les propriétés originales du monde quantique telle
que l’intrication [17].
Le lien entre thermodynamique et information à l’échelle nanoscopique a été reconnu en 1961
par Landauer [1]. Le physicien américain a démontré qu’une opération logiquement irréversible
impliquant un unique bit d’information entraîne nécessairement une dissipation de chaleur.
C’est ce que l’on appelle le principe de Landauer. Le physicien s’est notamment intéressé à
l’opération fondamentale permettant d’initialiser le bit dans l’un de ses deux états quel que soit
son état initial pour effacer l’information qu’il contient. Landauer a déduit le coût minimum en
travail d’une telle opération qui vaut wL = kB T ln 2, où kB est la constante de Boltzmann et T
la température d’un thermostat avec lequel le bit est en équilibre thermodynamique.
Cette limite fondamentale peut être retrouvée par l’expérience de pensée illustrée par la
figure 1. On considère un système à deux niveaux (que nous appellerons atome dans toute la
suite de ce rapport) en équilibre avec un thermostat de température T . A cet atome peut être
associé un bit d’information dont les deux valeurs possibles 0 et 1 correspondent aux deux états
notés respectivement | ↓i et | ↑i. On prend comme référence des énergies l’énergie du niveau
| ↓i, et on appelle E l’énergie du niveau | ↑i. La population P↑ de l’état | ↑i, c’est-à-dire la
probabilité que le qubit soit dans cet état, suit la distribution de Fermi-Dirac :
P↑ (E) =
1
e−E/kB T
=
Z
1 + eE/kB T
(1)
où Z(E) = 1 + e−E/kB T est la fonction de partition canonique de l’atome. En particulier, si
les deux niveaux de l’atome sont dégénérés en énergie (E = 0), on a :
P↑ = P↓ =
1
2
où l’on a utilisé le fait que P↓ = 1 − P↑ .
Lors de l’initialisation de Landauer présentée en fig.1, un opérateur extérieur monte de
manière quasi-statique l’énergie E de l’état | ↑i depuis 0 (P↑ = 1/2, voir fig.1a) à une valeur
grande devant kB T telle que P↑ = 0 (fig.1b). L’hypothèse de quasi-staticité permet de supposer
que l’atome reste toujours en équilibre avec le thermostat au cours de l’opération, et donc la
population vaut toujours P↑ (E(t)) obtenue à partir de la formule (1). A partir de la variation
de l’énergie interne U = P↑ (E)E de l’atome, on peut définir le travail W fourni par l’opérateur
extérieur au système et la chaleur Q dissipée dans le thermostat au cours de l’opération :
3
a)
b)
E
E
Thermostat
wL
wL
E >> kBT
T
0
0
|⬇>
|⬆>
Batterie
|⬇>
|⬆>
Figure 1 – Processus d’initialisation d’un bit porté par un atome à deux niveaux en équilibre avec
un thermostat de température T : a) Etat initial, les deux niveaux ont la même énergie et sont
équiprobables. b) L’opérateur extérieur fait passer de manière quasi-statique l’énergie du niveau | ↑i
de 0 (P↑ = 1/2) à une valeur grande devant kB T telle que P↑ = 0. Ce processus nécessite que la
batterie fournisse un travail wL , qui est finalement dissipé dans le thermostat sous forme de chaleur.
∆U =
Z
(P↑ dE + EdP↑ ) =
Z
|
P↑ dE +
{z
W
}
Z
|
EdP↑
{z
Q
(2)
}
Cette identification n’est pas générale, mais se justifie dans ce contexte où l’opérateur extérieur travaille pour augmenter l’énergie d’un niveau de l’atome, et où l’énergie libérée dans le
thermostat lorsque l’atome passe de son niveau excité à son niveau fondamental est assimilable
à de la dissipation de chaleur. Dans le cas de l’initialisation de Landauer, ∆U = 0 et donc
W = −Q. Le travail nécessaire est obtenu en injectant l’expression de P↑ (1) :
Z ∞ −E/kB T
e
dE = wL = kB T ln 2
(3)
Z
On peut noter que la borne minimale wL est atteinte parce que l’opération est faite de
manière infiniment lente. Cette condition rend l’opération réversible 1 , et permet de définir le
processus réciproque, qui consiste à diminuer l’énergie E du niveau | ↑i depuis une valeur initiale
grande devant kB T jusqu’à 0, toujours de manière quasi-statique. Cette opération permet cette
fois-ci de prendre de la chaleur au thermostat, et l’opérateur extérieur extrait un travail égal
à wL . On appelle ce processus machine de Szilard, en hommage au physicien Léo Szilard qui
a remarqué que ce processus viole en apparence le second principe de la thermodynamique.
Szilard a proposé [4] un protocole permettant d’extraire cycliquement du travail depuis une
unique source de chaleur, ce qui est en contradiction avec l’énoncé de Kelvin - Planck du second
principe. Ce protocole se compose des opérations suivantes : (i) en partant d’une situation où
E = 0, lire l’état du bit, ce qui permet d’augmenter l’énergie du niveau dans lequel le bit n’est
pas sans avoir à fournir de travail, et ce jusqu’à une valeur grande devant kB T . (ii) Ensuite,
réaliser le processus réciproque à l’initialisation de Landauer permettant d’extraire le travail wL ,
puis retour à (i). Ce paradoxe 2 se résout grâce au principe de Landauer. En effet, la mémoire
qui sert à enregistrer l’état du bit doit être réinitialisée entre chaque lecture (opération (i)),
ce qui entraîne une dissipation dans un deuxième thermostat. Le processus global est donc en
accord avec le second principe de la thermodynamique.
W =
0
1. Il s’agit ici de réversibilité au sens thermodynamique (il n’y a pas de dissipation due à la création d’entropie
d’irréversibilité). L’opération est toujours irréversible au sens logique puisque l’on oublie l’état initial du qubit.
2. Il s’agit en fait une reformulation du paradoxe énoncé par Maxwell soixante ans plus tôt [2], souvent
appelé démon de Maxwell
4
L’existence d’une quantité d’énergie wL correspondant à un bit d’information à travers le
principe de Landauer permet de réinterpréter les opérations logiques réalisées sur le qubit
comme des conversions énergie - information. Ainsi, l’initialisation de Landauer peut être vue
comme la conversion d’une quantité d’énergie wL en un bit d’information. En effet, entre l’état
initial et l’état final, on a gagné un bit d’information sur l’atome : on passe d’une incertitude
maximale (deux états équiprobables) à une certitude totale (état fondamental avec une probabilité 1). La machine de Szilard réalise au contraire la conversion d’un bit d’information en
une quantité wL d’énergie. De même, les cycles thermodynamiques tels que le cycle de Carnot
peuvent être compris comme une série de conversions information - énergie dans le système, en
contact avec deux thermostats.
