Chap.2 – Dynamique des fluides visqueux – Equations locales

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Chap.2 – Dynamique des fluides visqueux – Equations locales
1. Préalable mathématique : laplaciens
1.1. Laplacien d’un champ scalaire
1.2. Laplacien d’un champ vectoriel
2. Forces exercées sur une particule de fluide
2.1. Pression : composante normale
2.2. Contrainte de cisaillement : composante tangentielle – Définition de la viscosité
2.3. Equivalent volumique des forces appliquées en surface
2.4. Conditions aux limites
2.5. Origine microscopique de la viscosité
3. Dynamique locale – Equation de Navier-Stokes
3.1. Equation de Navier-Stokes : « RFD » sur la particule de fluide
3.2. Nombre de Reynolds : transferts de quantité de mouvement micro et macro
4. Etude de quelques écoulements classiques
4.1. Ecoulement de Couette plan
4.2. Ecoulement de Poiseuille plan
Intro :
Dans ce chapitre, on ne se limite plus à décrire le mouvement du fluide, mais on s’intéresse aux causes du
mouvement : les forces. Le système étudié sera toujours une particule de fluide (on pense lagrangien), mais on
écrira la RFD avec les champs eulériens. L’équation locale que l’on en tire s’appelle l’équation de Navier-Stokes.
On passe en revue les différentes forces qui peuvent s’exercer au sein d’un fluide réel, et on les exprime par unité
de volume. On introduira notamment une force de frottement interne, la viscosité, à l’origine de l’immobilisation
d’un fluide initialement en mouvement, et source de dissipation d’énergie mécanique.
1. Préalable mathématique : laplaciens
1.1. Laplacien d’un champ scalaire
Définition du laplacien d’un champ scalaire
Contrairement au gradient, à la divergence et au rotationnel, le « laplacien scalaire » implique les dérivées
secondes.

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1.2. Laplacien d’un champ vectoriel
Définition du laplacien d’un champ vectoriel (en cartésien uniquement)
Le résultat du « laplacien vectoriel » est un champ vectoriel dont chacune des composantes est le laplacien
scalaire des composantes de  .
2. Forces exercées sur une particule de fluide
Soit une particule de fluide (cubique pour faire simple) dans un écoulement unidimensionnel. On fait l’inventaire
des forces appliquées, que l’on peut distinguer de plusieurs manières :
 forces agissant dans le volume, ou en surface
 pour ces dernières : force normale, ou force tangentielle
On souhaite in fine obtenir des équations locales, valables en tout point du fluide. C’est pourquoi on cherchera à
exprimer toutes les forces par unité de volume.
2.1. Pression : composante normale
 En orientant les surfaces vers l’extérieur, rappeler la définition de la pression.
2.2. Contrainte de cisaillement : composante tangentielle – Définition de la viscosité
Soit un écoulement unidimensionnel de champ des vitesses représentant grossièrement l’écoulement d’un fleuve :
On suppose bien-sûr que la vitesse augmente lorsque l’on se rapproche de la surface.
Les couches de fluide glissent les unes sur les autres, et « frottent » les unes contre les autres. Cela ressemble aux
frottements solides de glissement vus en 1e année, sauf qu’ici les frottements dépendent de la différence de vitesse
entre les couches de fluide jointives.
Cette force de frottement tangentielle s’appelle force de cisaillement ou force de viscosité.
Définition de la contrainte de cisaillement 
C’est la force tangentielle par unité de surface,  étant ici la surface élémentaire de la particule de fluide, selon
laquelle la couche de fluide extérieure « frotte ».
Expression de la contrainte de cisaillement
Dans le cas d’un fluide newtonien de champ des vitesses  :
 est la viscosité dynamique (en , ou Poiseuille )

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Le signe change selon que la force correspondante est exercée par la couche de fluide en-dessous ou au-dessus de
la particule de fluide considérée.
Ordre de grandeur de la viscosité dynamique :
 eau 
 air 1 bar 
 glycérine 
2.3. Equivalent volumique des forces appliquées en surface
 Le poids est une force appliquée sur tout le volume de la particule de fluide. Donner le poids volumique
 Rappeler l’expression de l’équivalent volumique de la résultante des forces de pression exercée sur la
particule de fluide
 Etablir l’expression de l’équivalent volumique de la résultante des forces de cisaillement, dans le cas du
champ des vitesses donnés plus haut.
Force volumique de viscosité
Lorsque l’écoulement est incompressible, la force volumique de viscosité  s’écrit :
2.4. Conditions aux limites
La force de viscosité s’exprimer en fonction de dérivées spatiales, et ne peut être infinie. Cela implique qe la
vitesse doit varier continûment dans un fluide :
 la vitesse du fluide est nulle le long d’une paroi immobile
 la contrainte de cisaillement est nulle à la surface libre d’un liquide
2.5. Origine microscopique de la viscosité
Les forces de viscosité se manifestent expérimentalement (échelle macro) par la mise en mouvement d’une
particule de fluide par le fluide environnant. Dans l’exemple étudié depuis le début, ce transfert se fait
orthogonalement au déplacement visible (échelle macro) de fluide. Ce transfert est invisible à l’échelle macro.
Les forces de viscosité correspondent à un transport diffusif de quantité de mouvement dans le fluide.
Cela signifie que le transfert du mouvement se fait à l’échelle microscopique.
3. Dynamique locale – Equation de Navier-Stokes
3.1. Equation de Navier-Stokes : « RFD » sur la particule de fluide
C’est simplement la « RFD » (ou plutôt le TRC) appliquée à une particule de fluide… mais écrite en eulérien, et
par unité de volume :
Equation de Navier-Stokes
Pour un fluide newtonien en écoulement incompressible :

