Problèmes de courant continu - Jean

Problèmes de courant continu
I. Capteur résistif de température.
Variation de la résistance d’une thermistance en fonction de la température.
La résistance R d’une thermistance, formée d’un matériau semi-conducteur, varie avec la température absolue T
⎛B
B⎞
suivant la loi R = R0 exp ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ où B, R0 = 12000 Ω et T0 = 298 K sont des constantes.
⎝⎜ T T0 ⎠
1) Que représente la constante R0 ?
1 dR
en fonction de B et T.
R dT
3) Calculer B sachant que α (T = 298 K) = – 4,135.10–2 K–1.
4) Calculer R aux températures 0 °C et 100 °C.
1 dA
= 10−5 K−1 . Comparer les variations de
5) Le coefficient de dilatation linéaire du semi-conducteur est λ =
A dT
résistance avec la température dues à la variation de la résistivité ρ d'une part et aux variations de dimensions d'autre
part. Conclure.
2) Exprimer le coefficient de température α =
Pour mesurer une température, on utilise un capteur résistif. On mesure un signal électrique, en général une
tension, qui traduit les variations de la résistance avec la température. Un montage, alimenté par une source de tension
comprend la résistance à mesurer et d'autres résistances constantes. Le circuit de mesure ainsi constitué est appelé
conditionneur du thermomètre.
Montage potentiométrique.
Celui-ci est représenté sur la figure ci-contre. Le générateur a pour fem e
r
R1 – r
et pour résistance interne r ; le voltmètre de résistance interne Rd mesure la
tension v1 aux bornes de la résistance thermométrique R qui dépend de T .
e
6) Exprimer v1 en fonction de R1, R, Rd, et e.
R v1
Rd
7) Comment doit-on choisir Rd pour que la tension v1 ne dépende pas
trop du voltmètre utilisé ? Quelle est alors l’expression de v1 ? On suppose
source
voltmètre
cette condition désormais réalisée.
8) À T = T0, la résistance thermométrique R a pour valeur R0 et la tension de mesure la valeur v1 . Ces conditions
définissent un point moyen de fonctionnement. Lorsque R varie de ∆R, v1 varie de ∆v1 . Exprimer ∆v1 en fonction
de ∆R, Ro, R1 et e, en se limitant au cas où ∆R R0 .
∆v1
. Pour quelle valeur de R1, cette sensibilité est-elle
∆R
maximale au voisinage de T = T0 ? Calculer cette sensibilité maximale.
Application numérique. Sachant que e = 10,0 V, R0 = 109,8 Ω, r = 20 Ω, que le voltmètre peut déceler une variation
∆v1 de 0,01 volt, calculer la valeur de R1 – r qui donne la sensibilité maximale et la valeur ∆R que l'on peut alors tout
juste déceler.
10) Alors que le conditionneur a sa sensibilité maximale, la fem e du générateur fluctue entre e – ∆e et e + ∆e.
Calculer la variation de v1 correspondant à une variation ∆e de e. Comparer l'influence de ∆R et de ∆e. Quel est le
niveau tolérable de fluctuations de la fem de la source dans ce dispositif ?
e
9)
On définit la sensibilité du conditionneur par S =
Pont de Wheatstone.
Le voltmètre V, de résistance interne Rd très supérieure aux autres résistances,
mesure la d.d.p. v2 = vB – vA. La résistance interne de la source est négligeable
(figure 2).
11) Exprimer v2 en fonction de e et des résistances
12) L'équilibre du pont (v2 = 0) est réalisé pour R = R0, T = T0. Quelle relation
lie alors R2, R3, R4, et Ro ?
13) Calculer v2 en fonction de R, R2, R0 et e.
14) On suppose ∆R = R – R0 << R0. Pour quelle valeur de R2 la sensibilité
S = v2 / ∆R est-elle maximale ? Calculer celle-ci.
15) Comparer la sensibilité du pont de Wheatstone et du montage
potentiométrique dans les deux cas :
- le voltmètre n’est utilisé que sur le calibre immédiatement supérieur à e ;
- on peut aussi utiliser des calibres plus petits.
