Exercices induction électromagnétique

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Exercices induction électromagnétique
1 Approximation des régimes quasi stationnaires
1.1 Plaque de cuivre dans un champ magnétique variable
Deux plans P et P’ parallèles au plan xOy et de cotes respectives suivant zz’ égales à +a/2 et − a/2,
délimitent une plaque de cuivre homogène, d’épaisseur a, de perméabilité
0, de permittivité 0 et de
conductivité .
1°) Une source de champ magnétique uniforme et constant est placée au dessus de P. La présence de la
plaque modifie-t-elle le champ magnétique ?
2°) La plaque est maintenant plongée dans un champ uniforme, mais alternatif avec 
.
On supposera la fréquence suffisamment basse pour que le champ magnétique reste quasiment uniforme
dans tout le conducteur.
a) Montrer que l’existence de ce champ magnétique implique l’apparition d’un champ électrique  , et dans
la plaque, d’un courant de densité .
b) Par des arguments de symétrie précis, monter que  est colinéaire à 
 avec 
.
c) Par le calcul de circulation de  sur un contour judicieusement choisi, déterminer 
. En déduire la
densité de courant  correspondante et tracer le graphe de la variation de l’amplitude de cette densité en
fonction de z.
3°) On considère une portion de plaque limitée par un cylindre droit de génératrices parallèles à Oz, et dont
les bases, situées dans les deux plans z =  a/2 ont pour aire S. Soit = S a le volume de cette portion de
plaque. Calculer la puissance p( ) dissipée en moyenne sur une période par effet joule dans le volume
ainsi que la puissance volumique moyenne <p>. Exprimer <p> en fonction de , et B0.
4°) Un cube fait de plaque de cuivre isolées et empilées dans la direction z’z peut être soumis à un champ
magnétique 
 ou  . Dans quel cas la puissance volumique moyenne
dissipée par les courants dans la plaque , appelés courants de Foucault, est-elle la plus grande ?
1.2 Emission isotrope de charges
Une bille métallique fixe de rayon a suffisamment faible par rapport aux autres dimensions pour que cette
sphère soit confondue avec son centre O, initialement électriquement neutre, émet des électrons de manière
isotrope à partir de l'instant t = 0 : le nombre d'électrons émis par unité de temps est une constante et les
électrons sont émis avec un vecteur vitesse
r
uvv 0
où v0 est une constante. On néglige les forces
électromagnétiques subies par les électrons (approximation d'ordre le plus bas).
1°) Déterminer la densité volumique de charges (r,t) (en exprimant la charge comprise entre les sphères de
rayons r et r + dr) ainsi que la densité de courants
trj ,
. On distinguera deux cas : r > v0t et ensuite r < v0t.
2°) Déterminer le champ électrique
E
supposé isotrope ainsi que le potentiel scalaire V(r,t) dont il dérive.
3°) En utilisant les propriétés de symétrie, déterminer le champ
trB ,
.
4°) En déduire la densité d’énergie électrique. Déterminer la puissance volumique cédée aux charges.
Comparer la dérivée par rapport au temps de la densité d’énergie à la puissance volumique cédée aux
charges. Conclusion.
5°) En réalité, l’hypothèse v0 constante n’est pas cohérente. Pourquoi ?
2 Induction électromagnétique
2.1 Aimant et bobine
Le barreau aimanté de la figure ci-contre se déplace à vitesse
constante vers la bobine.
- Quel est le signe de UAB ?
- Comment varie cette tension quand l’aimant avance ?
N S
A
B

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2.2 Courant induit
Un solénoïde long comportant n spires par unité de longueur et de section S
est parcouru par un courant i(t) = I0 sin( t). Il est entouré par une bobine
plate en circuit fermé, de résistance R et d’inductance L. On notera I(t) le
courant induit dans cette bobine.
1°) Etablir l’équation différentielle en I(t).
2°) Déterminer l’expression de I(t). La comparer à celle de i(t).
3°) Déterminer la puissance dissipée dans la bobine.
2.3 Freinage d’une spire
Une spire de rayon a, de résistance R et d’inductance propre négligeable est montée sur des pivots parfaits
qui lui permettent de tourner autour d’un diamètre vertical. Elle est plongée dans un champ
B
uniforme et
stationnaire horizontal et n’est pas alimentée. La spire est freinée avec une durée caractéristique .
