Physique - ENS Cachan

2C3232
Ecole Normale Supérieure de Cachan
SECOND CONCOURS
Admission en cycle Master MASTER PHYSIQUE
Session 2013
Épreuve de PHYSIQUE
Durée : 5 heures
Aucun document n’est autorisé
L’usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non
imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé selon la circulaire
n°99018 du 1er février 1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et
aucun échange n’est autorisé entre les candidats.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des initiatives qu’il est amené à prendre.
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Ce problème porte sur les interactions lumière/matière et plus particulièrement sur leur
utilisation dans le domaine du refroidissement laser.
Cette technique a été développée dans le courant des années 80, d’abord sur des ions puis sur
des atomes. Elle permet une précision sans précédent sur des mesures métrologiques et est à
l’origine des développements récents de la recherche sur les atomes froids, plus précisément
sur les condensats de Bose-Einstein gazeux.
La première partie s’intéresse au cas d’un rayonnement thermique d’équilibre. On cherche à
obtenir la loi de Planck à partir de différentes considérations sur l’équilibre thermique entre
la matière et le rayonnement. L’accent est mis en particulier sur les transferts de quantité de
mouvement entre matière et rayonnement en suivant une démarche initiée par Einstein.
La deuxième partie porte sur le traitement semi-classique de l’interaction lumière/matière.
L’atome est décrit quantiquement alors que l’on garde une description classique pour le
rayonnement. Cette approche permet d’une part d’exprimer les coefficients d’Einstein en
fonction de grandeurs fondamentales, et, d’autre part d’éclairer la distinction entre champ
fort et champ faible pour un atome.
La troisième partie permet de dégager les principes du refroidissement d’atomes libres par
laser. Appliquant les résultats obtenus en partie II dans une situation simplifiée, on cherche à
déterminer la force subie par un atome dans un ensemble de faisceaux laser. La force
obtenue étant dissipative, on obtient une mélasse optique permettant de refroidir le gaz
atomique s’y trouvant. On cherche alors à évaluer la limite en température de cette méthode
expérimentale.
La quatrième partie s’intéresse au cas d’ions piégés et refroidis par la méthode précédente.
L’obtention d’un piège purement électrostatique étant exclu, une démarche possible est
d’utiliser un piège électromagnétique dynamique (piège de Paul). On dégage alors un certain
nombre de contraintes expérimentales à satisfaire pour parvenir à un piégeage convenable en
étudiant, de manière simplifiée, la dynamique des ions dans le piège.
Les différentes parties sont relativement indépendantes. Les résultats nécessaires d’une partie
à l’autre sont notifiés.
Tout résultat fourni peut être admis (en le précisant sur la copie). Le candidat veillera à
respecter scrupuleusement les notations introduites dans l’énoncé.
La présentation sera prise en compte, une bonification sera accordée chaque fois qu’une sous
partie et/ou une partie est entièrement traitée.
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Notations:
Dans tout le problème les vecteurs seront notés en caractères gras sans flèche. Par exemple u
désigne un vecteur alors que u désigne sa norme où l’une de ses composantes.
Les symboles suivants sont utilisés dans le problème et devront être respectés par le candidat
tout au long du sujet:
me désigne la masse de l’électron
e la charge élémentaire
h la constante de Planck
ħ la constante de Planck réduite
kB la constante de Boltzmann
μ0 la perméabilité du vide
ε0 la permittivité du vide
c la vitesse de la lumière dans le vide
La fonction cosinus hyperbolique sera notée ch.
La fonction sinus hyperbolique sera notée sh.
La fonction tangente hyperbolique sera notée th.
La fonction exponentielle sera notée indifféremment exp ou e.
La fonction cosinus sera notée cos.
La fonction sinus sera noté sin.
Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v sera noté u x v.
x y signifie « x est proportionnel à y »
On notera  le rapport 1/(kBT) où T est la température absolue du système étudié.
On notera u la quantité complexe associé à la grandeur réelle u.
Si le candidat est amené à utiliser dans son raisonnement des notations nouvelles, celles-ci
devront être clairement définies.
Données littérales :

