Développement de modèles physiques et numériques pour le

N° d’ordre : 2010-ISAL-0116
Année 2010
THÈSE
Présentée devant
L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON
Pour obtenir le grade de
Docteur
ÉCOLE DOCTORALE : Électronique, Électrotechnique, Automatique
SPÉCIALITÉ : Dispositifs de l’Électronique Intégrée
Par
Andrea Savio
Développement de modèles physiques et numériques pour le transport quantique
dans les nanocomposants
Soutenue le 10 décembre 2010 devant la commission d’examen :
Philippe DOLLFUS
Université Paris Sud
Rapporteur
Nicolas CAVASSILAS
Aix-Marseille Université
Rapporteur
Marco PALA
Minatec
Examinateur
Damien QUERLIOZ
Université Paris Sud
Examinateur
Abdelkader SOUIFI
INSA Lyon
Examinateur
Alain PONCET
INSA Lyon
Directeur de thèse
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Remerciements
Tout d’abord, un grand merci de cœur a mon directeur de thèse, Pr. Alain Poncet, pour
son aide, son soutien et ses conseils tout au long de ma thèse.
Merci aussi à tous mes collègues au laboratoire INL, pour l’encouragement réciproque au
cours de ces trois années : mes meilleurs vœux de bonne continuation a Guillaume,
Emanuela, Théo, Lino, Ahmed, Adel, Karim et beaucoup d’autres.
Merci aussi a ma famille et en particulier à mon frère Daniele, qui vient de commencer
lui aussi sa thèse.
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Table des matières
Liste des acronymes ................................................................................................................... 1
Notation des grandeurs physiques récurrentes......................................................................... 2
Constantes physiques et arithmétiques ........................................................................... 2
Niveaux d’énergie ............................................................................................................. 2
Dimensions caractéristiques des dispositifs simulés ........................................................ 2
Maillages ........................................................................................................................... 2
Distributions...................................................................................................................... 2
Autres ................................................................................................................................ 2
Introduction générale................................................................................................................. 3
I
Les modèles de transport selon les approches classique et quantique ........................... 5
I.1
Présentation de la problématique : la simulation du transport dans les
nanostructures ........................................................................................................ 5
I.2
Vue d’ensemble des modèles de transport ............................................................ 7
I.3
I.4
I.2.1
Approche typique de la simulation électrique d’un dispositif .................... 7
I.2.2
Modèles classiques et quantiques .............................................................. 8
I.2.3
Modèles déterministes et de Monte-Carlo ............................................... 10
L’équation de transport de Boltzmann et la dérivation des modèles classiques . 11
I.3.1
L’écriture semi-classique ........................................................................... 12
I.3.2
Les différents termes de l’équation de transport de Boltzmann .............. 13
I.3.3
Méthodes de résolution de l’équation de transport de Boltzmann ......... 13
I.3.3.1
Dérivation du modèle de dérive-diffusion ........................................... 14
I.3.3.2
Dérivation du modèle hydrodynamique .............................................. 14
I.3.3.3
Solution de l’équation de Boltzmann par la méthode de l’expansion en
harmoniques sphériques ...................................................................... 15
Les modèles quantiques ........................................................................................ 16
I.4.1
L’approche des fonctions de Green........................................................... 17
I.4.2
L’approche de l’équation de transport de Wigner .................................... 17
Références ...................................................................................................................... 18
II
Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner ............................... 27
II.1
Dérivation de l’équation de transport de Wigner ................................................. 27
II.1.1 Cas général pour un dispositif 3D .............................................................. 27
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i
II.1.2 Le terme des interactions .......................................................................... 29
II.1.3 Comparaison avec l’équation de transport de Boltzmann........................ 30
II.1.4 Cas d’une structure 1D .............................................................................. 30
II.2
Considérations préliminaires................................................................................. 33
II.2.1 Niveaux d’énergie dans une structure typique ......................................... 33
II.2.2 Maillage 34
II.2.3 Conditions aux limites ............................................................................... 38
II.2.4 Calcul de la charge et du courant .............................................................. 38
II.3
Discrétisation de l’équation de transport de Wigner............................................ 38
II.3.1 Aspect du système discrétisé en régime stationnaire............................... 38
II.3.2 Notations utilisés ....................................................................................... 39
II.3.3 Discrétisation du terme de dérive ............................................................. 40
II.3.4 Discrétisation du terme de diffusion ......................................................... 41
II.3.5 Discrétisation du terme des interactions .................................................. 43
II.3.6 Discrétisation des conditions aux limites .................................................. 43
II.3.7 Remplissage de la matrice ......................................................................... 44
II.3.8 Comparaison avec le solveur de l’équation de transport de Boltzmann .. 45
II.3.9 Considérations sur le nombre de données à stocker ................................ 47
II.4
Discrétisation en régime transitoire...................................................................... 47
II.5
Résolution auto-cohérente ................................................................................... 49
II.5.1 Résolution couplée de l’équation de transport de Wigner et de l’équation
de Poisson .................................................................................................. 50
II.5.2 Approche de Gummel................................................................................ 51
II.5.3 Conditions aux limites ............................................................................... 53
II.5.4 Approche full-Newton ............................................................................... 54
II.6
Conclusion du chapitre .......................................................................................... 56
Références ...................................................................................................................... 56
III
Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner.............................. 59
III.1 Étude des différentes implémentations du solveur de l’équation de transport de
Wigner : premières simulations ............................................................................ 59
III.1.1 Description des structures étudiées .......................................................... 59
III.1.2 Simulation d’une structure à barrière double ........................................... 63
III.1.2.1 Simulations à polarisation nulle ........................................................... 63
III.1.2.2 Simulations à polarisation non-nulle : observation d’artefacts
numériques dans le profil de la fonction de Wigner ............................ 65
ii
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Table des matières
III.1.2.3 Impact du schéma numérique sur la fonction de Wigner et sur les
caractéristiques courant-tension.......................................................... 67
III.1.2.4 Impact des paramètres de maillage sur la caractéristique couranttension .................................................................................................. 68
III.1.2.5 Aspect de la fonction de Wigner aux contacts et dans la région
quantique ............................................................................................. 69
III.1.3 Simulation d’un barreau de silicium à polarisation nulle .......................... 72
III.1.3.1 Comparaison du solveur de l’équation de Wigner avec ceux de
l’équation de Boltzmann et de l’équation de Schrödinger pour le
barreau de silicium ............................................................................... 73
III.1.3.2 Aspect de la fonction de Wigner aux contacts et au milieu de la
structure ............................................................................................... 74
III.1.4 Résumé des résultats marquants .............................................................. 75
III.2 Étude des causes d’erreur numérique dans la résolution de l’équation de
transport de Wigner .............................................................................................. 76
III.2.1 Observations d’artefacts en forme de lobes dans la fonction de Wigner
aux contacts ............................................................................................... 77
III.2.2 Discrétisation du terme de dérive ............................................................. 78
III.2.3 Étude de l’étendue du maillage des vecteurs d’onde pour améliorer la
justesse du calcul exact du terme de dérive ............................................. 79
III.2.4 Étude de la densité du maillage des vecteurs d’onde ............................... 85
III.2.5 Effet du dédoublement de l’étendue du maillage dans l’espace réel dans
le calcul du potentiel non-local ................................................................. 85
III.3 Conclusion du chapitre .......................................................................................... 89
Références ...................................................................................................................... 90
IV
Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde ...................................... 91
IV.1 Présentation de la méthode .................................................................................. 92
IV.1.1 Description des structures étudiées .......................................................... 92
IV.1.2 Étapes de calcul de la fonction de Wigner ................................................ 93
IV.1.2.1 Règles de définition du maillage .......................................................... 93
IV.1.2.2 Conventions de désignation des indices .............................................. 95
IV.1.2.3 Calcul de la WF et de la MD à partir des fonctions d’onde .................. 96
IV.1.2.4 Considérations sur la quantité de mémoire ordinateur et sur les temps
de calcul ................................................................................................ 97
IV.1.3 Calcul de la fonction d’onde ...................................................................... 97
IV.1.3.1 L’équation de Schrödinger comme point de départ ............................ 97
IV.1.3.2 Définition des paquets d’ondes ............................................................ 98
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iii
IV.1.3.3 Méthode analytique des matrices de transfert.................................. 100
IV.1.3.4 Méthode numérique des matrices de transfert ................................. 101
IV.1.3.5 Méthode de Numerov ........................................................................ 103
IV.2 Modèles analytiques pour un potentiel constant et une barrière impénétrable105
IV.3 Comparaison entre les différentes méthodes de calcul de la fonction d’onde .. 108
IV.4 Étude d’une structure à barrière simple sans polarisation ................................. 110
IV.4.1 Allure de la fonction de Wigner en fonction de la longueur des contacts et
de la hauteur de barrière......................................................................... 111
IV.4.2 Calcul de la charge et étude de l’extension minimale du maillage dans
l’espace réciproque pour la fonction de Wigner ..................................... 114
IV.5 Étude d’une structure à barrière double sans polarisation ................................ 115
IV.5.1 Effet de la variation des paramètres de simulation ................................ 115
IV.5.2 Interprétation de la forme des lobes à partir de la forme de la matrice de
densité 116
IV.5.3 Impact de la longueur des barrières et du puits sur les lobes de la fonction
de Wigner ................................................................................................ 121
IV.5.4 Impact de la hauteur de barrière sur les lobes de la fonction de Wigner
123
IV.5.5 Calcul de la charge et étude de l’extension minimale du maillage dans
l’espace réciproque pour la fonction de Wigner ..................................... 125
IV.6 Étude de structures polarisées ............................................................................ 125
IV.6.1 Calcul de la charge et étude de l’extension minimale du maillage dans
l’espace réciproque pour la fonction de Wigner ..................................... 127
IV.7 Conclusion du chapitre ........................................................................................ 129
Références .................................................................................................................... 130
V
Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge ................. 131
V.1
Présentation générale des études menées ......................................................... 132
V.1.1 Type de structure simulé ......................................................................... 133
V.1.2 Polarisation de la structure et problème de l’auto-cohérence ............... 134
V.1.3 Conditions appliquées au maillage .......................................................... 134
V.2
Évaluation de l’erreur numérique dans les termes de dérive et de diffusion .... 135
V.2.1 Méthode de calcul ................................................................................... 135
V.2.2 Précautions à appliquer dans la définition du maillage .......................... 138
V.2.3 Comparaison des termes de dérive et de diffusion au contact émetteur
141
iv
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Table des matières
V.2.4 Comparaison des termes de dérive et de diffusion au milieu de la
structure .................................................................................................. 143
V.2.5 Conclusion ............................................................................................... 146
V.3
Résolution de l’équation de transport de Wigner limitée à la barrière.............. 146
V.3.1 Considérations additionnelles sur le maillage ......................................... 146
V.3.2 Comparaison entre les fonctions de Wigner issues soit de l’équation de
transport de Wigner, soit des fonctions d’onde ..................................... 147
V.3.3 Calcul de la charge à un point donné ...................................................... 149
V.3.4 Calcul de la charge dans la région de la barrière..................................... 150
V.3.5 Conclusion ............................................................................................... 152
V.4
Conclusion du chapitre ........................................................................................ 153
Conclusion générale ............................................................................................................... 155
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v
vi
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Liste des acronymes
DFD
DTR
EHS
EP
ES
ETB
ETLN
ETW
FB
FW
MD
MMT
TF
TFI
Distribution de Fermi-Dirac
Diode Tunnel Résonnante
Expansion en Harmoniques Sphériques
Équation de Poisson
Équation de Schrödinger
Équation de Transport de Boltzmann
Équation de Transport de Liouville-Neumann
Équation de Transport de Wigner
Fonction de Boltzmann
Fonction de Wigner
Matrice de Densité
Méthode des Matrices de Transfert
Transformée de Fourier
Transformée de Fourier Inverse
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1
Notation des grandeurs physiques récurrentes
Constantes physiques et arithmétiques
ℎ
ℏ
𝑘𝐵
𝑞
𝐼
Constane de Planck
Constante de Planck réduite
Constante de Boltzmann
Charge de l’électron
Racine carrée de -1
𝐸𝐹
𝐸𝐶
𝐸
𝑈
𝑈𝐵
𝑢
Énergie du niveau de Fermi
Énergie de la bande de conduction
Énergie des porteurs de charge
Énergie potentielle
Énergie potentielle des barrières
Énergie potentielle de Hartree
𝑙𝑇
𝑙𝐶
𝑙𝐵
𝑙𝑃
Longueur totale d’un dispositif
Longueur des régions de contact
Longueur des barrières
Longueur du puits
𝑥, 𝑦
𝑘
𝑡
Espace réel
Espace réciproque
Temps
𝜌
𝑓𝐵
𝑓𝑊
Matrice de densité*
Fonction de distribution de Boltzmann
Fonction de distribution de Wigner
𝑇
𝑚∗
Température absolue
Masse effective des porteurs de charge
Niveaux d’énergie
Dimensions caractéristiques des dispositifs simulés
Maillages
Distributions
Autres
NB : Les vecteurs et les matrices sont indiqués en gras.
2
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Introduction générale
La miniaturisation de plus en plus poussée des dispositifs électroniques a permis le
développement formidable de l’industrie des semiconducteurs, depuis ses origines jusqu’à
ce jour. Cette miniaturisation a permis à la fois d’augmenter la performance des dispositifs
et d’en réduire la consommation énergétique et le coût unitaire ; au fil des décennies, elle a
suivi une dynamique connue sous le nom de Loi de Moore. Dans son énoncé le plus connu,
cette loi affirme que le nombre de dispositifs élémentaires dans un circuit intégré est destiné
à augmenter de façon exponentielle, en doublant tous les deux ans à peu près. Jusqu’aux
générations technologiques actuelles, cette prédiction s’est effectivement réalisée avec
régularité.
Avec les avantages apportés par la miniaturisation, les domaines d’application de
l’électronique se sont multipliés. D’un côté, il a été possible par l’industrie de proposer des
circuits intégrés avec plus de fonctionnalités. Alors que, jusqu’aux années ’70, les unités de
calcul des ordinateurs étaient composées de dispositifs élémentaires ou de circuits discrets
très simples câblés entre eux, l’introduction du microprocesseur a depuis permis d’ajouter
plusieurs fonctions de calcul sur la même puce (d’abord les opérations arithmétiques et
logiques avec des entiers, puis les opérations avec virgule flottante et, de ces jours, même le
pipeline graphique). D’un autre côté, la diminution de la consommation électrique des puces
à parité de performances a permis le développement d’applications mobiles embarquées.
La course à la miniaturisation a été possible par l’évolution constante des technologies
de fabrication et d’intégration des puces. Cette amélioration a touché à la fois les procédés
de photolithographie (par exemple, l’introduction de la lithographie par immersion, du
double patterning etc.), de dopage (l’implantation ionique avec recuit flash remplaçant les
techniques de diffusion), d’isolation (la Shallow Trench Isolation remplaçant la croissance
d’oxyde, l’utilisation de substrats de type Silicon on Insulator etc.) et des interconnexions.
Cette évolution a été accompagnée par la mise en place d’outils de simulation de plus en
plus performants, du procès au layout des masques, du design à la création de circuits.
L’utilisation de ces outils a permis de mieux prévoir le comportement et les performances
des dispositifs élémentaires, ainsi que de gérer l’intégration croissante des puces. La
simulation électrique des dispositifs est basée sur un ensemble de modèles dits de transport
électronique. Ces modèles sont constitués des systèmes d’équations qui permettent, par
exemple, de calculer la distribution des charges et des courants dans un dispositif à une
polarisation imposée, de tracer des caractéristiques courant-tension, ou encore de
caractériser la réponse dans le temps du dispositif à une impulsion donnée.
Les modèles utilisés dans les simulateurs commerciaux actuels sont essentiellement de
type classique, c'est-à-dire, ils sont basés sur la conception des porteurs de charge comme
des particules. Ces modèles sont inadéquats pour la caractérisation de certains phénomènes
parasites qui commencent à apparaitre dans les générations actuelles de dispositifs
électroniques, et notamment sur ceux dont la dimension caractéristique s’approche de
l’échelle nanométrique. Par exemple, les modèles classiques ne peuvent pas expliquer
l’apparition de courants de fuite par effet tunnel à travers le diélectrique de grille d’un
transistor MOS.
De tels phénomènes peuvent être expliqués par la dualité onde-particule des porteurs de
charge : dans les structures nanométriques, la nature ondulatoire peut devenir
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3
Introduction générale
prédominante, et doit être prises en compte dans la modélisation électrique. Les modèles
qui intègrent cet effet sont dits quantiques.
Le développement de modèles quantiques est fondamental en vue de la miniaturisation
incessante des dispositifs électroniques, puisqu’elle permettrait de mieux caractériser
phénomènes parasites qui affectent les dispositifs actuels, ainsi que de développer des
dispositifs quantiques qui exploitent ces mêmes phénomènes. Ce travail est basé sur l’étude
de l’un de ces modèles, à savoir, l’Équation de Transport de Wigner (ETW). Cette équation
est résolue avec une méthode déterministe, sur des structures 1D.
Le Chapitre I présente la problématique de la modélisation du transport électrique et
recense la littérature sur l’ETW. Il montre d’abord une vue d’ensemble du processus de
simulation électrique d’un dispositif élémentaire. Ensuite, il présente le concept de modèle
de transport et distingue entre modèles classiques et quantiques, déterministes et
stochastiques. Après, il présente des exemples de modèles de transport classique, qui sont
dérivés de l’équation de transport de Boltzmann. Finalement, il illustre des exemples de
modèles quantiques, qui sont dérivés de l’équation de Schrödinger, et donne des références
principales des études qui ont traité l’ETW jusqu’à ce jour.
Le Chapitre II montre les différentes implémentations possibles pour un solveur de l’ETW
en résolution déterministe 1D. Il décrit la discrétisation de cette équation sous la forme d’un
système linéaire, puis montre l’implémentation numérique de ses différents termes. La
discrétisation est étudiée pour l’équation en régime stationnaire et transitoire. Ensuite, le
chapitre illustre les différentes implémentations de l’auto-cohérence en couplage avec
l’équation de Poisson, avec des conditions de Dirichlet et Neumann.
Le Chapitre III présente des séries de simulations qui implémentent les schémas
numériques de l’ETW illustrés au Chapitre II. Les simulations sont réalisées sur deux types de
structures. La première est une diode à tunnel résonnante, qui est un dispositif à caractère
quantique, avec une variation relativement faible de la charge à son intérieur. La deuxième
est une jonction N+P+N+ qui forme une barrière de potentiel épaisse, entrainant une chute de
la densité électronique de plusieurs décades. Les simulations mettent en évidence certains
artefacts numériques qui affectent la solution de l’ETW, et notamment le manque de
cohérence entre la solution elle-même et les conditions aux limites, ainsi que l’apparition de
densités électroniques négatives à certains endroits dans une barrière de potentiel. L’impact
sur ces artefacts des schémas d’implémentation et des densités de maillage est par la suite
étudié.
Le Chapitre IV propose une méthode d’étude alternative de la Fonction de Wigner (FW).
Elle consiste à calculer cette fonction à partir de l’ES, au lieu qu’en résolvant l’ETW. Cette
étude permet de définir les étendues et les densités minimales des maillages des espaces
réels et réciproque qui sont nécessaires pour calculer exactement la FW et la densité de
charge. L’étude est conduite sur des structures à barrière simple et double, avec et sans
polarisation.
Le Chapitre V combine les études des Chapitres III et IV. La partie principale de ce
chapitre présente la résolution de l’ETW sur une portion limitée d’une structure donnée, en
appliquant comme conditions aux limites la FW calculée à partir de l’ES. Cette approche
permet d’affiner les maillages de l’ETW plus qu’il ne l’est possible au Chapitre III, et
d’observer l’effet sur la FW. La structure étudiée est une barrière longue, ce qui permet
d’évaluer la performance de l’ETW dans la simulation d’une structure à caractère plutôt
classique.
4
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I
Les modèles de transport selon les approches classique et
quantique
Ce chapitre illustre la problématique du transport dans les semiconducteurs, en
présentant les différentes approches classiques et quantiques. Dans ce cadre, il examine les
contraintes dans la simulation des dispositifs à l’échelle nanométrique, et explique
notamment pourquoi il est nécessaire de recourir à des approches quantiques pour ces
types de structures. Il conclut ensuite en recensant la littérature sur l’Équation de Transport
de Wigner (ETW), qui est le sujet d’étude dans ce travail.
La section §I.1 commence par présenter les difficultés rencontrées dans la simulation de
dispositifs électroniques dont la dimension caractéristique se rapproche du nanomètre.
Cette section explique pourquoi les modèles classiques deviennent de plus en plus
inadaptés, et pourquoi il est nécessaire d’introduire des nouvelles approches de type « fullquantum ».
La section §I.1 présente, de façon très générale, l’organigramme suivi dans la simulation
d’un dispositif, en résolution auto-cohérente ou non. Cette section introduit le concept de
modèle de transport ; ensuite, elle décrit les différentes classes de modèles : classiques et
quantiques, déterministes et stochastiques.
La section §I.3 illustre rapidement les modèles classiques, en partant de l’Équation de
Transport de Boltzmann (ETB). Cette section présente l’équation elle-même, dans ses
écritures classique et semi-classique, puis aborde les différentes méthodes de résolution : la
dérivation de modèles simplifiés (dérive-diffusion, hydrodynamique) ou encore l’approche
de l’Expansion en Harmoniques Sphériques (EHS).
La section §I.4 illustre les modèles quantiques, en partant de l’Équation de Schrödinger
(ES). Elle présente les différentes approches à la résolution de cette équation, et notamment
la Méthode des Matrices de Transfert (MMT), les Fonctions de Green (FG) et l’ETW.
Finalement, cette section se conclut par un recensement de la littérature sur le sujet de
l’ETW.
I.1
Présentation de la problématique : la simulation du transport dans
les nanostructures
L’évolution de l’industrie des semiconducteurs est encadrée et guidée par l’International
Technology Roadmap for Semiconductors (ITRS) [Int], qui est un organisme qui regroupe les
principaux acteurs dans le secteur. L’ITRS publie annuellement un rapport qui indique les
nœuds technologiques prévus pour les dix à vingt années suivantes. Ce rapport montre,
entre autres, l’évolution des matériaux et des procédés de fabrication, et il pose les jalons
pour la réduction en taille des composants élémentaires, et notamment de leurs dimensions
caractéristiques (longueur électrique, pitch, épaisseur des couches dans les empilements
etc.).
Le dispositif qui est peut être le meilleur exemple du processus de miniaturisation est le
transistor à effet de champ de type Metal-Oxide-Semiconductor (MOS) [Sze81]. Il s’agit d’un
dispositif fondamental dans les applications de l’électronique numérique qui, depuis ses
premières applications au cours des années ’60, a vu sa taille réduite de plusieurs ordres de
grandeur.
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5
I Les modèles de transport selon les approches classique et quantique
Par exemple, au nœud technologique 65 nm, les transistors MOS de type haute
performance contenaient un empilement de grille dont la couche diélectrique avait été
réduite à l’échelle du nanomètre, soit à quelques couches atomiques seulement [Int05]. Dès
les générations suivantes, l’apparition d’importants courants de fuite par effet tunnel à
travers cette couche a rendu nécessaire l’intégration d’oxydes dits high-𝑘 [Int05]. Ces
matériaux ont une permittivité plus élevée que celle de l’oxyde de silicium conventionnel, ce
qui permet de fabriquer des diélectriques plus épais, réduisant ainsi les fuites sans affecter
les performances des dispositifs. Cette évolution a requis une révision complète de
l’architecture de l’empilement de grille, ainsi que des procédés de fabrication, à cause de
l’introduction des nouveaux matériaux.
Les courants de fuite qui affectent les dispositifs sont le plus souvent de nature
quantique. En général, les problèmes de transport électrique peuvent être analysés sous
deux points de vue. Le premier est l’approche classique, qui consiste à considérer les
porteurs de charge comme des particules. Dans le cas du diélectrique d’un transistor MOS,
cette vue ne peut pas expliquer les courants de fuite : une barrière, même de très faible
épaisseur, est à priori toujours capable de contenir les porteurs. La deuxième approche est
celle quantique, qui consiste à voir les porteurs comme des fonctions d’onde qui se
propagent à l’intérieur d’un dispositif. En présence d’une barrière, une fonction d’onde peut
pénétrer sur une certaine distance à l’intérieur de la région interdite. Si la barrière est de
faible épaisseur, le confinement n’est alors pas total : les fonctions d’onde atteignent l’autre
extrémité de la barrière, et un courant de tunnel de fuite est observé.