DS : problèmes de courant continu, page 1
A
R(T)
D
R2
V
R3
C
R4
B
Figure 2
16) La sensibilité maximale étant obtenue, on tient maintenant compte des fluctuations ∆e de e (|∆e| << e). Comparer
l’influence respective de ∆R et de ∆e sur v2. Conclure.
II34. Pont de Wheatstone.
⎛ x ⎞⎟ y dx − x dy
0. Préliminaire : montrer que d ⎜⎜
.
=
⎝ x + y ⎠⎟⎟
(x + y )2
1. Une jauge de contrainte J 1est constituée par un fil cylindrique de
longueur l , de section s et de résistivité ρ . Elle est collée
longitudinalement sur une poutre isolante fixée par son extrémité
inférieure (fig. 1). Lorsque la poutre est rectiligne, la résistance du
fil est R1 . Sous l'action d'une force F horizontale, l'extrémité libre
B de la poutre fléchit et la poutre se courbe. La température étant
∆l
. Il en
constante, le fil subit un très faible allongement relatif ε =
l
∆R1
∆l
résulte une très faible variation de résistance
. Au cours
=K
R1
l
Figure 1
de la déformation, les variations relatives de la section s et de la
∆s
∆l
∆ρ
∆V
=c
= −2σ
et
, σ et c étant deux constantes dépendant de la
résistivité ρ sont respectivement
ρ
V
s
l
nature du conducteur et V son volume. Exprimer le coefficient K en fonction de c et σ .
Application numérique : c = 1,13 , σ = 0,3 ; calculer K . En déduire la variation de résistance ∆R1 pour une
∆l
= K1 F (avec K1 = 10 −5 N −1 ) et que R1 = 350 Ω lorsque le fil est au
force F exercée de 10 N , sachant que
l
repos.
2. Le fil cylindrique précédent constitue l'une des branches d'un pont de Wheatstone (fig. 2). Les résistances
R2 , R3 , R4 sont tout d'abord considérées comme constantes. Seule R1 varie en fonction de la force appliquée.
Entre les bornes de sortie A et C du pont est placé un appareil de mesure (M) de résistance interne infinie. Ce
pont est alimenté par un générateur de f.e.m. E constante et de
résistance interne négligeable.
2.a. Exprimer la différence de potentiel U AC = V A − VC en
fonction de E , R1 , R2 , R3 , R4 .
2.b. On suppose qu’initialement R1 = R2 = R3 = R4 = R ; R1
variant d'une quantité ∆R1 très petite devant R1 , exprimer la
variation correspondante ∆U AC . Calculer numériquement ∆U AC
si E = 2 V , ∆R1 = 0,1 Ω et R = 350 Ω .
3. Afin d'améliorer la sensibilité du dispositif, c'est-à-dire
d'obtenir une différence de potentiel entre A et C plus importante
en fonction de la force appliquée, on dispose de 4 jauges
identiques J1, J 2, J3, J 4 de résistances respectives R1 , R2 , R3 , R4 .
3.a. Initialement R1 = R2 = R3 = R4 = R . En supposant que la
Figure 2
résistance de (M) placé entre A et C est infinie, exprimer la
d.d.p. ∆U AC en fonction de E , ∆R1 , ∆R2 , ∆R3 , ∆R4 et R .
3.b. Préciser comment il faut coller les 4 jauges sur la poutre pour que le dispositif soit le plus sensible.
3.c. Calculer numériquement dans l’hypothèse précédente ∆U AC si E = 2 V , ∆R1 = ∆R2 = ∆R3 = ∆R4 = 0,1 Ω et
R = 350 Ω .
4. On utilise des résistances qu’on croit égales R1 = R2 = R3 = R4 = R = 1000 Ω , mais en réalité elles sont
légèrement différentes. Le pont étant équilibré, on intervertit les jauges J1 et J2 ; pour rétablir l’équilibre du
pont, il faut mettre en série avec R3 une résistance additionnelle r = 6 Ω . Montrer que R1 ≠ R2 . Exprimer en
fonction de r et calculer R1 − R2 et R3 − R4 .