1°) Pourquoi la spire est-elle freinée ? Analyser les phénomènes.
2°) Pour une spire donnée, on étudie l’influence du champ magnétique.
3°) On compare la durée de freinage selon la résistance R de la spire, sa masse, son rayon et le champ
magnétique étant maintenus constants. est proportionnelle à Rn. On propose 5 valeurs possibles pour
n : –2 , –1 , 0, +1 , +2 . Indiquer, presque sans calculs, laquelle est exacte et justifier l’élimination des autres.
4°) Sans changer de matériau, on compare la durée de freinage selon le rayon a de la spire : on constate alors
que est proportionnelle à a. En réalisant une approche énergétique relative faisant intervenir les différents
paramètres fonction de a (résistance, flux, fem, moment d’inertie), interpréter qualitativement le résultat.
2.4 Train
Un train roule sur des rails écartés d’une distance d = 2 m à une vitesse v = 30 m .s–1. La composante
verticale B du champ magnétique terrestre vaut à cet endroit 10–5 T. Un millivoltmètre est connecté entre les
rails.
Expliquer pourquoi le millivoltmètre indiquera une tension. Déterminer la valeur de la tension indiquée.
Cette tension change-t-elle de signe au moment où le
train passe au-dessus du millivoltmètre ?
2.5 Freinage par induction
Une spire carrée de côté a, de masse m, tombe dans le
champ de pesanteur. Dans le demi-espace x > 0, règne
le champ magnétique 
. A l’instant t = 0, la
spire se trouve dans la situation sur la figure ci-contre,
sa vitesse est   
, son côté inférieur est en x = 0.
1°) Montrer que le mouvement ultérieur de la spire
reste une translation verticale suivant Oz.
2°) Soit R la résistance de la spire, déterminer la vitesse
v(t) de la spire.
3°) La spire a maintenant une résistance nulle (spire supraconductrice) et on note L son inductance propre.
Reprendre l’étude précédente et préciser la condition d’oscillation de la spire.
2.6 Barre mobile et rail circulaire
Une barre conductrice est mobile sur fil conducteur circulaire. Le circuit est fermé par un fil. La barre, de
masse m, et de longueur L, est lâchée à l’instant t = 0, l’angle (0) étant petit, dans le champ magnétique
. La liaison avec l’axe de rotation est parfaite. La
résistance de la barre est R, les résistances des autres
éléments du circuit sont négligeables.
Déterminer le mouvement de la barre et réaliser le bilan
énergétique entre les instants t et t+dt.
On supposera le champ magnétique assez faible pour que le
mouvement soit pseudo-périodique.
Données : JOz = m L2/3 et JGz = m L2/12
y
x
a
O

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2.7 Rails inclinés
Sur un cadre métallique incliné d’un angle
par rapport à l’horizontale, un barre
métallique MN, de longueur L et de masse m,
glisse sans frottement. L’ensemble est placé
dans un champ magnétique 
constant. La seule résistance électrique prise
en compte est celle de la partie QP du cadre.
La barre est abandonnée sans vitesse initiale à
t = 0. Sa position est repérée par x’ = QM.
1°) Déterminer l’expression du vecteur
vitesse 
.
2°) Reprendre le problème en ajoutant un ressort entre QP et MN sans masse, de raideur k et de longueur à
vite l0. A l’équilibre, la longueur du ressort est léq, on note alors x’ = l − léq.
2.8 Galvanomètre à cadre mobile
Un galvanomètre à cadre mobile est constitué d'un cadre
rectangulaire comprenant N = 500 spires de fil conducteur.
L'ensemble constitue une bobine plate de surface S = 6 cm2.
Ce cadre parcouru par un courant I est placé dans un champ
magnétique radial de 0,2 T. Il est suspendu par un fil de
torsion dont la constante de torsion vaut C = 2.10−7 N.m.rad−1.
1°) La rotation du cadre étant de =  °, calculer l'intensité
du courant I.
