La diffusion collective de la lumière par les gaz turbulents
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A la pointe de l’instrumentation La diffusion collective de la lumière par les gaz turbulents L’observation de la diffusion incohérente de la lumière par les gaz, notamment l’atmosphère, fait partie de notre expérience quotidienne. La diffusion cohérente est une autre manifestation de la diffusion élastique par les particules constituantes de la matière. Beaucoup plus intense que la diffusion incohérente, elle se produit lorsque la diffusion élémentaire par chacune des particules devient coopérative. Un tel phénomène s’observe dans la matière condensée mais aussi dans les milieux peu denses que sont les gaz ou les plasmas, tout particulièrement lorsque ces milieux sont turbulents. On peut alors parler de diffusion « exacerbée », car l’intensité de la lumière diffusée est augmentée de plusieurs ordres de grandeur. En outre, la mesure et l’analyse de cette lumière procurent des informations originales sur l’état et la dynamique du milieu turbulent. L a lumière diffusée par un gaz pur est habituellement très ténue. L’exemple le plus familier est celui de l’atmosphère éclairée par le soleil : la couleur bleue qui manifeste cette diffusion n’est sensible que lorsque la distance de propagation est supérieure au kilomètre. L’effet de la composition entre eux des champs électromagnétiques diffusés par chacune des molécules constituantes peut expliquer ce phénomène : non seulement l’amplitude élémentaire est très faible mais surtout la phase relative du champ diffusé par une molécule ou par une autre est aléatoire, ce qui rend en moyenne destructive l’addition des champs. Cette distribution de phase aléatoire n’est plus réalisée dans le cas des gaz non uniformes, et notamment dans le cas des gaz turbulents. A chaque instant en effet, les champs électriques diffusés depuis des régions de densités différentes peuvent s’additionner de façon cohérente et l’intensité de la lumière diffusée peut devenir très forte, beaucoup plus forte que celle de la diffusion incohérente. Cette intensité est une caractéristique de la distribution en volume de la densité. On – Laboratoire de physique et technologie des plasmas, UMR 7648 CNRS, École polytechnique, 91128 Palaiseau cedex. 14 connaît bien cette propriété de la matière dense, et elle est utilisée pour étudier la structure de cette matière. Dans les gaz, le nombre des diffuseurs élémentaires (atomes) est beaucoup plus faible et cependant il suffit d’une variation spatiale même minime de la densité pour produire une forte diffusion de lumière. En outre, ces milieux (gaz ou plasmas) sont très mobiles et l’observation de la variation au cours du temps du champ électrique diffusé procure un outil original d’étude du gaz et de ses mouvements. Nous allons montrer comment effectuer de telles observations, comment les interpréter et illustrer nos propos avec des expériences effectuées sur des écoulements aérodynamiques et sur des plasmas. Nous verrons quelles informations peuvent en être déduites sur la structure et sur la dynamique de ces milieux. DE LA DIFFUSION INCOHÉRENTE A LA DIFFUSION EXACERBÉE Dans les conditions ordinaires, un gaz est transparent à la lumière. Pourtant, chacune des molécules qui le constituent diffuse une très petite quantité de lumière de même longueur d’onde. Les champs électriques diffusés par chaque particule s’ajoutent pour former le champ total reçu par un observateur. Cette addition tient compte de la phase, et celle-ci dépend de la position de chacune des molécules. On montre ainsi (encadré 1) que cette addition effectue une transformation de Fourier spatiale de la distribution de densité r , t), des particules n( r , t) = E1 (t) n( r , t)e−i k·r d r E T ( (1) L’argument de cette transformation est un vecteur d’onde qui dépend du vecteur d’onde de la lumière incidente ki et de la direction n de la lumière diffusée, k = ki n − ki (2) L’amplitude totale du champ diffusé est donc proportionnelle à une transformée de Fourier spatiale de la distribution (de densité) des molécules constituantes du gaz. Le vecteur d’onde de cette transformée de Fourier est défini selon l’équation (2) par la disposition relative de la source de lumière, du volume observé et de l’observateur. Dans un gaz parfait de densité uniforme, la puissance totale diffusée par l’ensemble des particules statistiquement indépendantes est égale à la somme des puissances diffusées par chacune des N molécules. C’est la diffusion « incohérente » Pinc = N P1 (3) A la pointe de l’instrumentation Encadré 1 DE LA DIFFUSION INCOHÉRENTE A LA DIFFUSION EXACERBÉE Le champ électrique diffusé provient de la diffusion élastique dans un milieu linéaire. Une molécule éclairée par une onde électromagnétique incidente d’une seule fréquence rayonne à son tour une onde électromagnétique sphérique de même fréquence. L’amplitude du champ électrique et la phase de cette onde dépendent de l’amplitude et du vecteur d’onde incidents ( Ei , ki ) et de la géométrie de l’observation (position de l’atome