tes suites algorithmes

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ALGORITHMES
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Algorithmes à analyser
1 On considère l’algorithme :
VARIABLES
:
- u est du type nombre
- q est du type nombre
- p est du type nombre
- S est du type nombre
DEBUT ALGORITHME :
- Lire u
- Lire q
- Lire p
- S prend la valeur de u
- Tant que (u > p) Faire
- Début Tant que
- u prend la valeur u*q
- S prend la valeur S + u
- Fin Tant que
- Afficher S
FIN ALGORITHME
1) Exécuter cet algorithme avec u = 2, q =
.4.0pet
2
1=
2) Quel rôle jouent les variables p et q ?
3) Que représentent les valeurs de u ?
4) Tester le programme pour q = 2 puis q = -3. Que
constate-t-on ? Pourquoi ?
2
C
Analyser les algorithmes suivants :
1
VARIABLES
:
- u est du type nombre
- i est du type nombre
DEBUT ALGORITHME :
- u prend la valeur 1
- Afficher u
- Pour i allant de 1 à 9
- Début pour
- u prend la valeur u + 6
- Afficher u
- Fin pour
FIN ALGORITHME
2
VARIABLES
:
- S est du type nombre
- i est du type nombre
DEBUT ALGORITHME :
- S prend la valeur 0
- i prend la valeur 0
- Tant que i ≤ 100
-
1ii
i
S
S
+←
+
←
- Fin tant que
- Afficher S
FIN ALGORITHME
3
Soit (
n
u ) la suite définie par
+=
=
+
2
1
u
3
1
u
7
2
u
n1n
0
VARIABLES
:
- n est du type nombre
- u est du type nombre
- M est du type nombre tel que
4
3
M0 <<
DEBUT ALGORITHME :
- n prend la valeur de 0
- u prend la valeur
7
2
- Tant que (u < M) Faire
- Début Tant que
- n prend la valeur n + 1
- u prend la valeur
2
1
u
3
1+
- Fin Tant que
- Afficher n
FIN ALGORITHME
1) On considère l’algorithme :
Quel est l’intérêt de cet algorithme ?
2) Programmer cet algorithme sur un logiciel ou
une calculatrice.
3) Tester le programme avec différentes valeurs
de M de plus en plus proches de
.
4
3
Que
remarque-t-on ?
4) Montrer que pour tout entier naturel n
n
n
3x28
13
u
4
3
=−
5) Démontrer alors la conjecture émise en 5)

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4 On considère la suite (
n
u ) définie par u
0
= 1 et pour tout entier naturel n, 1nu
2
1
u
n1n
−+=
+
On considère l’algorithme suivant :
VARIABLES
:
- n est du type nombre
- u et M est du type nombre
DEBUT ALGORITHME :
- Saisir M
- n prend la valeur 0
- u prend la valeur 1
- Tant que i < M
- n prend la valeur n + 1
- u prend la valeur 1nu
2
1
−+
- Fin tant que
- Afficher n
FIN ALGORITHME
Programmer cet algorithme, puis l’exécuter
pour des valeurs de M telles que 5, 10 ou 100.
En déduire une conjecture sur le comportement
à l’infini la suite (
n
u ) à l’infini.
5 Soit (un) la suite définie par
n
u = n² + 2n + 10.
1) On considère l’algorithme :
VARIABLES :
- n est du type nombre
- p est du type nombre
- M est du type nombre
DEBUT ALGORITHME :
- n prend la valeur de 0
- p prend la valeur 10
- Tant que (p < M) Faire
- Début Tant que
- n prend la valeur n + 1
- p prend la valeur n² + 2n + 10
- Fin Tant que
- Afficher n
FIN ALGORITHME
Quel est l’intérêt de cet algorithme ?
2) Programmer cet algorithme sur un logiciel ou une calculatrice.
3) Tester le programme avec différentes valeurs de M de plus en plus grandes
4) Que remarque-t-on ?
6
C
On considère l’algorithme suivant :
VARIABLE : n entier naturel
u entier naturel
INITIALISATION : u prend la valeur 1
S prend la valeur 1
i prend la valeur 0
TRAITEMENT : Lire n
Tant que i < n
Affecter à u la valeur 2u + 1 – i
Affecter à S la valeur S + u
Affecter à i la valeur i + 1
Fin Tant que
SORTIE : Afficher u Afficher S
Compléter le tableau suivant :
Valeur de n 0 1 2 3 4 5
Valeur de u
Valeur de S
(
n
u ) et (
n
S ) sont les suites définies par
0
u = 1 ;
n10nn1n
u....uuSetn1u2u
+
+
+
=
−
+
=
+
.
Pour un entier naturel n donné, que représentent les valeurs données par l’algorithme de la question 1 ?

