Guidage Magnétique - Laboratoire Angevin de Recherche en

Guidage Magnétique
Guillaume Baffet
Juillet 2004
Résumé
Dans le domaine de la sécurité et du contrôle des véhicules intelligents,
la localisation relative à la chaussée a suscité le développement de diverses
technologies telles que le guidage magnétique, le guidage optique, la navigation inertielle et le système de positionnement global (GPS). Ce rapport se
focalise sur le contrôle latéral par guidage magnétique. L’objectif du projet
”guidage magnétique”1 est de mettre en place un dispositif capable de réguler
les commandes d’un véhicule (accélération, direction, ...) pour que celui-ci
suive une trajectoire déterminée par une ligne d’aimants.
Ce stage s’est effectué dans le cadre du projet ARCOS (Action de Recherche
pour une COnduite Sécurisée). Ce projet concerne l’amélioration de la sécurité routière, avec l’objectif à terme de réduire les accidents de 30%. Selon
une approche globale du système véhicule-infrastructure-conducteur, le projet consiste à prévenir les sorties de route pour sécuriser la conduite automobile.
L’objectif principal de ce stage est de construire un dispositif capable de
fournir une observation de la position latérale d’un véhicule. Ce dispositif
a été élaboré pour faire une démonstration de la faisabilité du guidage magnétique au Laboratoire sur les Interactions Véhicules-Infrastructure-Conducteurs
basé à Satory (LIVIC).
Ce rapport caractérise tout d’abord le champ magnétique d’un aimant
et présente ensuite une procédure de détection des aimants et des vallées
1 Cette étude a été proposée par le laboratoire régional des ponts et chaussées d’Angers
(LRPC) et monsieur Luc Jaulin maître de conférence à l’université d’Angers
1
(passage sans aimants). Quatre méthodes de localisation du véhicule sont
présentées, dont deux ont été développées au cours de ce stage : la localisation
par filtre de Kalman et la localisation par inversion.
Mots-Clefs :
véhicule intelligent, aimant permanent, ligne d’aimants, localisation d’un
aimant, filtre de Kalman, gradient conjugué.
2
Abstract
In advanced vehicule control and safety systems, position measurement
is an important topic for the identification of vehicule locations. Technologies developed for such purposes include electrically powered wire, computer
vision, magnetic sensing, optical sensing, inertia navigation and global positioning systems. This report2 focuses on magnetic sensing systems.
This research is developped for ARCOS project (Research Action for Secure Driving). This project aims at improving road safety, with a goal of 30%
accidents reduction. ARCOS considers vehicle driver and road as a whole
system. The project aims at enhancing driving safety on avoiding lane exit.
This report first characterizes and presents two mathematicals models
for magnetic field magnet. then, one detection method and two vehicule
localisations methods are discussed. This report presents a Kalman filter for
the prediction and correction of vehicule state and an inversion method for
localisation.
Keywords :
Advanced Vehicule Control Systems, Permanent Magnets, Roadway Guidance Markers, Kalman filter.
1
Introduction
Le guidage magnétique est une technologie prometteuse qui a été développée pour le positionnement et le guidage des véhicules contrôlés de sécurité
avancée (AVCSS). La localisation du véhicule s’effectue par l’intermédiaire de
magnétomètres fixés sur le véhicule et d’une série d’aimants introduite dans
la chaussée (voir la figure 1). Ce rapport présente diverses méthodes de localisation dont deux ont été développées au cours de ce stage. Des essais ont
été effectués pour régler les diverses procédures (détection et localisations)
et une démonstration a été réalisée sur les pistes du LIVIC:
Ce document contient six principales études :
2 This work was performed as part of the LRPC program of Angers, France, and M.
Luc Jaulin teacher of the university of Angers
3
Figure 1: Dispositif de localisation du véhicule
(1) Les caractéristiques et modèles du champ magnétique de l’aimant.
(2) Les perturbations.
(3) Détection des pics et des vallées.
(4) Présentation des méthodes de localisation.
(5) Localisation du véhicule par filtre de Kalman.
(6) Localisation du véhicule par la méthode du gradient conjugué.
2
Caractéristiques du champ magnétique de
l’aimant
L’objectif de ce chapitre est de présenter les deux modélisations qui ont été
établies pour caractériser le système Aimant-Magnétomètre de la figure 2.
Le dispositif est composé d’un magnétomètre ”535 3 axis miniature fluxgate
magnetometer system” et d’un aimant Néodyme N-35DIA25X10M dont l’expression du champ magnétique est à déterminer. Pour caractériser l’allure
du champ magnétique de l’aimant, nous disposons du montage expérimental
de la figure 3. Le magnétomètre est fixé au centre du plan supérieur du volume et l’aimant est positionné sur la partie mobile du dispositif. La figure
4 illustre l’ensemble des positions (xi; yj ) que peut effectuer la partie mobile
du dispositif, pour une hauteur zk fixée.
Les figures 5, 6, 7, 8, 9 et 10 représentent les mesures des composantes du
champ magnétique de l’aimant selon deux vues. Les composantes longitudinales Bx et latérales By présentent une symétrie par rapport à l’origine, les
fonctions By (x = 0; y) et Bx(x; y = 0) sont impaires. Ces deux composantes
valent 0 mG au centre du repère, et atteignent leurs amplitudes maximales de
320 milli-Gauss à une distance d’environ 15 cm de l’aimant. Les changements
4
Figure 2: Système Aimant-Magnétomètre
Figure 3: Dispositif expérimental
5
Figure 4: Les positions (xi; yj ) pour une hauteur z k fixée.
6
Figure 5: Composante magnétique Bx, hauteur du magnétomètre z = 22 cm
de signes des composantes latérales et longitudinales sont utilisées dans une
méthode de C-Y.Chan [1] pour indiquer la présence d’un aimant. La composante verticale Bz présente une symétrie par rapport à l’axe vertical centré
sur l’origine. L’amplitude de ce champ atteint sa valeur maximale de 750 mG
à l’origine pour décroître jusqu’à 0 mG à une distance d’environ 40 cm de
l’aimant. La composante verticale possède l’amplitude la plus élevée lorsque
le magnétomètre est au dessus de l’aimant où (x; y) = (0; 0). La mesure
d’amplitude de Bz permet de détecter la présence d’un aimant [1].
Les figures 8 et 9 mettent en évidence l’existence de décalages entre les
positions des maximums des champs Bx et By et les axes du repère. Ces
décalages ne sont pas le reflet de la symétrie cylindrique imposée par le système, ils sont dus à la composition interne du magnétomètre. Effectivement,
le magnétomètre est constitué de trois magnétomètres indépendants et décalés, mesurant chacun leur champ propre (figure 11).
Remarque : Les courbes du champ magnétique Bz ne sont pas décalées
car le positionnement de l’origine du repère a été effectué selon la tension Vz :
7
Figure 6: Composante magnétique By , hauteur du magnétomètre z = 22 cm
Figure 7: Composante magnétique Bz , hauteur du magnétomètre z = 22 cm
8
Figure 8: Composante magnétique Bx, hauteur du magnétomètre z = 22 cm
Figure 9: Composante magnétique By , hauteur du magnétomètre z = 22 cm
9
Figure 10: Composante magnétique Bz , hauteur du magnétomètre z = 22
cm
Figure 11: Composition interne du magnétomètre
10
2.1
Modèles du champ magnétique de l’aimant
La documentation du constructeur de l’aimant ne fournie pas d’informations
sur les modèles du champ magnétique de l’aimant. Par conséquent, en m’inspirant de mes cours d’électromagnétisme, j’ai développé deux modèles de
champ magnétique de l’aimant. Ces deux modèles ont été construits sur la
base que les lignes de champs de l’aimant et celles d’un dipôle magnétique
(une spire) présentent la même allure (figure 12) .
Figure 12: Lignes de champs d’une spire et d’un aimant
L’expression analytique du champ d’un dipôle magnétique, fournie dans
l’ouvrage J-P. Pérez [5], est la suivante :
!
B (x; y; z) =
!
¡ 2
¢ !´
!
À 0M ³
2
2
3xz
+3yz
j
+
2z
¡
x
¡
y
i
k ;
4¼r 5
p
où r = x2 + y2 + z 2 , À 0 est la perméabilité du vide, et M est le moment
magnétique. Deux modèles de la spire ont été étudiés : le modèle de la spire
M1 et le modèle de la somme de spire M2.
Modèle de la spire M1 (K; R) : En supposant que les lignes de champs
d’un aimant et d’une spire sont quasiment identiques, l’expression analytique
du champ magnétique d’un aimant cylindrique à la même forme que celle
11
d’une spire :
!
!
¡ 2
¢ !´
K gauss ³
2
2
j
3xz
+3yz
+
2z
¡
x
¡
y
(1)
i
k ;
r5
où Kgauss est une constante relative à l’aimant utilisé. On rajoute le paramètre
R qui permet de prendre en compte le rayon de l’aimant dans le terme r5 .
Les tensions aux bornes du magnétomètre sont proportionnelles aux champs
magnétiques. Le modèle M1(K; R) du système Aimant-Magnétomètre est le
suivant :
3xz
V x(x; y; z) = K
(2)
5 ;
(x2 + y2 + z 2 + R2) 2
3yz
Vy (x; y; z) = K
5 ;
(x2 + y2 + z 2 + R2) 2
Ã
!
(3z 2)
1
Vz (x; y; z) = K
;
5 ¡
3
(x2 + y2 + z 2 + R2 ) 2
(x2 + y2 + z 2 + R2) 2
!
