Deuxième partiel

Paris 6
IST 1
2004-2005
THERMODYNAMIQUE
Partiel 2, le 18 janvier 2005
V´erifiez syst´ematiquement vos r´esultats (analyse dimensionnelle, cas limites, tout ce que vous pouvez
imaginer, ...). Tout r´esultat absurde conduira `a des points n´egatifs... L’examen est un peu long mais
le bar`eme est sur plus de 20 points, donc pas de panique si vous ne finissez pas.
1Le yogourt II
Sur l’emballage d’un yogourt de 100g, on apprend que sa “teneur calorique” est d’environ 100 kcal. On
veut comparer cette ´energie `a une ´energie m´ecanique.
1. On consid`ere nmoles de gaz, initialement dans les conditions ambiantes (pression de 1 atmo-
sph`ere, temp´erature de 20◦C) que l’on compresse de fa¸con quasi-statique et `a temp´erature constante,
jusqu’`a diviser son volume par deux. D´eterminez le travail mis en jeu lors de ce processus.
2. En supposant que l’on puisse utiliser l’ensemble de l’´energie du yogourt, quelle quantit´e de
gaz (nombre de mole) peut-on ainsi compresser ? Quel volume occupe cette quantit´e de gaz dans les
conditions ambiantes donn´ees plus haut ? Application num´erique : R=8, 31 J/◦K.
2Refroidissement
On plonge un bloc en fer de masse mdans une bassine contenant un volume Vd’eau. Initialement
l’eau se trouve `a T1=20◦C et le bloc de fer `a T2=80◦C.
1. Ce processus est-il r´eversible ? Que peut-on en conclure quant `a la variation d’entropie de
l’univers lors de ce processus ?
2. D´eterminez la temp´erature finale du syst`eme, une fois que l’´equilibre est r´ealis´e.
3. D´eterminez les variations d’entropie du bloc de fer et de l’eau lors de ce processus. Application
num´erique : m=10 kg, V=1litre, cFe =460 J kg−1K−1. La variation d’entropie de l’univers a-t’elle
le bon signe ?
3Fabrique de glace
On consid`ere un r´efrig´erateur que l’on suppose fonctionner de mani`ere r´eversible entre les temp´eratures
T1et T2(T1> T2). Lors d’un cycle, le r´efrig´erateur ´echange les quantit´es d’´energie Q1et Q2avec les
sources aux temp´eratures T1et T2. Il y a ´egalement un ´echange d’´energie m´ecanique sous forme de
travail, not´e W.
1. Faites un diagramme (comme dans le cours) repr´esentant les diff´erents ´echanges d’´energie.
D´ecrivez votre convention de signe `a l’aide d’une fl`eche indiquant dans quel sens vous comptez positif
un ´echange d’´energie. Quels sont les signes de Q1,Q2et W?
2. Exposez le premier principe de la thermodynamique. Quelle relation entre W,Q1et Q2pouvez-
vous en tirer ?
3. Exposez le deuxi`eme principe de la thermodynamique. Dans le cas qui nous int´eresse, o`u nous
avons suppos´e que le r´efrig´erateur fonctionne de mani`ere r´eversible, que peut-on dire de la variation
d’entropie du syst`eme lors d’un cycle ? Quelle relation existe-t’il entre les variations d’entropie des
deux r´eservoirs aux temp´eratures T1et T2? Calculez ces deux variations d’entropie. D´eduisez-en une
relation entre Q1,Q2,T1et T2.
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IST -
4. En regroupant les r´esultats pr´ec´edents, exprimez le coefficient de performance P=Q2/W en
fonction des temp´eratures T1et T2.
5. Quelle ´energie faut-il fournir au r´efrig´erateur pour solidifier 1 litre d’eau, initialement `a 0◦C,
notre r´efrig´erateur fonctionnant entre les temp´eratures 0◦C et 20 ◦C ? On rappelle que la chaleur
latente de fusion de 1gramme d’eau est de l=80 cal/g.
6. En pratique, on ne sait pas r´ealiser de r´efrig´erateur r´eversible. Pour un r´efrig´erateur r´eel, que
peut-on dire sur l’´energie n´ecessaire pour solidifier la mˆeme quantit´e d’eau ?
4Coefficients de r´eponse
1. Expliquez quel protocole exp´erimental vous utiliseriez pour d´eterminer les coefficients de r´e-
ponse α=1
V¡∂V ∂T ¢|P,β=1 P¡∂P ∂T ¢|Vet κ= − 1 V¡∂V ∂P ¢|T.
2. En utilisant les relations entre d´eriv´ees partielles obtenues en cours, exprimez βen fonction de
α, de κet de P.