Observer ces conversions énergie - information dans un système quantique composé d’un
petit nombre de qubits, échangeant de l’énergie de manière contrôlée avec un thermostat et
un opérateur extérieur (ou batterie) quantique, est une étape nécessaire au développement
de la thermodynamique de l’information quantique expérimentale. Deux expériences récentes
posent les premiers jalons de la recherche d’un dispositif permettant ces observations : (i)
l’initialisation de Landauer a très récemment été réalisée expérimentalement à l’ENS de Lyon
[11] pour un système portant un bit classique (une bille de colloïde dans un double puits
de potentiel optique), et la valeur du travail à la limite quasi-statique à pu être vérifiée. (ii)
Une machine de Szilard, a été réalisée expérimentalement à partir de molécules soumises au
mouvement brownien [12]. Notons cependant que dans ces deux dispositifs seules les trajectoires
instantanées du bit peuvent être mesurées, ce qui permet de calculer indirectement le travail
reçu par l’atome. Cependant, la batterie, c’est-à-dire le système fournissant et stockant le travail
échangé lors des processus ne peut pas être suivie. Il s’agit d’un système classique, par exemple
l’opérateur changeant la puissance du faisceau laser dans le montage de [11], dont on ne peut
suivre les variations nanoscopiques d’énergie causées par les opérations logiques sur le bit. De
plus, le bit d’information qui est manipulé est un bit classique.
Durant mon stage, j’ai étudié de manière théorique une classe de dispositifs expérimentaux,
les systèmes hybrides optomécaniques, afin de déterminer leur intérêt dans le contexte de la
thermodynamique de l’information quantique. Cette étude a permis de proposer un protocole
avec ces systèmes expérimentaux pour réaliser des conversions information - énergie sur un bit
quantique d’information (qubit). Dans ce dispositif, un atome interagissant avec un laser joue le
rôle du qubit en équilibre avec un thermostat, et un nano oscillateur mécanique joue le rôle de
la batterie fournissant et stockant du travail. L’état de ce dernier peut-être facilement observé
au cours du temps, ce qui permet un suivi inédit des échanges de travail.
Dans une première partie de ce rapport, je présente les systèmes expérimentaux que j’ai
étudiés ainsi que les hypothèses concernant leur modélisation. Ensuite, j’explique comment
réaliser une initialisation de Landauer avec ces dispositifs. Enfin, je présente une étude de
la dynamique du système, dans laquelle je propose deux applications : un moteur optique à
l’échelle du qubit unique, et un convertisseur photons - phonons.
II
Présentation du système d’étude
Le système hybride optomécanique considéré dans ce rapport est constitué d’un atome en
interaction avec un laser d’une part, et un nano-oscillateur mécanique d’autre part (voir fig.2).
Plusieurs dispositifs ont été développés dans les dix dernières années pour réaliser expérimentalement une telle situation [20, 21, 22, 23] (voir fig.3). La fabrication de tels systèmes a initialement été motivée par la possibilité d’utiliser un mouvement mécanique, qui peut-être rendu
macroscopique, pour sonder les propriétés d’un système quantique. Ces dispositifs permettent
5
Laser
ω
g
Atome
⇔
gm
⇔
ω0
Qubit
Thermostat
Oscillateur
Ω
Batterie
Figure 2 – Schéma de principe d’un système hybride optomécanique. Les doubles flèches signalent les
couplages. Les termes en italique signalent les rôle joués par chacun des éléments du dispositif dans
les processus de conversions informations - énergie.
(a)
(b)
(c)
Figure 3 – Exemples de réalisations expérimentales de système hybride optomécanique. a) Centre
NV dans un nanofil de SiC soumis à un gradient de champ magnétique, voir [20]. b) Boîte quantique
en InAs insérée dans un nanofil ("trompette") en GaAs. Un exciton (paire electron-trou) peut-être
créé dans la boîte quantique, voir [21]. c) Nanomembrane oscillante couplée à un circuit CQED [23].
également de préparer des états non-classiques d’un oscillateur mécanique [24]. L’utilisation
proposée dans ce rapport est assez éloignée de ces applications originelles.
II.1
Modélisation
Le couplage entre l’atome, de transition ~ω0 , et l’oscillateur mécanique a pour effet de
moduler l’écart effectif entre les deux niveaux d’énergie de l’atome en fonction de la position de
l’oscillateur mécanique, comme on peut le voir sur le graphe expérimental 4. Cette constation
permet une démonstration heuristique du hamiltonien décrivant ce couplage, que l’on trouve
par exemple dans [26]. On décrit l’atome de transition effective ω0 + δω0 (x̂), où x̂ est la position
de l’oscillateur mécanique, par :
~(ω0 + δω0 (x̂))(σz + 1/2) ,
(4)
!
1 0
.
0 −1
A l’ordre 1, l’énergie atomique variable δω0 (x̂)) peut être approximée par
peut expliciter la position de l’oscillateur en seconde quantification :
où σZ =
1
2
x̂ = xZP F (b + b† ) ,
∂ω0
x̂.
∂x
De plus, on
(5)
où l’on a introduit xZP F l’amplitude de l’état fondamental de l’oscillateur et b l’opérateur
0
d’annihilation d’un phonon dans l’oscillateur mécanique. En notant gm = xZP F ∂ω
, le terme
∂x
6
Figure 4 – Mesure expérimentale du désaccord effectif δω0 = ~(ω(t) − ω0 ) (écart à la résonance) entre
le laser et l’atome (axe des abscisses) au cours du temps (axe des ordonnées), pour le système hybride
optomécanique présenté en fig.3b, en régime adiabatique. Le laser de fréquence ω0 est périodiquement
en résonance et hors résonance avec l’atome. Source : [21].
(4) s’écrit ~ω0 (σz + 1/2) + ~gm (b + b† )(σz + 12 ), faisant apparaître d’une part le hamiltonien de
l’atome seul Hat et le hamiltonien de couplage HM .
Hat = ~ω0 (σz + 12 )
(6)
HM = ~gm (b + b† )(σz + 21 )
(7)
Les différents dispositifs optomécaniques montrent une grande variété de forces de couplage.
Dans ce qui suit, nous envisagerons des applications nécessitant un couplage ultra-fort, c’està-dire :
gm > Ω .
(8)
Ce régime a déjà été atteint dans des éalisations expérimentales du système hybride optomécanique décrit dans cette partie [21] ainsi que dans certains systèmes hybrides proches [27].