2
 sin c x  dx   où
sin c x  

sinx 
.
x
Pour tout champ vectoriel A :
(A.grad)A =
1
2
grad(A2) – A x rot A
Données numériques :
Perméabilité du vide 0= 4.10-7 SI
Permittivité du vide : ε0 = = 8,85.10-12 SI
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Partie I : Etude du rayonnement d’équilibre thermique.
Cette partie s’intéresse au rayonnement d’équilibre, à la température T, dans une
enceinte fermée que l’on assimilera à un cube de volume V = L3 où L désigne la
longueur d’une arête.
A partir d’arguments thermodynamiques généraux, on établit comment l’énergie
volumique u dépend de la température (loi de Stefan-Boltzmann). On cherche ensuite à
retrouver ce résultat en utilisant la densité volumique d’énergie spectrale ρ (ω,T) à
l’équilibre thermique (ω désignant la pulsation du rayonnement considéré). Cette loi est
obtenue de différentes manières dont l’une suit l’approche historique d’Einstein qui
établit qu’à l’équilibre, du fait des échanges de quantité de mouvement entre la matière et
le rayonnement , la densité volumique d’énergie spectrale ne peut être que celle donnée
par la loi de Planck.
A. Résultats thermodynamiques.
On rappelle que sur une surface parfaitement réfléchissante, la pression de radiation
exercée par un rayonnement d’angle d’incidence θ et de densité volumique d’énergie u est
donnée par :
prad (θ) = 2u cos2θ.
1. Montrer que pour un rayonnement isotrope, la pression de radiation totale p est donnée
1
3
par p  u .
2. L’intensivité de u impose u= u(T) à l’équilibre thermique. A partir de la première
identité thermodynamique obtenir l’expression de la différentielle dS de l’entropie du
rayonnement dans une enceinte de volume V en fonction de dV et dT.
3. Montrer alors que l’on a u (T) = b T4 (Loi de Stefan-Boltzmann) b étant une constante
que l’on ne cherchera pas à exprimer à ce stade.
B. Densité volumique d’énergie spectrale. Loi de Planck.
1. Rappeler l’expression de u(T) en fonction de ρ(ω,T).
On se propose de calculer ρ(ω,T) de la manière suivante. On désigne par g(ω) le nombre
de modes propres de la cavité dans l’intervalle [ω, ω+dω] par unité de volume et par
<ε˃ l’énergie moyenne d’un mode. On a alors ρ(ω,T) = g(ω) <ε>.
2. En précisant clairement les hypothèses de votre calcul, établir l’expression de g(ω).
Un mode propre du rayonnement électromagnétique peut être assimilé à un oscillateur
harmonique unidimensionnel.
3. Dans un modèle purement classique, que prévoit la physique statistique pour <ε>? En
déduire une incompatibilité entre le modèle choisi et la loi de Stefan-Boltzmann.
On traite alors chaque mode du rayonnement comme un oscillateur harmonique
quantique de pulsation ω et dont l’énergie fondamentale est prise égale à 0.
4. Préciser le spectre de ce système. Exprimer la fonction de partition canonique
associée en fonction de ω et T. En déduire < ε >.
5. Obtenir alors la loi de Planck sous la forme :  P ,T  
 3
 c e
2 3
1
 
1
.
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6. Retrouver alors la loi de Stefan-Boltzmann. On exprimera le coefficient b en fonction
des données et d’une intégrale numérique que l’on ne cherchera pas à calculer.
C. Approche d’Einstein.
En 1916, dans une première approche heuristique, Einstein introduit des coefficients
d’absorption et d’émission pour un atome afin de rendre compte du spectre de Planck. La
nécessité d’introduire un processus d’interaction lumière/matière nouveau (émission
stimulée) s’avère crucial. On considère des atomes à deux niveaux d’énergie E1 et E2 (>
E1) supposés non dégénérés. On appelle N1(t) et N2(t) respectivement les populations
atomiques des niveaux d’énergie correspondants et on a  ω0 = E2 – E1.
On note respectivement A21 le taux d’émission spontanée, B12 (B21) le coefficient
d’absorption (le coefficient d’émission stimulée), ρ(ω0,T) la densité volumique d’énergie
spectrale à la pulsation de la transition.
1. Etablir l’expression générale du taux de variation temporelle
dN1
dt
de la population
atomique dans le niveau 1.
2. Que vaut le rapport N2/N1 à l’équilibre thermique ?
3. L’équilibre thermique étant atteint, vérifier que l’on retrouve pour ρ(ω0,T)
distribution de Planck ρP(ω0, T) en posant : B12 = B21 et
03
2 3
A21