B (x; y; z) =
!
!
!
!
V M1 ;xi;yj ;zk (K; R) = Vx(xi ; yj; z k) i +Vy (xi ; yj; z k) j +Vz (xi ; yj ; zk ) k ; (3)
où K est une constante relative au magnétomètre utilisé et au modèle M 1.
Modèle de la somme de spires M2(K; L; R) : Le modèle M1 ne
tient pas compte de la hauteur L de l’aimant, qui dans certains cas, n’est
pas négligeable. Pour palier ce problème, j’ai construit le modèle M2 en
considérant l’aimant comme la somme de spires, ceci est représenté sur la
figure 13.
En appliquant le principe de superposition, je suppose que le champ magnétique résultant est la somme des champs magnétiques des spires :
¶
Z Lµ
¡!
¹ 0IR2
3x(z + l)
Bx (x; y; z) =
5 dl;
4
0
(x2 + y 2 + (z + l)2 ) 2
Z Lµ
¶
¡!
¹ 0IR2
3y(z + l)
By (x; y; z) =
5 dl;
4
0
(x2 + y 2 + (z + l)2 ) 2
!
¶Ã
Z Lµ
¡!
¹ 0IR2
(3(z + l)2 )
1
Bz (x; y; z) =
dl;
5 ¡
3
4
0
(x2 + y2 + (z + l)2) 2
(x2 + y 2 + (z + l)2 ) 2
où L est une constante représentant la longueur de l’aimant. En considérant
que
z À L;
12
Figure 13: Modèlisation de l’aimant par une somme de spire
les expressions du champ magnétique deviennent
µ
¶
¡!
3x(z + L2 )
¹ 0IR2L
Bx (x; y; z) =
5;
4
(x2 + y2 + z 2) 2
µ
¶
¡!
3x(z + L2 )
¹ 0IR2L
By (x; y; z) =
5;
4
(x2 + y2 + z 2) 2
!
µ
¶Ã 2
2
¡!
3(z + zL + L3 )
¹ 0IR2L
1
Bz (x; y; z) =
:
5 ¡
3
4
(x2 + y2 + z 2) 2
(x2 + y2 + z 2) 2
On rajoute le paramètre R qui reflète du rayon de l’aimant dans le terme
r . Les tensions aux bornes du magnétomètre sont proportionnelles aux
champs magnétiques. Le modèle M2 (K; L; R) du système Aimant-Magnétomètre
est le suivant :
5
V x(x; y; z) = K
Vy (x; y; z) = K
Vz (x; y; z) = K
3x(z + L2 )
5
;
5
;
(x2 + y2 + z 2 + R2) 2
3x(z + L2 )
(x2 + y2 + z 2 + R2) 2
Ã
2
3(z 2 + zL + L3 )
(4)
5
(x2 + y2 + z 2 + R2 ) 2
13
¡
1
3
(x2 + y2 + z 2 + R2) 2
!
;
!
!
!
!
V M2 ;xi;yj ;zk (K; R) = Vx(xi ; yj; z k) i +Vy (xi ; yj; z k) j +Vz (xi ; yj ; zk ) k ; (5)
où K est une constante relative au magnétomètre utilisé et au modèle M 2.
2.2
Estimations des paramètres des modèles M1 et M 2
J’ai cherché les paramètres optimaux (K1; R1) du modèle M1(K; R) et les
paramètres optimaux (K2; L2; R2 ) du modèle M2(K; L; R); de sorte que les
modèles M1 (K1; R1 ) et M2 (K2; L2; R2) se rapprochent le plus des mesures du
champ magnétique de l’aimant. Pour ce faire, j’ai confronté les modèles M 1
et M 2 à un ensemble de mesures Y: Cet ensemble de mesures a été obtenu en
! !
!
déplaçant l’aimant selon les axes ex; ey et ez du dispositif expérimental de la
figure 4, soit Y est l’ensemble de mesure suivant :
8
9
>
>
>
>
>
>
<
=
Y = [Vx; V y; Vz ](x1;y1 ;z1) ; ::: [Vx; Vy ; Vz ] (xi ;yj ;zk ); :::; [Vx; V y; Vz ](x11;y11;z 4)
>
>
|
{z
}
>
>
>
>
:
!
;
V mesure;ij k
pour les positions :
fx1 = ¡25; x2 = ¡20; :::; x5 = 0; :::; x10 = 20; x11 = 25g
fy1 = ¡25; y2 = ¡20; :::; y5 = 0; :::; y10 = 20; y11 = 25g
fz1 = 22; z 2 = 24; z3 = 26; z4 = 28g ;
avec
!
V mesure;ij k= [Vx; V y; Vz ](xi;yj ;zk ) :
Soit J1(K; R); le critère suivant
(11;11;4)
J1(K; R) =
X
i;j;k=(1;1;1)
!
!
k V mesure;ijk ¡ V M1;xi;yj ;zk (K; R)k
J’ai obtenu les paramètres optimaux (K1; R1) du modèle M1 en minimisant le critère J1 avec la méthode de Quasi-Newton BFGS (BroydenFletcher-Goldfarb-Shanno). J’ai trouvé les paramètres (K2 ; L2 et R2) du modèle M2 de la même façon, en minimisant le critère J2 :
(11;11;4)
J2(K; L; R) =
X
i;j;k=(1;1;1)
!
!
k V mesure;ijk ¡ V M2;xi;yj ;zk (K; R; L)k
14
Les paramètres optimaux des modèles M1 et M2 sont
K1
R1
K2
L2
R2
=
=
=
=
=
¡9; 5758:103 V:cm3
2; 1315 cm
¡9; 4801:103 V:cm3
0; 7187 cm
3; 7591 cm
Remarque : Les valeurs optimales de J1 (K1; R1) et J2 (K2; L2; R2) indiquent la différence qu’il y a entre les modèles (M 1, M 2) avec l’ensemble des
mesures Y , or ces valeurs sont du même ordre de grandeur, par conséquent
on ne peut donc pas émettre l’hypothèse qu’une des deux modélisations est
”meilleure” que l’autre. Par contre, il serait intéressant de faire la même
étude avec un aimant de longueur L assez grande pour qu’il y ait une différence importante entre les modèle M1 et M2.
3
Les perturbations
Le rapport de H-S.Tan [2] montre que les principales sources de perturbations
mesurées par les magnétomètres du véhicule sont :
(1)
(2)
(3)
(4)
Le champ terrestre.
Les distorsions locales de champ magnétique.
Les champs internes du véhicule.
Les perturbations électriques.
La perturbation du champ magnétique terrestre est la plus fréquente
des perturbations, elle est de l’ordre de 1 Gauss (l’amplitude maximale de
l’aimant est environ 0:750 Gauss pour une hauteur de 27 cm). La valeur
du champ terrestre mesuré par le magnétomètre dépend de la position du
véhicule sur la terre, de son altitude et de son orientation. Bien que le
champ terrestre varie lentement, les freinages brusques ou les changements
d’orientation rapide du véhicule peuvent modifier de façon significative les
valeurs des mesures le long des axes du véhicule (figure 14). Les perturbations du champ magnétique terrestre peuvent être mesurées lorsque les magnétomètres ne sont pas au contact d’un aimant. Effectivement, la mesure du
champ magnétique ”à vide, sans aimant” est principalement celle du champ
magnétique terrestre.
15
Figure 14: Illustration d’un changement brusque de direction
Les problèmes de bruits les plus difficiles à traiter sont causés par des
anomalies locales dues à la présence de structures métalliques sur la chaussée
ou sur le véhicule. Les lignes électriques enterrées sont aussi d’autres sources
de distorsions locales du champ magnétique. Les structures métalliques peuvent modifier de façon significative le champ magnétique de la chaussée, et
cette variation est parfois difficile à identifier.
La troisième source de perturbations provient des champs électriques
générés par les divers moteurs du véhicule. Ces bruits varient selon la vitesse
de rotation des moteurs et de leurs distances avec le magnétomètre. Parfois,
un petit changement de position des magnétomètres permet de diminuer ces
perturbations.
La dernière source de perturbation commune résulte des bruits électroniques du signal mesuré lui-même. Ces bruits peuvent être créés par les fluctuations de la source électrique, ou encore par une faible isolation des fils
électriques. Souvent, la perturbation due à un fil électrique est d’autant plus
intense que la longueur de ce fil est importante. Il en résulte qu’il est nécessaire d’isoler les fils électriques afin d’écarter ces perturbations. Bien que des
filtres passes-bas réduisent l’amplitude de ces perturbations, il est à noter
que les procédés de localisation ne fonctionnent plus lorsque l’amplitude de
ces bruits dépassent 0:04 Gauss.
4
Détection des pics et des vallées
La procédure de détection des pics et des vallées sert à déterminer la présence
(les pics) ou l’absence (les vallées) d’aimant au contact des magnétomètres du
véhicule. Lorsque les magnétomètres se trouve dans une vallée, les mesures du
16
Figure 15: Distance latérale, longitudinale. Pics et vallées.
champ magnétique sont principalement celles du champ magnétique terrestre.
Lors des pics, les mesures sont celles du champ d’un aimant noyé dans les
perturbations.
Les distances longitudinales et latérales sont définies sur la figure 15.