III17.
L
Une locomotive électrique est alimentée en courant continu.
C
A
B
L'alimentation est réalisée par des sous-stations Si distantes de L. Ces
sous-stations relient les rails FG, portés au potentiel nul, à la caténaire AB,
c’est-à-dire à un fil électrique situé au dessus de la locomotive sur lequel
E
I
vient frotter son pantographe. Chaque source Si sera représentée par une
S2
S1
M
source de tension de force électromotrice E, la borne positive étant du côté
F
G
de la caténaire.
Question 1
x
La motrice M est branchée entre les rails et le contact C entre le
L
pantographe et la caténaire. On supposera que son moteur doit être
alimenté par un courant constant I. La motrice peut donc être schématisée
par une source de courant de courant électromoteur I = 800 A. De plus la
caténaire présente une résistance linéique (rapport de la résistance à la
longueur) de valeur r = 5.10–5 Ω.m–1 , alors que la résistance des rails est
E
I
S1
négligeable.
M
1) On considère une section de ligne de longueur L alimentée par deux
sous-stations. On note x = AC la longueur de caténaire séparant la motrice
x
Question 2
de la sous-station S1 et U la tension aux bornes de la motrice.
L
Exprimer la chute de tension ∆U = E – U en fonction de E, r, x, L et I.
Déterminer la limitation sur la distance L entre les deux sous-stations pour
que ∆U ne dépasse pas ∆UM = 45 V.
2) Une section de longueur L est maintenant alimentée par une seule
E
station S située à son extrémité. La caténaire est constituée de deux fils
I
S2
S1
identiques AB et A'B' de longueurs L et de résistances linéiques r, reliés à
M
leurs extrémités. Le pantographe n’est en contact qu’avec un des deux fils..
Exprimer de nouveau ∆U = E – U en fonction des données et calculer la
x
Question 3
valeur maximale de la distance L pour limiter la chute de tension à ∆UM =
45 V.
3) On revient à un système de deux stations S1 et S2, mais avec une caténaire à deux fils connectés par leurs
extrémités et leur milieu. Le pantographe n’est en contact qu’avec un des deux fils.
Exprimer ∆U = E – U en fonction des données et calculer, comme précédemment, la valeur maximale de L.
4) Conclusion : quel est le montage le plus avantageux ?
5) Comment traiter la configuration de la première question si la résistance des rails n’est pas négligeable ?
E
E
Réponses
I ; 1) valeur de R à T0 ; 2) α = −B /T ; 3) B = 3672 K ; 4) R ( 0 ° C ) = 37 089 Ω ; R ( 100 ° C ) = 1007 Ω ;
2
5) la variation de la résistance est due essentiellement à la variation de la résistivité ;
eR
e
∆v1
eR1
; 7) Rd R ; v1 =
; 8) S =
; 9) R1 = R0 ;
≈
6) v1 =
R + R1
1 + R1 ( 1/ R + 1/ Rd )
∆R
( R + R1 )2
∆v1
e
SM =
; R1 − r = 89, 8 Ω ; ∆R =
= 0, 44 Ω ; 10) à sensibilité est maximale, v1 = e / 2 , donc
4R0
SM
1
1
⎛
⎞⎟
−
∆v1 = ∆e / 2 ; ∆e doit être inférieur à 0,02 V ; 11) v2 = v ( B ) − v ( A ) = e ⎜⎜
; 12)
⎝ 1 + R2 / R (T ) 1 + R4 / R3 ⎟⎟⎠
R2
R
∆R ∆e
1
1
e
⎛
⎞⎟
−
; 14) R2 = R0 ; S M =
; 16) ∆v2 =
.