B21  c
la
.
On souhaite désormais retrouver la distribution de Planck en considérant les transferts
d’impulsion ayant lieu entre lumière et matière. La prise en compte de ces transferts de
quantité de mouvement est grandement facilitée par la notion de photon. En effet chaque
photon de pulsation ω0 transporte non seulement une énergie  ω0 mais également une
impulsion  k0 où k0 désigne le vecteur d’onde associé.
L’idée suivie par Einstein est d’évaluer les différentes contributions du rayonnement à la
variation de quantité de mouvement d’un atome de masse m. Il considère qu’il y en a
deux : une première due au champ de rayonnement macroscopique caractérisé par sa
densité spectrale ρ, une deuxième due aux fluctuations microscopiques de ce champ.
On considère un atome à deux niveaux non dégénérés se déplaçant à la vitesse v = v(t) uZ,
l’impulsion k d’un photon étant repérée en coordonnées sphériques d’axe (Oz) par ses
angles θ et φ. Les notations concernant les niveaux d’énergie et les coefficients d’Einstein
sont les mêmes que précédemment. Toutes les quantités notées sans prime sont évaluées
dans le référentiel du laboratoire et celle avec prime dans le référentiel de l’atome.
Afin d’alléger les notations on notera simplement ρ(ω0) la densité volumique d’énergie
spectrale. Le calcul des taux d’absorption ou d’émission doit être fait dans le référentiel
de l’atome pour utiliser les coefficients d’Einstein.
La petitesse du rapport v/c permet de ne faire des calculs qu’au premier ordre en v/c.
L’un des effets majeurs du changement de référentiel est que la densité volumique
d’énergie spectrale vue par l’atome ρ’(ω’, θ’) n’est plus isotrope contrairement à ρ(ω) .
4. Par un raisonnement purement classique, montrer que la pulsation du rayonnement
vue par l’atome est, au premier ordre en v/c, 0 '  0 1  cos   . Cette relation reste

v
c

vraie en relativité au premier ordre en v/c.
On prend en compte, au premier ordre en v/c, l’effet d’aberration angulaire par
v
c
l’expression : cos '  cos  sin2  (φ, l’autre angle des coordonnées sphériques, est
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inchangé). De même on montre par les transformations de Lorentz simplifiées des champs
électrique et magnétique que l’on a :  '  ' , ' d ' d'  1  2 cos     d d où dΩ

v
c

désigne l’angle solide élémentaire.
5. En déduire ρ’(ω’, θ’) au premier ordre en v/c en fonction de ω’, θ’, v, c, ρ(ω’) et
d
 ' .
d '
On se propose de faire un bilan de quantité de mouvement en raisonnant sur le
rayonnement faisant un angle orienté θ’ avec v et occupant l’angle solide élémentaire
dΩ’. On raisonne sur un intervalle de temps δt >> 1/A21.
6. Expliquer pourquoi l’émission spontanée ne produit, en moyenne, aucune variation de
quantité de mouvement sur le laps de temps considéré.
7. Seules contribuent donc, en moyenne, l’émission stimulée et l’absorption. Montrer que
la composante suivante (Oz) δFz de la force moyenne ressentie par l’atome de la part
du
rayonnement
,
pendant
δt,
est
donnée
par :
Fz 
B12 0 '
cos  ' N1  N2   ' 0 ' , '  d' .
4 c
8. En déduire que la force totale moyenne est donnée par Fz = -Rv(t) où
R  B12 N1  N 2 

  0   0 d
  0  .
2  3 d
c 
0

La force obtenue est une force dissipative et correspond à la première contribution
cherchée.
On souhaite maintenant prendre en compte les fluctuations de cette force qui ont tendance
à augmenter l’énergie cinétique de l’atome car à chaque processus d’émission ou
d’absorption, l’atome gagne une énergie de recul. L’atome subit donc une force
fluctuante suivant (Oz) que l’on peut noter Fz + F’z où F’z est de valeur moyenne nulle.
Pendant δt , l’atome subit donc une variation de quantité de mouvement due à Fz ainsi
qu’une autre due aux fluctuations des processus d’émission et d’absorption que l’on peut
n
écrire : Δz =   iz où les δiz sont les composantes suivant (Oz) de vecteurs aléatoirement
i 1
orientés δ, de norme  k0 , et où n est le nombre total de processus d’absorption et
d’émission ayant eu lieu pendant δt.
9. Effectuer un bilan de quantité de mouvement pour l’atome entre t et t+ δt et exprimer
v(t+ δt) en fonction de v(t), Fz et Δz.
10. v(t) et Δz étant décorrélées, montrer qu’à l’équilibre thermique on a la
relation : 2
R