Aux opérateurs (6) et (7), il faut rajouter un terme HL modélisant l’interaction avec le
champ lumineux :
HL = ~g(σ+ e−iωt + σ− eiωt ) ,
(9)
où g est la force
! du couplage (proportionnelle à la racine de l’intensité lumineuse du laser),
0 1
†
σ+ =
et σ− = σ+
. On est ici dans la limite classique du champ lumineux (grand
0 0
nombre de photon émis par seconde). Voir [19], chap. 5, pour une démonstration de ce terme.
g est appelé fréquence de Rabi du laser. En effet, lorsqu’un atome est mis en présence d’un
faisceau laser résonnant (ω = ω0 ) et de grande intensité, l’atome se met à osciller entre ses deux
états |gi et |ei à la fréquence g. Ici, grande intensité se traduit en pratique par
g >> γ
(10)
où γ est le taux d’émission spontanée de l’atome. Nous supposerons cette condition vérifiée
dans la suite de ce rapport.
Enfin, on modélise l’énergie du mode de phonon de fréquence Ω de l’oscillateur mécanique
par :
Hph = ~Ωb† b .
(11)
7
En sommant les termes (6)-(11), on obtient le hamiltonien H utilisé usuellement pour décrire
le système hybride optomécanique complet [25, 24, 26] :
H = Hat + Hph + HL + HM .
II.2
(12)
Approche semi-classique et équations de Bloch
On s’intéresse dans ce paragraphe aux états quasi-classiques du champ de phonons de l’oscillateur, les états cohérents notés |βi. β = hbi est le nombre complexe qui caractérise l’état cohérent, dit amplitude de l’état cohérent défini par b|βi = β|βi. On peut montrer que l’opérateur
d’évolution généré par H est un opérateur déplacement (cf [25]), c’est-à-dire qu’il transforme
un état cohérent du mode de phonons en un autre état cohérent. En conséquence, si le champ
de phonons présent dans l’oscillateur mécanique est à l’instant initial un état cohérent ou l’état
vide de phonons |0i (état cohérent d’amplitude 0), alors il restera toujours dans un état cohérent par la suite. On peut ainsi caractériser l’état de l’oscillateur à un instant t par la valeur de
l’amplitude complexe β(t). Cela motive une étude semi-classique de la dynamique du système
reposant sur les équations dites de Bloch du système. Ces équations décrivent l’évolution des
valeurs moyennes des observables d’un atome en interaction avec un laser, et sont démontrées
par exemple dans [19]. Elles doivent cependant être étendues pour prendre en compte les termes
supplémentaires dans le hamiltonien du système dus à l’interaction avec le champ de phonons.
En appliquant la même méthode que dans [19], on trouve le système d’équations couplées suivant, donnant l’évolution des valeurs moyennes des observables de l’atome et de l’amplitude du
mode de phonons :
Ṗe = −ig(s∗ − s) − γPe
ṡ = −iδ(β)s + γ2 s + igPe −
β̇
= −iΩβ − igm Pe
ig
2
(13)
(14)
(15)
où l’on a défini Pe = hσz i + 1/2, la population de l’état excité |ei de l’atome, c’est-à-dire la
probabilité que l’atome soit dans l’état |ei à l’instant t, et s = hσ− i, et :
δ(β) = 2gm Re(β) .
(16)
On a fait ici deux hypothèses qui seront toujours vraies dans ce qui suit : (i) on a supposé
que le laser est résonnant avec la transition atomique, c’est-à-dire ω = ω0 , et (ii) on a négligé
le taux de relaxation du mode de phonons Γ ∼ 10−3 Ω car on s’intéresse dans ce qui suit à une
échelle de temps durant laquelle peu d’oscillations du nano-oscillateur mécanique ont lieu.
En comparant ces équations aux équations de Bloch pour un atome en interaction avec un
champ lumineux seul démontrées dans [19], on peut interpréter δ(β) comme le désaccord effectif
entre l’atome et le laser, c’est-à-dire l’écart en fréquence entre la transition atomique effective,
modulée par les phonons, et la fréquence ω du laser lorsque l’amplitude de l’état cohérent du
mode de phonon est β. Sachant que la position de l’oscillateur mécanique au cours du temps
est proportionnelle à <(β), on retrouve que le désaccord δ oscille comme sur la figure 4 au cours
de la dynamique de l’oscillateur mécanique.
II.3
Régime adiabatique
On s’intéresse dans ce qui suit au régime des équations de Bloch caractérisé par la condition :
Ω γ, ω0
8
(17)
La condition (17) assure que la dynamique du mode de phonon (caractérisée par l’échelle
de temps 2π/Ω), et donc la variation du désaccord δ(β), sont très lentes devant la dynamique
de l’atome, caractérisée par les échelles de temps ω0 et γ. Cela signifie que comme dans le cas
d’école de l’interaction entre les électrons et le noyau d’un atome, on a affaire à un système
rapide, l’atome, dont la dynamique suit adiabatiquement celle d’un système lent, l’oscillateur
mécanique. On peut donc obtenir une bonne approximation de la dynamique du système en
découplant le système d’équations (13)-(15) de la manière suivante (approximation de type
Born-Oppenheimer) : (1) on suppose que les équations (13) et (14) atteignent leur solution
stationnaire pour chaque valeur de β(t) (ce qui prend en pratique un temps de l’ordre de
1/γ). (2) on fait l’hypothèse que que β(t) varie selon l’équation (15) dans laquelle la solution
stationnaire des observables atomiques a été injectée. La solution stationnaire de (13) nous
donne l’évolution de la population du niveau excité de l’atome en régime adiabatique :
Pe (β(t)) =
1/2
1 + (δ(β(t))2 /g 2
(18)
où l’on a appliqué la condition (10). Lorsque la partie réelle de β est nulle (ou de manière équivalente, lorsque la position x = 2xZP F Re(β) de l’oscillateur correspond à sa position d’équilibre
x = 0), le laser est résonant avec la transition atomique. On remarque alors que la population
vaut Pe = 1/2, c’est-à-dire que les deux états de l’atome sont équiprobables. A l’opposé, si δ
prend une valeur grande devant g, la population de l’état excité tend vers 0 et l’atome est donc
dans son état fondamental. On voit maintenant que l’on peut réaliser une initialisation du qubit
encodé par l’état de l’atome, quand le mode de phonons fait varier δ depuis 0 vers un valeur
grande devant g (voir fig.5). Il est montré dans la partie suivante que cette opération peut être
réalisée dans des conditions équivalente à l’initialisation de Landauer standard présentée plus
tôt.
a)
b)
E
E
wL
Champ EM
wL
Phonons
δ >> g
ω0
g
ω0
0
0
|g>
|e>
g
|g>
|e>
Figure 5 – Processus d’initialisation d’un qubit porté par l’atome d’un système optomécanique :
a) Etat initial, le désaccord effectif est nul et donc les deux niveaux sont équiprobables dans l’état
stationnaire. b) Le mouvement de l’oscillateur fait passer de manière quasi-statique le désaccord effectif
de 0 (Pe = 1/2) à une valeur grande devant g telle que Pe = 0. Ce processus nécessite que le champ
de phonons fournisse un travail wL , qui est finalement dissipé dans le champ electromagnétique sous
forme de chaleur.
