Les aberrations - Le Repaire des Sciences

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Les aberrations
Dans la première fiche1 ont été définies les images données par un système centré. Les
relations de position et de grandissement qui ont été données permettent de rechercher
la position d'une image et de calculer sa dimension dans les conditions de Gauss, la
source lumineuse étant monochromatique. Dans ces conditions les rayons considérés
sont paraxiaux c'est-à-dire proches de l'axe optique et peu inclinés par rapport à celui-
ci. Dans le cadre de cette approximation paraxiale, l'image d'un point est un point. Pour
des systèmes optiques réels la lumière utilisée est le plus souvent la lumière blanche et
les rayons incidents peuvent être relativement éloignés de l'axe optique et/ou fortement
inclinés. Il apparaît alors certains défauts au niveau de l'image appelés aberration
chromatique et aberrations géométriques.
I Les aberrations chromatiques
L'aberration chromatique apparaît lorsque la source lumineuse n'est pas
monochromatique. Elle est due au fait que l'indice de réfraction n d'un matériau dépend
de la longueur d'onde de la lumière, c'est le phénomène bien connu de dispersion de la
lumière par un prisme2.
Pour un rayon incident de lumière blanche à la hauteur h de l'axe optique, une lentille
mince peut être considérée comme un petit prisme d'angle au sommet  (figure 1).
A
D
D
h
figure 1
La déviation due à un prisme est plus importante pour les composantes bleues. Aussi,
quand une lentille mince convergente est éclairée par un faisceau parallèle de lumière
blanche, le foyer de la lentille pour les composantes bleues est situé plus près de la
lentille que celui pour les composantes rouges (figure 2). L'écart entre ces deux foyers
dépend de la variation de l'indice n du matériau pour les deux longueurs d'onde
correspondant à la lumière bleue et rouge.
1 Voir OPTIQUE ET PHOTONIQUE n° 4 1998
2 Voir OPTIQUE ET PHOTONIQUE n° 3 1999

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Lumière bleue
Lumière rouge
F'
b
F'
r
figure 2
La distance focale d'une lentille mince dépend de l'indice et des mesures algébriques
des rayons de courbure R1 = S1C1 et R2 = S2C2 des deux dioptres de la lentille (figure
3) :
1
f'
= (n -1)
1
R
1
-1
R
2
Ê
Ë
Á
Á
ˆ
¯
˜
˜
(1)
C
1
C
2
S
1
S
2
R
1
> 0
R
2
< 0
figure 3
En général quand la longueur d'onde augmente (passage de la lumière bleue à la
lumière rouge) l'indice de réfraction n diminue, par conséquent la distance focale
augmente. Les différents points de focalisation correspondants aux différentes couleurs
du spectre se forment à des distances plus ou moins grandes de la lentille. La distance
F'bF'r mesurée pour les deux longueurs d'onde 486,1 et 656,3 nm s'appelle l'aberration
chromatique longitudinale.
De même si une lentille divergente est éclairée par un faisceau parallèle de lumière
blanche, la déviation est plus importante pour la lumière bleue que pour la lumière
rouge (figure 4). Le foyer image des composantes bleues de la lumière F'b est situé plus
près de la lentille que F'r foyer image des composantes rouges de la lumière.

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F'
r
F'
b
figure 4
Si on associe une lentille convergente et une lentille divergente dont les aberrations
chromatiques longitudinales sont de signe contraire mais de mêmes valeurs absolues
(figure 5 a, b), les aberrations se compensent, les rayons émergents sont confondus, il
n'y a plus qu'un seul foyer image F' pour l'ensemble des deux lentilles (figure 5 c).
L'association de ces deux lentilles constitue un doublet achromatique si la correction est
faite pour deux longueurs d'onde (une radiation bleue et une rouge). En choisissant les
rayons de courbure R1 et R2 appropriés et en utilisant des verres d'indice différent, il est
possible d'obtenir un tel doublet. À titre d'exemple, le doublet pourra être constitué
d'une lentille convergente en crown dont l'indice est égal à 1,52238 pour la longueur
d'onde 486,1 nm et 1,51432 pour la longueur d'onde 656,3 nm associée à une lentille
divergente en flint dont les indices pour les deux longueurs d'onde précédentes sont
respectivement 1,74648 et 1,72085.
Les doublets achromatiques sont également corrigés de l'aberration sphérique qui est
présenté plus loin.