2°) Si le cadre, en circuit ouvert, est écarté de sa positon
d'équilibre il effectue des oscillations de période 1,4 s. On
néglige les frottements, calculer le moment d'inertie du cadre par rapport à l'axe du fil de torsion.
3°) Le cadre, de résistance Rg et d’inductance propre négligeable, est relié à un dipôle de fem E et de
résistance R. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par  Comment choisir R pour faire la mesure de
l’intensité I dans le dipôle ?
2.9 Moteur à courant continu
Le bobinage du rotor d'un moteur électrique est constitué de N fils disposés suivant les génératrices d'un
cylindre d'axe Oz, de rayon r et de hauteur h. Chacun des fils est parcouru par un courant constant d'intensité
I (figure 1). L'ensemble est placé dans un champ magnétique  radial, centrifuge et d'intensité constante en
tout point (figure 2).
I
Figure 1 Figure 2
1°) Citer la loi qui permet d'exprimer la force magnétique qui s'exerce sur chacun des fils. Donner
l'expression de cette force et préciser sur un schéma son sens et sa direction.
2°) Déterminer le moment de cette force par rapport à l'axe de rotation du rotor. En déduire le moment
résultant des forces magnétiques qui s'exercent sur l'ensemble du rotor
3°) Le rotor tourne à n tours par seconde, quelle est la puissance mécanique P du moteur ?
4°) Application numérique : r = 0,1 m ; h = 0,2 m ; B = 1 T ; I = 4 A ; N = 1000 ; n = 30 tr.s−1 : calculer la
puissance du moteur.
x
y
z
L
Q
M
N
P
N S
z'z
i
entrefer
h

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2.10 Chauffage par induction
Un solénoïde long, d'axe Oz, comprenant n spires par unité de longueur, circulaires de rayon a et parcourues
par un courant d'intensité I = I0 cos( t), crée en un point M repéré par ses coordonnées cylindriques (r, ,z)
un champ magnétique tel que à l'extérieur, pour r > a ,
0B
; à l'intérieur, pour r < a
z
unIB0
.
1°) On cherche un champ électrique
E
de la forme
utrEE ,
. Déterminer son expression pour r < a.
2°) On place à l’intérieur du solénoïde un cylindre métallique de conductivité , d'axe Oz, de hauteur L, et
de section circulaire de rayon b < a. Déterminer la puissance moyenne < PJ > dissipée par effet Joule dans le
cylindre.
A travers sa surface latérale, ce cylindre évacue une puissance thermique surfacique de la forme
dP'/dS = h (Ts - Te) où h est une constante, Ts la température à la surface du métal et Te la température
ambiante.
Comment faut-il choisir pour faire fondre le métal dont la température de fusion vaut TF ?
Commenter l'influence de L et b.
3°) On suppose le cylindre métallique long.
A quel système le cylindre parcouru par des courants induits est-il équivalent ?
Déterminer le champ magnétique
'Bd
créé sur l'axe Oz par les courants induits dans le métal entre les
cylindres de rayons r et r + dr.
En déduire l’expression du champ magnétique
'B
total.
A quelle condition sur b la valeur maximale de B’ est-elle négligeable devant la valeur maximale de B ?
Lorsque cette condition n'est pas vérifiée, on constate que les courants se localisent sur une pellicule
d'épaisseur au voisinage de la surface ; commenter.
2.11 Chauffage par induction
On place un cylindre conducteur d'axe Oz de section So = R2 , de longueur L
et de conductivité dans un champ magnétique uniforme (créé par des sources
extérieures) colinéaire à l'axe Oz :
z
utBB cos
0
. On se propose de
calculer les courants induits et la puissance dissipée par effet Joule dans le
conducteur dans l'approximation où le champ magnétique reste identique au
champ extérieur appliqué, puis d'examiner la validité de cette hypothèse. On
note r, et z les coordonnées cylindriques.
1°) On admet que
urEPE )(
, déterminer l’expression de
PE
en
fonction de , B0 et r.
2°) Puissance perdue par effet Joule
a) Exprimer la puissance moyenne Pj. (moyenne temporelle) dissipée par effet Joule dans le cylindre (on
fera apparaître dans cette expression les termes : conductivité électrique du matériau, So et f = / 2 ,
fréquence de variation du champ magnétique).
b) Application numérique : on donne : Bo = 0,1 T , = 2.106 -1m-1, L= 0,5 m , So= 20 cm2 , f = 50Hz.
