LENTILLES – SYSTEME CENTRE 1. Lentilles minces

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LENTILLES – SYSTEME CENTRE
1. Lentilles minces
Parmi toutes les lentilles, il en existe un certain nombre qui peuvent être décrites par un modèle simple : il
s’agit des lentilles minces.
Une lentille mince est une lentille dont l’épaisseur au centre est petite devant les rayons de courbure des
dioptres qui la limitent (e<<R
1
et e<<R
2
). La validité du modèle augmente avec la meilleure réalisation de cette
condition.
Définitions et représentation schématique :
· Axe optique : droite qui joint les centres des deux dioptres limitant la lentille. Si l’un des dioptres est plan
c’est la droite perpendiculaire à ce dioptre qui passe par le centre de l’autre dioptre.
· Centre optique : point où l’axe optique coupe la lentille supposée infiniment mince (il s’agit là d’une
approximation puisqu’une lentille a toujours une épaisseur).
Stigmatisme des lentilles minces :
Les lentilles minces sont des systèmes optiques stigmatiques approchés.
Le stigmatisme est d’autant meilleur que l’on est proche des conditions de Gauss :
· Les rayons du faisceau incident font des angles petits avec l’axe optique,
· Les rayons du faisceau incident traversent la zone centrale de la lentille (zone de dimensions faibles
par rapport aux rayons des dioptres).
Dès que l’on s’éloigne des conditions de Gauss apparaissent des aberrations. Si nous pensons aux verres de
lunettes, nous remarquons que la première condition de Gauss ne sera pas bien respectée quand le sujet
regardera sur les côtés, l’aberration sera dans ce cas une aberration d’astigmatisme des faisceaux obliques,
nous y reviendrons.
Axe optique
de la lentille (droite
passant par les deux centres).
Réprésentation schématique de la lentille mince convergente
O
O : centre optique
de la
lentille
Axe optique
de la lentille (droite
passant par les deux centres).
Réprésentation schématique de la lentille mince
div
ergente
O
O : centre optique
de la
lentille

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2. Lentilles minces convergentes
Foyers :
Un faisceau parallèle donc issu d’un point lumineux T à l’infini, après traversée de la lentille mince convergente,
converge en un point T’. T’ est donc l’image de T à travers la lentille.
Ce point T’ est placé sur le foyer image principal F’ de la lentille. On dit que ce foyer est réel car les rayons
passent par F’.
En déplaçant le point lumineux T sur l’axe optique, il existe une position telle que le faisceau émergent soit un
faisceau parallèle. Le point T est alors placé sur le foyer objet principal de la lentille. Ce foyer est réel car les
rayons partent de T.
L’image T’ du point lumineux T est alors située à l’infini.
Distance focale et vergence :
On oriente notre schéma dans le sens de propagation de la lumière. La distance focale image est alors positive
et la distance focale objet négative. Elles sont égales lorsque le milieu des deux côtés de la lentille est le
même (ce qui pour nous est le cas, le verre de lunette est placé dans l’air).
On définit la vergence de la lentille par la relation :
)'(
'
1
'
)( airldanslentille
ff
émergentmilieuduindicen
V==
F’
F
O
Sens +
f = OF distance focale objet f’ = OF’ distance focale image
f < 0 f’ > 0
n
Faisceau lumineux issu
d’un point T
F : foyer principal
objet de la lentille
O
Faisceau émergent
parallèle
F
T
Faisceau
convergen
t en T’
Faisceau lumineux issu
d’un point T à l’infini
T’
O
F’
F’
: foyer principal image de
la lentille

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où V est en dioptrie (d ) si f’ est exprimée en mètres. Pour une lentille convergente, la vergence est donc
positive.
Très souvent en optique lunetterie, on continue à parler de la puissance du verre au lieu de parler de sa
vergence : survivance du passé……
3. Lentilles minces divergentes
Foyers :
Un faisceau parallèle donc issu d’un point lumineux T à l’infini, après traversée de la lentille mince divergente,
diverge en semblant venir d’un point T’. T’ est donc l’image de T à travers la lentille.
Ce point T’ est placé sur le foyer image principal F’ de la lentille. On dit que ce foyer est virtuel car les rayons
ne passent pas par F’(leurs prolongements se coupent en F’).
Pour que le faisceau émergent soit parallèle, il faut que le faisceau incident soit convergent puisque la lentille
fait diverger un faisceau lumineux. Le faisceau incident qui va donner en émergeant un faisceau parallèle aurait
convergé en T s’il n’ay avait pas eu la lentille. Ce foyer est virtuel car seuls les prolongements des rayons
passent par T.
L’image T’ du point lumineux T est alors située à l’infini.
Distance focale et vergence :
Faisceau
divergent
semblant venir
d
u point T’
Faisceau lumineux issu
d’un point T à l’infini
T’
O
F’
F’
: foyer principal image de
la lentille
Faisceau lumineux qui aurait
convergé au point T
F : foyer principal
objet de la lentille
O
Faisce
au émergent
parallèle
F
T