Sous l’hypothèse que la distance latérale du véhicule est faible, l’amplitude
du champ magnétique Bz est plus importante que celles de Bx et By lorsque
la distance longitudinale est nulle (x = 0): Ces positions sont appelées les pics
car elles correspondent aux points où le champ Bz atteint un maximum au
cours de la trajectoire du véhicule. Lorsque le champ magnétique Bz décrit
un minimum, cela signifie que l’aimant est distant du magnétomètre et que
les champs mesurés sont ceux des perturbations, ces positions sont appelées
les vallées (figure 15).
Afin de mettre en évidence les pics et les vallées, une expérience a été
réalisée avec deux magnétomètres fixés sur un véhicule roulant sur une route
composée de 8 aimants disposés à 2 mètres d’intervalle (figure 16). Les figures 17, 18, 19, 20, 21 et 22 sont les relevés des mesures (Bz1 ; Bx1; By1) et
(Bz2 ; Bx2;By2 ) des magnétomètres 1 et 2. On retrouve sur les figures 17 et
18 les 8 pics correspondants aux 8 aimants et les 9 vallées correspondants
aux passages sans aimant. Lors des passages sans aimants le champ magnétique mesuré est principalement celui du champ magnétique terrestre. Sur
la figure 17, les pics du magnétomètre 1 sont plus importants que ceux du
magnétomètre 2, ceci signifie que pour ce test, la ligne d’aimant était plus
proche du magnétomètre 1. A l’inverse, pour le test de la figure 18, la ligne
d’aimant était plus proche du magnétomètre 2.
17
Figure 16: Acquisition du champ magnétique sur une route constituée de 8
aimants
Figure 17: Mesure des champs Bz1 et Bz2 en fonction du temps, à une vitesse
V = 1:2 m=s
18
Figure 18: Mesure des champs Bz1 et Bz2 en fonction du temps, à une vitesse
V = 5 m=s
Figure 19: Mesure des champs Bx1 et Bx2 en fonction du temps, à une vitesse
V = 1:2 m=s
19
Figure 20: Mesure des champs Bx1 et Bx2 en fonction du temps, à une vitesse
V = 5 m=s
Figure 21: Mesure des champs By1 et By2 en fonction du temps, à une vitesse
V = 1:2 m=s
20
Figure 22: Mesure des champs By1 et By2 en fonction du temps, à une vitesse
V = 5 m=s
Deux méthodes sont utilisées pour détecter les pics :
(1) la méthode de variance (utilise Bx, By, Bz ),
(2) la méthode de commutation (utilise Bx).
La première méthode de C-Y.Chan [1] consiste à utiliser les variances
instantanées du champ magnétique suivantes :
¾x(tk ) =
k
X
i=k¡N
¾y (tk ) =
k
X
i=k¡N
¾ z (tk ) =
k
X
i=k¡N
j Bx(ti)¡ Bx (tk ) j;
(6)
j By (ti)¡ By (tk) j;
(7)
j Bz (ti )¡ Bz (tk ) j;
(8)
où Bx, By et Bz sont les moyennes courantes des N dernières mesures de Bx,
Byet Bz , telles que
k
1 X
Bx (tk ) =
B (t );
N i=k¡N x i
21
(9)
By (tk ) =
k
1 X
By (ti )
N i=k¡N
k
1 X
Bz (tk ) =
B (t )
N i=k¡N z i
(10)
(11)
Les pics sont identifiés par les relations :
½
¾
^
Si j Bx(tk )¡ Bxterre j> Hx et ¾ x(tk ) > ²x
! pic détecté, (12)
½
¾
^
ou Si j By (tk)¡ B yterre j> Hy et ¾y (tk) > ²y
! pic détecté, (13)
½
¾
^
ou Si j Bz (tk)¡ B zterre j> Hz et ¾ z (tk ) > ²z
! pic détecté, (14)
^
^
^
où B xterre; B yterre et B zterre sont les mesures du champ magnétique terrestre.
La deuxième méthode est utilisée pour confirmer la première méthode.
Elle consiste à détecter le changement de signe du champ longitudinal Bx
lorsque l’on atteint un pic. Ces changements de signe sont illustrés par les
figures 19 et 20.
Deux méthodes sont utilisées pour détecter les vallées :
(1) la méthode de variance (utilise Bz ),
(2) la méthode de prévision (utilise la vitesse V ).
La première méthode de consiste à utiliser la variance instantanée (expression 6) du champ magnétique Bz , et de tester la condition suivante :
Si
½
^
j Bz (tk )¡ B zterre j< B et ¾z (tk ) < ² z
¾
! vallée détectée.
(15)
L’équation 15 suggère que l’aimant est éloigné du magnétomètre et que
le champ de l’aimant est alors négligeable.
La deuxième méthode consiste à prévoir que le système ce trouve dans une
vallée, à partir dernier aimant détecté et de la vitesse du véhicule. Exemple
: considérons une chaussée dont les aimants sont disposés avec 2 mètres
d’intervalle, les vallées se situent à 1 mètre des aimants. Lorsqu’un aimant
est détecté, une variable de distance s’initialise à 0 et évolue en fonction de la
vitesse du véhicule et de la fréquence du programme. Lorsque cette variable
atteint la valeur de 1 mètre, cela signifie que l’on est en présence d’une vallée.
22
Figure 23: Lignes de référence et aimants
5
Procédure de détection des pics et des vallées
J’ai programmé la procédure de détection dans une dll en langage C + +,
puis je l’ai intégré dans un programme d’acquisition fonctionnant en langage
Labview. J’ai mis en place ce dispositif dans l’objectif de valider la procédure
de détection des pics et des vallées sur une route droite. Le véhicule est
équipé de deux magnétomètres APS5353 Axis Fluxgate, d’une carte d’acquisition 6052E (National instrument) et d’un châssis NI PXI-1042. Les deux
magnétomètres sont distants de 50 cm. Les lignes de référence indiquent la
distance qui sépare la ligne des aimants et le milieu de l’axe des deux magnétomètres (figure 24). Le conducteur du véhicule suit les lignes de référence
tracées sur la chaussée (figure 23). La ligne d’aimant est composée de 16
aimants disposés tout les deux mètres.
Après 3 passages du véhicule sur les lignes de référence (0cm; 20cm et 50cm),
aux vitesses (5km=h et 15km=h) ; la procédure de détection détecte les pics
et les vallées présentés sur les figures 25, 26, 27, 28, 29 et 30. Sur ces figures, les pics et les vallées sont respectivement représentés par les valeurs 1
et ¡1. Les figures 25, 26, 27 et 28 montrent que les 16 aimants et les 16 val23
Figure 24: Emplacement des lignes de référence, du véhicule et des aimants
lées ont été détectés, par contre, lorsque la ligne de référence est celle de 50
cm, (figure 30), les vallées du début de parcours ne sont pas détectées. Ceci
est dû au fait qu’une procédure de localisation était testée en même temps
que l’expérience et qu’elle ralentissait la procédure de détection au début du
parcours (voir le paragraphe de la page 58).
6
Présentation des méthodes de localisation
La procédure de localisation consiste à déterminer la position de l’aimant
relativement au véhicule. Diverses procédures ont été mises en place pour
localiser l’aimant. Parmi elles, on trouve les trois méthodes de localisation
développées par C-Y.Chan et H-S.Tan [2]. La première méthode, appelée
”peak-mapping ”, détermine la position latérale à partir d’une carte d’inversion donnant (y; z) à partir des mesures By et Bz du magnétomètre. La
deuxième méthode, appelée ”rapport de vecteurs (vector ratio)”, nécessite
une paire de magnétomètres pour mesurer le champ dans deux positions.
Cette méthode retourne une séquence d’estimations latérales au voisinage du
pic. La troisième méthode, appelée ”differential peak-mapping”, compare les
mesures des champs magnétiques à deux points d’observation proches pour
éliminer les perturbations supposées constantes.
Une autre méthode de localisation, développée par P.Briand [8], consiste à
déterminer la zone où se situe l’aimant en fonction du signe des composantes
du champ magnétique mesurées par les magnétomètres.
Au cours du stage de six mois au Laboratoire des Ponts et Chaussées
24
Figure 25: Pics et vallées pour une ligne de référence à 0 cm et une vitesse
de 5 km/h
25
Figure 26: Pics et vallées pour une ligne de référence à 0 cm et une vitesse
de 15 km/h
26
Figure 27: Pics et vallées pour une ligne de référence à 20 cm et une vitesse
de 5 km/h
27
Figure 28: Pics et vallées pour une ligne de référence à 20 cm et une vitesse
de 15 km/h
28
Figure 29: Pics et vallées pour une ligne de référence à 50 cm et une vitesse
de 5 km/h
29
Figure 30: Pics et vallées pour une ligne de référence à 50 cm et une vitesse
de 15 km/h
30
Figure 31: Phases 1, 2 et 3
d’Angers, j’ai développé deux méthodes de localisation. La première méthode
consiste à prévoir l’état du véhicule par l’intermédiaire d’un filtre de Kalman
étendu. La deuxième méthode consiste à inverser l’expression analytique
du champ magnétique de l’aimant par la méthode du gradient conjugué de
Fletcher et Reeves.
6.1
Les trois phases
Pour les trois méthodes décrites dans ce rapport (le ”peak-mapping”, le
”differential peak-mapping”, la ”méthode d’inversion”) , le système se décompose en trois phases :
Phase 1. Les magnétomètres sont hors de la zone de détection et
une vallée est détectée , alors le système détermine les champs magnétiques
terrestres.
Phase 2. Les magnétomètres sont hors de la zone de détection et
aucune vallée n’est détectée , alors le système est en attente.
Phase 3. Les magnétomètres sont dans une zone de détection et un
pic est détecté, alors la procédure de localisation de l’aimant s’enclenche.