L’aspect ondulatoire des porteurs de charge devient évident lorsque la dimension
caractéristique des dispositifs électriques se rapproche du nanomètre. Plusieurs effets
parasites de nature quantique peuvent alors affecter le comportement des dispositifs
conventionnels, comme montré sur la Fig. I-1 : les courants tunnel, qui causent les fuites
dans l’empilement de grille dans les transistors MOS, peuvent aussi affecter la rétention des
cellules de mémoire ; dans les jonctions N+P+ fortement polarisées des porteurs libres
peuvent se recombiner par transition tunnel à travers la bande interdite ; dans le canal d’un
transistors MOS, des niveaux énergétiques discrétisés peuvent apparaître etc.
(b)
(a)
Silicium
Trous libres
Polarisation
Métal
EV
EF, P+
EF, N+
Diélectrique
Électrons libres
Fig. I-1 Continue à la page suivante.
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EC
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I Les modèles de transport selon les approches classique et quantique
(c)
Silicium
EC
Métal
Niveaux d’énergie
discrétisés
Diélectrique
Fig. I-1 Phénomènes parasites dans des différents dispositifs électroniques, causés par des effets quantiques.
(a) Cellule capacitive de mémoire RAM. Les porteurs passent par effet tunnel à travers la barrière d’oxyde. (b)
+ +
Jonction P N fortement polarisée. La polarisation est donnée par la différence entre les niveaux de Fermi EF
aux deux contacts de la jonction. EC est la bande de conduction, EV celle de valence. Les électrons libres dans la
bande de conduction au contact émetteur passent par effet tunnel à travers la bande interdite du
semiconducteur et se recombinent avec les trous libres dans la bande de valence. (c) Canal d’un transistor MOS
en régime d’inversion. La courbure de la bande de conduction EC est telle qu’un puits quantique se crée à
l’interface entre le silicium et le diélectrique, qui entraîne l’apparition de niveaux d’énergie discrets [Bie97].
Le problème se pose alors de comment modéliser ces phénomènes quantiques.
L’approche courante des logiciels de TCAD actuels consiste les traiter comme des
phénomènes parasites, à intégrer à des modèles de transport conventionnels tels que celui
de dérive-diffusion [Syn08]. Ainsi, la nature ondulatoire des porteurs est prise en compte
seulement dans certaines régions spécifiques d’un dispositif, telles que l’empilement de
grille dans un transistor MOS. Cette méthode est relativement simple et permet d’optimiser
les ressources de calcul requises par les simulateurs. Elle risque cependant de n’être qu’un
remède temporaire : alors que les dispositifs sont miniaturisés davantage, les effets
quantiques peuvent s’étendre à la globalité d’une structure. Par exemple, des courants par
effet tunnel pourraient se créer entre la source et le drain d’un transistor MOS, si la longueur
électrique est suffisamment faible. Le traitement ad hoc utilisé à présent deviendrait alors
inadapté.
Une approche plus durable consiste à développer des modèles entièrement quantiques,
qui tiennent compte de la nature ondulatoire des porteurs partout dans une structure
simulée. L’utilisation de ces modèles présente deux avantages potentiels. Le premier serait
de mieux caractériser les phénomènes parasites de nature quantique dans les dispositifs
actuels. Le deuxième est que ces modèles permettraient de concevoir des dispositifs qui
exploitent ces phénomènes spécifiques, tels que les quantum dots ou les nanofils de
carbone [FG97]. Ces nouveaux dispositifs pourraient finalement remplacer le transistor MOS
conventionnel à l’échelle nanométrique.
Ces modèles doivent permettre de réaliser des simulations avec des ressources de calcul
raisonnables, de façon à pouvoir être intégrés à des applications TCAD. Ensuite, ils doivent
pouvoir donner des résultats cohérents avec les modèles classiques dans la simulation de
dispositifs non-quantiques.
I.2
Vue d’ensemble des modèles de transport
I.2.1
Approche typique de la simulation électrique d’un dispositif
Fig. I-2 montre le schéma général de l’algorithme exécuté dans la simulation d’un
dispositif électrique.
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7
I Les modèles de transport selon les approches classique et quantique
Conditions
initiales
Itération [𝒏]
It. [𝒏 − 𝟏]
DÉBUT
FIN
Itération [𝟎]
Équations de
transport
Charge,
courant
NON
Test de convergence
FIN
Résolution non auto-cohérente
Potentiel
Solution de l’équation
de Poisson
OUI
Résolution auto-cohérente
Fig. I-2 Schéma de principe de l’algorithme de simulation d’un dispositif électronique, en résolution autocohérente ou pas.
La première étape consiste à définir des conditions de départ, par exemple, un profil de
potentiel. Ces conditions sont normalement dérivées en appliquant certaines hypothèses
simplificatrices (par exemple, un potentiel nul partout à polarisation nulle, ou variant
linéairement si une polarisation est appliquée).
Ensuite, un modèle de transport est appliqué à ces conditions, sous la forme d’une
équation ou d’un système d’équations. Ce système reçoit en entrée les conditions de départ,
ainsi que les conditions aux limites (par exemple, une densité de porteurs ou un courant fixé
aux contacts). À partir de ces données, les équations donnent des quantités qui permettent
de quantifier les propriétés électriques de la structure : une distribution ou une densité de
porteurs, un courant etc.
Pour que la résolution soit auto-cohérente, il faut que la charge soit compatible avec le
potentiel dans la structure. Charge et potentiel sont liés par l’Équation de Poisson (EP) ; cette
équation doit donc être vérifiée par le potentiel appliqué aux équations de transport et par
la charge issue de ces mêmes équations. Dans la première itération, cela n’est souvent pas le
cas ; il est alors nécessaire d’implémenter une boucle d’auto-cohérence, en alternant la
résolution des équations de transport et de l’EP, jusqu’à la convergence en dessous d’un
seuil donné.
En résolution non auto-cohérente, la densité de charge et le courant sont calculés
directement à la première itération, sans aborder l’EP. Il est alors nécessaire de prendre un
soin particulier dans la définition des conditions initiales du système. Si la simulation est
effectuée en régime transitoire (par exemple, pour caractériser la relaxation d’un système à
partir d’un état excité), une étape d’incrémentation du temps doit être intégrée à la boucle
d’auto-cohérence.
I.2.2
Modèles classiques et quantiques
Fig. I-3 montre une vue d’ensemble des modèles du transport. Deux classes peuvent être
distinguées : les modèles classiques et les modèles quantiques. La différence est que les
8
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I Les modèles de transport selon les approches classique et quantique
premiers regardent les porteurs de charge comme des particules, alors que les deuxièmes
les regardent comme des fonctions d’onde qui se propagent à travers une structure.
Modèles classiques dérivés de
l’équation de transport de
Boltzmann :
- Dérive-diffusion
- Hydrodynamique
- Expansion en harmoniques
sphériques
- …
Modèles quantiques dérivés de
l’équation de Schrödinger :
- Méthode de matrices de
tranfert
- Fonctions de Green
- Équation de transport de
Wigner
- …
Modèles mixtes
Fig. I-3 Classification des modèles de transport en classiques et quantiques.
Comme indiqué dans §I.1, l’aspect quantique du transport électronique a une
importance particulière dès que la dimension caractéristique d’une structure approche
l’échelle nanométrique. Par exemple, en présence d’une barrière de potentiel, d’après la
vision classique, un porteur avec une énergie plus faible que la barrière ne pourra pas entrer
dans la région interdite et sera complètement confiné. Au contraire, d’après la vision
quantique, la fonction d’onde associée à un tel porteur peut pénétrer sur une certaine
distance à l’intérieur de la région, en montrant une chute exponentielle [FG97]. Si l’épaisseur
de la barrière est suffisamment faible, le confinement n’est donc pas total.
La figure montre comment les deux classes de modèles sont abordées dans la suite de ce
chapitre. Pour ce qui est du transport classique, l’équation de référence est l’ETB, qui est la
formulation la plus générale décrivant ce type de transport. L’ETB peut être résolue soit en
dérivant des modèles simplifiés (dérive-diffusion [Gum64], hydrodynamique [Blo70] etc.),
soit directement, par exemple par l’EHS.
Les équations des modèles classiques peuvent être réécrites sous une forme dite semiclassique. Dans cette nouvelle formulation, qui permet de rapprocher les visions classique
est quantique, la dérivation des modèles reste inchangée, les électrons étant toujours
considérés comme des particules. Cependant, à chaque porteur est associée une fonction
d’onde, et les dimensions qui quantifient le transport (vitesse, quantité de mouvement,
énergie cinétique) sont exprimées en fonction du vecteur d’onde.
Pour ce qui est du transport quantique, la formule de référence est l’ES, qui décrit les
électrons comme des fonctions d’onde ; ensuite, trois méthodes de résolution de cette
équation sont présentées : la MMT, les FG et l’ETW.
Dans la figure, la mention « Modèles mixtes » indique les solveurs qui intègrent des
éléments classiques et quantiques. Cette approche consiste à appliquer des modèles
classiques, tels que celui de dérive-diffusion ou l’hydrodynamique, à la simulation d’un
dispositif, et à tenir compte des effets quantiques dans certaines régions, où ces effets
peuvent affecter de façon significative le fonctionnement.
Par exemple, les principaux logiciels de TCAD actuels suivent cette approche dans la
simulation de dispositifs conventionnels tels que des transistors MOS. Dans ce type de
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I Les modèles de transport selon les approches classique et quantique
structure, il peut être nécessaire de tenir compte des courants tunnels à travers l’oxyde de
grille, de façon à calculer la consommation énergétique totale ; dans ce cas, l’effet quantique
est modélisé ad hoc, de façon compacte, et intégré à l’équation de continuité dans la
barrière [Syn08].
Un autre exemple est l’intégration de l’ETW et de l’ES dans le même solveur. Cette
approche peut aussi s’appliquer à un transistor MOS, en supposant une distinction nette
entre la direction du transport (l’axe source-drain) et la direction du confinement (l’axe
perpendiculaire). L’ES est alors utilisée pour calculer les niveaux énergétiques dans le canal,
qui sont ensuite injectés dans l’ETW [KFP08].
I.2.3
Modèles déterministes et de Monte-Carlo
En règle générale, les équations transport qui sont indiquées sur la Fig. I-3, et qui sont
décrites dans la suite, peuvent être résolues de trois façons différentes : l’approche
compacte, celle déterministe non-compacte et la méthode stochastique ou de Monte-Carlo,
comme montré sur la Fig. I-4.
Méthodes de
résolution
Compacte
Résolution numérique
directe
Déterministe noncompacte
Modèles simplifiés
analytiques
Stochastique ou de
Monte-Carlo
Réécriture (harmoniques
sphériques etc. )
Fig. I-4 Classification des méthodes de résolution des modèles de transport.
Un modèle compact est une formulation simple et analytique qui décrit le
comportement d’un dispositif spécifique. Par exemple, la famille de modèles BSIM est
utilisée dans la simulation de transistors MOS. Parfois, un modèle compact peut s’appliquer
à un phénomène particulier : par exemple, le modèle de Poole-Frenkel est utilisé pour
modéliser les courants des porteurs thermiques dans une couche diélectrique [Syn08]. Dans
un modèle compact, l’accent est mis sur le faible temps de calcul, plutôt que sur la
simulation exacte des phénomènes physiques. L’avantage principal de cette approche par
rapport aux deux autres est donc la rapidité, ce qui rend de tels modèles indispensables pour
la simulation de circuits. L’inconvénient est qu’il est normalement nécessaire d’introduire
des hypothèses simplificatrices, par exemple au niveau du profil de potentiel dans une
structure, ou alors de paramétrer les modèles par des coefficients empiriques.
Les deux autres approches sont plutôt adaptées à la simulation d’un dispositif isolé, ou
de quelques dispositifs interconnectés (par exemple, un inverseur en technologie MOS, ou
une cellule de mémoire). La première est l’approche non-compacte déterministe. Elle
consiste tout simplement à résoudre, par un schéma numérique, les équations du système
en question. Le résultat, dans le cas, par exemple, de l’ETB et de l’ETW, est une fonction de
distribution des porteurs dans les espaces réel et réciproque.
Cette approche peut être abordée de trois façons différentes. La première consiste à
résoudre directement les équations de transport. Cette méthode est normalement adaptée
à la simulation des dispositifs simples, par exemple de type 1D. Son inconvénient majeur est
qu’elle demande des ressources disproportionnées en espace mémoire, ce qui la rend
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I Les modèles de transport selon les approches classique et quantique
inadéquate pour des configurations à plusieurs dimensions. Par exemple, la résolution de
l’ETB dans une structure 3D par cette méthode nécessite d’un maillage à six axes (trois dans
l’espace réel et trois dans l’espace réciproque), en plus de la dimension temporelle. Ce type
de discrétisation ne peut être réalisé dans la limité des ressources d’un serveur de calcul
qu’en réduisant les densités de maillage, ce qui affecterait la justesse de la solution
[CGMS06, ES06].
La deuxième façon consiste à dériver des modèles simplifiés des équations de transport.
C’est le cas, par exemple, des modèles de dérive-diffusion et hydrodynamique, qui
s’obtiennent à partir de l’ETB. Les contraintes en mémoire peuvent alors être fortement
réduites. Un inconvénient est que les hypothèses simplificatrices appliquées peuvent
affecter la justesse des résultats. Par exemple, le modèle de dérive-diffusion ne tient pas
compte des variations de température dans une structure.
La troisième façon consiste à réécrire les équations de transport d’une façon qui se prête
mieux à la résolution numérique, voire à l’application de schémas de compression des
matrices. C’est le cas, par exemple, de l’approche de l’EHS pour l’ETB. Bien que les
contraintes en espace mémoire soient plus contenues qu’avec la résolution directe, elles
restent cependant problématiques.
Globalement, l’avantage des approches déterministes par rapport à celle de Monte-Carlo
réside dans les temps de calcul plus courts. Les approches déterministes présentent par
contre deux inconvénients importants. D’un côté, suivant l’implémentation numérique, elles
peuvent donner une solution moins exacte que Monte-Carlo. Par exemple, dans la
simulation d’un transistor MOS avec une longueur de grille de 50 nm par l’ETB, Sverdlov et
al. observent qu’il est nécessaire, en résolution déterministe, de pousser le développement
jusqu’au moment d’ordre 6, pour obtenir une caractéristique courant-tension qui soit
cohérente avec celle issue d’un solveur Monte-Carlo full-band [SUHS08]. D’un autre côté, la
solution déterministe d’une équation pose le problème des conditions aux limites, par
exemple lorsque la solution est une fonction de distribution, comme pour l’ETB et l’ETW.
Alors que la méthode déterministe opère sur les distributions des porteurs, celle de
Monte-Carlo les simule un à un. Cette approche consiste à injecter dans un système donné
une population de porteurs, et ensuite à résoudre les équations de transport sur chacun
d’entre eux. Les grandeurs macroscopiques sont ensuite calculées en agrégeant les
contributions de chacun des éléments. En général, la méthode de Monte-Carlo trouve des
applications importantes en calcul numérique, par exemple dans l’évaluation d’intégrales
dans des espaces multidimensionnels. En ce qui concerne la simulation du transport
électronique, elle permet de réaliser des simulations très précises, et de modéliser
efficacement les interactions entre porteurs. L’inconvénient principal est que cette méthode
nécessite la simulation d’un grand nombre de particules, pour réduire le bruit statistique
[Jun03].
Le cadre de ce travail concerne l’étude déterministe par résolution directe de l’ETW,
pour des applications 1D. Une grande partie des problèmes abordés concernent les
conditions aux limites à appliquer au système simulé.
I.3
L’équation de transport de Boltzmann et la dérivation des modèles
classiques
L’ETB est l’équation fondamentale qui décrit le transport des porteurs de charge dans un
dispositif électronique selon l’approche classique [Sel84]. Dans une structure avec un
nombre quelconque de dimensions, cette équation est donnée par :
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I Les modèles de transport selon les approches classique et quantique
𝜕𝑓𝐵
∗
�
�
= 𝑚
𝑭 𝛻��
𝛻𝒙 𝑓𝐵 +
��
���
���
𝒗 𝑓𝐵 + 𝒗
𝜕𝑡 Interactions
Dérive
Diffusion
𝜕𝑓𝐵
�
𝜕𝑡
I-1
Transitoire
Les grandeurs en gras indiquent des vecteurs. Dans cette écriture, 𝑓𝐵 (𝒙, 𝒗, 𝑡) est la
Fonction de Boltzmann (FB), qui correspond à la solution de l’équation. Il s’agit d’une
fonction de distribution des porteurs de charge, qui dépend de la position dans l’espace 𝒙,
de la vitesse des porteurs 𝒗 et du temps 𝑡. 𝑚∗ désigne la masse effective des porteurs, alors
que 𝑭(𝒙, 𝑡) est la force qui agit sur eux. Cette force est donnée par :
𝑭(𝒙, 𝑡) = −𝑞𝑬(𝒙, 𝑡)
I-2
𝑞 est ici la charge électronique élémentaire, alors que 𝑬 est le champ électrique.
La FB étant une fonction de distribution, elle est à valeurs toujours positive. À partir de
cette distribution, la charge et le courant peuvent être calculées en évaluant les moments
d’ordre 0 et 1 respectivement :
1 𝑁
𝑐(𝒙) = � � � 𝑓𝐵 (𝒙, 𝒗) 𝑑𝑘
2𝜋
𝑁
I.3.1
𝑞
𝑱(𝒙) =
� 𝒗 𝑓𝐵 (𝒙, 𝒗) 𝑑𝑘
(2𝜋)𝑁 𝑁
I-3
L’écriture semi-classique
L’écriture semi-classique de l’ETB consiste à associer les porteurs à des fonctions d’onde
et à transcrire les variables qui expriment leur vitesse et leur énergie en fonction du vecteur
d’onde. Il ne s’agit pas d’un modèle entièrement quantique, puisque la dérivation de l’ETB
reste basée sur la vision classique des porteurs comme des particules. La vitesse est donnée
par :
𝒗𝑛 = 𝛻𝒌 𝐸𝑛 (𝒌)
I-4
Ici, le porteur se trouve sur la 𝑛ième bande énergétique de la zone de Brillouin. Sa vitesse
est exprimée comme le gradient de ce niveau d’énergie 𝐸𝑛 par rapport au vecteur d’onde 𝒌.
Ce vecteur est celui de la fonction d’onde associée au porteur en question. ℏ est la constante
de Planck réduite. S’il est supposé que la bande de conduction a une allure parabolique,
l’énergie du porteur est donnée par :
1 ∗ 2 ℏ|𝒌|2
I-5
𝐸 = 𝑚 |𝒗| =
2
2𝑚∗
Le premier terme de cette équation donne l’énergie cinétique du porteur, suivant la vue
classique. Dans le deuxième terme, la même énergie est exprimée en fonction du profil de la
bande de conduction. La vitesse est alors donnée par :
𝒌
I-6
𝒗=ℏ ∗
𝑚
La quantité de mouvement 𝒑 est donnée par :
𝒑 = 𝑚∗ 𝒗 = ℏ𝒌
L’ETB de Eq. I-1 peut alors être réécrite :
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I-7
I Les modèles de transport selon les approches classique et quantique
�
𝜕𝑓𝐵
𝑞𝑬
𝒌
�
= −
𝛻𝒌 𝑓𝐵 + ℏ ∗ 𝛻𝒙 𝑓𝐵 +
�����
��
�����
𝜕𝑡 Interactions
ℏ ��
𝑚
Dérive
Diffusion
𝜕𝑓𝐵
�
𝜕𝑡
I-8
Transitoire
Dans la suite, de ce travail l’écriture semi-classique sera utilisée pour l’ETB.
I.3.2
Les différents termes de l’équation de transport de Boltzmann
Eq. I-8 montre que l’ETB peut être divisée en quatre termes distincts. Le terme de dérive
indique l’effet du champ électrique. Celui de diffusion est proportionnel au gradient de la FB
dans l’espace réel. Il traduit donc l’effet sur le transport d’un gradient de concentration des
porteurs dans la structure. Le terme transitoire indique la variation de la fonction de
distribution dans le temps, et il est nul en régime stationnaire.
Le quatrième terme traduit les interactions qui affectent le transport des porteurs. Il est
donné par :
𝜕𝑓𝐵
�
�
= 𝑄ee (𝑓𝐵 ) + 𝑄imp (𝑓𝐵 ) + 𝑄ph (𝑓𝐵 )
I-9
𝜕𝑡 Interactions
Trois classes d’interactions sont normalement analysées dans l’étude de l’ETB : les
interactions coulombiennes entre les porteurs eux-mêmes 𝑄ee (𝑓𝐵 ), les collisions avec les
impuretés du réseau 𝑄imp (𝑓𝐵 ) et avec les phonons𝑄ph (𝑓𝐵 ), c'est-à-dire, l’impact des
vibrations du réseau.
Les interactions entre porteurs peuvent être exprimées par :
𝑄ee (𝑓𝐵 ) = � �𝑠ee �𝒙, 𝒌, 𝒌∗ , 𝒌′ , 𝒌∗ ′ �𝑓𝐵′ 𝑓𝐵∗ ′ (1 − 𝑓𝐵 )(1 − 𝑓𝐵∗ )
3𝑁
∗′
∗
− 𝑠ee �𝒙, 𝒌 , 𝒌 , 𝒌, 𝒌
′
�𝑓𝐵 𝑓𝐵∗ (1
− 𝑓𝐵 )�1 −
′
𝑓𝐵∗ ′ ��
I-10
∗
∗′
𝑑𝒌 𝑑𝒌 𝑑𝒌
′
𝑠ee est la fréquence moyenne des interactions. Les interactions avec les impuretés sont
données par :
𝑄imp (𝑓𝐵 ) = � �𝜎imp (𝒙, 𝒌, 𝒌′ ) 𝛿�𝐸(𝒌′ ) − 𝐸(𝒌)� ( 𝑓𝐵′ − 𝑓𝐵 )� 𝑑𝒌′
I-11
𝑄ph (𝑓𝐵 ) = � �𝑠ph (𝒙, 𝒌′ , 𝒌)𝑓𝐵′ (1 − 𝑓𝐵 ) − 𝑠ph (𝒙, 𝒌, 𝒌′ )𝑓𝐵 (1 − 𝑓𝐵′ )� 𝑑𝒌′
I-12
𝑁
𝐸(𝑘) est l’énergie de la bande de conduction, 𝜎imp (𝒙, 𝒌, 𝒌′ ) est une fonction de
distribution symétrique en 𝒌 et 𝒌’. 𝛿�𝐸(𝒌)� est la fonction de Dirac. Les interactions avec le
réseau peuvent être modélisées par :
𝑁
𝑠ph est encore la fréquence moyenne des interactions. Alors que les autres termes de
l’ETB sont différentiels, les interactions sont exprimées par des intégrales dans l’espace des
vecteurs d’onde. Ce calcul d’intégral pouvant être particulièrement lourd en résolution
déterministe, il est possible de l’approximer en intégrant toutes les interactions sous un
même paramètre 𝜏(𝒙, 𝒌), appelé temps de relaxation, qui exprime l’intervalle de temps
moyen entre collisions.
I.3.3
Méthodes de résolution de l’équation de transport de Boltzmann
Cette section présente brièvement trois méthodes de résolution déterministe de l’ETB :
la dérivation des modèles de dérive-diffusion et hydrodynamique, et l’EHS. Comme expliqué
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I Les modèles de transport selon les approches classique et quantique
au §I.2.3, les deux premières approches constituent des modèles simplifiés de l’ETB, alors
que la troisième est une résolution complète.
I.3.3.1 Dérivation du modèle de dérive-diffusion
Ce modèle constitue l’approche la plus simple dans le transport classique. Il est
largement utilisé dans les applications TCAD, pour simuler des conditions de base où des
modèles plus évolués, comme l’hydrodynamique, seraient trop couteux. Comme le nom
l’indique, il tient compte de la dérive due au champ électrique et du transport causé par le
gradient de concentration dans la structure simulé. Les interactions sont modélisées par un
terme de génération-recombinaison. La température est supposée constante dans la
structure entière. Ce modèle peut se dériver sans recourir à l’équation de Boltzmann. Il est
en effet constitué de deux équations : la première exprime le courant dans la structure en
fonction du champ électrique et du gradient de concentration, alors que la deuxième est une
loi de conservation appelée équation de continuité, et relie la variation de la charge dans le
temps au courant.