2z
t
où R est le coefficient introduit en B.8. et <..> désigne la moyenne
d’ensemble. On ne retiendra que les termes d’ordre un en δt.
11. En utilisant la question C.1.,
n  2 N1B12  0  t .
12. En
déduire
montrer qu’à l’équilibre thermique on a
que
la densité spectrale d’énergie vérifie l’équation :
 0 d
0    0   0  00  .
3 d
3 e
1
13. Vérifier que la distribution de Planck ρP(ω0,T) est bien solution de cette équation. On
peut montrer mathématiquement que la solution est unique.
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Partie II : Traitement semi-classique de l’interaction lumière- atome.
A. Equations d’évolution pour un atome à deux niveaux.
On cherche à déterminer une expression des coefficients d’Einstein introduits de manière
phénoménologique dans la partie précédente. La description du champ étant classique dans
les équations d’Einstein, on se contente d’un traitement semi-classique où seule l’énergie de
l’atome est quantifiée.
On se place dans l’approximation d’un atome à deux niveaux d’énergie non dégénérés E1 et
E2 tels que E2 – E1 =  ω0 . Cette approximation est justifiée si l’on envisage l’interaction de
l’atome avec une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsation ω telle que
δω = ω - ω0 avec  << ω0. On note par ailleurs  1 (respectivement  2 ) l’état propre
normé de l’atome correspondant au niveau d’énergie E1 (respectivement E2).
L’Hamiltonien de l’atome en présence du champ électromagnétique s’écrit : Hˆ  Hˆ 0  Vˆ où
Ĥ 0 est l’Hamiltonien de l’atome isolé et Vˆ le terme d’interaction entre l’atome et le champ.
Classiquement on utiliserait l’expression V= -p.E où p représente le moment dipolaire
électrique de l’atome et E le champ électrique de l’onde. Le traitement semi-classique
impose que E reste un champ classique alors que p devient un opérateur.
On pose E (r, t) = E0(r) cos (ωt). On s’intéresse au cas où λ, longueur d’onde de l’onde
électromagnétique, est très grande devant les dimensions de l’atome (approximation
dipolaire).
1. Quelle approximation peut-on faire alors sur l’expression de Vˆ ?
2. Expliquer pourquoi  1 Vˆ  1 et  2 Vˆ  2 sont nuls.
Dans la suite on suppose E0(r) porté par uz et on note μ12z l’élément de matrice
 1 pˆ z  2 ( p̂z = p̂ .uz). On admettra que cet élément de matrice est nécessairement réel.
3. L’état normé de l’atome à l’instant t s’écrivant  t   c1t  e
i
E1t

 1  c 2 t  e
i
E 2t

2 ,
établir que l’évolution de c1(t) et de c2(t) est donné par :
c1 t  
c 2 t  
i R
2
i R
2
e 
e 

  c t 
i  0 t
 e  i  0 t c 2 t 
i  0 t
 e  i  0
t
1
où ΩR est la pulsation de Rabi que l’on exprimera en fonction des données (on peut la
choisir positive dans perdre en généralité).
Dans toute la suite de cette partie on suppose que l ‘état initial de l’atome est c1(0) = 1 et
c2(0)= 0.
B. Limite en champ faible : coefficients d’Einstein.
On s’intéresse dans un premier temps au cas où la densité volumique d’énergie
électromagnétique est suffisamment faible pour que l’onde électromagnétique ne perturbe que
faiblement l’atome. Cela entraîne que , pour tout t > 0, c1(t) ≈ 1 et c2 t  << 1.
On se propose alors de résoudre de manière perturbative les équations différentielles
précédentes.
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  t 
 R  2
 où
 t sin c 2 

 2 
 2 
1. Montrer que l’on a, en très bonne approximation, c 2 t   
2
sin c x  
sinx 
. Commenter le résultat obtenu.
x
2
2. En considérant le cas où il y a résonance entre le champ et l’atome, montrer que
l’expression obtenue n’est pas en accord avec le taux d’absorption introduit par
Einstein (on réfléchira en particulier à sa dépendance temporelle).
Pour faire le lien avec la théorie d’Einstein, il convient donc d’affiner le modèle.
On considère désormais que :
 La raie atomique n’est pas infiniment fine (et c’est l’une des raisons pour
lesquelles l’émission spontanée existe). On note Δω sa largeur en pulsation. Il
faut donc prendre en compte toutes les radiations dans l’intervalle [ω0 –
Δω/2 ; ω0 + Δω/2 ].
 De plus , les modes étant incohérents entre eux, on doit sommer leur
contribution sur Ic2(t)I2.
3. ρ(ω) désignant la densité volumique d’énergie spectrale montrer que l’on a alors
l’expression : c 2 t  
2
2
12
z
2
2  0
0 

2

0 
   0 

2

   sin c 2 

2
t 
d .


