Physique - ENS Cachan

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Ecole Normale Supérieure de Cachan
SECOND CONCOURS
Admission en cycle Master MASTER PHYSIQUE
Session 2013
Épreuve de PHYSIQUE
Durée : 5 heures
Aucun document n’est autorisé
L’usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non
imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé selon la circulaire
n°99018 du 1er février 1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et
aucun échange n’est autorisé entre les candidats.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des initiatives qu’il est amené à prendre.

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Ce problème porte sur les interactions lumière/matière et plus particulièrement sur leur
utilisation dans le domaine du refroidissement laser.
Cette technique a été développée dans le courant des années 80, d’abord sur des ions puis sur
des atomes. Elle permet une précision sans précédent sur des mesures métrologiques et est à
l’origine des développements récents de la recherche sur les atomes froids, plus précisément
sur les condensats de Bose-Einstein gazeux.
La première partie s’intéresse au cas d’un rayonnement thermique d’équilibre. On cherche à
obtenir la loi de Planck à partir de différentes considérations sur l’équilibre thermique entre
la matière et le rayonnement. L’accent est mis en particulier sur les transferts de quantité de
mouvement entre matière et rayonnement en suivant une démarche initiée par Einstein.
La deuxième partie porte sur le traitement semi-classique de l’interaction lumière/matière.
L’atome est décrit quantiquement alors que l’on garde une description classique pour le
rayonnement. Cette approche permet d’une part d’exprimer les coefficients d’Einstein en
fonction de grandeurs fondamentales, et, d’autre part d’éclairer la distinction entre champ
fort et champ faible pour un atome.
La troisième partie permet de dégager les principes du refroidissement d’atomes libres par
laser. Appliquant les résultats obtenus en partie II dans une situation simplifiée, on cherche à
déterminer la force subie par un atome dans un ensemble de faisceaux laser. La force
obtenue étant dissipative, on obtient une mélasse optique permettant de refroidir le gaz
atomique s’y trouvant. On cherche alors à évaluer la limite en température de cette méthode
expérimentale.
La quatrième partie s’intéresse au cas d’ions piégés et refroidis par la méthode précédente.
L’obtention d’un piège purement électrostatique étant exclu, une démarche possible est
d’utiliser un piège électromagnétique dynamique (piège de Paul). On dégage alors un certain
nombre de contraintes expérimentales à satisfaire pour parvenir à un piégeage convenable en
étudiant, de manière simplifiée, la dynamique des ions dans le piège.
Les différentes parties sont relativement indépendantes. Les résultats nécessaires d’une partie
à l’autre sont notifiés.
Tout résultat fourni peut être admis (en le précisant sur la copie). Le candidat veillera à
respecter scrupuleusement les notations introduites dans l’énoncé.
La présentation sera prise en compte, une bonification sera accordée chaque fois qu’une sous
partie et/ou une partie est entièrement traitée.

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Notations:
Dans tout le problème les vecteurs seront notés en caractères gras sans flèche. Par exemple u
désigne un vecteur alors que u désigne sa norme où l’une de ses composantes.
Les symboles suivants sont utilisés dans le problème et devront être respectés par le candidat
tout au long du sujet:
me désigne la masse de l’électron
e la charge élémentaire
h la constante de Planck
ħ la constante de Planck réduite
kB la constante de Boltzmann
μ0 la perméabilité du vide
ε0 la permittivité du vide
c la vitesse de la lumière dans le vide
La fonction cosinus hyperbolique sera notée ch.
La fonction sinus hyperbolique sera notée sh.
La fonction tangente hyperbolique sera notée th.
La fonction exponentielle sera notée indifféremment exp ou e.
La fonction cosinus sera notée cos.
La fonction sinus sera noté sin.
Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v sera noté u x v.
x y signifie « x est proportionnel à y »
On notera
le rapport 1/(kBT) où T est la température absolue du système étudié.
On notera u la quantité complexe associé à la grandeur réelle u.
Si le candidat est amené à utiliser dans son raisonnement des notations nouvelles, celles-ci
devront être clairement définies.
Données littérales :
dxxc2 sin où
x
x
xc sin sin .
Pour tout champ vectoriel A :
(A.grad)A =
2
1grad(A2) – A x rot A
Données numériques :
Perméabilité du vide
0= 4
.10-7 SI
Permittivité du vide : ε0 = = 8,85.10-12 SI

