Eléments de correction

Corrigés TD 4
Exercice 1 : Externalité négative, taxation et effets distributifs
a) La fonction de coût marginal social correspond à la fonction de coût marginal intégrant
l’ensemble des coûts marginaux (privés et sociaux) engendrés par l’activité économique pour
l’ensemble de la collectivité.
Dans notre exemple le coût marginal social (Cms) correspond donc au coût marginal privé de
production des firmes présentes (Cm) additionné du dommage marginal (Dm) occasionné par
l’activité de ces firmes sur la collectivité (dommage marginal lié à la pollution d’une unité
produite Q).
Sur ce marché Cm = 30 et Dm = Q/15, donc la fonction de coût marginal social Cms s’écrit :
Cms = Cm + Dm  Cms = 30 + Q/15
Représentation graphique
Dm, Cm
Cms, P
50
Cms = Cm + Dm
38
Dm= Q/15
30
Cm = 30
Q = 500 – 10 P
0
102
200
500
Q
b) La fonction de coût marginal causée par la pollution pour l’ensemble des firmes (coût
marginal sectoriel) est Cm = 30. Par ailleurs, nous sommes dans la situation de marché où
plusieurs firmes produisent le même bien, nous sommes dans le cadre d’un marché de CPP. A
l’équilibre de CPP nous avons :
Cm = P  Cm = 30 = P
Nous avons aussi P = 50 – Q/10 (fonction de demande inverse), donc à l’équilibre de CPP nous
avons :
Cm = P  30 = 50 – Q/10  Q = 200.
Il s’agit de l’équilibre privé ignorant la pollution. Il est représenté sur le graphique au point
d’intersection entre la courbe de coût marginal (Cm = 30) et la courbe de demande (Q= 500 –
10).
c) La situation d’optimum social correspond à la situation d’équilibre intégrant le dommage
marginal causé par la pollution.
A l’équilibre social sur ce marché de CPP il y’a donc égalisation entre le prix P et le coût
marginal social Cms :
A l’équilibre social nous avons donc :
Cms = Cm + Dm = P

30 + Q/15 = 50 – Q/10
30 + Q/15 = P, or P = 50 – Q/10, donc à l’équilibre social :

Q = 120
d) A l’équilibre social de ce marché de CPP : Q = 120
Le prix correspondant à cet état d’équilibre est obtenu à partir de la fonction de demande
inverse : P = 50 – Q/10
Pour Q = 120 :
P = 50 – (120/10)  P = 38
La taxe Pigouvienne correspond donc à la différence de prix entre le prix en équilibre privé
(P = 30) et le prix en équilibre social (P=38).
T = 38 – 30 = 8
e) On constate sur le graphique que l’augmentation du prix par une taxe unitaire fait réduire
les quantités produites de 80 unités : passage de 200 unités (à l’équilibre privé) à 120 unités
(à l’équilibre social). Cela permet de réduire la pollution occasionnée.
Cette taxe permet de réduire la pollution en augmentant les prix unitaires des quantités Q. Le
passage d’un prix de 30 à l’équilibre privé à un prix de 38 à l’équilibre social entraine une baisse
de la demande en biens Q (de 80 unités) et réduit la pollution (internalisation de l’effet externe
négatif par les mécanismes de prix). Néanmoins, cette baisse pourrait entrainer des difficultés
économiques pour certaines petites firmes, puisque la demande à l’équilibre social est
inférieure à la demande à l’équilibre privé. Il s’agit ici de l’une des contraintes liées au calibrage
du montant de la taxe : elle devrait être suffisamment importante pour inciter à réduire la
pollution (hausse des prix) mais ne devrait pas être trop excessive au risque de conduire à des
difficultés économiques (contraction de la demande).
Correction Exercice 2
a. La fonction de coût du producteur de pomme Ca est dépendante des quantités de Miel
produites par le producteur de miel :
Ca =
𝑄𝑄𝑄𝑄²
50
– Qh
On constate que la production d’une unité de miel Qh entraine une baisse d’une unité dans le
coût de production Ca du producteur de pommes. Le producteur de miel apporte donc un
bénéfice au producteur de pomme. En l’absence de contrepartie monétaire, ce bénéfice est
considéré comme une externalité : absence de prix correspondant au bénéfice apporté par le
producteur de miel au producteur de pommes. Il s’agit donc d’une défaillance de marché
puisqu’une partie des bénéfices économiques n’est pas intégré au prix du marché.
b. En supposant que les entreprises produisent de manière indépendante et qu’elles sont
« prices takers », nous sommes dans un marché de concurrence pure et parfaite (CPP).
A l’équilibre les deux entreprises chercheront à égaliser les coûts marginaux respectifs
au prix des biens :
A l’Eq de CPP nous avons :
Producteur de pommes : Cma = pa