9
III
III.1
Initialisation de Landauer avec un système hybride
optomécanique
Interprétation thermodynamique des couplages laser - atome oscillateur
Le processus d’initialisation de Landauer d’un qubit nécessite en principe un équilibre thermodynamique entre l’atome sur lequel le qubit est encodé et un thermostat, afin d’assurer que
la population de l’état excité atteint bien la valeur donnée par (1). Cependant, l’interaction
de l’atome avec le laser décrit dans la partie II aboutit également à la mise en place d’une
valeur stationnaire de la population donnée elle par (18). On peut donc considérer que le qubit
porté par l’atome du système hybride est en équilibre avec un thermostat fictif, qui va imposer
une distribution de la population en régime stationnaire. Dans cette distribution, ~δ joue un
rôle équivalent à E et ~g joue un rôle équivalent à kB T : pour de grandes valeurs du rapport
δ/g, la population de l’état excité tombe à 0, pour de petites valeurs elle vaut 1/2. Varier δ
est par conséquent l’équivalent de varier E comme lors d’une initialisation de Landauer. Nous
allons maintenant chercher l’équivalent, dans le cadre de cette analogie d’interaction avec un
réservoir, des grandeurs thermodynamiques étudiées plus haut pour l’initialisation de Landauer
standard, avec un vrai thermostat de température T .
On peut tout d’abord définir le travail reçu par l’atome au cours d’un processus faisant
varier le désaccord δ, par :
Z
W = ~ Pe (δ)dδ
(19)
Sachant que le champ de phonons est responsable à travers le couplage optomécanique de
la variation de la fréquence atomique effective, ce travail est prélevé de son énergie ~Ω|β|2 .
Cela peut être facilement vérifié à partir l’équation (15). En insérant la partie réelle et la partie
imaginaire de cette équation dans l’expression de la variation de l’énergie
du champ de phonons,
!
R
d
d
c’est-à-dire ∆(~Ω|β|2 ) = 2~Ω
Re(β) Re(β) + Im(β) Im(β) , on obtient :
dt
dt
2
∆(~Ω|β| ) = −~
Z ∞
0
Pe (δ)dδ
= −W
(20)
(21)
C’est donc le champ de phonons qui fournit ou stocke le travail échangé au cours des manipulations du qubit, il se comporte comme une batterie quantique. Il s’agit d’un grand avantage
de ce dispositif car les variations de l’énergie de l’oscillateur mécanique, qui peuvent facilement
être suivies au cours du temps expérimentalement, permettent de suivre les échanges de travail
directement, ce qui n’a jamais été possible avec les dispositifs expérimentaux antérieurs.
La chaleur cédée par le qubit au cours d’un processus faisant varier δ, toujours par analogie
avec le cas d’un atome en équilibre thermique décrit plus haut, est définie comme :
Z
Qtot = ~ (ω0 + δ)dPe .
(22)
Cette énergie est portée par les photons créés par émission spontanée de l’atome dans les modes
vides du champ électromagnétique. Il faut garder en tête que l’atome couplé au laser émet
en permanence (même lorsqu’il a atteint son état stationnaire) des photons dans le champ
laser. Il s’agit du processus d’émission stimulée. Dans le même temps, l’atome absorbe en
permanence des photons du laser, et émet aussi des photons dans les modes vides du champ
électromagnétique. Ce sont ces derniers qui dissipent la chaleur Qtot .
10
En conséquence, le rôle du thermostat dans lequel la chaleur est dissipée est joué par l’ensemble du champ électromagnétique, c’est-à-dire le laser et les modes vides du champ électromagnétique. Ce réservoir diffère du réservoir thermique parce qu’il est hors équilibre. Un seul
de ses modes, correspondant à l’énergie ~ω0 est peuplé. Cette particularité du réservoir utilisé
est à l’origine de certaines des propriétés originales de ce système exposées plus loin.
III.2
Initialisation de Landauer dans le système hybride
Nous allons maintenant regarder plus en détail comment réaliser une initialisation de Landauer de l’atome du système hybride. Le principe est résumé en figure 5. On se place dans
des conditions telles que initialement l’oscillateur est à sa position d’équilibre (δ = 0) et va
évoluer vers une position où δ = δf g. Les variations de δ se faisant sur un temps typique
2π/Ω, et l’état stationnaire de l’atome étant atteint en un temps typique 1/γ 2π/Ω (grâce
à la condition (17)), on peut d’ores et déjà remarquer que le processus d’effacement semble
effectivement mené de manière quasi-statique.
On peut désormais calculer la valeur wL du travail nécessaire à l’effacement du qubit selon
ce protocole en injectant la formule (18) dans l’équation (19) :
wL = ~
Z ∞
0
Pe (δ)dδ = ~g
π
4
(23)
Cette valeur est bien évidemment différente de la limite de Landauer pour un qubit en équilibre
avec un thermostat. On voit tout d’abord que c’est la fréquence de Rabi qui intervient à la place
de la température. Cela confirme que les énergies ~g et kB T jouent le même rôle, comme évoqué
dans le paragraphe III.1. D’autre part, la constante multiplicative diffère tout simplement à
cause de la forme de la distribution d’équilibre atteinte : une lorentzienne entraîne un coefficient
π/4 là où la distribution de Fermi-Dirac donne un coefficient ln 2.