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7 1) On considère l’algorithme suivant :
Entrée : N entier naturel
INITIALISATION :
Donner à P la valeur 0
Donner à U la valeur 4
Donner à S la valeur 4.
TRAITEMENT : Tant que P < N
Donner à P la valeur P + 1
Donner à U la valeur 4 + 2P
Donner à S la valeur S + U
Fin Tant que
SORTIE : Afficher S
Faire fonctionner l’algorithme pour N = 5. On fera apparaitre les différentes étapes du déroulement de l’algorithme dans un
tableau comme ci-dessous :
Valeur de
P
Valeur de
U
Valeur de
S
Initialisation 0 4 4
Etape 1 1 6 10
Etape 2 2
Affichage :
On considère la suite (
n
U ) définie sur N par 4Uet2UU
0n1n
=
+
=
+
a) Calculer
321
UetU,U .
b) Soit p un nombre entier naturel. Donner en fonction de p la valeur de
p
U
. Calculer
21
U .
2) On fait fonctionner l’algorithme pour N = 20, la valeur affichée par S est alors 504. Quelle est la valeur affichée par S
si on fait fonction l’algorithme pour N = 21 ?
3) On fait fonction l’algorithme pour un entier naturel N quelconque. Exprimer la valeur affichée S à l’aide des termes
de la suite (
n
U ).
Algorithmes à rédiger ou à modifier :
1
C Soit (u
n
) la suite définie par
−=
=
+
4u3u
1u
n1n
0
1) Ecrire un programme qui demande une valeur de n et donne en sortie la valeur du terme de range n de la suite (
n
u )
2) Déterminer le terme de rang 15 de la suite.
2
C Soit (u
n
) la suite définie par
+
+
=
+
2u
4u
u
u
2
n
n
1n
0
1) Ecrire un programme qui demande une valeur de n et de u
0
et donne en sortie la valeur du terme de range n de la
suite (
n
u )
2) Déterminer les termes de rang 10, 11 et 12 de la suite pour différentes valeurs de u
0
.
3 1) Expliquer ce que donne l’algorithme suivant :
Initialisation
:
k prend la valeur 0 ;
u prend la valeur 1.
Traitement :
Tant que u > 0.1 Faire
Affecter k + 1 à k
Affecter u*0.6 à u
Fin Tant que
Sortie :
Afficher u et k
2) Reprendre l’algorithme précédent et le modifier pour qu’il donne le plus petit entier k tel que
n
85.0
< 0.001.

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4
C
1) Ecrire un algorithme qui calcule la somme des carrés des 50 premiers entiers non nuls.
2) Le programmer et donner la somme affichée.
5
C
On considère une suite géométrique de premier terme u
0
= - 6 et de raison q = 0.4.
Ecrire un algorithme qui donne en sortie le terme de rang 20.
6
C
naturelentierntoutpouruudet4.0uSoit
1nnn
n
n+
−==
1) Donner le sens de variations de
n
d
2) Ecrire un algorithme qui détermine le plus petit rang
0
n tel que pour tout n ≥
0
n ,
n
d < 0.0001.
3) Le programmer sur une calculatrice ou un logiciel.
4) Quel résultat obtient-on ?
5) Interpréter ce résultat pour la suite (
n
u ).
7 1) Quelle est la limite de la suite
n
2
?
2) En déduire que pour tout entier naturel k, il existe un entier
k
n tel que pour tout n ≥ n
K
, 2
nk
> 10
k
.
3) Ecrire un algorithme qui demande une valeur de k et affiche la plus petite valeur possible de
k
n
4) Le programmer sur une calculatrice ou un logiciel.
5) Donner un rang à partir duquel
10n
102 ≥
.
8
1) Déterminer la limite de la suite un définie sur N par
n2
n
5
7
...
5
7
5
7
1u  ++ ++=
2) Ecrire un algorithme qui permet de connaitre à partir de quel rang, on a
n
u ≥ 1020.
3) Justifier qu’il s’arrête et qu’il produit bien le résultat attendu.
Calculatrices :
1 On donne ci-dessous un programme réalisé sur des calculatrices CASIO et TI :
=====SOMME1
‘’N=’’ ? N↵
0S↵
For 1k TO N↵
S + kx2^(k – 1)S↵
Next↵
S
PROGRAM : SOMME1
:Input ‘’N=’’,N
: 0S
: For (k,1,n)
: S + kx2^(k – 1)S
: End
: Disp S
1) Quel sera l’affichage de ces programmes pour N = 4 et N = 5 ?
2) On note S
n
le résultat affiché pour N = n (n > 0)
a) Ecrire S
n
avec le symbole Σ.
b) Quelle formule de récurrence la suite S
n
vérifie-t-elle ?
3) Ecrire l’algorithme correspondant à ce programme.
4) Modifier cet algorithme pour qu’il affiche aussi le terme R
n
= (n – 1).2
n
.
5) Emettre grâce à ce programme une conjecture sur une expression explicite de S
n
6) Démontrer cette conjecture.

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CORRIGE :
Algorithmes à analyser
2 Analyser les algorithmes suivants :
1
2
Cet algorithme affiche les 10 premiers
termes de la suite arithmétique u de raison 6
et de premier terme 1.
Cet algorithme calcule et affiche la somme des
100 premiers entiers.
6 On considère l’algorithme suivant :
Compléter le tableau suivant :
Valeur de n 0 1 2 3 4 5
Valeur de u 1 3 6 11 20 37
Valeur de S 1 4 10 21 41 78
(
n
u ) et (
n
S ) sont les suites définies par
0
u = 1 ;
n10nn1n
u....uuSetn1u2u
+
+
+
=
−
+
=
+
.
Pour un entier naturel n donné, que représentent les valeurs données par l’algorithme de la question 1 ?
Algorithmes à rédiger ou à modifier :
1
2
Soit (u
n
) la suite définie par 
+
+
=
+
2u
4u
u
u
2
n
n
1n
0
1) Ecrire un programme qui demande une valeur de n et de u
0
et donne en sortie la valeur du terme de rang de la suite (un)
2) Déterminer les termes de rang 10, 11 et 12 de la suite pour différentes valeurs de u
0
.
u
10
u
11
u
12
avec u
0
= 0 1.3520844 1.3980929 1.3649942
avec u
0
= -2 1.4187026 1.3503824 1.3993296
avec u
0
= 3 1.4127824 1.3545657 1.3962914