Producteur de pommes : Cmh = ph

𝜕𝜕Ca
= pa

𝑄𝑄𝑄𝑄
=5

𝜕𝜕Ch
= pa

𝑄𝑄ℎ
=4

𝜕𝜕Qa
𝜕𝜕Qh
25
25
𝑄𝑄𝑄𝑄 = 125
𝑄𝑄ℎ = 100
c. Chaque unité de miel produite, abaisse d’une unité (1 euro) les coûts de production
pour le producteur de pommes. Il s’agit ici du bénéfice économique obtenu par le
producteur de pommes sans versement de contrepartie monétaire au producteur de
miel. Le producteur de miel devrait donc obtenir 4 euros (prix de marché) additionné
du bénéfice unitaire apporté au producteur de pommes 1 euro (externalité positive).
Le producteur de pommes devrait donc totaliser un prix unitaire de 4 + 1 = 5 euros.
Il s’agit ici du prix d’équilibre social du producteur de miel (intégrant la contrepartie
monétaire de l’externalité positive apportée au producteur de pommes).
A l’équilibre social nous avons alors:
Cmh = ph + 1  Cmh = 4 + 1 = 5 
𝜕𝜕Ch
𝜕𝜕Qh
=5

𝑄𝑄ℎ
25
=5

𝑄𝑄ℎ = 125
d. En supposant que les deux firmes fusionnent, elles devraient coordonner leurs
activités pour optimiser leur profit total :
πtotal = πh + πa = [ (ph .
πtotal = πh + πa = [ (5 .
𝑄𝑄2
Qh) - –50ℎ
𝑄𝑄2
Qh) - –50ℎ
]
]
Le profit total πtotal est maximisé lorsque
Et
𝜕𝜕πtotal
=0