Ces équations peuvent être dérivées de l’ETB en y appliquant une expansion de Hilbert
[Jün09] :
𝜕𝑓𝐵
ℏ𝒌
𝑞𝑬
𝛼2
+ 𝛼 � ∗ 𝛻𝒙 𝑓𝐵 −
𝛻 𝑓 � = 𝑄(𝑓𝐵 )
I-13
𝜕𝑡
𝑚
ℏ 𝒌 𝐵
𝛼 est le paramètre utilisé dans l’expansion. Le terme des collisions est modélisé par un
temps de relaxation. L’expansion de la FB est donnée par [Jün09] :
𝑓𝐵 ≈ 𝑓0 + 𝛼𝑓1 + 𝛼 2 𝑓2
I-14
En combinant Eq. I-13, I-14, puis en regroupant les termes en 𝛼 et en intégrant dans
l’espace réciproque, l’équation suivante qui exprime le courant est obtenue :
𝑘𝐵 𝑇
𝛻 𝑛 + 𝑛𝑬(𝒙)�
𝑞 𝒙
𝑞𝜏
𝜇𝑛 = ∗
𝑚𝑛
𝑱(𝒙) = 𝑞𝜇𝑛 �
I-15
Cette écriture néglige les trous, le courant étant purement électronique. La variable 𝑛(𝒙)
indique par ailleurs la densité électronique. Le paramètre 𝜇𝑛 est appelé la mobilité
électronique. 𝑘𝐵 est la constante de Boltzmann et 𝑇 la température absolue. Le terme 𝑘𝐵 𝑇
dérive du fait que, dans l’approximation du temps de relaxation, le terme des collisions est
exprimé en fonction de la différence entre la FB et une statistique de Maxwell-Boltzmann. En
regroupant les termes en 𝛼 2 , en intégrant encore une fois dans l’espace des vecteurs
d’onde, l’équation suivante est obtenue :
𝜕𝑛 1
− div𝒙 [𝑱(𝒙)] = 0
I-16
𝜕𝑡 𝑞
Eq. I-15 et I-16 sont les deux équations mentionnées précédemment : la première établit
une relation entre le courant et les termes de dérive et de diffusion et les interactions, alors
que la deuxième établit une relation entre la variation de la charge et le courant.
I.3.3.2 Dérivation du modèle hydrodynamique
Ce modèle est dérivé en appliquant la méthode des moments à l’ETB. Les moments en
questions sont ceux de la FB par rapport au vecteur d’onde [Jün09] :
14
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I Les modèles de transport selon les approches classique et quantique
⟨1⟩ = � 𝑓𝐵 (𝒙, 𝒌, 𝑡) 𝑑𝒌
𝑁
⟨𝑘𝑖 ⟩ = � 𝑘𝑖 𝑓𝐵 (𝒙, 𝒌, 𝑡) 𝑑𝒌
I-17
𝑁
⟨𝑘𝑖 , 𝑘𝑗 ⟩ = � 𝑘𝑖 𝑘𝑗 𝑓𝐵 (𝒙, 𝒌, 𝑡) 𝑑𝒌
𝑁
Le premier terme est le moment d’ordre 0, le deuxième celui d’ordre 1, par rapport à la
composante 𝑖 du vecteur d’onde, le troisième celui d’ordre 2 et ainsi de suite. Ces moments
peuvent être reliés à des grandeurs macroscopiques : celui d’ordre 0 donne la charge, celui
d’ordre 1, le courant, celui d’ordre 2, le tenseur des énergies.
En appliquant l’ETB à ces différents moments, il est alors possible d’obtenir un système
d’équations qui, une fois résolu, permet de calculer la charge et le courant à tout point de la
structure. Il est cependant nécessaire au préalable d’introduire deux hypothèses.
Premièrement, il faut définir le terme des interactions ; dans le modèle hydrodynamique,
celui-ci est donné par un temps de relaxation. Deuxièmement, puisque chaque équation du
système pour un ordre donné contient aussi le moment d’ordre supérieur, il est nécessaire
d’imposer une condition sur la fonction de distribution, de façon à obtenir un système
fermé. Cette condition correspond à une distribution de Maxwell-Boltzmann. Le jeu
d’équations final est alors :
𝜕𝑛 1
− div𝒙 [𝑱(𝒙)] = 0
𝜕𝑡 𝑞
𝑱⊗𝑱
𝑞𝑘𝐵
𝑱
𝜕𝑱 1
𝑞2
(𝑇
− div𝒙 �
� + ∗ 𝛻𝒙 𝑛) − ∗ 𝑛𝑬 = −
I-18
𝑛
𝜏
𝑚𝑛
𝑚𝑛
𝜕𝑡 𝑞
𝜕(𝑛𝜀) 1
𝑛
𝑁
− div𝒙 [𝑱(𝜀 + 𝑘𝐵 𝑇)] − 𝑱 ∙ 𝑬 = − �𝜀 − 𝑘𝐵 𝑇0 �
𝜕𝑡
𝑞
𝜏
2
Dans cette écriture, 𝜀 représente l’énergie de bande et 𝑇0 la température à l’équilibre
thermique. Le modèle tient compte des variations de température à l’intérieur de la
structure, ce qui n’est pas le cas de celui de dérive-diffusion. Des moments d’ordre supérieur
ont aussi été étudiés dans la littérature.
I.3.3.3
Solution de l’équation de Boltzmann par la méthode de l’expansion en
harmoniques sphériques
Cette méthode consiste à décomposer l’ETB en une série d’harmoniques sphériques
[GHF91, GVB91, GVBO93, HWGM95, VGBO92] orthonormées à valeur réelles 𝑌𝑙,𝑚 (𝜃, 𝜑)
jusqu’à un ordre 𝐿 donné :
𝐿
𝑙
𝑓𝐵 (𝒙, 𝜀, 𝜃, 𝜑, 𝑡) = � � 𝑓𝑙,𝑚 (𝒙, 𝜀, 𝑡)𝑌𝑙,𝑚 (𝜃, 𝜑)
I-19
𝑙=0 𝑚=−𝑙
Dans cette formule, 𝜃 et 𝜑 sont les coordonnées sphériques, respectivement l’inclinaison
et l’azimuth. À partir de cette expansion, un système d’équations partielles couplées est
obtenu, dont la résolution permet de calculer les différentes composantes et, finalement, la
FB.
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15
I Les modèles de transport selon les approches classique et quantique
La résolution de ce système demande un espace mémoire d’ordre 𝑂(𝑁𝐿2 ), ce qui le
limite normalement à la simulation de structures 2D au plus ; une étude récente propose
cependant un schéma de compression qui le réduit à 𝑂(𝑁+𝐿2 ) [RGJ10].
I.4
Les modèles quantiques
Un point de départ très couramment utilisé pour les modèles quantiques et l’ES.
𝜕𝜓
ℏ2
(𝒙, 𝒌, 𝑡) +
𝐼ℏ
𝛥 𝜓(𝒙, 𝒌, 𝑡) = [𝑈(𝒙, 𝑡) − 𝐸(𝒌)]𝜓(𝒙, 𝒌, 𝑡)
𝜕𝑡
2𝑚∗ 𝒙
I-20
Cette équation associe à un porteur une fonction d’onde 𝜓(𝒙, 𝒌, 𝑡), d’énergie 𝐸(𝒌), qui
se propage dans un profil de potentiel 𝑈(𝒙, 𝑡). Cette équation peut s’écrire en utilisant
l’opérateur hamiltonien ℋ :
ℏ2
ℋ[𝜓] = � ∗ 𝛥𝒙 − 𝑈� 𝜓
2𝑚
I-21
𝜕𝜓
𝐼ℏ
+ ℋ[𝜓] = 𝐸𝜓
𝜕𝑡
La résolution de l’ES dépend des conditions du système étudié, qui peut être fermé ou
ouvert. Dans un système fermé, les porteurs, et donc les fonctions d’onde associées, sont
confinés à l’intérieur. Cette condition est vérifiée seulement pour certains niveaux d’énergie,
qui correspondent aux valeurs propres de l’opérateur hamiltonien. La résolution de l’ES
porte alors sur le calcul numérique de ces énergies propres ; cette méthode trouve déjà des
applications dans certains logiciels de TCAD [Syn08].
Dans un système ouvert, les fonctions d’onde sont supposées se propager par les
contacts à l’intérieur du dispositif étudié. Le but de la résolution n’est alors plus de calculer
les valeurs propres de l’hamiltonien, mais plutôt d’évaluer la fonction d’onde associée aux
porteurs pour une énergie donnée. L’approche la plus simple au transport quantique en
système ouvert est la résolution directe de l’ES par la MMT. Cette méthode consiste à
injecter un certain nombre de fonctions d’onde dans une structure, et d’observer leur
propagation. Il est ensuite possible d’évaluer les composantes réfléchies et transmises de
ces fonctions d’onde. Cette méthode se prête soit soit une résolution analytique [FG97], soit
numérique, comme montré au Chapitre IV. Cette méthode a été utilisée avec succès pour la
modélisation de certains types de structures électroniques simples 1D. Par exemple, Tsu et
Esaki étudient le coefficient de transmission des fonctions d’onde d’une Diode à Tunnel
Résonnante (DTR), et en dérivent la caractéristique courant-tension de ce type de structure
[TE73].
Cependant, la méthode des MMT se prête mal à la simulation de dispositifs plus
complexes, pour deux raisons. La première est qu’il peut être problématique d’imposer des
conditions aux limites d’une structure simulée (par exemple, un courant). La deuxième est
qu’il est difficile de modéliser les interactions entre porteurs à partir des fonctions d’onde.
Ainsi, des méthodes alternatives à la résolution directe de l’ES ont été étudiées dans la
littérature, à savoir, les FG et l’ETW. Fig. I-5 montre les différents schémas de résolution de
l’ES.
16
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I Les modèles de transport selon les approches classique et quantique
Équation de Schrödinger en
système ouvert
Matrices de
Transfert
Fonctions de
Green
Matrice de densité
Équation de Wigner
Fig. I-5 Vue des différents schémas de résolution de l’ES. L’ETW est obtenue en combinant l’ES à l’opérateur de
densité, comme montré au Chapitre II.
I.4.1
L’approche des fonctions de Green
Pour un opérateur linéaire donné ℒ, la FG 𝐺 associée est définie par l’équation suivante :
ℒ[𝐺(𝒙, 𝒙𝟎 )] = 𝛿(𝒙 − 𝒙𝟎 )
I-22
Dans cette écriture, 𝛿(𝒙) est le pic de Dirac. Ce formalisme peut s’appliquer à l’opérateur
hamiltonien ℋ, qui est bien linéaire, et il peut être utilisé pour calculer la réponse à une
perturbation à l’ES [BKL+97, FG97, KLB+95, LKBJ97].
Le formalisme des FG permet d’intégrer aisément des conditions aux limites dans l’ES.
Par exemple, pour une structure 1D avec un émetteur et un collecteur, la FG associée à
l’opérateur hamiltonien est :
𝐺(𝐸) = [𝐸𝑰 − 𝑯 − 𝜮𝒆 − 𝜮𝒄 ]−1
I-23
𝑰 est ici la matrice d’identité et 𝑯 celle associée à l’opérateur hamiltonien ℋ. Les termes
𝚺𝐞 et 𝚺𝐜 sont des perturbations liées à la propagation d’ondes planes dans les deux contacts.
La charge peut ensuite se calculer à partir de l’intégrale de la FG pondérée par une fonction
de distribution donnée.
I.4.2
L’approche de l’équation de transport de Wigner
L’ETW est une équation qui a été dérivée par Wigner en 1932 à partir de l’ES [Wig32]. Sa
résolution donne la FW, qui est une quasi-distribution des porteurs d’onde (la désignation
« quasi » provient du fait que, au contraire d’une fonction de distribution, la FW peut
prendre des valeurs négatives).
Les premières études de l’ETW étaient principalement à caractère déterministe. Ravaioli,
Kluksdahl et al. ont réalisé en premier des simulations numériques, en appliquant l’ETW à
des paquets de fonctions d’onde avec une distribution Gaussienne [KPUK87, ROP+85]. Les
mêmes auteurs ont ensuite appliquée l’ETW à une DTR, en calculant des caractéristiques
courant-tension ; ils ont observé une bonne cohérence avec celles obtenues par la formule
de Tsu et Esaki [KKF88, KKF89, KKFR88, KKFR89a, KKFR89b, KKRF88, KPRF86].
Frensley a ensuite développé l’approche de l’ETW en l’appliquant à une structure 1D
(une DTR). Il a présenté la méthode de discrétisation par un système linéaire, en distinguant
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I Les modèles de transport selon les approches classique et quantique
les termes de dérive, diffusion et des interactions, en régime stationnaire et transitoire
[Fre86a, Fre86b, Fre87, Fre88a, Fre88b, Fre89]. Il a par ailleurs défini les conditions aux
limites pour l’ETW 1D, en appliquant une Distribution de Fermi-Dirac (DFD) La discrétisation
de Frensley a été largement utilisée dans ce travail, et elle est présentée plus en détail dans
le Chapitre II.
Buot, Jensen, Ganguly et al. ont ensuite continué ces approches en développant la
discrétisation de l’ETW à des ordres plus élevés [BJ90, BJ91a, BJ91b, JB89, JB90a, JB90b,
JB91a, JB91b, JG92, JG93a, JG93b]. L’application reste celle de la DTR, en résolution autocohérente ; les modèles sont initialement validées par des caractéristiques courant-tension
issues de la formule de Tsu et Esaki.
Tsuchiya et al. explorent une implémentation avec une masse effective variable
[TOM91a, TOM91b, TOM92], qui est ensuite reprise par Gullapalli et al. [GMN93, GMN94,
GN94]. Miller and Neikirk se penchent sur l’application de l’ETW dans des simulations multibande [MN91]. Wu et Wu ajoutent l’effet d’un champ magnétique [WW92], alors que Zhou
expore une impélementation qui utilise les moments de l’ETW [ZF92].
Biegel et al. résument et comparent les différents modèles de discrétisation de l’ETW en
résolution déterministe en les appliquant à la simulation auto-cohérente d’une DTR [Bie97,
BP96]. Yamada et al. appliquent l’ETW dans l’étude d’un guide de fonctions d’onde et dans
un transistor sur nanofil de silicium, en appliquant un schéma de différentiation jusqu’au
troisième ordre, et en validant la simulation par une comparaison avec les solveurs de
Boltzmann et Green [YT08, YTO09]. Kefi-Ferhane et al. étudient une implémentation mixte
de l’ETW et de l’ES dans un transistor MOS 2D : l’ES est utilisée pour calculer les niveaux
d’énergie dans la direction de l’empilement de grille, alors que l’ETW est appliquée à partir
de ces niveaux dans la direction du transport suivant l’axe source-drain [KFP08].
Les approches plus récentes à la résolution de l’ETW ont principalement utilisé
l’approche de Monte-Carlo. Les contributions les plus significatives proviennent de trois
groupes de travail. En observant l’analogie entre l’ETW et l’ETB semi-classique, Jacoboni et
al. reprennent l’analogie entre l’ETW et l’ETB semi-classique introduisent les phénomènes
des interactions électron-phonon dans des structures mesoscopiques [JAB+98, JBBB01,
JBBG02] ; Bordone et al. [BBBJ03, BBJ02] et Demeio et al. [DBB+02, DBJ04] reprennent ces
études en introduisant dans les simulations la non-parabolicité des bandes et en distinguant
entre les phonons optiques et inter-vallés.
Nedjalkov, Sverdlov et al. développent une approche stochastique de l’ETW et
présentent des simulations qui mettent en évidence les phénomènes de tunneling dans des
structure de taille inférieure à 10 nm. Il simulent notamment des transistors MOS à double
grille, ainsi que des empilements de couches N-I-N. Les intéractions entre porteurs et
phonons sont encore une fois modélisées [NDB+97, NDRJ96, NKKS02, NKS03, NKUS04,
NKV08, NV08, NVAP07, SBH+09, SGKS05, SGKS06, SUHS08].
Finalement, Querlioz et al. présentent aussi des simulations de transistors MOS à
l’échelle nanométrique, en observant les effets de transport tunnel source-drain, et en
effectuant des comparaisons avec la résolution semi-classique et les FG hors équilibre
[DQSM+08, NQGR+09, NRQ+09, QDD+06, QSMD+06a, QSMD+06b, QSMD+08, QSMD09,
QSMH+07].
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I Les modèles de transport selon les approches classique et quantique
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II
Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de
Wigner
Alors que le Chapitre I présente de façon générale les différentes approches à la
simulation du transport classique et quantique, ce chapitre illustre en détail l’application de
l’Équation de Transport de Wigner (ETW). La section §II.1 explique la dérivation de l’ETW à
partir de l’Équation de Schrödinger (ES) et de la Matrice de Densité (MD). Cette dérivation
est montrée d’abord dans le cas général 3D. Ensuite, l’ETW est comparée terme par terme à
l’Équation de Transport de Boltzmann (ETB), qui est son équivalent pour le transport
classique. Finalement, les équations obtenues sont retranscrites dans le cas particulier d’un
dispositif 1D.
Les sections §II.2 à §II.5 décrivent les techniques de discrétisation de l’ETW qui sont
étudiées dans la littérature, en régime stationnaire ou transitoire et en résolution autocohérente ou pas. Une partie de ces techniques a été implémentée dans le cadre de ce
travail dans un solveur de l’ETW dont l’application est montrée au Chapitre III. Les schémas
qui n’ont pas été implémentés sont indiqués explicitement.
La section §II.3 décrit les notations utilisées dans la suite du chapitre, ainsi que la
définition des maillages pour la discrétisation de l’ETW, les conditions aux limites imposées
au système et les schémas de calcul numérique de la charge et du courant à partir de la
Fonction de Wigner (FW). La section §II.3 rentre dans le détail de la discrétisation de l’ETW
terme par terme, en régime stationnaire. Cette section présente aussi des considérations
concernant les ressources en espace mémoire nécessaires au calcul numérique de l’ETW en
fonction des densités de maillage, notamment en comparaison avec l’ETB. La section §II.4
traite la discrétisation en régime transitoire. La section §II.5 aborde finalement le couplage
de l’ETW avec l’équation de Poisson pour une résolution auto-cohérente.
II.1
Dérivation de l’équation de transport de Wigner
II.1.1
Cas général pour un dispositif 3D
Le point de départ de la dérivation mathématique de l’ETW est la matrice de densité ;
cette matrice caractérise la distribution des porteurs et s’obtient en appliquant un opérateur
de densité à la fonction d’onde. Pour un vecteur d’état |𝜓⟩ = ∑𝑖 𝑎𝑖 |𝑢𝑖 ⟩ exprimé dans une
base {|𝑢𝑖 ⟩}, l’opérateur de densité a la forme générale :
𝜌 = |𝜓⟩⟨𝜓| = � 𝑎𝑖∗ 𝑎𝑗 |𝑢𝑖 ⟩⟨𝑢𝑗 �
𝑖,𝑗
II-1
Ici, les états correspondent aux fonctions d’onde 𝜓 = 𝜓(𝒙, 𝒌, 𝑡), ou 𝒙 est la position dans
l’espace réel, 𝒌 est celle dans l’espace réciproque et t indique le temps ; les coefficients de
pondération 𝑎𝑖 = 𝑎(𝒌) sont donnés par une Distribution de Fermi-Dirac (DFD). La Matrice
de Densité (MD) 𝜌(𝒓, 𝒔, 𝑡) est donc un opérateur de corrélation appliqué à la fonction d’onde
sur des couples de points (𝒓, 𝒔) dans l’espace réel. La première étape de la dérivation de
l’ETW consiste à appliquer un opérateur hamiltonien (cf. Eq. I-21) à la MD [Jün09] :
𝜕𝜌(𝒓, 𝒔, 𝑡)
ℏ²
II-2
(∆ 𝜌 − ∆𝒔 𝜌)(𝒓, 𝒔, 𝑡) + [𝑈(𝒓, 𝑡) − 𝑈(𝒔, 𝑡)] 𝜌(𝒓, 𝒔, 𝑡)
𝐼ℏ
=−
𝜕𝑡
2𝑚∗ 𝒓
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27
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
ℏ est la constante de Planck réduite ; 𝑚∗ la masse effective des porteurs, 𝑈(𝒙, 𝑡) le
potentiel et 𝐼 la racine carrée de -1. Le changement de variable suivant est ensuite appliqué :
𝑢 = 𝑢(𝒙, 𝒚, 𝑡) = 𝜌(𝒓, 𝒔, 𝑡)
𝒓+𝒔
𝒙=
; 𝒚=𝒓−𝒔
II-3
2
𝒙+𝒚
𝒙−𝒚
𝒓=
; 𝒔=
2
2
La relation suivante est donc vérifiée :
div𝒚 (∇𝒙 𝑢)(𝒙, 𝒚, 𝑡) =
1
(∆ 𝜌 − ∆𝒔 𝜌)(𝒓, 𝒔, 𝑡)
2 𝒓
II-4
Eq. II-2 se réécrit alors :
𝜕
ℏ
𝐼
𝒚
𝒚
𝑢 − 𝐼 ∗ div𝒚 (∇𝒙 𝑢) + �𝑈 �𝒙 + , 𝑡� − 𝑈 �𝒙 − , 𝑡�� 𝑢 = 0
𝜕𝑡
𝑚
ℏ
2
2
II-5
Cette formule prend le nom d’Équation de Transport de Liouville-Neumann (ETLN).
L’étape suivante dans la dérivation de l’ETW consiste à transformer la variable 𝒚, qui
représente l’espace réel, en une variable vecteur d’onde 𝒌 qui représente l’espace
réciproque. Cette opération s’effectue en appliquant une Transformée de Fourier (TF) à
Eq. II-5. La définition de la TF est parfois ambigüe et peut varier suivant l’ouvrage de
référence, notamment en ce qui concerne la répartition de la constante de proportionnalité
1/2𝜋 entre la transformée directe et son inverse. Dans la suite, ces deux opérations sont
définies comme suit :
Transformée directe :
Transformée inverse :
𝑓(𝒕) → 𝐹(𝝎) = ∫𝑁 𝑒 −𝐼𝝎𝒕 𝑓(𝒕)𝑑𝒕
1
𝑁
𝐹(𝝎) → 𝑓(𝒕) = �2𝜋� ∫𝑁 𝑒 𝐼𝝎𝒕 𝐹(𝝎)𝑑𝝎
II-6
Dans cette écriture, 𝒕 et 𝝎 sont des variables vectorielles génériques de même
dimension 𝑁, qui représentent les espaces vectoriels où sont définies la fonction de base
𝑓(𝒕) et sa transformée 𝐹(𝝎). La TF trouve des applications très vastes dans le traitement du
signal [Smi97], ce qui explique pourquoi une grande partie de la terminologie sur cette
transformée provient de ce domaine spécifique. Dans ces applications, la fonction de base
𝑓(𝑡) est le signal même, 𝑡 étant la variable temps. La TF 𝐹(𝜔) est le spectre en fréquence de
ce signal, 𝜔 étant une pulsation. Par analogie, l’espace 𝒕 est appelé le domaine temporel,
alors que 𝝎 est appelé le domaine fréquentiel.
Dans le cas de l’ETW, le domaine temporel correspond à l’espace réel et le domaine
fréquentiel à l’espace réciproque. L’application d’une TF à la MD donne la FW :
∞
∞
𝒚
𝒚
𝑓𝑊 (𝒙, 𝒌, 𝑡) = � 𝑒 −𝐼𝒌𝒚 𝑢(𝒙, 𝒚, 𝑡)𝑑𝒚 = � 𝑒 −𝐼𝒌𝒚 𝜌 �𝒙 + , 𝒙 − , 𝑡� 𝑑𝒚
2
2
−∞
−∞
∞
1 3
𝑢(𝒙, 𝒚, 𝑡) = � � � 𝑒 𝐼𝒌𝒚 𝑓𝑊 (𝒙, 𝒌, 𝑡) 𝑑𝒌
2𝜋
−∞
II-7
Dans cette écriture, 𝑓𝑊 (𝒙, 𝒌, 𝑡) désigne la FW. L’application de la TF au deuxième terme
de l’ETLN donne, en passant par une intégration par parties [Jün09] :
∞
∞
ℏ
ℏ𝑘
−𝐼 ∗ � 𝑒 −𝐼𝒌𝒚 �div𝒚 (∇𝒙 𝑢)� 𝑑𝒚 = ∗ ∇𝒙 �� 𝑒 −𝐼𝒌𝒚 𝑢 𝑑𝒚�
II-8
𝑚
𝑚
−∞
−∞
28
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
Pour ce qui est du troisième terme, en posant :
𝒚
𝒚
∆𝑈(𝒙, 𝒚, 𝑡) = 𝑈 �𝒙 + , 𝑡� − 𝑈 �𝒙 − , 𝑡�
2
2
II-9
il devient, après application de la TF [Jün09] :
∞
𝐼
� 𝑒 −𝐼𝒌𝒚 ∆𝑈 𝑢 𝑑𝒚
ℏ −∞
∞
∞
𝐼
1
′
−𝐼𝒌𝒚
= � 𝑒
∆𝑈 �
� 𝑒 𝐼𝒌 𝒚 𝑓𝑊 (𝒙, 𝒌′, 𝑡) 𝑑𝒌′� 𝑑𝒚
ℏ −∞
2𝜋
−∞
∞
∞
𝐼
′
=
� � � 𝑒 −𝐼�𝒌−𝒌 �𝒚 ∆𝑈 𝑑𝒚� 𝑓𝑊 (𝒙, 𝒌′, 𝑡) 𝑑𝒌′
2𝜋ℏ −∞
−∞
Finalement, en regroupant les termes, l’ETLN est transformé en l’ETW :
𝜕𝑓𝑊
�
�
=
𝜕𝑡 Interactions
∞
𝑖
ℏ𝒌 𝜕𝑓𝑊
(𝒙, 𝒌, 𝑡)
=
� [𝛿𝑈(𝒙, 𝒌 − 𝒌′ , 𝑡)𝑓𝑊 (𝒙, 𝒌′ , 𝑡)]𝑑𝒌′ + ∗
�������
��
𝜕𝑥
2𝜋ℏ
𝑚 ��
�����������������������������
−∞
+
𝜕𝑓𝑊
(𝒙, 𝒌, 𝑡)
��
𝜕𝑡�������
Terme de Dérive
Terme de Diffusion
II-10
II-11
Terme Transitoire
Le terme 𝛿𝑈(𝒙, 𝒚) est appelé le potentiel non local, et il représente la TF de la différence
de potentiel aux points (𝒓, 𝒔), et il est donné par :
∞
𝛿𝑈(𝒙, 𝒌, 𝑡) = � 𝑒 −𝐼𝒌𝒚 ∆𝑈(𝒙, 𝒚, 𝑡) 𝑑𝒚
−∞
II-12
Par comparaison avec Eq. II-5, Eq. I-11 introduit un terme supplémentaire qui décrit la les
interactions affectant les porteurs. La FW est finalement donnée par la solution de l’ETW.
