Angles orientés - mesure et trigonométrie

Angles orientés
mesure et trigonométrie
30 janvier 2014
Angles orientés
Angles orientés
mesure et trigonométrie
30 janvier 2014
Il y a trois sortes de mathématiciens : ceux qui savent
compter et ceux qui ne savent pas ≫
Benjamin Dereca
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Angles orientés
I. Le cercle trigonométrique
Angles orientés
I. Le cercle trigonométrique
Définition
Une unité de longueur étant fixée,
Angles orientés
I. Le cercle trigonométrique
Définition
Une unité de longueur étant fixée, on appelle cercle trigonométrique
Angles orientés
I. Le cercle trigonométrique
Définition
Une unité de longueur étant fixée, on appelle cercle trigonométrique tout cercle de
rayon 1
Angles orientés
I. Le cercle trigonométrique
Définition
Une unité de longueur étant fixée, on appelle cercle trigonométrique tout cercle de
rayon 1 muni d’une origine et d’un sens de parcours
Angles orientés
I. Le cercle trigonométrique
Définition
Une unité de longueur étant fixée, on appelle cercle trigonométrique tout cercle de
rayon 1 muni d’une origine et d’un sens de parcours appelé sens direct.
Angles orientés
I. Le cercle trigonométrique
Définition
Une unité de longueur étant fixée, on appelle cercle trigonométrique tout cercle de
rayon 1 muni d’une origine et d’un sens de parcours appelé sens direct.
Par convention, le sens direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre et il est
également appelé sens trigonométrique.
Angles orientés
I. Le cercle trigonométrique
Définition
Une unité de longueur étant fixée, on appelle cercle trigonométrique tout cercle de
rayon 1 muni d’une origine et d’un sens de parcours appelé sens direct.
Par convention, le sens direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre et il est
également appelé sens trigonométrique.
+
b
O
b
1
Angles orientés
A
II. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique
L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
1
+
b
O
b
A
1
−1
Angles orientés
II. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique
L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
1
+
b bb
b
O
b
A
1
−1
Angles orientés
II. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique
L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
1
+
b
b
b
O
b
A
1
−1
Angles orientés
II. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique
L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
1
+
b
b
b
O
b
A
1
−1
Angles orientés
II. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique
L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique permet :
d’associer à chaque réel un point sur le cercle
b
b
b
O
1
+
b
A
1
−1
Angles orientés
II. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique
L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique permet :
d’associer à chaque réel un point sur le cercle
de repérer tout point M du cercle en donnant une mesure de l’arc orienté AM
b
M
1
b
+
b
O
b
A
1
−1
Angles orientés
II. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique
L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique permet :
d’associer à chaque réel un point sur le cercle
de repérer tout point M du cercle en donnant une mesure de l’arc orienté AM
1
+
b
O
A
b
1
b
M
b
−1
Angles orientés
III.a. Le radian
Définition
Soient A et B deux points d’un cercle trigonométrique de centre O.
Angles orientés
III.a. Le radian
Définition
Soient A et B deux points d’un cercle trigonométrique de centre O.
# » # »
Une mesure en radians de l’angle (OA, OB) est la longueur algébrique de l’arc AB.
Angles orientés
III.a. Le radian
Définition
Soient A et B deux points d’un cercle trigonométrique de centre O.
# » # »
Une mesure en radians de l’angle (OA, OB) est la longueur algébrique de l’arc AB.
elle est positive lorsqu’on tourne dans le sens direct
Angles orientés
III.a. Le radian
Définition
Soient A et B deux points d’un cercle trigonométrique de centre O.