r et de l’observateur r , direction de l’observation n) r , t) = − Ed ( | r ro n ∧ ( n ∧ Ei ( r = 0, t))eiki n·r e−i(ki n−ki )·r − r| (1) ro est le « rayon de Rayleigh », de taille très petite par rapport aux distances de habituelles de propagation (en lumière visible et pour un gaz atmosphérique, ro est de l’ordre de 10−15 mètres). Le champ total est la somme des champs diffusés par chaque r , t) le champ diffusé en r particule. Si l’on désigne par E1 ( par un atome particulier fixé à l’origine, et par k le vecteur d’onde différence k = ki n − ki (2) le champ total diffusé par N molécules situées aux positions r j est N −i k· E T ( r , t) = E1 ( r , t) j=1 e rj moyenne en probabilité de la somme ci-dessus est donc nulle, et de même le champ diffusé moyen. Cependant la puissance électromagnétique diffusée n’est pas nulle, puisqu’elle est formée par le carré du champ total. La moyenne en probabilité de celui-ci est égale à la somme du carré de chacun des champs. Ainsi la puissance totale diffusée par un gaz parfait PT est égale à la puissance diffusée par un seul atome P1 multipliée par le nombre d’atomes Pinc = N P1 On parle de « diffusion incohérente ». La puissance diffusée n’est pas du tout la même lorsque la densité du gaz n’est pas spatialement uniforme. Alors le champ électrique total moyen n’est pas nul et la puissance totale diffusée peut être très importante ; c’est pourquoi on peut parler alors de diffusion exacerbée. On exprime cette puissance diffusée en utilisant le « facteur de forme », familier de la diffraction X, N N 1 −i k·( r − r ) j l = S(k) e (5) N j=1 l=1 Alors l’intensité de la lumière diffusée par un gaz non uniforme est multipliée par ce facteur inc Pex = S(k)P (3) Remarquons d’abord que ce champ total est proportionnel à la transformée de Fourier spatiale de la distribution des molécules. L’argument de cette transformation de Fourier est le vecteur d’onde k défini par la disposition optique. L’amplitude du champ total dépend de la distribution spatiale des molécules et du vecteur d’onde k . Dans un gaz parfait, la position de chaque atome est équirépartie en probabilité sur tout le volume accessible. La dans un gaz turbulent. C’est pourquoi on peut parler de diffusion « exacerbée » et non plus de diffusion incohérente. P1 Pex = S(k)N Une expérience de diffusion exacerbée comprend une source lumineuse cohérente (laser) qui éclaire le gaz étudié, et un détecteur. La direction du faisceau optique incident ki et Le « facteur de forme » multiplicatif de l’intensité diffusée atteint facilement plusieurs ordres de grandeur (6) La mesure de l’intensité diffusée (la fonction de corrélation au temps zéro) est donc une mesure du facteur de forme. Dans un gaz, ce facteur a des propriétés particulières. En raison de la est une distribution spatiale aléatoire des molécules, S(k) fonction continue de k . Pour un gaz parfait, c’est une peut constante égale à l’unité. Dans un gaz turbulent, S(k) prendre des valeurs très élevées lorsque l’inverse du nombre est dans le domaine des dimensions caractéristiques d’onde |k| de l’écoulement. Dans un gaz non uniforme, la puissance diffusée est multipliée par le Ce facteur « facteur de forme » S(k). (sans dimension) est défini de la même façon qu’en diffraction X ; il est caractéristique de la non-uniformité à l’échelle du vecteur d’onde k (encadré 1), (4) (4) MISE EN ŒUVRE ET VISUALISATION celle de la lumière diffusée ki n forment entre elles un angle θ très petit. Il faut en effet que la longueur d’onde associée au vecteur d’onde d’analyse k [équation (2)], λ = 2π/k, soit suffisamment grande pour correspondre aux dimensions des inhomogénéités du gaz. Cette dimension est de l’ordre du millimètre ou plus, alors que la longueur d’onde de la lumière visible est de l’ordre du demi-micron. Le rapport entre ces deux longueurs étant de l’ordre du millier, il faut que 15 ligne diffuse est produite par la diffusion incohérente dans l’air ambiant. Figure 1 - Vues de la diffusion exacerbée. L’air comprimé est soufflé vers le bas à partir de la pointe inférieure (percée) de la buse conique visible en haut des photographies. Sur la figure de gauche, obtenue avec un laser de 514 nm de longueur d’onde et de 700 mW de puissance continue, on aperçoit le trajet du faisceau laser grâce à la diffusion incohérente dans l’air ambiant (diffusion Rayleigh). A l’aplomb et au-dessous de la buse, on observe une tache : c’est la diffusion exacerbée du rayonnement du laser par la turbulence. La figure de droite a été obtenue avec un laser rouge de 633 nm et 4 mW. La tache est aussi bien visible. l’angle de diffusion θ soit de l’ordre du milliradian : la diffusion exacerbée s’observe dans une direction très proche (mais distincte) de celle du rayonnement incident. tions sont convectées à la vitesse du jet. Un appareil photographique est placé de l’autre côté du jet. Il regarde vers le jet, protégé du rayonnement du laser principal par un écran. Deux images sont présentées sur la figure 1. L’intensité de la lumière diffusée (et l’amplitude du facteur de forme) est mesurée par un