Polycopié de mécanique des fluides

Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°1
SOMMAIRE
1. Ascension atmosphérique
➢
Atmosphère en équilibre
p.2
➢
Ascension du ballon météorologique p.4
➢
Ascension de la montgolfière
p.5
➢
Différents modèles d'atmosphère
p.6
➢
Concours externe CAPESA
p.19
2. Statique des fluides et forces pressantes
➢
Equilibre d'un aréomètre
p.9
➢
Calcul de la densité d'un liquide
p.9
➢
Manomètre différentiel
p.10
➢
Citerne à fioul
p.11
➢
Mouvement du ludion
p.12
➢
Tube en U
p.14
➢
Barrage prismatique
p.14
➢
Etude de barrages
p.16
3. Tension superficielle
Danièle FRISTOT
➢
Loi de Laplace
p.22
➢
Ascension capillaire
p.22
➢
L'impossible montée
p.22
➢
Loi de Tate (Capesa)
p.24
➢
Méthode d'arrachement
p.25
➢
Densimètre
p.25
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°2
4. Dynamique des fluides parfaits
➢
Ecoulement vertical
p.27
➢
Alliage d'aluminium
p.27
➢
Nettoyage au jet d'eau
p.28
➢
Chauffage central
p.28, 36
➢
Théorème de Bernoulli (CAPLP)
p.20, 35
➢
Vidange d'un réservoir (BTS)
p.29, 30, 37, 38,40
➢
Temps de vidange (PLPA)
p.21
➢
Contrôle BTS ( Bernoulli)
p.30
➢
Citerne
p.31
➢
Tube de Venturi
p.34
➢
Phénomène de cavitation (CAPESA)
p.27, 46
➢
Coup de Bélier
p.34, 47
➢
Fonctionnement d'une hélice
p.43, 44,48
5. Dynamiques des fluides non parfaits
➢
Ecoulement de Poiseuille
p.51
➢
Formule de Stockes
p.51
➢
Réfrigérant à huile
p.51
➢
Perte de charge dans une pipeline
p.52
➢
Puissance dissipée dans un oléoduc
p.52
➢
Ecoulement laminaire sur
p.52
un plan incliné
➢
Etude de l'eau sucrée au
p.53
viscosimètre à chute de bille
Danièle FRISTOT
➢
Viscosimètre capillaire
p. 53
➢
Etude de la viscosité du lait
p.55
➢
Turbine
p.56
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
1. ASCENSION
Page n°3
ATMOSPHÉRIQUE
Exercice n°1 - Ascension atmosphérique (Extrait Concours spécial T' – Session 1993)
Introduction
Le problème traite de l'ascension atmosphérique en ballon et montgolfière.
Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Le champ de pesanteur, d'intensité uniforme g,
est dirigé suivant l'axe vertical Oz, et de sens opposé. Tous les mouvements étudiés
s'effectuent suivant cet axe vertical.
Dans tout le problème, les gaz ont les propriétés du gaz parfait. R désigne la constante des gaz
parfaits.
I.
Etude de l'atmosphère en équilibre.
La masse molaire moyenne de l'air est égale à Me. Sa pression est égale à p, sa masse
volumique est égale à  . On désigne par po et o les valeurs de p et  au niveau du sol (où
z=0).
1. On s'intéresse à l'équilibre de l'atmosphère isotherme. On appelle T la température
uniforme de l'air.
a. Exprimer la valeur de la masse volumique de l'air en fonction de p, R, T et Me.
b. Ecrire la condition d'équilibre statique de l'air. En déduire la valeur de la pression p,
en fonction de po, g, z, Me, R et T.
c. A quelle altitude H la pression est-elle égale po/2 ?
d. Evaluer H, après avoir indiqué les valeurs numériques retenues pour chacune des
données intervenant.
2. Le modèle de l'atmosphère isotherme n'est pas très réaliste ; aussi, on s'intéresse à
l'équilibre polytropique de l'atmosphère. Jusqu'à une altitude de 10 km, on admet que la
température de l'air vérifie la loi :
T = T o 1 − z  ,
expression dans laquelle le gradient de température
− T o est une constante
négative. To est la température de l'air au niveau du sol.
a. Proposer une valeur numérique plausible pour la constante  , indiquer sur quelles
bases numériques repose votre évaluation.
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°4
b. Calculer la pression p de l'air en fonction de l'altitude z, et des paramètres
po , ,M e , g , R et T o .
c. Calculer la masse volumique  de l'air en fonction de l'altitude z, et des paramètres
o , ,M e , g ,R et T o .
d. Exprimer p et  en fonction de l'altitude z, des paramètres po , o ,  , et de la
constante  dont on donnera l'expression. Montrer que :

p=po 1 − z 
−1
=o 1 − z
e. A quelle altitude H la pression est-elle égale à po/2 ?
Dans toute la suite du problème, on utilisera le modèle de l'atmosphère polytropique.
Les expressions de la pression et de la masse volumique de l'atmosphère seront notées
pe et e à l'altitude z.
II. Ascension du ballon météorologique
Le ballon météorologique est constitué d'une enveloppe de volume maximal égal à Vm.
La masse de l'enveloppe et des instruments de mesure est égale à m, tandis que leur
volume total est négligeable.
Au niveau du sol, l'enveloppe n'est pas complètement dilatée et occupe le volume Vo,
tandis que la température interne est égale à To.
Le ballon est gonflé avec de l'hélium dont la masse molaire est égale à Mi. La masse
totale de l'hélium est égale à mi. On notera pi et i la pression et la masse
volumique du gaz à l'intérieur de l'enveloppe. La masse volumique initiale de l'hélium
sera notée io .
L'ascension du ballon s'effectue en deux phases ; au cours de la première, l'enveloppe
se dilate jusqu'à atteindre le volume Vm ; au cours de la seconde, qui se fait à volume
constant, le ballon s'élève jusqu'à ce qu'il atteigne sa position d'équilibre et son altitude
maximale.
On notera  le rapport des capacités calorifiques à pression et volume constants pour
l'hélium.
1. Première phase de l'ascension. On admet que l'hélium, à l'intérieur de
l'enveloppe, subit une détente adiabatique réversible. On admet aussi que l'équilibre de
pression est réalisé entre l'intérieur et l'extérieur du ballon.
a. Quelle est la valeur du rapport  pour l'hélium, considéré comme un gaz parfait ?
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°5
b. Ecrire la condition sur o ,V o , m et mi , pour que le ballon puisse décoller.
c. A l'altitude z, calculer la masse volumique de l'hélium, en fonction de i , ,  ,  et z.
o
d. Calculer la poussée d'Archimède  exercée sur le ballon. Exprimer la valeur 0 de
 au niveau du sol, en fonction de mi, g, Mi et Me, puis la valeur de  en fonction de
0 ,  ,  ,  et z.
e. Sachant que ≈5,4 , indiquer le sens de variation de  avec l'altitude.
f. Exprimer la force ascensionnelle F qui fait monter la ballon, en fonction de m, mi, Me,
Mi, g,  ,  ,  et z.
g. On admettra que la masse m est choisie de telle sorte que la force ascensionnelle F
reste positive lorsque l'enveloppe est complètement dilatée. Quelle est alors l'altitude zd
atteinte par le ballon ?
2. Deuxième phase de l'ascension. Le ballon continue son ascension, sans
augmentation du volume de son enveloppe.
a. Quelle est la température de l'hélium au début de cette phase ?
b. Exprimer la force ascensionnelle F qui fait monter le ballon, en fonction de m, mi, Vm,
g,  ,  , o et z. Quelle est alors l'altitude zm atteinte par le ballon à la fin de cette
seconde phase ?
c. L'altitude zm atteinte, le ballon se met en équilibre thermique avec l'air extérieur.
Quel serait le volume de l'hélium, exprimé en fonction de o , m, mi, Vo et Vm, dans les
conditions de pression et de température régnant à cette altitude ?
d. En utilisant le résultat de la question II.1.b, montrer que le ballon reste gonflé à son
volume maximal, et qu'il se stabilise à l'altitude zm.
III. Ascension de la montgolfière
La montgolfière est constituée d'une enveloppe ouverte de volume intérieur Vo, et d'une
nacelle. La masse totale de l'enveloppe, de la nacelle et des passagers est égale à m ;
le volume propre de ces différents éléments est négligeable.
Le volume de l'enveloppe est constant, mais la masse mi de l'air chaud emprisonné à
l'intérieur de l'enveloppe est variable.
Dans un but de simplification, on supposera, dans cette partie, que la température Ti et
la pression pi sont uniformes à l'intérieur de l'enveloppe.
L'ouverture inférieure de l'enveloppe permet, d'autres part, de réaliser en permanence
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°6
l'équilibre de pression entre le milieu extérieur et l'air chaud intérieur.
Les conditions atmosphériques sont identiques à celles définies pour l'étude de
l'ascension du ballon météorologique.
Les capacités calorifiques molaires à pression et volume constants seront notées Cp et
Cv. On notera  le rapport Cp/Cv de l'air.
La montgolfière est en équilibre à l'altitude z, altitude où l'air extérieur possède la
pression pe et la température Te.
1. Equilibre de la montgolfière.
a. Exprimer la masse mi de l'air intérieur à l'enveloppe en fonction de pe, Vo, Me et Ti.
b. Ecrire la condition d'équilibre de la montgolfière. En déduire une relation qui relie les
températures Te et Ti aux masses m et mi. Exprimer la masse mi en fonction de m, Te et
Ti.
c. Ecrire la condition d'équilibre en fonction de Ti, To, o , Vo, m,  ,  et z.
d. Quelle est la valeur minimale Td de la température Ti permettant le décollage de la
montgolfière ?
e. Exprimer la condition d'équilibre de la montgolfière en fonction de Td. Montrer qu'elle
peut s'écrire :
pe
[
1
1
−
Te Ti
]= [
po
]
1
1
−
.
To Td
Exercice n° 2 - (Extrait concours spécial P')
Partie I : Etude de différents modèles d'atmosphère
Dans cette partie, on considère l'air comme un gaz parfait. Cet air est en équilibre statique
dans le champ de pesanteur terrestre de module g. Oz désignant l'axe vertical ascendant, on
désire étudier les évolutions de la pression P, de la température T et de la masse volumique 
en fonction de l'altitude z du point considéré.
On pose : P o=P  z =0  ,
prendra : g = 9,8 m.s-2,
T o=T  z=0 ,
 o= z=0. Pour les applications numériques, on
−3
5
 o=1,25 kg.m , P o=10 Pa , T o=290 K.
1. Modèle de l'atmosphère isotherme.
On suppose l'air en équilibre isotherme à la température To. Déterminer la pression P et
la masse volumique à l'altitude z en fonction de P o , o et g.
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°7
Application numérique : à quelle distance ho a-t-on : =
0
2
?
2. Modèle de l'atmosphère adiabatique.
On admet qu'il existe maintenant entre P et  une relation de la forme :
P=P 0

[ ]