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F'
b
F'
r
F'
b
F'
r
F'
(a)
(b)
(c)
figure 5
II Les aberrations géométriques
Dans ce paragraphe sont présentées les aberrations géométriques dans leur ensemble,
chacune des quatre aberrations est ensuite abordée séparément. Il faut bien garder à
l'esprit que toutes les aberrations géométriques sont aussi entachées d'aberration
chromatique.
Dans le cadre de l'approximation de Gauss, des approximations du premier ordre sont
faites, seul le premier terme des développements en série est retenu. Ainsi, pour le
développement en série de la fonction sin q :
sin q = q -
q
3
3!
+
q
5
5!
-
q
7
7!
+ …
seul le terme q est retenu :
sin q ª q
Pour des angles inférieurs à 15°, l'erreur introduite est inférieure à 1%. Si les deux
premiers termes du développement sont conservés, l'écart entre la valeur de sin q et la
valeur approximative au troisième ordre est inférieur à 0,3 % pour des angles de l'ordre
de 40°. Avec une approximation du troisième ordre la description de la formation des
images par un système optique centré quelconque est plus réaliste.
Soit A' l'image d'un point A situé sur l'axe optique d'un système centré S et B un point
contenu dans le plan de front P contenant A, perpendiculaire à l'axe optique et tel AB
soit dirigé suivant l'axe Oy (figure 6). Dans les conditions de Gauss l'image B'G du point
B est située dans le plan P' image du plan P par le système S. La dimension de l'image
A'B'G est égale à :

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A'BG'=gyAB
gy représentant le grandissement transversal associé au couple de plans P, P'. Compte
tenu de la symétrie cylindrique d'un système centré on ne restreint en rien la généralité
du problème en choisissant le point B sur l'axe Oy.
En dehors des conditions de Gauss l'image constituée par l'intersection des rayons
émergents issus du point B de directions peu différentes de celle du rayon BI se forme
en B' située à dy' et dz' du point B'G. La distance B'B'G mesure l'aberration transversale.
Les composantes dy' et dz' dépendent de la dimension y de l'objet AB et de la distance h
du point I du système imageur à l'axe optique.
B
A
C
A’
C’
G
B’
G
C’
B’
x’
y’
z’
z
y
h
dy’
dz’
I
J
P’
P
figure 6
Soit maintenant un point C situé dans le plan de front P, diamétralement opposé au
point B par rapport au point A. Compte tenu de la symétrie cylindrique l'image du point
C donnée par l'ensemble des rayons situés autour de CJ est en C' située à (-dy') et (-dz')
de C'G. Du changement de signe de dy' et dz' on en déduit que les composantes dy' et dz'
sont des fonctions impaires de y et h, leur développement en série ne contiennent que
des termes de degré impair. Les termes du premier ordre du développement donnent la
position de l'image de Gauss, les termes du 3ème ordre positionnent l'image par rapport à
l'image paraxiale. Ces derniers mesurent les aberrations géométriques.
• Le terme en h3 caractérise l'aberration sphérique. C'est une aberration d'ouverture
du système imageur.
• Le terme en y' 3 caractérise la distorsion. Cest une aberration de champ.
• Le terme en h2 y' caractérise la coma. C'est une aberration d'ouverture et de champ,
l'aberration d'ouverture étant plus importante que l'aberration de champ.
• Le terme en hy' 2 caractérise l'aberration d'astigmatisme et de courbure. L'aberration
de champ étant plus importante que l'aberration d'ouverture.
Dans les paragraphes suivants sont décrits de façon qualitative les quatre aberrations
géométriques, pour simplifier le système optique est réduit à une lentille mince.
II.1 Aberration sphérique
C'est une aberration d'ouverture qui peut être expliquée simplement si on considère
qu'une lentille mince est constituée d'une succession de petits prismes d'angles au
sommet de plus en plus faible au fur et à mesure que l'on se déplace de l'extrémité de la
lentille vers son centre optique (figure 7). Or la déviation d'un rayon lumineux par un
prisme d'indice n, de faible angle au sommet A est proportionnelle à A :
D=(n-1)A