photodétecteur. La mesure du spectre fréquentiel (ou de la fonction de corrélation temporelle) du champ diffusé s’effectue à l’aide d’un dispositif de battement « hétérodyne », qui consiste à éclairer le détecteur à la fois par le champ diffusé et par un faisceau secondaire issu de la source principale. Ce dispositif permet de convertir la modulation d’amplitude et de phase de l’onde diffusée [modulation qui contient les informations sur la structure spatiale et le mouvement du gaz, équation (1)] en un signal de basse fréquence susceptible de traitement analogique ou numérique. Chacune des deux photographies correspond à un laser source différent : un laser vert à argon ionisé (λ = 0,514 µ m ) pour la figure de gauche et un laser rouge à hélium (λ = 0,633 µ m) pour la figure de droite. Sur le haut de chaque figure on observe la silhouette de la buse. Au centre gauche un disque noir représente l’orifice de sortie du faisceau laser à travers une feuille de papier blanc (qui constitue le fond de la photographie). L’air comprimé se détend en s’écoulant verticalement vers le bas à partir d’un orifice percé à la pointe inférieure de la buse conique. Le diamètre de l’orifice est de 1 mm. La diffusion exacerbée est un phénomène bien visible à l’œil nu, en continuité avec la diffusion incohérente. Il suffit pour s’en convaincre d’éclairer avec un faisceau laser un jet d’air comprimé sortant d’une petite buse. L’air comprimé sortant de la buse se mélange avec l’air ambiant de plus faible densité, en formant des fluctuations spatiales de densité à toutes les échelles qui peuvent diffuser la lumière. Ces fluctua- On observe une tache, au centre de chaque figure, trace de la diffusion exacerbée par la turbulence dans le jet d’air. On peut l’observer assez loin de la buse (sur la figure, la distance entre la sortie de la buse et la zone turbulente éclairée est de 10 mm). Si l’on arrête l’écoulement, la tache disparaît. Sur la figure de gauche, on observe la trace du faisceau laser sous la forme d’une ligne diffuse qui traverse horizontalement la figure. Cette 16 On n’observe pas la trace horizontale du faisceau sur la figure de droite parce que la puissance du laser est plus faible (4 mW en rouge, 700 mW en vert) de même que l’intensité de la diffusion incohérente en lumière rouge. L’angle d’émission de la lumière diffusée par rapport à la direction incidente est de 60 mrad (3 degrés 30 ) et 40 mrad (2 degrés 20 ) pour les figures de gauche et de droite. A ces angles correspondent [par l’équation (2)] des longueurs d’onde de fluctuations sondées de 8,6 µ m et de 16 µ m respectivement. Ces échelles sont assez petites et cependant elles sont encore de l’ordre ou plus grandes que « l’échelle de dissipation » en dessous de laquelle les non-uniformités de densité sont absorbées par la diffusion moléculaire. FACTEUR DE FORME Nous avons vu que l’intensité de la lumière diffusée « exacerbée » [équation (4)] est celle de la diffusion « incohérente » [équation (3)] multipliée par le « facteur de forme ». A cet égard, la photographie de gauche dans la figure 1 est particulièrement significative. En effet, cette image nous montre à la fois la diffusion exacerbée et la diffusion incohérente. Le rapport d’intensité entre la tache et le fond lumineux de la trace du faisceau est égal corresponau facteur de forme S(k) dant à cette disposition optique. En déplaçant le détecteur pour observer la lumière diffusée à différents angles, on peut ainsi mesurer la valeur absolue du facteur de forme et sa variation avec le vecteur d’onde. Cette mesure est présentée sur la figure 2, en unités logarithmiques. En abscisse, l’angle d’observation va de 0,5 mrad (l’angle de divergence naturelle du faisceau laser) à 100 mrad. L’intensité du facteur de forme est la plus grande à petit angle, puis elle décroît très rapide- A la pointe de l’instrumentation Figure 2 - Variation du facteur de forme avec le vecteur d’onde, dans la turbulence d’un jet d’air. Le facteur de forme varie de douze ordres de grandeur, tandis que les échelles de longueur d’onde observées varient d’un facteur 200, depuis l’échelle macroscopique du jet (1 mm) jusqu’aux échelles microniques. Une droite, de pente (−11/3), s’ajuste aux points de mesures les plus intenses : c’est la pente prévue par la phénoménologie de Kolmogorov dans le domaine « inertiel » de la turbulence développée. Aux échelles microniques, le facteur de forme rejoint celui du gaz parfait, indépendant de l’échelle. ment jusqu’à ce que, au-delà de 100 mrad, le facteur de forme se stabilise à la valeur du gaz parfait à l’équilibre. La mesure par le rapport d’intensité sur les photographies (figure 1) a été utilisée pour les angles les plus grands (les cercles ouverts sur la figure 2). Aux plus petits angles, une mesure du courant photo-électrique reçu par une diode détectrice permet la mesure de S(k) (les « x » de la figure 2). Les deux mesures ont été effectuées simultanément à l’angle de 4,5 mrad, où l’on voit qu’elles se recouvrent correctement. A chaque angle de diffusion correspond un vecteur [équation (2)] et une longueur d’onde d’analyse λ. Au plus petit angle, la longueur d’onde analysée est de 1 000 µm, égale au diamètre de la buse : c’est « l’échelle de production » de la turbulence. = L’intensité est très élevée, S(k) 8.1011 . Une analyse dimensionnelle permet de justifier cette valeur, en faisant l’hypothèse que la valeur quadratique moyenne de la fluctuation de densité à cette échelle est égale à la différence de densité entre l’air comprimé sortant de la buse et l’air ambiant. Lorsque l’angle (et le vecteur d’onde k ) augmente, le graphe logarithmique montre une décroissance rectiligne, correspondant à une loi de puissance, de pente −11/3. Cette variation est observée sur quatre ordres de grandeurs. L’une des prédictions les plus connues des modèles phénoménologiques de la turbulence porte sur le spectre des fluctuations spatiales de la vitesse. Elle prévoit que le spectre de « l’énergie cinétique » se distribue en fonction du nombre d’onde sous la forme d’une loi de puissance d’exposant −5/3 (c’est la « loi de Kolmogorov »). L’expérience présentée ici observe les fluctuations spatiales de la densité et mesure un spectre en fonction du vecteur d’onde k . Ces deux types de spectre (vitesse et densité) sont étroitement liés. Dans les écoulements subsoniques en effet (dans lesquels la pression est uniforme en volume, même en présence de fluctuations de la densité), il n’y a pas de force associée aux variations spatiales de la densité, chaque élément de gaz est convecté indépendamment de sa densité. C’est pourquoi la distribution spectrale de la vitesse impose sa forme à la distribution spectrale de la densité. On dit que la densité est un traceur de la vitesse. Le fait d’observer un spectre en fonction du vecteur d’onde k (et non pas du nombre d’onde k) introduit une puissance de 2 supplémentaire puisque, si la distribution spectrale est isotrope, on passe du spectre en vecteur d’onde au spectre en nombre d’onde par une intégration dans l’espace des vecteurs d’onde sur la sphère de surface k 2 . Ainsi l’observation d’une pente −11/3 sur la figure 2 est conforme à la « loi de Kolmogorov ». Lorsque l’angle de diffusion θ devient supérieur à 10 mrad (et la longueur d’onde observée λ inférieure à 50 µm), l’intensité décroît plus vite que par la loi de Kolmogorov : on quitte le « domaine inertiel » de la dynamique du gaz, les effets de dissipation ne sont plus négligeables. Un point d’inflexion est θ = 50 mrad observé lorsque (λ = 10 µm). A cette échelle, le terme de viscosité de l’équation de Navier-Stokes devient aussi important que le terme de convection non linéaire : cette longueur marque l’« échelle de dissipation ». Au-delà de ce point, la décroissance du facteur de forme est plus lente, jusqu’à ce que celui-ci atteigne la valeur du = 1) à pardésordre cinétique (S(k) tir de θ = 100 mrad (λ = 5 µm) et pour tous les angles plus grands (et les échelles plus petites). LA DISTRIBUTION DE PROBABILITÉ DES VITESSES Le « facteur de forme » n’est pas le seul paramètre qu’on puisse mesurer par la diffusion exacerbée. D’autres 17 Encadré 2 LE FACTEUR DE FORME DYNAMIQUE ET LES MOUVEMENTS DE GAZ On peut mesurer l’amplitude et la phase du champ total diffusé et leurs variations temporelles à l’aide d’une détection «hétérodyne» (par battement, sur le détecteur, de la lumière diffusée avec un faisceau laser de référence). Ces variations traduisent le mouvement du gaz [équation (1) du premier encadré]. On étudie cette relation en formant la fonction de corrélation temporelle du champ diffusé, 2 N N E T (t) · E T∗ (t + τ ) = E1 e−i k·[rl (t)−r j (t+τ )] l=1 j=1 (1) Lorsqu’on observe la diffusion à très petit angle (tel que le produit du nombre d’onde k par le libre parcours moyen soit très petit), le mouvement microscopique des particules est négligeable et le déplacement d’une particule pendant le temps τ est celui d’un élément du gaz dans son voisinage, ). R(τ On peut factoriser la moyenne statistique contenue dans l’équation (2) en plusieurs moments différents. En effet, il existe toute une classe de fluctuations non stationnaires dans les gaz, les fluctuations « isobares », dans lesquelles la vitesse du gaz en un point donné est indépendante de la valeur de la densité au même point. C’est notamment le cas des gaz turbulents lorsque l’écart-type de la vitesse est inférieur à la vitesse du son. Dans ces gaz, les fluctuations dominantes de la densité sont convectées avec la vitesse locale du gaz. Alors la moyenne statistique incluse dans l’équation (2) se factorise en deux termes 2 2 N E T (t) · E T∗ (t + τ ) = E1 j=1 e−i k·rl (t) ei k· R(τ ) (2) La première moyenne est proportionnelle au « facteur de [défini par l’équation (3) de l’encadré 1]. La forme » S(k) moyenne suivante est la « fonction caractéristique » de la ). On variable aléatoire « déplacement macroscopique » R(τ la désigne par C(τ, k), R(t|τ ) = ei k· C(τ, k) (3) car la variation temporelle de cette fonction caractéristique est identique à celle de la fonction de corrélation du champ diffusé. On peut mesurer la seconde : on obtient la première, c’est-à-dire