0
avec
 = constante.
a. Sachant que le gaz est parfait, établir l'équation différentielle vérifiée par T et
montrer que :
dT
=− dz
To
où  est une constante que l'on exprimera en fonction de  , P o ,  o et g.
b. En déduire t(z), P(z) et  z .
c. Montrer que, dans ce modèle, l'atmosphère est limitée et calculer la hauteur limite
h1 en fonction de
P o ,  o , g et  .
Application numérique : en plus des valeurs précédentes, on donne =1,4 ; calculer
h1 .
d. Quelle valeur faudrait-il donner à  pour que ce modèle coïncide avec celui de
l'atmosphère isotherme ?
n
[ ]
On rappelle que lim 1
n ∞
x
x
=e .
n
3. Modèle de l'atmosphère standard.
Pour étudier les performances d'un hélicoptère, on définit habituellement une
atmosphère standard où on admet que  et T varie de la manière suivante :
=
H− z
H z
T =T o− z
avec H = 20 km
et
−3
−1
=6,5.10 K.m .
Ce modèle n'est valable que pour z < 11 km.
a. Montrer que, si l'on donne à  une certaine valeur  s , les modèles de l'atmosphère
adiabatique et de l'atmosphère standard donnent la même évolution de la température
T. Exprimer  s en fonction de  ,  ,P o ,T o et g.
Calculer la valeur numérique de  s .
b. On considère maintenant les expressions de la masse volumique  données par les
deux modèles, atmosphère adiabatique avec =s et atmosphère standard ; donner
un ordre de grandeur de la valeur numérique du module de l'écart relatif maximum


entre les deux expressions des masses volumiques (on rappelle que z < 11 km).
Commenter.
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Danièle FRISTOT
Page n°8
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
2. STATIQUE
DES FLUIDES ET
FORCES
Page n°9
PRESSANTES
Exercice n° 1 : Equilibre d'un aréomètre.
Un densimètre est un instrument de verre, lesté à sa
partie inférieure. Sa masse totale est m. Il est composé
d'une carène lestée de volume V et à sa partie
supérieure d'un tube fin de diamètre d. Le tube est
gradué. La hauteur h dont est immergé le tube, est
reliée à la densité du liquide dans lequel il est plongé.
1. Ecrire la relation d'équilibre de l'instrument dans
un liquide de masse volumique

si la
hauteur du tube immergée est h.
2. Calculer h pour l'eau.
Application numérique :
m=50,00 g
;
3
V =48,00cm
;
d =3,50 mm
; le liquide est de l'eau :
 =1000 kg.m−3 .
Exercice n° 2 : Calcul de la densité d'un liquide.
Pour mesurer la densité d'un liquide, on réalise 3 pesées successives d'un même solide,
suspendu sous le plateau d'une balance.
Lors de la première pesée, le solide est suspendu, à l'air libre. Pour équilibrer le solide, il faut
mettre dans le deuxième plateau une masse
m0=20,50 g .
Lors de la deuxième pesée, le solide est immergé dans de l'eau distillée à 4°C. Pour équilibrer
le solide, il faut mettre dans le deuxième plateau une masse
m1=12,70 g .
Lors de la troisième pesée, le solide est immergé dans le liquide dont on cherche la densité, à
20°C. Pour équilibrer le solide, il faut mettre dans le deuxième plateau une masse
m2=14,10 g .
Etablir la relation littérale donnant la densité du liquide, puis la calculer.
Donnée : la masse volumique de l'eau à 4°C est
Danièle FRISTOT
 eau= 1000kg.m−3 .
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°10
Exercice n°3 - BTS industriels
Un manomètre différentiel est formé de deux récipients cylindriques de sections droites
identiques S, réunis par un tube de section intérieure s (voir figure). Il contient deux liquides
incompressibles non miscibles entre eux ; leur surface de séparation se trouve toujours dans la
partie gauhe du tube de section s.
Figure
L'eau a une masse volumique notée
0 .
L'aniline a une masse volumique notée
 .
1. On étudie l'équilibre initial du manomètre, sachant que la pression au-dessus des deux
liquides est la même, égal à
p0 .
1.1. A désigne un point de la surface de séparation eau/aniline. Enoncer la relation
fondamentale de la statique des fluides. Donner les expressions de
fonction de
p0 ,
0 ,
 ,
1.2. Démontrer la relaion entre
2. On
provoque
une
H0 ,
0 ,
surpression
H
 ,
et
g
H0
pA
et de
pB
en
(voir figure)
et
 p au-dessus
p0 p p0 ) et on observe un déplacement
H .
de
l'eau
(la
pression
devient
 h de la surface de séparation
p0 ).
eau/aniline (la pression au-dessus de l'aniline reste égale à
2.1. Démontrer que la surface libre de l'eau s'abaisse de
s
h .
S
2.2. Préciser comment se fait le déplacement de la surface libre de l'aniline dans le
récipient de droite, et donner son expression en fonction de
 h , s et S.
3. Etude de l'équilibre final du manomètre :
3.1. Ecrire les expressions des nouvelles hauteurs d'eau
H '0 et d'aniline
H ' au-
dessus de la nouvelle surface de séparation eau/aniline et en déduire la relation entre la
surpression  p et le déplacement  h .
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
3.2. Exprimer
3.3. Calculer
p
h
en fonction de
p
et
h
0 ,
 ,
Page n°11
s ,
S et
g .
 p en tenant compte des données suivantes :
S =100.s ,  0=998 kg.m−3 ,
 =1024 kg.m−3 ,
g =9,8 m.s−2 ,
 h=5 mm .
Conclure quant à l'ordre de grandeur d'une telle variation de pression.
N.B. : On néglige tout phénomène lié à la tension superficielle.
Exercice n°4 - Citerne à fioul
Une citerne à fioul de capacité volumique C est constituée d'un tronçon central cylindrique
encadré de deux extrémités hémisphériques (figure 1 ci dessus).
Une pompe aspire le combustible jusqu'à la chaudière.
Capacité C
2R
L
Données :
dimensions extérieures de la citerne
L =2,05 m ;
capacité
C =2000 litres
masse de la citerne (vide) :
M =150 kg
masse volumique de l'eau :
 e=1000 kg.m−3
masse volumique du fioul :
 f =840 kg.m−3
accélération de la pesanteur :
g =10m.s−2
Fuel
R =0,63 m
Eau
Ancrage
Socle en béton
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°12
Ancrage de la cuve
La notice du constructeur porte la mention :
Pose en cas de nappe phréatique :
prévoir quatre points d'ancrage
commander un jeu de deux sangles.
1. Indiquer brièvement pourquoi l'on doit prendre ces précautions.
2. On suppose que la cuve est entièrement immergée dans l'eau (figure 2).
Exprimer puis calculer :
2.1. le volume extérieur de la citerne
Ve
;
2.2. l'intensité A de la poussée d'Archimède qu'exerce l'eau sur la cuve ;
2.3. l'intensité F de l'effort supporté par chaque point d'ancrage lorsque la cuve est à
moitié remplie de fioul.
Exercice n°5 - (Extrait concours ingénieur ville de Paris)
Un ludion est un petit personnage (P) solide,
solidaire
d’une
imperméable
petite
de
sphère
volume
(S)
variable,
renfermant de l’air ; il est placé dans une
éprouvette
cylindrique
verticale
(C),
de
hauteur très supérieure aux dimensions du
ludion (les échelles ne sont pas respectées
sur la figure), remplie d’eau sur une hauteur
h et fermée dans sa partie supérieure par
une membrane souple imperméable (S).
Lorsqu’on n’appuie pas sur la membrane, le ludion est en équilibre en un point voisin de la
surface de l’eau (figure 1). Lorsqu’on appuie sur la membrane (S), on constate que le ludion
tombe au fond de l’éprouvette (figure 2). On se propose d’interpréter sommairement cette
observation.
L’eau est supposée incompressible et homogène, de masse volumique  = 103 kg.m-3.
L’air contenu entre l’eau et la membrane (S) forme un système fermé (A). Lorsqu’on n’appuie
pas sur la membrane, l’air contenu dans (A) est en équilibre dans l’état E 1 ; il occupe un
3
volume initial V a1 =100 cm
, sa température vaut T a1=300 K et sa pression est égale à
P a1=1,0 bar . Lorsqu’on appuie sur la membrane, l’air contenu dans (A) atteint un nouvel
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°13
état d’équilibre E2 ; sa pression prend la valeur P a2=2,0 bar , sa température devient T a2 et
le volume occupé devient V a2 .
L’air, contenu dans la sphère (S) ou dans le système (A) est assimilé à un gaz parfait de masse
molaire M=29 g.mol-1, dont le rapport des capacités calorifiques à pression et à volume
constants vaut =
Cp
=1,4 . On rappelle la valeur de la constante des gaz parfaits, R=8.31 J.KCv
1.mol-1.
1. Champ de pression dans l’eau : on considère le dispositif en l’absence de ludion, c’est-àdire plus précisément lorsqu’on remplace le ludion immergé par un volume équivalent d’eau.
Exprimer à l’équilibre, les pressions P1(z) et P2(z) dans l’eau en fonction de P a1 , P a2 , g,
 et z.
2. Mouvement du ludion : on admet que le champ de pression déterminé à la question
précédente est effectivement le champ de pression en présence du ludion, que celui-ci soit au
repos ou en mouvement. Lorsqu’on n’appuie pas sur la membrane, la sphère souple (S),
solidaire du ludion, est immergée en équilibre, à la cote z = 0. Cette sphère, remplie d’air à la
température T a1=300 K et à la pression P a1=1,0 bar occupe alors un volume VL = 1 cm 3.
On admet que lorsque le centre d’inertie G du ludion est à la cote z, on peut déterminer
approximativement le volume de (S) en considérant que l’air qu’elle contient est à la pression
uniforme P1(z) ou P2(z) suivant qu’on appuie ou non sur la membrane.
a) En traduisant l’équilibre du ludion dans l’état initial et en négligeant le volume du
personnage (P) devant celui de la sphère (S), calculer sa masse m.
b) En adoptant un modèle d’évolution adiabatique et réversible pour l’air contenu dans la
sphère (S), exprimer son volume V(z) lorsqu’on appuie sur (Σ) et que le centre d’inertie G du
ludion est à la cote z, en fonction de P a1 , P a2 , g,  , z,  et VL.
c) Etablir l'équation différentielle du deuxième ordre dont est solution la fonction z(t) en
négligeant les frottements.
d) En déduire la vitesse (dz / dt) en fonction de z et des données.
e) Donner une valeur approximative de la vitesse avec laquelle le ludion atteint le fond du
récipient (z = h = 1m).
f) Discuter brièvement en quoi le comportement du ludion serait qualitativement changé ou
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°14
inchangé si sa masse diminuait de 5 %. Même question si elle augmentait de 5%.
Exercice n°6 : Tube en U
Soit un tube en U contenant trois liquides non miscibles
 1 , 2 et  3 . Déterminer l'altitude de chaque niveau
de séparation par rapport à une altitude 0 de référence
zo
z3
au sol.
1
z2
3
z1
Données :
z0 − z 1 =0,2 m ;
 1 =1000 kg.m−3
z3 − z 2 =0,1 m ;
 2 =13,6.10 kg.m
z1  z 2 =1 m
 3 =700 kg.m
3
−3
−3
;
 eau
2
Hg
0
essence
Exercice n°7 : Barrage prismatique (extrait PLP externe 2002)
Dans tout l’exercice, les solides et les liquides sont plongés dans le champ de pesanteur
uniforme d'intensité g.
Le référentiel du laboratoire est supposé galiléen, et associé à un repère R (O, x, y, z), tel que
l'axe Oz soit dirigé suivant la verticale ascendante.
On se réfère au schéma de la figure ci-dessous. Le barrage est formé d'un solide indéformable,
en forme de pentaèdre de base rectangulaire. Sa section est un triangle isocèle, de hauteur h,
de
demi
angle
au
sommet
égal
à  .
Sa
masse
volumique
est
égale
à  .
Il est posé sur le sol horizontal et permet de retenir l'eau d'un lac dont la masse volumique est
égale à  .
z
On note u le vecteur normal à la face immergée
( dirigé vers le barrage) et u’ le vecteur normal à
la face à l’air libre et aussi dirigé vers le barrage.
On
suppose
que
les
seules
forces
qui
interviennent sont liées à la pression des fluides
Eau 
2
Danièle FRISTOT