Le bilan d’énergie interne au cours de l’initialisation est légèrement modifié par rapport à
(2) :
∆U = −~ω0 /2
(24)
Z
= ~ (Pe dδ + (ω0 + δ)dPe )
=
Z
Pe dδ +
| {z }
W
Z
|
ω0 dPe +
{z
Q0
}
Z
δdPe
(25)
(26)
| {z }
Q
On a ici séparé la chaleur Qtot définie plus haut en deux termes Q et Q0 . Q = −W = wL
correspond à la chaleur telle que définie pour le qubit en équilibre avec un thermostat. Le terme
supplémentaire Q0 compense la variation de l’énergie interne de l’atome U = ~(ω0 + δ)Pe . En
effet cette variation est non nulle dans ce protocole contrairement au cas de l’initialisation de
Landauer standard et vaut ~ω0 /2, ce qui entraîne un terme de chaleur supplémentaire. Il faut
donc définir la chaleur Q dissipée par le qubit dans le thermostat comme étant :
Q=~
Z
δdPe ,
(27)
pour retrouver un comportement similaire à celui de la chaleur dissipée dans le thermostat lors
de l’initialisation de Landauer standard. On prendra cette définition dans ce qui suit.
Pour conclure qu’un système hybride optomécanique permet d’observer l’initialisation de
Landauer, il reste maintenant à vérifier quantitativement que le bon jeu de paramètres expérimentaux existe et est réalisable avec les systèmes actuels.
11
III.3
Faisabilité expérimentale de l’initialisation
Le premier point à vérifier est qu’il est effectivement possible d’initialiser le qubit. La qualité
de l’initialisation dépend de la valeur finale δf du désaccord effectif qui est atteinte. Puisque cette
valeur est finie, la population finale Pe (δf ) n’est jamais rigoureusement nulle. Par conséquent,
le travail nécessaire à l’initialisation du qubit est toujours légèrement inférieur à wL (moins
de travail est nécessaire si le qubit est initialisé qu’en partie, c’est-à-dire avec une certaine
incertitude résiduelle sur son état final). Si on reprend l’intégrale (23) en remplaçant la borne
infinie par δf , on obtient la quantité de travail nécessaire à une initialisation partielle :
W (δf ) =
Z δf
0
δ
Pe dδ = ~g arctan
g
!
< wL
(28)
Cette expression de W (δf ) va permettre de choisir les conditions initiales nécessaire à un effacement que l’on pourra considérer comme complet. Comme nous allons le voir
√ dans la partie
suivante, si on choisit une amplitude initiale du champ de phonons β√
0 = i N0 , où N0 est le
nombre initial de phonons, le désaccord effectif δf varie de 0 à δf ∼ 2gm N0 en un temps π/2Ω.
On peut donc trouver une condition sur les paramètres du dispositif pour garantir que l’initialisation du qubit est complète à près, c’est-à-dire 1 − ≤ W (δf )/wL < 1. Cette condition
s’écrit :
2g
√
(29)
≤
πgm N0
La valeur de g est déjà contrainte par la condition (10), et on voit donc qu’il va falloir atteindre
une grande valeur de gm β0 . Il est facile d’avoir des nombres initiaux de phonons très grands,
permettant une valeur initiale |β0 | ∼ 108 − 109 , cependant, une grande valeur de l’amplitude
du mode de phonon entraîne une grande valeur du bruit quantique, dit shot noise. Ce bruit
vient de l’incertitude sur
√ le nombre de phonons dans l’oscillateur. Pour un champ cohérent,
cette incertitude vaut N = |β| (voir [19] p411). Or, l’objectif étant de proposer un dispositif
permettant de mesurer les variations d’énergie de la batterie,
il faut que le bruit sur l’énergie
√
du champ de phonon dû au shot noise, c’est-à-dire ~Ω N0 soit inférieur à l’énergie échangée
wL . Cela donne une nouvelle contrainte sur les paramètres, qui va fixer une valeur maximale
de β0 que l’on peut choisir. En notant rsn le rapport énergie échangée sur shot noise, il vient :
rsn =
πg
wL
≤
~Ωβ
Ωβ0
(30)
En pratique, pour que les deux conditions (29) (avec ≤ 10−2 ) et (30) soient simultanément
vérifiées, il faut choisir des systèmes atteignant le régime de couplage ultra-fort (8). En prenant
un rapport gm /Ω ∼ 100, qui est une valeur légèrement plus haute que les meilleurs couplages
évoqués dans la littérature expérimentale, mais qui a de bonnes chances d’être atteinte dans un
futur proche, on peut dégager des paramètres réalistes (correspondant aux systèmes du type
de [21]) permettant d’effacer le qubit à 99% et de respecter les conditions évoquées jusqu’à
maintenant :
γ = 2π × 1 GHz
g = 2π × 10 GHz
gm = 2π × 10 MHz
Ω = 2π × 100 kHz
β0 = 105
12
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
Il reste maintenant à vérifier que le rapport Ω/γ est suffisamment faible pour assurer la condition d’adiabaticité. En effet, on est parti jusqu’à maintenant de l’hypothèse que Pe restait en
permanence égale à la distribution stationnaire (18) durant l’initialisation. En pratique, dès que
la vitesse d’évolution de δ(β(t)) est non nulle, la valeur de Pe diffère de la valeur d’équilibre,
ce qui entraîne une différence dans la valeur du travail total nécessaire à l’initialisation 3 . Cette
contribution supplémentaire peut être interprétée comme étant due à l’entropie d’irréversibilité :
lorsque l’initialisation est trop rapide, l’opération devient irréversible est dissipative. On attend
donc une chaleur supplémentaire dissipée dans le champ lumineux et un travail supplémentaire
fourni par le champ de phonons. Afin de vérifier l’amplitude de cet effet en fonction du temps
d’effacement (proportionnel à γ/Ω), j’ai résolu numériquement les équations de Bloch (13)-(15)
sous Matlab avec les paramètres (31)-(35), et Ω/2π variant entre 10 Hz et 100 MHz, pendant
la durée de l’initialisation. Le coût de l’initialisation, c’est-à-dire l’énergie fournie par le champ
de phonons au cours de l’opération (en unité wL ), est tracé fig.6 en fonction du rapport γ/Ω. Si
l’initialisation est trop rapide (γ/Ω < 104 ), le travail fourni est supérieur à wL . La contribution
dissipative de la valeur du travail nécessaire à l’initialisation du qubit devient négligeable pour
un rapport γ/Ω ≥ 104 , et le travail fourni par la batterie devient égal à wL . La valeur de Ω
choisie (34) est donc suffisante pour rendre l’initialisation réversible.
20
∆ E/WL
15
10
5
1
2
10
4
10
6
γ/Ω
10
Figure 6 – Travail fourni par le champ de phonon pour une initialisation de Landauer en fonction de
la valeur du rapport γ/Ω, en unité wL . Paramètres : β0 = 105 , gm /γ = 10−2 , g/γ = 10.
