Physique des Ondes : Propagation d`ondes électrocinétiques

Lycée CHAPTAL – PC*
E. FREMONT
Travaux pratiques – Série 2
Physique des Ondes : Propagation d’ondes
électrocinétiques dans un câble coaxial
Objectifs du TP :

Mesurer la vitesse de propagation d’un signal dans un câble coaxial.

Observer l’influence des conditions aux limites sur les signaux réfléchis en bout de câble.

Mesurer l’impédance caractéristique du câble et saisir l’impact pratique de cette grandeur.

Tester la pertinence du modèle électrocinétique bifilaire du câble.
Matériel à disposition :
1 GBF, 1 oscilloscope, 1 multimètre, 1 câble coaxial à étudier, 1 câble coaxial « classique », connecteurs
BNC, 2 bouchons de 50 Ω, 1 boîte à décades de résistances, fils
Introduction
Les câbles coaxiaux sont utilisés comme moyen de transmission d’informations. Ils sont conçus pour
transmettre des signaux sans trop d’atténuation et pour assurer une protection contre les perturbations
extérieures. On les utilise notamment pour les câbles d’antenne de télévision, pour transmettre des signaux
audio-numériques, ainsi que pour des interconnexions dans les réseaux informatiques.
Un câble coaxial est formé de deux très bons conducteurs, de même longueur , l’un entourant l’autre.
L’un est un conducteur massif de rayon R1 , appelé l’âme du conducteur. L’autre est un conducteur cylindrique
creux de rayon intérieur R2 et de rayon extérieur R3 , appelé la gaine du conducteur. L’espace inter-conducteur
comporte un isolant. En pratique, la gaine est reliée à la masse tandis que l’âme « véhicule » le signal utile.
Figure 1 : Schéma simplifié
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On adopte ici un modèle bifilaire du câble coaxial, dans le cadre duquel la portion de câble coaxial de
longueur dz est équivalente au quadripôle de la figure 2, où L et C désignent respectivement l’inductance
linéique et la capacité linéique du câble coaxial. V  z, t  correspond alors au potentiel électrique de la section
d’abscisse z de l’âme du câble à l’instant t , et i  z, t  à l’intensité du courant qui traverse cette même section.
Figure 2 : Modèle bifilaire d’une portion de câble
Expliciter le système d’équations aux dérivées partielles vérifié par les fonctions V  z, t  et i  z, t  .
En déduire les deux équations aux dérivées partielles, découplées, vérifiées par la fonction V  z, t  d’une
part, puis par la fonction i  z, t  d’autre part. Commenter.
A. Travail préliminaire : Analyse de la fiche technique du câble
# Présentation générale
Le câble étudié dans ce TP, appelé câble A par la suite, est un câble de grande longueur (
100 m), de type RG 58C/U.
est voisine de
Le document ci-dessous est un extrait de la fiche technique de ce câble :
Quelles sont les valeurs de R1 et R2 pour le câble A ?
Quelle est la nature du matériau isolant placé entre l’âme et la gaine du câble A ?
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# Détermination des paramètres du modèle bifilaire
Le document ci-dessous est un autre extrait de la fiche technique de ce câble :
Quelle est la valeur de la capacité linéique C du câble A indiquée par le constructeur ?
Un modèle électromagnétique simple du câble permet d’aboutir à l’expression théorique suivante de la
capacité linéique
C
où
2 0 r
ln  R2 R1 
 0 désigne la permittivité diélectrique du vide (  0  8,8.1012 F.m1 )
 r désigne la permittivité diélectrique relative de l’isolant placé entre les deux conducteurs
Sachant que la permittivité diélectrique relative du polyéthylène vaut 2,25 pour une fréquence égale à 1 kHz,
contrôler la pertinence de ce modèle et en déduire une estimation de l’incertitude sur la valeur de C .
Ce même modèle permet également d’aboutir à l’expression théorique de l’inductance linéique du câble A
L
où
0
2 ln  R2 R1 
0 désigne la perméabilité magnétique du vide ( 0  4 107 H.m1 )
En déduire la valeur théorique de la célérité c des signaux dans le câble A. Cette valeur est-elle compatible avec
les informations fournies par la fiche technique ?
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B. Mesure de la longueur du câble
Il s’agit ici de mesurer la longueur
du câble A grâce à la mesure de sa capacité totale en régime
statique. On utilise pour cela les multimètres numériques présentant la fonction capacimètre.
Le principe de la mesure d’une capacité par ce type de multimètre est décrit dans le document suivant
(adaptation de : http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/electro/capacim.html) :
On charge le condensateur dont on souhaite mesurer la capacité  avec un courant constant I et on
arrête la charge quand la tension aux bornes du condensateur atteint la tension U  Vréf .
Pour un condensateur idéal, si la durée de la charge est t , la charge finale vaut Q  I  t  Vréf et donc

