Fluide parfait – théorème de Bernoulli Fl2 - ECOULEMENT D’UN FLUIDE PARFAIT Dans cette expérience, nous étudions l’écoulement stationnaire laminaire d’un fluide (l’eau) à travers un orifice circulaire, en négligeant la viscosité du fluide et en supposant ce fluide incompressible. Dans ces conditions, l’écoulement de ce fluide dit "parfait" peut être décrit par le théorème de Bernoulli (décrit au §1.2.). Un écoulement est dit stationnaire ou permanent si en chaque point de l’espace occupé par le fluide la vitesse d’écoulement reste constante au cours du temps. Dans ce cas, on peut tracer des "lignes de courant" qui sont tangentes en chaque point à la vitesse du fluide et qui représentent les trajectoires fixes suivies par les particules du fluide. Si on considère une petite surface dA normale à la direction du courant, en traçant les lignes de courant qui passent par le contour de cette surface, on délimite un tube de courant de section droite dA. Tubes de courant Dans le cas d’un écoulement stationnaire, le fluide coule dans ces tubes de courant comme si ces tubes avaient des parois fixes. THEORIE 1. Equation de continuité : conservation du débit. Soit la situation présentée à la figure 1a, où de l’eau s’écoule à travers un orifice percé dans une face d’un réservoir. L’écoulement par l’orifice met tout le liquide en mouvement dans le réservoir et on peut diviser le liquide en lignes de courant (fig.1.a). Mais ceci est assez compliqué à faire de façon précise, même pour un réservoir de forme simple. En fait, on n’a pas besoin de connaître le trajet suivi par ces lignes de courant, il suffit de savoir que toutes les lignes de courant prennent naissance à la surface libre du liquide et aboutissent à l’orifice du réservoir. La figure 1b montre l’écoulement avec plus de détails. Figure 1a Figure 1b Les lignes en pointillé sont des lignes de courant. Considérons alors le tube de courant (en trait plein) de la figure 1b et deux sections A1 et A2 de ce tube. Lorsque le fluide avance, au point 1, d’une distance ds1 et pendant le même temps, au point 2, d’une distance ds2, et que le fluide est incompressible, les volumes de liquide correspondants (parties hachurées sur la figure 1b) sont égaux, c’est-à-dire : 1 Fluide parfait – théorème de Bernoulli Fl2 - A 1 ⋅ ds1 = A 2 ⋅ ds2 (1) A 1 ⋅ v1 = A 2 ⋅ v 2 ds1 ds = A2 ⋅ 2 Ö dt dt ce qui exprime la conservation du débit d’écoulement (aussi appelée équation de continuité). Ö A1 ⋅ 2. Théorème de Bernoulli Ce théorème établit la relation qui lie la vitesse d’écoulement d’un fluide à la pression dans ce fluide 1°/ Le travail dW effectué durant le déplacement du fluide du point 1 au point 2 est : dW = p1 ⋅ A 1 ⋅ ds1 = p 2 ⋅ A 2 ⋅ ds2 (2) où p1 et p2 sont les pressions aux extrémités du tube considéré. Ce travail est égal à la variation d’énergie (potentielle + cinétique) du fluide dans le tube. L’énergie cinétique du fluide qui entre dans le tube par la section A1 est : m1 ⋅ v12 1 = ρA 1 ds1 v12 2 2 où v1 est la vitesse du fluide au point 1 et ∆ sa masse volumique. L’énergie cinétique du fluide quittant le tube par la section A2 est donnée par une expression analogue en fonction de sa vitesse v2 en ce point. La variation d’énergie cinétique du fluide est donc : dE cin = dK = 1 1 ρ A 2 ds2 v 22 − ρ A 1 ds1 v12 2 2 (3) De façon similaire, la variation d’énergie potentielle due à la variation de la coordonnée verticale y du fluide entre les points 1 et 2 est donnée par : dE pot = dU = m2 g y 2 − m1 g y1 b = ρ g A 2 ds2 y 2 − A 1 ds1 y1 g (4) La variation totale d’énergie dK + dU est égale au travail effectué dW exprimé par (2). Utilisant l’équation (1) pour éliminer les termes Ai dsi (i = 1 ou 2), on obtient : 1 2 1 2 ρ v 2 − ρ v1 + ρ g y 2 − ρ g y1 2 2 1 1 ou encore p1 + ρ v12 + ρ g y1 = p 2 + ρ v 22 + ρ g y 2 2 2 (5) p1 − p 2 = De façon générale, ce résultat qui constitue le théorème de Bernoulli indique que la quantité p+ 1 2 ρv + ρg y 2 est constante le long d’une ligne de courant. Rappelons que le théorème de Bernoulli s’applique à l’écoulement stationnaire laminaire d’un fluide "parfait" à travers un tube de section relativement large (comparé à un tube capillaire). 