g

(eau et air), au poids du barrage et aux forces de
contact exercées sur le sol.
h
0
x
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°15
La longueur L du barrage est suffisamment grande pour que l'on puisse négliger les forces de
liaison intervenant à ses extrémités.
On appellera po la pression uniforme de l'air au voisinage du barrage.
1. Exprimer la pression P exercée par l'eau sur le barrage en fonction de l’altitude z, po,  ,g et
h.
2. Calculer la résultante des forces pressantes par unité de longueur sur la face immergée du
barrage. En déduire la résultante de forces pressantes par unité de longueur sur la face
émergée.
3. On admet que ni l'air, ni l'eau ne peuvent pénétrer sous le barrage. On considère que ce
dernier ne tient alors en équilibre sur le sol que par action de forces de frottement solide. Dans
ce cas la réaction du sol par unité de longueur, sur le barrage est représentée par :
➢
une composante normale N verticale ascendante,
➢
une composante tangentielle T horizontale qui s'oppose au glissement du barrage.
Déterminer les composantes N et T, composantes de la réaction du sol sur l'unité de longueur
de barrage.
4. L'équilibre statique n'est garanti que si |T| < f |N|, expression dans laquelle f est un
coefficient constant positif, appelé coefficient de frottement statique du barrage sur le sol. En
déduire la valeur minimale du coefficient de frottement, pour que le barrage reste en équilibre
sur le sol, sans glisser.
5. Application numérique.
Déterminer la valeur limite de f pour que le barrage ne glisse pas.
Données :
h = 10 m ; g = 10m.s-2 ;
 = 2.103 kg.m-3 ;
 = 103 kg.m-3 ;  = 45° ; Po = 105 Pa
Exercice n°8 - (Extrait Concours navale – session 1994)
I. Statique des fluides
On considère de l'eau liquide de masse volumique  pas nécessairement constante, en
équilibre dans le champ de pesanteur terrestre supposé uniforme. L'axe z'z est orienté de bas
en haut et h représente la hauteur d'eau. Ecrire la relation locale liant en un point quelconque
du fluide la masse volumique à la pression qui existe en ce point.
1. En déduire que les surfaces isobares sont des plans horizontaux.
2. On suppose dans cette question que le fluide est de l'eau et qu'elle est incompressible,
déterminer alors la relation qui relie la pression P(z) à la côte z en fonction de la
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°16
pression à la surface libre du liquide Po, de la hauteur h d'eau et de l'altitude z. Par la
suite on définit P(z) comme la pression différentielle due à l'eau c'est-à-dire p(z) = P(z) –
Po.
3. On tient compte maintenant de la variation de  avec la pression. On prendra comme
relation pour le volume :
V =V o  1 −c2 − P− Po  au voisinage de Vo
4. On donne To = 273 K, et Po = 101325 Pa. On mesure
3
3
m / V o =o=10 kg / m .
a. Déterminer P(0) et p(0) pour h=100 m en considérant l'eau soit comme un fluide
incompressible, soit comme un fluide compressible. Conclusion.
b. Quelle erreur relative commet-on, quand on assimile l'eau a un fluide incompressible,
on exprimera cette erreur relative en fonction de  , o , g et (h-z).
c. Application numérique : calculer (h-z) pour obtenir une erreur relative de 1%.
DANS TOUTE LA SUITE DU PROBLEME ON PRENDRA =o .
II. Etude d'un barrage – poids
Il existe deux grandes catégories de barrages, les barrages – poids et les barrages – voûtes.
Les barrages – poids ont presque tous la même coupe transversale triangulaire, le sommet du
triangle placé au niveau le plus haut que pourra atteindre la surface libre de l'eau. Les
parements d'un barrage sont les deux faces visibles de l'ouvrage en général en béton. On
distingue le parement amont (face côté eau) et le parement en aval (face côté air). Le
parement amont est vertical et le parement aval est incliné et sa pente est donnée par l'angle
 (voir fig. 1). L'ouvrage subit trois forces réparties, les forces de pression exercées par
l'eau, le poids du barrage et la réaction que le sol exerce sur l'ouvrage. On admettra que les
 appliquée en C, le poids P appliqué
éléments de réduction de ces actions sont une force F
en G et une réaction 
R appliquée en M. On note h la hauteur du barrage, par L sa largeur de
base et par he la hauteur moyenne de l'eau retenue en amont. (On a évidemment he < h.)
L'eau est considérée comme un fluide incompressible de masse volumique o . Le béton a une
masse volumique égale b . On donne b=2,5 o .
z et que les vecteurs seront toujours déterminés dans cette
x et u
On considèrera une base u
base.
De plus les calculs seront effectués, numériquement ou non, en considérant toujours 1 mètre
de largeur de barrage.
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°17
eau
he

uz
A
barrage


ux
B(L)
1. Les forces de pression que l'eau exerce sur une face amont en un point Mi sont notées

F
dF , la résultante de cette force répartie sera notée 
et on définit son centre de
poussée C par la relation

OC ∧ 
F =∫∫ 
OM i ∧
dF
s
2. Déterminer le poids de l'ouvrage et donner la position de son centre de gravité G. (On
précisera les composantes et les coordonnées.)
3. En écrivant les conditions d'équilibre, trouver alors la résultante des actions que le sol
exerce sur le barrage et déterminer la position M où s'exerce cette résultante.
4. Pour des raisons de sécurité on souhaite que la position du point M se situe avant les
2/3 de la base, soit x M2L / 3. Ceci est pour éviter le basculement du barrage sous la
pression de l'eau par rapport au point B. Quelle valeur doit-on donner à  pour que
cette condition soit réalisée.
Faire l'application numérique. On prendra he = 0,8 h. On notera 1 la valeur limite de
.
5. On impose une deuxième condition, on veut que le rapport des composantes
horizontale et verticale de la réaction que le sol exerce sur le barrage soit dans le
rapport ¾.
a. Quelle est la raison physique de cette condition ?
b. Quelle valeur doit-on donner à  pour que cette condition soit réalisée. Faire
l'application numérique. On notera 2 la valeur limite de  .
6. En fait des infiltrations d'eau se produisent au niveau des fondations. Ces infiltrations
d'eau créent sous celui-ci des sous pressions effectives qui décroissent linéairement de
A à B. Elles sont évidemment proportionnelles à la hauteur d'eau he, la sous-pression est
nulle en B et égale à e g  h e en A.
F1 due à ces sous-pressions et son centre de
a. Déterminer la poussée verticale 
poussée C1.
b. Quelles sont alors les nouvelles valeurs de 1 et 2 . Application numérique. On
prendra =0,5.
7. On choisit finalement =60 ° pour construire le barrage ; par suite de pluies
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°18
exceptionnelles le barrage est complètement rempli, les conditions données au 1.4 et
au 1.5 sont-elles vérifiées ?
III. Etude d'un barrage – voûte
Un barrage – voûte s'arc-boute sur les flancs d'une vallée pour leur transmettre les efforts
provenant de la poussée de l'eau. On considère que le barrage voûte a un parement amont de
profil courbe d'équation z=ax n , n étant positif mais pas nécessairement entier. On fera le
calcul des forces de poussée sur l'unité de largeur.
H(he)
I
barrage
eau

uz
A

ux
B(xe)
1. On considère la quantité d'eau comprise entre HIA, toujours sur une largeur de 1 mètre.
Calculer le poids de cette quantité d'eau, on note par he la hauteur d'eau AH = IB, par xe
la distance HI = AB. (HIBA est un rectangle.)
2. Déterminer les coordonnées du centre de gravité de cette quantité d'eau

AG = xG 
u x z G 
uz
3. Calculer la force due à la pression que cette quantité d'eau subit sur la face AH et
déterminer le centre de poussée.
4. Déduire des calculs précédents la poussée 
F que le barrage reçoit de l'eau, on
déterminera les composantes Fx et Fz de cette poussée.
5. Trouver une équation de degré n vérifiée par l'abscisse xC du centre de poussée.
6. Application numérique : déterminer Fx, Fz, xC et zC avec he = 50 m, n=2 et xe = 10 m.
Exercice n°9 - (Extrait Concours externe CAPESA 2000)
1. Statique des fluides :
1.1 Etablir l’équation locale d’un fluide de masse volumique  en équilibre dans un champ de
pesanteur terrestre uniforme g
 : dp=− . g .dz (l’axe Oz est vertical ascendant).
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°19
1.2. Applications :
1.2.1
On peut considérer que dans une zone de l’atmosphère terrestre d’environ 10 km
d’épaisseur 0≤ z≤10 km , la température décroît avec l’altitude z selon une loi
affine : T = To.(1 – k.z) où To et k sont des constantes positives. Le champ de pesanteur
reste pratiquement constant et l’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M.
L’indice 0 (Po,  0 , To) est relatif aux grandeurs au sol (z = 0).
On posera  =
Mg
1 : où R est la constante universelle des gaz parfaits.
k.R.T o
a – Exprimer la pression P à l’altitude z en fonction de Po, k,  et z.
b – Calculer numériquement la pression P dans une station d’hiver à l’altitude
z = 2300 km, sachant que M = 29.10-3 kg.mol-1 ; To = 293 K ; R = 8,32 J. mol-1.K-1 ;
g = 9.81 m.s-2 ; Po = 105 Pa et k = 2,2.10-5 m-1.
c – En déduire qualitativement comment varie la température d’ébullition de l’eau avec
l’altitude et préciser l’intérêt d’un auto-cuiseur dans ces conditions.
1.2.2. Une porte d’écluse, verticale, plane, rectangulaire, de largeur L et de hauteur H subit
l’action de l’eau d’un canal sur l’une de ses faces sur une hauteur Ho.
Calculer la force pressante qu’exerce l’eau sur cette porte d’écluse.
A. N. : masse volumique de l’eau  = 103 kg.m-3 ; L = 6m ; H = 10 m ; Ho = 5m et g
= 9.81 m.s-2.
2. Dynamique des fluides parfaits
2.1Définir la notion de fluide parfait
2.2Le théorème d'Euler résulte de l'application de la relation fondamentale de la dynamique
d'un système matériel au cas d'un système fluide fermé contenu dans un tube
d'écoulement (système A1B1A2B2 de la figure ci-dessous).
Dm étant le débit massique, il s'exprime par
F =D
∑
ext
A2
v2
A1
v1
B2
B1
Danièle FRISTOT
m
 v2 −v1  .
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°20
2.2.1 Donner la définition du débit massique noté Dm.
Vérifier l'homogénéité du théorème d'Euler
2.2.2 Applications :
a – Dans un réacteur, la propulsion est obtenue en éjectant à l'arrière les gaz résultant
de la combustion de kérosène dans de l'air préalablement comprimé, prélevé en
amont.
La vitesse absolue de l'avion est notée v
 et la vitesse relative des gaz éjectés en aval
u . Voir figure ci-dessous.


u

v
- Etablir l'expression de la poussée du réacteur.
b – On considère une fusée dans sa phase d'accélération.
- Préciser la différence de principe de propulsion entre une fusée et un réacteur, pour
ce qui concerne les fluides.
- En déduire l'expression de la poussée d'une fusée.
2.3. Le théorème de Bernoulli est une conséquence de l'application du théorème de
l'énergie cinétique à un système fluide contenu dans un tube de courant élémentaire
(système A1B1A2B2 de la figure ci-dessous).
z
A2
v2
z2
B2
A1
v1
z1
B1
0
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°21
2.3.1 Enoncer le théorème de Bernoulli en précisant les conditions de sa validité.
2.3.2 Première application. Voir schéma ci-dessous
Dans le jet d'une soufflerie orienté verticalement de haut en bas, on place une balle de
ping-pong que l'on abandonne. La balle reste au dessous du jet dans l'entonnoir.
Indiquer comment le théorème de Bernoulli permet d'expliquer cette observation.
Préciser le rôle de l'entonnoir. On indiquera l'(les) approximation(s) nécessaire(s) pour
que cette interprétation soit acceptable.
2.3.3 Seconde application.
Vers 2000 ans av J.C., les anciens Egyptiens mesuraient le temps avec une clepsydre
(horloge à eau). Celle-ci est constituée d'un réservoir de section circulaire muni d'un
orifice C à la partie inférieure.
Sa forme est choisie de telle manière que la hauteur z comptée à partir de l'orifice de
sortie C de section s ; on suppose que l'on a toujours S(z) >> s.
a – Déterminer à partir de la relation de Bernoulli la vitesse de sortie du liquide v(z) en
fonction de la hauteur z du liquide restant à un instant donné.
b – Donner deux expressions du débit volumique en fonction de s et v(z) ainsi que de
S(z) et
dz
.
dt
c – La surface libre du liquide est de la forme S  z=k  z avec k = constante. A
l'instant t = 0, la hauteur de liquide est H.
En déduire que la variation de la hauteur de liquide z en fonction du temps est bien une
fonction affine du temps.
d – Calculer le temps d'écoulement du liquide correspondant à une hauteur de liquide
z=
Danièle FRISTOT
h
,
2
sachant que k = 0,2 S.I. ; H = 0,5 m ; s = 1 mm2 et g = 9,81 m.s-2.
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
3. TENSION
Page n°22
SUPERFICIELLE
Exercice n°1 – Loi de Laplace
Considérons 2 plaques planes parallèles situées à la distance 2a l’une de l’autre et plongées
dans l’eau qui les mouille parfaitement. (On pourra assimiler, dans le plan, la trace de la
surface libre a un demi cercle).
Calculez de deux façons différentes la valeur de la dénivellation h (forces de tension
superficielle et formule de Laplace).
A. N : eau
A = 73.10-3 S.I.
a = 1 mm
Exercice n°2 – Ascension capillaire
Un corps solide S en matière plastique de forme parallélépipédique rectangle (base carrée de
côté a et de longueur l très grande par rapport à a) flotte sur un liquide L sur lequel il est
allongé, sa longueur l parallèle à la surface. En raison du phénomène de capillarité, le
raccordement de la surface du liquide autour du solide se fait sous un angle  . Soient  la
masse volumique du liquide et A sa constante capillaire.
On donne