4. Dans le cas Δω t >> 1, vérifier que l’on obtient : c 2 t  
2
2
la dépendance temporelle de c 2 t  .
2
 12
z
2 0
 0  t . Commenter
Pour retrouver les coefficients d’Einstein il faut prendre en compte l’isotropie du
rayonnement d’équilibre thermique. Dans ces conditions la polarisation rectiligne suivant uz
envisagée jusque là est insuffisante.
5. Montrer alors, en sommant sur toutes le directions possibles du champ électrique E,
que l’on obtient pour le coefficient d’absorption
12   1
l’expression: B12 
2
 12
3 2  0
où
pˆ  2 .
6. En déduire une expression littérale du taux d’émission spontanée A21. Evaluer
numériquement ce coefficient en explicitant clairement les ordres de grandeurs retenus
pour les différents termes. Discuter la cohérence du résultat.
7. Le cas envisagé (Δω t >> 1) correspond- il à une restriction sévère ?
C.
Limite en champ fort : oscillations de Rabi.
La partie précédente traitait du cas où l’absorption était faible. Ici on ne fait plus de
traitement pertubatif du problème et on se place à la résonance. Les conditions initiales sont
celles exposées en fin de II. A.
1. Montrer dans ce cas que la résolution du système différentiel pour c1(t) et c2(t), en ne
tenant
compte
que
des
termes
résonants,
conduit
à:
2
2
 t 
 t 
c1 t   cos 2  R  ; c 2 t   sin2  R  . On parle d’oscillations de Rabi.
 2 
 2 
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Le résultat précédent oublie tout processus pouvant faire perdre la cohérence de l’évolution,
en particulier l’émission spontanée.
2. Quels autres types de processus sont susceptibles d’influencer de manière incohérente
c1(t) et c2(t) ?
3. On note τ la durée caractéristique sur laquelle se manifeste une évolution incohérente.
Quelle inégalité doivent vérifier ΩR et τ pour que l’on puisse observer des oscillations
de Rabi ?
4. La durée de vie de l’état 2p de l’atome d’hydrogène est τ = 1,6 ns (on n’envisage que
l’émission spontanée vers l’état 1s). En explicitant clairement votre raisonnement,
évaluer numériquement la valeur de la puissance surfacique du champ
électromagnétique nécessaire pour observer des oscillations de Rabi de la transition
2p→1s. Commenter.
D.
Prise en compte des phénomènes d’amortissement. Equations de Bloch optiques.
On appelle phénomène d’amortissement tout processus incohérent intervenant dans la
dynamique de c1(t) et de c2(t). La distinction champ fort/champ faible se fait en comparant ΩR
au taux d’amortissement global γ qui caractérise spectralement les phénomènes dissipatifs.
2
On donne ci-dessous l’évolution de c 2 t  au cours du temps pour différentes valeurs du
rapport

R
.
Toute la dynamique d’un atome à deux niveaux peut être décrite à partir de la matrice densité
̂ d’éléments : ρij = <ci*cj> où i,j = 1,2 et <… > désigne une moyenne d’ensemble (dans le
cas envisagé tous les atomes sont identiques et cette moyenne d’ensemble est inutile).
1. Quelle est l’interprétation physique des termes diagonaux de la matrice densité ?
L’évolution des éléments de matrice de ̂ peut être ramenée à celle des composantes d’un
vecteur unitaire de l’espace ordinaire dont les composantes (u,v,w) vérifient le système
différentiel, appelé équations de Bloch optiques :

u   v 
u
2


v   u 
v  Rw
2
w   R v   w  1

avec u  12e i t   21e i t ; v  i 12e i t   21e i t ; w  11   22 .
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2. En l’absence de phénomènes dissipatifs, vérifier brièvement que l’on retrouve les
oscillations de Rabi de la partie II.C.
3. On se place en l’absence de champ extérieur. Etablir l’expression de ρ22(t) et vérifier
quelle est conforme à celle physiquement attendue.
On revient au cas général (atome en présence de champ extérieur et prise en compte de
phénomènes dissipatifs). On s’intéresse à la solution des équations de Bloch dans le cas
stationnaire.
4. Etablir qu’en régime stationnaire  22 
 R2 / 4
2
2
 