la transformée de Fourier (d’argument k ) de la distribution de probabilité du déplacement du fluide (le long de k ) pendant le temps τ. La transformée de Fourier temporelle de la corrélation du des champ électrique est le « spectre dynamique » S(ω, k) fluctuations de densité. Dans les conditions ci-dessus, 18 = S(k) S(ω, k) dτ eiωτ C(τ, k) (4) La relation entre fonction caractéristique et mouvements du gaz est relativement simple dans deux cas limites : le premier cas est celui où l’échelle des mouvements macroscopiques L M est grande par rapport à la longueur d’onde d’analyse λ (k L M > 1). A l’échelle de λ, le mouvement est rectiligne et s’effectue à la vitesse locale du gaz, v . La ) = vτ . A distance parcourue pendant le temps τ est R(τ temps τ fixé, la fonction caractéristique de la distribution aléatoire de R se déduit donc directement de celle de la distribution aléatoire de la vitesse du gaz v : la fonction caractéristique est la transformée de Fourier d’argument kτ de la distribution de probabilité de la vitesse. En mesurant le on effectue une seconde transformation de spectre S(ω, k), Fourier sur la variable t (qui était dans l’argument de la première transformation). Cette double transformation de Fourier temporelle redonne la distribution de probabilité de la vitesse. Ainsi l’intensité du spectre de la lumière diffusée à la fréquence ω est proportionnelle à l’amplitude de la distribution de probabilité de la vitesse à la valeur v telle que ω soit la fréquence Doppler ω = k · v . Le second cas est au contraire celui où l’échelle du mouvement macroscopique L M est petite par rapport à la longueur ) d’onde d’analyse (k L M < 1). Pour que le produit k · R(τ devienne de l’ordre de un (et que la fonction caractéristique prenne une valeur significative), il faut que le déplacement R soit grand par rapport à L M . Un tel déplacement résulte de la somme de déplacements indépendants : sa distribution de probabilité est gaussienne ; on peut en tirer parti pour expliciter la fonction caractéristique, ei k· R(t|τ) = e− Rτ )2 (k· 2 (5) En outre, le déplacement (sur des distances grandes par rapport à L M ) varie comme dans un processus diffusif. Sa valeur quadratique moyenne croît linéairement avec le temps. Le taux d’accroissement de la valeur quadratique moyenne du déplacement dans une direction donnée (par exemple, celle du vecteur unitaire k0 ) est lié au coefficient de diffusion D , (k0 · Rτ )2 = 2Dτ (6) Ainsi dans ce second cas, la fonction de corrélation du champ diffusé est une exponentielle décroissante avec un temps caractéristique (k 2 D)−1 . Si, comme pour le cas précédent, on observe le spectre fréquentiel de cette lumière diffusée, celui-ci est constitué d’une raie de profil de Lorentz, dont la demilargeur à mi-hauteur ω est égale à k 2 D. A la pointe de l’instrumentation informations sont contenues dans la forme du spectre fréquentiel. La variation temporelle du champ diffusé dépend des mouvements du fluide. Les propriétés statistiques du champ diffusé (notamment sa fonction de corrélation temporelle ou son spectre fréquentiel) traduisent celles du mouvement macroscopique à travers la « fonction caractéristique » de ce mouvement (encadré 2). La relation entre le spectre du champ électrique diffusé et les propriétés du mouvement est particulièrement simple lorsque l’échelle des mouvements macroscopiques est grande par rapport à la longueur d’onde d’analyse λ définie par la géométrie de la diffusion. Dans ce cas en effet, le mouvement « vu à l’échelle de la diffusion » est rectiligne. Il s’effectue à la vitesse locale v , et produit un décalage Doppler de fréquence ω = k · v . Dans la même hypothèse (où les distributions spatiales de la densité et de la vitesse sont statistiquement indépendantes), l’intensité du spectre du champ diffusé à une fréquence ω est proportionnelle à l’amplitude de la distribution de probabilité des vitesses correspondantes. Le spectre fréquentiel fournit une distribution de probabilité des vitesses du fluide, selon la composante de la vitesse parallèle au vecteur d’onde. Ces conditions d’observation sont facilement réalisées en aérodynamique. Nous les avons réunies dans une expérience de « couche de mélange » effectuée au Laboratoire d’études aérodyndamiques de Poitiers. Cette couche est formée dans la zone de transition entre deux écoulements parallèles de vitesses différentes. Pour la constituer, une double tuyère est formée par un tube horizontal de section carrée (de 150 mm de côté), divisé par une plaque parallèle à l’axe en deux parties égales. Chaque partie contient un écoulement de vitesse différente, supersonique dans la partie supérieure et subsonique dans la partie inférieure. A l’extrémité aval de la plaque, les deux écoulements se ren- Figure 3 - Spectre fréquentiel de la lumière diffusée (diffusion exacerbée, en trait plein ; la fréquence est convertie en unité de vitesse par la relation de Doppler) et histogramme de la distribution des vitesses de particules (anémométrie laser, en forme de barres verticales) mesurés dans la même zone