I t
. La mesure de  se ramène donc à une mesure de temps. Pour un condensateur réel, il faudrait en
Vréf
toute rigueur tenir compte du courant de fuite.
Pour effectuer la mesure, il faut utiliser un dispositif qui réalise dans l’ordre les opérations suivantes :
 décharge du condensateur dans une petite résistance ;
 connexion du condensateur au générateur de courant constant et à un comparateur de tension et début du
comptage du temps ;
 quand la tension atteint la valeur de référence choisie, arrêt du comptage du temps et de la charge.
Les appareils commerciaux affichent directement la valeur de la capacité. Les plus évolués effectuent
automatiquement le choix de la gamme de mesure (i.e. de la valeur du courant constant de charge). La précision
de la mesure est de quelques %.
Lorsque l’on branche le capacimètre fonctionnant sur le principe précédent entre l’âme et la gaine du câble
A, justifier que celui-ci se comporte comme un condensateur de capacité CA,tot  C  .
 Donner la valeur expérimentale de
pour la câble A mis à disposition dans ce TP.
C. Mesure de la célérité des signaux dans le câble
En plus du câble A, on dispose du matériel suivant :
 Un générateur de fonctions pouvant fournir des impulsions (on le notera alors GI) ou des signaux
classiques, notamment sinusoïdaux (on le notera alors GBF). Son impédance interne est Rg  50  .
 Un câble coaxial classique pour les prises de tension à l’oscilloscope, de longueur 1 m environ,
d’impédance caractéristique égale à 50 Ω, appelé câble C.
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1. Première méthode : Mesure du temps de parcours d’une impulsion
# Réglage du générateur d’impulsions

Effectuer le montage ci-dessous.
oscilloscope
GI
voie 1
câble C
voie 2
bouchon de 50 Ω
té
Remarque : Le rôle de bouchon de 50 Ω sera justifié ultérieurement dans ce TP.

Régler le générateur pour qu’il délivre des impulsions rectangulaires en sélectionnant la fonction
Pulse, puis effectuer les réglages suivants : Period = 0,01 s, HiLevel = 2 V, LoLevel = 0 V,
PulseWidth = 100 ns, EdgeTime = 5 ns.

Visualiser le signal à l’oscilloscope et vérifier ses caractéristiques.
# Réalisation de la mesure
 Remplacer le bouchon de 50 Ω par une des extrémités du câble A, l’autre extrémité restant ouverte.
 Représenter l’allure de l’oscillogramme obtenu en voie 1 de l’oscilloscope et interpréter la présence de
deux impulsions sur une période.
 Brancher la sortie du câble A sur la voie 2 de l’oscilloscope. Observer et interpréter.
 En déduire une première valeur expérimentale c1 de la vitesse de propagation des signaux.
2. Deuxième méthode : Mesure du temps de parcours d’une OPPH
# Présentation du montage
Le générateur est désormais utilisé en mode sinusoïdal et délivre un signal de fréquence f .
oscilloscope
GBF
câble C
voie 1
voie 2
bouchon de 50 Ω
z
0
câble A
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On admet que le bouchon de 50 Ω placé en sortie du câble permet de simuler un câble semi-infini dans le
domaine z  0 .
# Réalisation des mesures
 Visualiser les signaux obtenus. A quoi est dû le déphasage observé entre ces signaux ?
 Mesurer pour chaque fréquence f figurant dans le tableau ci-dessous le retard temporel t du signal
en sortie du câble par rapport au signal en entrée. En déduire la célérité c2 associée.
f (en kHz)
10
20
40
70
100
200
400
700
1000
t (en ns)
c2 (en m.s-1)
 Tracer le graphe donnant c2 en fonction de la fréquence f . Commenter.
3. Troisième méthode : Mesure des fréquences propres du câble
 On reprend le montage précédent, dans lequel on remplace le bouchon de 50 Ω en sortie du câble par un
court-circuit.
 Faire varier la fréquence f du GBF à partir de 500 kHz. Qu’observe-t-on à l’entrée du câble coaxial ?
Interpréter soigneusement ces observations.
 Relever les fréquences de résonance du câble.
 En déduire une nouvelle valeur c3 de la célérité des signaux dans le câble.
 Enlever le court-circuit en sortie du câble et laisser cette extrémité en circuit ouvert. Reprendre les
observations précédentes. Interpréter.
D.
Mesure de l’impédance caractéristique du câble coaxial
1. Un soupçon de théorie
# Définition de l’impédance caractéristique Z c
Supposons que l’on génère dans le câble une onde de tension progressive dans le sens des z croissants,
de la forme V  z, t   F  z  ct  (où F est une fonction définie sur
, dérivable au moins deux fois).
Montrer que i  z, t  peut alors s’écrire sous la forme :
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i  z, t  
V  z, t 
1
F  z  ct  
Zc
Zc
où Z c est l’impédance caractéristique du câble, que l’on exprimera en fonction de L et de C.
A partir des éléments de la partie A, déterminer la valeur attendue de Z c pour le câble A.
Quelle est la relation entre i  z, t  et V  z, t  dans le cas où l’onde est progressive dans le sens des z
décroissants ?
# Réflexion d’un signal à l’extrémité du câble
Un générateur d’impulsions, branché à l’entrée du câble en z  0 , délivre, comme onde incidente, une
impulsion unique. On admet que ce signal peut être modélisé par la fonction F , de sorte que
Vinc  z, t   F  z  ct  . Lorsque cette impulsion incidente parvient en z  , elle se réfléchit ; on note ainsi
Vréfl  z, t  le signal réfléchi. On admet de plus qu’il n’y a pas de réflexions multiples entre les deux extrémités
du câble.
Expliciter les conditions aux limites que doivent vérifier les signaux V  z, t  et/ou i  z, t  , en z  , dans
les trois cas suivants :