= 1g.cm-3 ; A = 70 ergs.cm-2 ; a = 2 cm ; l= 20 cm.
1. Etablir la relation entre l’ascension z et la courbure au
point correspondant de la surface de raccordement.
Application :
 = 0°.
2. Le liquide situé au-dessus de X’X exerce des forces de
pression sur une paroi latérale. Calculer la grandeur
et le point d’application de leur résultante.
Exercice n°3 - L'impossible montée
Données numériques :
−2
➢
Accélération de la pesanteur
g=9,81 m.s
➢
Constante des gaz parfaits
R=8,3145 J.K . mol
Danièle FRISTOT
−1
−1
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°23
➢
Pression atmosphérique normale
1,01325 bar=0,101325 MPa≈ 760mmHg
➢
Masse volumique de l'eau à 20°C
=0,99821 g.cm
➢
Tension superficielle de l'eau à 20°C
=72,75 x10 N.m
➢
Viscosité dynamique de l'eau à 20°C
=1,002 x10 kg.m . s
➢
Rayon des canaux de xylène (bois)
R≈25  m conifères  à 200 m chêne 
➢
Température de fusion de la glace sous
−3
−3
−3
−1
−1
−1
T F=273,15 K
pression normale
A. La poussée atmosphérique
1. En supposant que l'eau est incompressible, quelle est la pression P(h) au sommet d'une
colonne d'eau de hauteur h et dont la base est à la pression atmosphérique Po ?
2. Application numérique : Quelle hauteur maximale hA peut atteindre l'eau soumise à une
aspiration sous vide ?
B. La capillarité
A l'interface entre une phase liquide et une phase gazeuse, un accroissement réversible dA de
la surface de contact, à température constante, nécessite un apport énergétique par travail
donné par  dA où  (  > 0) est la constante de tension superficielle entre les deux
phases. Les forces de tension superficielle tendent donc à réduire la surface de contact et elles
créent du côté concave une surpression par rapport au côté convexe, donnée, pour une
interface sphérique de rayon r, par
2 
.
r
1. On considère une goutte de liquide, sphérique, de rayon r, à l'équilibre avec l'air
environnant de pression uniforme Po ; soit Pi la pression au sein de la goutte.
a. Donner l'expression de Pi en fonction de Po,  et r.
b. Application numérique : A partir de quel rayon la pression au sein d'une goutte d'eau
est-elle supérieure de
o
1 / oo à la pression atmosphérique ?
2. Lorsque l'on plonge un tube de verre très propre, cylindrique et de faible rayon R, dans
un liquide, on constate que le liquide s'élève dans le tube d'une hauteur h. Le ménisque
a la forme d'une calotte sphérique qui se raccorde aux parois avec un angle  (voir
figure 1).
a. En calculant la pression du liquide sous le ménisque de deux façons différentes, relier
h à R, cos  et à la grandeur C =
interprétera.
b. Que se passe-t-il si 
Danièle FRISTOT

?
2


, dont on donnera la dimension et que l'on
g
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
h
Page n°24

2R
c. Application numérique : Calculer C pour l'eau. De quelle hauteur hC la sève
brute peut-elle s'élever par capillarité dans les canaux de xylène qui la transportent ?
Exercice n°4 - Capesa externe 1994
Formation des gouttes à l'extrémité d'une pipette – Etude de la chute d'une goutte
d'eau dans l'air
1. Des gouttes d'éthanol sont émises, à 20°C, à l'aide d'une pipette dont la section droite
de l'extrémité est plane.
1.1 Réaliser le bilan des forces qui s'exercent sur une goutte se formant à l'extrémité de
la pipette.
1.2 Décrire le phénomène observable à l'instant précis où la goutte se détache. Faire un
schéma à cet instant.
1.3 Etablir l'expression de la masse de la goutte.
1.4 Déterminer le rayon de striction au moment où la goutte se détache.
On donne :
➢
1 mL d'éthanol contient 70 gouttes
➢
diamètre extérieur de la pointe de la pipette : D = 2.10-3 m
➢
−3
−1
constante de tension superficielle de l'éthanol à 20°C : 1 = 23.10 N.m
➢
densité de l'éthanol à 20°C : d = 0,791
➢
−2
constante de l'attraction terrestre au lieu de l'expérience : ∣∣
g∣∣=9,81 m.s
2. Des gouttes d'eau pure sont émises à l'aide de la même pipette, dans les mêmes
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°25
conditions expérimentales.
Calculer la masse d'une goutte d'eau, au moment où celle-ci se détache de la pipette.
−3
−1
On donne la constante de tension superficielle de l'eau à 20°C : 2 =73.10 N.m
3. Chaque goutte d'eau qui tombe dans l'air est soumise à son poids 
P et à l'action de
l'air. Chaque goutte s'échappe de la pipette sans vitesse initiale.
L'air exerce sur la goutte une force de résistance proportionnelle à sa vitesse de la
forme 
f =−K . 
v.
La goutte reste sphérique au cours de la chute.
On néglige la poussée d'Archimède et on considère que le système est ramené à son
barycentre.
On fait l'hypothèse que l'évaporation au cours de la chute est négligeable.
3.1 Etablir l'équation différentielle du mouvement de la goutte.
3.2 Montrer que la goutte atteint une vitesse limite v L .
3.3 Calculer la durée de la chute pour que la vitesse de la goutte soit à 10-3 près celle
de la vitesse limite.
On donne la vitesse limite de la goutte déterminée expérimentalement :
−1
v L=0,25 m.s .
Exercice n°5 – Méthode d'arrachement
On veut mesurer la tension superficielle d'un liquide par la méthode d'arrachement. Une lame
de platine de 20mm de long et d'épaisseur négligeable est suspendue à un fil passant sur
une potence ; on peut tirer sur ce fil sans secousse. La lame est mouillée dans un liquide versé
dans un récipient placé sur le plateau d'une balance électronique. Cette balance indique alors
m1=250,35 g . La lame est ensuite arrachée de la surface. Juste avant l'arrachement, la
balance indique une masse
m2=250,06 g .
1. Justifier le signe de la différence de pesée.
2. Déterminer la tension superficielle du liquide dans les conditions de température et de
pression de la mesure.
Donnée :
g =10m.s−2 .
Exercice n°6 – Densimètre
Soit le densimètre de la figure ci dessous. Sa masse totale est notée m . Il est composé d'une
carène de volume V et à sa partie supérieure d'un tube fin de diamètre
Danièle FRISTOT
d . Le tube est
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
gradué. La hauteur
h
Page n°26
dont est immergé le tube est reliée à la densité du liquide dans lequel
il est plongé.
On se propose d'étudier l'influence des phénomènes de capillarité sur la mesure de densité
effectuée à l'aide de ce densimètre.
En négligeant la force de tension superficielle, on avait trouvé dans l'eau une hauteur
immergée h =0,208m .
1. Exprimer la force de tension superficielle qui
s'exerce sur le tube.
2. En déduire la hauteur h' de tige immergée en
tenant compte de cette force.
Application numérique :
m=50,00 g ;

3

V =48,00cm ;
d =3,50 mm ;

 le liquide est de l'eau :
-  =1,00 .10−3 kg.m−3 ;
-  =73.10−3 N.m−1 ;