# » # »
Une mesure en radians de l’angle (OA, OB) est la longueur algébrique de l’arc AB.
elle est positive lorsqu’on tourne dans le sens direct
elle est négative lorsqu’on tourne dans le sens indirect
b
B
+
α
b
O
b
1
Angles orientés
A
Remarques
la mesure d’un angle orienté n’est pas unique
Angles orientés
Remarques
la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un
point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut
Angles orientés
Remarques
la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un
point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut
# » # »
si α est une mesure en radians de l’angle (OA, OB), alors toutes les mesures
en radians de cet angle sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z
Angles orientés
Remarques
la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un
point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut
# » # »
si α est une mesure en radians de l’angle (OA, OB), alors toutes les mesures
en radians de cet angle sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z
k est le nombre de tours que l’on a effectué dans le sens direct ou indirect
Angles orientés
Remarques
la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un
point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut
# » # »
si α est une mesure en radians de l’angle (OA, OB), alors toutes les mesures
en radians de cet angle sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z
k est le nombre de tours que l’on a effectué dans le sens direct ou indirect
# » # »
on écrit en général (OA, OB) ≡ α [2π]
Angles orientés
Remarques
la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un
point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut
# » # »
si α est une mesure en radians de l’angle (OA, OB), alors toutes les mesures
en radians de cet angle sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z
k est le nombre de tours que l’on a effectué dans le sens direct ou indirect
# » # »
on écrit en général (OA, OB) ≡ α [2π]
# » # »
qu’on lit ” l’angle orienté (OA, OB) a pour mesure α modulo 2π ”
Angles orientés
Remarques
la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un
point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut
# » # »
si α est une mesure en radians de l’angle (OA, OB), alors toutes les mesures
en radians de cet angle sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z
k est le nombre de tours que l’on a effectué dans le sens direct ou indirect
# » # »
on écrit en général (OA, OB) ≡ α [2π]
# » # »
qu’on lit ” l’angle orienté (OA, OB) a pour mesure α modulo 2π ”
Angles orientés
Remarques
la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un
point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut
# » # »
si α est une mesure en radians de l’angle (OA, OB), alors toutes les mesures
en radians de cet angle sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z
k est le nombre de tours que l’on a effectué dans le sens direct ou indirect
# » # »
on écrit en général (OA, OB) ≡ α [2π]
# » # »
qu’on lit ” l’angle orienté (OA, OB) a pour mesure α modulo 2π ”
Propriétés
Tout angle orienté de vecteurs possède une unique mesure dans l’intervalle ] − π; π].
Angles orientés
Remarques
la mesure d’un angle orienté n’est pas unique, car pour aller d’un point A à un
point B du cercle trigonométrique, on peut faire autant de tours que l’on veut
# » # »
si α est une mesure en radians de l’angle (OA, OB), alors toutes les mesures
en radians de cet angle sont de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z
k est le nombre de tours que l’on a effectué dans le sens direct ou indirect
# » # »
on écrit en général (OA, OB) ≡ α [2π]
# » # »
qu’on lit ” l’angle orienté (OA, OB) a pour mesure α modulo 2π ”
Propriétés
Tout angle orienté de vecteurs possède une unique mesure dans l’intervalle ] − π; π].
On lui donne le nom de mesure principale.
Angles orientés
III.c. Les angles remarquables
3π
4
5π
6
π
−
π
2
2π
3
π
3
b
b
π
4
b
b
b
π
6
b
b
0
b
5π
6
b
b
−
b
b
3π
−
4
b
−
2π
3
b
b
−
π
2
−
Angles orientés
π
3
−
π
4
π
6
III.d.Mesures principales
Exemples
Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
Angles orientés
7π
.
6
III.d.Mesures principales
Exemples
Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
on a
5π 12π
7π
=−
+
6
6
6
Angles orientés
7π
.
6
III.d.Mesures principales
Exemples
Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
on a
5π 12π
7π
=−
+
6
6
6
donc
7π
5π
=−
+ 2π
6
6
Angles orientés
7π
.
6
III.d.Mesures principales
Exemples
Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
on a
5π 12π
7π
=−
+
6
6
6
donc
7π
5π
=−
+ 2π
6
6
La mesure principale de cet angle est donc −
5π
.