Étant donné la relation entre l’ETW et l’ETLN, la FW peut aussi se calculer en appliquant une
TF à la MD :
∞
𝒚
𝒚
𝑓𝑊 (𝒙, 𝒌, 𝑡) = � 𝑒 −𝐼𝒌𝒚 𝜌 �𝒙 + , 𝒙 − , 𝑡� 𝑑𝒚
II-13
2
2
−∞
La charge 𝑐 et le courant 𝑱 à un endroit donné sont proportionnels aux moments d’ordre
0 et 1 de la FW par rapport au vecteur d’onde :
∞
1 3
𝑐(𝒙) = � � � 𝑓𝑊 (𝒙, 𝒌) 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 𝑑𝑘𝑧
2𝜋
−∞
∞
1 3 𝑞ℏ
𝑱(𝒙) = � � ∗ � 𝒌 𝑓𝑊 (𝒙, 𝒌) 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 𝑑𝑘𝑧
2𝜋 𝑚
−∞
II-14
Dans cette écriture, 𝑞 est la valeur de la charge élementaire. Les termes 1⁄2𝜋 sont
élevés au cube puisque l’intégration est effectuée sur les trois axes du vecteur d’onde.
II.1.2
Le terme des interactions
Le terme des interactions représente la somme des interactions qui peuvent affecter les
porteurs. Dans sa forme la plus simple, il est approximé par un temps de relaxation 𝜏 qui
indique la durée moyenne d’une interaction [Jün09] :
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29
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
𝜕𝑓𝑊
1 𝑐
�
�
= � 𝑓𝑊,0 − 𝑓𝑊 �
𝜕𝑡 Interactions 𝜏 𝑐0
II-15
Dans cette expression, 𝑓𝑊,0 et 𝑐0 indiquent respectivement la FW et la charge à
l’équilibre sans interactions, 𝑓𝑊 et 𝑐 avec interactions. L’approximation de Fokker-Planck
peut aussi être utilisée en simulation numérique :
𝜕𝑓𝑊
1
𝑚∗ 𝑘𝐵 𝑇
�
�
= div𝒌 �
∇𝒌 𝑓𝑊 − 𝒌𝑓𝑊 �
II-16
𝜕𝑡 Interactions 𝜏
ℏ²
Les solveurs de Wigner étudiés dans la littérature utilisent principalement ces deux
approximations.
II.1.3
Comparaison avec l’équation de transport de Boltzmann
Tout comme l’ETB (cf Eq. I-8), l’ETW est composée de quatre termes distincts. Par
analogie avec l’ETB, ils sont désignés ici le terme transitoire, de dérive, de diffusion et les
interactions. Le terme transitoire traduit la variation des fonctions d’onde dans le temps et
est nul en régime stationnaire. Le terme de diffusion est identique à son équivalent dans
l’ETB, et traduit le gradient de la densité des porteurs dans la structure. Le terme de dérive
est appelé ainsi puisqu’il traduit le mouvement des porteurs dû au champ électrique ; dans
le cas de l’ETB, il s’agit d’un terme différentiel, alors qu’il est de type intégral dans l’ETW.
Dans les sections qui suivent, il est montré que la présence de ce terme représente une
difficulté de poids dans la discrétisation et dans la résolution de l’ETW.
Pour ce qui est du terme des interactions, le schéma de discrétisation est le même si les
approximations du temps de relaxation ou de Fokker-Planck sont utilisées. Cependant, à
partir du moment où les mécanismes de collision (électron-électron, électron-phonon etc.)
sont modélisés séparément, les termes des interactions dans les deux équations peuvent
prendre des formes différentes. En effet, certains modèles valables dans une approche de
type classique (par exemple, les interactions élastiques entre porteurs – cf. Eq. I-10) doivent
être réécrits dans l’approche quantique, où les porteurs ne peuvent plus être vus comme
des particules.
Comme la FB, la FW est une distribution à valeurs réelles. De plus, les formules pour le
calcul de la charge et du courant sont les mêmes pour les deux fonctions. Cependant, il est
important de remarquer que, alors que la FB et toujours positive, la FW peut prendre des
valeurs négatives. Cet aspect sera examiné plus en détail dans l’étude des profils de charge
issus d’un solveur de Wigner, au Chapitre III.
II.1.4
Cas d’une structure 1D
Les équations générales de la MD, de l’ETLN et de l’ETW établies précédemment sont
retranscrites ici pour le cas spécifique d’une structure 1D à symétrie cylindrique suivant un
axe 𝑥. Les contacts de cette structure sont désignés l’émetteur et le collecteur. Les éléments
de la base {|𝑢𝑖 ⟩} (cf Eq. II-1) peuvent être assimilés à des ondes planes de la forme :
II-17
𝑢𝑖 = 𝑢(𝑘) = 𝑒 𝐼𝑘𝑥
Leurs coefficients de pondération 𝑎𝑖 sont alors donnés par une Distribution de FermiDirac (DFF) intégrée par rapport aux moments transverses :
30
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
𝑓FD �𝐸(𝑘)� = ln �1 + exp �−
𝐸(𝑘) − 𝐸𝐹
��
𝑘𝐵 𝑇
ℏ²𝑘²
𝐸(𝑘) =
∗
2𝑚Contact
II-18
𝐸𝐹 désigne le niveau de Fermi, 𝑘𝐵 la constante de Boltzmann et 𝑇 la température
absolue ; la formule qui donne l’énergie 𝐸(𝑘) suppose une bande de conduction
parabolique. La matrice de densité s’écrit alors :
∗
2𝑚Émetteur
𝑘𝐵 𝑇 ∞
������𝑓FD �𝐸(𝑘)�𝑑𝑘
𝜌(𝑟, 𝑠) =
� 𝜓(𝑟)𝜓(𝑠)
ℎ2
0
II-19
∗
2𝑚Collecteur
𝑘𝐵 𝑇 0
������
+
� 𝜓(𝑟)𝜓(𝑠)𝑓FD �𝐸(𝑘)�𝑑𝑘
ℎ2
−∞
ℎ est la constante de Planck non-réduite. Le premier terme intégral représente les
fonctions d’onde incidentes du côté du contact émetteur, avec un vecteur d’onde positif,
alors que le deuxième représente les fonctions incidentes du côté du collecteur, avec un
vecteur d’onde négatif.
Fig. II-1 montre l’effet du changement de variable de (𝑟, 𝑠) à (𝑥, 𝑦) lors de la dérivation
de l’ETLN. Cette figure est construite pour un dispositif de longueur 𝑙 𝑇 ; la plage de variation
des points 𝑟 et 𝑠 qui se trouvent à l’intérieur du dispositif varie donc de 0 à 𝑙 𝑇 , et le domaine
des couples de ces valeurs (𝑟, 𝑠) correspond au carré de côté 𝑙 𝑇 en couleur foncée. Après
changement de variable, ce domaine et transformé en le losange en couleur claire, dont les
diagonales sont parallèles aux axes 𝑥, 𝑦. Pour 𝑟 et 𝑠 variant entre 0 et 𝑙 𝑇 , 𝑥 présente la
même plage de variation, alors que 𝑦 va de −𝑙 𝑇 à 𝑙 𝑇 . Lors du maillage des axes 𝑥 et 𝑦 sur ces
plages de valeurs, la surface effectivement maillée dépasse les frontières du losange, et donc
du dispositif, en rajoutant quatre surfaces triangulaires. Comme indiquée dans la figure,
dans ces régions, soit la variable 𝑟, soit la variable 𝑠, soit les deux, débordent soit dans le
contact émetteur, soit dans le contact collecteur. Le potentiel utilisé dans le calcul du terme
non-local est alors supposé constant dans les contacts [Fre87].
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31
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
s
3
x
lT
4
lT
-lT
lT
r
O
2
1
lT
y
Fig. II-1 Illustration graphique de l’effet du changement de variable lors de la dérivation de l’ETLN. Le carré en
gris clair représente les couples de points (r, s) qui se trouvent à l’intérieur d’un dispositif de longueur lT. Le
losange en gris foncé représente le domaine transformé après changement de variable. Le domaine carré original
et le losange ont la même surface. Le rectangle en trait montre l’extension du domaine effectivement maillé
lorsque le maillage x s’étend de 0 à lT et le maillage y de – lT à lT. Les surfaces ajoutés représentent des couples de
points : (1) r à l’intérieur de la structure, s < 0 ; (2) r > lT, s à l’intérieur ; (3) r à l’intérieur, s > lT et (4) r < 0, s à
l’intérieur.
L’équation de Liouville-Neumann est donnée par :
ℏ
m
− m ∗ div– =∇8 ? + ™ š + › −
ℏ
2
La fonction ∆ = , ? est donnée par :
∆ = , ?=
š + ›−
2
š − ›œ = 0
2
š − ›
2
II-20
II-21
L’ETW est similaire à son équivalent en 3D, les intégrales triples étant remplacés par des
intégrales simples. Puisque la FW est à valeurs réelles, et que la fonction ∆ = , ? est
impaire en le terme exponentiel dans le potentiel non-local peut être simplifié par une
fonction sinus par symétrie.
¨
1
ℏ
!
=
F [ = , − \? G \ + ∗
+
2Dℏ z¨
Interactions
¨
[ = , ? = 2 F sin=
b
? ∆ = , ?G La charge et le courant sont donnés par :
1 ¨
= , ?G A= ? =
F
2D z¨
¨
ℏ
¸= ? =
F = , ?G 2D ∗ z¨
32
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II-22
II-23
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
II.2
Considérations préliminaires
Cette section et les suivantes montrent la discrétisation de l’ETW et son application dans
le solveur étudié au Chapitre III. Le cas traité ici est limité à une structure 1D avec application
d’un schéma à différences finies. Les règles de discrétisation indiquées peuvent cependant
être aisément appliquées à une structure à deux ou trois dimensions. Dans une première
partie, seul le régime stationnaire est considéré. Une deuxième partie développe les
techniques de solution en régime transitoire. La dernière partie traite de l’introduction de
l’auto-cohérence dans un solveur de Wigner, avec le couplage avec l’équation de Poisson.
La solution de l’équation en régime stationnaire pose le problème de la discrétisation des
termes de dérive, de diffusion et des collisions. À priori, la discrétisation de l’ETW se révèle
plus complexe que celle de son équivalent classique, l’ETB, pour deux raisons. La première
concerne la nature intégrale du terme de dérive dans l’ETW : en effet, ce terme est une
intégrale double, dans l’espace réel 𝑦 et dans l’espace réciproque 𝑘, alors qu’il s’agit d’un
terme différentiel dans l’ETB. On montrera dans cette section que la discrétisation des
intégrales impose des contraintes plus importantes en termes d’espace mémoire et temps
de calcul. La deuxième raison est que le terme de dérive contient une transformée discrète
de Fourier, ce qui impose des conditions particulières au niveau du maillage dans les espaces
réel et réciproque.
II.2.1
Niveaux d’énergie dans une structure typique
Fig. II-2 montre le profil de la bande de conduction d’une Diode à Tunnel Résonnante
(DTR), qui est un exemple de structure 1D de longueur 𝐿 avec une barrière double. Le cas le
plus général est présenté : les masses effectives, les permittivités et les dopages des
matériaux sont supposées différentes au niveau des contacts. Le dispositif est supposé
polarisé par un potentiel 𝑉𝐵 négatif. Les niveaux de Fermi dans les contacts sont supposés
dégénérés ; ils sont calculés en supposant l’ionisation totale des dopants. Par exemple, pour
des contacts de type N+ avec un dopage 𝑁𝐷 , le niveau de Fermi est calculé en résolvant
numériquement l’équation suivante [Sze81] :
2
𝐸 − 𝐸𝐹
𝑛 ≈ 𝑁𝐷 =
𝑁𝐶 𝐹1 �−
�
𝑘𝐵 𝑇
2
√𝜋
3
∗
2𝜋𝑚Contact
𝑘𝐵 𝑇 2
𝑁𝐶 = 2 �
�
ℎ²
II-24
𝐹1⁄2 (𝜂) est l’intégrale de Fermi d’ordre ½ ; cette intégrale, ainsi que son inverse sont
évaluées numériquement en utilisant la librairie numérique GSL (GNU Scientific Library [gsl]).
Le décalage entre les niveaux de Fermi aux contacts est égal à la polarisation. Lorsque le
maillage 𝑦 est prolongé outre les contacts, la hauteur des niveaux de Fermi et de la bande de
conduction est supposée constante.
Comme montré au Chapitre III (cf. §III.1.1), il est nécessaire d’ajouter à cette
configuration de base des régions de buffer à faible dopage, intercalées entre les contacts et
les barrières.
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33
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
Énergie potentielle
EF, Émetteur
E
qVB
EF, Collecteur
ΔECollecteur
1
2
3
4
5
x
Fig. II-2 DTR simulé par application de l’ETD. La structure est constituée de deux régions de contact (1) et (5)
+
dopées N , avec des concentrations de dopants et des masses effectives à priori différentes ; deux barrières
(2) et (4) et un puits (3) avec un faible dopage N. À chaque contact, le décalage ΔE entre la bande de
conduction et le niveau de Fermi est calculé à partir de Eq. II-24. La polarisation appliquée est VB < 0 et
correspond au décalage entre les niveaux de Fermi aux contacts.
II.2.2
Maillage
Trois espaces sont à priori à mailler lors de la discrétisation de l’ETW : les variables 𝑥 et
𝑘, qui constituent le domaine de définition de la FW et apparaissent dans la totalité de
l’équation, et la variable 𝑦, qui intervient uniquement au niveau du potentiel non local dans
le terme de dérive. On désigne par 𝑁𝑥 , 𝑁𝑦 et 𝑁𝑘 les densités respectives de ces trois
maillages.
Puisque 𝑥 et 𝑦 appartiennent à l’espace réel, il est raisonnable d’imposer que ces deux
maillages partagent les mêmes nœuds. Cependant, la variable 𝑦 est réduite d’un facteur 2
par rapport à 𝑥 dans Eq. II-3 et II-11. Pour que les nœuds de la variable réduite 𝑦’ = 𝑦⁄2
coïncident avec le maillage de l’espace réel 𝑥, il faut alors imposer la condition suivante
[Fre87] :
Δ𝑦 = 2Δ𝑥
II-25
Il faut remarquer que les domaines de maillage des variables 𝑥 et 𝑦 ne coïncident pas
nécessairement : le maillage 𝑥 est limité à la structure, alors que le maillage 𝑦 peut s’étendre
au delà des contacts émetteur et collecteur. Une condition supplémentaire est à appliquer si
le maillage est défini suivant le schéma de Fig. II-1. Dans ce schéma, l’étendue du maillage 𝑦
va de −𝑙 𝑇 à 𝑙 𝑇 , où 𝑙 𝑇 est la longueur de la structure. La condition à appliquer est :
𝑁𝑦 = 𝑁𝑥
II-26
Cette condition est appliquée dans les premières simulations décrites au Chapitre III,
mais elle est ensuite écartée lorsque il est observé que sont application peut amplifier les
effets d’aliasing de la TF avec certains profils de potentiel.
Pour ce qui est du maillage des vecteurs d’onde, il est tout d’abord imposé symétrique
par rapport à la coordonnée 𝑘 = 0. Ceci permet de distinguer les fonctions d’onde
incidentes dans la structure, avec un vecteur positif, des ondes réfléchies, avec un vecteur
négatif. Une autre condition sur le maillage des vecteurs d’onde concerne le passage d’une
TF continue à une transformée discrète dans le calcul du potentiel non-local du terme de
dérive. Une transformée de Fourier est dite « continue » lorsque ses domaines temporel et
fréquentiel sont les deux continus. Lorsque les deux domaines sont discrétisés, la TF est alors
dite « discrète » (si le domaine temporel seulement est discrétisé, la désignation est
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
« transformée discrète temporelle », alors que si c’est le domaine fréquentiel, la désignation
est « série de Fourier ») [Smi97].
La discrétisation (ou échantillonnage) d’une fonction dans le domaine temporel cause la
répétition périodique de sa transformée dans le domaine fréquentiel (cf. Fig. II-3). La partie
réelle du spectre de fréquence est symétrique par rapport à l’origine, et la partie imaginaire
est antisymétrique. De ce fait, une demi-période suffit à reconstruire le spectre entier. En
partant de l’origine, la fréquence qui correspond à la moitié de la première période est
appelée la fréquence de Nyquist, et est égale à la moitie de la fréquence d’échantillonnage.
(b)
f(t)
|F(ω)|
(a)
0
0
t
ω
∆t
0
(d)
|F(ω)|
f(t)
(c)
t
ω
Max
0
ω
Fig. II-3 Illustration entre la TF continue (a), (b) et la TF discrète (c), (d). Dans le premier cas, un signal continu
apériodique (a) est transformé en son spectre en fréquence, qui est aussi continu et apériodique (b). Le signal
utilisé dans l’exemple est une gaussienne, et une propriété de la TF est que le spectre en valeur absolue est
aussi une gaussienne. Dans le deuxième cas, un signal (c) est échantillonné, avec un temps d’échantillonnage
Δt. Son spectre (d), qui est aussi discrétisé, se répète à des intervalles réguliers, avec une demi-période égale à
la pulsation de Nyquist ωN = π / Δt, ou Δt est le temps d’échantillonnage. La relation entre la pulsation ω et la
fréquence f est ω = 2πf
Le théorème de Shannon affirme qu’un signal échantillonné ne peut contenir que des
fréquences inférieures à la fréquence de Nyquist : si le signal non échantillonné contient des
fréquences supérieures, celles-ci tombent en effet en dehors de la période centrée sur
l’origine et à l’intérieur des périodes suivantes ; à cause de la périodicité dans le domaine
fréquentiel, ces fréquences réapparaissent alors dans la première période mais elles sont
représentées comme des fréquences plus faibles (cf. Fig. II-4 et Fig. II-5). Ce phénomène
prend le nom d’aliasing. Dans le cas d’une TF discrète, le domaine fréquentiel est aussi
discrétisé, et le problème d’aliasing se pose aussi dans le domaine temporel. Pour éviter ce
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35
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
phénomène, il devient alors nécessaire de mailler les domaines temporel et fréquentiel de
façon interdépendante [Smi97].
(a)
|F(ω)|
ω
ω
2
1
0
ω
Spectre TF
discrète
Aliasing
petit
Spectre TF
continue
2
Spectre TF
continue
ω
0
1
(c)
Spectre TF
discrète
|F(ω)|
|F(ω)|
(b)
ω
1
ω
ω
2
3
0
1
ω
2
ω
Fig. II-4 Exemple du phénomène d’aliasing dans le spectre en fréquence F(ω) d’un signal. (a) montre le spectre
en fréquence apériodique obtenu par une TF continue. Le signal est ensuite échantillonné à deux taux
différents, résultant en deux fréquences de Nyquist ω1 et ω2, avec ω1 > ω2. (b) et (c) montrent les spectres
périodiques obtenus avec une TF discrète après échantillonnage, la période étant le double de la fréquence de
Nyquist. Dans le premier cas, ω1 est suffisamment grande pour que la superposition des spectres sur des
périodes consécutives soit négligeable. Les spectres obtenus par les TF continue et discrète sont alors très
similaires dans la période centrale. Dans le deuxième cas, on observe que le module du spectre apériodique
n’est pas négligeable à la fréquence ω2. Lorsqu’une TF discrète est appliquée, la partie du spectre au-delà de
cette fréquence se superpose alors à la période suivante, ce qui fait qu’elle réapparait au début de la première
période ; elle apparait aussi à l’autre extrémité de la même période par symétrie. Finalement, ces effets de
superposition rendent les spectres obtenus avec les TF continue et discrète très différents.
Signal
Échantiollons
Signal reconstruit
t
Fig. II-5 Exemple d’aliasing : un signal rapide est échantillonné avec un taux trop faible. Ainsi, le signal
reconstruit à partir des échantillons a une fréquence plus faible que le signal de départ. Finalement, toute
fréquence qui dépasse la fréquence de Nyquist est perdue dans le signal échantillonné ; de plus, la partie du
spectre qui dépasse la fréquence de Nyquist se superpose à celle aux fréquences plus faibles, et crée donc une
distorsion dans le signal reconstruit.
36
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
Dans la discrétisation de l’ETW, le domaine temporel correspond à l’espace réel 𝑦, le
domaine fréquentiel à l’espace des vecteurs d’onde 𝑘. 𝑦Max et 𝑘Max désignent
respectivement les demi-étendue des maillages, Δ𝑦 and Δ𝑘 les espacements entre nœuds.
Une première condition nécessaire à la discrétisation de la TF est que les nombres de nœuds
soient égaux :
𝑁𝑦 = 𝑁𝑘 = 𝑁
II-27
Les maillages sont définis par :
{𝑦𝑖 } = {−𝑦Max + 𝑖Δ𝑦}𝑖=0..𝑁−1
1
�𝑘𝑗 � = �−𝑘Max + 𝑗 �Δ𝑘 + ��
2 𝑗=0..𝑁−1
II-28
Dans la suite, les conventions suivantes seront utilisées pour les indexations des nœuds
des maillages et des éléments de la matrice de l’ETW discrétisée : premièrement, la base des
indices sera 0, comme montré en Eq. II-28 ; de plus, l’indice 𝑖 sera utilisé pour désigner les
maillages dans l’espace réel, et 𝑗 dans l’espace réciproque. Afin d’éviter l’aliasing, les
conditions suivantes doivent être appliquées au maillage [Fre87] :
Δ𝑦 = 𝜋⁄𝑘Max
II-29
Δ𝑘 = 𝜋⁄𝑦Max
𝑦Max et 𝑘Max représentent les fréquences de Nyquist dans les domaines temporel et
fréquentiel respectivement. Finalement, la relation entre les maillages 𝑥, 𝑦 et 𝑘 est :
2𝜋
Δ𝑦 = 2Δ𝑥 =
II-30
𝑁Δ𝑘
Fig. II-6 résume les propriétés du maillage [Bie97] :
i = 0 ; xi = 0
k
k>0
k<0


































































i = Nx-1 ; xi = lT














































































































































































j = Nk-1 ;
kj = kMax – Δk/2
j=0;
kj = -kMax + Δk/2
x
Fig. II-6 Maillage des espaces 1D réel (Nx nœuds) et réciproque (Nk nœuds). Chaque case correspond à un
nœud. Pour l’espace réel, seul le maillage en x est représenté. Le maillage s’étend aussi au-delà des contacts
émetteur et collecteur pour la variable y, qui apparait dans l’expression du potentiel non-local. Le maillage du
vecteur d’onde contient un nombre pair de nœuds symétriques par rapport à k = 0. Les cases marquées en
noir sont correspondent aux nœuds du maillage où la FW est imposée (cf. §II.2.3 pour les conditions aux
limites). Les flèches indiquent la direction de propagation des fonctions d’onde à travers la structure, ainsi que
la direction du schéma de discrétisation du terme de diffusion de l’ETW (cf. §II.3.4). lT désigne la longueur du
dispositif.