Ainsi, avec un système hybride optomécanique, il semble possible de réaliser et d’observer
directement l’initialisation de Landauer d’un qubit, et de suivre au cours du processus à la
fois l’état du qubit, de la batterie qui fournit le travail, et de connaître la chaleur dissipée
dans le bain thermique. Afin d’explorer d’avantage les possibilités d’un tel dispositif, je me suis
intéressé à la dynamique du système sur un temps plus long que la seule initialisation du qubit,
ce qui fait l’objet de la partie suivante.
IV
Conversions information - énergie au cours de la dynamique du
système
Dans cette partie, je m’intéresse à la solution numérique des équations de Bloch (13)-(15),
obtenue à l’aide d’un programme que j’ai développé sous Matlab. Tout d’abord je présente
la dynamique du système en donnant l’interprétation thermodynamique selon l’analogie développée dans la partie III, puis j’explique deux applications possibles du dispositif, un moteur
optique et un convertisseur de photon en phonons.
3. On raisonne cette fois-ci sur une initialisation complète
13
IV.1
Solution des équations de Bloch : interprétation thermodynamique
La figure 7 présente la solution numérique obtenue avec le solveur ode23s de Matlab pour
les équations de Bloch du système. Les paramètres numériques entrant en jeu dans l’équation
ont été choisis de manière à respecter les conditions (10), (17), et garantir un effacement à 99%
du qubit 4 . Cependant, pour faciliter l’interprétation des phénomènes physiques impliqués, nous
avons choisi (pour ce paragraphe seulement) une valeur de couplage optomécanique très élevée,
gm /Ω ∼ 104 , irréalisable avec les systèmes expérimentaux
actuels. La condition initiale que l’on
√
considère pour le champ de phonons est β0 = i N0 où N0 est le nombre initial de phonons.
Le fait de prendre une condition initiale imaginaire pure permet d’avoir un désaccord initial
δ(0) = 0, comme dans le protocole d’initialisation du qubit présenté dans la partie précédente.
La figure 7a montre la trajectoire dans le plan complexe décrite par l’amplitude β(t) de
l’état cohérent de phonon. On voit qu’il s’agit d’un cycle (qui correspond à une période égale
à 2π/Ω) décrit dans le sens des aiguilles d’une montre. Lorsque l’on regarde simultanément
l’évolution de la population Pe (t) de l’état excité de l’atome (fig.7c)), le travail fourni par le
Z t
δ(t0 )
(fig.7d), on
mode de phonon ~Ω(|β(t)|2 − |β0 |2 ) et le travail reçu par l’atome
dt0 Pe (t0 )
dt
0
voit que le système décrit dans le même temps un cycle thermodynamique contenant 4 phases,
qui sont chacune une conversion information - énergie d’un type différent et que nous allons
maintenant détailler. La figure fig.7c montre un schéma de l’évolution du désaccord effectif δ
(proportionnel à Re(β)), au cours du cycle.
1. Initialisation de Landauer : lors de la première phase, le système réalise une initialisation de Landauer, exactement selon le protocole présenté en partie III. Le désaccord δ
passe de sa valeur initiale nulle à une valeur grande devant g (fig.7a et b), dans le même
temps la population de l’état excité du qubit passe effectivement de 1/2 à 0 (7c), il est
initialisé dans son état |gi. Le travail reçu par l’atome (qui est égal à la chaleur dissipée
dans le champ lumineux) vaut bien wL (7d). Cela signifie que le processus d’initialisation
se fait bien dans des conditions quasi-statiques. De plus, l’énergie cédée par le champ de
phonons au cours de la phase est effectivement égale à wL , ce qui confirme que l’oscillateur
joue le rôle de l’opérateur extérieur qui fournit le travail nécessaire à l’initialisation du
qubit. On peut noter qu’à la fin de la phase, β(t) est réel et légèrement inférieur à |β0 | ce
qui confirme l’analyse faite au paragraphe III.3 pour le choix des paramètres.
2. Machine de Szilard : lors de la deuxième phase, il se produit l’opération réciproque
de l’initialisation de Landauer évoquée dans l’introduction de ce rapport, la machine de
Szilard. Il s’agit de la conversion d’un bit d’information en travail reçu par la batterie.
Le désaccord effectif, qui a une valeur grande devant g en fin de phase 1, redescend
quasi-statiquement jusqu’à 0. Pendant le même temps, on voit que la population de l’état
excité revient à 1/2, qu’une quantité wL de travail est cette fois-ci stockée dans l’oscillateur
mécanique. La même quantité wL d’énergie est transférée depuis le champ lumineux vers
l’atome.
3. Initialisation de Landauer inverse : la troisième phase met en jeu un phénomène
assez inattendu puisque n’ayant pas d’équivalent dans le cas d’un qubit en équilibre avec
un thermostat. Durant cette phase, le désaccord effectif varie de 0 à une valeur négative
grande en valeur absolue devant g, ce qui provoque l’initialisation du qubit : Pe passe de
1/2 à 0 comme dans la phase 1. Cependant, cette fois-ci, une quantité wL de travail est
stockée dans l’oscillateur mécanique au lieu d’être fournie, et la même quantité de chaleur
4. C’est-à-dire que = 10−2 dans l’équation (29)
14
a)
b)
600
β0
400
Im(β)
200
0
−200
−400
−600
−90
−60
−30
0
30
60
(β)/g
c)
d)
1
∆Eph / wL
0.5
w(t) / wL
0
4
−0.5
−1
0
0.5
Ω t / 2π
1
Figure 7 – a) Trajectoire de l’amplitude du mode de phonon β dans le plan complexe. Les quatres
chiffres cerclés réfèrent aux quatre phases du cycle décrit : Initialisation de Landauer, machine de
Szilard, et leurs équivalent "inversés". Condition initiale : β(t = 0) = 500i. b) Évolution de la différence
d’énergie entre les niveaux de l’atome selon δ(t) = 2gm Re(β). c) Évolution de la population de l’état
excité de l’atome. d) Trait plein : énergie stockée dans le champ de phonon entre t = 0 et t en
unité de wL , soit ~Ω(|β(t)|2 − |β0 |2 )/wL . Pointillés : travail reçu par l’atome entre t = 0 et t, soit
Z t
dδ
1
w(t) = wL ~
dt Pe (βt ) . Paramètres : Ω/γ = 10−4 , g/γ = 8, gm /γ = 0.58.
dt
0
est fournie par le thermostat. Une telle manière de convertir l’information du qubit en
énergie est possible dans ce dispositif grâce à une particularité de l’interaction lumière
- atome servant à simuler l’équilibre thermodynamique de l’atome : les deux états du
qubit sont peuplés équiprobablement à un moment où ils n’ont pas la même énergie (voir
fig.5). En conséquence, il est possible de s’éloigner de la résonance en rapprochant les deux
niveaux de l’atome, ce qui permet de récupérer du travail car l’énergie du niveau peuplé
|ei est abaissée au cours de l’opération. Il s’agit d’une conséquence du caractère horséquilibre du réservoir lumineux. L’opération est illustrée fig.8. Dans le cas d’un qubit en
équilibre avec un thermostat, comme présenté en fig.1a, les deux niveaux sont initialement
dégénérés en énergie et il est donc impossible de les rapprocher d’avantage.