6
Angles orientés
7π
.
6
III.d.Mesures principales
Exemples
Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
on a
5π 12π
7π
=−
+
6
6
6
donc
7π
5π
=−
+ 2π
6
6
La mesure principale de cet angle est donc −
7π
.
6
5π
.
6
Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
Angles orientés
23π
.
5
III.d.Mesures principales
Exemples
Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
on a
5π 12π
7π
=−
+
6
6
6
donc
7π
5π
=−
+ 2π
6
6
La mesure principale de cet angle est donc −
5π
.
6
Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
on a
7π
.
6
3π
20π
23π
=
+
5
5
5
Angles orientés
23π
.
5
III.d.Mesures principales
Exemples
Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
on a
5π 12π
7π
=−
+
6
6
6
donc
7π
5π
=−
+ 2π
6
6
La mesure principale de cet angle est donc −
5π
.
6
Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
on a
3π
20π
23π
=
+
5
5
5
donc
23π
3π
=
+ 4π
5
5
7π
.
6
Angles orientés
23π
.
5
III.d.Mesures principales
Exemples
Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
on a
5π 12π
7π
=−
+
6
6
6
donc
7π
5π
=−
+ 2π
6
6
La mesure principale de cet angle est donc −
5π
.
6
Déterminons la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
on a
3π
20π
23π
=
+
5
5
5
donc
23π
3π
=
+ 4π
5
5
La mesure principale de cet angle est donc
7π
.
6
3π
.
5
Angles orientés
23π
.
5
IV.a. Angle orienté d’un couple de vecteurs
Angles orientés
IV.a. Angle orienté d’un couple de vecteurs
Définition
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls du plan.
Angles orientés
IV.a. Angle orienté d’un couple de vecteurs
Définition
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls du plan.
# »
# »
Soit O, M et N trois points tels que #»
u = OM et #»
v = ON.
Angles orientés
IV.a. Angle orienté d’un couple de vecteurs
Définition
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls du plan.
# »
# »
Soit O, M et N trois points tels que #»
u = OM et #»
v = ON.
Les demi-droites [OM ) et [ON ) coupent le cercle trigonométrique de centre O
respectivement en A et B.
Angles orientés
IV.a. Angle orienté d’un couple de vecteurs
Définition
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls du plan.
# »
# »
Soit O, M et N trois points tels que #»
u = OM et #»
v = ON.
Les demi-droites [OM ) et [ON ) coupent le cercle trigonométrique de centre O
respectivement en A et B.
N
M
B
A
#»
v
#»
u
O
×
C
+
Angles orientés
IV.a. Angle orienté d’un couple de vecteurs
Définition
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls du plan.
# »
# »
Soit O, M et N trois points tels que #»
u = OM et #»
v = ON.
Les demi-droites [OM ) et [ON ) coupent le cercle trigonométrique de centre O
respectivement en A et B.
N
M
B
A
#»
v
#»
u
O
×
C
+
# » # »
La mesure de l’angle orienté ( #»
u , #»
v ) est celle de l’angle (OA, OB).
Angles orientés
IV. Propriétés des angles orientés
Angles orientés
IV. Propriétés des angles orientés
a. Angles et colinéarité
Angles orientés
IV. Propriétés des angles orientés
a. Angles et colinéarité
Propriété
Soient #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls.
Angles orientés
IV. Propriétés des angles orientés
a. Angles et colinéarité
Propriété
Soient #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls.
#»
u et #»
v sont colinéaires de même sens si et seulement si ( #»
u , #»
v ) ≡ 0 [2π].
Angles orientés
IV. Propriétés des angles orientés
a. Angles et colinéarité
Propriété
Soient #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls.
#»
u et #»
v sont colinéaires de même sens si et seulement si ( #»
u , #»
v ) ≡ 0 [2π].
#»
u et #»
v sont colinéaires de sens contraire si et seulement si ( #»
u , #»
v ) ≡ π [2π].
