NF93 Grammaires formelles 1 Définition d`une grammaire et d`un

NF93 Grammaires formelles
Chabot Simon
20 avril 2011
1 Dénition d'une grammaire et d'un langage
Dénition 1.1 (Grammaire formelle). Une grammaire formelle G est un ensemble
constitué de quatre objets :
Un ensemble ni Σ de symboles terminaux, conventionnellement notés en
minuscules. Ce sont les lettres du langage.
Un ensemble ni V de symboles non-terminaux, conventionnellement notés
en majuscules. Ce sont les variables 1 .
Un élément S ∈ V , appelé axiomes.
Un ensemble P des règles de production. De la forme α → β , avec α ∈
(V ∪ Σ)∗ Σ (V ∪ Σ)∗ , α 6= ε, β ∈ (V ∪ Σ)∗
On note G = (Σ, V, S, P ).
Dénition 1.2 (Puissance d'un alphabet).
Σk est dénie par :
(
Σ0
Σk
La k e puissance d'un alphabet Σ, noté
= {ε}
= Σk−1 × Σ
Σ∗ est l'ensemble de tous les mots que l'on peut former à partir de Σ. On dénit
Σ+ = Σ∗ \{ε}.
Dénition 1.3
ensemble de Σ .
∗
(Langage). On appelle langage déni sur un alphabet Σ, un sous
Dénition 1.4
(Puissance d'un langage). La k e puissance d'un langage L, noté
L est dénie par :
(
L0 = {ε}
Lk = Lk−1 × L
k
1. On a
Σ∩V =∅
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Exemple 1.1. Si L = {ab, cd}, alors L0 = {ε}, et L1 = L, L2 = {abab, abcd, cdabc, cdcd}.
L∗ est l'ensemble de tous les mots que l'on peut obtenir en concaténant un
nombre quelconque de mots de L. On déni L+ = L∗ \{ε}.
Dénition 1.5
(Dérivation). Une dérivation est l'application d'une des règles de
P . On note α ⇒ β .
La clôture transitive de ⇒ sur P est noté ⇒+
La clôture transitive et réexive de ⇒ sur P est noté ⇒∗
Dénition 1.6 (Langage engendré par une grammaire). Le langage L(G) engendré
par la grammaire G est déni par
L(G) = {u ∈ Σ∗ |S ⇒∗ u}
Dénition 1.7 (Arbre de dérivation).
que :
On appelle arbre de dérivation un arbre tel
La racine est l'axiome
Les feuilles sont des symboles terminaux, ou ε.
Les n÷uds sont des symboles non-terminaux,
Les ls d'un n÷ud α sont β0 , . . . , βn ssi α ⇒ β0 . . . βn est une production.
Dénition 1.8 (Grammaire ambigüe).
On dit qu'une grammaire est ambigüe s'il
existe u ∈ L(G) tel que u est au moins deux arbres de dérivation distincts.
2 Hiérarchie de Chomsky
Type 0
Type 1
Aucune restriction
Grammaire contextuelle, c'est à dire que le règles de production sont du
type :
αAβ → αγβ
avec A ∈ V, α, β, γ ∈ (V ∪ Σ)∗ , γ 6= ε.
Type 2
Grammaire hors-contextuelle ou algébrique, c'est à dire que les règles de
production sont du type :
X→α
avec α ∈ (V ∪ Σ)∗ , X ∈ V .
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Type 3
Grammaires :
régulière à gauche,
ou
X →Ya
X→a
avec X, Y ∈ V et a ∈ Σ.
régulière à droite,
ou
X → aY
X→a
avec X, Y ∈ V et a ∈ Σ.
Dénition 2.1 (Type d'un langage). On dit qu'un langage est de type n s'il existe
une grammaire de type n qui puisse l'engendrer et qu'il n'existe pas de grammaire
de type m, m > n qui le puisse.
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Index
A
Ambigüité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
Arbre de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
C
Chomsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
D
Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
G
Grammaire formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
L
Langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
P
Puissance
d'un alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
d'un langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
T
Type
d'un langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
d'une grammaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
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