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37
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
II.2.3
Conditions aux limites
Dans la littérature, l’approché courante dans la simulation de l’ETW sur un système 1D
consiste à appliquer comme condition aux limites un profil égal à une DFD intégrée par
rapport aux moments transverses [Fre87] :
𝑚∗
𝑘𝐵 𝑇
II-31
𝑓𝑊 (𝑥Contact , 𝑘) = Émetteur
𝑓FD �𝐸(𝑘)�
2
𝜋ℎ
Dans cette formule 𝑓FD (𝑘) est donnée par Eq. II-18. Ce profil suppose que le dispositif
simulé ait des régions de contact suffisamment longues, où le potentiel est quasiment
constant, telles que dans la vue schématique de Fig. II-2. Ce profil peut être dérivé
analytiquement : en présence d’un potentiel constant 1D, les fonctions d’onde sont données
en tout point de la structure par 𝜓(𝑘) = 𝑒 𝐼𝑘𝑥 ; l’application de Eq. II-18 pour la MD, puis de
Eq. II-7 pour la WF donne alors Eq. II-31.
Ce profil est imposé uniquement sur la moitié de la plage des vecteurs d’onde,
notamment pour des vecteurs positifs au contact émetteur et négatifs au contact collecteur.
Cette condition est cohérente avec le schéma de discrétisation du terme de diffusion (cf.
§II.3.4) qui suit la direction des vecteurs d’onde.
Finalement, il est expliqué au Chapitre IV (cf. §IV.5) que, d’après les simulations
effectuées dans ce travail, cette condition est adéquate pour des dispositifs à barrière
simple, mains pas pour des simulations de structures à barrière double (DTR). Dans ce
dernier cas, il est en effet possible de constater l’apparition d’artefacts en forme de lobes qui
s’écartent du profil donné par Eq. II-31.
II.2.4
Calcul de la charge et du courant
Le calcul de la charge est abordé avant la discrétisation de l’ETW puisqu’il est nécessaire
lors de l’évaluation du terme des collisions. En utilisant une un schéma d’intégration
appliquant la règle des rectangles, la charge est donnée par [Fre87] :
𝑁𝑘 −1
Le courant est donné par :
∆𝑘
𝑐𝑖 =
� 𝑓𝑖,𝑗
2𝜋 ′
II-32
𝑗 =0
𝑁𝑘 −1
𝑞ℏ∆𝑘
𝐽𝑖 =
� 𝑘𝑗 𝑓𝑖,𝑗
2𝜋𝑚𝑖 ′
II-33
𝑗 =0
II.3
Discrétisation de l’équation de transport de Wigner
II.3.1
Aspect du système discrétisé en régime stationnaire
En régime stationnaire, l’ETW peut être écrite sous la forme :
𝑶(𝑓𝑊 ) = 𝑷 + 𝑲 + 𝑺 = 0
II-34
L’opérateur 𝑶(𝑓𝑊 ) regroupe les termes de dérive 𝑷, diffusion 𝑲 et les interactions 𝑺.
Cette équation est discrétisée par un système linéaire de la forme :
𝑨𝑿=𝑩
II-35
Les termes 𝑿 et 𝑩 sont des vecteurs colonnes de longueur 𝑁𝑥 𝑁𝑘 ; 𝑨 est donc une
matrice carrée creuse qui contient (𝑁𝑥 𝑁𝑘 )² termes. Le terme 𝑿 contient les valeurs de la FW
à tous les nœuds dans les espaces réel et réciproque. Comme le montre Eq. II-34, le terme 𝑩
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
est constitué principalement de zéros, avec 𝑁𝑘 termes non nuls partagés entre le premier et
le dernier nœud dans l’espace réel qui correspondent aux conditions aux limites (cf. §II.2.3
et §II.3.6).
II.3.2
Notations utilisés
Premièrement, pour des soucis de clarté, la FW, qui a été jusqu’ici indiquée par 𝑓𝑊 (𝑥, 𝑘),
notamment pour la distinguer de la fonction de Boltzmann, sera désignée dans la
discrétisation par 𝑓𝑖,𝑗 , où 𝑖 indique l’indice de l’espace réel et 𝑗 l’espace réciproque.
Comme le montre Fig. II-7, la résolution du système linéaire dans Eq. II-36 donne la FW
sous la forme d’un vecteur 𝑿 ; ce vecteur est constitué de la concaténation verticale de 𝑁𝑥
sous-vecteurs de dimension 𝑁𝑘 , chacun desquels contient la FW à un nœud donné dans
l’espace réel. Le vecteur 𝑿 est donc de la forme :
𝑓0,0
⎡
⎤
⋮
�
�
⎢
⎥
⎢ 𝑓0,𝑁𝑘−1 ⎥
⎥
𝑿 = �𝑥𝑖,𝑗 � = ⎢
⋮
II-36
⎢ 𝑓
⎥
𝑁𝑥 −1,0
⎢
⎥
⋮
�
�⎥
⎢
⎣ 𝑓𝑁𝑥 −1,𝑁𝑘−1 ⎦
Les éléments de 𝑿 sont identifiés par une notation à double indice qui reprend celle
utilisée pour 𝑓𝑖,𝑗 . La même notation est utilisée pour le vecteur colonne 𝑩, ainsi que pour 𝑷,
𝑲 et 𝑺. La matrice 𝑨 peut être vue comme un ensemble de 𝑁𝑥 bandes horizontales et
verticales de largeur 𝑁𝑘 , chacune correspondant à un nœud dans l’espace réel (cf. Fig. II-7,
qui montre la matrice 𝑨 pour une structure avec 𝑁𝑥 = 𝑁𝑘 = 4) :
𝑎(0,0),(𝑁𝑥 −1,𝑁𝑘−1)
𝑎(0,0),(0,0)
⎡
⎤
⋮
⋮
�
�
…
�
�
⎢ 𝑎
𝑎(0,𝑁𝑘−1),(𝑁𝑥 −1,𝑁𝑘−1) ⎥
(0,𝑁𝑘 −1),(0,0)
⎢
⎥
𝑨 = �𝑎(𝑖,𝑗),�𝑖 ′ ,𝑗′ � � = ⎢
⋮
⋱
⋮
II-37
𝑎(𝑁𝑥 −1,0),(0,0)
𝑎(𝑁𝑥 −1,0),(𝑁𝑥 −1,𝑁𝑘−1) ⎥
⎢
⎥
⋮
⋮
� … �
�⎥
⎢�
𝑎(𝑁𝑥 −1,𝑁𝑘−1),(𝑁𝑥 −1,𝑁𝑘−1) ⎦
⎣ 𝑎(𝑁𝑥 −1,𝑁𝑘−1),(0,0)
Les coefficients de 𝑨 sont identifiés par une notation à indice quadruple, où chaque
couple reprend la notation utilisée pour 𝑿. Le première couple désigne la ligne, le deuxième
la colonne. Eq. II-35 peut donc être réécrite sous la forme :
�𝑏𝑖,𝑗 � = �
𝒊′ ,𝒋′
�𝑎(𝑖,𝑗),�𝑖 ′ ,𝑗′ � � �𝑥𝑖 ′ ,𝑗′ �
II-38
Dans la suite, la partie gauche 𝑨 𝑿 est divisée en ses trois composants 𝑷, 𝑲 et 𝑺,
correspondant aux termes de dérive, diffusion et des interactions respectivement. Ces
termes sont représentés par des vecteurs colonne et leurs indices suivent la notation de 𝑿.
Dans la suite, les règles de discretization des différents termes de Eq. II-33 sont
expliquées. Lorsque cette équation est discrétisée, les termes 𝑷, 𝑲 et 𝑺 sont représentés
sous forme de vecteurs colonne, qui, en reprenant Eq. II-35 sont donnés par :
𝑷 + 𝑲 + 𝑺 = [𝑨𝑷 + 𝑨𝑲 + 𝑨𝑺 ] 𝑿 = 𝑨𝑿 = 𝑩
𝑨 = 𝑨𝑷 + 𝑨𝑲 + 𝑨𝑺
II-39
𝑷 = 𝑨𝑷 𝑿 ; 𝑲 = 𝑨𝑲 𝑿 ; 𝑺 = 𝑨𝑺 𝑿
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39
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
Dans cette écriture, la matrice A est décomposée en trois matrices carrées 𝑨𝑷 , 𝑨𝑲 et 𝑨𝑺 ,
qui sont appelées respectivement les matrices de dérive, diffusion et des interactions. La
suite présente les règles de remplissage de ces matrices. Ces règles s’appliquent pour tous
les nœuds dans l’espace réel, sauf le premier et le dernier. Pour ces deux nœuds, les
coefficients dans la matrice 𝑨 sont différents à cause de l’introduction des conditions aux
limites. Fig. II-8 montre l’espace occupé dans la matrice A par les différents termes de l’ETW.
Nx × Nk = 16 lignes ; indices i’, j’
A
X
0,0
Nx
×
Nk
col.
ind.
i, j
0,1
0,2
0,3
1,0
1,1
1,2
1,3
2,0
2,1
2,2
2,3
3,0
3,1
3,2
B
3,3
0,0
f0,0
0,1
f0,1
0,2
f0,2
0,3
f0,3
1,0
f1,0
1,1
f1,1
1,2
f1,2
1,3
f1,3
2,0
f2,0
2,1
f2,1
2,2
f2,2
2,3
f2,3
3,0
f3,0
3,1
f3,1
3,2
f3,2
3,3
f3,3
=
Fig. II-7 Représentation matricielle de l’ETW pour Nx = Nk = 4. La matrice A est constituée de Nx bandes
horizontales et verticales de largeur Nk (les bandes sont entourées en trait épais, et les cases marquées en gris
indiquent les bandes pour le deuxième nœud x (i = 1). Les cases en noir marquent les termes non-nuls du
vecteur colonne B, qui correspondent aux valeurs de la FW au premier nœud en x (i = 0) avec k positif
(Nk/2< j < Nk) et au dernier nœud en x (i = Nx – 1) avec k négatif.
II.3.3
Discrétisation du terme de dérive
Le terme de dérive contient deux intégrales (cf. Eq. II-22) : l’intégrale externe permet le
calcul du terme P, alors que celle interne correspond au potentiel non-local. Plusieurs
schémas d’intégration ont été implémentés pour la première : la méthode des rectangles,
celle des trapèzes et celle de Simpson [BJN03, Fre87] :
Intégration avec règle des rectangles amont :
𝑷𝑖,𝑗
40
𝑁𝑘 −2
1
= � 𝑉𝑖,𝑗−𝑗′ 𝑓𝑖,𝑗′
ℏ ′
𝑗 =0
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II-40
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
Intégration avec règle des rectangles aval :
𝑷𝑖,𝑗
𝑁𝑘 −2
1
= � 𝑉𝑖,𝑗−𝑗′ 𝑓𝑖,𝑗′
ℏ ′
II-41
𝑗 =0
Intégration avec règle des trapèzes, exacte à l’ordre 1 :
𝑷𝑖,𝑗
𝑁𝑘 −2
1
=
� �𝑉𝑖,𝑗−�𝑗′ +1� 𝑓𝑖,𝑗′ +1 + 𝑉𝑖,𝑗−𝑗′ 𝑓𝑖,𝑗′ �
2ℏ ′
II-42
𝑗 =0
Intégration avec règle de Simpson, exacte à l’ordre 2 :
𝑷𝑖,𝑗
𝑁𝑘 −2
1
=
� �𝑉𝑖,𝑗−�𝑗′ +1� 𝑓𝑖,𝑗′ +1 + 4𝑉𝑖,𝑗−𝑗′ 𝑓𝑖,𝑗′ + 𝑉𝑖,𝑗−�𝑗′ −1� 𝑓𝑖,𝑗′ −1 �
6ℏ ′
II-43
𝑗 =1
Pour le potentiel non-local, la seule méthode d’intégration utilisée est celle des
rectangles. En effet, ce calcul d’intégral fait partie de la TF, dont il doit suivre le formalisme
afin d’éviter tout phénomène d’aliasing.
𝑽𝑖,𝑗
𝑁𝑘 ⁄2−1
2
2𝜋
=
� sin � 𝑖′𝑗� [𝑈𝑖+𝑖′ − 𝑈𝑖−𝑖′ ]
𝑁𝑘 ′
𝑁𝑘
II-44
𝑖 =0
La composante 𝑨𝑷 de la matrice 𝑨 qui correspond au terme de dérive est constituée de
blocs de côté 𝑁𝑘 symétriques par rapport à la diagonale et formés par l’intersection des
bandes horizontales et verticales qui correspondent à chaque nœud dans l’espace réel
(cf. Fig. II-8). Pour la règle des rectangles, le terme 𝑨𝑷 est donné par :
1
𝑉
,
𝑖 = 𝑖′
𝑨𝑷 = �𝑎𝑃 (𝑖,𝑗),�𝑖 ′ ,𝑗′ � � = �ℏ 𝑖,𝑗−𝑗′
II-45
0,
𝑖 ≠ 𝑖′
Cette formule est valable pour tous les nœuds 𝑥 sauf le premier et le dernier, où les
conditions aux limites sont appliquées. Le nombre de termes non-nuls de 𝑨𝑷 est ainsi égal à
(𝑁𝑥 − 2)𝑁𝑘 ².
II.3.4
Discrétisation du terme de diffusion
Le terme de diffusion est de type différentiel par rapport à la variable 𝑥. La configuration
la plus adaptée consiste à appliquer une différentiation en amont pour 𝑘 > 0 (les nœuds sur
l’axe des vecteurs d’onde avec indices 0 < 𝑗 < 𝑁𝑘 ⁄2 − 1) et en aval pour 𝑘 < 0
(𝑁𝑘 ⁄2 < 𝑗 < 𝑁𝑘 − 1). Ce schéma est cohérent avec la direction de propagation des
fonctions d’onde suivant le signe des vecteurs d’onde. Ce schéma impose aussi les
conditions aux limites (cf. 0), c'est-à-dire, pour des vecteurs d’onde positifs au premier nœud
et négatifs au dernier.
Plusieurs schémas avec des différents ordres de différentiation sont présentés cidessous. La masse des porteurs est supposée variable le long de la structure [BJN03, Fre87,
GMN94].
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41
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
Différentiation au premier ordre :
𝑲𝑖,𝑗
⎧𝑓𝑖+1,𝑗 − 𝑓𝑖,𝑗
ℏ𝑘𝑗 ⎪𝑚𝑖+1 𝑚𝑖
=
𝛥𝑥 ⎨𝑓𝑖,𝑗 𝑓𝑖−1,𝑗
⎪𝑚 − 𝑚
𝑖−1
⎩ 𝑖
Différentiation au second ordre :
𝑲𝑖,𝑗
𝑁𝑘
− 1�
2
II-46
𝑁𝑘
� < 𝑗 < 𝑁𝑘 − 1�
2
⎧− 𝑓𝑖+2,𝑗 + 4 𝑓𝑖+1,𝑗 − 3 𝑓𝑖,𝑗
ℏ𝑘𝑗 ⎪ 𝑚𝑖+2
𝑚𝑖+1
𝑚𝑖
=
𝑓
𝑓
𝑓
2𝛥𝑥 ⎨
𝑖,𝑗
𝑖−1,𝑗
𝑖−2,𝑗
⎪ 3𝑚 −4𝑚 +𝑚
𝑖
𝑖−1
𝑖−2
⎩
Différentiation au troisième ordre :
𝑲𝑖,𝑗
�0 < 𝑗 <
�0 < 𝑗 <
𝑁𝑘
− 1�
2
𝑁𝑘
� < 𝑗 < 𝑁𝑘 − 1�
2
⎧2 𝑓𝑖+3,𝑗 − 9 𝑓𝑖+2,𝑗 + 18 𝑓𝑖+1,𝑗 − 11 𝑓𝑖,𝑗
ℏ𝑘𝑗 ⎪ 𝑚𝑖+3
𝑚𝑖+2
𝑚𝑖+1
𝑚𝑖
=
𝑓𝑖−1,𝑗
𝑓𝑖−2,𝑗
𝑓𝑖−3,𝑗
6𝛥𝑥 ⎨ 𝑓𝑖,𝑗
⎪11 𝑚 − 18 𝑚 + 9 𝑚 − 2 𝑚
𝑖
𝑖−1
𝑖−2
𝑖−3
⎩
�0 < 𝑗 <
𝑁𝑘
− 1�
2
𝑁𝑘
� < 𝑗 < 𝑁𝑘 − 1�
2
II-47
II-48
Dans les deux premiers cas, la composante 𝑨𝑲 de la matrice 𝑨 qui correspond au terme
de dérive est donnée par :
Différentiation au premier ordre :
− 1⁄𝑚𝑖 , 𝑖 = 𝑖 ′
0 < 𝑗 < 𝑁𝑘 ⁄2 − 1
⎧
′
1⁄𝑚𝑖 , 𝑖 = 𝑖
𝑁𝑘 ⁄2 < 𝑗 < 𝑁𝑘 − 1
ℏ𝑘𝑗 ⎪
′
𝑨𝑲 = �𝑎𝐾 (𝑖,𝑗),�𝑖 ′ ,𝑗′ � � =
1⁄𝑚𝑖+1 , 𝑖 = 𝑖 + 1, 0 < 𝑗 < 𝑁𝑘 ⁄2 − 1
II-49
𝛥𝑥 ⎨
′
⎪− 1⁄𝑚𝑖−1 , 𝑖 = 𝑖 − 1 𝑁𝑘 ⁄2 < 𝑗 < 𝑁𝑘 − 1
⎩
0, ailleurs
Différentiation au second ordre :
0 < 𝑗 < 𝑁𝑘 ⁄2 − 1
− 3⁄𝑚𝑖 , 𝑖 = 𝑖 ′
⎧
′
3⁄𝑚𝑖 , 𝑖 = 𝑖
𝑁𝑘 ⁄2 < 𝑗 < 𝑁𝑘 − 1
⎪
⎪ 4⁄𝑚𝑖+1 , 𝑖 ′ = 𝑖 + 1, 0 < 𝑗 < 𝑁𝑘 ⁄2 − 1
ℏ𝑘𝑗
𝑨𝑲 = �𝑎𝐾 (𝑖,𝑗),�𝑖 ′ ,𝑗′ � � =
−1⁄𝑚𝑖+2 , 𝑖 ′ = 𝑖 + 2 0 < 𝑗 < 𝑁𝑘 ⁄2 − 1
II-50
2𝛥𝑥 ⎨
− 4⁄𝑚𝑖+1 , 𝑖 ′ = 𝑖 − 1 𝑁𝑘 ⁄2 < 𝑗 < 𝑁𝑘 − 1
⎪
⎪ 1⁄𝑚𝑖+2 , 𝑖 ′ = 𝑖 − 2 𝑁𝑘 ⁄2 < 𝑗 < 𝑁𝑘 − 1
⎩
0, ailleurs
La matrice 𝑨𝑲 est multidiagonale. La diagonale centrale est complètement remplie ; de
plus, des termes non-nuls sont aussi présents sur des diagonales qui se trouvent à des
distances égales à de multiples de 𝑁𝑘 de la diagonale centrale. Le nombre de ces diagonales
latérales de chaque côté est égal à l’ordre de discrétisation (cf. Fig. II-8) ; ces diagonales sont
remplies à moitié, à cause de l’alternance des schémas amont/aval. Comme pour le terme
de dérive, ce schéma de remplissage varie à proximité des nœuds aux frontières. En
négligeant ces nœuds, le nombre de coefficients non-nuls de 𝑨𝑲 est égal à 2𝑁𝑘 pour le
premier ordre, 3𝑁𝑘 pour le second ordre et ainsi de suite.
42
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
II.3.5
Discrétisation du terme des interactions
Pour un schéma de temps de relaxation, la discrétisation est obtenue à partir de Eq. II-15
et II-32 :
𝑺𝑖,𝑗
𝑁𝑘 −1
1 𝑓0 𝑖,𝑗 ∆𝑘
= �
� � 𝑓𝑖,𝑗′ � − 𝑓𝑖,𝑗 �
𝜏 𝑐0 𝑖 2𝜋 ′
II-51
𝑗 =0
𝑓0 𝑖,𝑗 et 𝑐0 𝑖 indiquent respectivement la FW et la charge en régime stationnaire sans
interactions. L’ETW doit alors être résolue deux fois sans et avec interactions.
𝑓0 𝑖,𝑗 ∆𝑘 1
⎧
− , 𝑖 = 𝑖 ′ , 𝑗 = 𝑗′
⎪𝜏 𝑐0 𝑖 2𝜋 𝜏
𝑓0 𝑖,𝑗 ∆𝑘
𝑨𝑺 = �𝑎𝑆 (𝑖,𝑗),�𝑖 ′ ,𝑗′ � � =
II-52
, 𝑖 = 𝑖 ′, 𝑗 ≠ 𝑗′
⎨
𝜏 𝑐0 𝑖 2𝜋
⎪
⎩
0, 𝑖 ≠ 𝑖′
Tout comme pour le terme de dérive, la composante 𝑨𝑺 de la matrice 𝑨 qui correspond
aux interactions est constituée de blocs de côté 𝑁𝑘 symétriques par rapport à la diagonale.
Si le système est couplé avec l’équation de Poisson pour une résolution auto-cohérente
(cf. II.5), la formulation du terme des interactions peut être considérablement simplifiée. En
effet, au lieu d’évaluer la charge par le calcul d’intégral, il est possible de réutiliser la valeur
obtenue lors de l’itération précédente :
1 𝑓0 𝑖,𝑗 [𝑛]
[𝑛+1]
𝑺𝑖,𝑗 = �
𝑐 − 𝑓𝑖,𝑗 �
II-53
𝜏 𝑐0 𝑖 𝑖
Dans cette formulation, les indices entre crochets indiquent le numéro de l’itération dans
la boucle d’auto-cohérence. Dans cette écriture, la matrice 𝑨𝑺 est diagonale.
II.3.6
Discrétisation des conditions aux limites
Comme indiqué au §II.2.3, les conditions aux limites imposées au système sont
compatibles avec la direction des vecteurs d’onde. Parmi les trois termes discrétisés en
régime stationnaire, il n’y a que celui de diffusion qui est de type différentiel : c’est donc le
seul qui permet de propager les conditions imposées aux frontières vers l’intérieur de la
structure. Il est possible de constater cela visuellement : puisque les matrices de dérive et
des interactions sont constituées de blocs, deux nœuds adjacents n’ont pas des termes en
commun ; au contraire, pour le terme de diffusion une même ligne de la matrice contient
des coefficients non-nuls sur deux ou plus nœuds consécutifs. Pour la même raison, le terme
de diffusion est aussi celui qui demande le plus d’attention pour l’application des conditions
aux limites.
