Condensateurs I Définitions A) Condensateur 1) Définition C’est un ensemble de deux conducteurs en influence totale (c'est-à-dire que toute ligne de champ d’un des conducteurs aboutit sur l’autre) 2) Réalisation Théorique : La surface extérieure n’appartient pas au condensateur Pratique : e On a des effets de bord : On peut les minimiser en prenant e d (d : distance caractéristique de la plaque), ou faire un anneau de garde : isolant Cela permet en quelque sorte de prolonger le condensateur, et ainsi les effets de bord ne se feront sentir qu’à un endroit où ce n’est plus gênant. B) Capacité 1) Définition Q2 Q1 Qext Pour la surface en pointillés rouge, on a 0 . Donc Q1 Q2 0 Et Q1 C(V1 V2 ) ; C : capacité du condensateur. (Même démonstration que dans le chapitre précédent en remplaçant V2 par V ) 2) Propriétés - Unité : Farad. C’est une caractéristique géométrique. La valeur de Cest positive. II Condensation des charges A) Intérêt du condensateur 1) Avec un conducteur seul dans l’espace On part du conducteur non chargé. On apporte une première charge. La deuxième : plus dur car repoussée par la première. La troisième : encore plus dur… E Quand le condensateur est chargé, on a V E , Q 40 RE Avec R 1cm , E 1kV , on obtient Q 109 C , ce qui est très faible. 2) Avec un condensateur E C’est moins difficile de le charger, lorsque les plaques sont proches. rr On a Q C (V1 V2 ) CE 40 1 2 E (montré après) r2 r1 Donc Q augmente beaucoup plus lorsque r2 r1 est assez petit. B) Augmentation de C. On peut augmenter C en : - Diminuant l’écart entre les conducteurs - Augmentant la surface - Mettant un milieu diélectrique ( 0 0 r 0 ) III Association de condensateurs A) Parallèle A 1 2 B On a QA1 QA2 C A (V1 V2 ) , QB1 QB2 CB (V1 V2 ) Donc QA1 QB1 (QA2 QB2 ) (C A CB )(V1 V2 ) Q1 Q2 C (V1V2 ) Donc l’association en parallèle de deux condensateurs équivaut à un condensateur unique de capacité la somme des deux autres. B) Série A1 A2 B1 B2 A B On a QA1 QA2 C A (VA1 VA2 ) , QB1 QB2 CB (VB1 VB2 ) Donc comme V A2 VB1 , QA1 CA QA QB 2 2 VA1 VB2 V1 V2 CB C A CB QB1 Dans l’espace entouré, sous l’hypothèse que la charge totale est nulle, et en supposant aussi que la charge est portée essentiellement par les deux armatures, on a alors QA2 QB1 , et donc : 1 1 V1 V2 Q1 C A CB 1 1 1 Soit . C C A CB Remarque : C inf( CA , CB ) IV Condensateurs usuels A) Condensateur plan e e 2 0 1 - On fait en sorte de pouvoir négliger les effets de bord (anneau de garde…) - Ainsi, V ne dépend que de z. Le champ E est uniforme : E V E z u z . dE z 0. Comme E 0 , on a dz D’où E 1 u z 0 2 - On a E dl V1 V2 1 Donc 1 e V1 V2 0 S Soit Q1 0 (V1 V2 ) e Donc C 0S e B) Condensateur sphérique R2 R1 Par symétrie sphérique, V ne dépend que de r. Q1 Donc E E (r )ur ur (en utilisant le théorème de Gauss) 40 r 2 2 On a E dl V1 V2 1 Q1 1 1 dr V1 V2 V1 V2 , soit 2 r 40 R1 R2 RR Donc C 40 1 2 R2 R1 Remarque : 4R 2 S Si e R2 R1 , on a C 0 0 et on retrouve un condensateur plan e e Donc Q1 40 2 1 C) Condensateur cylindrique h R2 R1 On fait aussi en sorte de pouvoir négliger les effets de bords. Par symétrie de révolution et invariance par translation verticale, V ne dépend que de r (des coordonnées cylindriques) Q1 Donc E E (r )ur ur 2 .h 0 r 2 On a E dl V1 V2 1 Donc Q1 2h 0 Donc C 2 1 dr 20 h V1 V2 , soit Q1 (V V ) R2 1 2 r ln R1 20 h ln RR12 Si R2 R1 e avec ln e 1 , on a R1 R2 e e ln 1 R1 R1 R1 Donc ici encore C 0 2 .R1h 0 S e e V Compléments A) Condensateur plan–conique z R R isolant 1) Méthode 1 Potentiel : Déjà, par