d’un écoulement de couche de mélange supersonique. Les unités verticales sont logarithmiques (en dB). On remarque la similitude entre le spectre et la distribution de probabilité des vitesses dans la région du spectre d’intensité la plus élevée. La raie étroite à la vitesse nulle est un artifice de l’analyse de spectre. contrent tangentiellement en formant une zone turbulente. L’échelle des tourbillons formés dans cette région est d’environ 10 mm. Une région de la zone turbulente (dans la partie supersonique) est observée à l’aide d’un dispositif de diffusion exacerbée utilisant une lumière infrarouge (un laser à dioxyde de carbone qui émet un rayonnement continu de 1 Watt de puissance et de 10,6 µm de longueur d’onde). L’échelle d’observation est de 0,35 mm (l’angle de diffusion est de 30 mrad) et le vecteur d’onde d’analyse est parallèle à l’axe d’écoulement. La lumière diffusée est analysée par détection hétérodyne, le courant du photodétecteur est envoyé à l’entrée d’un analyseur de spectre analogique. Ce spectre est présenté sur la figure 3. La même région de l’écoulement a été observée par un dispositif d’anémométrie laser par particules, permettant de construire la distribution de probabilité des vitesses sous la forme d’histogrammes. Les deux mesures, le spectre fréquentiel de la lumière diffusée (converti en vitesse par l’équivalence Doppler) et l’histogramme de vitesses des particules, sont comparées sur la figure 3. L’échelle verticale est logarithmique (unités arbitraires) ; l’amplitude du maximum du spectre est normalisée à celle du maximum de l’histogramme. Le spectre est présenté sous la forme d’une ligne continue, l’histogramme sous forme de créneaux. On note la similitude de ces deux mesures : identité de la valeur de la vitesse la plus probable, même largeur, même dissymétrie (chute abrupte du côté des grandes vitesses). Loin du maximum, l’histogramme est borné dans un intervalle fini de vitesse (en dehors de cet intervalle, le nombre de particules comptées devient trop faible). Au-delà de l’intervalle des mesures d’anémométrie laser, le spectre de diffusion collective montre de chaque côté du maximum une poursuite de la décroissance de la distribution de probabilité. Plus loin encore dans les ailes, et de chaque côté, un nouveau phénomène 19 apparaît sous la forme d’un autre maximum. Ces deux autres raies sont la signature d’ondes sonores de forte amplitude se propageant dans l’écoulement supersonique, vers l’amont (pour la raie située du côté des basses fréquences) et vers l’aval (côté hautes fréquences). La différence de fréquence entre ces raies et la raie centrale est en effet la fréquence attendue pour les ondes sonores de longueur d’onde 0,35 mm. La mesure de la fréquence de ces raies peut inversement être utilisée pour obtenir la vitesse du son et la température du gaz. LES PLASMAS ET LA DIFFUSION COLLECTIVE Les plasmas sont des gaz très chauds dont les propriétés mécaniques et électromagnétiques sont liées à la dissociation des atomes en ions positifs et en électrons. Comme les gaz, les plasmas sont transparents aux ondes électromagnétiques (pourvu que la fréquence de ces ondes soit suffisamment haute, supérieure à la « fréquence plasma »). Et comme les gaz, ils peuvent diffuser la lumière. Les conditions de la « diffusion collective » sont remplies lorsque la longueur d’onde d’analyse est grande par rapport à la « longueur de Debye », qui est la mesure de la distance d’interaction collective entre particules chargées. Alors, le « diffuseur élémentaire » dans le plasma est « l’ion habillé », à la place de la molécule neutre du gaz froid. Cet ion habillé rassemble l’ion avec son nuage d’électrons libres de neutralisation qui l’accompagne, le « nuage de Debye ». Comme les gaz, les plasmas sont facilement turbulents. A l’aide de l’image des ions habillés, on peut interpréter les spectres des ondes diffusées en terme de mouvement du gaz ionique comme on a interprété les spectres issus des gaz neutres en terme de mouvement de masse du gaz. Les ions portant une masse bien plus grande que les électrons, le mouvement du gaz ionique 20 est aussi le mouvement d’ensemble du plasma. Dans beaucoup de plasmas, les collisions ion-ion (ou ion-neutre) sont très rares et le mouvement de ces ions habillés n’est pas confiné par collisions, comme pour les molécules d’un gaz. C’est le cas notamment des plasmas confinés par un tels que ceux champ magnétique B, qu’on rencontre dans la « magnétosphère » autour de la terre, ou bien dans les dispositifs de recherches sur la « fusion par confinement magnétique ». Dans ces plasmas, les mouvements cinétiques très rapides le long du champ B empêchent toute irrégularité de la densité dans la direction de ce champ. Cependant, les mouvements individuels restent limités dans les directions perpendiculaires à l’axe B par l’effet du mouvement circulaire (cyclotron) des particules chargées : le rayon de giration tient lieu du « libre parcours moyen » dans ces directions. Si la densité du plasma n’est pas uniforme, les irrégularités dans les directions transverses