4. Machine de Szilard inversée : il s’agit du processus réciproque de la phase 3, dû
lui-aussi aux propriétés particulières de l’interaction lumière - atome, et qui complète le
cycle thermodynamique. Durant cette dernière phase, le désaccord revient à 0 et comme
en phase 2, le qubit retourne à un mélange statistique des ses deux états (Pe = 1/2), mais
du travail est fourni par le champ de phonon et de la chaleur est dissipée dans le champ
lumineux au cours de l’opération.
Cette résolution numérique permet de vérifier que l’on peut effectivement effectuer les conversions information - énergie avec un système hybride optomécanique, comme pour un qubit en
équilibre avec un thermostat, et ce de manière quasi-statique. En outre, elle permet de réaliser que l’on peut effectuer deux conversions provoquant des échanges de travail "inversés" par
15
a)
b)
E
E
ω0
ω0
g
g
wL
Champ EM
wL
Phonons
δ >> g
0
0
|g>
|g>
|e>
|e>
Figure 8 – Processus d’initialisation inverse d’un qubit (phase 3 du cycle) porté par l’atome d’un
système optomécanique : a) Etat initial, le désaccord effectif est nul et donc les deux niveaux sont
équiprobables dans l’état stationnaire. b) Le mouvement de l’oscillateur fait passer de manière quasistatique le désaccord effectif de 0 (Pe = 1/2) à une valeur négative, grande en valeur absolue devant
g telle que Pe = 0. Au cours de ce processus le champ électromagnétique fournit une quantité wL
de chaleur, qui est reçu sous forme de travail par le champ de phonons qui le stoce dans son énergie
interne.
rapport aux processus réalisables avec un qubit en équilibre thermique avec un thermostat
lui-même à l’équilibre. Ces 4 opérations peuvent être à la base de la réalisation de machines
thermiques à l’échelle du qubit unique, ce qui est l’objet du paragraphe suivant.
IV.2
Utilisation en moteur optique
Au bout d’une réalisation du cycle thermodynamique présenté en figure 7, l’énergie de la
batterie est revenue à sa valeur initiale. En effet, au cours des quatre phases, le champ de
phonon, fournit (zones de couleur bleue) et reçoit (zones de couleur rouge) tour à tour la même
quantité d’énergie wL = ~gπ/4. L’idée, pour faire un moteur avec ce cycle thermodynamique, est
de faire varier la valeur de la température effective, donnée par la fréquence de Rabi g du laser,
entre les zones bleues et rouges, ce qui fait varier proportionnellement le travail échangé. Il faut
bien sûr choisir une fréquence de Rabi faible lors des phases 1 et 4 (quand le champ de phonon
perd l’énergie wL ) et grande lors des phases 2 et 3. Si l’on reprend l’analogie thermodynamique
développée dans cette étude, on se rend compte que ce protocole revient à mettre le qubit
tantôt en contact avec une source froide et tantôt avec une source chaude comme dans un cycle
thermodynamique moteur du type cycle de Carnot.
La figure 9 montre la solution numérique des équations de Bloch lorsque l’on impose une
fréquence de Rabi g1 durant les phases 1 et 4 du cycle et une fréquence g2 > g1 durant les
phases 2 et 3, obtenue toujours avec le solveur ode23s de Matlab. Afin de comparer aux cycles
thermodynamiques classiques, on représente la trajectoire décrite par le système dans l’espace
(δ,Pe ), qui peut être interprété comme l’équivalent du diagramme de Clapeyron (P ,V ) utilisé
pour le cas d’école d’un cycle thermodynamique décrit par un gaz. En effet, le travail reçu par
l’atome est égal à l’aire des cycles parcourus dans cet espace (compté positivement si décrit
dans le sens contraire des aiguilles d’une montre), comme le montre la formule (19). En notant
(1)
(2)
(2)
(1)
wL = ~g1 π/4 et wL = ~g2 π/4, on trouve facilement que l’aire de chaque lobe vaut wL − wL ,
ce qui donne le travail stocké dans la batterie au cours d’un cycle complet :
(2)
(1)
Wcyc = 2(wL − wL ) =
~π
(g2 − g1 )
2
(36)
On peut en déduire l’efficacité η du moteur, définie comme le rapport entre le travail total reçu
16
(2)
et la chaleur extraite de la source chaude, ici wL :
η=
Wcyc
(2)
wL
=1−
g1
g2
(37)
Il s’agit de l’équivalent direct de l’efficacité du moteur de Carnot ηC = 1−T1 /T2 où T1 et T2 sont
respectivement les températures des sources froide et chaude, qui est l’efficacité maximale que
peut atteindre un moteur thermique ditherme [5]. En s’intéressant aux transformations subies
par le qubit, on peut voir que le qubit décrit en fait un double cycle de Carnot ou cours de
son cycle thermodynamique. En effet, les phases 1,2,3 et 4 sont équivalentes à des transformations isothermes (fréquence de Rabi g constante), et les changements rapides de la valeur de la
fréquence de Rabi entre les phases 1 et 2, et les phases 3 et 4, sont des transformations isentropiques (elles interviennent à un moment où le qubit est initialisé et donc d’entropie nulle). Ainsi,
le qubit subit l’alternance de transformations isothermes et isentropiques qui caractérisent le
cycle de Carnot. On peut noter que ce dispositif optique permet d’atteindre effectivement l’efficacité de Carnot, contrairement aux dispositifs réels basés sur des sources thermiques. Il s’agit
d’une conséquence directe de la vitesse à laquelle le qubit atteint son état stationnaire, limitée
par des fréquences optiques très élevées (de l’ordre du GHz), et non pas par la conductivité
thermique du matériau, et qui permet d’atteindre effectivement le régime quasi-stationnaire
tout en manipulant le qubit à une fréquence raisonable (de l’ordre du MHz).
0.5
0.4
0.3
3
2
Pe
4
1
0.2
0.1
0
−1
−0.5
0
0.5
(2/π)Arctan(δ/g1)
1
Figure 9 – Population dans l’état excité de l’atome en fonction du désaccord effectif au cours du
cycle moteur. L’abscisse est présentée en échelle arctan pour une meilleure visibilité. Les chiffres cerclé
réfèrent aux phases du cycle.
