La dynamique des fluides

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La dynamique des fluides
I- Généralités, définitions
On travaille alors sur des fluides parfaits (Cadre théorique), présentant la caractéristique de
permettre de négliger les frottements. En pratique, les fluides sont réels, et subissent les frottements.
Dans le cadre des fluides réels, les frottements induisant la prise en compte de la notion de viscosité,
c'est-à-dire une relative adhérence du liquide sur son interface, ce qui modifiera drastiquement les
caractéristiques dynamiques.
En termes dynamiques, une notion de débit apparait : C’est le quotient de la quantité de fluide
traversant un conduit de section droite déplacé par unité de temps :
𝑸 = # 𝑸𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒕é#𝒅𝒆#𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆#𝒅é𝒑𝒍𝒂𝒄é
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒔#𝒅𝒆#𝒅é𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕
Le débit massique sera ainsi défini par la masse déplacée pendant un temps t :
𝒒𝒎=𝑴𝒂𝒔𝒔𝒆#𝒅é𝒑𝒍𝒂𝒄é𝒆
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒔#𝒅𝒆#𝒎𝒆𝒔𝒖𝒓𝒆 #𝒌𝒈. 𝒔9𝟏
Le débit le plus intéressant sera le débit volumique :
𝒒𝒗=𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆#𝒅é𝒑𝒍𝒂𝒄é
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒔#𝒅𝒆#𝒎𝒆𝒔𝒖𝒓𝒆#𝒎𝟑. 𝒔9𝟏
Les fluides étant caractérisés par leur masse volumique, on déduit une relation directe entre les débits
masse et volume : 𝒒𝒎= 𝝆. 𝒒𝒗.
On peut caractériser l’écoulement de permanent ou de stationnaire, mais seulement si les
paramètres (Pression, température, vitesse et pression) sont constants.
II- Débit volumique dans un conduit
A. Dans le cas d’un conduit horizontal (ø Phyd)
On considère un fluide se déplaçant d’un point A à
un point B. Le trajet qu’il suit offre son profil d’écoulement.
Le tube de courant correspondra alors à l’ensemble
des lignes de courant de l’écoulement.
Tout au long de ce tube de courant, la masse et le volume sont conservés.
Dans cet exemple, la tranche de section augmente. Si l’on veut conserver un débit constant, le
volume déplacé doit rester la même quelque soit la largeur du conduit. Ainsi, lorsque le conduit s’élargit, la
vitesse diminue afin de conserver le débit constant. Ainsi est redéfini le débit volumique :
𝒒𝒗= 𝑽. 𝑺#𝑎𝑣𝑒𝑐#𝑉#𝑙𝑎#𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒#𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛𝑛𝑒#𝑒𝑡#𝑆#𝑙𝑎#𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒

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Notion de vitesse moyenne
La notion de vitesse moyenne entre dans un cadre de prise en compte des frottements. Si les
frottements sont négligeables (Cas du fluide parfait), les mouvements du fluide seront symbolisés par des
vecteurs parallèles aux parois et entre eux. En pratique, les fluides réels présentent un aspect parabolique.
Il faudra alors calculer la moyenne des vecteurs.
En application, si l’on considère le débit volumique au point A (Surface étroite) et au point B
(Passage large) :
𝒒𝑽𝒂 =𝑽𝒂. 𝑺𝟏= 𝒒𝑽𝒃 =𝑽𝒃. 𝑺𝟐 et donc 𝑽𝒂
𝑽𝒃 =𝑺𝟐 𝑺𝟏
La vitesse est d’autant plus grande, que la section est petite.
De plus, si le conduit se divise en deux sections plus petites, le débit se répartit équitablement entre les deux
proportions afin que Vt.St = v1.s1 + v2.s2.
Exercice 1 : Le débit
B. Dans le cadre d’une variation de hauteur (Considération de Phyd)
P1 et P2 sont définies comme les pressions
statiques, déterminées pour une vitesse nulle, cette
pression est principalement définie par la pression
atmosphérique.
En parallèle, la pression hydrostatique, on
l’appelle également pression de pesanteur (=ρ. g. z).
De plus, le liquide est en train de se déplacer, le
système est soumis à une vitesse, ce qui introduit une
notion d’énergie cinétique ou de pression dynamique,
directement liée à la vitesse (= ½.ρ. v²).
Ainsi, trois pressions s’exercent sur un fluide en mouvement :
Ø La pression statique. Ø La pression hydrostatique. Ø L’énergie cinétique.
Théorème de l’énergie cinétique : Entre deux instants T1 et T2, la variation d’énergie cinétique est
égale à la somme des travaux des forces extérieures (Poids et forces pressantes).
Dans le cadre de notre fluide, cela se traduit par :
Pstat + Phyd + Pcyn = Constante ce qui veut dire que les pressions (Pascal) au point 1 et 2 sont identiques :
Fluide parfait
Fluide réel
V = Vmoy
Vmoy = Moyenne
des V
ZB
Patm
S1, V1, Z1, P1
S2, V2, Z2, P2
ZA

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Théorème de Bernoulli : P1 + ρ.g.z + ½.ρ. V1² = P2 + ρ.g.z + ½. ρ. V2².
Ainsi, comme il y a conservation de la somme des pressions en tout point de la conduite, toute
variation de vitesse, à hauteur constante, devra être compensée en autant de variation inverse d’énergie
cinétique.
Ce théorème s’applique uniquement dans le cadre d’un écoulement permanent (Ou stationnaire)
d’un fluide parfait incompressible.
Exercice 2 : La sténose artérielle
Exercice 3 : Le tube de Pitot
Exercice 4 : Le tube de Venturi
Exercice 5 : Le jet parabolique