Angles orientés
IV. Propriétés des angles orientés
b. Relation de Chasles
Angles orientés
IV. Propriétés des angles orientés
b. Relation de Chasles
Théorème
#» non nuls, on a :
Pour tous vecteurs #»
u , #»
v et w
Angles orientés
IV. Propriétés des angles orientés
b. Relation de Chasles
Théorème
#» non nuls, on a :
Pour tous vecteurs #»
u , #»
v et w
#» ≡ ( #»
#»
( #»
u , #»
v ) + ( #»
v , w)
u , w)
[2π]
Angles orientés
IV. Propriétés des angles orientés
b. Relation de Chasles
Théorème
#» non nuls, on a :
Pour tous vecteurs #»
u , #»
v et w
#» ≡ ( #»
#»
( #»
u , #»
v ) + ( #»
v , w)
u , w)
[2π]
#»
w
#»
v
#»
u
Angles orientés
IV. Propriétés des angles orientés
b. Relation de Chasles
Théorème
#» non nuls, on a :
Pour tous vecteurs #»
u , #»
v et w
#» ≡ ( #»
#»
( #»
u , #»
v ) + ( #»
v , w)
u , w)
[2π]
#»
w
#»
v
#»
u
Angles orientés
IV. Propriétés des angles orientés
b. Relation de Chasles
Théorème
#» non nuls, on a :
Pour tous vecteurs #»
u , #»
v et w
#» ≡ ( #»
#»
( #»
u , #»
v ) + ( #»
v , w)
u , w)
[2π]
#»
w
#»
v
#»
u
Angles orientés
Propriété
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v , on a
( #»
v , #»
u ) ≡ −( #»
u , #»
v)
[2π]
Angles orientés
Propriété
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v , on a
( #»
v , #»
u ) ≡ −( #»
u , #»
v)
[2π]
Démonstration :
Angles orientés
Propriété
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v , on a
( #»
v , #»
u ) ≡ −( #»
u , #»
v)
[2π]
Démonstration :
On a
( #»
u , #»
u) ≡ 0
[2π]
Angles orientés
Propriété
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v , on a
( #»
v , #»
u ) ≡ −( #»
u , #»
v)
[2π]
Démonstration :
On a
( #»
u , #»
u) ≡ 0
[2π]
Or, d’après la relation de Chasles,
Angles orientés
Propriété
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v , on a
( #»
v , #»
u ) ≡ −( #»
u , #»
v)
[2π]
Démonstration :
On a
( #»
u , #»
u) ≡ 0
[2π]
Or, d’après la relation de Chasles,
( #»
u , #»
u ) ≡ ( #»
u , #»
v ) + ( #»
v , #»
u)
[2π]
Angles orientés
Propriété
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v , on a
( #»
v , #»
u ) ≡ −( #»
u , #»
v)
[2π]
Démonstration :
On a
( #»
u , #»
u) ≡ 0
[2π]
Or, d’après la relation de Chasles,
( #»
u , #»
u ) ≡ ( #»
u , #»
v ) + ( #»
v , #»
u)
[2π]
donc
( #»
u , #»
v ) + ( #»
v , #»
u) ≡ 0
[2π]
Angles orientés
Propriété
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v , on a
( #»
v , #»
u ) ≡ −( #»
u , #»
v)
[2π]
Démonstration :
On a
( #»
u , #»
u) ≡ 0
[2π]
Or, d’après la relation de Chasles,
( #»
u , #»
u ) ≡ ( #»
u , #»
v ) + ( #»
v , #»
u)
[2π]
donc
( #»
u , #»
v ) + ( #»
v , #»
u) ≡ 0
[2π]
d’où
( #»
v , #»
u ) ≡ −( #»
u , #»
v)
[2π]
Angles orientés
Propriétés
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v :
Angles orientés
Propriétés
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v :
( #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
Angles orientés
Propriétés
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v :
( #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
Angles orientés
Propriétés
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v :
( #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)
[2π]
Angles orientés
Propriétés
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v :
( #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)
[2π]
Démonstration :
Angles orientés
Propriétés
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v :
( #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)
[2π]
Démonstration :
On a
( #»
v , − #»
v) ≡ π
[2π]
Angles orientés
Propriétés
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v :
( #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)
[2π]
Démonstration :
On a
( #»
v , − #»
v) ≡ π
[2π]
Or, d’après la relation de Chasles,
Angles orientés
Propriétés
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v :
( #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)
[2π]
Démonstration :
On a
( #»
v , − #»
v) ≡ π
[2π]
Or, d’après la relation de Chasles,
( #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v ) + ( #»
v , − #»
v)
[2π]
Angles orientés
Propriétés
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v :
( #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)
[2π]
Démonstration :
On a
( #»
v , − #»
v) ≡ π
[2π]
Or, d’après la relation de Chasles,
( #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v ) + ( #»
v , − #»
v)
[2π]
