LENTILLES – SYSTEME CENTRE 1. Lentilles minces

LENTILLES – SYSTEME CENTRE
1. Lentilles minces
Parmi toutes les lentilles, il en existe un certain nombre qui peuvent être décrites par un modèle simple : il
s’agit des lentilles minces.
Une lentille mince est une lentille dont l’épaisseur au centre est petite devant les rayons de courbure des
dioptres qui la limitent (e<<R1 et e<<R2). La validité du modèle augmente avec la meilleure réalisation de cette
condition.
Définitions et représentation schématique :
· Axe optique : droite qui joint les centres des deux dioptres limitant la lentille. Si l’un des dioptres est plan
c’est la droite perpendiculaire à ce dioptre qui passe par le centre de l’autre dioptre.
· Centre optique : point où l’axe optique coupe la lentille supposée infiniment mince (il s’agit là d’une
approximation puisqu’une lentille a toujours une épaisseur).
Réprésentation schématique de la lentille mince convergente
O
Axe optique de la lentille (droite
passant par les deux centres).
O : centre
lentille
optique de la
Réprésentation schématique de la lentille mince divergente
O
Axe optique de la lentille (droite
passant par les deux centres).
O : centre
lentille
optique de la
Stigmatisme des lentilles minces :
Les lentilles minces sont des systèmes optiques stigmatiques approchés.
Le stigmatisme est d’autant meilleur que l’on est proche des conditions de Gauss :
· Les rayons du faisceau incident font des angles petits avec l’axe optique,
· Les rayons du faisceau incident traversent la zone centrale de la lentille (zone de dimensions faibles
par rapport aux rayons des dioptres).
Dès que l’on s’éloigne des conditions de Gauss apparaissent des aberrations. Si nous pensons aux verres de
lunettes, nous remarquons que la première condition de Gauss ne sera pas bien respectée quand le sujet
regardera sur les côtés, l’aberration sera dans ce cas une aberration d’astigmatisme des faisceaux obliques,
nous y reviendrons.
© Paul JEAN
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2. Lentilles minces convergentes
Foyers :
Un faisceau parallèle donc issu d’un point lumineux T à l’infini, après traversée de la lentille mince convergente,
converge en un point T’. T’ est donc l’image de T à travers la lentille.
Ce point T’ est placé sur le foyer image principal F’ de la lentille. On dit que ce foyer est réel car les rayons
passent par F’.
T’
O
Faisceau lumineux issu
d’un point T à l’infini
F’
Faisceau
convergen
t en T’
F’ : foyer principal image de
la lentille
En déplaçant le point lumineux T sur l’axe optique, il existe une position telle que le faisceau émergent soit un
faisceau parallèle. Le point T est alors placé sur le foyer objet principal de la lentille. Ce foyer est réel car les
rayons partent de T.
F : foyer principal
objet de la lentille
F
O
T
Faisceau lumineux issu
d’un point T
Faisceau émergent
parallèle
L’image T’ du point lumineux T est alors située à l’infini.
Distance focale et vergence :
f = OF distance focale objet
f<0
F
f’ = OF’ distance focale image
f’ > 0
F’
O
n
Sens +
On oriente notre schéma dans le sens de propagation de la lumière. La distance focale image est alors positive
et la distance focale objet négative. Elles sont égales lorsque le milieu des deux côtés de la lentille est le
même (ce qui pour nous est le cas, le verre de lunette est placé dans l’air).
On définit la vergence de la lentille par la relation :
V =
n (indice du milieu émergent )
© Paul JEAN
f'
=
1
(lentille dans l ' air )
f'
2
où V est en dioptrie (d ) si f’ est exprimée en mètres. Pour une lentille convergente, la vergence est donc
positive.
Très souvent en optique lunetterie, on continue à parler de la puissance du verre au lieu de parler de sa
vergence : survivance du passé……
3. Lentilles minces divergentes
Foyers :
Un faisceau parallèle donc issu d’un point lumineux T à l’infini, après traversée de la lentille mince divergente,
diverge en semblant venir d’un point T’. T’ est donc l’image de T à travers la lentille.