Pour une discrétisation au terme de dérive du premier ordre, la FW est imposée
uniquement au premier et dernier nœud de la structure et est proportionnelle à une DFD
(cf. §II.2.3). Les termes du système linéaire de Eq. II-35 sont donnés par :
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43
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
𝑓𝑊 𝑖 ′ =0,𝑗′ =0
⎡
⎤
⋮
�
� ⎥
⎢
⎤
⎢ 𝑓𝑊 𝑖 ′ =0,𝑗′ =𝑁𝑘−1 ⎥
�������⎥
⎢
⎥
⋮
⎥
0
⎢
⎥
=0 ⎥
𝑏𝑖 ′ ≠0
′
;
𝑩
=
,𝑗
⎢ 𝑖 ′ ≠𝑁𝑥 −1
⎥
⎥
⋮
⎥
⎢
⎥
⋮
1 ⋯ 0⎥
⎢ 𝑓 ′
⎥
𝑊 𝑖 =𝑁𝑥 −1,𝑗 ′ =0
⋮ ⋱ ⋮ ⎥
⎢
⎥
⋮
�⎥
⎢�
0 ⋯ 1⎦
⎣ 𝑓𝑊 𝑖 ′ =𝑁𝑥 −1,𝑗′ =𝑁𝑘−1 ⎦
𝑖=𝑁𝑥 −1
0<𝑗<𝑁𝑘 −1
𝑖=0
⎡ 0<𝑗<𝑁𝑘−1
⎢��
1 ���
⋯ ��
0
⎢
⋮
⋱
⋮ ⋯
⎢
𝑨 = ⎢0 ⋯ 1
⋮
⋱
⎢
⎢
⎢
0
⋯
⎣
II-54
Pour une discrétisation d’ordre 2 ou supérieur, les conditions aux frontières devraient
s’appliquer à deux ou plus nœuds à chaque extrémité. Cependant, puisque le potentiel et le
niveau de Fermi sont supposés être constants aux contacts, la WF se maintient elle aussi
constante. Eq. II-55 et II-56 peuvent alors être discrétisées aux contacts sans recourir à des
nœuds supplémentaires en dehors de la structure, et s’écrivent :
Différentiation au second ordre :
𝑲𝑖=1,𝑁𝑘<𝑗<𝑁
2
𝑲𝑖=𝑁
𝑘 −1
𝑁𝑘
−1
2
𝑥 −2,0<𝑗<
=
ℏ𝑘𝑗
𝑓1,𝑗
𝑓0,𝑗
�3
−3
�
2Δ𝑥
𝑚1
𝑚0
𝑓𝑁 −1,𝑗
𝑓𝑁 −2,𝑗
ℏ𝑘𝑗
=
�3 𝑥
−3 𝑥
�
2Δ𝑥
𝑚𝑁𝑥 −1
𝑚𝑁𝑥 −2
II-55
Différentiation au troisième ordre :
II.3.7
𝑲𝑖=𝑁
𝑲𝑖=1,𝑁𝑘 <𝑗<𝑁
2
𝑁𝑘
−1
2
𝑥 −2,0<𝑗<
𝑘 −1
=
ℏ𝑘𝑗
𝑓1,𝑗
𝑓0,𝑗
�11
− 11
�
6𝛥𝑥
𝑚1
𝑚0
𝑓𝑁 −1,𝑗
𝑓𝑁 −2,𝑗
ℏ𝑘𝑗
=
�−11 𝑥
+ 11 𝑥
�
6Δ𝑥
𝑚𝑁𝑥 −1
𝑚𝑁𝑥 −2
II-56
Remplissage de la matrice
Fig. II-8 présente le schéma de remplissage de la matrice 𝑨 et du vecteur 𝑩 pour une
structure avec 𝑁𝑥 = 4 et 𝑁𝑘 = 6. Un schéma de premier ordre est utilisé pour le terme de
diffusion. Dans la représentation matricielle, quelle que soit la méthode d’intégration, le
terme de dérive produit une matrice à blocs de côté 𝑁𝑘 , où chaque bloc représente
l’intégrale pour un nœud dans l’espace réel.
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
A
i’ = 0
i’ = 1
B
i’ = 2
i’ = 3
i=0
i=1
i=2
i=3
Fig. II-8 Remplissage des termes A et B de Eq. II-35 pour un maillage avec Nx = 4 et Nk = 6 et une discrétisation
de premier ordre du terme de diffusion. Les cases en blanc indiquent des coefficients nuls. Les cases en noir
indiquent des coefficients qui correspondent aux conditions aux limites imposées au système. Dans la matrice
A, ces coefficients ont tous la valeur 1 ; dans B, ils sont proportionnels à une DFD intégrée par rapport aux
moments transverses, qui reproduit le profil de la WF à potentiel constant. Bien que la WF ait été imposé sur
tout le maillage k aux nœuds aux extrémités, en réalité seulement les coefficients avec k > 0 au premier nœud
et k < 0 au dernier sont propagés vers les nœuds intérieurs par le terme différentiel de diffusion. au Les blocs
en gris clair correspondent aux termes de dérive et des collisions. Les blocs en traits correspondent au terme
de diffusion.
II.3.8
Comparaison avec le solveur de l’équation de transport de Boltzmann
Le solveur de l’ETB se différencie de celui de Wigner en son terme de dérive
(cf. Eq. I-8), qui est donné par :
1
II-57
È=−
ℏ
Dans cette écriture, est la FB. Ce terme est différentiel par rapport au vecteur d’onde,
alors qu’il est intégral dans l’ETW. Ce fait a deux conséquences : d’abord, puisque un terme
différentiel se discrétise par une matrice tridiagonale, la matrice de dérive dans l’ETB
présente un nombre de nœuds qui varie linéairement avec q® , au lieu de q®M pour l’ETW. Si
le terme des collisions est négligé, le stockage du système demande alors à priori un espace
mémoire bien inférieur par rapport à l’ETW. Deuxièmement, le terme différentiel permet
d’imposer des conditions aux limites à la FW dans l’espace des vecteurs d’onde à tout nœud.
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
Dans ce type de système, il est raisonnable d’imposer des conditions de Dirichlet, où
c’est la valeur de la FW qui est fixée aux extrémités du domaine maillé de l’espace
réciproque. Il faut alors appliquer une valeur nulle aux nœuds à ces extrémités, puisque la
probabilité que des porteurs aient des énergies de plus en plus élevées par rapport à la
bande de conduction tombe logiquement vers zéro. En utilisant, par exemple, un schéma
décentré de premier ordre en aval, les conditions de Dirichlet portent à la discrétisation
suivante :
=Ä = 0?
0
1
Èk,l = −
ù k,l − k,lzc =1 < Ä < q® − 1?Œ
II-58
ℏ
=Ä = q® − 1?
0
La matrice du système linéaire de l’ETB est montrée sur la Fig. II-9.
A
i’ = 0
i’ = 1
B
i’ = 2
i’ = 3
i=0
i=1
i=2
i=3
Fig. II-9 Remplissage des termes A et B pour la discrétisation de l’ETB, pour un maillage avec Nx = 4 et Nk = 6 et
un schéma de premier ordre des termes de dérive et de diffusion. Dans la matrice A, les cases en blanc
indiquent des coefficients nuls. Les cases en noir indiquent des coefficients qui correspondent aux conditions
aux limites imposées au système. Ces coefficients sont tous égaux à 1. Les cases remplies par des traits
horizontaux contiennent des coefficients qui font partie du terme de dérive ; celles avec des traits obliques
contiennent des coefficients qui font partie du terme de diffusion ; finalement, celles qui ont des traits
verticaux sont communes aux deux termes. Les cases à fond gris clair contiennent de coefficients qui font
partie du terme des interactions. Dans le vecteur B, les cases en blanc contiennent des coefficients nuls, alors
que celles en noir contiennent des valeurs proportionnelles à une DFD intégrée par rapport aux moments
transverses, qui reproduit le profil de la WF à potentiel constant.
Le terme de diffusion pourrait être aussi discrétisé par un schéma centré par rapport aux
vecteurs d’onde, ou alors par des schémas distincts amont et aval pour les vecteurs d’onde
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
positifs et négatifs respectivement. En effet, ces schémas se sont révélés peu stables lorsque
le système a été résolu pour comparer la FB à la FW dans le Chapitre III. Aucun essai n’a été
fait avec des ordres de différentiation plus élevés.
En ce qui concerne le calcul de la dérivée du potentiel, des schémas centrés ou décentrés
peuvent être utilisées indifféremment ; dans les simulations où l’ETB est appliquée, au
Chapitre III, le choix du schéma n’affecte pas de façon significative la FB.
II.3.9
Considérations sur le nombre de données à stocker
En absence de collisions, la matrice 𝑨 est donnée par la superposition des termes de
dérive et de diffusion. Le terme qui contribue le plus au remplissage de la matrice finale est
celui de dérive, qui continent un nombre de coefficients non-nuls proportionnel à 𝑁𝑘 ². Dans
la matrice de diffusion, ce nombre ne varie en effet que linéairement avec 𝑁𝑘 . La matrice
des collisions se superpose à celle de dérive, et ne contribue donc pas à augmenter le
nombre de termes non-nuls de la matrice finale.
Par comparaison, dans la discrétisation de l’ETB le terme de dérive, qui est de type
différentiel, est stocké sous la forme d’une matrice bidiagonale. Le nombre total de
coefficients non-nuls ne varie alors que linéairement avec 𝑁𝑘 . Cependant, l’ajout des
collisions introduit des termes intégraux par rapport au vecteur d’onde, qui se discrétisent
par des matrices à blocs.
Une différence importante entre la discrétisation de l’ETW et l’ETB est que, dans le
premier cas, les maillages des espaces réel et réciproque sont interdépendants. Par exemple,
si le maillage des vecteurs d’onde est densifié, il devient nécessaire d’augmenter le domaine
maillé 𝑦 afin d’éviter des phénomènes d’aliasing dans la TF. Cela n’a pas de conséquence sur
la dimension de la matrice 𝑨, mais porte à l’augmentation des temps de calculs pour
l’évaluation du potentiel non-local dans Eq. II-40. Si le maillage en 𝑥 est densifié, celui en 𝑦
l’est de même : il devient alors nécessaire d’étendre la plage du maillage en 𝑘. Pour
maintenir la densité du maillage en 𝑘, il faut alors augmenter le nombre des nœuds pour les
vecteurs d’onde, et la matrice, ainsi que, encore une fois, la plage du maillage en 𝑦. La
densification du maillage en 𝑥 porte donc à une variation quadratique de la taille de la
matrice (en 𝑂(𝑁𝑥 𝑁𝑘 )) et cubique du nombre de termes non-nuls (en 𝑂(𝑁𝑥 𝑁𝑘 ²)), ainsi qu’à
l’augmentation des temps de calculs du potentiel non-local.
II.4
Discrétisation en régime transitoire
L’ETW en régime transitoire est donnée par
𝑶(𝑓𝑊 ) = 𝑷 + 𝑲 + 𝑺 = 𝑻
𝜕𝑓𝑊
�
𝜕𝑡
𝑓𝑊 (𝑡 = 𝑡0 ) = 𝑓𝑊 0
𝑻=
II-59
Dans cette expression, 𝑻 représente le terme transitoire, et L’ETW est représentée sous
la forme d’une équation différentielle ordinaire avec condition initiale 𝑓𝑊 0 . Cette écriture
permet de partager l’ensemble de définition de la WF, en isolant la variable temps des
espaces réel et réciproque. La discrétisation du terme transitoire peut alors être traitée
indépendamment de celle des termes de dérive, de diffusion et des interactions.
La résolution de Eq. II-59 débute par le calcul de la condition initiale, c'est-à-dire, de la
WF en régime stationnaire à l’instant 𝑡0 . Ceci revient à résoudre Eq. II-34 avec le profil de
potentiel imposé à 𝑡0 . Plusieurs schémas ont été étudiés dans la littérature pour introduire
ensuite le terme transitoire. Le plus simple est la méthode explicite d’Euler, du premier ou
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
second ordre. Une méthode de solution d’une équation différentielle est dite explicite quand
elle exprime l’état du système à un instant donné uniquement à partir de l’état à l’instant
précédent. Pour ce faire, le terme différentiel doit être explicitement discrétisé par un
schéma en amont. Pour une méthode d’Euler de premier ordre, si la FW est connue en tout
point du maillage à l’instant 𝑡, la WF à l’instant suivant 𝑡 + ∆𝑡 est donnée par [Fre87] :
𝜕𝑓𝑊
𝑓𝑊 (𝑡 + ∆𝑡) ≈ 𝑓𝑊 (𝑡) + ∆𝑡
= 𝑓𝑊 (𝑡)[1 + ∆𝑡 𝑶(𝑓𝑊 )]
II-60
𝜕𝑡
= 𝑓𝑊 (𝑡)[1 + ∆𝑡 𝑨]
∆𝑡 représente ici le pas de temps utilisé dans la simulation. Avec la méthode d’Euler de
second ordre, l’expansion est poussée jusqu’à la dérivée deuxième de la WF par rapport au
temps [Fre87] :
𝜕𝑓𝑊 ∆𝑡 𝜕²𝑓𝑊
𝑓𝑊 (𝑡 + ∆𝑡) ≈ 𝑓𝑊 (𝑡) + ∆𝑡
+
𝜕𝑡
2 𝜕𝑡²
∆𝑡
II-61
= 𝑓𝑊 (𝑡) �1 + ∆𝑡 𝑶(𝑓𝑊 ) + 𝑶�𝑶(𝑓𝑊 )��
2
∆𝑡
= 𝑓𝑊 (𝑡) �1 + ∆𝑡 𝑨 + 𝑨²�
2
Il faut remarquer que les matrices 𝑨 dans Eq. II-60 et II-61 peuvent varier dans le temps
avec le profil de potentiel. L’intérêt premier de la méthode explicite est qu’elle ne requiert la
solution d’un système linéaire qu’une fois, lors de l’évaluation de la condition initiale.
Ensuite, le calcul de la WF se réduit à une multiplication entre une matrice et le vecteur de la
WF à l’instant précédent. Les inconvénients principaux le comportement instable et la
dégradation de la justesse du résultat à chaque pas de temps. En effet, toute méthode peut
se révéler peu stable, notamment en présence de variations très rapides de la WF. Il devient
alors nécessaire de veiller à utiliser des pas de temps suffisamment faibles. Le choix d’un
schéma du second ordre peut pallier en partie aux problèmes d’instabilité, mais requiert une
multiplication matricielle en plus pour déterminer le terme 𝑨². Des schémas explicites de
type correctif-prédictif ou de Runge-Kutta peuvent aussi s’adapter à la résolution de ce
système différentiel, bien qu’en l’état actuel ils n’aient pas encore été étudiés dans la
littérature de l’équation de Wigner.
Une alternative est la méthode dite implicite [Fre87]. Elle consiste à appliquer un schéma
en aval pour la discrétisation du terme différentiel. Au premier ordre, cela donne :
𝜕𝑓𝑊
𝑓𝑊 (𝑡) ≈ 𝑓𝑊 (𝑡 + ∆𝑡) − ∆𝑡
= [1 − ∆𝑡 𝑶(𝑓𝑊 )] 𝑓𝑊 (𝑡 + ∆𝑡)
II-62
𝜕𝑡
= [1 − ∆𝑡 𝑨] 𝑓𝑊 (𝑡 + ∆𝑡)
Avec cette écriture, le calcul du terme inconnu 𝑓𝑊 (1 + ∆𝑡) nécessite la résolution d’un
système linéaire entier, au lieu d’une simple multiplication :
𝑨′ 𝑿′ = 𝑩′
II-63
𝑨′ = [1 + ∆𝑡 𝑨]
𝑿′ = 𝑓𝑊(𝑡 + ∆𝑡)
𝑩′ = 𝑓𝑊 (𝑡)
L’avantage principal est que, contrairement à la précédente, cette méthode est
inconditionnellement stable. L’inconvénient est que l’évaluation de chaque pas nécessite la
résolution du système linéaire. Au second ordre, la discrétisation est donnée par :
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
𝜕𝑓𝑊 ∆𝑡 𝜕²𝑓𝑊
−
𝜕𝑡
2 𝜕𝑡²
∆𝑡
II-64
= �1 − ∆𝑡 𝑶(𝑓𝑊 ) − 𝑶�𝑶(𝑓𝑊 )�� 𝑓𝑊 (𝑡 + ∆𝑡)
2
∆𝑡
= �1 − ∆𝑡 𝑨 − 𝑨²� 𝑓𝑊 (𝑡 + ∆𝑡)
2
En résumé, la méthode explicite présente l’avantage d’un temps de calcul plus court et
un point faible au niveau de la stabilité et la propagation de l’erreur, et vice-versa pour la
méthode implicite. Frensley estime que le nombre d’opérations nécessaires au calcul de la
WF pour un pas de temps au premier ordre est proportionnel à 𝑁𝑥 𝑁𝑘 ² pour la méthode
explicite et 𝑁𝑥 𝑁𝑘3 pour la méthode implicite. Sa conclusion est que, pour des valeurs de 𝑁𝑥
et 𝑁𝑥 de l’ordre de 100, la méthode implicite est à préférer. Cependant, le Chapitres III, IV et
V montrent que ces densités de maillage peuvent se révéler insuffisantes pour une
résolution correcte de l’ETW. Ce problème est d’autant plus conséquent que le raffinement
du maillage dans l’espace réel porte à une augmentation des nœuds dans l’espace
réciproque, et vice-versa. La méthode explicite peut alors se révéler la plus appropriée,
même si le pas de temps doit être fortement réduit.
𝑓𝑊 (𝑡) ≈ 𝑓𝑊 (𝑡 + ∆𝑡) − ∆𝑡
II.5
Résolution auto-cohérente
La résolution de l’ETW permet de calculer la WF, et donc la charge, à tout point d’une
structure, à partir d’une distribution du potentiel. Pour qu’une simulation soit autocohérente, il faut en même temps que les profils de charge et potentiel vérifient l’Équation
de Poisson (EP), qui est montrée ci-dessous dans sa forme 1D.
𝑑
𝑑
�𝜀(𝑥) 𝑢(𝑥)� = 𝑞[𝐶(𝑥) + 𝑐(𝑥)]
II-65
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝐶 indique la somme des charges fixes dues à l’ionisation des dopants, alors que 𝑐 désigne
la somme des charges mobiles. Les valeurs de 𝐶 et 𝑐 peuvent bien sûr être positives ou
négatives. 𝑢 est une énergie potentielle, dite de Hartree, qui est donnée par :
𝑢(𝑥) = 𝑈(𝑥) − 𝑈𝐵 (𝑥)
II-66
Dans cette écriture, 𝑈 représente lénergie de la bande de conduction dans une structure
et 𝑈𝐵 les décalages de bande en présence de matériaux hétérogènes. Le terme de gauche de
Eq. II-65 est discrétisé comme suit :
𝑢 −𝑢
𝑢 −𝑢
𝜀𝑖+1 � 𝑖+1∆𝑥 𝑖 � − 𝜀𝑖−1 � 𝑖 ∆𝑥 𝑖−1 �
𝑑
𝑑
2
�𝜀(𝑥) 𝑢(𝑥)� → 2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
∆𝑥
II-67
𝜀𝑖+1 + 𝜀𝑖
𝜀𝑖 + 𝜀𝑖−1
𝜀𝑖+1 =
, 𝜀𝑖−1 =
2
2
2
2
La forme finale discrétisée de l’EP 1D est alors :
1
�𝜀 1 (𝑢 − 𝑢𝑖 ) − 𝜀𝑖−1 (𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1 )� = 𝑞²[𝐶𝑖 − 𝑐𝑖 ]
II-68
∆𝑥² 𝑖+2 𝑖+1
2
Dans cette écriture 𝜀𝑖+1⁄2 et 𝜀𝑖−1⁄2 sont les permittivités des matériaux dans les mailles
d’indices 𝑖 et 𝑖 + 1 respectivement.
En régime transitoire, une méthode utilisée dans la littérature pour la résolution autocohérente consiste à alterner la résolution de l’ETW dans Eq. II-59 à l’EP, en incrémentant le
temps du pas ∆𝑡 à chaque nouvelle itération.
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49
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
II.5.1
Résolution couplée de l’équation de transport de Wigner et de l’équation
de Poisson
Le schéma le plus simple pour une résolution auto-cohérente est la résolution couplée
directe de l’ETW et de l’EP, comme montré dans le schéma de Fig. II-10.
DÉBUT
Potentiel initial 𝑼[𝟎] (𝒙)
Itération [𝟎]
Charge 𝒄[𝒏] (𝒙)
Solution de l’ETW
NON
Itération [𝒏 − 𝟏] Itération [𝒏]
𝑼[𝒏] (𝒙) − 𝑼[𝒏−𝟏] (𝒙)
�
� < seuil
𝑼[𝒏−𝟏] (𝒙)
∞
OUI
Potentiel 𝑼[𝒏] (𝒙)
FIN
Solution de l’EP
Fig. II-10 Schéma de résolution du couplage direct entre l’ETW et l’EP. Une itération de la boucle consiste à (1)
résoudre l’ETW pour obtenir la charge en tout point ; (2) appliquer la charge à l’EP, ce qui donne le potentiel de
Hartree u(x), auquel il faut sommer les décalages de bande UB pour obtenir le potentiel de bande U(x). U est un
vecteur de longueur égale au nombre de nœuds dans la structure. L’écart relatif entre deux itérations
successives est le maximum des écarts relatifs de chaque composante.
L’EP est discrétisée sous la forme du système linéaire ci-dessous :
𝑨[𝑛] 𝒖[𝑛] = 𝟎
II-69
Le terme 𝑨 est une matrice carrée tridiagonale de côté 𝑁𝑥 , et les termes 𝒖 et 𝟎 sont des
vecteurs colonne (cf. Fig. II-12), dont le deuxième ne contient que des termes nuls, sauf que
pour le premier et dernier nœud, à cause de l’imposition des conditions aux limites
(cf. II.5.3). Le remplissage de 𝑨 est donné ci-dessous :
[𝑛]
𝑨[𝑛]
⎡ �𝑎0,𝑖 ′ �0<𝑖 ′ <𝑁 −1 ⎤
𝑥
⎢
⎥
⋮
⎢
⎥
[𝑛]
[𝑛]
�𝑎
�
⎢
⎥
= �𝑎𝑖,𝑖 ′ 0<𝑖<𝑁𝑥 −1 � =
𝑖,𝑖 ′ 0<𝑖 ′ <𝑁 −1
𝑥
⎢
⎥
′
0<𝑖 <𝑁𝑥 −1
⋮
⎢
⎥
⎢�𝑎[𝑛] �
⎥
′
⎣ 𝑁𝑥 −1,𝑖 0<𝑖 ′ <𝑁𝑥 −1 ⎦
𝑖 = 0: C.L.
⎡
⋮
⎢
′
⎢
𝑎
= 𝑖,𝑖 <𝑖−1 = 0
⎢
⋮
⎢
0
⎣
⋱
II-70
⋯
�𝜀𝑖−1 � �−𝜀𝑖+1 − 𝜀𝑖−1 − 𝑞²∆𝑥²(𝐶𝑖 − 𝑐𝑖 )� �𝜀𝑖+1 �
2
2
2
⋯
⋱
2
0
⎤
⎥
𝑎𝑖,𝑖′ >𝑖+1 = 0 ⎥
⎥
⋮
⎥
𝑖 = 𝑁𝑥 − 1: C.L.⎦
⋮
L’écart rélatif du potentiel par rapport à l’itération précédente est calculé composante
par composante ; l’algorithme converge lorsque la valeur maximale de cet écart
50
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
[𝑛]
[𝑛−1]
��𝑼𝑖 − 𝑼𝑖
[𝑛−1]
� /𝑼𝑖
�
∞
chute en dessous d’un seuil préalablement imposé. Ce type
d’algorithme présente deux inconvénients majeurs. Tout d’abord, sa convergence n’est
souvent pas assurée, alors que l’erreur relative, au lieu de chuter, commence à évoluer de
façon oscillatoire autour d’une valeur supérieure au seuil de convergence. À cause de cet
inconvénient, la méthode de résolution directe n’est pas implémentée dans le solveur de
l’ETW étudié au Chapitre III.
Cependant, dans la littérature une amélioration pour ce type de solveur consiste à
introduire un coefficient d’atténuation 𝛼 :
𝒖[𝑛+1] (𝑥) = 𝒖[𝑛] (𝑥) + 𝛼 𝜹𝒖[𝑛] (𝑥) ; 𝛼 < 1
II-71
La variation du potentiel est alors atténuée, ce qui évite de dépasser le potentiel de
convergence. Un autre inconvénient est que chaque nouvelle boucle demande la solution de
l’ETW, ce qui peut demander des temps de calcul très longs. Ce problème est d’autant plus
conséquent que le coefficient d’atténuation est faible. Deux approches sont possibles pour
assurer une convergence stable et rapide : la méthode de Gummel et l’approche fullNewton. Les peuvent s’appliquer soit à des simulations en régime stationnaire, soit en
régime transitoire.
II.5.2
Approche de Gummel
La méthode de Gummel [Gum64] est celle qui est préférée dans l’implémentation du
solveur de l’ETW utilisé dans ce travail, et notamment dans les simulations présentées au
Chapitre III. Cette approche consiste à réécrire l’EP sous la forme d’une fonction 𝑃(𝑢) :
𝑑
𝑑
𝑃�𝑢(𝑥)� =
�𝜀(𝑥) 𝑢(𝑥)� − 𝑞²[𝐶(𝑥) + 𝑐(𝑥)]
II-72
𝑑𝑥
𝑑𝑥
D’après II-65 cette fonction est égale à zéro. La racine 𝑢 est alors évaluée par la méthode
de Newton-Raphson, en itérant :
𝜕𝑃(𝑢) [𝑛]
𝛿𝑢 = −𝑃�𝑢[𝑛] �
𝜕𝑢
II-73
[𝑛+1]
[𝑛]
[𝑛]
𝑢
= 𝑢 + 𝛿𝑢
Les indices entre crochets indiquent le numéro de l’itération. Le nouveau schéma de
résolution est illustré sur la Fig. II-11.