donc
( #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
Angles orientés
Propriétés
Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v :
( #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
(− #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)
[2π]
Démonstration :
On a
( #»
v , − #»
v) ≡ π
[2π]
Or, d’après la relation de Chasles,
( #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v ) + ( #»
v , − #»
v)
[2π]
donc
( #»
u , − #»
v ) ≡ ( #»
u , #»
v)+π
[2π]
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls,
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #»
u ; #»
v ) ≡ x [2π]
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #»
u ; #»
v ) ≡ x [2π]
#» # »
On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π]
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #»
u ; #»
v ) ≡ x [2π]
#» # »
On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π]
Le cosinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v)
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #»
u ; #»
v ) ≡ x [2π]
#» # »
On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π]
Le cosinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’abscisse de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #»
u ; #»
v ) ≡ x [2π]
#» # »
On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π]
Le cosinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’abscisse de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
on le note
cos x ou cos( #»
u ; #»
v)
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #»
u ; #»
v ) ≡ x [2π]
#» # »
On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π]
Le cosinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’abscisse de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
on le note
cos x ou cos( #»
u ; #»
v)
Le sinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v)
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #»
u ; #»
v ) ≡ x [2π]
#» # »
On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π]
Le cosinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’abscisse de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
on le note
cos x ou cos( #»
u ; #»
v)
Le sinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’ordonnée de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #»
u ; #»
v ) ≡ x [2π]
#» # »
On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π]
Le cosinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’abscisse de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
on le note
cos x ou cos( #»
u ; #»
v)
Le sinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’ordonnée de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
#»
#»
on le note sin x ou sin( u ; v )
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #»
u ; #»
v ) ≡ x [2π]
#» # »
On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π]
Le cosinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’abscisse de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
on le note
cos x ou cos( #»
u ; #»
v)
Le sinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’ordonnée de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
#»
#»
on le note sin x ou sin( u ; v )
La tangente de x ou de ( #»
u ; #»
v)
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #»
u ; #»
v ) ≡ x [2π]
#» # »
On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π]
Le cosinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’abscisse de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
on le note
cos x ou cos( #»
u ; #»
v)
Le sinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’ordonnée de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
#»
#»
on le note sin x ou sin( u ; v )
sin x
La tangente de x ou de ( #»
u ; #»
v ) est le quotient
cos x
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #»
u ; #»
v ) ≡ x [2π]
#» # »
On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π]
Le cosinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’abscisse de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
on le note
cos x ou cos( #»
u ; #»
v)
Le sinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’ordonnée de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
#»
#»
on le note sin x ou sin( u ; v )
sin x
La tangente de x ou de ( #»
u ; #»
v ) est le quotient
cos x
π
elle est seulement définie lorsque x est différent de
+ kπ, k ∈ Z.