- g =10m.s− 1 ;
Conclusion ?
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
4. DYNAMIQUE
Page n°27
DES FLUIDES PARFAITS
Exercice n°1 : Ecoulement vertical
On utilise le venturimètre représenté sur la figure ci-contre
pour mesurer un débit d’eau.
La dénivellation du mercure dans le manomètre différentiel
est h = 35,8 cm, la densité du mercure est 13,6.
1. Expliciter le débit d’eau en fonction de la différence des
pressions entre les points A et B et de leur distance h’ =
75,0
cm.
On
fera
l’hypothèse
d’un
fluide
parfait,
incompressible.
2. Calculer le débit sachant que les diamètres du col et du
tube sont respectivement 15 et 30 cm.
3. Calculer les vitesses moyennes de l’eau dans le col, ainsi
que dans le tube.
Exercice n°2 : Alliage d'aluminium
On désire couler par gravité un alliage d'aluminium dans une coquille. Voir le schéma ci-dessus
d'une demi-coquille.
L'alliage liquide est considéré comme un fluide parfait.
On donne
- la masse de la pièce
M =0,162 kg ;
- masse volumique de l'alliage :
 b=2,7 kg.dm−3
- la section du trou d'attaque de remplissage
S =80 mm
Danièle FRISTOT
2
.
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Chaque pièce est coulée en un temps
1. Calculer le débit massique
t
Qm
Page n°28
de deux secondes.
au niveau du point d'attaque de la coulée point A.
2. Calculer la vitesse du fluide en un point A pendant la coulée, cette vitesse étant
considérée comme constante pendant toute l'opération.
Exercice n°3 : Nettoyage au jet d'eau
Une lance nettoyeuse est raccordée à un tuyau d'alimentation de section
S1
et de même
axe horizontal que la lance. A l'intérieur de ce tuyau, l'eau est soumise à la pression
possède la vitesse
p1
et
v 1=8 m.s−1 .
Afin d'obtenir un nettoyage efficace, on souhaite obtenir, à la sortie de la lance, une vitesse de
jet
v 2=80m.s− 1
et un débit de
1. Calculer la section
2. Calculer la pression
S1
p1
6 000 L.min−1 .
du tuyau d'alimentation.
de l'eau à l'intérieur du tuyau.
Exercice n°4 : Chauffage central
Dans une installation de chauffage central, l'eau sort de la chaudière avec un débit volumique
qv =18L.min −1 à une pression p=5.10 5 Pa dans un tuyau de diamètre intérieur D =20mm .
Les radiateurs sont branchés en dérivation.
Le diamètre intérieur du tuyau qui les parcourt est d=5 mm.
On considère l'eau comme un fluide parfait de masse volumique  =1,00 .10−3 kg.m−3 .
1. Calculer la vitesse de l'eau à la sortie de la chaudière.
2. Calculer la vitesse et la pression de l'eau en un point d'un radiateur situé à 3,0 m
d'altitude au dessus de la chaudière dans les deux cas suivants :
2.1. un seul radiateur est ouvert
2.2. deux radiateurs sont ouverts
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°29
Exercice n°5 : Vidange de réservoir
Données :
 =900 kg.m−3
s =3,0cm
2
g =9,8 N.kg−1
Le réservoir représenté ci-dessus, ouvert à l'air libre, a pour dimensions :
L=1,60 m ; l = 0,75 m ; H = 1,00 m.
Il est muni, à sa base, d'un orifice de vidange de section s. Le réservoir est plein de fioul,
liquide parfaitement fluide, de masse volumique
 .
1. L'orifice est ouvert. On procède à la vidange du réservoir.
1.1. La section horizontale du réservoir (L x l = S) étant très grande par rapport à la
section s de l'orifice de vidage, quelle approximation peut-on faire ?
1.2. Etablir l'expression littérale de la valeur c de la vitesse du jet au niveau de l'orifice
de vidange lorsque la hauteur du liquide est H (la pression extérieure au niveau de
l'orifice est celle de l'air environnant).
1.3. Calculer la valeur numérique de c.
1.4. Exprimer le débit volumique
q v en fonction de : H, s, g.
1.5. Calculer la valeur numérique de
qv .
1.6. Quelle serait la durée du vidage si ce débit restait constant ?
2. Calcul de la durée théorique du vidage.
Pendant une durée très petite dt la hauteur du liquide dans le réservoir varie de dz.
2.1. Exprimer la variation de volume dv correspondante :
2.1.1. en fonction de dz
2.1.2. en fonction de
2.2. En déduire que
Danièle FRISTOT
dt=
qv .
−S 1
dz
s s  2gz
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
2.3. Sachant qu'une primitive de
Page n°30
1
est 2  z ; montrer, en utilisant l'équation
z
précédente, que la durée théorique du vidage est voisine de 30 minutes.
2.4. Comparer cette valeur à celle trouvée à la question 1.6.
2.5. Expliquer la différence.
3. La durée réelle du vidage est en fait supérieure à la durée théorique calculée.
Pourquoi ?
Exercice n°6 : Contrôle BTS (50 min)
Un récipient de section S contient un liquide idéal
de masse volumique
 . La hauteur H de liquide
dans le récipient est maintenue constante.
Le
liquide
s'écoule
par
une
canalisation
horizontale cylindrique de section s, placée à la
base du récipient. La pression atmosphérique est
notée po.
5
On donne :  =103 kg.m−3 ; H =3 m ; po=10 Pa ; g =10m.s− 2
diamètre de la canalisation d =0,05 m.
1.
1.1. Etablir les expressions littéraes de la vitesse
v B et du débit volumique q v du
liquide en B.
1.2. Calculer
v B et q v .
2. On fixe à la sortie de la canalisation un
tube de diamètre d'=d/2.
Exprimer littéralement puis calculer :
2.1. la vitesse d'écoulement en C, v C
2.2. la vitesse d'écoulement en B, v 'B
2.3. le nouveau débit volumique de sortie q 'v ( au point C).
3. On coude le tube à angle droit. La partie verticale C'C, dirigée vers le bas, a une
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°31
longueur L égale à 0,40 m.
Exprimer littéralement puis calculer :
3.1. la vitesse d'écoulement v 'C
en C
3.2. la pression statique pC ' (point de coudage).
Exercice n°7 : Citerne
Données :
Masse volumique de l'eau
Pression de vapeur saturante de l'eau à 20°C
Intensité du champ de pesanteur
pression atmosphérique
=10 3 kg.m−3
p vs =2 500 Pa.
g =10 m.s−2
p=105 Pa.
A. Une citerne destinée au transport d'eau permet d'alimenter un réservoir
R1 .
Elle est stationnée, pleine, sur la plate-forme et on la siphonne pour effectuer son vidage.
Un tuyau cylindrique, considéré comme une canalisation régulière, plonge pratiquement
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°32
jusqu'au fond (point A) de la citerne, remonte en un point B où il est suspendu à une potence,
puis débouche à l'air libre au point C, au-dessus de la cuve
R1 . Tous ces points figurent sur le
document.
1. Au tout début de l'écoulement, sachant que la citerne est ouverte à l'air libre, établir
l'expression littérale puis calculer la vitesse
débit-volume, noté
v o d'éjection du fluide en C. En déduire le
Qvo .
2. On rappelle qu'il y a risque de cavitation dans une canalisation si la pression en un point
de l'écoulement devient trop faible et atteint la pression de vapeur saturante
p vs du
fluide qui circule.
Exprimer, puis calculer la hauteur théorique maximale à laquelle on peut porter le point
B de la conduite en évitant ce type de risque.
3. En fait, au cours de la vidange, le niveau supérieur du liquide baisse. On note alors z la
nouvelle cote à un instant t.
Que devient alors l'expression du débit-volume
q v t en fonction de d, g, z et z C ?
4. On se propose d'étudier les variations de z en fonction du temps. Pour cela on
examinera :
la variation dV du volume contenu dans la citerne en fonction d'une variation dz de cote
du niveau supérieur ;
la variation dz de la cote en fonction du temps dt.
En introduisant la vitesse d'écoulement v(t) on établira l'équation différentielle solution
du problème.
5. Par intégration de cette équation différentielle on calculera le temps nécessaire au
remplissage du récipient
R1 .
On remarquera qu'à l'instant initial (t=0),
niveau de liquide dans la citerne est
z =z L0 et que lorsque R1 est plein, le
z x calculable.
B. On s'intéresse maintenant à l'étude d'une estimation de la perte de charge.
Afin de simplifier, l'étude, et du fait que le débit-volume varie peu, on posera pour sa suite
q v =Cte .
Du fait des pertes de charge, sa valeur moyenne est
q v =3,14 .10−2 m3 . s−1 .
1. Calcul de la perte de charge régulière
1.1. On rappelle : J r =
v 2 . L. 
.
2.g.d
A l'aide d'une étude sommaire des équations aux dimensions, préciser la dimension de
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°33
Jr .
1.2. Déduire du nombre de Reynolds la nature de l'écoulement dans cette canalisation.
1.3. La hauteur moyenne des aspérités est :
=0,01 mm
Déterminer le coefficient de perte de charge
 dans la canalisation. Le candidat
exploitera les abaques de Colebrook et fera apparaître, sans ambiguïté, sur sa copie la
méthode de recherche de
 .
Calculer la perte de charge régulière totale
J r en mètres.
2. Calcul de la perte de charge singulière
On rappelle
J s=
v 2∑ K
2g
2.1. Quelle est la dimension de
J s sachant que K est un coefficient sans dimension
caractérisant chaque singularité.
2.2. Pour réaliser cette installation et protéger le réservoir, on a été amené à introduire
des singularités. Les coefficients K sont donnés ci-dessous :
- en A : une crépine de coefficient K = 4 et une section contractée de coefficient K = 0,4
- en B' et B" : deux coudes légers de coefficient K = 0,2.
Calculer la perte de charge singulière totale J_s .
2.3. Evaluer la perte de charge totale de l'installation et la puissance perdue de ce fait.
2.4. Le point B étant situé à la cote
pour valeur
3.
qv =3,14 .10−2 m s−1
z B=4,75 m , et le débit-volume ayant toujours
que devient la pression au point B si l'on tient
compte de la perte de charge dans cette canalisation ?
Conclure quant à l'influence de cette perte de charge sur le risque de cavitation.
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°34
Exercice n°8 : Tube de Venturi
Un tube de Venturi est constitué d'un convergent et d'un divergent que l'on intercale dans une
conduite où circule un fluide de masse volumique
 dont on veut mesurer le débit volumique
qv .
Sur ce tube sont prévus deux prises de pression. Chacun des tubes, servant à mesurer la
pression, est relié à une branche d'un manomètre différentiel sur lequel on lit une dénivellation
H.
Manomètre
différentiel
A1
Sens de l'écoulement
A2
Axe de la
conduite
Section S2
Section S1
Divergent
Convergent
L'objectif de ce problème est d'établir la relation entre H et le débit volumique du fluide
qv .
Nous supposons le fluide parfait et incompressible et l'écoulement permanent.
1.
S 1 et S 2 sont les sections droites de la conduite à l'endroit des prises de pression
S2
=0,5 ; v 1 et v 2 sont les vitesses du fluide respectivement en A1 et A2 ; p 1
S1
et
p 2 sont les pressions du fluide respectivement en A1 et A2 .
Comparer, en justifiant,
Comparer
v 1 et v 2.
En déduire le rapport
v2
des vitesses.
v1
p 1 et p 2 sans effectuer de calcul, mais en justifiant la réponse.
2. Le tube de Venturi étant disposé horizontalement, écrire le théorème de Bernoulli entre
A1 et A2 , puis établir l'expression de  p1 – p2  en fonction de  , v 1 et v 2 .
3. Le fluide s'écoulant de façon permanente et son débit volumique étant noté q_v,
déterminer l'expression de
 p1 – p2  en fonction de  , q v ,
4. Le manomètre contient de l'eau. Exprimer
S 1 et S 2 .
 p1 – p2  en fonction de H, g,  et
eau
la masse volumique de l'eau. Indiquer l'unité dans laquelle s'exprime chacune de ces
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°35
grandeurs.
5. En identifiant les expressions obtenues question 3 et 4, montrer que
déterminer l'expression de k en fonction de  , eau , g,
H =k.q2v et
S 1 et S 2 . Indiquer l'unité de k.
6. Application numérique :
- masse volumique de l'eau :
 e= 1000kg.m−3
- masse volumique du fluide :
=900 kg.m
- rapport des sections :
S 2 / S 1=0,5
−3
S1 :
D1=60 mm
- accélération de la pesanteur :
g=9,81m.s
- diamètre de la section
−2
On mesure H = 10 mm. Calculer k. En déduire le débit volumique
q v du fluide.
Exercice n°9 : Expression générale du théorème de Bernoulli
Donner l'expression générale du théorème de Bernoulli.
Quelle est la signification physique de cette expression, des différents termes ? Unités.
Un réservoir alimente une canalisation cylindrique de section constante comprenant une vanne
K, 4 coudes à angle droit et un ajutage de sortie F tel que sa section (de sortie) soit la moitié de
celle de la canalisation.
Calculer la vitesse de sortie de l'eau (en B) si h=3m (2 cas) :
a. sans tenir compte des pertes de charges singulières
b. en en tenant compte. On admettra comme coefficient de perte da charge  :
➢
pour la vanne : v =0,4
➢
pour l'ajutage de sortie assez allongé : =0
➢
pour un coude droit à angle droit : c =1
➢
pour une entrée de conduite en T : v =0,5
Danièle FRISTOT
A
h
x
B
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°36
Exercice n° 10 : MÉCANIQUE DES FLUIDES (extrait 3ème concours CAPLP 2004)
D’après un sujet du bac pro Pilotage des Systèmes de Production Automatisée,
session 2001
Formulaire :
Débit : Q = S v
Relation de Bernoulli :
p1  . g.z1 
1
1
 v 21 = p2  . g.z 2   v 22
2
2
Masse volumique de l’eau :  = 1 000 kg.m-3
La ville de Genève possède un jet d’eau qui projette une demi tonne d’eau par seconde. La vitesse de sortie de
l’eau de la tuyère cylindrique est 56 m.s-1. On suppose l’écoulement permanent.
I. 1. Calculer le rayon intérieur R de la section de la tuyère. Exprimer le résultat en cm.
Dans le circuit hydraulique amenant l’eau à la tuyère de sortie, on suppose que l’écoulement
est horizontal. La vitesse de l’eau alimentant la tuyère est de 3 m.s-1 et la pression à la sortie
du circuit est égale à la pression atmosphérique patm, soit 1 bar.
I. 2. Calculer la pression à laquelle est portée l’eau qui alimente la tuyère. Exprimer le résultat
en bar.
Exercice n ° 11 – Chauffage central
Le dessin ci-dessus est une représentation simplifiée d'une installation de chauffage central
dans laquelle l'eau circule en circuit fermé.
Partie B
Les diamètres intérieurs des canalisations des
parties A, B sont notés respectivement
Chaudière
dB .
La partie B est située à une hauteur
hB
au-
dessus de la partie A ; la partie C est située à
une hauteur
hC
au-dessous de cette partie A.
Un manomètre placé en A indique une pression
pA .
Danièle FRISTOT
hB
dA ,
Partie A
Partie C
hc
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°37
On donne :
- d A =20mm ;
- d B =15mm ;
- h C =3 m ;
- h B=5 m ;
5
- p A =5.10 Pa ;
1. On suppose, le chauffage étant arrêté, que l'eau ne circule pas.
1.1. Quelle est l'expression de la pression
pB dans la partie B ? Calculer
1.2. Quelle est l'expression de la pression
pC
dans la partie C ? Calculer
2. On suppose que le chauffage fonctionne, le débit de l'eau
2.1. Calculer les vitesses
2.2. La pression
pA
vA
et
vB
pB .
pC .
qv =21L.min −1 .
de l'eau dans les parties A et B.
ayant la même valeur que précédemment, exprimer puis calculer
p'B , nouvelle valeur de la pression dans la partie B.
Comparer
pB
p'B .
et
Exercice n ° 12 - Vidange d'un réservoir (Extrait banque d'épreuves G2E 2003)
Un grand récipient, posé sur un plan horizontal (figure 3), contient de l'eau, de masse
3
volumique =1000 kg/m . On donne AB = H = 1 m et g = 10 m/s2.
Un trou O est percé dans la paroi supposée mince à 20 cm de la surface libre B.
z
h
O
0
ho
1. a. Si le niveau B est supposé constant, quelle est la vitesse d'écoulement vo par le trou O ?
b. Quelle serait la valeur si on remplaçait l'eau par du mercure ?
c. On considère qu'une goutte d'eau, supposée ponctuelle, après son passage en O n'est
plus soumise qu'à son poids. Calculer sa vitesse lorsqu'elle est sortie depuis 0,4 s.
2. Quelle est la nouvelle valeur v'o de la vitesse d'écoulement en O, si une surpression de 1kPa
s'exerce à la surface de l'eau de niveau constant ?
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°38
3. Le récipient a une section droite S = 20 cm2 et le trou O une section s = 2 mm2.
Le niveau B de la surface libre n'est plus constant mais se déplace avec une vitesse de
norme vB. Que devient la vitesse d'écoulement Vo en O ?
On appliquera le théorème de Bernoulli entre un point de la surface libre et le point O.
4. La hauteur hB de liquide diminue avec le temps à partir de la valeur initiale H à t=0.
On admettra que : vB << Vo et s << S.
a. Quelle est l'expression de hB en fonction du temps ?
b. En déduire les expressions littérales de la vitesse Vo d'éjection en O, du débit volumique
Do à travers le trou O et du volume de liquide o restant à l'instant t.
c. Au bout de quel temps to l'écoulement par le trou O s'arrête-t-il ?
Quel volume  'o reste-t-il alors dans le réservoir ?
Exercice n°13 - Temps de vidange
A t=0, la différence de niveau entre A et B
est h.
Calculer le temps T pour que le liquide soit
au même niveau en A et B ?
A.N : SA = 1 m2, SB = 0.5 m2,
SA
zA
h
SB
s=1 cm2
 = 0.29 et h =0.5 m
s
α
zB
c
Exercice n°14 - Vidange d'un réservoir (Extrait PLPA – session 2003)
Première partie
Un réservoir cylindrique, de section S, contient une hauteur H d'un liquide de masse volumique
 non visqueux considéré comme incompressible.
A l'instant t=0, le liquide s'écoule par un petit orifice de section circulaire s (s<<S) situé à la
base du réservoir. L'écoulement est supposé quasi permanent, unidimensionnel et
irrotationnel.
On note :
z(t) = z, l'altitude de la surface libre du liquide à l'instant t
V(t) = V, la vitesse de déplacement de la surface libre du liquide
v(t) = v, la vitesse d'écoulement du liquide par l'orifice de section s
Po : pression atmosphérique
g : le champ de pesanteur supposé uniforme
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°39
z
Po
z(t)