= 4 ; 13) v2 = e ⎜⎜
4R0
R0
R3
R0 4
⎝ 1 + R2 / R 1 + R2 / R0 ⎠⎟⎟
II. 1) K = (c + 1) − 2σ(c − 1) = 2, 05
∆R1 = R1KK 1F = 0, 07Ω ; 2.a)
R2 ⎤
⎡ R1
E ∆R1
U AC = E ⎢
−
= 1, 4.10−4 V ; 3.a)
⎥ ; 2.b) ∆U AC =
4R
⎣⎢ R1 + R4 R2 + R3 ⎦⎥
E (∆R1 + ∆R3 − ∆R4 − ∆R2 )
∆U AC =
; 3.b) coller J1 et J3 du coté où la poutre est en
4R
extension et J2 et J4 du coté où la poutre est en compression ; 3.c) ∆U AC = 5, 7.10−4 V ;
J3
J1
J4
J2
4) R1 − R2 r / 2 = 3 Ω ; R3 − R4 −r / 2 = −3 Ω .
rIx ( L − x )
4∆U M
x ( 2L − x ) rI
;L<
; L < 2250 m ; 3)
= 4500 m ; 2) ∆U =
L
rI
2L
( 2L − 3x ) xrI
6∆U M
; L<
∆U =
= 6750 m ; 4) la configuration 1 est préférable ; 5) considérer r = r1 + r2 .
rI
2L
III. 1) ∆U =
Corrigés
I.
1) R0 représente la valeur de R à T = T0 .
B
B
1 dR
B
; en dérivant cette relation par rapport à T : α =
2) ln R = ln R0 + −
=− 2 .
T T0
R dT
T
3) B = −αT 2 = 4,135 × 10−2 × 2982 = 3672 K .
⎛ 3 672 3 672 ⎞⎟
⎛ 3 672 3 672 ⎞⎟
⎟ = 37 089 Ω ; R ( 100 ° C ) = 12 000 exp ⎜⎜
⎟ = 1007 Ω .
−
−
4) R ( 0 ° C ) = 12 000 exp ⎜⎜
⎟
⎜⎝ 273
⎜⎝ 373
298 ⎠⎟
298 ⎠⎟⎟
L
d ln R
d ln ρ d ln L d ln S
; d'où :
.
=
+
−
S
dT
dT
dT
dT
d ln S
d ln L
d ln ρ
Si la dilatation est isotrope,
−λ.
=2
= 2λ , soit α =
dT
dT
dT
Comme α ≈ −4.10−2 et λ = 10−5 , la variation de la résistance est due essentiellement à la variation de la résistivité,
la variation des dimensions produisant un effet négligeable.
6) C'est un montage diviseur de tension : le même courant parcourt r + ( R1 − r ) et R & Rd . D'où :
e
v1
e
e
=
, soit v1 =
.
=
R
⎛1
1 ⎞⎟
R1 + R & Rd
R & Rd
1
1+
1 + R1 ⎜⎜ +
R & Rd
⎝ R Rd ⎠⎟
e
eR
7) v1 ne dépend pas de Rd si Rd R , ce qui est assez facilement réalisé. Alors v1 =
.
=
R1
R + R1
1+
R
dv1
eR1
=
8) En dérivant la relation précédente, on obtient
.
dR
( R + R1 )2
∆v1
eR1
≈
En assimilant les petites variations à des différentielles : S =
.
∆R
( R + R1 )2
e
9) S = 2
est maximum quand R02 / R1 + R1 est minimum ; or il s'agit de la somme de deux
R0 / R1 + 2R0 + R1
5) R = ρ
nombres de produit déterminé R02 ; cette somme est minimum quand les deux termes sont égaux, soit quand R1 = R0 .
e
La sensibilité maximale est alors S M =
.
4R0
AN : R1 − r = 89, 8 Ω ; S M = 0, 0229 V/ Ω .
∆v1
0, 01
=
= 0, 44 Ω .
SM
0, 0229
R∆e
10) Dans des conditions quelconques, ∆v1 =
. Si la sensibilité est maximale, v1 = e / 2 , donc ∆v1 = ∆e / 2 .
R + R1
∆e doit être inférieur à 0,02 V pour que ∆v1 n'excède pas 0,01 V et n'influence pas la mesure. Il faut donc une tension
d'alimentation très stable pour faire des mesures valables.