2 Fluide parfait – théorème de Bernoulli 3. Fl2 - Trajectoire : détermination de la vitesse de sortie. Appliquons le théorème de Bernoulli à la situation schématisée à la figure 2 : 2 1 dy1 1 p1 + ρ + ρ g y1 = p 2 + ρ v 22 + ρ g y 2 (7) 2 dt 2 où 1 est un point de la surface horizontale du liquide Ö p1 est la pression atmosphérique = patm. FG IJ H K y x Figure 2 L’équation (7) nous permet de déterminer la vitesse du fluide sortant du réservoir en considérant que le point 2 est le point central de l’orifice de sortie du réservoir, qui est, comme la surface horizontale du liquide, exposé à la pression atmosphérique. 2 1 dy1 1 p atm + ρ + ρ g y1 = p atm + ρ v 02 + ρ g y 0 2 dt 2 où v0 est la vitesse du fluide à la sortie de l’orifice d’ordonnée y0. On obtient ainsi l’équation : 2 1 dy1 1 + g y1 = v 20 + g y 0 2 dt 2 2 dy1 ou encore (8) v 0 = 2 g y1 − y 0 + dt FG IJ H K FG IJ H K g FGH IJK b L’équation (8) traduit la conservation de l’énergie : l’énergie potentielle ∆g(y1-y0) s’est complètement transformée en énergie cinétique à hauteur de l’orifice. D’autre part, à la sortie du réservoir, l’eau qui jaillit du trou est accélérée par la pesanteur. Mais cette dernière agit de la même manière sur toutes les gouttelettes qui constituent le jet et la trajectoire qu’elles suivent est dès lors celle d’un objet en chute libre. La vitesse initiale de ce mouvement est celle du jet à la sortie du réservoir, elle est donc horizontale, et les équations du gt 2 mouvement sont : x = x0 + v0 t y = y0 − 2 2 v 20 2 y − y0 = 0 (9) Eliminant le temps t entre ces deux équations, on obtient : x − x 0 + g soit l’équation d’une parabole. 1/ 2 Cette équation réécrite sous la forme g v0 = x − x0 (10) 2 y0 − y b b g gLM b N OP gQ b g permet de déterminer la vitesse v0 du fluide à la sortie de l’orifice, connaissant les coordonnées (x0y0) de celui-ci et les coordonnées d’un point (x,y) choisi arbitrairement sur la trajectoire parabolique du fluide. 3 Fluide parfait – théorème de Bernoulli Fl2 - MANIPULATION ECOULEMENT D’UN FLUIDE PARFAIT 1. DISPOSITIF EXPERIMENTAL Vous avez à votre disposition deux réservoirs en plexiglass dont les dimensions sont approximativement (vérifiez-le) : (hauteur × longueur × largeur) = (40 cm × 20 cm × 10 cm) pour le réservoir 1, appelé réservoir de stockage, et (20 cm × 20 cm × 10 cm) pour le réservoir 2, appelé réservoir récepteur. Ils seront placés comme montré sur la figure 3a. Sur une face du réservoir de stockage est percé un trou T, sur lequel on peut placer une capsule C à l’aide d’un écrou E (figure 3b). (Attention de placer la capsule dans le sens indiqué sur la figure 3b : partie protubérante dirigée vers l’extérieur du réservoir). Placez les deux réservoirs de façon à ce que la face externe de la capsule coïncide avec la face interne du réservoir récepteur. Figure 3(a) (b) Vous disposez de 8 capsules différentes. Chacune est percée d’un trou d’un certain diamètre dont la valeur (en mm) est indiquée sur celle-ci. Sur les réservoirs, vous placerez des bandes de papier millimétrique qui vous permettront de mesurer y0 et y1 respectivement, l’ordonnée du centre du trou par lequel le liquide s’écoule et l’ordonnée du liquide dans le réservoir de stockage. En écrivant l’équation (9), on a tenu compte que le jet de fluide est horizontal à la sortie du trou puisque v0 n’a pas de composante suivant y. Pour déterminer v0, il suffit dès lors de mesurer les coordonnées (x,y) d’un point quelconque de la trajectoire. On peut par exemple prendre le point d’impact du liquide dans le réservoir récepteur , soit sur la paroi verticale que le jet vient frapper (au début de l’écoulement), soit à la surface de l’eau. Vous utiliserez une équerre pour suivre le déplacement du point. Pour être cohérent, il faut choisir comme origine des coordonnées le point 0 du réservoir de stockage, et comme origine des abscisses le point x0 = 0 du réservoir de récepteur (Figure 4). 