à B ne peuvent s’amortir que par des mouvements collectifs dont les durées de vie sont longues. L’effet de cette mobilité, très différente selon les directions, s’observe directement avec la diffusion collective : le facteur de forme n’est intense (et un signal diffusé n’est facilement détectable) que si le vecteur d’onde d’analyse [équation (2)] est perpendiculaire au champ magnétique dans la zone sondée. Dans les dispositifs de confinement construits en vue de la fusion thermonucléaire, les mouvements du plasma perpendiculairement au champ magnétique doivent être contrôlés. Le « facteur de forme dynamique » fourni par la diffusion collective est particulièrement utile pour connaître la vitesse d’agitation turbulente et la diffusion. C’est pourquoi les dispositifs « tokamaks » de l’association Euratom-Cea, TFR à Fontenay-aux-Roses (Images de la physique, 1986) puis Tore-Supra à Cadarache ont été équipés d’un banc optique de diffusion collective. Le banc « Altaïr » sur Tore-Supra utilise un laser continu infrarouge (de longueur d’onde λ = 10,6 µm), comme celui qui a été construit pour l’étude de l’écoulement aérodynamique décrit plus haut. Son implantation est schématisée sur la figure 4. Figure 4 - Implantation de la zone d’observation de la lumière diffusée (cylindre vertical) dans le tore de plasma. Deux zones turbulentes localisées à l’intérieur de deux couronnes, en périphérie externe et interne du plasma, tournent dans des directions opposées et contribuent différemment au signal optique. A la pointe de l’instrumentation Figure 5 - Spectre fréquentiel de fluctuations mesurées par diffusion exacerbée dans le plasma de « Tore Supra ». Chacune des deux raies (qui se recouvrent partiellement) correspond à des fluctuations présentes dans deux régions différentes. Les unités verticales sont logarithmiques. La raie de gauche s’adapte à une forme de Lorentz (courbe en tirets) et la raie de droite à une courbe de Gauss (pointstirets). La première est caractéristique des mouvements diffusifs et la seconde de mouvements convectifs. La demi-largeur (en fréquence angulaire) à mi-hauteur de la raie lorentzienne δω procure une mesure directe du coefficient de diffusion transverse du plasma D puisque δω = k 2 D . Le faisceau optique traverse le plasma selon un axe vertical perpendiculaire au champ magnétique de Afin d’observer des confinement B. fluctuations perpendiculaires au champ magnétique et de longueurs plus grandes que le rayon de giration des ions (de l’ordre du millimètre), le plan de diffusion est perpendiculaire au champ magnétique et l’angle d’observation de la lumière diffusée est faible (de l’ordre du milliradian). Ainsi le volume observable, formé par l’intersection des faisceaux optiques « incident » et « diffusé », est très allongé dans la direction du faisceau laser principal, au point d’inclure tout le plasma éclairé par le faisceau optique incident. Un choix approprié de la direction du vecteur d’onde de la diffusion par rapport au champ magnétique, tenant compte de l’enroulement toroïdal de celui-ci et de l’alignement des fluctuations le long des lignes de champ, permet de restreindre le volume des fluctuations observées à la zone supérieure (ou inférieure) du plasma. Un spectre fréquentiel des fluctuations observées dans un plasma du tokamak « Tore Supra » est présenté sur la figure 5, en unités verticales logarithmiques. Deux raies voisines sont obtenues. On sait par comparaison avec d’autres moyens d’observation que chacune de ces deux raies correspond à des fluctuations localisées dans des zones différentes du plasma, l’une en périphérie externe (la raie de gauche), l’autre en périphérie interne (la raie de droite). Elles sont de formes différentes : la raie de gauche s’ajuste sur une courbe lorentzienne (en tirets) et la courbe de droite sur une courbe gaussienne (en tirets-point). Ces deux cas correspondent aux deux limites où le produit du nombre d’onde d’analyse par la longueur de corrélation du mouvement collectif L M est respectivement plus petit ou plus grand que l’unité (encadré 2). Dans le premier cas, le spectre lorentzien est la transformée de Fourier de la corrélation exponentielle [équation (3)] tandis que, dans le second cas, le spectre est l’image (par les fréquences Doppler) d’une distribution de probabilité de vitesses qui est elle-même gaussienne. Connnaissant le nombre d’onde observé (1,2 · 103 /radm), on peut déduire de la forme de ces deux raies que la longueur de cohérence L M est inférieure à 0,8 mm dans le premier cas (k L M1 < 1) et supérieure à cette longueur dans le second (k L M2 > 1). On observe donc dans le premier cas (dans la zone périphérique du plasma) une turbulence dont l’échelle est petite (la distance de 0,8 mm est de l’ordre du rayon de giration des ions, l’échelle de la turbulence est donc celle des mouvements microscopiques particulaires), et dans le second cas (dans une zone plus centrale) une turbulence de plus grande échelle correspondant à des mouvements d’ensemble macroscopiques. La turbulence dans la périphérie externe du plasma est