2
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #»
u ; #»
v ) ≡ x [2π]
#» # »
On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π]
Le cosinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’abscisse de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
on le note
cos x ou cos( #»
u ; #»
v)
Le sinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’ordonnée de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
#»
#»
on le note sin x ou sin( u ; v )
sin x
La tangente de x ou de ( #»
u ; #»
v ) est le quotient
cos x
π
elle est seulement définie lorsque x est différent de
+ kπ, k ∈ Z.
2
#»
#»
on la note tan x ou tan( u ; v )
Angles orientés
V. Trigonométrie
a. Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs
Définition
Soient C le cercle trigonométrique de centre O et (O; #»
ı , #»
 ) un repère orthonormé
direct du plan
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls, et x un réel tel que ( #»
u ; #»
v ) ≡ x [2π]
#» # »
On appelle M l’unique point de C tel que ( i ; OM) ≡ x [2π]
Le cosinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’abscisse de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
on le note
cos x ou cos( #»
u ; #»
v)
Le sinus de x ou de l’angle ( #»
u ; #»
v ) est l’ordonnée de M dans (O; #»
ı , #»
 ).
#»
#»
on le note sin x ou sin( u ; v )
sin x
La tangente de x ou de ( #»
u ; #»
v ) est le quotient
cos x
π
elle est seulement définie lorsque x est différent de
+ kπ, k ∈ Z.
2
#»
#»
on la note tan x ou tan( u ; v )
# »
tan x se lit sur la tangente au cercle C en A, où A est tel que OA = #»
ı.
Angles orientés
tan x
b
T
B
M
C
b
sin x
#»

x
O
cos x
Angles orientés
#»
ı
A
Propriétés
Pour tout réel x et tout entier relatif k, on a :
−1 ≤ cos x ≤ 1
et
−1 ≤ sin x ≤ 1
cos(x + 2kπ) = cos x
et
sin(x + 2kπ) = sin x
(cos x)2 + (sin x)2 = 1
noté
cos2 x + sin2 x = 1
Angles orientés
V. Trigonométrie
b. Valeurs remarquables
x
0
cos x
1
sin x
0
Angles orientés
V. Trigonométrie
b. Valeurs remarquables
x
0
cos x
1
sin x
0
π
6
√
3
2
1
2
Angles orientés
V. Trigonométrie
b. Valeurs remarquables
x
0
cos x
1
sin x
0
π
6
√
3
2
1
2
π
4
√
2
2
√
2
2
Angles orientés
V. Trigonométrie
b. Valeurs remarquables
x
0
cos x
1
sin x
0
π
6
√
3
2
1
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
1
2
√
3
2
Angles orientés
V. Trigonométrie
b. Valeurs remarquables
x
0
cos x
1
sin x
0
π
6
√
3
2
1
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
1
2
√
3
2
π
2
0
1
Angles orientés
V. Trigonométrie
b. Valeurs remarquables
x
0
cos x
1
sin x
0
π
6
√
3
2
1
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
1
2
√
3
2
π
2
2π
3
0
−
1
1
2
√
3
2
Angles orientés
V. Trigonométrie
b. Valeurs remarquables
x
0
cos x
1
sin x
0
π
6
√
3
2
1
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
1
2
√
3
2
π
2
2π
3
0
−
1
1
2
√
3
2
3π
4
√
2
2
√
2
2
−
Angles orientés
V. Trigonométrie
b. Valeurs remarquables
x
0
cos x
1
sin x
0
π
6
√
3
2
1
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
1
2
√
3
2
π
2
2π
3
0
−
1
1
2
√
3
2
3π
4
√
2
2
√
2
2
−
Angles orientés
5π
6
√
−
3
2
1
2
V. Trigonométrie
b. Valeurs remarquables
x
0
cos x
1
sin x
0
π
6
√
3
2
1
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
1
2
√
3
2
π
2
2π
3
0
−
1
1
2
√
3
2
3π
4
√
2
2
√
2
2
−
Angles orientés
5π
6
√
−
3
2
1
2
π
−1
0