Ces trois phases sont représentées sur la figure 31.
Remarque : On recherche la position relative de l’aimant lorsque les
mesures des magnétomètres présentent des valeurs significatives de la présence
d’un aimant. Seule la méthode du filtre de Kalman tente de prédire et d’estimer l’état du système lorsque les magnétomètres sont entre deux aimants.
31
7
Méthode de localisation : Le ”peak-mapping ”
Cette procédure de localisation a été développée par C-Y.Chan et H-S.Tan
[2], elle s’enclenche lorsqu’un pic est détecté, c’est à dire lorsque la distance
longitudinale est nulle (x = 0). Dans ces conditions l’équation (1) du champ
magnétique à trois dimensions peut se réduire à une équation à deux dimensions, le rapport du champ vertical sur le champ latéral devient :
Bz
2z2 ¡ y2
=
= '(y; z):
By
3yz
Lorsque z est supérieur à 8 cm et y est inférieur à 20 cm, il existe une carte
d’inversion permettant d’identifier les valeurs fy; zg à partir des champs
mesurés fBy ; Bz g.Cette carte, représentée sur la figure 32, a été établie à
partir de valeurs expérimentales, la distance y est constante sur les droites
et la distance z est constante sur les ovales. Un des avantages de cette
méthode est sa robustesse lors de fortes variations de champs magnétiques.
La méthode du ”peak-mapping ” a prouvé une meilleure efficacité que les
autres méthodes de C-Y.Chan et H-S.Tan lors des expériences effectuées par
le PATH [2].
8
Méthode de localisation : Le ”differential
peak-mapping”
Cette procédure de localisation a été développée par C-Y.Chan et H-S.Tan
[2], elle a été suggérée pour supprimer les perturbations. Sous l’hypothèse que
les champs magnétiques ambiants sont approximativement uniformes sur un
petit domaine, les champs mesurés à deux points proches (figure 33) peuvent
s’exprimer par les relations :
gauche
gauche
B gauche (tk ) = Baimant
+ Bterre + Blocal
droite
droite
B droite (tk ) = Baimant
+ Bterre + Blocal
Le champ terrestre est typiquement plus important que les perturbations
locales, par conséquent, si une différence est effectuée entre les deux points
d’observation, alors :
gauche
droite
¢B(tk ) = Bdroite (tk ) ¡ B gauche (tk ) ¼ Baimant
¡ Baimant
;
32
(16)
Figure 32: Carte d’inversion
33
les perturbations sont écartées de l’expression 16. La figure 34 illustre l’approche des différences des champs lorsque les deux magnétomètres sont distants
de 30cm. La différence des champs latéraux est minimum lorsque l’aimant
est au centre des deux magnétomètres, alors que la différence verticale change
de signe lorsque l’aimant est à gauche ou à droite du centre des deux magnétomètres. La procédure de localisation s’effectue de la même manière que
pour la méthode de peak-mapping, il existe une carte d’inversion
permet¡
¢
tant d’identifier les valeurs fy ; zg à partir des différences B droite ¡ B gauche .
Cette carte, représentée sur la figure 35, a été établie à partir de valeurs
expérimentales, la distance y est constante sur les droites et la distance z est
constante sur les ovales.
Figure 33: Représentation des magnétomètres droite et gauche
9
Méthode le localisation : Le filtre de Kalman
étendu
Cette procédure a été développée pendant ce stage au laboratoire des Ponts
et Chaussées d’Angers. Cette méthode de localisation consiste à construire
un observateur d’état du véhicule. L’estimation de la distance latérale du
véhicule relativement à la ligne d’aimants peut être fournie par un filtre de
Kalman étendu. Dans un premier temps, un modèle du système ”véhiculechaussée” est défini, et dans un deuxième temps, un filtre Kalman est construit à partir du modèle précédemment établi. J’ai mis en place un dispositif
expérimental au LPCR pour tester le filtre de Kalman.
34
Figure 34: Différence des composantes des champs de deux magnétomètres.
Figure 35: Carte d’inversion de la méthode differential peak mapping
35
Figure 36: Modèle du système ”véhicule-chaussée”
9.1
Modèle du système ”véhicule-chaussée”
Cette partie est consacrée à la modélisation simple d’une voiture présentée
dans l’ouvrage de J-P. Laumond [4]. Des modèles plus complets à trois
dimensions sont présentés dans les rapports de H. Himine [3] et K-T. Feng
[6]. Le modèle du véhicule est étudié dans l’objectif de construire un filtre
de Kalman étendu [7].
Du point de vue du conducteur, on considère que le véhicule possède la
commande de la vitesse. Prenons comme point de référence le point de coordonnées (x; y; z) = (0; 0; 0) au milieu de l’axe des roues de l’essieu arrière
(voir la figure 36). Notons V la vitesse des roues avant de la voiture. Supposons que la distance entre les trains avant et arrière soit Lo. Le vecteur
d’état du système est X = (x; y; µ; z). Le vecteur des mesures du système est
Y = (Vx1; Vy1 ; Vz1 ; Vx2; Vy2 ; Vz2), ce vecteur représente les mesures des champs
magnétiques des deux magnétomètres: On représente ce système non linéaire
36
par les équations suivantes :
Xk+1 = f (Xk ; Uk ) + ®k
Yk = g(Xk ) + ¯k
où f correspond au modèle d’évolution suivant :
02
3
1 0
1
x_ k
Vk cos µ k
B6 y_k 7
C B
C
6
7 ; V kC = B Vk sin µ k C (tk+1 ¡ tk ) + Xk ;
f(Xk ; Uk) = f B
@4 µ_ k 5
A @ 0
A
0
z_ k
(17)
(18)
et g correspond aux modèles M1(K1 ; R1 ) ou M2(K2 ; R2 ; L2 ) du champ magnétique de l’aimant présentés précédemment :
2
3xrel1zrel1
K1
5
2
2
2
2 2
x
+y
(
6
rel1
rel1+z rel1 +R1 )
3yrel1 zrel1
6K
1
5
2
3 6
2
2
x rel1 +yrel1
+z 2rel1 +R21 ) 2
6
(
Ã
!
V x1(x; y; z)
6
2
6
3z
6 V y1(x; y; z) 7 6
( rel1 )
1
K1
6
7
5 ¡
3
2
2
2
2
2
2
2
6 V z1 (x; y; z) 7 6
(xrel1+yrel1 +zrel1+R1 )
( xrel1+yrel1 +z2rel1+R12) 2
6
6
7
g(X) = 6
3xrel2zrel2
7 = 6 K1
5
6 V x2(x; y; z) 7 6
2
2
+z 2rel2 +R21 ) 2
(xrel2 +yrel2
4 V y2(x; y; z) 5 6
6
3yrel2 zrel2
6 K1
5
V z2 (x; y; z)
6
2
2
+z 2rel2 +R21 ) 2
(Ãxrel2 +yrel2
6
!
6
2
4
(3zrel2
)
1
K1
5 ¡
3
2
2
2
2
2
2
2
(xrel2+yrel2 +zrel2+R1 )
( xrel2+yrel2 +z2rel2+R12) 2
ou
2
L
3xrel1 (zrel1 + 22 )
K
2
5
6
2
+z 2rel1 +R22 ) 2
(x2rel1 +yrel1
6
L
6
3xrel1 (zrel1 + 22 )
6 K2
5
2
3 6
2
x 2rel1 +yrel1
+z 2rel1 +R22 ) 2
(
6
Ã
!
V x1(x; y; z)
6
L2
2
6 V y1(x; y; z) 7 6
3(zrel1
+zrel1L2+ 32 )
1
6
7 6K
5 ¡
3
2
6 V z1 (x; y; z) 7 6 2 (x2rel1+yrel1
+z2rel1+R22 ) 2
( x2rel1+y2rel1 +z2rel1+R22) 2
6
7
6
g(X) = 6
L
7=6
3xrel2 (zrel2 + 22 )
6 V x2(x; y; z) 7 6 K2
5
4 V y2(x; y; z) 5 6
2
+z 2rel2 +R22 ) 2
(x2rel2 +yrel2
6
L
6
3xrel2 (zrel2 + 22 )
V z2 (x; y; z)
6 K2
5
6
2
+z 2rel2 +R22 ) 2
(Ãx2rel2 +yrel2
6
!
6
L2
2
3(zrel2
+zrel2L2+ 32 )
4K
1
5 ¡
3
2
2
+z2rel2+R22 ) 2
(x2rel2+yrel2
( x2rel2+y2rel2 +z2rel2+R22) 2
37
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
Modèle M1
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
Modèle M2
, avec (xrel1; yrel1; z rel1) et (xrel2; yrel2; zrel2 ) les coordonnées de (x; y; z) relatives aux axes des magnétomètres 1 et 2: Les bruits de modèle sont représentés par ®k et les bruits de mesures sont représentés par ¯ k .
Le véhicule est équipé d’un topomètre qui fourni une impulsion électrique
lorsque le véhicule à parcouru 20 cm. En calculant l’intervalle de temps entre
deux impulsions du topomètre on en déduit la vitesse du véhicule.
9.2
Construction du filtre de Kalman étendu
Le filtrage de Kalman [7] a été introduit pour des systèmes contrôlés, pour
lesquels un régulateur fourni une commande en fonction des objectifs à atteindre. Dans notre cas, on recherche une commande de la distance latérale.