Ce point T’ est placé sur le foyer image principal F’ de la lentille. On dit que ce foyer est virtuel car les rayons
ne passent pas par F’(leurs prolongements se coupent en F’).
F’ : foyer principal image de
la lentille
T’
F’
O
Faisceau
divergent
semblant venir
du point T’
Faisceau lumineux issu
d’un point T à l’infini
Pour que le faisceau émergent soit parallèle, il faut que le faisceau incident soit convergent puisque la lentille
fait diverger un faisceau lumineux. Le faisceau incident qui va donner en émergeant un faisceau parallèle aurait
convergé en T s’il n’ay avait pas eu la lentille. Ce foyer est virtuel car seuls les prolongements des rayons
passent par T.
Faisceau lumineux qui aurait
convergé au point T
F : foyer principal
objet de la lentille
O
F
T
Faisceau émergent
parallèle
L’image T’ du point lumineux T est alors située à l’infini.
Distance focale et vergence :
© Paul JEAN
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f = OF
image
distance focale objet
F’
f’ = OF’ distance focale
F
O
n
Sens +
On oriente notre schéma dans le sens de propagation de la lumière. La distance focale objet est alors positive
et la distance focale image négative. Elles sont égales lorsque le milieu des deux côtés de la lentille est le
même.
La vergence de la lentille : V =
n
est donc négative.
f'
4. Vergence et relation de conjugaison
Vergence de la lentille mince :
Coupe de la lentille dans un plan contenant les deux centres des calottes
sphériques
Sens +
C1 et C2 : centres des deux
dioptres sphériques.
R1 et R2 : rayons des deux
calottes sphériques
n
e : épaisseur au centre
(mesurée sur la droite qui
joint les deux centres des
calottes).
Pour des raisons de lisibilité du dessin, l’épaisseur e
n’est pas petite par rapport aux rayons des dioptres.
n : indice du milieu extérieur
n1 : indice du matériau de la
lentille.
La vergence, définie pour les conditions de Gauss, d’un dioptre sphérique est :
N -n
SC
avec n : indice du milieu d ' incidence
D=
N : indice du milieu d ' émergence
La vergence d’une lentille mince est égale à la somme des vergences des dioptres qui la limitent.
© Paul JEAN
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vergence du dioptre d ' entrée : D1 =
n1 - n
vergence du dioptre de sortie : D1 =
SC1
n - n1
SC 2
æ 1
1
vergence de la lentille D = (n1 - n)çç
è S1C1 S 2 C 2
ö
÷
÷
ø
Dans le cas du schéma : S1C1 > 0 S1C1 = R1
S 2 C 2 > 0 S 2 C 2 = R2
æ 1
1 ö
÷÷
D = (n1 - n)çç è R1 R2 ø
D est exprimée en dioptries (d) lorsque R1 et R2 sont exprimés en mètres.
Pour l’opticien :
Le verre de lunettes a toujours pour milieu extérieur l’air d’indice 1, la vergence de la lentille devient :
æ 1
1 ö
÷÷
D = (n1 - 1)çç è R1 R2 ø
Voyons l’utilité des verres à haut indice à partir d’un exemple.
Verre convergent de +4d pour un hypérope : face avant +8 d, face arrière -4 d
Avec un Orma (Essilor) d’indice 1,5 la face avant a un rayon de 6,25 cm et la face arrière un rayon de 12,5 cm ;
l’épaisseur au centre pour un verre de 60 mm (tranchant) est de 4 mm
Avec un Linéis (Essilor) d’indice 1,74 la face avant a un rayon de 9,25 cm et la face arrière un rayon de 18,5
cm ; l’épaisseur au centre pour le même diamètre est de 2,55 mm.
Avec le haut indice, on a un verre moins cambré et plus fin.
