TD 3 Changements de référentiel - Principe fondamental de la

PH1ME2-C
Université Paris 7 - Denis Diderot
2012-2013
TD 3
Changements de référentiel - Principe fondamental de la
dynamique généralisé
1. Pèse-personne (*)
Un pèse-personne peut être schématisé par un plateau de masse négligeable supporté par
un ressort de constante de raideur k .
a) Exprimer la masse de la personne pesée en fonction de la variation de la longueur du
ressort.
b) Une étudiante de masse égale à 55 kg, cherchant à vérier les lois de la dynamique
newtonienne, emporte un pèse-personne dans un ascenseur. Elle lit successivement sur la
balance :
70 kg
45 kg
0 kg
Calculer dans ces trois cas l'accélération de l'ascenseur (direction, sens et module) et indiquer
à quels types de mouvements elle peut correspondre.
2. Tapis roulant (*)
Un tapis roulant se déplace à la célérité constante de 5 km/h. Un enfant, immobile sur le
tapis, laisse tomber d'une hauteur de 1m une bille à l'aplomb d'un trou dans le tapis roulant.
a) La bille atteint-elle son but ? Quelle est la trajectoire de la bille :
vue du tapis roulant ?
vue du couloir du métro ?
vue par une personne immobile sur un deuxième tapis roulant se dirigeant dans le sens
opposé avec la même célérité ?
b) En fait, à l'instant t=0 où l'enfant lâche la bille, le tapis roulant ralentit à la suite d'un
incident et s'arrête en 1s avec une accélération constante a0 . Répondre aux questions
précédentes.
3. Looping (*)
Un avion eectue à célérité constante V un looping circulaire vertical de rayon R.
a) Établir le bilan des forces, donner leurs expressions littérales et représenter graphiquement
→
−
la force F (direction, sens et module) exercée par le pilote sur son siège.
b) Établir ces résultats en vous plaçant successivement dans un référentiel lié au sol puis
dans un référentiel lié à l'avion.
4. Pendule (*)
Une masse ponctuelle m est accrochée à l'extrémité d'un l élastique de masse négligeable
dont l'autre extrémité est xée au plafond d'un wagon de train. L'allongement du l est proportionnel à la tension appliquée : au repos cet allongement vaut 20 mm pour m = 5 · 10−3 kg
(on prendra g = 10 m. s−2 ).
a) Décrire la position d'équilibre de la masse m du pendule en fonction des diérentes phases
du mouvement du wagon(accélération, décélération, vitesse constante) et trajectoires (rectiligne, curviligne, horizontale ou non) du train.
b) Calculer l'angle que fait le l avec la verticale ainsi que son allongement pour les positions
d'équilibre :
lors d'un mouvement rectiligne accéléré avec a1 = 3 m. s−2
lors d'un mouvement rectiligne décéléré avec a2 = 1 m. s−2
5. Rappel de cinématique du mouvement circulaire (**)
→
−
−
Un manège tourne avec une vitesse angulaire Ω = Ω→
uz constante. Pour ramasser les tickets,
le propriétaire doit parcourir la plate-forme en rotation.
a) Partant du centre, il suit un rayon tracé sur la plate-forme avec un mouvement de célérité
constante V par rapport au manège.
(i) Établir les équations de la trajectoire du propriétaire dans un référentiel R0 lié au
manège. établir ensuite celles-ci dans un référentiel R lié au sol.
(ii) Déterminer la vitesse du propriétaire dans R, d'abord à partir des équations de son
mouvement, puis en utilisant les lois de composition des vitesses.
b) Le propriétaire parcourt maintenant la plate-forme en suivant un arc de cercle de rayon r0
concentrique à la plate-forme avec la célérité linéaire r0 Ω0 constante dans R0 . Reprendre
l'ensemble des questions précédentes. Que se passe-t-il en particulier si Ω0 = −Ω ?
6. Tribulation sur un disque en rotation (dynamique) (**)
Un objet P de très petite taille, de masse M, est placé sur une plate-forme horizontale
circulaire de centre C. La surface du disque étant rugueuse, le contact entre celui-ci et l'objet
P est source de frottements. Cela signie, en particulier, que si l'on souhaite mettre P en
→
−
mouvement par rapport à la plate-forme, il faut exercer une force F parallèle à celle-ci telle
que F > µ.RN où :
µ désigne un paramètre caractéristique du contact entre P et le disque,
RN désigne la composante perpendiculaire de la réaction du disque.
On donne :
M = 1 kg ;
g = 10 m. s−2
;
µ = 0.18
a) On désigne par R le référentiel inertiel du laboratoire de centre O. On recrute un obser-
vateur immobile dans R0 (référentiel d'origine O0 solidaire du disque). O et O0 coïncident
toujours avec C. Un moteur communique au disque un mouvement de rotation uniforme
→
−
dans R (rotation autour de son axe dans le sens trigonométrique direct). Ω désigne la
vitesse angulaire du disque dans R. Initialement l'objet P est placé sans vitesse initiale
2
dans R0 à la distance r du centre du disque. L'observateur constate que l'objet P reste
immobile.