5=
𝑄𝑄ℎ
𝜕𝜕πtotal
=0

5=
𝑄𝑄𝑎𝑎
𝜕𝜕Qh
𝜕𝜕Qa
25
25
= 0  𝑄𝑄ℎ = 125
= 0  𝑄𝑄𝑎𝑎 = 125
+
+
𝜕𝜕πtotal
𝜕𝜕Qh
[ (pa .
[ (5 .
Qa) – (
Q a) – (
= 0 et
𝑄𝑄𝑄𝑄²
50
𝑄𝑄𝑄𝑄²
50
– Qh)]
𝜕𝜕πtotal
𝜕𝜕Qh
– Qh)]
=0
A l’équilibre les quantités produites sont : 𝑄𝑄ℎ = 125 et 𝑄𝑄𝑄𝑄 = 125.
Le profit étant partagé entre les deux firmes, on aboutit à une situation optimale dans laquelle le profit
est maximisé pour :
𝑄𝑄ℎ = 𝑄𝑄𝑎𝑎 = 125 et pa = ph = 5
Le producteur de pommes paye une subvention au producteur de Miel mais partage les bénéfices avec
ce dernier. L’externalité est ainsi internalisée.
Correction exercice Equilibre Général
1. Pour le consommateur 1, la fonction U (x1, y1) = Min {ax1 , by1} implique que les bien x
et y sont parfaitement complémentaires et sont combinés selon une certaine
proportion fixe.
Le consommateur 1 maximise ces deux biens lorsqu’ils sont consommés dans une
proportion ax1 = by1. Par exemple ce consommateur consomme 1 morceau de sucre
pour 1 café, son panier sera alors de (1,1). Un morceau de sucre supplémentaire ne lui
procurera aucune satisfaction supplémentaire. Le panier (2,1) est donc équivalent au
panier (1,1). Il en est de même généralement pour tous les paniers comprenant 1 tasse
de café et plus de 1 morceaux de sucre qui sont considérés comme équivalent au
panier (1,1).
Il en est de même si on raisonne par rapport à l’augmentation d’une tasse de café. Par
exemple ce consommateur consomme 1 morceau de sucre pour 1 café, son panier sera
alors de (1,1). Une tasse de café supplémentaire ne lui procurera aucune satisfaction
supplémentaire. Le panier (1,2) est donc équivalent au panier (1,1). Les courbes
d’indifférence sont alors d’une forme coudée.
Le consommateur 2 dispose d’une fonction d’utilité de type Cobb Douglass. Les biens
sont donc substituables. Pour ce consommateur, il n’est pas indispensable d’avoir du
sucre pour consommer du café et inversement.
2. Lorsque les biens sont complémentaires les courbes d’indifférence sont coudées. La
droite reliant tous les coudes est obtenue à partir de l’équation : ax1 = by1 ce qui
permet d’avoir la fonction reliant tous les coudes :
y1 = (ax1)/b
Y1
Y1 = (a X1)/b
01
X1
3. La boite d’Edgeworth est un double système d’axes permettant de représenter
graphiquement l’ensemble des états réalisables de cette économie. La boite d’Edgewoth pour
les deux consommateurs est représentée par les deux axes qui sont reliés par l’équation de la
droite : y1 = (ax1)/b , soit y1 = (30x1)/40 (a et b représentent les dotations initiales respectives
en X et Y)
Ce qui donne l’équation de la diagonale reliant les deux origines :
y1 = (3x1)/4
. Représentation graphique pour :
Y1
X2
40
02
Y1 = (3x1)/4
30
30
Y2
01
40
X1
4. Une situation est considérée comme Pareto optimale si elle appartient à l’ensemble des
états réalisables de l’économie et s’il n’est pas possible d’accroitre le bien être d’un agent sans
en diminuer celle d’au moins un autre agent.
𝑎𝑎
30
Pour =
, la courbe de contrat qui permet de relier tous les points optimaux est celle
𝑏𝑏
40
correspondant à la droite reliant les deux origines (tangeance entre la courbe d’indifférence
convexe de l’individu 2 et celle en coude de l’individu 1).
5. Les fonctions de demande sont déterminées à partir des fonctions d’utilité et de la
contrainte de budget et de dotation.
Pour le consommateur 1 : dota1 = (dot1x, dot1y) = (10,20)
Pour le consommateur 2 : dota2 = (dot2x, dot2y) = (30,10)
On suppose également que a = b = 1
A l’équilibre nous avons une égalisation entre le rapport des utilités marginales des biens x et
y et le rapport des prix relatifs :
U2 (x2, y2) = x21/2. y2 ½
A l’équilibre TMSUx2/y2
=
𝜕𝜕Ux2
𝜕𝜕Uy2
=
𝑃𝑃𝑃𝑃
=
𝑝𝑝𝑝𝑝
y2
x2
=
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑝𝑝𝑝𝑝
 py y2 = px x2
Par ailleurs, la contrainte budgétaire du consommateur 2 s’écrit R2 = px x2 + py y2,
or on sait que les dotations du consommateur 2 sont (x2 , y2) = (30,10)
Donc la contrainte budgétaire s’écrit : R2 = 30 px + 10 py et R2 = px x2 + py y2 ,
donc
30 px + 10 py = px x2 + py y2
Et py y2 = px x2
ce qui donne 30 px + 10 py = 2 px x2 :
On obtient alors :  x2 = (30 px + 10 py) / 2 px
De même on retrouve Y2 :
30 px + 10 py = px x2 + py y2
Et py y2 = px x2
ce qui donne 30 px + 10 py = 2 py y2 :
On obtient alors :  y2 = (30 px + 10 py) / 2 py
6. Pour un revenu donné, le consommateur 1 cherchera à se positionner sur la courbe
d’indifférence la plus élevé appartenant à l’ensemble des consommations réalisables. Cet
équilibre est situé sur le coude de la courbe d’indifférence au point de tangeance avec la
courbe de contrainte budgétaire. A l’équilibre on aura donc :
y1 = (ax1)/b , Or comme a = b = 1, l’équation de la droite devient :
y1 = x1
Y1
R1/py
Y1 = X1
01
R1/pY
X1
On sait que la situation d’équilibre pour le consommateur 1 vérifie : y1 = x1
Par ailleurs on sait que sa contrainte budgétaire vérifie les données de dotations initiales,
donc :
10 px + 20 py = px x1 + py y1 or y1 = x1 donc on aura
10 px + 20 py = px x1 + py x1 , ce qui permet d’avoir à l’équilibre :
x1 = (10 px + 20 py) / (px + py)
et de même pour y1
y1 = (10 px + 20 py) / (px + py)
7. L’équilibre général de cette économie d’échange est une situation dans laquelle les
systèmes de prix existants assurent que tous les marchés sont à l’équilibre :
x1 + x2 = 40 et y1 + y2 = 30
Or si on utilise les fonctions de demandes trouvées précédemment on peut réécrire ces deux
équations :
10𝑝𝑝𝑝𝑝+20𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑝𝑝𝑝𝑝+𝑝𝑝𝑝𝑝
+
30𝑝𝑝𝑝𝑝+10𝑝𝑝𝑝𝑝
2𝑝𝑝𝑝𝑝
= 40
10𝑝𝑝𝑝𝑝+20𝑝𝑝𝑝𝑝
Et
On pose
𝑝𝑝𝑝𝑝+𝑝𝑝𝑝𝑝
+
10𝑝𝑝𝑝𝑝+20𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑝𝑝𝑝𝑝+𝑝𝑝𝑝𝑝
30𝑝𝑝𝑝𝑝+10𝑝𝑝𝑝𝑝
+
2𝑝𝑝𝑝𝑝
= 30
30𝑝𝑝𝑝𝑝+10𝑝𝑝𝑝𝑝
2𝑝𝑝𝑝𝑝
= 40
équation (1)
Pour résoudre cette équation on divise la partie gauche de l’équation (1) par px ce qui
donne :
10𝑝𝑝𝑝𝑝+20𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑝𝑝𝑝𝑝+𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑝𝑝𝑝𝑝
+
30𝑝𝑝𝑝𝑝+10𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑝𝑝𝑝𝑝
2𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑝𝑝𝑝𝑝
= 40