Distances focales :
f =-
n
D
f '=
n
D
f '= - f
Aberrations géométriques :
En fait si les rayons s’écartent de la zone centrale de la lentille, la vergence correspondant va augmenter. Si
l’on a un faisceau parallèle utilisant une trop grande surface de la lentille, les rayons ne convergeront pas
exactement tous au point F’ mais passeront tous dans une petite zone. On nomme cette aberration l’aberration
géométrique.
Pour les verres de lunettes, cette aberration ne pose pas de problème car le faisceau entrant dans l’œil est
limité par la taille de la pupille (2 à 8mm de diamètre). Le faisceau utile à la vision ne traverse donc qu’une zone
restreinte du verre de lunette et l’on peut considérer pour cette petite zone que la vergence reste constante.
Elle n’est bien sur pas rigoureusement la même au centre du verre (regard droit devant) ou lorsque l’on regarde
sur le bord du verre mais une variation d’accommodation de l’œil permet de compenser.
Relations de conjugaison :
Il s’agit de la relation permettant de relier la position du point objet et de son point image (points conjugués
par rapport à la lentille mince).
A : point objet
A’ : image de A à travers la lentille mince
O : centre optique de la lentille
© Paul JEAN
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F et F’ : foyers objet et image de la lentille
D : vergence de la lentille
Milieu ambiant : air d’indice n=1 (situation habituelle pour l’opticien).
Milieu extérieur : air dont l’indice
est égal à 1
A
F
On pose généralement :
1 1
- =D
p' p
O
F’
p = OA et
A’
p ' = OA'
p et p ' en mètres, D en dioptries
5. Construction de l’image
Pour construire l’image d’un point objet à travers une lentille mince, on utilise deux des trois rayons dont on
connaît le comportement lors de la traversée de la lentille :
· Le rayon issu du point objet et passant par le centre optique n’est pas dévié
· Un rayon issu du point objet et parallèle à l’axe optique de la lentille émerge en passant par le foyer image
principal
· Un rayon issu du point objet et passant par le foyer objet principal émerge parallèlement à l’axe optique
de la lentille
On peut avoir :
· un point objet réel : les rayons du faisceau incident proviennent du point objet
· ou un point objet virtuel : les rayons du faisceau incident auraient convergé en ce point s’il n’y avait pas eu
la lentille.
Vous pouvez vous demander ce que peut signifier un objet virtuel, il suffit d’imaginer que devant la
lentille, il y avait un autre système optique créant un faisceau convergeant en un point et que vous avez
placé la lentille en avant de ce point.
De même l’image pourra être :
· réelle : les rayons émergents passent réellement par le point image
· virtuelle : les rayons émergents semblent provenir de ce point.
Voir la construction :
Pour une lentille convergente :
- de l’image d’un objet réel situé au-delà du foyer objet. convORIR
- de l’image d’un objet réel situé entre le foyer objet et le centre optique conORIV
Pour une lentille divergente :
- de l’image d’un objet réel DivORIV
© Paul JEAN
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Tableau récapitulatif :
Lentille convergente
B’
B
B
A’
A
F
F
F’
A’ A
F’
B’
Objet
réel
renversée
–
Image
réelle
Objet réel – Image virtuelle droite
B’
B
A’ A
F
F’
Objet virtuel – Image réelle
Lentille divergente
B’
B
B’
B’
A
F’ A’
A
F’
F
Objet réel – Image virtuelle droite
F A’
Objet virtuel – Image réelle droite
B
B’
F’
F
A
A’
Objet virtuel – Image virtuelle renversée
Grandissement transversal :
© Paul JEAN
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On appelle grandissement transversal le rapport entre la taille de l’image et la taille de l’objet. On démontre
que l’on a :
g=
A' B' OA'
=
AB
OA
6. Système centré
Le modèle de la lentille simple n’est pas suffisant pour résoudre tous les problèmes d’optique géométrique
que l’on rencontre en vision. Il existe des verres épais (verres pour aphaques) et le cas de systèmes composés
de multiples dioptres ayant le même axe de symétrie (par exemple l’œil humain). Pour traiter ces problèmes,
les physiciens ont « inventé » un modèle : le système centré qui permet de calculer la position de l’image d’un
objet et sa taille. Comme nous l’avons vu pour la lentille simple ce système n’est applicable que dans les
conditions de Gauss.