V
H
0

v
1.1 Comparer qualitativement les vitesses V et v.
1.2 Etablir l'expression de v en fonction de z.
1.3 En déduire l'équation différentielle satisfaite par z.
1.4 Etablir l'expression de la durée de vidange t1 du réservoir en fonction de H, S, s et g.
1.5 Calculer t1 sachant que H = 1,2 m ; g = 9,8 m.s-2 ;
S
=104 .
s
Deuxième partie
On adapte, sur l'orifice de la cuve remplie d'eau, un tuyau horizontal de longueur L et de
section s telle que s = 10-4 S. L'extrémité E du tuyau est fermé par une vanne (V) supposée
ponctuelle. On note H, la hauteur d'eau dans la cuve au dessus du point O et  , la masse
volumique de l'eau.
2.1Donner l'expression de la pression p(O) de l'eau au point O à l'équilibre.
Calculer p(O) si H = 1,2 m ; g=9,8 m.s-2, Po = 105 Pa et  = 103 kg.m-3.
2.2 On ouvre brusquement la vanne à l'instant t = 0.
Le régime d'écoulement de l'eau dans la cuve est assimilé à un régime quasi permanent.
On s'intéresse au régime transitoire d'écoulement de l'eau dans le tuyau horizontal. On
suppose que la hauteur d'eau dans la cuve reste pratiquement constante et égale à H
pendant la durée du régime transitoire.
On appelle v la vitesse d'écoulement de l'eau dans le tuyau horizontal et on pose
v 1 =  2gH.
En un point M, d'abscisse x, du tuyau, l'expression de la pression p(x,t) de l'eau est donnée
par :
px ,t  =P o L− x
dv
dt
Etablir l'équation différentielle satisfaite par v en appliquant le théorème de Bernoulli entre
l'entrée du tuyau et un point de la surface libre de l'eau dans le réservoir.
2.3 En déduire l'expression de v en fonction de v1, L et t.
Indiquer ce que représente v1.
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°40
x
On donne :
On posera :
Arg th X=1 /2 ln
∫ dX
 
1 X
= 0
2
1− X
1− X
X
;
th X=
−X
e −e
e X e−X
2L
v
= et
=X
v1
v1
2.4 Calculer v1 pour H=1,2 m, g = 9,8 m.s-2.
2.5 Déterminer à quel instant t1 la vitesse v s'approche de v1 au 1/1000 près si L = 10 m.
u
On rappelle que
thu=
−u
e −e
−2u
≈1 −2 e
pour u suffisamment élevé.
eu e−u
2.6 Pour t>t1, la vitesse v d'écoulement de l'eau dans le tuyau horizontal est supposée
constante et l'écoulement est stable.
Déterminer la valeur de la pression p de l'eau dans le tuyau et qualifier le régime
d'écoulement.
2.7 Dans d'autres situations, il est fréquent d'observer des pertes de charge le long des
conduites horizontales.
Expliquer ce phénomène d'un point de vue énergétique. Préciser sa conséquence
essentielle. Citer les paramètres qui influent sur ce phénomène.
Exercice n°15 : Vidange d’un réservoir
Un récipient a une symétrie de révolution autour de l’axe vertical 0z. Le fond du récipient est
percé d’un orifice de faible section s=1 cm2. A l’instant t = 0 où commence la vidange, la
hauteur d’eau dans le récipient est égale à H et à un
instant t elle devient z. On suppose que l’eau est un
H
fluide incompressible, non visqueux.
z
1)
En
supposant
l’écoulement
quasi-permanent
(permanence établie pour des intervalles de temps
r(z)
0
successifs très courts) calculer la vitesse v(z=0)
d’éjection de l’eau à un instant t .
2.a) Comparer à l’instant t , pour une surface de l’eau de cote z toujours très supérieure à la
section s de l’orifice, vitesse v(z) du niveau d’eau à la cote z et vitesse v(z=0) d’éjection.
2.b) En déduire que
d’eau est
v  z =0 ≈  2gz
et que l’équation différentielle donnant la hauteur
dz
s 2gz
=−  2 .
dt
r
3) Le récipient a la forme d’un cylindre de révolution de rayon r=R. Calculer le temps de
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°41
vidange si la hauteur d’eau initiale dans le récipient est H.
4) Clepsydre : le rayon r du récipient à la cote z est donné par r=azn.
4.a) Déterminer les coefficients n et a pour que le niveau d’eau du récipient baisse régulièrement de 6 cm par minute.
4.b) Quelle est la hauteur minimale z = h d’eau dans le récipient pour que
v z 
v  z =0 
≤1 %.
4.c) Quel volume d’eau doit-on mettre dans le récipient pour que le temps d’écoulement de
l’eau entre la hauteur H et la hauteur h soit de 15 minutes ? Quelle a pu être l’utilité de cet
appareil ?
5) Le récipient a la forme d’une sphère de rayon r=R. Calculer le temps de vidange si la
hauteur d’eau initiale dans le récipient est H.
Exercice n°16 - Extrait Capesa externe
1. On rappelle qu'un fluide incompressible en écoulement parmanent satisfait à la
relation de Bernoulli :
p
1
.  . v2  . g . z =cte
2
le long d'une ligne de courant.
Préciser la signification des différents termes de la relation.
2. Une conduite amène l'eau d'un barrage vers la turbine d'une centrale hydroélectrique. La conduite cylindrique, de diamètre D = 30 cm, a son départ situé à h =
20 cm en dessous de la surface libre de l'eau ; elle se termine à H = 150 m en
dessous de cette surface par un injecteur (tubulure de section décroissante) de
diamètre de sortie d = 15 cm.
On
donne
3
la
pression
atmosphérique
5
P o=1,00 .10
;
g =9,8 m.s−2 ;
−3
=1,00 .10 kg.m .
On suppose le niveau du barrage constant, l'écoulement dans la conduite
permanent, et la pression dans le jet à la sortie de l'injecteur égale à Po.
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Po
Page n°42
barrage
z
h
H
M
conduite
D
d
0
Po
injecteur
2.1 En utilisant la relation de Bernoulli sur une ligne de courant entre un point de la
surface libre et un point dans le jet de sortie de l'injecteur, démontrer l'expression
de la vitesse de l'eau dans le jet :
v s = 2.g.H
Calculer numériquement la vitesse v s .
2.2 Donner l'expression littérale de la vitesse de l'eau dans la conduite en amont de
l'injecteur, et calculer numériquement cette vitesse.
2.3 On appelle phénomène de cavitation l'apparition de bulles de vapeur dans l'eau
en écoulement ; ce phénomène se produit pour P ≤P s où P s est la pression de
vapeur saturante de l'eau à la température considérée ; on suppose la température
3
de l'eau uniforme et on donne P s =1,5.10 Pa.
Montrer qu'il n'y a pas de phénomène de cavitation dans la conduite.
2.4 Si on supprime l'injecteur, quelle est la portion de conduite affectée par la
cavitation ?
2.5 L'eau qui sort de l'injecteur transporte de l'énergie cinétique. Exprimer E la
quantité d'énergie cinétique disponible en sortie d'injecteur par unité de temps, et
calculer numériquement E.
2.6 Quelle puissance mécanique peut-on raisonnablement espérer récupérer sur
l'arbre de la turbine hydraulique ?
Exercice n°17 - (suite du concours spécial P')
Partie II – Vol vertical de l'hélicoptère
Dans toute la suite du problème, on supposera que localement, au voisinage de l'hélicoptère,
l'air se comporte comme un fluide non visqueux et incompressible.
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°43
A. Mouvement d'un fluide (l'air) à travers une hélice.
Dans le référentiel (RH), supposé galiléen, lié au plan de rotation de l'hélice, on considère une
veine de fluide, s'appuyant sur la circonférence engendrée par l'extrémité de l'hélice ; On
suppose que ce tube de courant a une symétrie de révolution autour de l'axe de rotation de
l'hélice, que l'écoulement est permanent dans (RH) et qu'à l'extérieur de ce tube de courant le
fluide est immobile à la pression Po. On néglige l'influence de la pesanteur sur le fluide (l'air ici)
et on appelle  la masse volumique de ce fluide supposé incompressible. On distingue trois
parties dans cet écoulement (cf. figure)
S01
P0