11) Les branches R (T ), R2 d'une part, R3 , R4 d'autre part, sont des diviseurs de tension :
v (C ) − v ( A )
e
e
;
=
⇒ v (C ) − v ( A ) =
R2
R (T )
R (T ) + R2
1+
R (T )
v (C ) − v ( B )
e
e
.
=
⇒ v (C ) − v ( B ) =
R
R3
R3 + R4
1+ 4
R3
1
1 ⎞
⎛
⎟.
En retranchant membre à membre, il vient : v2 = v ( B ) − v ( A ) = e ⎜⎜
−
R4 ⎟⎟⎟
⎜⎜ 1 + R2
1
+
⎟
⎜⎝
R (T )
R3 ⎠⎟
R
R
12) v2 est nul si 2 = 4 .
R0
R3
1 ⎞
⎛ 1
⎟⎟
13) v2 = e ⎜⎜
−
R
⎜⎜ 1 + 2 1 + R2 ⎟⎟
⎟
⎝⎜
R
R0 ⎠⎟
On détecte tout juste ∆R =
dv2
eR2
=
qui est semblable à la relation trouvée dans
dR
( R + R2 )2
e
la question 8. La sensibilité est donc maximale pour R2 = R0 et vaut alors
.
4R0
15) Avec un seul calibre, les deux méthodes ont même sensibilité. Si des calibres nettement inférieurs à e sont
disponibles, le pont de Wheastone permet de les utiliser, car à l'équilibre v2 est nul ; le capteur est alors plus sensible
monté sur un pont de Wheatstone que sur un montage potentiométrique.
∆R ∆e
e ( R − R0 ) R2
, d'où ∆v2 =
. L'influence des fluctuations de
16) De la relation de 13), on déduit v2 =
( R + R0 )( R0 + R2 )
R0 4
e est beaucoup plus faible que dans le cas du montage potentiométrique si ∆R est petit.
14) En dérivant la relation précédente, on obtient S =
II. Pont de Wheatstone.
v du − u dv
y dx − x dy
⎛ x ⎞⎟ (x + y )dx − x (dx + dy )
, on obtient : d ⎜⎜
.
=
=
⎟
2
⎟
⎝x + y ⎠
v
(x + y )
(x + y )2
dR1
d ρ dl ds
dV
dl ds
dl ds
dl ds
1.
= d (ln R1 ) = d (ln ρ + ln l − ln s ) =
+ −
=c
+ −
=c
+
+ −
ρ
R1
l
s
V
l
s
l
s
l
s
dR1
dl
ds
dl
= (c + 1) + (c − 1) = [(c + 1) − 2σ(c − 1)]
R1
l
s
l
dV
dl ds
Comme V = ls ,
=
+
et K = (c + 1) − 2σ(c − 1) = 2,13 − 2 × 0, 3 × 0,13 = 2, 05
V
l
s
∆R1 = R1KK1F = 350 × 2, 05 × 10−5 × 10 = 0, 07Ω
0. En utilisant d
( uv ) =
2
(
)
2. a. Supposons V (N ) = 0 ; alors V (P ) = E . Appliquons le
théorème de Millman aux points A et C :
E
E
R4
ER1
R3
ER2
V (A) =
V (C ) =
=
=
1
1
1
1
R1 + R4
R2 + R3
+
+
R1
R4
R2
R3
⎡ R1
⎤
R2
⎥
U AC = E ⎢
−
⎢⎣ R1 + R4 R2 + R3 ⎥⎦
2.b. La relation du préliminaire montre que
R4 dR1
E ∆R1
2 × 0,1
∆U AC =
=
= 1, 4.10−4 V
dU AC = E
(R1 + R4 )2
4R
4 × 350
.
Figure 2
3.a. En utilisant la relation du préliminaire,
R
dR
R
dR
R
dR
R
dR
−
−
⎡ 4 1
1
4
3
2
2
3 ⎤
⎥
dU AC = E ⎢
−
2
⎢ (R1 + R4 )2
⎥
(
)
R
R
+
2
3
⎣
⎦
J3
E (∆R1 + ∆R3 − ∆R4 − ∆R2 )
∆U AC =
4R
3.b. Il faut coller J1 et J3 du coté où la poutre est en extension et J2 et J4 du coté où la poutre
J1
est en compression.