     R
2
2
.
2
5. Si on se place en champ intense et à la résonance, vers quelle limite tend ρ22 ? En
déduire l’impossibilité d’un milieu amplificateur constitué d’atomes à deux niveaux.
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Partie III : Principes du refroidissement laser d’atomes libres. Limite Doppler.
On s’intéresse dans cette partie au refroidissement d’ un gaz atomique par laser. On
commence par dégager le principe du ralentissement d’un jet atomique thermique par des
processus radiatifs puis on s’intéresse à l’obtention d’une mélasse optique permettant de
refroidir un ensemble d’atomes. On cherche alors à déterminer la température minimale
atteignable par ces processus. Dans toute cette partie on négligera l’action de la pesanteur.
A. Principe des forces radiatives. Ralentissement d’un jet atomique.
On envisage toujours un atome à deux niveaux non dégénérés de pulsation de résonance
ω0. On note γ la probabilité d’émission spontanée par unité de temps, processus que l’on
suppose isotrope. Les notations adoptées sont les mêmes que dans la partie II.
Un faisceau laser de pulsation ωL se propage suivant la direction –uz . On note kL= - kLuz
le vecteur d’onde correspondant avec kL > 0. Comme on l’a montré précédemment, les
processus d’absorption et d’émission mettent en jeu des transferts de quantité de
mouvement.
On cherche à exprimer la force ressentie par l’atome en présence de ce champ laser.
1. Expliquer pourquoi les seuls processus à prendre en compte correspondent à un cycle
de fluorescence {absorption/émission spontanée}.
2. Quelle est la variation moyenne de quantité de mouvement d’un atome lors d’un tel
cycle ?
3. En déduire que la force ressentie par l’atome est : F =  γ ρ22 kL où ρ22 est l’élément
de matrice densité défini en II. D.
4. On suppose que l’atome se déplace avec une vitesse v = v uz. Montrer que F s’écrit :
F =  kL
  R2 / 4
2
2
 
2
   R  L  0  k Lv 
2
2
 
. En déduire comment doit être choisie la
fréquence du laser pour que la force ressentie soit maximale pour un atome de vitesse
v.
5. Si l’on se place en champ intense (notion définie dans la partie II), préciser
l’expression de la valeur maximale de la norme de F notée Fmax.
On raisonne sur un jet homocinétique d’atomes de sodium 23
11Na , sortant d’un four à la
température de 600°C. La durée de vie de l’état excité envisagé est τ = 16 ns et la
longueur d’onde de la transition à résonance est λ0 = 589 nm. On raisonne dans les
conditions de la question A. 5. et on ne s’intéresse qu’au mouvement dans la direction
(Oz).
6. Evaluer l’accélération a ressentie par un atome de sodium dans ces conditions.
Comparer cette accélération à celle de la pesanteur g.
7. Si l’on admet que la force reste fixée à sa valeur maximale durant tout le mouvement
de l’atome, calculer le nombre de cycles {absorption/émission} nécessaires pour
stopper celui-ci ainsi que la distance parcourue entre le four et le point d’arrêt.
8. Un procédé expérimental pour conserver la condition obtenue en A.4. durant tout le
mouvement des atomes consiste à modifier la fréquence du laser pendant le
mouvement (« chirp cooling »). Une autre méthode repose sur l’utilisation de l’effet
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Zeeman à ωL fixée en présence d’un champ magnétique inhomogène. Discuter
brièvement le principe de cette dernière méthode.
B. Principe d’une mélasse optique.
Le refroidissement radiatif d’atomes nécessite l’utilisation de plusieurs faisceaux laser, en
effet pour couvrir toutes les directions de l’espace une configuration de faisceaux laser
comme celle représentée ci-dessous s’impose.
Configuration expérimentale.
Au centre de la figure se trouve le gaz atomique vers lequel on fait converger 6 faisceaux
laser.
Les intensités laser sont suffisamment faibles pour que les effets de chaque onde laser
s’additionnent simplement. On rappelle que la limite des champs faibles se traduit
également par l’inégalité γ >> ΩR. L’émission spontanée sera par ailleurs totalement
négligée. On n’envisage pour le moment qu’un mouvement unidimensionnel dans la
direction (Oz). L’atome se déplace donc à la vitesse v = v uz et ressent les effets d’une
onde laser de pulsation ωL se propageant suivant uz et d’une deuxième onde de même
pulsation se propageant suivant -uz.
1. Donner l’expression de la force totale F = F (v) uz ressentie par l‘atome dans les
hypothèses de l’énoncé. On notera δω = ωL – ω0 l’écart entre la pulsation de l’onde
laser et celle de la transition atomique.
2. Représenter graphiquement l’allure de F(v) pour δω <0. Expliquer en quoi on obtient
bien un ralentissement de l’atome quel que soit le sens de son mouvement.
Dans toute la suite, on se place dans la limite kLv << γ.
3. En utilisant les valeurs numériques correspondantes à l’atome de sodium (III.A.),
vérifier qu’il est possible de satisfaire cette hypothèse pour un ensemble d’atomes.
On note n0 le nombre moyen de cycles de fluorescence {absorption/émission spontanée} par
unité de temps d’un atome de vitesse nulle.
4. Montrer que la force radiative admet alors l’expression approchée : F   v où
  4 k L2 n0