lorsque l’extrémité z 
est en court-circuit ;

lorsque l’extrémité z 
est en circuit ouvert ;

lorsque l’extrémité z 
est reliée à une résistance R .
On définit le coefficient de réflexion en tension en z 
z
par  
Vréfl  , t 
Vinc  , t 
. Dans le cas où l’extrémité
est reliée à une résistance R , montrer que :

R  Zc
R  Zc
Que se passe-t-il lorsque R  0 ? R   ? R  Zc ?
2. Approche expérimentale
# Réalisation de la mesure de Z c
On utilise comme montage de base celui de la partie C.1.
 Proposer un protocole permettant de mesurer Z c .
 Déterminer la valeur expérimentale de Z c .
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# Un peu d’interprétation
Quel est l’intérêt d’avoir une impédance de sortie Rg  50  pour les générateurs utilisés en travaux
pratiques ?
Justifier le rôle des bouchons de 50 Ω dans les manipulations précédentes.
Pourquoi les signaux réfléchis ne sont-ils pas à nouveau réfléchis dans le sens des z croissants lorsqu’ils
parviennent en z  0 ?
E. Pertes dans le câble coaxial
# Approche expérimentale
 Parmi les observations effectuées précédemment, quelles sont celles qui remettent en cause le modèle
du câble présenté en figure 2 ?
 Proposer, puis mettre en œuvre, un protocole permettant de confirmer (ou d’infirmer) les taux
d’atténuation annoncés dans la fiche technique du câble A. Commenter les résultats obtenus.
# Amélioration du modèle
Dans la réalité, les signaux s’atténuent à cause de la résistance des conducteurs en cuivre, et de la
conductance de l’isolant (l’isolant n’étant jamais exactement parfait). Pour tenir compte de ces éléments, on
considère que l’élément de câble
z, z  dz
possède, en plus de son inductance et de sa capacitance, une
résistance rdz due au caractère imparfait des conducteurs (prenant en compte à la fois la résistance de l’âme et
celle de la gaine) et une conductance gdz , entre l’âme et la gaine (donc en parallèle du condensateur de capacité
Cdz ), due au caractère imparfait de l’isolant.
Proposer un schéma électrique équivalent à la portion de câble  z, z  dz .
A partir des données de la partie A, estimer les valeurs de r (résistance linéique du câble A) et de g
(conductance linéique du câble A).
Montrer que l’équation d’onde vérifiée par le signal V  z, t  s’écrit désormais
 2V
z
 z, t   LC
2
 2V
t
2
 z, t    gL  rC 
V
 z, t   rgV  z, t 
t
Comparer les ordres de grandeur des différents termes de l’équation précédente, puis en proposée une
« version simplifiée ».
Caractériser la dispersion et l’atténuation des signaux dans le câble prévues par ce modèle.
Remarque : Il faudra attendre que le chapitre sur la dispersion et l’absorption des ondes ait été traité en cours
pour pouvoir répondre à cette dernière question… Encore un peu de patience !
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