Le problème consiste à trouver une bonne estimation de l’état Xk étant données les observations Yk depuis l’instant initial jusqu’à l’instant courant l:
Le formalisme de Kalman étendu à l’ordre un représente une solution
assez simple au problème d’estimation non linéaire. Le principe consiste à
revenir, après une linéarisation au premier ordre, au filtrage linéaire décrit
dans l’annexe A1 (filtrage de kalman d’un modèle linéaire).
On en déduit un algorithme qui est testé sur une piste à Mozé.
Notation :
^
X k=k estimation du vecteur d’état X à l’instant k.
~
^
X k=k =X k=k ¡Xk erreur d’estimation de l’état X à l’instant k:
Pk=k matrice de covariance de l’erreur d’estimation.
^
X k+1=k prédiction du vecteur d’état X au temps k + 1 à partir de l’instant
k.
~
^
X k+1=k= X k+1=k ¡Xk+1 erreur de prédiction.
Pk+1=k matrice covariance de l’erreur de prédiction.
La matrice de covariance de l’erreur d’estimation sera notée :
^
^
Pk=l = E[(X k=l ¡Xk ):(X k=l ¡Xk )t ]
9.2.1
Linéarisation du problème (formulation étendue)
La linéarisation se fait autour des valeurs prédites ou estimées précédemment.
Considérons le développement de Taylor à l’ordre 1 de la fonction vecto^
rielle g, autour de la valeur prédite connue X k=k¡1 :
38
0
g(X0 + h) = g(X0 ) + g (X0):h + :::
on pose
^
alors
^
X0 + h = Xk et X0 =X k=k¡1 ) h = Xk ¡ X k=k¡1;
·
¸ µ
¶
^
@g ^
g(Xk ) = g(X k=k¡1) +
(X
) : Xk ¡ X k=k¡1 + :::
@x k=k¡1
^
^
La linéarisation est valable si Xk est proche de X k=k¡1, c’est-à-dire si l’erreur
de prédiction est petite et la linéarisation est valide.
On applique le même raisonnement pour le modèle d’évolution. Considérons le développement de Taylor à l’ordre 1 de la fonction vectorielle f ,
^
autour de la valeur prédite connue X k=k :
·
¸ µ
¶
^
^
@f ^
f (Xk; Uk ) = f(X k=k ; Uk ) +
(X ; U ) : Xk ¡ X k=k + :::
@x k=k k
On remplace les fonctions f et g par les linéarisations ci-dessus dans le modèle
non linéaire (17). En posant
·
¸
·
¸
@f ^
@g ^
Ak =
(X ; U ) et Ck =
(X
) ;
@x k=k k
@x k=k¡1
^
^
Udk = f(X k=k ; Uk ) ¡ Ak : X k=k
^
^
zk = Yk ¡ g(X k=k¡1 ) + Ck : X k=k¡1
on obtient le modèle suivant :
Xk+1 = Ak :Xk + Udk + ®k
zk = Ck :Xk + ¯ k :
9.2.2
(19)
Construction de l’algorithme du filtre de Kalman
On peut désormais appliquer les résultats de l’annexe A1 au modèle 19.
Les vecteurs zk et Yk sont égaux à un vecteur déterministe près. Donc,
39
V a r(zk ) = V ar( Yk) = Q ¯. Le filtre de Kalman est composé de deux éléments
: l’estimateur et le prédicteur. D’après les résultats de l’annexe A1, les
estimations sont régies par les équations suivantes :
(1) Pour l’estimation de l’état
µ
¶
^
^
^
X k=k = X k=k¡1 +Kk Zk ¡ C k X k=k¡1
µ
µ
¶
¶
^
^
^
^
= X k=k¡1 +Kk Y k ¡ g X k=k¡1 + C k X k=k¡1 ¡Ck X k=k¡1
µ
µ
¶¶
^
^
= X k=k¡1 +Kk Y k ¡ g X k=k¡1
(2) Pour le gain Kk
¡
¢¡1
Kk = Pk=k¡1C | C:Pk=k¡1:C | + Q¯
;
(3) Pour la matrice covariance de l’erreur de prédiction
Pk=k = (I ¡ KC) Pk=k¡1 (I ¡ K C)| + K Q¯ K | :
Les étapes de prédictions sont les suivantes :
^
^
X k+1=k = Ak X k=k +UDk
^
^
^
= Ak X k=k +f(X k=k ; Uk) ¡ Ak X k=k
^
= f (X k=k ; Uk )
et
9.3
Pk+1=k = Ak Pk=k A|k + Qk
Bilan
Avec un système non linéaire du type :
Xk+1 = f(Xk ; Uk ) + ®k ;
Yk = g(Xk ) + ¯ k
on observe l’état récursivement avec l’algorithme suivant :
40
(0) initialisation :
^
X pred = ::: et Ppred = :::
µ
¶
^
@g
C =
X pred
@X
K = Ppred C | (C:Ppred:C | + Q ¯)¡1
(1) Boucle :
Yk (= Lire les mesures
µ
µ
¶¶
^
^
^
X est = X pred +K: Yk ¡ g X pred
Pest
=
(I ¡ KC) Ppred (I ¡ K C)| + K Q¯ K |
^
fournir l’estimation X estet la variance estimée de l’erreur d’estimation
Pest , on prépare l’étape suivante
Ak
^
@f
=
@X
^
µ
^
X est; Uk
¶
X pred = f(X est ; Uk )
P pred = A:Pest:A| + Q®
µ
¶
^
@g
C =
X pred
@X
K = Ppred C | (C:Ppred:C | + Q ¯)¡1
(2) Fin boucle.
9.4
Tests du filtre de Kalman
L’objectif de cette étude est de tester le filtre pour la localisation d’un véhicule
sur une route composée d’aimants. Le dispositif mis en place comprend
2 magnétomètres, une carte d’acquisition 6052E(N ational Instrument) et
d’un châssis N I P X I ¡ 1042. L’algorithme du filtre de Kalman est programmé en langage C + +, dans une dll, puis intégré dans un programme
41
Figure 37: Lignes de référence et aimants
d’acquisition fonctionnant en langage Labview. Les aimants sont disposés
relativement à une ligne de référence (figure 53), avec une incertitude de l’ordre du centimètre. Les lignes de référence indiquent la distance qui sépare
la ligne d’aimants et le milieu de l’axe que forment les deux magnétomètres.
Pendant l’expérience, le conducteur du véhicule suit une ligne de référence
tracée sur la chaussée (figure 38). Les tests ne peuvent s’effectuer qu’à des
vitesses faibles car il est difficile de maintenir les roues du véhicule sur une
ligne de référence pour des vitesses supérieures à 15 km=h:
9.4.1
Etude sur une ligne d’aimants
Le dispositif de la figure 39 a été mis en place dans l’objectif de tester l e filtre
de Kalman sur une route droite. Les deux magnétomètres sont distants de
40 cm. La ligne des aimants est composée de 16 aimants disposés avec un
intervalle de deux mètres.
Les figures 40 et 41 représentent les distances latérales fournies par la
procédure de localisation après 3 passages du véhicule sur les lignes de référence
0 cm et 20 cm, à 5 km=h: Ces figures montrent que la localisation latérale
du véhicule s’effectue avec une incertitude inférieure à 5 cm. Lorsque la ligne
d’aimants est située à 20 cm de l’axe du véhicule (figure 41), la procédure de
42
Figure 38: Lignes de référence pour le conducteur
Figure 39: Dispositif expérimental
43
Figure 40: Distance latérale pour une ligne de référence à 0 cm
Kalman met un temps d’adaptation aux conditions pour arriver à localiser
les aimants. Ceci est dû à la condition initiale du programme qui est de
”percevoir” le premier aimant à une distance latérale de 0 cm.
9.4.2
Etude sur une courbe d’aimants
L’objectif de cette étude est de tester le filtre de Kalman sur une route
dont les aimants sont disposés selon la configuration de la figure 42. Le
conducteur du véhicule suit la ligne de référence tracée sur la chaussée. Les
deux magnétomètres sont distants de 40 cm. Le dispositif est composée de
16 aimants disposés avec un intervalle de deux mètres en longitude et d’un
intervalle de 5 cm en latitude.
44
Figure 41: Distance latérale pour une ligne de référence à 20 cm
Figure 42: Dispositif expérimental (configuration des aimants )
45
Figure 43: Distance latérale pour une vitesse de 5 km=h
La figure 43 représente les distances latérales fournies par la procédure de
localisation après le passage du véhicule sur la ligne de référence, à la vitesses
de 5 K m=h: Cette figure montre que la procédure de localisation retrouve la
disposition des aimants avec une incertitude de moins de 10 cm. Je pense que
cette augmentation de l’incertitude est due au fait que le modèle du système
a été construit sur la base que le véhicule est sensé voir des lignes d’aimants
et non des diagonales d’aimants.
10
Méthode de localisation : L’inversion
Cette procédure a été développée durant ce stage au laboratoire des Ponts et
Chaussées d’Angers. La procédure d’inversion fournie la position de l’aimant
46
avec la méthode du gradient conjugué de Fletcher et Reeves et la méthode
du nombre d’or. La méthode de Fletcher et Reeves consiste à déterminer
les paramètres optimaux d’un critère, c’est-à-dire trouver les paramètres qui
maximisent ou minimisent un critère. Les paramètres optimaux du critère
que l’on cherche à minimiser sont les positions de l’aimant (x; y; z). Le critère
que l’on cherche à minimiser est le suivant :
!
!
J(x; y; z) = k V mesure ¡ V analytique (x; y; z)k2;
avec
!