3°) Les courants induits (tels que nous les avons calculés) créent un champ magnétique
i
B
qui se superpose
à celui des sources extérieures.
a) On néglige le courant de déplacement par rapport au courant induit de densité
Pj
. Pourquoi cette
hypothèse est-elle justifiée ?
b) Exprimer
i
B
(on admettra que
i
B
est orienté suivant
z
u
et que
i
B
est nul à l'extérieur du cylindre).
c) A quelle condition, portant sur R, rayon du cylindre,
l'hypothèse initiale (le champ magnétique reste identique au
champ
B
extérieur appliqué) est-elle vérifiée (autrement dit, à
quelle condition le module de
i
B
reste-t-il négligeable devant
Bo ) ?
4°) Limitation de la puissance dissipée par les courants induits
(on se place toujours dans l'hypothèse "champ magnétique
identique au champ extérieur appliqué").

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a) Que devient la puissance Pj (question 2.a.) si au lieu d'un seul conducteur cylindrique, on utilise n
conducteurs cylindriques identiques de section S’0 = S0 / n ?
b) Comment tire-t-on parti du résultat obtenu à la question précédente dans la réalisation des transformateurs
pour limiter les pertes par courants de Foucault ?
Dans cet exercice, on utilisera le formulaire donnant les opérateurs en coordonnées cylindriques.
2.12 Mesure d’une inductance mutuelle
On considère deux bobines identiques, formées de N spires circulaires de rayon a, d’inductance L, que l’on
place de façon que les deux bobinages soient coaxiaux, avec le même sens d’enroulement, la distance entre
leurs centres étant repérée le long de l’axe commun Oz par la longueur d . On se propose de mesurer le
couplage entre les deux bobines en envoyant dans l’une d’elles, dite la première, une tension triangulaire et
en comparant à l’oscilloscope cette tension avec la tension induite dans l’autre, celle-ci étant en circuit
ouvert. On a branché en série entre le générateur de fonction et la première bobine une résistance
R’ = 100 . On néglige la résistance R des bobines.
1°) Faire le schéma du montage.
2°) Les traces observées à l’oscilloscope ont l’allure suivante :
En faisant varier la distance d entre les bobines, on observe pour l’amplitude crête à crête A du signal induit,
mesurée en divisions de l’écran, les valeurs suivantes :
Calibre
0.01 V/div
5 mV/div
2 mV/div
1mV/div
d (cm)
4
5
6
7
8
10
12
16
20
A
4.3
3.3
2.6
4.3
3.4
2.3
4
2.1
2.4
a) Ecrire les équations électriques du circuit.
b) Etablir l’expression de l’inductance mutuelle M entre les deux bobines en fonction de la période T du
signal d’entrée, de son amplitude crête à crête e, de l’amplitude crête à crête A du signal induit et de la
résistance R’.
c) Calculer alors, en mH, l’inductance mutuelle M entre les deux bobines pour chaque valeur de d.
3°) Le champ magnétique créé par la première bobine, parcourue par un courant I1, en un point de son axe
situé à la distance z de son centre, est de la forme
z
zezIezBB
10 
.
a) Déterminer (z).
On montre que, en un point proche de l’axe, le champ magnétique est, à l’ordre 2 en r,
zr e
dzBdr
zBe
dz
dBr
zrB 
 20
22
0
04
)(
2
),(
.
b) Exprimer le flux du champ magnétique créé par la première bobine à travers la deuxième. En déduire
l’expression du cœfficient d’inductance mutuelle entre les deux bobines, en fonction de R, N, (d) et "(d).
d) On prend des bobines de 7 cm de rayon, comportant 100 spires. Le modèle théorique ci-dessus donne
M = 43 µH pour d = 20 cm et M = 0,16 mH pour d = 5 cm. Ces résultats sont-ils en accord avec les résultats
expérimentaux ? Pourquoi ?
1,4 divisions
trace supérieure : 1 V/div
balayage : 0,2 ms/div
Trace inférieure variable
(voir tableau)