 
2
2
.
4
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On obtient bien une force de friction pour δω < 0. Le raisonnement pouvant porter sur
chaque direction de l’espace, la lumière laser crée donc une « mélasse optique » où chaque
atome ressent une force F = -α v.
5. Pour des atomes dans l’intervalle de vitesse considéré, quelle valeur choisir, a priori,
pour l’écart δω afin d’optimiser la mélasse optique ?
C. Limite du refroidissement Doppler.
Afin de trouver la limite de l’énergie cinétique moyenne et donc de la température finale
atteignable dans un échantillon d’atomes refroidis par laser il faut prendre en compte les
fluctuations de la force radiative dont la moyenne a été calculée dans la partie précédente.
On note m la masse d’un atome.
On se place dans une situation où la hiérarchie temporelle est respectée : γ -1 << n0-1 <<
m

.
Cela signifie qu’un atome reste excité pendant une durée moyenne γ-1, durée faible comparée
à la durée qui sépare deux cycles de fluorescence.
1. Interpréter physiquement la dernière inégalité.
On se propose de raisonner dans l’esprit du calcul fait en I.C. en opérant un bilan de quantité
de mouvement sur l’atome pendant une durée δt. On choisit une durée telle que γ -1 << δt
<<
m

.
On raisonne sur un atome se déplaçant suivant l’axe (Oz) dans le champ laser créé par deux
ondes de même pulsation ωL et de vecteurs d’onde opposés  kL avec kL = kL uz. Toutes les
grandeurs se référant à l’onde de vecteur kL seront indicées + et celles se référant à l’onde de
vecteur -kL seront indicées -.
Ainsi pendant δt, l’atome de vitesse v(t) absorbe N+ et N - photons et en réémet autant par
émission spontanée. On note n+ (respectivement n-) le nombre moyen de cycles de
fluorescence {absorption/émission spontanée} par unité de temps due à l’onde correspondant
à kL (respectivement - kL).
N+ et N- sont des grandeurs aléatoires que l’on admettra indépendantes du fait de l’hypothèse
du champ faible et dont la distribution de probabilité est supposée Poissonienne.
La distribution de probabilité de Poisson d’une variable aléatoire entière naturelle n est
donnée par : P n  
2.
3.
4.
5.
n
n!
e 
où  est un paramètre réel positif.
Vérifier que cette distribution est normalisée.
Montrer que la valeur moyenne <n> est égale à .
Calculer l’écart quadratique moyen n en fonction de <n>.
Exprimer les valeurs moyennes de N+ et N - notées respectivement <N+> et <N -> en
fonction de n+, n - et δt. En déduire leurs écarts quadratiques moyens.
On opère un bilan de quantité de mouvement sur un atome pendant un intervalle de temps δt.
6. Exprimer formellement la variation de quantité de mouvement de cet atome suivant
(Oz) δpZ(t).
7. Calculer alors < δpZ(t)> et retrouver le résultat obtenu en B. 1.
8. Exprimer de même < δpZ2(t)> en fonction de  , kL, <N+> et <N ->.
On ne s’intéresse qu’au cas où kLv << γ, la force moyenne peut donc être approximée par la
relation F = - α v où α a été calculé en B.4.
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9. Exprimer alors la variation de l’énergie cinétique moyenne suivant (Oz) <δECZ> au
premier ordre en δt en fonction de  , kL, n0 , α , vz2 et δt.
2
10. Montrer qu’à l’équilibre thermique on a :
  2
1 4
k BT  
3
 