(i) Recenser l'ensemble des forces et pseudo-forces dans R0 qui s'appliquent sur l'objet
P. Après avoir donné l'expression de chaque force, les représenter sur un même schéma
→
−
clair et explicite où gure également Ω .
(ii) À présent la célérité Ω de rotation du disque est augmentée progressivement. L'observateur doit alors indiquer s'il perçoit un mouvement de l'objet P. Chaque observation
est réalisée lorsque la valeur de Ω est stabilisée, donc constante.
Pour quelle valeur limite Ωlim de Ω l'observateur verra-t-il l'objet commencer à glisser
sur le disque ? (A.N. : on prendra r = 1 m)
On suppose que, lors de sa mise en mouvement, P se déplace aux yeux de l'observateur, le long d'un rayon du disque. Indiquer alors la direction et le sens de la
pseudo-force de Coriolis.
b) Le moteur est réglé de telle sorte que l'objet P soit à nouveau complètement immobile
aux yeux de l'observateur, à la distance r0 de C. A la suite d'un dérèglement impromptu
du moteur, le disque subit une décélération angulaire constante. L'objet P reste immobile
aux yeux de l'observateur. Pour ce nouveau scénario, donner l'expression des pseudoforces et représenter la contribution de chaque terme de l'accélération d'entraînement ~ae
~
(on prendra soin de faire gurer également sur le schéma le vecteur ddtΩ ).
7. Partiel du 13 Mars 2004 : Coriol-ice (**)
Trois frères Inuits, Minik, Oyak et Krok reçoivent en cadeau un pingouin mécanique. Fidèles
de ME2, ils souhaitent l'utiliser pour vérier expérimentalement quelques propriétés du principe
fondamental de la dynamique. Pour cela, ils disposent dans leur jardin d'un vieux magloo, sorte
de manège horizontal actionné par un système à pédales. Les trois frères se répartissent les rôles
de la façon suivante : Oyak sera l'observateur immobile dans R0 , référentiel lié au magloo de
centre O0 et Minik celui immobile dans R, référentiel lié à la Terre et dont l'origine O coïncide
avec O0 . C'est à Krok, le plus fort des trois, que reviendra la tâche d'impulser et de contrôler la
→
−
rotation du magloo, usuellement dans le sens trigonométrique et caractérisée par le vecteur Ω .
a) Rappeler les grandes lignes et l'ambition du principe fondamental de la dynamique géné-
ralisé.
b) Discuter le concept de pseudo-force d'inertie.
c) Justier la nature inertielle du référentiel R.
Le pingouin est disposé immobile, à une distance r de O0 , sur le magloo dont la célérité
angulaire Ω est constante et égale à 10 tours/minute.
d) Décrire le mouvement du pingouin vu par Minik.
e) Recenser les forces et pseudo-forces qui s'exercent sur le pingouin.
f ) Ecrire le PFD dans R et le PFDG dans R0 . En déduire l'équivalence des points de vue
de Minik et Oyak sur l'accélération que subit le pingouin.
Le mécanisme du pingouin est armé et celui-ci se met en mouvement en décrivant un
−
→
cercle de rayon r autour de O0 qu'il parcourt à la vitesse angulaire Ωp constante de 1
tour/minute dans le sens horaire.
3
g) Quel est alors le mouvement du pingouin vu par Oyak ?
h) Recenser l'ensemble des forces et pseudo-forces qui s'exercent sur le pingouin.
i) Représenter l'ensemble des forces et pseudo-forces sur un schéma explicite.
j) En déduire la célérité Ω que doit imprimer Krok au magloo pour que le pingouin soit
vertical c'est-à-dire que la résultante des pseudo-forces soit nulle.
Le pingouin, décidément très sollicité, se déplace maintenant selon un rayon du magloo,
à la vitesse V constante en direction de O0 . On désignera par ~r0 le vecteur position dans
R0 .
k) Quel est le mouvement du pingouin perçu par Oyak puis par Minik ?
l) Représenter les forces et pseudo-forces qui s'exercent sur le pingouin.
m) En déduire le mouvement que Krok doit imposer au magloo pour compenser la force de
→
−
Coriolis et donner l'expression de ce changement de rythme en fonction de Ω , V et r0 .
n) Que deviennent ces expériences si les trois frères oublient de dégeler le magloo ?
8. Chute libre et déviation vers l'Est (***)
Un corps est lâché sans vitesse initiale, du haut d'une tour de hauteur h en un point de latitude λ = 45 ◦ N. La force de gravitation provoque une chute verticale. La pseudo-force d'entraînement provoque un déplacement vers l'équateur du point d'impact sur le sol. La pseudo-force
de Coriolis provoque un déplacement vers l'Est de ce même point. On ne s'intéresse d'abord
qu'à ce dernier eet.
a) Ecrire les projections du PFDG sur les axes locaux : Px vers le Sud, Py vers l'Est, Pz
vers le haut.