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Partie I : Etude du rayonnement d’équilibre thermique.
Cette partie s’intéresse au rayonnement d’équilibre, à la température T, dans une
enceinte fermée que l’on assimilera à un cube de volume V = L3 où L désigne la
longueur d’une arête.
A partir d’arguments thermodynamiques généraux, on établit comment l’énergie
volumique u dépend de la température (loi de Stefan-Boltzmann). On cherche ensuite à
retrouver ce résultat en utilisant la densité volumique d’énergie spectrale ρ (ω,T) à
l’équilibre thermique (ω désignant la pulsation du rayonnement considéré). Cette loi est
obtenue de différentes manières dont l’une suit l’approche historique d’Einstein qui
établit qu’à l’équilibre, du fait des échanges de quantité de mouvement entre la matière et
le rayonnement , la densité volumique d’énergie spectrale ne peut être que celle donnée
par la loi de Planck.
A. Résultats thermodynamiques.
On rappelle que sur une surface parfaitement réfléchissante, la pression de radiation
exercée par un rayonnement d’angle d’incidence θ et de densité volumique d’énergie u est
donnée par :
prad (θ) = 2u cos2θ.
1. Montrer que pour un rayonnement isotrope, la pression de radiation totale p est donnée
par up 3
1
.
2. L’intensivité de u impose u= u(T) à l’équilibre thermique. A partir de la première
identité thermodynamique obtenir l’expression de la différentielle dS de l’entropie du
rayonnement dans une enceinte de volume V en fonction de dV et dT.
3. Montrer alors que l’on a u (T) = b T4 (Loi de Stefan-Boltzmann) b étant une constante
que l’on ne cherchera pas à exprimer à ce stade.
B. Densité volumique d’énergie spectrale. Loi de Planck.
1. Rappeler l’expression de u(T) en fonction de ρ(ω,T).
On se propose de calculer ρ(ω,T) de la manière suivante. On désigne par g(ω) le nombre
de modes propres de la cavité dans l’intervalle [ω, ω+dω] par unité de volume et par
<ε˃ l’énergie moyenne d’un mode. On a alors ρ(ω,T) = g(ω) <ε>.
2. En précisant clairement les hypothèses de votre calcul, établir l’expression de g(ω).
Un mode propre du rayonnement électromagnétique peut être assimilé à un oscillateur
harmonique unidimensionnel.
3. Dans un modèle purement classique, que prévoit la physique statistique pour <ε>? En
déduire une incompatibilité entre le modèle choisi et la loi de Stefan-Boltzmann.
On traite alors chaque mode du rayonnement comme un oscillateur harmonique
quantique de pulsation ω et dont l’énergie fondamentale est prise égale à 0.
4. Préciser le spectre de ce système. Exprimer la fonction de partition canonique
associée en fonction de ω et T. En déduire < ε >.
5. Obtenir alors la loi de Planck sous la forme :
1
1
,32
3
e
c
T
P.

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6. Retrouver alors la loi de Stefan-Boltzmann. On exprimera le coefficient b en fonction
des données et d’une intégrale numérique que l’on ne cherchera pas à calculer.
C. Approche d’Einstein.
En 1916, dans une première approche heuristique, Einstein introduit des coefficients
d’absorption et d’émission pour un atome afin de rendre compte du spectre de Planck. La
nécessité d’introduire un processus d’interaction lumière/matière nouveau (émission
stimulée) s’avère crucial. On considère des atomes à deux niveaux d’énergie E1 et E2 (>
E1) supposés non dégénérés. On appelle N1(t) et N2(t) respectivement les populations
atomiques des niveaux d’énergie correspondants et on a ω0 = E2 – E1.
On note respectivement A21 le taux d’émission spontanée, B12 (B21) le coefficient
d’absorption (le coefficient d’émission stimulée), ρ(ω0,T) la densité volumique d’énergie
spectrale à la pulsation de la transition.
1. Etablir l’expression générale du taux de variation temporelle dt
dN1 de la population
atomique dans le niveau 1.
2. Que vaut le rapport N2/N1 à l’équilibre thermique ?
3. L’équilibre thermique étant atteint, vérifier que l’on retrouve pour ρ(ω0,T) la
distribution de Planck ρP(ω0, T) en posant : B12 = B21 et 32
3
0
21
21 c
B
A
.
On souhaite désormais retrouver la distribution de Planck en considérant les transferts
d’impulsion ayant lieu entre lumière et matière. La prise en compte de ces transferts de
quantité de mouvement est grandement facilitée par la notion de photon. En effet chaque
photon de pulsation ω0 transporte non seulement une énergie ω0 mais également une
impulsion k0 où k0 désigne le vecteur d’onde associé.
L’idée suivie par Einstein est d’évaluer les différentes contributions du rayonnement à la
variation de quantité de mouvement d’un atome de masse m. Il considère qu’il y en a
deux : une première due au champ de rayonnement macroscopique caractérisé par sa
densité spectrale ρ, une deuxième due aux fluctuations microscopiques de ce champ.
On considère un atome à deux niveaux non dégénérés se déplaçant à la vitesse v = v(t) uZ,
l’impulsion k d’un photon étant repérée en coordonnées sphériques d’axe (Oz) par ses
angles θ et φ. Les notations concernant les niveaux d’énergie et les coefficients d’Einstein
sont les mêmes que précédemment. Toutes les quantités notées sans prime sont évaluées
dans le référentiel du laboratoire et celle avec prime dans le référentiel de l’atome.
Afin d’alléger les notations on notera simplement ρ(ω0) la densité volumique d’énergie
spectrale. Le calcul des taux d’absorption ou d’émission doit être fait dans le référentiel
de l’atome pour utiliser les coefficients d’Einstein.
La petitesse du rapport v/c permet de ne faire des calculs qu’au premier ordre en v/c.
L’un des effets majeurs du changement de référentiel est que la densité volumique
d’énergie spectrale vue par l’atome ρ’(ω’, θ’) n’est plus isotrope contrairement à ρ(ω) .
4. Par un raisonnement purement classique, montrer que la pulsation du rayonnement
vue par l’atome est, au premier ordre en v/c, 
cos1' 00 c
v. Cette relation reste
vraie en relativité au premier ordre en v/c.
On prend en compte, au premier ordre en v/c, l’effet d’aberration angulaire par
l’expression :
2
sincos'cos c
v
 (φ, l’autre angle des coordonnées sphériques, est