!
!
!
V mesure = V x;mesure e x +Vy;mesure e y +Vz;mesure e z ;
et
!
!
!
!
V analytique (x; y; z) = V x e x +Vy e y +Vz e z ;
où Vx; Vy et Vz sont les équations 2 où 4 des composantes du champ magnétique d’un aimant des modèles M1(K1 ; R1) et M2 (K2; L2; R2 ).
10.1
Méthode de Fletcher et Reeves
La méthode de Fletcher et Reeves permet de résoudre les problèmes dont la
formulation est la suivante :
Soit J : Rn ! R une fonction vectorielle qui à tout X 2 Rn , X =
(x1; x2; :::; xn )> , associe la valeur réelle
J(X) = J (x1; x2; :::; xn ) :
On cherche à résoudre :
½
¾
M in J(X)
X 2 Rn:
Il s’agit donc de déterminer un point X ¤ de Rn tel que :
8X 2 Rn : J(X ¤ ) · J(X):
La méthode de Fletcher et Reeves est une extension directe de la méthode du gradient conjugué (fonctions quadratiques) aux fonctions quelconques. Cette méthode est très intéressante, d’une part parce qu’elle nécessite le stockage de très peu d’information, et d’autre part, par sa vitesse
47
de convergence très supérieure à celle des algorithmes de gradient classique.
L’algorithme de la méthode est le suivant
a) étape 0 : X 0 est le point de départ choisi, poser :
d0 = ¡rJ(X 0 )
b) étape i : choisir ¸i minimisant :
g(¸) = J(X i + ¸di )
poser :
(20)
X i+1 = X i + ¸idi
et :
di+1 = ¡rJ(X i+1) + ¯i di
avec :
k rJ(X i+1) k2
¯i =
:
k rJ(X i) k2
c) Test d’arrêt. Si vérifié : Fin.
Sinon, faire i à i + 1 et retourner en (b).
Remarque 0 Pour le système étudié, le point X 0 est la position de départ
de l’aimant, par exemple X 0 = (0 cm; 0 cm; 24 cm)| :
Remarque 1 La convergence globale de la méthode de Fletcher et Reeves n’est
assurée que si l’on procède à une réinitialisation périodique. Par exemple,
toutes les n itérations, on repartira du dernier point obtenu avec, comme
direction de déplacement, l’opposé du gradient en ce point.
Remarque 2 Dans notre cas, la minimisation unidimensionnelle de l’expression (20) est e¤ectuée avec la méthode du nombre d’or.
10.2
Méthode du nombre d’or
La méthode du nombre d’or permet de résoudre les problèmes dont la formulation est la suivante :
Soit g : R ! R une fonction scalaire qui à tout ¸ 2 R, associe la valeur
réelle g(¸): On cherche à résoudre :
½
¾
M in g(¸)
¸ 2 R:
48
Figure 44: Décomposition de l’intervalle de recherche ¢k
Il s’agit donc de déterminer un point ¸¤ de R tel que :
8¸ 2 R : g(¸¤) · g(¸):
La méthode du nombre d’or consiste à réduire un intervalle de départ
¢1 dans lequel on recherche le paramètre optimal ¸¤ : Cette méthode est
intéressante car elle nécessite que d’un seul calcul de fonction par itération.
La …gure 44 illustre la décomposition d’un l’intervalle de recherche ¢k, avec
la relation :
¢k = ¢k+1 + ¢k+2:
La méthode du nombre d’or consiste à prendre les longueurs des intervalles successifs dans un rapport …xe :
¢1
¢2
=
= ::: = °:
¢2
¢3
On a donc :
soit :
d’où :
¢k
¢
¢
= k+1 + k+2 ;
¢k+1
¢k+1 ¢k+1
1
° = 1+ ;
°
p
5+1
°=
= nombre d’or.
2
49
Figure 45: Réduction de l’intervalle de recherche
La …gure 45 illustre la décomposition d’un l’intervalle de recherche dans
le cas d’une minimisation de g(¸). L’algorithme de la méthode est le suivant
a) étape 0 : Poser
¢1
¢1
¸4
¢1
¸3
¸2 ¡ ¸1;
¢1=°;
¸1 + ¢1 :
¢1=°;
¸1 + ¢1
=
=
=
=
=
b) étape k :
Si g(¸3)
¸1
¸3
¸4
>
=
=
=
g(¸4 ); alors
¸3
¸4
¸2 ¡ ¢k
Si g(¸3) < g(¸4 ); alors
¸2 = ¸4
50
¸4 = ¸3
¸3 = ¸1 + ¢k
¢k = ¢k =°
c) Test d’arrêt. Si véri…é :
¸ ¤ = (¸1 + ¸2) =2
Fin.
Sinon, faire k à k + 1 et retourner en (b).
10.3
Etude statique
L’objectif de cette étude est de déterminer la précision de la méthode d’inversion décrite précédemment.. Pour ce faire, on utilise le dispositif expérimental de la figure 3. La procédure d’inversion est programmée en langage
C ++, dans une dll, puis intégrée dans un programme d’acquisition fonctionnant en langage Labview. L’aimant est placé successivement aux positions décrites sur la figure 46. On cherche la précision de la méthode en
comparant les positions ”réelles” (xij;r¶eelle ; yij;r¶eelle; zij;r¶eelle ) avec les positions
(xij;inversion ; yij;inversion ; zij;inversion ) fournies par la procédure d’inversion, avec
les relations d’erreurs suivantes :
q
exij =
(xij;r¶eelle ¡ xij;inversion)2 ;
q
eyij =
(yij;r¶e elle ¡ yij;inversion )2;
q
ez ij =
(zij;r¶eelle ¡ zij;inversion )2:
L’incertitude sur les positions réelles de l’aimant est de l’ordre du centimètre.
Les figures 47, 48 et 49 représentent les erreurs exij ; eyij ; ez ij en fonction des
positions (xi ; yj ) pour z = 26 cm, et pour le modèle du champ magnétique de
l’aimant M1( K1; R1). On peut voir sur ces figures que l’erreur est inférieure
à 2 cm.
Les figures 50, 51 et 52 représentent les erreurs exij ; eyij ; ez ij pour le modèle
du champ magnétique de l’aimant M2(K2 ; L2 ; R2). L’erreur de la localisation
avec le modèle M2(K 2; L2; R2) est inférieure à 2 cm.
Remarque : Les modèles M1(K1 ; R1) et M2 (K2; L2; R2) sont équivalents
en terme de précision..
51
Figure 46: Positions de l’aimant
Figure 47: Erreur e xij pour le modèle M1(K1 ; R1)
52
Figure 48: Erreur eyij pour le modèle M1 (K1; R1 )
Figure 49: Erreur ezij pour le modèle M1 (K1; R1)
53
Figure 50: Erreur e xij pour le modèle M2(K2 ; L2 ; R2)
Figure 51: Erreur eyij pour le modèle M2 (K2; L2; R2)
54
Figure 52: Erreur ezij pour le modèle M2 (K2; L2; R2)
10.4
Etude en dynamique
L’objectif de cette étude est de tester la méthode d’inversion pour la localisation d’un véhicule sur une route composée d’aimants. J’ai programmé la
procédure d’inversion dans une dll en langage C ++, puis je l’ai intégrée dans
un programme d’acquisition fonctionnant en langage Labview. Les aimants
sont disposés relativement à une ligne de référence (figure 53), avec une incertitude de l’ordre du centimètre. Pendant l’expérience, le conducteur du
véhicule suit une ligne de référence tracée sur la chaussée (figure 54). Les tests
ne peuvent s’effectuer qu’à des vitesses faibles car il est difficile de maintenir
les roues du véhicule sur une ligne de référence pour des vitesses supérieures
à 15 km=h:
10.4.1
Etude sur une ligne d’aimants
Le dispositif de la figure 55 a été mis en place dans l’objectif de valider la
procédure d’inversion sur une route droite. Les deux magnétomètres sont
distants de 50 cm. Les lignes de référence indiquent la distance qui sépare la
ligne des aimants et le milieu de l’axe que forment les deux magnétomètres.
55
Figure 53: Lignes de référence et aimants
La ligne des aimants est composée de 16 aimants disposés avec un intervalle
de deux mètres.
Les figures 56, 57, 58, 59, 60 et 61 représentent les distances latérales
fournies par la procédure de localisation après 3 passages du véhicule sur les
lignes de référence 0 cm, 20 cm et 50 cm, aux vitesses 5 km=h et 15 km=h: Ces
figures montrent que la localisation latérale du véhicule s’effectue avec une
incertitude inférieure à 5 cm, lorsque la ligne d’aimant est située à moins de
50 cm de l’axe longitudinale du véhicule. Lorsque la ligne d’aimants est située
à 50 cm de l’axe du véhicule (figure 60 et 61), la procédure d’inversion met
un temps d’adaptation aux conditions pour arriver à localiser les aimants.
Ceci est dû à la condition initiale du programme qui est de ”percevoir” le
premier aimant à une distance latérale de 0 cm.