−4
3.c. La tension est le quadruple de celle de la question 2.b : ∆U AC = 5, 7.10 V .
4. Les deux équilibres impliquent
R1
R
= 4
R2
R3
R2
R4
=
R1
R3 + r
2
⎛R ⎞
R +r
qui montre que R1 ≠ R2 ;
Le quotient membre à membre donne : ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟ = 3
⎜⎝ R2 ⎠
R3
R1
r
r
rR
r
= 1+
1+
R1 − R2 = 2 = 3 Ω
R2
R3
2R3
2R3
2
R
R
r
r
On en tire 4 = 1 1 +
R3 − R4 − = −3 Ω
R3
R2
2R3
2
III.
J4
J2
1)
∆U = xri1 = ( L − x ) ri2
(
)
∆U 1
1
L∆U
+
=
E
r x
L−x
rx ( L − x )
rIx ( L − x )
∆U =
L
d ∆U
rI ( L − 2x )
L
=
> 0 si x <
dx
L
2
qui montre que ∆U ( x ) est maximum pour x = L / 2 . Alors ∆U = rLI / 4
Remarques
I = i1 + i2 =
i2
i1
I
E
E −U
E −U
+
=I
rx
r (L − x )
b) le produit de deux nombres, x et L − x , dont la somme L est déterminée est maximum quand ils sont égaux :
x = L /2 .
rLI
4∆U M
4 × 45
< ∆U M ⇒ L <
=
L < 4500 m
On veut donc que
4
rI
5.10−5 × 800
1
∆U 1
+
2) Le raisonnement est similaire : ∆U = xri1 = ( 2L − x ) ri2 I = i1 + i2 =
2L − x
r x
Il suffit de reprendre les résultats de la question 1 et d’y remplacer L par 2L , donc 2L < 4500 m L < 2250 m
a) on peut abréger le calcul en écrivant la loi des nœuds en fonction des potentiels :
(
)
3) Les trois courants marqués i2 sur la figure sont égaux, car ce sont les
i2
i2
courants dans des résistances égales rL / 2 dont les bornes sont au même
i1
i2
3i2
potentiel.
E
I
E
L
L
∆U = xri1 =
− x r 3i2 + ri2
2
2
∆U
3∆U
2L∆U
+
=
I = i1 + 3i2 =
( 2L − 3x ) r
( 2L − 3x ) xr
xr
( 2L − 3x ) xrI
∆U =
2L
∆U est maximum quand ( 2L − 3x ) x est maximum
d ( ( 2L − 3x ) x )
L
L
= 2L − 6x > 0 si x < , donc ∆U est maximum quand x = . Alors
dx
3
3
rLI
6∆U M
6 × 45
∆U =
< ∆U M ⇒ L <
=
L < 6750 m
6
rI
5.10−5 × 800
On peut aussi utiliser le fait que le produit de 2L − 3x par 3x est maximum quand ces nombres sont égaux.
4) La configuration 2 est désavantageuse par rapport à la configuration 1, car elle nécessite le même nombre de sousstations et deux fois plus de câble.
La comparaison entre les configurations 1 et 3 dépend du coût des sous-stations, que 3 économise et du coût du
câble, que 1 économise ; on peut aussi tenir le raisonnement suivant : au lieu de prendre un câble de longueur double
comme dans la configuration 3, on pourrait réaliser la configuration 1 en doublant la section d'un câble unique, sans
changer la quantité de métal employé, ce qui permettrait de diviser par 2 la résistance linéique, donc de doubler
l'espacement des sous-stations ; la distance des sous-stations, 9000 m, serait alors plus performante que 6750 m, donc la
configuration 1 est préférable.
5) Il suffit de considérer que r est la somme des résistances
r1x
(r1 + r2)x
linéiques r1 de la caténaire et r2 des rails pour se ramener au
problème précédent :
équivaut à E
E
(
)
r2x