.
11. En déduire la température minimale atteignable par ce procédé et la calculer
numériquement pour des atomes de sodium.
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Partie IV : Refroidissement d’ions piégés.
Les premières expériences de refroidissement laser portèrent sur des ions préalablement
piégés par des forces électromagnétiques. Cette partie cherche à dégager certaines
caractéristiques physiques de ce type de situation.
A. Refroidissement des ions.
On suppose que les ions évoluent sans interaction dans un potentiel harmonique dont
l’origine sera étudiée dans la partie C. Leurs degrés de libertés externes sont traités
classiquement. Ils sont irradiés par un faisceau laser unique (que l’on supposera orienté
suivant +uz) de fréquence ωL inférieure à la fréquence de résonance ω0 des ions (on fait
pour les ions l’approximation qu’ils n’ont que deux niveaux d’énergie non dégénérés). La
force radiative qui en résulte a été calculée en III.A. 4. et on adopte les mêmes notations
que dans la partie III.
1. Expliquer brièvement pourquoi l’utilisation d’un faisceau laser unique est suffisante
pour refroidir les ions.
La température minimale atteinte est toujours donnée par la limite Doppler à savoir kBT
  . A la différence des atomes qui absorbent dans le visible, les ions ont des fréquences
de résonance se situant dans l’ultraviolet.
2. Quel problème expérimental cela a-t-il pu poser (en particulier dans les années 7080) ? Comment le surmonter ?
3. La valeur élevée de la fréquence de résonance a d’autres conséquences. En utilisant
l’expression du taux d’émission spontanée obtenu en II.B.6, discuter l’avantage que
l’on peut en tirer.
4. Par ailleurs évaluer l’ordre de grandeur de la température minimale atteignable par
des ions.
B. Mouvement dans un champ oscillant.
Il existe plusieurs configurations de champs électrique et magnétique, statiques ou
dépendant du temps, susceptibles de confiner (ou piéger) des ions dans une région de
l’espace. On se propose ici d’étudier celle correspondant au piège de Paul. L’effet de la
pesanteur sera négligé.
1. Démontrer qu’il n’existe aucun champ électrostatique permettant de créer dans le vide
une force de rappel dans toutes les directions de l’espace pour une particule de charge
électrique q.
On étudie alors le mouvement d’une particule chargée P de masse m dans un champ
électrique variable et non uniforme.
La force électrique obtenue est de la forme F(r,t) = F1(r) cos(Ωt). On admet que le
mouvement résultant de la particule P peut être alors décomposé en une somme du type
rP(t) = r0(t) + r1(t) cos(Ωt) où r0(t) et r1(t) évoluent lentement par rapport à des
oscillations de pulsation Ω, et, où ║r1(t)║ << ║r0(t)║. On suppose par ailleurs que F1(r)
dérive d’un potentiel dont les variations se font sur une échelle de longueur très
supérieure à ║r1║.
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F(r0)
- mΩ2 sous couvert d’une approximation que l’on
explicitera. Cette approximation sera vérifiée a postériori.
2. Montrer que l’on a r1 
L’évolution de r0(t) est pilotée par la moyenne temporelle de F sur une période 2π/Ω.
3. Calculer cette valeur moyenne au premier ordre en r1 en opérant les approximations
qui s’imposent compte tenu des ordres de grandeur des différentes échelles spatiales et
temporelles.
4. Montrer alors que le mouvement lent de l’ion P est celui d’une particule placée dans le
║F1(r)║2
potentiel effectif : Ueff(r) = 4mΩ2 .
C. Piège de Paul.
On considère la structure suivante qui comporte trois électrodes E1, E2 et E2’. Les
électrodes E2 et E2’ sont reliées électriquement. Leurs équations sont respectivement :
 (E1) x2+ y2- 2z2 = r02
 (E2) et (E2’) x2+ y2- 2z2 = -2z02
1. Faire un schéma représentant l’allure des électrodes dans l’espace en faisant
clairement apparaître r0 et z0.
On porte E1 au potentiel V0 et E2 (et E2’) au potentiel nul.
2. Montrer que le potentiel électrique résultant est alors : Φ(r) = Φ0 + A0 (x2+y2 -2 z2) où
V0 et A0 sont deux constantes à exprimer en fonction de Φ0, r0 et z0.
3. Montrer qu’un tel potentiel électrostatique ne peut piéger aucun un ion conformément
au résultat de la question B.1.
On applique sur les électrodes E2 et E2’ un potentiel dépendant du temps V(t) =
V1cos(Ωt), l’électrode E1 étant toujours portée au potentiel V0. On donne Ω = 70.106 s-1,
r0 = 2,5 mm et z0= 1,8 mm.
4. Montrer que l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) s’applique.
Dans le cadre de l’ARQS le potentiel électrique devient alors :
Φ(r,t) = Φ0(t) + (A0 +A1 cos(Ωt))(x2+y2 -2 z2).
5. Donner les expressions de A0 et A1.
6. En utilisant les résultats de la partie B, exprimer l’énergie potentielle effective totale
ressentie par un ion de charge e et de masse m en fonction de m, e, Ω, A0 et A1.
7. En raisonnant dans un plan (A0, A1), indiquer dans quelles conditions il faut se placer
pour obtenir un potentiel de piégeage. On précisera la courbe correspondant à une
énergie potentielle isotrope.
8. Pour un ion Mg+ de masse m = 3,9.10-26kg, évaluer numériquement les pulsations
d’oscillations dans le piège sachant que V0= 0 V et V1 = 165V. Les ordres de
grandeurs numériques sont-ils en accord avec les hypothèses sur le mouvement faites
dans la partie B ?
FIN DE L’EPREUVE
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