10.4.2
Etude sur une courbe d’aimants
L’objectif de cette étude est de tester la procédure d’inversion sur une route
dont les aimants sont disposés selon la configuration de la figure 62. Le
conducteur du véhicule suit la ligne de référence tracée sur la chaussée. Les
deux magnétomètres sont distants de 50 cm. Le dispositif est composée de
16 aimants disposés avec un intervalle de deux mètres en longitude et d’un
56
Figure 54: Lignes de référence pour le conducteur
Figure 55: Dispositif expérimental
57
Figure 56: Distance latérale pour la ligne de référence 0 cm, à une vitesse de
5 km=h
58
Figure 57: Distance latérale pour la ligne de référence 0 cm, à une vitesse de
15 km=h
59
Figure 58: Distance latérale pour la ligne de référence 20 cm, à une vitesse
de 5 km=h
60
Figure 59: Distance latérale pour la ligne de référence 20 cm, à une vitesse
de 15 km=h
61
Figure 60: Distance latérale pour la ligne de référence 50 cm, à une vitesse
de 5 km=h
62
Figure 61: Distance latérale pour la ligne de référence 50 cm, à une vitesse
de 15 km=h
Figure 62: Dispositif expérimental (configuration des aimants )
63
Figure 63: Distance latérale pour une vitesse de 5 km=h
intervalle de 5 cm en latitude.
Les figures 63 et 64 représentent les distances latérales par la procédure de
localisation après le passage du véhicule sur la ligne de référence, aux vitesses
5 km=h et 15 k m=h: Ces figures montrent que la procédure de localisation
retrouve la disposition des aimants avec une incertitude de moins de 5 cm.
64
Figure 64: Distance latérale pour une vitesse de 15 km=h
65
11
Démonstration finale au LIVIC
Ce stage a été proposé dans l’objectif de développer un dispositif de localisation latérale d’un véhicule par guidage magnétique, et de proposer une
démonstration du système au laboratoire LIVIC (Laboratoire sur les Interactions Véhicules-Infrastructure-Conducteurs) basé à Satory.
La procédure qui a été présentée est celle qui a fournie les meilleurs résultats, c’est à dire la méthode d’inversion par gradient conjugué. Les tests ce
sont effectués sur la piste de la photographie 65, où les aimants sont placés
relativement à une ligne de référence. Pendant les tests, le conducteur suit
la ligne de référence (photographie 66). Le dispositif fonctionne avec deux
magnétomètres fixés à l’arrière du véhicule et distants de 50 cm (figure 67).
Les aimants ont été disposés selon la configuration de la figure 68. Les figures
69 et 70 sont les résultats de la procédure de localisation. Pour une vitesse
de 5 km=h les aimants sont localisés à moins de 5 cm. Le test à 30 km=h est
e¤ectué dans des conditions où l’incertitude sur la position du véhicule est
grande (le conducteur doit suivre une ligne blanche). Dans ces conditions,
on retrouve la forme de la disposition des aimants mais on ne peut rien dire
sur la précision de la localisation. Cette démonstration a été concluante en
terme de faisabilité d’un système de localisation par guidage magnétique.
66
Figure 65: Piste du LIVIC, aimants et ligne de référence
Figure 66: Ligne de référence du conducteur
67
Figure 67: Magnétomètres fixés à l’arrière du véhicule
Figure 68: Disposition des aimants
68
Figure 69: Localisation de la distance latérale à 5 km=h
69
Figure 70: Distance latérale à 30 km=h
70
12
Améliorations du projet
Ce paragraphe est destiné à rendre compte de quelques améliorations qui
peuvent être apportées au projet.
Les modèles du système aimant-magnétomètre M1 et M2 peuvent être
améliorés en e¤ectuant une étude plus approfondie. Notamment en étudiant
le champ magnétique d’un aimant dont la longueur L est grande devant son
rayon R.
Dans ce rapport, les études sont réalisées avec des aimants disposés à des
intervalles de 2 mètres sur la chaussée, il est envisageable de faire des séries
de test pour déterminer l’intervalle optimal entre les aimants.
Une étude sur la distance qui sépare les deux magnétomètres permettrait
de mettre en évidence le rayon d’action des deux magnétomètres en fonction
de la précision de la localisation.
Les procédures de détection et de localisation ont été expérimentées sur
des routes droites, il serait intéressant de faire des tests dans des virages.
La fréquence des procédures de détection et de localisation peut être
améliorée en optimisant l’organisation soft du système (acquisition Labview,
dll en C ++). De cette façon, plus de points de mesures sont traités et la
localisation est meilleure.
13
Conclusion
Dans ce rapport, les caractéristiques du champ magnétique de l’aimant ont
été illustrées par des mesures et par deux modèles analytiques. Ces informations ont permis de construire des procédures de détection et de localisation
du véhicule. Les tests de la procédure de détection montrent que les aimants
et les passages sans aimants sont observés lorsque les aimants sont situés à
moins de 50 cm de l’axe longitudinal du véhicule. La procédure de localisation par filtre de Kalman fournie une position latérale du véhicule avec une
incertitude de moins de 5 cm. La procédure de localisation par inversion
fournie une position latérale du véhicule avec une incertitude de moins de 5
cm.
La démonstration au laboratoire LIVIC de la procédure de localisation
par inversion a montrée que la localisation d’un véhicule par guidage magnétique peut s’effectuer avec une incertitude de moins de 5 cm. L’ébauche
71
d’un projet en commun avec le LIVIC a été discuté pour mettre en place le
dispositif de localisation sur un de leur véhicule expérimental.
72
14
Annexe A1 : Filtrage de Kalman d’un
modèle linéaire
Cet annexe propose une description de la construction du filtre de Kalman.
14.1
Préambule :Vecteur aléatoire
Soit X le vecteur aléatoire de dimension n suivant :
X = [X1; X2; :::; X3 ]| :
La moyenne de X est un vecteur :
E(X) = mx = [E (X1) ; E(X2); :::; E(Xn)] = [mX1 ; mX2 ; :::; mXn ]| :
On appelle matrice de covariance de X :
PX = E [(X ¡ mx) (X ¡ mx)| ] ;
soit
2
3
V ar(X1) PX1 X2
:::
5:
PX = 4 PX1 X2
V ar(X2) :::
:::
:::
V ar(Xn )
Soit Y un vecteur aléatoire de dimension p: La matrice d’intercovariance
PXY est dé…nie par :
PX Y
PX Y
14.1.1
= E [(X ¡ mX ) (Y
2
PX1Y1 PX1Y2
6 PX2Y1 PX2Y2
= 6
4 :::
:::
PXnY1 PXn Y2
¡ mY )| ]
::: PX1 Yp
::: PX2 Yp
::: :::
::: PXn Yp
3
7
7
5
Somme de deux vecteurs aléatoires
Soient X et Y deux vecteurs aléatoires de même dimension. Soit
Z = X + Y:
La moyenne de Z est le vecteur
E(Z) = mZ = mX + mY
73
La matrice de covariance de Z est
PZ = PX + PY + PXY + PY X
où P XY et PY X sont des matrices d’intercovariances. Dans le cas particulier
où les vecteurs X et Y sont décorrélés, les matrices d’intercovariances PXY
et PY X sont nulles, donc la matrice de covariance Z est :
PZ = PX + PY :
14.1.2
Di¤érence de deux vecteurs aléatoires
Soient X et Y deux vecteurs aléatoires de même dimension. Soit
Z = X ¡ Y:
La moyenne de Z est le vecteur
E(Z) = mZ = mX ¡ mY
La matrice de covariance de Z est
PZ = PX + P Y ¡ PXY ¡ PY X :
Dans le cas particulier où les vecteurs X et Y sont décorrélés, les matrices
d’intercovariances PXY et PY X sont nulles, donc la matrice de covariance Z
est :
PZ = PX + PY :
14.1.3
Transformation linéaire d’un vecteur aléatoire
Soit Y = AX + B où A est une matrice et B un vecteur constant. La
moyenne et la matrice de covariance de Y sont respectivement égales aux
relations suivantes :
mY
PY
= A:mX + B
= APX A|
74
14.1.4
Transformation non linéaire d’un vecteur aléatoire
Soit
2
3
f1(X1 ; X2; :::; Xn)
5
Y = f (X) = 4 :::
fp(X1 ; X2; :::; Xn)
où f est une fonction vectorielle non linéaire de Rn dans Rp: La moyenne
et la matrice de covariance de Y sont respectivement égales aux relations
suivantes :
mY
PY
= f(mX )
·
¸
·
¸
@f
@f |
=
PX
@X
@X
Remarque : Ces relations supposent des déviations assez faibles autour
de la moyenne.
14.2
Construction du filtre de Kalman
Le filtrage de Kalman a été introduit pour des systèmes contrôlés, ie des
systèmes pour lesquels un régulateur fournit une commande en fonction des
objectifs à atteindre. Dans le cas linéaire, la représentation d’état générale
est :
Xk+1 = AXk + BUk + ®k
Yk = CXk + ¯ k
où les bruits ¯ k (bruit de modèle) et ®k ( bruit de mesure) sont supposés
blancs, centrés et de matrices de covariance respectives Q® et Q¯ connues
et constantes pour alléger les équations. On suppose de plus qu’ils sont
indépendants entre eux : E( ®k :¯ tk) = 0:
La matrice de covariance de l’erreur d’estimation sera notée :
^
^
Pk=l = E[(X k=l ¡Xk ):(X k=l ¡Xk )t ]:
L’observateur est composé d’un estimateur et d’un prédicteur
µ
¶
^
^
^
X k=k = X k=k¡1 +Kk Yk ¡ C X k=k¡1
^
^
X k+1=k = A X k=k +BUk
75
où Kk est une matrice de gain à dé…nir et pas forcément constante.