On peut désormais s’intéresser aux performances de ce moteur. Pour cela, on peut remarquer
que la condition (30) de visibilité vis à vis du shot noise n’est plus nécessaire, et cela permet
donc de prendre une valeur de β0 plus importante. En prenant les paramètres réalistes suivants :
γ = 2π × 1 GHz
g1 = 2π × 10 GHz
g2 = 2π × 1 THz
gm = 2π × 10 MHz
Ω = 2π × 100 kHz
β0 = 109
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
On s’attend à un moteur fonctionnant de manière réversible, ayant une efficacité η = 0.99. Ce
moteur fournit ~g2 π4 − ~g2 π4 pour chaque cycle de durée 2π/Ω. La puissance attendue de ce
17
moteur est donc :
~
(g2 − g1 )Ω ∼ 10−17 W
(44)
8
Ces performances sont meilleures que celles des précédents moteurs réalisés avec des qubits
uniques tels que celui proposé par [18] et basé sur un ion unique décrivant un cycle thermodynamique, avec une efficacité de l’ordre de 30% et une puissance de l’ordre de 10−20 W.
P=
IV.3
Convertisseur photon - phonon
Une autre application de ce cycle thermodynamique peut être envisagée lorsque l’énergie
initiale présente dans l’oscillateur mécanique est trop faible. En pratique, il suffit d’avoir :
Ω|β0 | gm .
(45)
La trajectoire décrite par l’amplitude du champ de phonons est alors modifiée comme on peut
le voir sur le graphe 10a de la solution numérique des équations de Bloch (13)-(15) avec la
condition initiale β0 = 0 (les autres paramètres étant les même qu’au IV.1). Mathématiquement,
la condition (45) assure que le terme −igm Pe de l’équation (15) régissant l’évolution de β domine
le terme oscillant iΩβ. Ce nouveau cycle est en fait constitué des phases 3 (initialisation de
Landauer inverse) et 4 (processus de Szilard inverse) du cycle présenté dans le paragraphe IV.1,
comme l’illustre le schéma IV.1b de l’évolution de l’écart entre les deux niveaux d’énergie de
l’atome dans ce régime.
a)
b)
200
Imβ
100
β0
0
−100
−200
−200
−100
Reβ
0
Figure 10 – a) Trajectoire de l’amplitude du mode de phonon β(t) dans le plan complexe avec une
condition initiale : β(t = 0) = 0. b) Évolution de la différence d’énergie entre les niveaux de l’atome
δ(t) = 2gm Re(β) au cours du cycle. Paramètres : Ω/γ = 10−4 , g/γ = 8, gm /γ = 0.58.
L’interêt de ce régime est que à partir du vide de phonons, un état cohérent de grande
amplitude est généré dans l’oscillateur mécanique. Plus précisément, on peut utiliser l’intégration analytique de l’équation (15) donnant l’expression (20), pour obtenir l’amplitude du mode
cohérent de phonon à la fin de la phase 3. Le résultat est :
πg
|β3 |2 =
(46)
4Ω
Le système hybride se comporte donc comme un convertisseur des photons du laser en phonons
dans l’oscillateur mécanique. Un autre convertisseur de ce type a déjà été proposé avec un
système hybride optomécanique dans le régime gm |β| g [25]. Dans la même référence, il
est proposé une application de mesure non destructive de l’état d’un système quantique dont
l’efficacité est proportionnelle à l’amplitude du champ de phonon créé. Il est intéressant de
noter que dans le régime décrit dans cet article, l’amplitude créée est proportionnelle à gm /Ω
et non pas g/Ω. Puisque on peut facilement avoir g gm , le convertisseur proposé ici permet
d’obtenir des mesures potentiellement plus efficaces.
18
V
Conclusion
Dans ce rapport, j’ai présenté l’étude théorique d’une classe de dispositifs expérimentaux,
dit systèmes hybrides optomécaniques, faite durant mon stage. Je me suis focalisé sur l’intérêt
de ces dispositifs dans le cadre du contexte naissant de la thermodynamique des systèmes
quantiques, et j’ai montré qu’ils permettent de simuler un qubit unique en équilibre avec un
thermostat, échangeant de manière contrôlée du travail avec une batterie quantique dont l’état
peut être suivi au cours du temps, ce qui est inédit. En premier lieu, cette étude montre que ce
dispositif permet de réaliser, de manière réversible, quatre types différents de conversions énergie
- information, dont deux processus nouveaux qui n’ont pas d’équivalents dans le cas qubit en
équilibre avec un vrai thermostat, et qui sont des conséquences des possibilités supplémentaires
offertes par ce dispositif optique hors équilibre. En interprétant de manière thermodynamique
le cycle décrit par le système au cours de son évolution temporelle, j’ai ensuite proposé deux
applications de ce dispositif consistant en (1) un moteur fonctionnant avec un unique qubit et
atteignant l’efficacité du cycle de Carnot, (2) un convertisseur de photons en phonons.
Les étapes suivantes, qui feront sans doute l’objet d’une partie de ma thèse, qui débutera en
septembre 2013 dans la même équipe de recherche sous la direction d’Alexia Auffèves, consistent
à s’intéresser à des régimes plus à même d’exploiter la nature quantique de la batterie et du
qubit. Il est par exemple envisageable de regarder des états non-classiques du qubit, ce qui est
susceptible de générer des changements spectaculaire dans les conversions information - énergie.
Notamment, l’initialisation d’un état intriqué pourrait se faire en fournissant du travail au lieu
d’en coûter selon [17]. D’autre part, ce dispositif semble permettre de mesurer la distribution des
valeurs du travail échangé au cours des processus décrits plus haut (tels que l’initialisation de
Landauer) à la place de la valeur moyenne. Cela permettrait de vérifier les extensions quantiques
des relations de fluctuation du type égalité de Jarzinsky [6].
Références
[1] Landauer, R. Irreversibility and heat generation in the computing process, IBM J.Res.
Develop. 5, 183–191 (1961).
[2] Maxwell, J. C., Letter to P. G. Tait, 11 December 1867 in Life and Scientific Work of
Peter Guthrie Tait, C. G.
[3] Maruyama, K., Nori, F., Vedral, V., Colloquium : The physics of Maxwell’s demon and
information, Rev. Mod. Phys., 81, 1-23 (2009)
[4] Szilard, L., Z. Phys. 53, 840 (1929), English translation by A. Rapport and M. Knoller,
Behavioral Science 9 :301, 1964.
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