symétrie de révolution, V ne dépend pas de (on se place en coordonnées sphériques) On admet que V ne dépend pas non plus de r, c'est-à-dire que les équipotentielles sont des cônes de révolution. Ceci est assez naturel, puisque c’est déjà vrai pour un angle de et un angle de 2 , et on voit mal comment les équipotentielles pourraient varier autrement. Cette hypothèse sera validée par le résultat, montré dans la méthode 2, sans faire cette hypothèse. Champ : 1 dV On a E V u E u r d 1 ( 1 dépend de r) E (r , 2 ) 0 On prend un tube de champ s’appuyant sur un cerceau partant du plan, centré en 0, et finissant à l’angle ( ) : r dr (On prend le début de la surface légèrement en dessous du plan, pour contenir des charges) On a, d’après le théorème de Gauss : (r ) 2 .r.dr E (r , ) 2 .r sin .dr 1 0 (Le flux est nul partout sauf en haut) 1 (r ) Donc E (r , ) 0 sin Circulation de E : 2 E d l V1 V2 1 Soit 2 1 E r.d V1 V2 1 (r ) r 2 d V1 V2 1 sin 0 lntan 2 2 1 (r ) r ln(tan 2 ) Donc V1 V2 0 Soit 1 (r ) 0 (V1 V2 ) 1 ln(tan 2 ) r R On a ainsi Q1 1 (r ) 2 .rdr 0 0 (V1 V2 ) 2 .R ln(tan 2 ) 20 R ln(tan 2 ) ( C 0 car 2 ) Donc C 2) Méthode 2 On note V1 le potentiel du plan, V2 celui du cône. Alors : 2V 0 V V1 si 2 V V si 2 Ici, toujours par symétrie, V est indépendant de (mais on n’admet plus que V ne dépend pas de r) On cherche une solution par séparation des variables : V (r , ) (r ) ( ) On trouve alors une solution vérifiant cte , qui est la seule possible d’après Dirichlet. B) Résistance de fuite d’un condensateur sphérique Au lieu d’avoir du vide entre les deux conducteurs, on met un milieu diélectrique. Ainsi, on a une meilleure capacité. 1) Diélectrique parfait 2 Diélectrique LHI 1 r 1 1 , libre 1 , lié 2 2 , libre 2 , lié Définition de C : Q On pose C 1,libre V1 V2 Expression de C : E libre , E 0 0 r Donc on a la même chose que dans le vide en remplaçant 0 par 0 r On n’a donc pas à tenir compte de la polarisation pour calculer la capacité C du condensateur (mais il faut mettre 0 r ). 2) Résistance de fuite A part le vide, tout matériau est, même légèrement, conducteur. On a donc quand même une petite conductivité : 2 r 1 A l’instant initial, Q1 Q10 , Q2 Q10 On peut modéliser le milieu par une résistance : ou On cherche la résistance r, appelée résistance de fuite. Stratégie : On va utiliser la loi d’Ohm (locale) : j E Champ électrique : - E n’est pas un champ électrostatique. - On a E E (r , t )ur - D’après le théorème de Gauss, Q E 4 .r 2 1 (les charges dans le diélectrique sont prises en compte par 0 r r ) Donc E Q1 u r (correspond à l’approximation des régimes quasi 40 r r permanents : ARPQ) Tension : Q (t ) 2 V1 V2 E dl 1 1 40 r 2 1 1 Q1 (t ) C R1 R2 Intensité : Q (t ) I j dS E dS E dS 1 0 r Résistance : On a V1 V2 rI Donc r 0 r , ou r.C 0 r .C Ce résultat s’applique à n’importe quel condensateur. 3) Décharge du condensateur Q1 U V1 V2 -Q1 I dQ1 dI , et Q1 C(V1 V2 ) RCI . Donc I RC dt dt dQ Ou Q1 RC 1 , donc Q1 Q10 et / RC ; le condensateur se décharge avec dt On a I une constante de temps 0 r . C) Condensateur diédrique h a b 1) Equipotentielles Par symétrie, le plan médiateur est un plan équipotentiel. Puis par dichotomie, tout plan équi- est une équipotentielle. Donc V V ( ) 2) Champ 1 dV 1 On a E V u f ( )u r d r Théorème de Gauss : r On n’a du flux qu’à travers le couvercle : dS E (r , )dS 1 0 Donc E ( r , ) 1 0 r Donc f ( ) 1 ( cte ) 0 3) Capacité On a dV 1r d 0 1 1r , soit 1 0 (V1 V2 ) r 0 b 1 h b Puis Q1 1dS 0 (V1 V2 )hdr 0 ln (V1 V2 ) a r a Donc V1 V2 C