On obtient 3 équations diérentielles du second ordre couplées, pour x(t), y(t), z(t).
b) Par une intégration de l'équation en ẍ et de celle en z̈ et une substitution de ẋ et de ż
dans l'équation en ÿ , déduire une équation diérentielle du seconde ordre pour la variable
y(t).
c) Résoudre cette équation en ne prenant en compte que les termes en Ω (provenant de la
pseudo-force de Coriolis) dans l'équation du second ordre en y(t) et montrer que l'on
trouve bien une déviation vers l'Est, dont on déterminera l'expression puis la valeur.
4
c) En ne conservant que les termes en Ω2 dans l'équation où gure la dérivée seconde en x(t),
déterminer le déplacement du point d'impact dû à la seule pseudo-force d'entraînement.
Vérier qu'il s'agit d'une déviation vers le Sud et comparer numériquement les deux
déviations.
d) Qu'y a-t-il de changé pour ces deux déviations pour un point de latitude 45 ◦ S ?
!3
2
2h
1
Rep : ∆y = Ωg
3
g
2
cos λ ;
∆x =
RhΩ
sin λ cos λ ;
g
A.N. : h = 100 m.
9. Y a quelque chose qui cloche à-dedans... (**)
Nous développons ci-dessous un raisonnement faux qui nous conduirait à démontrer qu'un
point matériel lâché sans vitesse initiale serait dévié vers ... l'Ouest. Vous devez identier l'erreur
de raisonnement :
" Raisonnons dans un repère géocentrique inertiel. La Terre a, dans ce repère, un mouvement
de rotation autour de l'axe SN. Dans ce repère, un point matériel de masse m, lâché au point
M0 , est soumis à la force gravitationnelle dirigée vers le centre O de la Terre. Sa trajectoire est
donc rectiligne, selon le rayon M0 O. Pendant la durée de la chute, la Terre tourne de l'Ouest
vers l'Est, et le point matériel touche donc la Terre en un point P0 situé à l'Ouest du point P,
intersection de la Terre et de OM0 (P se trouve à la verticale de M0 )."
Estimer à quelle distance du pied de la tour de 200 m de l'exercice précédent l'objet atteindrait
le sol. Cet "argument" a été utilisé pour s'opposer à l'idée que la Terre 'pourrait' tourner sur
elle-même.
10. Bille sur une surface creuse en rotation (**)
On considère un paraboloïde de révolution (surface S obtenue par la rotation d'une parabole
autour de son axe Oz). L'équation de la génératrice (courbe obtenue en coupant cette surface
par un plan contenant son axe vertical) est alors de la forme, où a est une constante positive :
z(r) = ar2 (Figure de gauche).
La surface S est supposée parfaitement lisse. Elle est en rotation autour de son axe vertical
(Oz) à la vitesse angulaire Ω constante (Figure de droite). On pose une bille, considérée comme
ponctuelle, sans vitesse initiale par rapport à S.
Montrer que pour Ω =
√
2ga, la bille reste immobile par rapport à S.
5
11. Poids apparent (***)
Dans l'étude des mouvements au voisinage de la Terre, on peut utiliser les trois référentiels
représentés sur la gure ci-dessous.
On considère une particule de masse m, en un lieu de latitude λ sur la Terre supposée sphérique
(de centre O, de rayon R et de masse M). On désigne par Ω la vitesse angulaire de rotation
diurne de la Terre autour de l'axe NS des pôles et par g0 l'intensité du champ de pesanteur aux
pôles.
On dénit :
OXYZ le référentiel géocentrique inertiel, c'est-à-dire non entraîné par le mouvement de
rotation de la Terre sur elle-même.
OX0 Y0 Z0 le référentiel géocentrique non inertiel, solidaire du mouvement de rotation de la
Terre sur elle-même (référentiel "terrestre").
AX00 Y00 Z00 le référentiel local non inertiel (référentiel dit "du laboratoire").
a) Déterminer les composantes du poids apparent m~g de la particule par rapport au réfé-
rentiel "du laboratoire", orthonormé direct, AX00 Y00 Z00 où AX00 est dans le plan méridien
dirigé vers le Sud, AZ00 selon le rayon OA de O vers A (la verticale) (sur la gure les axes
OA, OX' et OZ' sont dans un plan méridien).
b) En déduire la variation relative de g entre le pôle et l'équateur.
A.N. : R = 6400 km ;
g0 = 9.83 m. s−2 .
c) Montrer qu'en première approximation (toujours dans le référentiel "du laboratoire") :
g = g0 − Ω2 R cos2 λ
6