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 représente les forces volumiques autres que le poids, la résultante des forces de pression et la résultante
des forces de viscosité. On peut penser aux forces électriques et magnétiques si le fluide est chargé.
L’équation de NS n’est pas à connaître par cœur d’après le programme. MAIS elle regroupe une grande partie de
ce qui a été dit avant, et qui est au programme. Il est donc fortement conseillé de la comprendre et de pouvoir la
retrouver sans hésitation.
3.2. Nombre de Reynolds : transferts de quantité de mouvement micro et macro
Il y a deux processus qui permettent de transférer du mouvement d’une partie du fluide à une autre.
Le processus convectif, associé au déplacement macroscopique de fluide. Dans l’équation de Navier-Stokes, le
terme représentant le déplacement de la particule de fluide dans l’espace est l’accélération convective :
Le processus diffusif, associé au transfert microscopique de quantité de mouvement. C’est le terme de viscosité :
En mécanique des fluides, on définit un nombre adimensionné qui permet de comparer l’influence de ces deux
processus sur l’écoulement du fluide, c’est le nombre de Reynolds.
Définition qualitative du nombre de Reynolds
Lorsque l’on étudie l’écoulement d’un fluide particulier, il est souvent possible d’évaluer l’ordre de grandeur :
 de la vitesse  de l’écoulement
 de la longueur caractéristique  sur laquelle varie significativement la vitesse du fluide
On peut alors exprimer  en fonction de ces deux paramètres, de la viscosité dynamique et de la masse
volumique du fluide. La méthode consiste à remplacer l’opérateur dérivée spatiale par :
 Montrer que  s’écrit donc : 
 Dans l’exemple d’un avion qui vole (air s’écoule autour), comment trouver les ordres de grandeur ci-dessus ?
 Dans le cas d’un ballon de foot lors d’un coup franc (air s’écoule autour) ?
 Dans le cas de l’eau qui s’écoule dans une tuyauterie ?
 Dans le cas d’un doigt glissé dans un pot de glycérine ?
Quelques ordres de grandeur :
Manteau terrestre
10-20
Glacier
10-11
Spermatozoïdes dans le liquide séminal
10-3
Bille dans du miel
10-2
Têtard
100
Homme dans l'eau
105
Requin dans l'eau
108

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4. Etude de quelques écoulements classiques
Un écoulement de Couette est un écoulement de fluide visqueux dans une conduite dont les parois sont à des
vitesses constantes mais différentes. Le fluide est mis en mouvement par le mouvement des parois, le gradient de
pression étant nul dans la direction de l’écoulement.
Un écoulement de Poiseuille est un écoulement de fluide visqueux dans une conduite dont les parois sont
immobiles. Le fluide est mis en mouvement par le gradient de pression entre l’entrée et la sortie de la conduite.
C’est le phénomène analogue à l’écoulement de charge électrique dans un conducteur ohmique soumis à une
différence de potentiel constante (régime continu).
4.1. Ecoulement de Couette plan
L’espace est rapporté à un trièdre Oxyz, Oy étant dirigé suivant la verticale
ascendante. Un fluide newtonien en écoulement incompressible de viscosité
dynamique  est enfermé entre deux plaques planes infinies, parallèles,
perpendiculaires à Oy et de cotes respectives y = 0 et y = L. La plaque de cote y =
0 est immobile, l’autre étant animée d’une vitesse constant
x
V = V.u
. On se place
en régime stationnaire.
1. Exprimer l’accélération d’une particule fluide en fonction du champ eulérien des vitesses.
2. L’écoulement entre les plaques est supposé établi, stationnaire et unidirectionnel. On admet que le champ des
vitesses ne dépend pas de z. Montrer qu’il ne dépend pas de x. Que peut-on dire de l’accélération ?
3. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un élément de fluide, et le projeter.
 Montrer que l’évolution de la pression est la même qu’en statique
 Etablir alors l’expression de v(y)
4. Quelle est la force par unité de surface subie par chacune des plaques ?
4.2. Ecoulement de Poiseuille plan
On considère une canalisation horizontale entre deux plans assimilés à des plans fixes et infinis séparés de e, dans
laquelle coule un fluide visqueux, de viscosité  (même schéma que ci-dessus). On négligera ici les effets de la
pesanteur. On recherche le champ de vitesse de l’écoulement stationnaire, qu’on suppose du type
x
uyxvv  ).,(
Un dispositif extérieur impose une différence de pression P sur une longueur L de tuyau.
0. L’écoulement se fait de gauche à droite. Qualitativement, de quel côté la pression est la plus élevée ?
1. L’écoulement entre les plaques est supposé établi, stationnaire et unidirectionnel. On admet que le champ des
vitesses ne dépend pas de z. Montrer qu’il ne dépend pas de x.
2. A l’aide de Navier-Stokes, montrer que la pression ne dépend que de x, et que le gradient de pression dP/dx est
constant. Quelle est sa valeur ?
3. Déterminer le champ des vitesses.
3. En déduire le débit massique de fluide par unité de largeur.
x
y
e