V 01
V=0

S2,P2

V1

n

S02

V 02

V2
P0
P0
S1,P1
P0
Parties 1 et 2 : écoulement laminaire, irrotationnel, unidimensionnel (la pression et la vitesse
du fluide ont même valeur sur une section droite donnée du tube), les sections d'aire S 01 et S02
sont prises suffisamment éloignées de l'hélice pour que la pression puisse y être égale à P0.
Partie 3 (d'épaisseur très faible) : zone perturbée par la rotation de l'hélice, de section
d'aire S = S1 = S2.
En désignant par n
 le vecteur unitaire de l'axe de révolution du système, dirigé de l'amont
vers l'aval (cf. figure), on adopte les notations suivantes :
●
P0 et 
V 01 =V 01 
n respectivement pression et vitesse du fluide en amont, dans la section
d'aire S01.
●
 respectivement pression et vitesse du fluide en aval, dans la section
V 02=V 02 n
P0 et 
d'aire S02.
●
 (on pose V1 = V) respectivement pression et vitesse du fluide en amont,
V 1=V 1 n
P1 et 
dans la section d'aire S1, juste avant l'hélice (S1 = S).
●
 respectivement pression et vitesse du fluide en amont, dans la section
V 2=V 2 n
P2 et 
d'aire S2, juste avant l'hélice (S2 = S).
On appelle 
 la force exercée par l'hélice sur le fluide et par P la puissance fournie par
F=F n
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°44
l'hélice au fluide. Dans cette partie II, l'hélice peut provoquer le mouvement de l'air (hélice
propulsive), ou bien, l'air en mouvement peut être à l'origine de la rotation de l'hélice (hélice
éolienne).
1. On se propose de calculer F par deux méthodes différentes. On n'oubliera pas de
préciser les conditions d'application des théorèmes utilisés.
a. Ecrire les relations de conservation du débit massique.
b. Appliquer le théorème de Bernoulli dans les zones 1 et 2 de l'écoulement.
c. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à la portion de fluide située
dans la zone 3, déterminer une expression de F en fonction de  , S , V , V 01 et V 02 .
d. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à une autre portion de fluide
que
l'on
précisera,
déterminer
une
autre
expression
de
F
en
fonction
de
 , S , V , V 01 et V 02 .
e. En déduire des relations simples entre les vitesses V 1 , V 2 , V 01 et V 02 .
2. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique au fluide contenu dans la zone
(1+2+3), calculer la puissance P en fonction de  , S , V , V 01 et V 02 .
3. En déduire la relation générale qui lie P , F et V.
On désire maintenant s'intéresser à divers mouvements verticaux à vitesse constante
(éventuellement nulle) de l'hélicoptère. On supposera que dans le référentiel (R H)
supposé galiléen, lié à l'hélicoptère, le fluide obéit aux lois précédentes, c'est-à-dire que
l'encombrement de l'hélicoptère ne modifie pas la répartition des vitesses du fluide. On
admettra donc que les expressions de la force F et de la puissanceP calculées dans la
partie II.A. Sont encores valables dans le référentiel lié à l'hélicoptère. On désigne par
 le vecteur unitaire de l'axe Oz vertical ascendant.
k
B. Vol stationnaire de l'hélicoptère.
On s'intéresse à un hélicoptère en vol stationnaire (altitude constante) ; le référentiel (RH), lié à
l'hélicoptère coïncide donc avec celui lié au sol, supposé galiléen.
1. Dessiner dans le repère lié à l'hélicoptère l'allure de la veine de fluide qui traverse
l'hélice. On placera sur le dessin la section d'aire S 01 au-dessus de celle d'aire S02 (les
vecteurs n
 , défini dans la partie II.A., et k sont ainsi opposés) et on y représentera
les différentes vitesses et forces en présence. Dans un modèle de schématisation
simple, quelle valeur peut-on donner à la vitesse V01 définie à la question II.A. ? En tenir
compte pour faire le dessin.
2. On désigne par M la masse totale de l'hélicoptère. Déterminer la puissance P qui doit
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°45
être disponible sur le rotor en fonction de M, g, S (aire de la section de la veine de fluide
au niveau de l'hélice, cf. partie II.A.) et de la masse volumique  de l'air au niveau de
l'hélicoptère, pour que le vol stationnaire soit possible.
3. la puissance P M disponible sur le rotor varie en fonction de l'altitude z suivant la loi P M
= P0
−
e
z
z0
où P 0 et z0 sont des constantes.
On considère dans cette partie le modèle de l'atmosphère standard. (cf. partie I.).
a. Quelle est la masse maximale Mo que puisse avoir l'hélicoptère pour qu'il puisse
décoller ? On exprimera Mo en fonction de P 0 , g,  0 (masse volumique de l'air au
niveau du sol) et S.
Application numérique : en plus des valeurs numériques données à la partie I., on
donne : P 0 = 5,66.105 W, S = 130 m2. Calculer Mo.
b. La masse réelle de l'hélicoptère est égale à M (M < M o) ; déterminer une relation liant
M et l'altitude maximale zp à laquelle peut voler cet hélicoptère en vol stationnaire, en
fonction des constantes Mo, z0 et H (H défini dans la partie I.). En linéarisant l'équation
obtenue, montrer que l'on peut écrire :
M
M0
=1 −a z p
et déterminer l'expression de a en fonction de H et zo.
Application numérique : on rappelle H = 20 km et on donne zo = 14,5 km.
●
Déterminer l'altitude maximale zp pour une masse M=4,3.103 kg.
●
Déterminer la nouvelle altitude maximale z' si l'hélicoptère emporte avec lui une
« petite surcharge » m = 5% de Mo, sa masse devenant M' =M + m. Conclusion.
C. Vol vertical ascendant de l'hélicoptère à vitesse constante.
On considère un vol vertical ascendant à la vitesse rectiligne et uniforme u
o =uo 
k
 uo0  .
1. En prenant les mêmes conventions que dans la partie II.2., dessiner dans le repère (RH)
lié à l'hélicoptère l'allure de la veine de fluide qui traverse l'hélice, en y représentant les
différentes vitesses et forces en présence. Dans un modèle de schématisation simple,
quelle valeur peut-on donner à la vitesse V01 (définie dans la partie II.A.) ?
2. Calculer la puissance P qui doit être disponible sur le rotor pour assurer une vitesse uo
constante ; exprimer P en fonction de uo , g, S, de la masse M de l'hélicoptère et de la
masse volumique  de l'air au niveau de l'hélicoptère. Peut-on retrouver le cas de la
partie II.B. ?
Application numérique : on se place au niveau du sol ; à l'aide des données
numériques précédentes, calculer la valeur maximale de uo pour : M = 4,3.103 kg, M' =
M + 5.10-2 Mo. Conclusion.
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°46
Exercice n°18 - Phénomène de cavitation
Une conduite, de diamètre D=30 cm, de longueur l=200 m, amène l’eau ( masse volumique
3
−3
 = 10 kg.m ) d’un barrage vers la turbine d’une centrale hydroélectrique située à H=160m
au dessous de la surface libre de l’eau dans le barrage.
Le barrage a une grande capacité si bien que l’on peut considérer que le niveau de la surface
libre est constant.
Le départ de la conduite est située à H0=20m au dessous de la surface libre.
La pression atmosphérique est égale à p0=105 Pa, l’intensité du champ de pesanteur est
g=10m.s-2.
1. Montrer que si l’extrémité aval A de la conduite est à l’air libre, on aura un phénomène de
cavitation (la pression p devient inférieure à la pression de vapeur saturante de l’eau pV = 2300
Pa
à
20
°C)
dans
une
région
de
la
conduite
que
l’on
déterminera.
2. On visse à l’extrémité une tubulure de section décroissante (injecteur), de diamètre d .
Montrer que la cavitation disparaît si d < d0 ; calculer d0.
3. L’injecteur a un diamètre de sortie d=15 cm. Calculer la vitesse vs de l’eau à la sortie de
 et la puissance cinétique Pc du jet.
l’injecteur, le débit massique m
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°47
Exercice n° 19 - Coup de Bélier
Un réservoir cylindrique, d’axe vertical et de
grande
section,
alimente
une
canalisation
cylindrique horizontale, de faible section et de
grande longueur l. Cette canalisation est munie à
son
extrémité
x=l
d’une
vanne
V.
A l’instant t=0 où on ouvre la vanne, la hauteur
d’eau
dans
le
réservoir
au
dessus
de
la
canalisation est h. On admet que, pendant la
courte durée de régime transitoire dans la canalisation, h ne varie pratiquement pas.
 =v  x , t  ex .
L’écoulement de l’eau dans la canalisation est mono dimensionnel soit v
L’eau est assimilée à un fluide parfait incompressible de masse volumique µ .
1)
Montrer que, compte tenu des hypothèses faites, la vitesse de l’écoulement dans la
canalisation est uniforme c’est à dire que
2)
 =v t  ex .
v
Si A et B sont deux points d’une même ligne de courant (C), montrer, en intégrant
l’équation d’Euler, que :
2
p  B , t  
2
v B , t 
v A,t
g z B=p  A ,t 
 g z A −
2
2
B
v 
dl
∫ ∂
∂t
suivant (C)
A
a ) Que devient la relation précédente si A est un point de la surface libre du réservoir et si B
se confond avec V extrémité de la canalisation.
Intégrer l’équation différentielle obtenue dans les premiers instants après l’ouverture de la
vanne en supposant que h ne varie pratiquement pas et montrer que
v= 2gh tanht  gh/ 2l2
A.N. : h=10m ; l=100 m. Calculer v t → ∞ 
et le temps nécessaire pour que v diffère de
moins de 1% de cette valeur.
b) Soit M un point d’abscisse x de la canalisation. Calculer la pression p(x,t) en appliquant la
relation de la question 2) entre M et V.
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°48
4) La hauteur d’eau dans le réservoir est h’ et la vitesse d’écoulement de l’eau est v '= 2gh '
Au temps t’=0, on ferme la vanne, la vitesse d’écoulement varie selon
v t '=  2gh' 1 −
t'

T
si T est la durée (supposée courte) de fermeture de la vanne.
En appliquant la relation de la question 2) entre les points A et M, calculer la pression p(x,t’).
Montrer que cette pression est maximale en x=l, au temps t’=T.
Commenter l’application numérique pour po = 105 Pa, h’=5m et T=0.1s.
Exercice n°20 - Fonctionnement d’une hélice
Dans
un
fluide
incompressible
parfait,
(air
ou
homogène
eau)
de
et
masse
volumique  , est immergée une hélice.
On se place dans un référentiel (R), supposé
galiléen
où
l’hélice
est
animée
d’un
mouvement de rotation à vitesse angulaire
constante autour de son axe x’x fixe.
On fait les hypothèses suivantes :
•
le mouvement du fluide autour de l’hélice est supposé stationnaire dans (R) et à
symétrie de révolution autour de x’x,
•
la figure représente un tube de courant dans (R), dans l’hypothèse où SA > SB ; loin de
l’hélice, la vitesse du fluide est vA en amont de l’hélice et vB en aval,
•
la pression à grande distance de l’hélice, dans toutes les directions, est uniforme et
vaut p0 (c’est vrai en particulier sur SA et SB ),
•
les sections S1 et S2 du tube, très voisines de l’hélice, ont leurs aires pratiquement
confondues de valeur S ; les pressions sur ces sections y sont uniformes et
respectivement égales à p1 et p2,
•
la vitesse du fluide au voisinage de l’hélice dans (R) est supposée uniforme de valeur
v ,