4 Fluide parfait – théorème de Bernoulli Fl2 - Figure 4 Vous utiliserez comme liquide de l’eau colorée. La méthode de remplissage sera la suivante: après avoir fixé une capsule sur le trou du réservoir de stockage, vous remplirez celui-ci jusqu'au niveau y1 initial (y10). ATTENTION : Durant cette opération, et jusqu’au moment où vous débuterez l’expérience, vous boucherez le trou de la capsule à l’aide du doigt !!! 2. DETERMINATION DE LA TRAJECTOIRE Calculez les valeurs de vitesse de sortie v0, attendues suivant le théorème de Bernoulli pour les valeurs de y1-y0 données dans le tableau I (théorème de Bernoulli : relation (8) de l’introduction). Il est à noter que, pour calculer théoriquement v0 à partir de (8), la vitesse d’écoulement dans le dy1 réservoir de stockage peut être négligée, soit : =0 dt Justifier cette approximation à partir de la conservation du débit. Déterminez expérimentalement les valeurs de x et y correspondant à ces valeurs y1-y0. Complétez le tableau, en utilisant successivement les capsules de 2 et 3 mm de diamètre. Mesurez l’ordonnée y0 du centre du trou de la capsule qui est repéré sur le réservoir de stockage. y0 = .... ± ... cm 5 Fluide parfait – théorème de Bernoulli y1-y0 v0 théorique Fl2 - D = 2 mm y x v0 x D = 3 mm y v0 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 Tableau I En appliquant l’équation (10), calculez v0 et portez en graphique sur papier millimétrique les valeurs de v0 prédites théoriquement et obtenues expérimentalement en fonction de y1 - y0. Comparez ainsi sur le même graphique les valeurs expérimentales de v0 aux prédictions théoriques. Que peut-on en conclure ? (Tracez une courbe passant par les valeurs théoriques). Pourquoi? Quelle est l’influence de l’aire A0 de l’orifice? 3. RELAXATION - TEMPS DE DEMI-VIE L’équation (8) de la partie théorique est aussi appelée "loi de Torricelli". Elle peut être vérifiée en étudiant le temps de relaxation T du fluide dans le réservoir de stockage. Pour toute hauteur y de liquide dans ce réservoir, la vitesse initiale v0 de sortie du fluide est d’après l’équation (8) de la partie théorique : dy1 avec v 0 = 2 g y1 − y 0 = 0 car A 1 >> A 0 . dt b g En insérant cette valeur v0 dans l’équation de conservation du débit (1) de la partie théorique, on a : dy A (1) = − 0 2 g y − y0 dt A1 b g 6 Fluide parfait – théorème de Bernoulli Fl2 - L’intégration de cette équation donne la variation de la hauteur y de liquide dans le réservoir de stockage en fonction du temps : g A0 (2) y − y 0 = y1 − y 0 − t 2 A1 où (y1 − y0) est la hauteur de liquide à l'instant initial. Vous pouvez vérifier (exercice) que l’expression (2) est bien solution de l’équation (1). Le temps de demi-vie T, défini comme le temps nécessaire pour que la hauteur (y1 − y0) diminue de moitié sera donc : T= d i AA 2 −1 1 0 y1 − y 0 g (3) Ö Démontrer la relation (3) Après avoir mesuré A1 : A1 = cm² calculez les valeurs théoriques de T pour (y1 − y0) = 16 cm. Complétez le tableau II pour les différentes valeurs de A0. Déterminez pour les différentes capsules mises à votre disposition le temps de demi-vie en prenant (y1 − y0) = 16 cm. Complétez le tableau II et portez en graphique sur papier millimétrique les valeurs de T obtenues en fonction des valeurs de l’aire A0. D (mm) 2 A0 (cm2) 0,031 3 0,071 4 0,126 5 0,196 6 0,283 7 0,385 8 0,503 9 0,636 T expérimental T théorique TABLEAU II Comparez, sur le même graphique, les prédictions théoriques de T à vos résultats expérimentaux. Tracez une courbe passant par les valeurs théoriques. Que pouvez-vous conclure de la comparaison entre la courbe théorique et les valeurs expérimentales ? Déterminez les principales sources d’erreurs dans la détermination de v0 et de T. 7