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On oriente notre schéma dans le sens de propagation de la lumière. La distance focale objet est alors positive
et la distance focale image négative. Elles sont égales lorsque le milieu des deux côtés de la lentille est le
même.
La vergence de la lentille : 'f
n
V= est donc négative.
4. Vergence et relation de conjugaison
Vergence de la lentille mince :
La vergence, définie pour les conditions de Gauss, d’un dioptre sphérique est :
émergencedmilieuduindiceN
incidencedmilieuduindicenavec SC
nN
D
':
':
-
=
La vergence d’une lentille mince est égale à la somme des vergences des dioptres qui la limitent.
Coupe de la lentille dans un plan contenant les deux centres des calottes
sphériques
C
1
et C
2
: centre
s des deux
dioptres sphériques.
R1 et R2
: rayons des deux
calottes sphériques
e
: épaisseur au centre
(mesurée sur la droite qui
joint les deux centres des
calottes).
n : indice du milieu extérieur
n1
: indice du matériau de la
lentille.
Pour des raisons de lisibilité du dessin, l’épaisseur e
n’est pas petite par rapport aux rayons des dioptres.
Sens +
n
F
F’
O
Sens +
f = OF distance focale objet f’ = OF’ distance focale
image
n

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÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ--=
=>
=>
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ--=
-
=
-
=
21
1
22222
11111
2211
1
2
1
1
1
1
1
11
)(
0
0:
11
)(
:
:'
RR
nnD
RCSCS
RCSCSschémaducasleDans
CSCS
nnDlentilleladevergence
SC
nn
Dsortiededioptreduvergence
SC
nn
Dentréeddioptreduvergence
D est exprimée en dioptries (d) lorsque R
1
et R
2
sont exprimés en mètres.
Pour l’opticien :
Le verre de lunettes a toujours pour milieu extérieur l’air d’indice 1, la vergence de la lentille devient :
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ--=
21
1
11
)1( RR nD
Voyons l’utilité des verres à haut indice à partir d’un exemple.
Verre convergent de +4d pour un hypérope : face avant +8 d, face arrière -4 d
Avec un Orma (Essilor) d’indice 1,5 la face avant a un rayon de 6,25 cm et la face arrière un rayon de 12,5 cm ;
l’épaisseur au centre pour un verre de 60 mm (tranchant) est de 4 mm
Avec un Linéis (Essilor) d’indice 1,74 la face avant a un rayon de 9,25 cm et la face arrière un rayon de 18,5
cm ; l’épaisseur au centre pour le même diamètre est de 2,55 mm.
Avec le haut indice, on a un verre moins cambré et plus fin.
Distances focales :
ff
D
n
f
D
n
f-==-= ''
Aberrations géométriques :
En fait si les rayons s’écartent de la zone centrale de la lentille, la vergence correspondant va augmenter. Si
l’on a un faisceau parallèle utilisant une trop grande surface de la lentille, les rayons ne convergeront pas
exactement tous au point F’ mais passeront tous dans une petite zone. On nomme cette aberration l’aberration
géométrique.
Pour les verres de lunettes, cette aberration ne pose pas de problème car le faisceau entrant dans l’œil est
limité par la taille de la pupille (2 à 8mm de diamètre). Le faisceau utile à la vision ne traverse donc qu’une zone
restreinte du verre de lunette et l’on peut considérer pour cette petite zone que la vergence reste constante.
Elle n’est bien sur pas rigoureusement la même au centre du verre (regard droit devant) ou lorsque l’on regarde
sur le bord du verre mais une variation d’accommodation de l’œil permet de compenser.
Relations de conjugaison :
Il s’agit de la relation permettant de relier la position du point objet et de son point image (points conjugués
par rapport à la lentille mince).
A : point objet
A’ : image de A à travers la lentille mince
O : centre optique de la lentille