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51
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
Potentiel initial 𝑼[𝟎] (𝒙)
DÉBUT
Itération [𝟎]
Charge 𝒄[𝒏] (𝒙)
Solution de l’ETW
Itération [𝒏 − 𝟏] Itération [𝒏]
Boucle interne Poisson (Newton-Raphson)
Calcul de 𝜹𝒖[𝒏’]
′
′
′
𝑼�𝒏 � = 𝑼�𝒏 −𝟏� + 𝜹𝒖[𝒏 ]
NON
Itération [𝒏’]
Itération [𝒏’ − 𝟏]
𝜹𝒖[𝒏’]
� [𝒏’−𝟏] � < seuil
𝑼
∞
NON
OUI
𝑼[𝒏] − 𝑼[𝒏−𝟏]
�
� < seuil
𝑼[𝒏−𝟏]
∞
′
𝑼[𝒏] (𝒙) = 𝑼�𝒏 � (𝒙)
FIN
OUI
Fig. II-11 Schéma de résolution du couplage entre l’ETW et l’EP avec application de la méthode de Gummel.
L’algorithme implémente deux boucles imbriquées. La boucle externe, avec indice d’itération n, traite la
convergence entre le potentiel et la charge issue de l’ETW. La boucle interne, avec indice d’itération n’,
applique la méthode de Newton-Raphson pour évaluer la racine de P(u). U et δu sont des vecteurs de
longueur égale au nombre de nœuds dans la structure. L’écart relatif entre deux itérations successives est le
maximum des écarts relatifs de chaque composante. Dans les simulations présentées au Chapitre III la
convergence est normalement obtenue à partir de 5 à 15 itérations de la boucle principale. Dans la figure, le
critère de sortie de la boucle interne est une erreur relative ; dans l’implémentation, le critère est basé sur
[n’]
l’erreur absolue δu , qui est fixée à 1 µV.
De façon similaire à Eq. II-67, Eq. II-72 et II-73 se discrétisent par :
𝑃(𝑢𝑖 ) = 𝑃𝑖 = 𝜀𝑖+1 (𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖 ) − 𝜀𝑖−1 (𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1 ) − ∆𝑥²𝑞²[𝐶𝑖 − 𝑐𝑖 ]
2
2
𝜕𝑃𝑖
𝜕𝑐𝑖
�
= 𝜀𝑖+1 �𝛿𝑖+1,𝑖 ′ − 𝛿𝑖,𝑖 ′ � − 𝜀𝑖−1 �𝛿𝑖,𝑖 ′ − 𝛿𝑖−1,𝑖 ′ � − ∆𝑥²𝑞² �
�
𝜕𝑢𝑖 ′ 𝑢=𝑢
𝜕𝑢𝑖 ′
2
2
𝑖
II-74
II-75
𝛿𝑖,𝑖 ′ est la fonction de Kronecker, qui est définie par :
1,
𝑖 = 𝑖′
𝛿𝑖,𝑖 ′ = �
II-76
0,
𝑖 ≠ 𝑖′
Il est possible de calculer explicitement la dérivée de la charge par rapport au potentiel
en utilisant une statistique de Boltzmann (ci-dessous appliquée au cas où les porteurs de
charge prédominants sont les électrons, 𝑛 étant la densité de porteurs libres et 𝑁𝐶 la densité
de dopants donneurs) :
52
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
𝑢 − 𝐸𝐹
𝑛(𝑢) = 𝑁𝐶 exp �
�
𝑘𝐵 𝑇
𝜕𝑛(𝑢) 𝑛(𝑢)
𝜕𝑐𝑖
𝜕𝑛𝑖
𝑛𝑖
=
→
=
=
𝛿 ′
𝜕𝑢
𝑘𝐵 𝑇
𝜕𝑢𝑖 ′ 𝜕𝑢𝑖 ′ 𝑘𝐵 𝑇 𝑖,𝑖
II-77
Une solution plus exacte utilise une statistique de Fermi-Dirac, qui est évaluée
numériquement en appliquant le développement de Joyce-Dixon [JD77] :
∞
𝑢 − 𝐸𝐹
𝑛(𝑢)
= ln(𝑟) + � 𝑎𝑖 𝑟 𝑖 ,
𝑟=
𝑘𝐵 𝑇
𝑁𝐶
𝑖=0
II-78
−1
∞ 𝑎
𝜕𝑛(𝑢)
𝑁𝐶 1
𝑖 𝑖−1
=
� +�
𝑟 �
𝜕𝑢
𝑘𝐵 𝑇 𝑟
𝑖=0 𝑖
Le développement implémenté s’arrête à l’ordre 4, et utilise les coefficients suivants :
1
𝑎0 =
√8
𝑎1 = −4.9509 × 10−3
II-79
𝑎2 = 1.48386 × 10−4
𝑎3 = −4.42563 × 10−6
De façon similaire à la méthode directe, la méthode de Gummel est discrétisée par un
système linéaire :
[𝑛]
𝑨
=
𝑨[𝑛] 𝜹𝒖[𝑛] = 𝑩[𝑛]
[𝑛]
�𝑎𝑖,𝑖 ′ 0<𝑖<𝑁𝑥 −1 �
0<𝑖 ′ <𝑁𝑥 −1
[𝑛]
𝜕𝑃
=� 𝑖 �
𝜕𝑢𝑖 ′
𝑢=𝑢𝑖
�
;
[𝑛]
𝑩[𝑛] = − �𝑃𝑖 �
II-80
𝑨 est une matrice carrée tridiagonale de côté 𝑁𝑥 , et les termes 𝜹𝒖 et 𝑩 sont des vecteurs
colonne (cf. Fig. II-12). Le remplissage de 𝑨 est donné par :
𝑨[𝑛] =
II.5.3
𝑖 = 0: C.L.
⋯
0
⎡
⎤
⋱
⋮
⋮
⎢
⎥
𝜕𝑐𝑖
𝑎𝑖,𝑖′ >𝑖+1 = 0 ⎥
� �𝜀𝑖+1 �
= ⎢𝑎𝑖,𝑖′ <𝑖−1 = 0 �𝜀𝑖−1 � �−𝜀𝑖+1 − 𝜀𝑖−1 − 𝑞²∆𝑥²
𝜕𝑢𝑖
2
2
2
2
⎢
⎥
⋮
⋮
⎢
⎥
⋱
⎣
0
⋯
𝑖 = 𝑁𝑥 − 1: C.L.⎦
II-81
Conditions aux limites
Le solveur implémenté peut appliquer des conditions aux limites soit de type Dirichlet,
soit de type Neumann. Avec des conditions de type Dirichlet, c’est la valeur de la variable
inconnue qui est imposée aux deux nœuds extrêmes du maillage. Pour la méthode directe, il
s’agit de la valeur de 𝑈 aux contacts ; pour la méthode de Gummel, il s’agit du différentiel
𝛿𝑈 qui est nul aux contacts, puisque le potentiel est imposé. Dans le système matriciel, ces
conditions se traduisent dans le système matriciel par :
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53
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
1,
⎧
0,
𝑨 = �𝑎𝑖,𝑖 ′ �:
⎨1,
⎩0,
Méthode directe :
Méthode de Gummel :
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
= 𝑖′ = 0
= 0, 𝑖′ ≠ 𝑖
= 𝑖 ′ = 𝑁𝑥 − 1
= 𝑁𝑥 − 1, 𝑖 ′ ≠ 𝑖
𝑈(𝑥 = 0), 𝑖 = 0
𝑩 = [𝑏𝑖 ] = �
𝑈(𝑥 = 𝑙 𝑇 ), 𝑖 = 𝑁𝑥 − 1
0, 𝑖 = 0
𝑩 = [𝑏𝑖 ] = �
0, 𝑖 = 𝑁𝑥 − 1
II-82
Dans cette formule 𝑙 𝑇 est la longueur totale du dispositif. Pour des conditions de type
Neumann, c’est la valeur de la dérivée première qui est imposée aux extrémités. Cette
dérivée est supposée nulle. La représentation matricielle pour les deux méthodes est alors :
1,
𝑖 = 𝑖′ = 0
⎧
−1,
𝑖 = 0, 𝑖 ′ = 1
⎪
⎪
0,
𝑖 = 0, 𝑖 ′ > 1
𝑨 = �𝑎𝑖,𝑖 ′ �:
𝑖 = 𝑁𝑥 − 1, 𝑖 ′ = 𝑁𝑥 − 1
⎨−1,
II-83
⎪
𝑖 = 𝑁𝑥 − 1, 𝑖 ′ = 𝑁𝑥 − 2
⎪ 1,
⎩ 0,
𝑖 = 𝑁𝑥 − 1, 𝑖 ′ < 𝑁𝑥 − 2
0,
𝑖=0
𝑩 = [𝑏𝑖 ] = �
0,
𝑖 = 𝑁𝑥 − 1
Fig. II-12 montre le remplissage de matrice de Poisson pour pour les méthodes directe et
de Gummel et avec des conditions aux limites de type Dirichlet et Neumann.
(a)
A
i’ = 0
i=0
i’ = Nx-1
B
(b)
A
B
i = Nx-1
Fig. II-12 Remplissage de la matrice de Poisson pour un maillage avec Nx = 12, pour la méthode directe et de
Gummel et avec des conditions de (a) Dirichlet et (b) Neumann. Les cases marquées en blanc contiennent
toutes des coefficients nuls. Les coefficients marqués en gris clair suivent les règles de remplissage énoncées
dans Eq. II-70 et II-81. Les coefficients marqués en noir correspondent aux conditions aux limites et suivent
les règles de remplissage énoncées dans Eq. II-82 et II-83.
II.5.4
Approche full-Newton
Biegel suggère une méthode, qu’il appelle full-Newton, qui permet d’intégrer la
résolution de l’ETW et de l’EP dans le même système linéaire. Ceci est résolu par la méthode
de Newton-Raphson. Cette méthode n’est pas implémentée dans le solveur étudié au
Chapitre III, mais est reportée ici pour référence. Le système à résoudre est de la forme
[BP96] :
54
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
𝜕𝑂
⎡
⎢𝜕𝑓𝑊
⎢ 𝜕𝑃
⎢
⎣𝜕𝑓𝑊
𝜕𝑂
⎤
𝜕𝑢 ⎥
𝜕𝑃 ⎥
⎥
𝜕𝑢⎦
[𝑛]
𝛿𝑓
� 𝑊�
𝛿𝑢
[𝑛]
𝑓
= − � 𝑊�
𝑢
[𝑛]
II-84
La matrice jacobienne dans le terme de gauche est carrée de côté 𝑁𝑥 + 𝑁𝑥 𝑁𝑘 . Le terme
𝑂 provient de Eq. II-34 et est donné, en régime stationnaire, par la somme des termes de
dérive, de diffusion et des interactions. Le terme en haut à gauche correspond à la matrice
carrée 𝑨, de côte 𝑁𝑥 𝑁𝑘 , qui est donné par Eq. II-35 est qui est étudiée dans §II.3. Le terme
en bas à droite est la matrice carrée de côté 𝑁𝑥 donnée par Eq. II-81. Le terme en haut à
droite est donné par :
𝑁𝑘 −1
𝜕𝑂𝑖,𝑗
4𝜋
2𝜋(𝑖 − 𝑖 ′ )(𝑗 − 𝑗 ′′ )
=−
�
�𝑓𝑖,𝑗′′ sin �
��
𝜕𝑢𝑖 ′
𝑁𝑘 ℎ
𝑁𝑘
𝑗 ′′ =0
II-85
𝑁
𝑘
0 ≤ 𝑖′ − 𝑖 ≤
−1
2
Le terme en bas à gauche est donné par :
𝜕𝑃𝑖
𝑞 2 ∆𝑥
=
𝛿 ′
II-86
𝜕𝑓𝑖 ′ ,𝑗′ 2𝜀𝑖 𝑁𝑘 𝑖,𝑖
Figure Fig. II-13 montre le schéma de résolution. À chaque itération, les variations de la
WF et du potentiel par rapport à l’itération précédente sont calculées en une passe. Les
nouvelles valeurs de la WF et du potentiel sont ensuite calculées par :
[𝑛+1]
𝑓𝑊
[𝑛]
[𝑛]
= 𝑓𝑊 + 𝛿𝑓𝑊
𝑢[𝑛+1] = 𝑢[𝑛] + 𝛿𝑢[𝑛]
DÉBUT
Itération [𝒏 − 𝟏] Itération [𝒏]
II-87
Potentiel initial U[0] (x)
Solution de la matrice
jacobienne
NON
�𝒏′ �
′
OUI
𝜹𝒇
𝜹𝒖�𝒏 �
Max �� [𝒏′−𝟏] � , � [𝒏′𝑾−𝟏] � � < seuil
𝑼
𝒇
∞
Calcul Charge
𝑾
FIN
∞
Fig. II-13 Schéma de résolution du couplage entre l’ETW et l’EP avec application de la méthode full-Newton.
Biegel compare la méthode full Newton à celle de Gummel en régime transitoire : il
observe que, alors que la première devrait à priori donner une solution plus exacte, les deux
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55
II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
sont en pratique équivalentes en termes de justesse. De plus, la méthode de Gummel est
préférable puisqu’elle converge plus rapidement.
II.6
Conclusion du chapitre
Ce chapitre a illustré les implémentations couramment utilisées dans la littérature pour
la résolution directe déterministe de l’ETW. Le système discrétisé présenté ici s’applique à
une structure 1D. Il peut à priori être généralisé à des dispositifs multidimensionnels ;
cependant, l’augmentation des axes de discrétisation entrainerait l’explosion des ressources
nécessaires au calcul, et notamment de la mémoire pour le stockage des matrices. Un
problème similaire est rencontré dans la résolution directe de l’ETB. Dans le cas de l’ETW, il
est exacerbé par la nature intégrale du terme de dérive.
Même avec une configuration 1D, des problèmes de gestion de la mémoire peuvent
apparaître assez rapidement, dès que la densité du maillage des axes réel et réciproque est
poussée à quelques centaines de nœuds. En effet, le nombre de coefficients non-nuls dans la
matrice de l’ETW est proportionnel au cube du nombre de nœuds sur ces deux axes
confondus. Dans les chapitres qui suivent, des simulations seront réalisées afin d’évaluer si
de telles densités sont suffisantes pour effectuer des simulations réalistes.
Références
[Bie97]
B. A. Biegel, “Quantum electronic device simulation,” Ph.D. dissertation,
Stanford University, 1997.
[BM03]
J. Bastien and J.-N. Martin, Introduction à l’analyse numérique. Dunod, 2003.
[BP96]
B. A. Biegel and J. D. Plummer, “Comparison of self-consistency iteration
options for the Wigner function method of quantum device simulation,”
Physical Review B, vol. 54, no. 11, pp. 8070–8082, 1996.
[Fre86]
W. R. Frensley, “Transient response of a tunneling device obtained from the
Wigner function,” Physical Review Letters, vol. 57, no. 22, pp. 2853–2856, 1986.
[Fre87]
——, “Wigner-function model of a resonant-tunneling semiconductor device,”
Physical Review B, vol. 36, no. 3, pp. 1570–1580, 1987.
[GMN94]
K. K. Gullapalli, D. R. Miller, and D. P. Neikirk, “Simulation of quantum transport
in memory-switching double-barrier quantum-well diodes,” Physical Review B,
vol. 49, no. 4, pp. 2622–2628, 1994.
[gsl]
[Online]. Disponible sur : http://www.gnu.org/software/gsl/
[Gum64]
H. K. Gummel, “A self-consistent iterative scheme for one-dimensional steady
state transistor calculations,” IEEE Transactions on Electron Devices, vol. 11,
no. 10, pp. 455–465, 1964.
[JB91]
K. L. Jensen and F. A. Buot, “The methodology of simulating particle trajectories
through tunneling structures using a Wigner distribution approach,” IEEE
Transactions on Electron Devices, vol. 38, no. 10, pp. 2337 – 2347, 1991.
[JD77]
W. B. Joyce and R. W. Dixon, “Analytic approximations for the Fermi energy of
an ideal Fermi gas,” Applied Physics Letters, vol. 31, pp. 354–356, 1977.
[Jün09]
A. Jüngel, Transport equations for semiconductors. Berlin: Springer, 2009.
[Smi97]
S. W. Smith, The scientist and engineer’s guide to digital signal processing.
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
California Technical Publications, 1997.
[Sze81]
S. M. Sze, Physics of semiconductor devices, 2nd ed. Wiley-Interscience, 1981.
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II Dérivation et discrétisation de l’équation de transport de Wigner
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III
Implémentation de solveurs de l’équation de transport de
Wigner
Ce chapitre présente des séries de simulations réalisées avec le solveur de l’Équation de
Transport de Wigner (ETW) dont l’implémentation a été étudiée au Chapitre II, en
comparant les différentes méthodes de discrétisation des termes de dérive et de diffusion.
Ces simulations ont pour but de mettre en évidence les limitations de ce solveur et de
proposer des voies de recherche qui pourraient permettre de les surmonter.
La section §III.1 présente des simulations conduites sur deux types de structures : une
Diode à Tunnel Résonnante (DTR) en matériaux III-V et un barreau de silicium avec un profil
de dopage N+P+N+. Le but de ces simulations est d’observer l’allure de la Fonction de Wigner
(FW), ainsi que les profils de charge et les caractéristiques courant-tension ; le premier type
de structure est choisi pour ses caractéristiques quantiques, l’autre pour son caractère
plutôt classique. L’étude porte sur les différents schémas de discrétisation des termes de
dérive et de diffusion, sur l’ajustement des densités de maillage et sur l’introduction du
terme des collisions.
Cette étude a pour but d’examiner les limitations des schémas de discrétisation
couramment utilisés dans la littérature. Elle met notamment en évidence l’apparition
d’artefacts en forme de lobes dans la FW issue du solveur de l’ETW, et montre que la
solution de l’ETW n’est pas cohérente avec les conditions aux limites. Elle examine aussi
l’effet de ces artefacts sur les grandeurs macroscopiques calculées dans les simulations,
comme, par exemple, l’apparition de densités électroniques négatives. Dans cette section,
l’Équation de Transport de Boltzmann (ETB) est résolue en parallèle à l’ETW, afin de
comparer l’impact des artefacts dans les deux solveurs.
La section §III.2 étudie en détail l’implémentation du terme de dérive de l’ETW et de la
discrétisation du potentiel non-local. Dans ce but, cette section examine l’impact de
l’étendue et de la densité du maillage des vecteurs d’onde et propose une amélioration du
schéma de discrétisation qui permet de limiter en partie le problème des densités négatives
III.1
Étude des différentes implémentations du solveur de l’équation de
transport de Wigner : premières simulations
Dans cette section, l’implémentation du solveur de l’ETW, telle qu’elle est illustrée dans
Chapitre II, est testée sur plusieurs structures : une DRT et une jonction N+P+N+, en
matériaux III-V et en silicium respectivement. Le but est de mettre en évidence tout
problème affectant ce solveur, et d’observer l’impact des différents schémas de
discrétisation. Les maillages et les schémas numériques sont exactement les mêmes que
ceux montrés au Chapitre II. En particulier, la règle établie au §II.1.4 et illustrée sur la Fig. II-1
est toujours respectée : l’étendue du maillage suivant l’axe 𝑦 va de – 𝑙 𝑇 à 𝑙 𝑇 . Cette règle
comporte l’application au maillage de la condition 𝑁𝑥 = 𝑁𝑦 , où 𝑁𝑥 est le nombre de nœuds
à l’intérieur de la structure et 𝑁𝑦 est le nombre de nœuds suivant l’axe 𝑦.
III.1.1
Description des structures étudiées
Deux types de structures sont simulés. Fig. III-1 montre la première, qui est une DTR : elle
est constituée de deux régions de contact qui renferment deux barrières minces séparées
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59
III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
par un puits. Ce type de dispositif est étudié pour ses caractéristiques quantiques marquées.
Par exemple, les barrières sont suffisamment minces pour permettre une pénétration
partielle des fonctions d’onde ; de plus, des phénomènes de résonnance peuvent se
produire à l’intérieur du puits pour certains vecteurs d’onde incidents. Les simulations
effectuées sur les DTR et présentées dans la suite incluent des profils de charge à
polarisation nulle et des caractéristiques courant-tension.
L’implémentation de l’ETW a été étudiée à des nombreuses occasions sur ce type de
structure, et notamment avec des matériaux de type III-V. Les simulations de ce chapitre
reprennent les paramètres géométriques et reproduisent les mêmes types de matériaux
couramment utilisés dans la littérature. Pour ce qui est de la géométrie des dispositifs, les
contacts sont divisés en deux parties : une région fortement dopée à l’extérieur et une à
dopage plus faible à l’intérieur, appelée le buffer. Dans la région externe le dopage est
suffisamment fort pour maintenir un potentiel à peu près constant en résolution autocohérente. Le buffer sert à raccorder le profil de charge dans le contact dopé à celui dans la
barrière ; sans cette couche en plus, il y aurait un effet d’accumulation de charge au pied de
la barrière. La longueur des contacts est 30 nm [Fre87], dont 5 pour le buffer. La longueur
des barrières est 3 nm, celle du puits 5 nm.
Les matériaux simulées sont GaAs pour les contacts et le puits, alors que les barrières
sont en Al0.3Ga0.7As : cela donne une hauteur de barrière de 0.3 eV, alors que la masse
effective et la permittivité relative peuvent être considérées constantes tout le long du
dispositif, et égales à 0.063 et 12.9 respectivement. Les densités de dopage sont 2×1018 cm-3
dans les contacts externes, avec des niveaux dégénérés, et 2×1016 cm-3 dans les buffers et
zéro ailleurs. Dans ce type de structure, puisqu’il n’y a pas de région avec dopage P, les
électrons sont les porteurs majoritaires partout. Il n’est donc pas nécessaire d’inclure les
trous dans les simulations.
Avec ces paramètres géométriques et de dopage et à polarisation nulle, le solveur
converge correctement en quelques itérations, avec une densité de maillage de base de 100
nœuds dans les espaces réel et réciproque. Des problèmes de convergence commencent à
apparaître si le dopage des buffers est baissé ultérieurement, ou si la longueur des contacts
est augmentée sans que la densité du maillage suive.
60
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
Buffers
Régions de contact
Barrières
(a)
Puits
Potentiel
(b)
UB
x
Fig. III-1 Vue schématique de la première structure étudiée dans ce chapitre. Il s’agit d’une DTR en matériaux
de type III-V à sept couches. La vue (a) montre l’empilement des couches, alors que (b) montre le profil de
potentiel type obtenu avec une résolution auto-cohérente à polarisation nulle. Les régions de contact, les
buffers et le puits sont en GaAs ; les barrières sont en Al0.3Ga0.7As, avec une hauteur UB de 0.3 eV. Les dopages
18
-3
16
-3
sont de 2×10 cm dans les contacts et 2×10 cm dans les buffers.
La deuxième structure (cf. Fig. III-2) est un barreau en silicium, avec un profil de dopage
N P N . Ce dispositif est dimensionné pour simuler des conditions de transport semiclassique. En particulier, la hauteur et l’épaisseur de la couche dopée P+ sont telles que la
barrière de potentiel engendrée par cette couche soit suffisante pour causer une chute de la
densité d’électrons de plusieurs ordres de grandeur à son intérieur, même en tenant compte
de la marge de pénétration des fonctions d’onde. Le but de cette simulation est de vérifier la
validité de la solution de l’ETW dans ce type de conditions, qui peuvent se produire, par
exemple, dans le canal d’un transistor MOS en régime bloqué. Pour ce type de structure, les
simulations présentées ici sont limitées à la polarisation nulle. En fait, §III.1.3 montre que,
même à l’équilibre, des effets non négligeables liés à l’apparition de densités électroniques
négatives affectent les simulations.
+ + +
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61
III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
P+
N+
Potentiel
(a)
(b)
Niveau de Fermi
EC
x
EV
+
+ +
Fig. III-2 Vue schématique de la deuxième structure étudiée dans ce chapitre. Il s’agit d’une jonction P N P en
silicium. La vue (a) montre la succession des couches, alors que (b) montre le profil de potentiel type obtenu
19
-3
avec une résolution auto-cohérente. Le dopage est 5×10 cm dans toutes les régions.
Dans la suite, la longueur par défaut de la région centrale est fixée à 10 nm, alors que la
longueur des contacts est de 20 nm [YTO09], ce qui est cohérent avec la littérature où l’ETW
est appliquée à des dispositifs à base silicium. En effet, le Chapitre IV montre que cette
valeur est assez faible : dans une structure à barrière simple en silicium, la longueur
minimale pour laquelle la FW aux contacts est égale aux conditions aux limites utilisées ici
pour l’ETW se situe entre 25 et 30 nm. Cependant, les artefacts numériques qui sont décrits
dans ce chapitre ne sont pas affectés de façon significative si la longueur des contacts est
augmentée. Ceci laisse supposer que les artefacts engendrés par la longueur insuffisante des
contacts sont négligeables devant ceux qui affectent couramment la solution de l’ETW.