•
on suppose qu’il n’y a aucune dissipation d’énergie mécanique par frottement dans le
contact fluide-pales de l’hélice et on néglige les effets de la pesanteur.
1) Ecrire les deux relations entre SA, vA, SB, vB, S et v.
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°49
2) Evaluer les pressions p1 et p2 en fonction de po , , v A ,v B et v.
En déduire la résultante 
F des efforts exercés par l’hélice sur le fluide en fonction de
 , S ,v A ,v B ; discuter le sens de F
.
3) Evaluer 
F par ailleurs, en appliquant le théorème d’Euler dans (R) à un volume de
contrôle de grandes dimensions entourant l’hélice. En déduire la relation entre v, vA et
vB.
4) Evaluer la puissance Pf fournie au fluide par l’hélice, mesurée dans (R) :
.
a) à partir de F
b) en appliquant le principe de conservation de l’énergie à un système convenable.
On exprimera Pf en fonction de
v A ,v B et du débit massique Dm circulant dans le tube
de courant représenté.
5) Application à la propulsion d’un vaisseau (avion, navire) :
Le vaisseau a, par rapport à la terre où le fluide est immobile à grande distance de
u =u ex (u > 0). Le fluide est éjecté vers l’arrière de
l’hélice, une vitesse constante 
l’hélice à une vitesse ve=ve ex , à grande distance de celle-ci,
ve étant mesurée par
rapport à la terre.
a) Evaluer le rapport énergétique
=
Pu
Pm
de la propulsion ; Pu est la puissance
fournie à la coque du vaisseau, mesurée dans le référentiel terrestre et P m la puissance
fournie par le moteur actionnant l’hélice.
On exprimera  en fonction de u et ve. Dans quelles conditions  est-il maximal ?
Que faut-il en penser ?
b) A.N. : Calculer le rapport v e /u
pour
=0,85
(avion) et
=0,60
(navire)
6) Application au fonctionnement d’une éolienne
Dans ce cas, (R) est le référentiel terrestre et vB < vA.
a) Quelle est la forme du tube de courant ?
b) Soit P la puissance obtenue sur l’arbre de l’éolienne . On pose x =
vB
vA
; S et vA
étant données, pour quelle valeur de x, la puissance P est-elle maximale ?
c) Le rendement énergétique r est défini comme le rapport de P au débit d’énergie
cinétique de l’air à travers la section SA du tube de courant. Exprimer r en fonction de x.
Que vaut r lorsque la puissance P est maximale ?
−3
d) A.N. : =1,3 kg.m
Danièle FRISTOT
; vA=8 m.s-1 ; le diamètre de l’hélice est 10 m ; calculer Pmax.
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Danièle FRISTOT
Page n°50
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
5. ETUDE
Page n°51
DE LA VISCOSITÉ
Exercice n° 1 - Ecoulement de Poiseuille
Au fond d'un réservoir d'eau de très grande dimension, on adapte un tube vertical de 1 mm de
diamètre et de longueur l (l=20 cm), A 0°C, pendant une minute, la quantité d'eau écoulée est
3
80,2 cm . A cette température T 0 , la viscosité de l'eau est 1,8.10−3 Pl .
Quelle est, en cm, la hauteur d'eau qui était dans le réservoir ?
Exercice n° 2 - Formule de Stokes
Une bille de verre de 1 mm de rayon tombe dans de l'huile de ricin. Sa vitesse limite de chute
est 3 mm par seconde. Quel est le coefficient de viscosité de cette huile ?
Masse volumique du verre : 2.6 g.cm−3
Masse volumique du l'huile : 0.96 g.cm−3
(On rappelle que lorsqu'un corps sphérique de rayon R se déplace dans un fluide dont le
coefficient de viscosité est
 , la force de frottement visqueux f est donnée par la relation :
f =6  R  v (formule de Stokes) où v est la vitesse limite de chute du corps.
Exercice n° 3 - Réfrigérant à huile
Un réfrigérant à huile est composé d'un groupe de 100 tubes cylindriques en parallèle, de
diamètre D=1cm et de longueur l=4m. A la vitesse moyenne v=2 m.s−1 on y fait circuler de
l'huile dont la densité moyenne est de 0,9 et dont le coefficient de viscosité dynamique
 varie
linéairement de 0,03 Pl à l'entrée jusqu'à 0,1 Pl à la sortie.
Calculer la puissance P qu'il faut fournir à l'huile pour lui faire traverser le système réfrigerant.
On négligera les pertes de charges singulières à l'entrée et à la sortie des tubes).
Donner une formule pratique pour calculer cette puissance dans laquelle n'intervient pas D.
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°52
Exercice n° 4 - Perte de charge dans un pipeline.
Du pipeline de 30 cm de diamètre intérieur est destiné à transporter du pétrole brut de
viscosité dynamique
 =0,27 Pl et de densité 0,9 avec un débit massique de
324 t / h .
1. Quel est le régime d'écoulement.
2. Quelle doit-être la distance entre deux stations de pompage, pour que la pression des
pompes soit inférieure à
6
4,5.10 Pa
(environ 45 atm).
3. Prévoir la puissance des moteurs destinés à équiper ces pompes sachant que le
rendement est de 75.
Exercice n°5 - Puissance dissipée dans un oléoduc
Quelle est en chevaux la puissance nécessaire pour transporter dans une conduite horizontale
de 10 cm de diamètre et 10 km de long, 50 m3 par heure d'une huile de masse volumique et
 =0,95 g.cm −3 de viscosité dynamique
=2 poises ?
Si une seule pompe de circulation est utilisée, quelle pression doit-elle enfendrer ?
Exercice n°6 - Ecoulement laminaire sur un plan incliné
Une
couche
mince
de
fluide
incompressible
(viscosité ,  masse volumique  ) d'épaisseur e
coule le long d'un plan incliné, dont la ligne de
plus
grande
pente
fait
un
angle

avec
l'horizontale.
Montrer que le champ des vitesses permanent est
 =v  y  ex .
de la forme v
On néglige les forces de viscosité sur l'interface air/eau.
Déterminer la forme de v(y) ainsi que, pour une largeur L, la relation entre l'épaisseur e et le
débit D.
Calculer les vitesses maximales pour e=1 mm et
•
−3
dans le cas de l'eau (  =10
Danièle FRISTOT
=45 ° ,
Pa.s et =103 kg .m−3 )
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
•
Page n°53
3
−3
dans le cas de l'huile ( =1 Pa.s et =10 kg . m ).
Exercice n°7 - Etude de l'eau sucrée au viscosimètre à chute de bille
1. Etude du principe simplifié du viscosimètre à chute de bille.
Une bille sphérique de masse volumique  S de rayon R, est lâché sans vitesse initiale
dans un fluide de masse volumique  , de viscosité dynamique  .
1.1. Recenser les forces qui s'exercent sur la bille lors de sa chute et donner leurs
caractéristiques. Les représenter sur un schéma (on rappelle la loi de Stokes : la valeur
de la force de frottement F, opposée à la vitesse de chute, est égale à 6 . . r.v où v
est la vitesse de chute).
1.2. Montrer qualitativement que la vitesse v de la bille tends vers une valeur limite v 0 .
1.3. Une fois la vitesse limite v 0 établie, on mesure le temps t nécessaire pour que la
bille parcoure une distance d donnée.
Etablir la relation entre t, g, d, R,  ,  et  S .
1.4. Montrer que  peut se mettre sous la forme :  =K.   S−  .t où K est une
constante.
2. Etude pratique de l'eau sucrée.
Le certificat d'étalonnage de l'appareil précise
K =8,94 .10− 8 Pa.kg− 1 . m
3
3
3
 S=7,88 .10 kg.m
La mesure de la masse volumique de l'eau sucrée a donné :
3
 =1,01 .10 kg.m−3 .
Le temps t de mesure est t=17,2 s.
2.1. L'eau sucrée se comporte comme un fluide newtonien : définir ce terme.
2.2. Calculer la valeur de la viscosité dynamique  de l'eau sucrée.
Exercice n°8 - Viscosimètre capillaire
La question 3 peut être traitée à partir du résultat
de la question 2.
On rappelle la loi de Poiseuille pour une fluide newtonien en écoulement laminaire et en régime
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°54
permanent dans une conduite cylindrique.
4
Qv =
R  p
8 L
h
Niveau
pratiquement
invariable
liquide
avec :
Qv : débit volumique ( m 3 . s−1 )
 p = perte de charge régulière (Pa)
Trait de jauge
(50 ml)
R = rayon de la conduite (m)
 = viscosité dynamique du fluide (Pa.s)
L = longueur de la conduite (m).
On étudie un viscosimètre capillaire dont le principe est expliqué ci-après :
L'appareil est constitué d'un large récipient fixé sur un support et contenant le liquide à
étudier. Ce récipient présente, à sa base, un orifice permettant l'écoulement du liquide à
travers un tube très fin appelé "capillaire" de sorte que le régime soit laminaire. Une
éprouvette jaugée permettant de recueillir 50 mL de liquide est placée sous le capillaire.
Le récipient supérieur contenant plusieurs litres de liquide, nous pourrons considérer que la
hauteur h du liquide dans le récipient reste quasiment constante par rapport aux 50 mL qui
s'écoulent.
1. Pourquoi peut-on dire que le régime est permanent ?
2. Soit 2 fluides newtoniens (1) et (2) de masse volumique
1 et 2 et de viscosités
1 et 2 . On choisit pour le fluide (1) une hauteur h 1 et pour le fluide (2) une
hauteur h_2 telles que
1 h1=2 h2 . Soit t 1 et t 2 les durées de remplissage de
l'éprouvette jaugée pour chaque fluide, montrer que :
t1 t2
.
=
1 2
3. Application
On a mesuré pour de l'eau t 1=120 s et pour de l'acétone t 2=37s . On connait à
20°C les viscosités de ces deux liquides : pour l'eau 1 =1,0mPa.s et pour l'acétone
2 =0,31 mPa.s .
3.1. Pour un liquide de viscosité inconnue, on mesure t 3=700 s . En déduire 3 .
3.2. Dans le cas de l'eau, calculer Q v
3.3. En déduire la vitesse moyenne u dans le capillaire.
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°55
Données :
- Diamètre du capillaire : D = 0,5 mm.
Exercice n°9 - Etude de la viscosité du lait
On veut mesurer la viscosité du lait. On utilise pour cela un viscosimètre à
chute de bille qui comporte un long tube de verre vertical, rempli de lait,
et dans lequel on laisse tomber une bille sphérique. On mesure le temps
nécessaire relatif au déplacement de la bille entre deux repères fixes A et
A
B.
1. Faire le bilan des forces appliquées à la sphère (poids, poussée
d'Archimède, force de frottement) et les représenter sur un
schéma. Donner l'expression littérale des normes (valeurs) de
chacune de ces forces en fonction :
- de l'accélération de la pesanteur g,
- du coefficient de viscosité
 et de la masse volumique 
B
du lait
- du rayon r de la sphère, de sa masse volumique
 B et de sa vitesse v.
Rappels
La poussée d'Archimède est égale au poids du volume déplacé
La force de frottement s'exerçant sur une sphère de rayon r en mouvement à la vitesse
v dans un fluide de coefficient de viscosité
 a pour valeur F =6 . . r. v.
2. Sachant que le mouvement vertical descendant de la sphère devient rapidement
uniforme avant l'arrivée au repère A, établir la relation entre la durée t du parcours AB
de longueur L et les grandeurs précédentes.
Le temps de chute de la bille entre A et B distants de L=30 cm est t=10s. Calculer le
coefficient de viscosité dynamique
Données :
- masse volumique de l'eau :
- masse volumique de la bille :
- rapport de la bille r = 1,0 mm
- accélération de la pesanteur :
Danièle FRISTOT
 du lait.
−3
=1000kg.m
−3
 B =1050 kg.m
−2
g=9,81 m.s
Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences
Page n°56
Exercice n°10 - Turbine
On étudie une turbine dont le conduit d'amenée
(A) a un diamètre d 1=50 cm , et le conduit de
sortie (B), un diamètre d 2=80 cm .
La distance verticale entre les points A et B
est h = 1 m.
L'eau pénètre dans la turbine avec un débit
B sont respectivement de
6
2,0.10
3.
qv =0,20 m s−1 et les pressions relatives en A et
Pa et de −3,0 .104
Pa .
Déterminer, puis calculer la puissance fournie par l'eau à la turbine.
Danièle FRISTOT