Les éléments cardinaux du système centré (points principaux, points nodaux, foyers, vergences) seront
calculés à partir des dioptres constituant ce système. La marche des rayons lumineux entre le dioptre d’entrée
et le dioptre de sortie ne pourra être connue avec ce modèle mais ce n’est pas un problème pour nous opticiens
puisque ce qui nous importera sera la position des images et leur taille.
Le modèle du système centré
n
I
u
Axe optique
I'
uN
u
n'
Points principaux: objet H, image H'.
Les plans principaux sont des plans conjugués correspondant à un grandissement linéaire de 1 (HI = H'I').
Points nodaux: objet N, image N'.
Les points nodaux sont des points conjugués correspondant à un grandissement angulaire de 1. (Le rayon
incident passant par N a pour rayon émergeant le rayon parallèle passant par N').
Relation de Lagrange Helmholtz appliquée aux points principaux:
n ´ sin u = n ' ´ sin u '
Comme nous considérerons toujours être dans les conditions de Gauss, sin u est sensiblement égal à u (rd) et
la relation s'écrit: n ´ u = n' ´ u'.
Foyers :
Système centré de vergence D
Distance focale objet f et foyer principal objet F : f = HF = -
© Paul JEAN
n
D
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Distance focale image f’ et foyer principal image F’ : f ' = H ' F ' =
n'
D
Comme dans le cas d’une lentille si la vergence est positive, f<0,f’>0, F et F’ sont réels : le système centré est
un système convergent. Avec une vergence négative le système sera divergent.
Relation de conjugaison:
Système centré de vergence D.
centré
A ¾Système
¾¾ ¾
¾® A'
relation de conjugaison
-
n
n'
+
=D
HA H ' A'
grandissem ent linéaire g =
n H ' A'
´
n' HA
Association de systèmes centrés
n: indice du milieu objet, N: indice du milieu intermédiaire, n': indice du milieu image.
n'
N
n
H1
H'1
H2
H'2
d
Système centré 1
de vergence D1
d = H'1H2
Système centré 2
de vergence D2
Vergence D du système centré équivalent à l'association des deux systèmes centrés:
D = D1 + D2 -
d
´ D1 ´ D2
N
Position des points principaux du système équivalent:
H 1 H d D2
= ´
n
N D
H '2 H '
d D
=- ´ 1
n'
N D
Un dioptre sphérique est un système centré dont les points principaux objet et image sont confondus avec le
sommet du dioptre.
La lentille simple est un cas particulier de système centré, les points principaux et les points nodaux sont
confondus en O centre optique de la lentille.
Construction de l’image d’un point objet :
Cette construction se fait à partir de rayons dont la marche est connue comme nous l’avons fait dans le cas
d’une lentille mince.
Pour le système centré :
· Le rayon issu de B passant par F ressort parallèle à l’axe du système (ne pas oublier le grandissement 1
au niveau des plans principaux)
· Le rayon issu de B et parallèle à l’axe ressort en passant par F’
· Dans le cas particulier ou l’indice du milieu objet et l’indice du milieu image sont les mêmes (système
centré placé dans l’air), le rayon issu de B arrivant en H, ressort parallèlement à partir de H’ (en vertu
de la relation de Lagrange Helmholtz appliquée aux points principaux).
Sur le schéma, le système centré est convergent et l’objet réel. On constate que l’on a une image réelle
renversée.
© Paul JEAN
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B
A
F
H
H’
A’
F’
B’
[H]
[H’]
© Paul JEAN
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