3. On veut maintenant montrer que αet κne sont pas ind´ependants. Pour cela :
a) ´ecrivez la diff´erentielle de Vpar rapport `a T;
b) exprimez cette diff´erentielle en terme de αet κ;
c) en utilisant une identit´e de Maxwell, trouvez une relation entre αet κ;
d) que pensez-vous d’un mod`ele th´eorique dans lequel α=2R
RT +bP et κ=RT/P RT +bP
5D´eplacement d’une paroi
On consid`ere une enceinte dont le volume Vne varie pas
et dont les parois sont adiabatiques (pas d’´echange d’´energie
sous forme de chaleur). Une paroi mobile s´epare en deux par-
ties cette enceinte. On place du gaz (suppos´e parfait) dans
chacun des compartiments d´elimit´es par la paroi mobile et
l’enceinte. Si les pressions ne sont pas identiques dans les deux
compartiments, le bilan des forces s’exer¸cant sur la paroi nous
indique que cette paroi est pouss´ee dans une direction.
Nous nous proposons de retrouver ce r´esultat en utilisant le
second principe de la thermodynamique. Pour simplifier la
discussion, nous prenons une paroi diatherme (qui permet
l’´echange d’´energie sous forme de chaleur) afin que la temp´e-
rature soit la mˆeme dans les deux compartiments.
Paroi mobile diatherme
T
P1
V1
n1n2
V2
P2
T
1. Questions pr´eliminaires :
a) (Question de cours) On rappelle que l’´energie interne d’un gaz parfait ne d´epend que de sa tem-
p´erature (U=ncVT). Quelle exp´erience permet de mettre en ´evidence ceci ? Expliquez pourquoi.
b) Dans le syst`eme consid´er´e ici, et en utilisant le rappel de la question pr´ec´edente, que peut-on dire
sur l’´evolution de la temp´erature lorsqu’on laisse le piston se d´eplacer d’une distance arbitraire ?
c) On place initialement le syst`eme dans l’´etat d´ecrit sur la figure ci-dessus. Si P1> P2, dans quel
sens se d´eplace la paroi ? Et si P2> P1?` A quelle condition la paroi est-elle `a l’´equilibre ?
d) Exprimez les param`etres thermodynamiques des gaz dans chacun des compartiments (pression,
temp´erature, volume) en fonction des param`etres initiaux (P1,V1, etc.) lorsque la paroi est `a l’´equilibre.
Pour ce faire, vous utiliserez l’´equation d’´etat du gaz parfait et le fait que le volume total de l’enceinte
ne varie pas.
On se propose maintenant de retrouver ces r´esultats en invoquant le second principe de la thermody-
namique.
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IST -
2. Que nous dit le second principe de la thermodynamique concernant l’entropie de l’univers ?
Dans le cas consid´er´e ici, que nous indique le second principe ?
3. Nous allons maintenant calculer la variation d’entropie du syst`eme lorsque la paroi se d´eplace,
entraˆınant ainsi une variation de volume dV1dans le compartiment de gauche et une variation dV2
dans celui de droite. Comment sont reli´ees ces deux variations ?
4. ´ Ecrivez la diff´erentielle de l’´energie interne en fonction de dS et de dV (tr`es simple). En utilisant
le r´esultat rappel´e dans la question 1, ´ecrivez la diff´erentielle de l’´energie interne (on suppose que cV
est une constante). D´eduisez-en la variation de l’entropie totale du syst`eme en fonction de dV et de
dT. Dans le probl`eme consid´er´e ici, les choses se simplifient car vous pouvez dire quelque chose sur dT
(voir 1b)... Vous pouvez maintenant calculer la variation d’entropie du syst`eme en tenant compte des
variations d’entropie des quantit´es de gaz `a droite et `a gauche de la paroi.
5. Montrez que la variation de l’entropie calcul´ee plus haut peut s’exprimer sous forme d’une
´equation diff´erentielle (que vous ´ecrirez). V´erifiez que la solution de cette ´equation diff´erentielle a la
forme :
S(V1) = n1Rln V1+n2Rln(V−V1) + S0(∗)
o`u Vest le volume total de l’enceinte. Que repr´esente S0?
6. Dans le cas simple o`u n1=n2, dessinez l’allure de la fonction S(V1). Supposons que l’on parte
d’une condition initiale o`u V1=V/4. En tenant compte du second principe de la thermodynamique,
repr´esentez sur votre diagramme les volumes V1accessibles au syst`eme. Dans quel sens se d´eplace la
paroi ? Quelle est la position d’´equilibre ? Ce r´esultats sont-ils compatibles avec nos pr´evisions de la
question 1?
7. Revenons au cas g´en´eral o`u n16=n2.` A quelle condition sur l’entropie le syst`eme est-il dans
un ´etat d’´equilibre ? ` A partir de l’´equation (∗), d´eterminez la valeur de V1pour laquelle le syst`eme se
trouve `a l’´equilibre. Comparez au r´esultat trouv´e `a la question 1d.
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