Notation :
^
X k=k estimation
~
^
X k=k =X k=k ¡Xk erreur d’estimation
Pk=k matrice de covariance de l’erreur d’estimation
^
X k+1=kprédiction
~
^
X k+1=k= X k+1=k ¡Xk+1 erreur de prédiction
Pk+1=k matrice covariance de l’erreur de prédiction
14.2.1
Récurrence des erreurs d’estimation et de prédiction
~
^
X k=k = X k=k ¡Xk
^
µ
^
¶
= X k=k¡1 ¡K Yk ¡ C X k=k¡1 ¡ Xk
µ
¶
^
^
= X k=k¡1 ¡K CXk + ¯ k ¡ C X k=k¡1 ¡ Xk
µ
µ
¶
¶
^
^
= X k=k¡1 ¡Xk ¡ K ¡C X k=k¡1 ¡Xk + ¯ k
~
= (I ¡ KC ) X k=k¡1 +K¯ k
~
(21)
^
X k+1=k = X k+1=k ¡Xk+1
~
= A X k=k ¡AXk ¡ ®k
~
= A X k=k ¡®k
14.2.2
(22)
Récurrence des matrices de covariance
En appliquant les résultats relatifs à la combinaison linéaire des vecteurs aléatoires à la relation 21, la matrice de covariance Pk=k de l’erreur d’estimation
~
X k=k satisfait la relation suivante :
Pk=k = (I ¡ KC) Pk=k¡1 (I ¡ K C)| + K Q¯ K | :
76
Cette relation de récurrence est connue sous le nom de ”forme de Joseph”.
En appliquant les résultats relatifs à la combinaison linéaire des vecteurs
aléatoires à la relation 22, la matrice de covariance Pk+1=k satisfait la relation
suivante :
Pk+1=k = A:Pk=k A| + Q® :
14.2.3
Principe d’orthogonalité
Soit un vecteur aléatoire à estimer, combinaison linéaire d’une mesure, tel
que :
x = a:y + b
^
Une estimation x est dite ”optimale” si et seulement si :
~
E[ x] = 0 (estimateur non biaisé)
~
E[x :y| ] = 0 (orthogonalité)
14.2.4
Construction du filtre de Kalman
C’est un observateur ”estimateur/préditeur” dont le gain K est calculé de
façon à ce que l’estimation soit optimale au sens de l’erreur
(1) statistiquement centrée
(2) orthogonale aux observations
et aux prédictions
ou estimations.
µ
¶
^
^
^
Comme X k=k =X k=k¡1 +K k Yk ¡ C X k=k¡1 ; l’estimation est optimale
si et seulement si la condition d’optimalité Ok=k est vérifiée :
~
E[ X k=k] = 0
^|
~
E[X k=k : X k=k¡1] = 0
~
E[X k=k :Yk|] = 0
^
^
Comme X k+1=k= A X k=k +BUk ; l’estimation est optimale si et seulement si
la condition d’optimalité Ok+1=k est véri…ée :
~
E[X k+1=k] = 0
~
^|
E[X k+1=k : X k=k] = 0
77
L’observateur est optimal si, étant optimal à une étape ”k”, il le reste à
l’étape suivante, tel que :
Ok=k¡1 ) Ok=k ) Ok+1=k
On va montrer que l’optimalité conduit à l’expression suivante pour le gain :
¡
¢¡1
Kk = Pk=k¡1C | C:Pk+1=k:C | + Q ¯
(23)
¡
¢¡1
Démonstration de la relation Kk = Pk=k¡1C | C:Pk+1=k:C | + Q ¯
14.2.5
Démonstration de Ok=k ) Ok+1=k
~
~
1) Montrons que E[ X k+1=k ] = 0
~
~
E[X k+1=k ] = E[A X k=k ¡®k] = A:E[ X k=k] ¡ E[®k ] = 0
car on part d’une condition d’optimalité Ok=k véri…ée.
^|
~
2) Montrons que E[X k+1=k : X k=k ] = 0
·
^|
~
~
E[ X k+1=k : X k=k ] = E A X k=k
·
~
= A:E X k=k
·
~
A:E X k=k
·
·
¸
~
|
E X k=k : X k=k¡1 = 0 et E X k=k :Yk = 0 car Ok=k ,
·
¸
^|
|
E [®k :Yk ] et E ®k : X k=k¡1 car le bruit de modèle est blanc,
~
donc
^|
¸
¸ ·
¸|
^
¡®k : (I ¡ K C) X k=k¡1 +K Yk
¸
^|
: X k=k¡1 : (I ¡ KC)| +
¸
·
¸
^|
|
|
|
|
:Yk :K ¡ E [®k :Yk ] :K ¡ E ®k : X k=k¡1 : (I ¡ K C)|
·
¸
~
^|
E X k+1=k : X k=k = 0
Démonstration de Ok=k¡1 ) Ok=k
~
1) Montrons que E[ X k=k ] = 0
78
·
¸
·
¸
~
~
E X k=k = E (I ¡ K C) X k=k¡1 +K ¯k
·
¸
~
= (I ¡ KC) :E X k=k¡1 + KE [¯k ]
= 0
·
¸
~
car E X k=k¡1 = 0 d’après la condition d’optimalité Ok=k¡1 et le bruit est
centré.
~
^|
2) Montrons que E[X k=k : X k=k¡1 ] = 0
~
E[ X k=k :
^|
X k=k¡1]
·
¸ ·
¸|
^
= E (I ¡ K C) X k=k¡1 +K ¯k : A X k¡1=k¡1 +BUk
·
¸
·
¸
~
^|
~
|
= (I ¡ KC) :E X k=k¡1 : X k¡1=k¡1 :A + (I ¡ K C) :E X k=k¡1 Uk| B | ;
~
·
¸
~
^|
On a éliminé les espérances où ¯ k apparaît. Or, d’après Ok=k¡1 ; E X k=k¡1 : X k¡1=k¡1 =
·
¸
~
0 et E X k=k¡1 = 0; donc
~
E[X k=k :
^|
X k=k¡1]
=0
~
3) Montrons que E[X k=k :Yk| ] =· 0
Préambule : Montrons que E
~
|
X k=k :Yk
¸
·
~
µ
^
= E X k=k : Yk ¡ C: X k=k¡1
·
µ
¶| ¸
·
¸
·
¸
~
^
~
~
^|
|
E X k=k : Yk ¡ C: X k=k¡1
= E X k=k :Yk + E X k=k : X k=k¡1 C | ;
·
¸
~
^|
on vient de démontrer précédemment que E X k=k : X k=k¡1 = 0 donc
E
·
~
|
X k=k :Yk
¸
·
µ
~
^
= E X k=k : Yk ¡ C: X k=k¡1
79
¶| ¸
¶| ¸
·
¸
·
µ
¶| ¸
~
~
^
|
E X k=k :Yk
= E X k=k : CXk + ¯ k ¡ C: X k=k¡1
·µ
¶ µ
¶| ¸
~
~
= E (I ¡ KC) : X k=k¡1 +K¯ k : ¡C X k=k¡1 +¯k
= ¡ (I ¡ K C) :Pk=k¡1:C | + K:Q¯
¡
¢
= ¡Pk=k¡1:C | + K: C:P k=k¡1 :C | + Q ¯
Si on veut que l’étape d’estimation soit optimale, il faut E
et donc il faut choisir K tel que :
·
~
|
X k=k :Yk
¸
=0
¡
¢¡1
Kk = Pk=k¡1C | C:Pk=k¡1:C | + Q ¯
¡
¢
L’inversion de la matrice C:Pk =k¡1: C | + Q ¯ est toujours possible car elle
est la somme de 2 matrices définies positives et son déterminant est donc nul.
14.3
Bilan
Avec un système linéaire du type :
Xk+1 = AXk + BUk + ®k ;
Yk = C Xk + ¯k
on observe l’état récursivement avec l’algorithme suivant :
(0) initialisation :
^
X pred = ::: et Ppred = :::
K = Ppred C | (C:Ppred:C | + Q ¯)¡1
(1) Boucle :
Yk (= Lire les mesures
µ
¶
^
^
X est = X pred +K: Yk ¡ C: X pred
^
Pest
=
(I ¡ KC) Ppred (I ¡ K C)| + K Q¯ K |
80
^
fournir l’estimation X estet la variance estimée de l’erreur d’estimation
Pest ,on prépare l’étape suivante
^
^
X pred = A: X est +B:Uk
P pred = A:Pest:A| + Q®
K = Ppred C | (C:Ppred:C | + Q ¯)¡1
(2) Fin boucle.
81
References
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reference system for ground vehicle guidance and control", path research
report, ucb-its-prr-2003-8. 2003.
[2] H-S.Tan and B.Bougler. "experimental studies on high speed vehicle
steering control with magnetic marker refencing system", experimental studies on high speed vehicle steering control with magnetic marker
refencing system. 2000.
[3] H.Imine. " observation d’états d’un véhicule pour l’estimation du profil
dans les traces de roulement", université de versailles - saint-quentin-enyvelines. 2003.
[4] J-P.Laumond. " la robotique mobile ", hermes science europe ltd. 2001.
[5] R. J-P.Pérez, R.Carles. "electromagnétisme, fondements et applications",
masson, université paul sabatier de toulouse. 1999.
[6] M. K-T.Feng, H-S.Tan. "the in‡uence of suspension roll dynamics to
vehicule", path research report.
[7] R. E. Kalman. "a new approach to linear filtering and prediction problems". Transactions of the AMSE, Part D, Journal of Basic Engineering,
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[8] M.Abaouz, P.Briand, and A.Hedhli. "aide à la conduite : Localisation
par aimants", cete de l’ouest, lrpc angers. 2003.
82