également observée par d’autres méthodes (sondes). On sait ainsi qu’il existe des mouvements de rotation importants (dans le plan du petit cercle du tore) dont la vitesse varie rapidement avec la position selon le petit rayon. Ces écoulements cisaillés provoquent des turbulences analogues à celle des couches de mélange de l’aérodynamique, dont la taille caractéristique est de l’ordre de l’épaisseur de la couche. Dans la périphérie « interne », la turbulence est provoquée par les instabilités liées au gradient de température, dont la taille caractéristique est beaucoup plus grande que dans la zone de cisaillement. L’écart-type en fréquence de cette raie gaussienne donne (par conversion Doppler) une mesure de l’écart-type des vitesses turbulentes dans cette zone (on obtient v = 103 m/s) qui est de l’ordre des vitesses de dérive permanentes provoquées par les gradients stationnaires de température et de densité. La demi-largeur à mi-hauteur δω de la raie lorentzienne est la fréquence caractéristique k 2 D de 21 l’amortissement diffusif. On déduit de la largeur mesurée (δω = 955 · 103 rad/s) la valeur du coefficient de diffusion du plasma transverse au champ magnétique : D = 0,65 m2/s. Cette valeur de D montre qu’en moyenne, dans la région observée, les ions effectuent environ un millier de rotations cyclotron avant de changer d’orbite par l’effet de la turbulence. L’observation du spectre de la diffusion exacerbée de la lumière permet ainsi une mesure du coefficient de diffusion du plasma. Pour valider cette mesure, on a comparé son résultat avec une autre méthode, la « méthode des bilans ». Cette méthode exige à la fois un grand nombre de mesures ponctuelles et simultanées et par ailleurs la résolution d’un calcul inverse : connaissant la distribution spatiale de densité, la position des sources et le flux de particules issues de ces sources, le calcul consiste à obtenir le coefficient de diffusion (et sa distribution spatiale) qui, à l’aide de l’équation de diffusion de la matière (équation de Fick) et de la géométrie de l’expérience, permet de retrouver les mesures. Cette méthode, appliquée au même plasma que celui qui est observé dans la figure 5, confirme (dans la marge d’erreur de ces mesures) la valeur obtenue directement par la diffusion exacerbée. La diffusion exacerbée par les plasmas se produit aussi avec d’autres types d’ondes électromagnétiques et dans d’autres milieux. C’est notamment le cas des radars haute-fréquence à rétrodiffusion qui observent l’ionosphère polaire (dispositif « SuperDarn »). En appliquant la même méthode d’analyse du champ diffusé aux signaux reçus, nous avons obtenu des informations analogues (dispersion de vitesses, coefficient de diffusion) sur les mouvements turbulents du plasma dans les aurores boréales. CONCLUSIONS La diffusion exacerbée de la lumière par les gaz turbulents est un phénomène optique visible qui peut être très intense et dont les caractéristiques sont très différentes de celles de la diffusion par les gaz à l’équilibre thermodynamique. L’observation des gaz ou des plasmas par cette méthode, même dans des conditions extrêmes de température et de pression, est non perturbative et relativement aisée. L’intensité de la lumière diffusée et l’analyse du spectre procurent des paramètres importants de la structure et de la dynamique – le facteur de forme, la dispersion de vitesse, les longueurs et temps de corrélation de la vitesse ainsi que la diffusion turbulente – qu’aucune autre méthode ne permet d’atteindre directement. Article proposé par : D. Grésillon, tél. 01 69 33 41 14, [email protected] avec la collaboration de A. Kharchenko, C. Honoré, B. Tomchuk, A. Truc et P. Hennequin (Laboratoire de physique et technologie des plasmas, UMR 7648 CNRS, Palaiseau), B. Cabrit (CEA-B3, Bruyère le Chatel) et X. Garbe et de C. Laviron et J. Olivain (Département des recherches sur la fusion contrôlée, Euratom-CEA, Cadarache), J.-P. Bonnet (Laboratoire d’études aérodynamiques, UMR 6609, Poitiers), J.P. Villain et R. André (Laboratoire de physique et chimie de l’environnement, Orléans), et C. Hanuise (Laboratoire de sondages électromagnetiques de l’environnement terrestre, ESA 6017, Toulon). 22 POUR EN SAVOIR PLUS Baudet (C.) et al., « L’interférométrie acoustique : des filets d’ultrasons pour chasser les tourbillons », Images de la Physique, 2000. Chandrasekhar (S.), Review of Modern Physics, vol. 15, n° 1, pp. 1-89, 1943. Chu (B.T.) et Kovasnay (S.G.), J. of Fluid Mechanics, vol. 3, pp. 494-514, 1957. « Microfluctuations et diffusion de l’énergie dans les tokamaks », Images de la Physique, 1986. Hutchinson (I.H.), « Principles of Plasma Diagnostics », Cambridge University Press, 1987. Lading (L.), Wigley (G.) et Buchhave (P.), « Optical Diagnostics for Flow Processes », Plenum, 1994. « Journal of Atmospheric and Terrestrial Physics », special issue : « Electromagnetic scattering from gases and plasmas », vol. 58, June/July 1996. Kharchenko (A.V.) et Grésillon (D.), « Visible enhanced scattering from air flow turbulence », Europhys. Lett. vol. 55, pp. 486491, 2001.
