Condensateurs

I Définitions
A) Condensateur
1) Définition
C’est un ensemble de deux conducteurs en influence totale (c'est-à-dire que
toute ligne de champ d’un des conducteurs aboutit sur l’autre)
2) Réalisation
 Théorique :
La surface extérieure
n’appartient pas au
condensateur
 Pratique :
e
On a des effets de bord :
On peut les minimiser en prenant
de
(d : distance caractéristique de la
plaque), ou faire un anneau de garde :
isolant
Cela permet en quelque sorte de prolonger le condensateur, et ainsi les effets
de bord ne se feront sentir qu’à un endroit où ce n’est plus gênant.
B) Capacité
1) Définition
1
Q
2
Q
ext
Q
Pour la surface en pointillés rouge, on a
0
. Donc
0
21 QQ
Et
)( 211 VVCQ 
; C : capacité du condensateur.
(Même démonstration que dans le chapitre précédent en remplaçant
2
V
par
V
)
2) Propriétés
- Unité : Farad.
- C’est une caractéristique géométrique.
- La valeur de Cest positive.
Condensateurs

II Condensation des charges
A) Intérêt du condensateur
1) Avec un conducteur seul dans l’espace
On part du conducteur non chargé.
On apporte une première charge.
La deuxième : plus dur car repoussée par la première.
La troisième : encore plus dur…
E
Quand le condensateur est chargé, on a
EV 
,
REQ0 4
Avec
cm1R
,
kV1E
, on obtient
C10 9 Q
, ce qui est très faible.
2) Avec un condensateur
E
C’est moins difficile de le charger, lorsque les plaques sont proches.
On a
E
rr rr
CEVVCQ
12
21
021 4)( 
(montré après)
Donc Q augmente beaucoup plus lorsque
12 rr 
est assez petit.
B) Augmentation de C.
On peut augmenter C en :
- Diminuant l’écart entre les conducteurs
- Augmentant la surface
- Mettant un milieu diélectrique (
000
 r
)
III Association de condensateurs
A) Parallèle
B
A
1 2
On a
)( 21
21 VVCQQ AAA 
,
)( 21
21 VVCQQ BBB 
Donc
)( ))(()(
2121
21
2211 VVCQQ VVCCQQQQ BABABA 
Donc l’association en parallèle de deux condensateurs équivaut à un condensateur
unique de capacité la somme des deux autres.

B) Série
A B
A1A2B1B2
On a
)( 2121 AAAAA VVCQQ 
,
)( 2121 BBBBB VVCQQ 
Donc comme
12 BA VV 
,
21
21
2211 VVVV
C
Q
C
Q
C
Q
C
Q
BA
B
B
A
A
B
B
A
A
Dans l’espace entouré, sous l’hypothèse que la charge totale est nulle, et en
supposant aussi que la charge est portée essentiellement par les deux armatures, on a
alors
12 BA QQ 
, et donc :
211 11 VV
CC
Q
BA
Soit
BA CCC 111 
.
Remarque :
),inf( BA CCC 
IV Condensateurs usuels
A) Condensateur plan
e
1
2e
0
- On fait en sorte de pouvoir négliger les effets de bord (anneau de garde…)
- Ainsi, V ne dépend que de z.
Le champ
E
est uniforme :
zzuEVE 
.
Comme
0 E
, on a
0
dz
dEz
.
D’où
z
uE 
0
1
- On a
21
2
1VVldE 
Donc
21
0
1VVe 
Soit
)( 21
0
1VV
eS
Q
Donc
eS
C0
B) Condensateur sphérique

R1
R2
Par symétrie sphérique, V ne dépend que de r.
Donc
rr u
r
Q
urEE 
2
0
1
4
)(
(en utilisant le théorème de Gauss)
On a
21
2
1VVldE 
Donc
21
2
12
0
1
4VV r
drQ
, soit
21
210
111
4VV RR
Q
Donc
12
21
0
4RR RR C
Remarque :
Si
12 RRe 
, on a
e
S
e
R
C0
2
04
et on retrouve un condensateur plan
C) Condensateur cylindrique
R2
R1
h
On fait aussi en sorte de pouvoir négliger les effets de bords.
Par symétrie de révolution et invariance par translation verticale, V ne dépend que
de r (des coordonnées cylindriques)
Donc
rr u
rh
Q
urEE 
0
1
.2
)(
On a
21
2
1VVldE 
Donc
21
2
1
0
1
2VV r
dr
h
Q
, soit
)(
ln
221
1
2
0
1VV
R
Rh
Q
Donc
1
2
ln
20
R
Rh
C
Si
eRR  12
avec
1
1
R
e
, on a
111
21lnln R
e
R
e
R
R
Donc ici encore
eS ehR
C0
1
0.2
V Compléments
A) Condensateur plan–conique

z
R
R
isolant
1) Méthode 1
 Potentiel :
Déjà, par symétrie de révolution, V ne dépend pas de (on se place en
coordonnées sphériques)
On admet que V ne dépend pas non plus de r, c'est-à-dire que les
équipotentielles sont des cônes de révolution.
Ceci est assez naturel, puisque c’est déjà vrai pour un angle de et un
angle de
2
, et on voit mal comment les équipotentielles pourraient varier
autrement. Cette hypothèse sera validée par le résultat, montré dans la méthode 2,
sans faire cette hypothèse.
 Champ :
On a
uEu
d
dV
r
VE 
  1
0
1
2),(
rE
(
1
dépend de r)
On prend un tube de champ s’appuyant sur un cerceau partant du plan,
centré en 0, et finissant à l’angle ( ) :
rdr
(On prend le début de la surface légèrement en dessous du plan, pour
contenir des charges)
On a, d’après le théorème de Gauss :
0
1..2)(
.sin.2),(
drrr
drrrE 
(Le flux est nul partout sauf en haut)
Donc
sin )(
),(
0
1r
rE 
 Circulation de
E
:
21
2
1VVldE 
Soit
21
2
1.VVdrE 
21
tanln
2
1
0
1
2
2
sin
)( VV drr 
Donc
)ln(tan
)( 2
0
1
21
rr
VV 
Soit
r
VV
r1
)ln(tan )(
)(
2
210
1
On a ainsi
R
VV
rdrrQ R.2
)ln(tan )(
.2)(
2
210
011