Institut National Agronomique Paris-Grignon

Institut National Agronomique
Paris-Grignon
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Tronc commun de première année
D.Flick 2006/2007

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Préambule
L'objectif de ce cours est de présenter et d'appliquer (TD) les outils de base qui permettent
de décrire et prédire les phénomènes de transfert de matière, de quantité de mouvement (forces) et
d'énergie. De tels phénomènes ont lieu non seulement dans des équipements construits par
l'homme mais également dans le milieu naturel, de l'échelle de la cellule jusqu'à celle de la
biosphère.
La matière qui nous entoure couramment possède une très grande densité moléculaire
(nombre de molécules par mètre cube) on peut sans problème la décrire à partir des concepts
introduits en thermodynamique et la considérer comme un milieu continu. De ce fait, on peut tirer
profit d'un grand nombre d'outils de l'analyse et de la géométrie.
Les transferts de matière, de quantité de mouvement et d'énergie présentent des similitudes,
on présentera un formalisme unique pour écrire les différents bilans que ce soit sur des systèmes
macroscopiques (équations différentielles ordinaires) ou des volumes élémentaires (équations aux
dérivées partielles).
Les travaux dirigés permettront d'aborder un certain nombre d'applications de ces outils et
les étudiants auront largement l'occasion d'utiliser et de compléter ces bases dans des
enseignements optionnels.
Ce cours s'inspire essentiellement de l'ouvrage " Transport Phenomena " de R.B. Bird,
W.E. Stewart et E.N. Lightfoot (John Wiley & Sons) où les étudiants trouveront de nombreux
compléments et diverses illustrations. On pourra également se reporter à l'ouvrage "Mécanique et
Rhéologie des fluides en Génie chimique" de N.Midoux (Tec.Doc. Lavoisier).

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Sommaire
Introduction
1 Transfert de matière
1.1 Equation de conservation sur un élément de volume fixe
1.1.1 Masse totale
1.1.2 Masse du constituant i
1.2 Equation de conservation sur une particule de fluide suivie dans son mouvement
1.3 Equation d'état
1.4 Equation de transfert
1.4.1 Transfert unidirectionnel
1.4.2 Transfert pour un champ quelconque de concentration
1.5 Conditions aux limites
1.6 Combinaison des équations / Adimensionnalisation
1.7 Equation de conservation sur un domaine macroscopique ouvert
1.7.1 Masse totale
1.7.2 Masse du constituant i
2 Transfert de quantité de mouvement
2.1 Equation de conservation sur un élément de volume fixe
2.2 Equation de conservation sur une particule de fluide suivie dans son mouvement
2.3 Equation d'état
2.4 Equation de transfert
2.4.1 Fluide au repos - contraintes de pression
2.4.2 Fluide en écoulement unidirectionnel : contraintes visqueuses
2.4.3 Contraintes dans un fluide en écoulement quelconque
2.5 Conditions aux limites
2.6 Combinaison des équations / Adimensionnalisation
2.7 Notion de turbulence
2.8 Equations du mouvement pour un fluide parfait

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2.9 Equation de conservation sur un domaine macroscopique ouvert
2.10 Bilan d'énergie mécanique sur un élément de volume fixe
2.11 Bilan d'énergie mécanique sur un domaine macroscopique ouvert
2.12 Caractéristique des pompes et ventilateurs
2.13 Calcul des pertes de charge
2.14 Calcul de circuits
2.15 Ecoulement autour d'obstacles
2.16 Ecoulement en milieu poreux: perte de charge à travers un lit fixe
3 Transfert d'énergie
3.11 Equation de conservation sur un élément de volume fixe
3.1.1 Energie totale
3.1.2 Energie interne
3.2 Equation de conservation sur une particule de fluide suivie dans son mouvement
3.3 Equation d'état
3.4 Equation de transfert
3.4.1 Transfert unidirectionnel
3.4.2 Transfert pour un champ quelconque de température
3.5 Conditions aux limites/ Conditions aux interfaces
3.6 Combinaison des équations / Adimensionnalisation
3.7 Notion de coefficient de transfert entre une paroi et un fluide
3.8 Equation de conservation sur un domaine macroscopique ouvert
4 Introduction à l’approximation filaire (modèle 1D)
Récapitulatif

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Introduction
Une seconde méthode d’application de la mécanique, qui évite de prendre en considération la division de la matière
jusqu’aux points matériels « réels », est la mécanique des soi-disant milieux continus. Cette mécanique est
caractérisée par la fiction que la densité et la vitesse de la matière dépendent d’une façon continue des coordonnées
et du temps, et que la partie des interactions non explicitement donnée peut s’interpréter comme des forces
superficielles qui sont aussi des fonctions continues de la position. Albert Einstein
La physique est toujours un petit peu fausse Yves Rocard
La mécanique des milieux continus considère que la matière remplit continûment des domaines
déterminés de l'espace éventuellement séparés par des interfaces. Ainsi à la pression
atmosphérique, le volume moyen occupé par une molécule de gaz parfait est d'environ 4.10
-17
mm
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. Il est possible, sur des volumes très petits devant l'échelle macroscopique, de définir une
valeur moyenne d'une propriété de ces particules qui soit intrinsèque, au sens par exemple, où la
moyenne effectuée sur une moitié des particules est égale (à un infiniment petit près) à la moyenne
effectuée sur l'autre partie. L'exemple le plus connu d'une de ces propriétés moyennes
macroscopiques est l'énergie interne d'un gaz monoatomique: il s'agit de l'énergie cinétique des
particules (lorsque celui-ci est au repos en moyenne macroscopique).
L'objet de ce cours est de présenter et d'utiliser les outils qui permettent de décrire et de prédire
l'évolution (dans l'espace et dans le temps) de cette matière à l'échelle macroscopique. Nous
ferons largement appel à la thermodynamique pour:
déterminer les relations qui lient les différents paramètres (p,ρ,T,
$
H
...) d'un matériau
homogène: équations d'état. On supposera (hypothèse de l'équilibre local) que dans un très
petit volume autour d'un point, la matière peut être considérée comme homogène.
exemple : gaz parfait :p/ρ=RT/M,
{ }
{
}
$ $ $ .(H T = H T +C T- T )
0 p 0
caractériser l' équilibre lorsqu'il y a coexistence de deux états possibles de ce matériau
(équilibre liquide-vapeur‚ équilibre chimique)
exemple : équilibre liquide-vapeur pour un corps pur : p=psat(T)
formaliser les principes fondamentaux de conservation de la masse et de l'énergie,
auxquels nous ajouterons la relation fondamentale de la mécanique, c’est-à-dire le principe
de conservation de la quantité de mouvement.
accumulation + bilan des flux (sortie-entrée) = terme source
quantifier les flux diffusifs de matière et de chaleur, auxquels il faut rajouter ceux de
quantité de mouvement qui correspondent aux frottement visqueux. Nous nous limiterons à
l'approximation linéaire (non couplée) qu'offre la thermodynamique des phénomènes
irréversibles.
exemple : flux diffusif de chaleur ∝
∝∝
∝ gradient de température