20𝑝𝑝𝑝𝑝
10+ 𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑝𝑝𝑝𝑝
1+
𝑝𝑝𝑝𝑝
+
Si on pose g = (py / px), l’équation précédente s’écrit :
10+20𝑔𝑔
1+𝑔𝑔
+
30+10𝑔𝑔
2
=
40

20+40𝑔𝑔+(30+10𝑔𝑔)(1+𝑔𝑔)
2(1+𝑔𝑔)
10𝑝𝑝𝑝𝑝
30+ 𝑝𝑝𝑝𝑝
2
= 40
= 40
20 + 40g + 30 + 30g + 10g + 10g² = 80 + 80g  50 + 80g + 10g² = 80 + 80g
 10g² = 30 , (s’agissant d’un rapport de prix, g est positif)
 g = (py / px) = 31/2 ,
Pour trouver les valeurs de x1 et y1,on utilise les équations de demandes marshaliennes
trouvée plus haut. On sait que :
x1 = (10 px + 20 py) / (px + py)
y1 = (10 px + 20 py) / (px + py)
On divise les parties droites de chaque équation par px :
x1 = (10 + 20 py/ px) / (1 + py/ px)
y1 = (10 + 20 py/ px) / (1 + py/ px)
Et comme (py / px) = g = 31/2  x1 = y1 = 10 + (20. (1,73)) / (1 + 1,73) = 54,6 / 2,73 = 16,33
Pour le consommateur 2, on reprend les fonctions de demandes marshaliennes trouvées
précédemment :
x2 = (30 px + 10 py) / 2 px
y2 = (30 px + 10 py) / 2 py
On divise les parties droites de chaque équation par px :
x2 = (30 px/ px + 10 py/ px) / 2 px/ px
y2 = (30 px/ px + 10 py/ px) / 2 py/ px
On obtient alors par simplification :
x2 = (30 + 10 py/ px) / 2
y2 = (30 + 10 py/ px) / 2 py/ px
Et comme (py / px) = g = 31/2  x2 = (30 + 10 . 1,73) / 2 = 23,65
Y2 = (30 + 10 . 1,73) / 2 (1,73) = 47,3 / 3,46 = 13,67
En résumé nous avons donc :
x1 = y1 = 16,33
Et
x2 = 23,65 et y2 = 13,67
x1 + x2 = 16,33 + 23,65 ≈ 40 (égal au total des dotations en X)
et y1 + y2 = 16,33 + 13,67 ≈ 30 (égal au total des dotations en y)
Le marché du bien X et le marché du bien Y sont équilibrés.