La masse effective est approximée à 0.5, qui est du même ordre de grandeur que les
masses longitudinale et transversale du silicium, et la permittivité relative est de 11.9. Les
jonctions sont abruptes et les dopages sont fixés à 5×1019 cm-3 : ces paramètres donnent une
hauteur de barrière proche de 1.2 eV à son sommet et une largeur de jonction entre 2 et
3 nm (cf. Fig. III-16).
La position des niveaux de Fermi 𝐸𝐹 dans les contacts est calculée en supposant une
ionisation totale des dopants [Sze81] :
−1
𝐸𝐹 − 𝐸𝐶 = 𝑘𝐵 𝑇 �𝐹1 �
2
𝑁𝐷 √𝜋
�
�
2𝑁𝐶
3
III-1
2𝜋𝑚𝑒∗ 𝑘𝐵 𝑇 2
𝑁𝐶 = 2 �
�
ℎ²
𝐸𝐶 est le niveau de la bande de conduction, 𝑚𝑒∗ est la masse effective des électrons, 𝑁𝐷
la densité des dopants donneurs aux contacts. 𝑘𝐵 est la constante de Boltzmann, 𝑇 la
température absolue, qui est fixée à 300 K. 𝐹1⁄2 est l’intégrale de Fermi d’ordre 1 / 2, qui est
donnée par :
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
c
¼M
G¼
c =¼ ? = F
M
b 1 + exp=¼ − ¼ ?
−
−
¼=
;¼ =
¨
III-2
Contrairement à la DRT, dans la région centrale du barreau de silicium les trous sont les
porteurs majoritaires ; ils doivent donc être inclus dans le calcul de la densité des densités de
charge. Puisque les structures simulées sont à l’équilibre, la densité des trous est calculée
par une statistique de Fermi-Dirac :
2
−
=
q c
!
M
√D
q =2
2D
est le niveau de la bande de valence et
III.1.2
∗
ℎ²
∗
X
M
III-3
!
est la masse effective des trous.
Simulation d’une structure à barrière double
III.1.2.1 Simulations à polarisation nulle
Fig. III-3 montre le profil 3D type de la FW obtenu avec une simulation auto-cohérente
sur une DTR à polarisation nulle.
× 1016
1.5
1.0
f
W
(SI)
2.0
0.5
0
1
60
0
-1
k (nm )
40
-1
20
0
x (nm)
Fig. III-3 FW dans une DTR à polarisation nulle. Les densités de maillage utilisées sont Nx = Ny = Nk = 100 nœuds.
Le schéma numérique utilise la méthode des rectangles pour le calcul du terme de dérive et une différentiation
du premier ordre pour celui de diffusion.
Dans les régions de contact, le profil a visuellement l’allure d’une Distribution de FermiDirac (DFD – cf. §II.2.3), puis il chute et il s’élargit en atteignant les barrières et le puits.
Fig. III-4 montre les profils de potentiel et de charge obtenus en variant les schémas
numériques de calcul des termes de dérive et de diffusion. Pour le terme de dérive (cf.
§II.3.3) les méthodes d’intégration utilisées implémentent soit la règle des rectangles aval,
soit la règle de Simpson. Pour le terme de diffusion (cf. §II.3.4) les schémas de différentiation
implémentent soit un premier, soit un troisième ordre.
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
Les courbes montrent des variations de la charge, notamment au milieu des barrières et
dans le puits. En particulier, il est possible d’observer que, en augmentant soit l’ordre du
schéma d’intégration, soit du celui de différentiation, il est possible de d’observer un effet
plus marqué d’accumulation de la charge dans le puits. Au niveau des contacts, l’utilisation
d’un schéma de différentiation d’ordre élevé permet d’observer un profil de charge plus plat
à proximité des extrémités de la structure. Les variations restent de toute manière limitées à
un facteur deux au plus au milieu du puits.
En ce qui concerne le potentiel, le choix du schéma de différentiation n’a pas d’effet
important, alors que celui d’intégration cause une augmentation du niveau de la bande de
conduction de quelques centièmes d’électronvolt dans la région centrale. Les mêmes
tendances sont observées en implémentant des ordres intermédiaires.
17
Rectangles - 1
x 10
(b)
-3
10
Rectangles - 3ème ordre
1
0
30
2.1
16
10
0
32
34
18
17
10
-3
n (cm )
-3
n (cm )
ordre
Simpson - 1er ordre
18
2
(a)
n (cm )
er
20
40
x (nm)
60
80
36
x (nm)
38
40
x 10
(c)
2
1.9
1.8
0
5
x (nm)
0.40
10
15
(d)
0.35
0.30
U (eV)
0.25
Rectangles - 1er ordre
Simpson - 1er ordre
0.20
Rectangles - 3ème ordre
0.15
0.10
0.05
0
-0.05
0
10
20
30
40
x (nm)
50
60
70
Fig. III-4 (a) Profils de la charge, avec des agrandissements (b) dans la région des barrières et du puits et (c) des
contacts, et (d) profils de la tension dans une DTR à polarisation nulle. Les densités de maillage utilisées sont Nx
= Ny = Nk = 100 nœuds. Les différentes courbes sont obtenues en variant le schéma de discrétisation des termes
de dérive et de diffusion. La première est obtenue avec une intégration par la règle des rectangles aval et une
différentiation de premier ordre respectivement. La deuxième montre une règle de Simpson est un premier
ordre, alors que la troisième utilise une règle des rectangles aval et une différentiation de troisième ordre.
Fig. III-5 montre les profils obtenus avec les schémas de discrétisation par défaut en
faisant varier la densité des maillages dans les espaces réel et réciproque. Encore une fois, la
variation des profils est assez réduite et tend à converger pour des densités autour de 300
nœuds.
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
0.40
(a)
N = 100
N = 200
N = 300
0.35
0.30
18
10
(b)
U (eV)
n (cm -3)
0.25
0.20
0.15
N = 100
N = 200
N = 300
17
10
0
10
20
30
40
x (nm)
50
60
70
0.10
0.05
0
0
10
20
30
40
x (nm)
50
60
70
Fig. III-5 Profils (a) de tension et (b) de charge dans une DTR à polarisation nulle, obtenus en faisant varier les
densités de maillage, en appliquant la condition N = Nx = Ny = Nk. Le terme de dérive utilise un schéma de
Simpson, celui de diffusion une différentiation de troisième ordre.
Les ordres de grandeur des charges dans les différentes régions de la structure et l’allure
du potentiel sont cohérents avec les résultats de simulations sur des dispositifs similaires
dans la littérature sur l’ETW. Pour ce qui est des solveurs autres que celui de Wigner, une
comparaison peut être faite avec le travail de Do [Do07], qui simule une structure similaire à
celle étudiée ici en résolvant l’ES. La structure de comparaison présente la même géométrie,
mais un dopage deux fois moindre dans les contacts et nul dans les buffers ; la différence de
la charge et le milieu des barrières est alors proche de deux décades, alors qu’elle est peu
plus grande qu’une décade ici.
III.1.2.2 Simulations à polarisation non-nulle : observation d’artefacts
numériques dans le profil de la fonction de Wigner
À polarisation non-nulle, la convergence avec un maillage à 100 nœuds n’est parfois pas
assurée. Le maillage par défaut est alors porté à 200 nœuds ; les conditions de convergence
optimales ont été observées avec un schéma de différentiation d’ordre deux pour le terme
de diffusion.
Alors que la structure s’écarte de l’équilibre, plusieurs artefacts numériques peuvent
affecter la justesse de la FW et des profils de charge et de potentiel. À forte polarisation, si
les collisions ne sont pas prises en compte dans une simulation, il est possible d’avoir une
charge non-neutre au niveau des régions de contact. Cet effet est dû à une surestimation de
l’injection des porteurs, qui ne sont pas ralentis par les collisions ; la WF en est ainsi affectée,
et perd toute ressemblance avec celle observée à l’équilibre (cf. Fig. III-6).
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65
III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
x 10
16
1
f
W
(SI)
2
0
-1
1
60
0
40
-1
-1
k (nm )
20
0
x (nm)
Fig. III-6 FW observée pour une DTR simulée avec une polarisation de 0.2 eV sans tenir compte des interactions
en appliquant des conditions de Dirichlet.
Puisque l’équilibre des charges n’est pas atteint, le potentiel issu de l’équation de
Poisson peut varier fortement dans les contacts, et une résolution auto-cohérente donne un
profil de potentiel de toute évidence irréaliste (cf. Fig. III-7). Cette condition peut se
résoudre en appliquant des conditions de Neumann au lieu des conditions de Dirichlet à
l’Équation de Poisson (EP – cf. §II.5.3). Un gradient nul est alors imposé au potentiel aux
bornes de la structure, et il se propage correctement à l’intérieur des régions de contact.
Alors que des conditions de Neumann ne permettent pas à priori d’imposer le potentiel,
puisque l’EP est résolue avec la méthode de Gummel, la position du niveau de Fermi est
fixée au niveau du terme correctif (cf. §II.5.2) ; ceci permet d’imposer une polarisation allant
jusqu’à quelques dixièmes de volt entre les deux contacts. La résolution numérique du
système donne des profils de potentiel réalistes à ces polarisations.
Dirichlet
Neumann
0.2
U (eV)
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
10
20
30
40
x (nm)
50
60
70
Fig. III-7 Profils de potentiel observé dans une DTR simulée de façon auto-cohérente avec une polarisation de
0.2 V, obtenus en imposant des conditions de Dirichlet et de Neumann à l’EP.
En réalité, cette solution ne fait que couvrir le problème sous-jacent, c’est-à-dire, que la
modélisation physique du système est incomplète puisqu’elle n’inclut pas les interactions. En
effet, alors que le potentiel a une allure réaliste, la charge n’est pas nécessairement
constante et peut osciller au niveau des contacts, comme montré sur la Fig. III-8.
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
18
n (cm )
10
-3
Oscillations
autour
de 2× 1018 cm -3
17
10
0
10
20
30
40
x (nm)
50
60
70
Fig. III-8 Profil de charge obtenu en appliquant des conditions de Neumann à une DTR avec une polarisation de
0.2 V. Contrairement au potentiel, la charge n’est pas constante au niveau des contacts (cf. notamment la
région de l’émetteur, où la chute devrait être minimale), mais oscille.
Cependant, il s’avère que, même lorsque les interactions sont prises en compte, des
artefacts similaires à celui montré sur la Fig. III-7 sont toujours présents ; en particulier, si les
interactions sont modélisées par un temps de relaxation, la valeur de ce paramètre n’affecte
pas de façon significative la chute du potentiel dans les contacts. Une explication pour ce
comportement est proposée ultérieurement au §III.2.
III.1.2.3 Impact du schéma numérique sur la fonction de Wigner et sur les
caractéristiques courant-tension
Le choix du schéma numérique à un effet quelque peu plus important qu’à polarisation
nulle, en particulier en ce qui concerne le terme de diffusion. Il a été observé que, à forte
polarisation, un schéma de différentiation de premier ordre a tendance à causer un
comportement fortement oscillatoire de la charge, notamment dans le contact émetteur.
Les oscillations s’atténuent avec un schéma de deuxième ordre (cf. Fig. III-9), alors qu’un
ordre trois converge assez difficilement.
18
-3
n (cm )
10
Oscillations
17
10
Diff. 1er ordre
Diff. 2ème ordre
0
10
20
30
40
x (nm)
50
60
70
Fig. III-9 Profil de charge obtenu avec une polarisation de 0.4 V, en appliquant un schéma d’intégration avec
règle des rectangles aval au terme de dérive et faisant varier l’ordre de différentiation du terme de diffusion.
Avec un premier ordre, des oscillations importantes apparaissent dans la charge au niveau de l’émetteur ; elles
s’estompent en utilisant un deuxième ordre.
La même figure montre d’ailleurs que, avec un schéma de second ordre, le profil de
charge dans la région centrale est plus cohérent avec celui obtenu à des niveaux de
polarisation plus faibles (cf. Fig. III-10), avec le deuxième minimum qui est plus bas que le
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67
III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
premier. À ces polarisations plus faibles, si les schémas d’intégration et de différentiation
sont modifiés, l’allure des profils de charge et de potentiel reste cohérente. Une règle des
rectangles couplée à une différentiation de premier ordre donnent l’écart maximal entre les
extrema locaux de la charge dans la région centrale ; l’application de la règle de Simpson
donne des minima élevés, alors qu’une différentiation de deuxième ordre donne un
maximum moins haut.
Rectangles - 2èm e ordre
(a)
(b)
Simpson - 2èm e ordre
Rectangles - 1er ordre
18
18
-3
n (cm )
10
-3
n (cm )
10
17
17
10
10
Rectangles - 2èm e ordre
Simpson - 2èm e ordre
Rectangles - 1er ordre
0
10
20
30
40
x (nm)
50
60
0
70
0.35
(c)
0.30
30
40
x (nm)
50
60
70
(d)
0.2
0.15
Rectangles - 2èm e ordre
0.10
Rectangles - 1er ordre
Simpson - 2èm e ordre
0.05
0
U (eV)
0.20
U (eV)
20
0.3
0.25
0.1
0
-0.1
-0.05
-0.10
0
10
10
20
30
40
x (nm)
50
60
70
-0.2
0
Rectangles - 2èm e ordre
Simpson - 2èm e ordre
Rectangles - 1er ordre
10
20
30
40
x (nm)
50
60
70
Fig. III-10 Densités de charge à des polarisations de (a) 0.1 et (b) 0.2 V et (c, d) de potentiel. Les profils sont
calculés pour une DTR en appliquant des différents schémas de discrétisation aux termes de dérive et de
diffusion, sans utiliser un terme des collisions. La configuration de base utilise un maillage avec Nx = Ny = Nk =
200 nœuds, une règle des rectangles pour le terme de dérive et une différentiation de deuxième ordre pour
celui de diffusion. Les autres sont obtenues soit en appliquant une règle de Simpson pour l’intégration, soit une
différentiation de premier ordre.
Le choix du schéma numérique a un impact assez faible sur la caractéristique couranttension ; cette caractéristique est en effet affectée le plus par la variation des paramètres de
maillage.
III.1.2.4 Impact des paramètres de maillage sur la caractéristique couranttension
Les densités des maillages peuvent affecter fortement les caractéristiques couranttension, comme montré sur la Fig. III-11. Le courant est calculé à partir de Eq. II-33, au
niveau du premier nœud à l’intérieur de la structure. Les courbes présentent la
caractéristique typique d’une DTR, avec un pic de courant suivi d’une région à résistance
négative. Le pic se produit lorsque le profil du potentiel dans la structure est tel que le
premier niveau de confinement dans le puits est aligné avec la bande de conduction dans le
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
contact émetteur, ce qui favorise le passage des porteurs à travers la structure. Si la
polarisation est augmentée, l’alignement est perdu, et le courant chute.
Que le terme des collisions soit en place ou pas, lorsque la densité du maillage est
augmentée, le rapport pic/vallée augmente, et les valeurs du courant ne convergent pas. Il
faut remarquer que, pour les valeurs maximales du maillage montrées dans la figure, avec la
discrétisation présentée au Chapitre II, l’espace mémoire utilisé pour contenir le système
linéaire de l’ETW atteint déjà plusieurs giga-octets.
9
x 10
-2
Densité de courant (Am )
7
Nx=Nk=300
6
N =N =400
x
k
N =N =500
5
x
k
4
(a)
3
2
4
x 10
(b)
3.5
3
2.5
2
1.5
Nx=Nk=100
1
Nx=Nk=200
0.5
1
0
0
9
N =Nk=100
x
Nx=Nk=200
Densité de courant (Am -2)
8
0.1
0.2
Polarisation (V)
0.3
0.4
0
0
Nx=Nk=300
0.1
0.2
Polarisation (V)
0.3
0.4
Fig. III-11 Caractéristiques courant-tension d’une DRT, obtenues en faisant varier les densités de maillage, en
appliquant la condition Nx = Ny = Nk, (a) sans et (b) avec application du terme des collisions. Dans le deuxième
-13
cas, l’approximation du temps de relaxation est utilisée (cf. §II.1.2), avec un temps de relaxation de 10 s.
III.1.2.5 Aspect de la fonction de Wigner aux contacts et dans la région quantique
Fig. III-12 montre le profil de la FW au premier nœud du côté émetteur à l’intérieur d’une
structure non polarisée. Ce profil est comparé avec celui imposé à la frontière, c'est-à-dire, à
une DFD. À l’extrémité émetteur, la condition limite est appliquée pour des vecteurs d’onde
positifs ; pour les vecteurs négatifs, elle est au contraire appliquée du côté du contact
collecteur. Alors que la simulation utilise les paramètres par défaut à polarisation nulle (règle
des rectangles pour l’intégration, premier ordre pour la dérivation), d’autres schémas
numériques ne montrent pas de différence significative. Des profils similaires sont d’ailleurs
obtenus avec les structures polarisées.
La figure montre que la FW au nœud à l’intérieur n’est cohérente avec celle à l’extrémité
que sur une plage assez limitée. Visuellement, pour des vecteurs d’onde positifs, les profils
sont cohérents sur quatre décades à peu près à partir du maximum ; la FW s’écarte ensuite
et se maintient à un niveau presque constant.
Fig. III-13 montre comment le point de séparation entre la FW et la DFD évolue en
fonction des densités de maillage. Globalement, les valeurs indiquées dans la figure sont
plus faibles que celles qui apparaissent à l’œil. Par exemple, sur la Fig. III-12, le lobe droit
paraît se séparer de la DFD pour 𝑘 > 1 nm-1, alors que, pour le même maillage, Fig. III-13
reporte une valeur deux fois plus petite pour les mêmes paramètres de maillage. Ceci est dû
au fait qu’un écart seuil de 1% est utilisé pour calculer le point de séparation, et qu’il est
difficile d’évaluer un tel écart visuellement. Pour la même raison, les ratios entre le
maximum de la DFD et sa valeur au point de séparation sont bien plus faibles que les quatre
décades observés sur la Fig. III-12. Fig. III-13 permet de constater que, même si avec
quelques irrégularités, la coordonnée du point de séparation augmente avec la densité de
maillage, en particulier celle dans l’espace réel 𝑁𝑥 . Ce résultat est bien attendu, puisque, si
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69
III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
𝑁𝑥 augmente, le premier nœud à l’intérieur de la structure se rapproche de l’interface. Cette
évolution est cependant assez contenue : par exemple, pour 𝑁𝑘 = 150, le fait de doubler la
densité 𝑁𝑥 de 200 à 400 nœuds ne déplace le point de séparation que de 0.3 et 0.5 nm-1. Des
densités beaucoup plus élevées seraient alors nécessaires pour baisser le lobe droit de la FW
de façon significative.
La séparation entre la DFD et la FW se produit encore plus tôt du côté des vecteurs
d’onde négatifs, puisque la FW s’écarte du profil de référence à peine deux décades en
dessous du maximum ; elle forme ensuite un artefact en forme de lobe qui décroit plus
lentement que la DFD, avec un comportement oscillatoire à l’extrémité du domaine maillé
des vecteurs d’onde. La nature de ces artefacts est étudiée en détail au §III.2.1, qui discute
des implications sur la justesse des profils de charge et de potentiel issus de l’ETW.
15
10
|fW| (SI)
10
10
5
10
Référence ∝ DFD
FW emitter
0
10
-2
-1
0
k (nm -1)
1
2
Fig. III-12 FW au premier nœud à l’intérieur d’une structure non polarisée à l’interface émetteur, comparé à la
condition à la limite à l’interface même. Les densités de maillage sont Nx = Ny = Nk = 100.
Nk
8
400
x 10
7
350
6
300
5
250
4
200
3
150
2
100
100
150
200
250
N
300
350
400
x
(a)
Fig. III-13 Continue à la page suivante.
70
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
400
-0.10
350
-0.15
-0.20
Nk
300
-0.25
250
-0.30
-0.35
200
-0.40
150
-0.45
100
100
150
200
250
Nx
300
350
400
-0.50
(b)
Fig. III-13 (a) Évolution de la valeur du vecteur d’onde kSep au point de séparation entre la DFD imposée à
l’extrémité d’une structure et la FW calculée au premier nœud à l’intérieur, pour un écart seuil de 1%. (b)
Logarithme à base 10 du ratio entre le sommet de la DFD et sa valeur au point de séparation kSep.
Fig. III-14 montre la FW à des nœuds situés à peu près au pied de la barrière du côté
émetteur, au milieu de la même barrière et au milieu du puits. Tout comme la FW à
l’émetteur, les profils montrés ici ne sont pas symétriques, en dépit de la polarisation nulle.
En effet, le profil au milieu du puits devrait être symétrique, puisque il se trouve au point
moyen du système ; cependant, il ne l’est pas à cause du faible écart entre le nœud
sélectionné et le milieu exact de la structure.
La FW dans les trois courbes ne chute que d’un peu plus d’une décade entre l’origine de
l’axe des vecteurs d’onde et les extrémités du domaine maillé, ce qui laisse supposer que la
justesse du calcul de la charge peut être affectée par une erreur considérable. Cette erreur
est d’autant plus importante que la FW peut prendre des valeurs négatives, comme par
exemple au milieu de la barrière, et que des portions importantes de la courbe près de sa
région centrale s’annulent réciproquement. Finalement, la pente des profils de distribution
est très irrégulière et ne tend pas vers zéro à proximité des extrémités du maillage, ce qui est
mis en évidence dans le tracé semilogarithmique. Les implications de ces observations et
l’effet de la forme de ces profils sur le calcul de la charge sont étudiés au §III.2.2.
15
2.5
x 10
16
Pied barrière
Milieu barrière
Milieu puits
2
10
(a)
14
10
W
|fW| (SI)
1.5
f (SI)
(b)
1
12
10
0.5
Pied barrière
Milieu barrière
Milieu puits
0
-0.5
10
-2
-1
0
k (nm -1)
1
2
10
-2
-1
0
k (nm -1)
1
2
Fig. III-14 FW à des nœuds placés à peu près à l’extrémité gauche de la barrière du côté émetteur, au milieu de
la même barrière et au milieu du puits, en tracé (a) linéaire et (b) semilogarithmique. Les densités de maillage
sont Nx = Ny = Nk = 200.
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71
III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
III.1.3
Simulation d’un barreau de silicium à polarisation nulle
Fig. III-15 montre le profil 3D type de la FW obtenu avec une simulation auto-cohérente
sur une structure N+P+N+ en silicium à polarisation nulle. La figure montre en particulier la
région centrale. Comme pour la DTR (cf. Fig. III-3), la FW s’élargit aux pieds de la barrière. Le
profil dans les régions N+ est plus large que les matériaux III-V, à cause de la masse relative
plus élevée du silicium.
x 10
16
6
f
W
(SI)
4
2
0
2
0
-2
k (nm -1)
+ +
15
20
25
30
35
x (nm)
+
Fig. III-15 FW dans une structure N P N à polarisation nulle. Les densités de maillage utilisées sont
Nx = Ny = Nk = 400 nœuds. Le schéma numérique utilise la méthode des rectangles aval pour le calcul du terme
de dérive et une différentiation du premier ordre pour celui de diffusion.
Fig. III-16 montre les profils de tension et de densité électronique obtenus avec une
simulation auto-cohérente sur un barreau de silicium à polarisation nulle. De façon similaire
à §III.1.2, les simulations utilisent des différents schémas de discrétisation des termes de
dérive et de diffusion.
Un premier constat concernant les simulations sur ce type de structure est qu’il a été
toujours nécessaire d’implémenter des conditions de Neumann avec gradient nul du
potentiel dans la résolution de l’EP. Si des conditions de Dirichlet sont utilisées à la place, la
charge résiduelle dans les régions de contact est suffisante pour causer une variation du
potentiel de l’ordre de 1 V dans chaque contact. La présence de cette charge résiduelle ne
peut pas être due au fait que les collisions sont négligées, puisque la structure est à
l’équilibre ; la cause réelle est étudiée plus en détail dans la suite.
Un autre artefact commun à la plupart des simulations réalisées sur des structures
silicium est que la densité électronique calculée dans la région centrale atteint des valeurs
négatives (sur la Fig. III-16, où la valeur absolue est tracée, la densité électronique devient
négative à partir du moment où le profil remonte, au milieu de la région centrale dopée P+).
Ce résultat n’a évidemment pas de sens physique, et la suite de ce chapitre discute s’il est dû
à l’erreur numérique, ou alors à une mauvaise implémentation du solveur. La figure montre
que l’application d’un schéma de Simpson peut éliminer ce problème dans certaines
configurations, telles que la géométrie par défaut utilisée ici. Des charges négatives
réapparaissent toutefois même avec Simpson si la différence de dopage entre les régions N+
et P+ est plus marquée, ou si la couche centrale est plus épaisse.
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
Pour le barreau simulé, c’est la méthode d’intégration du terme de dérive qui affecte le
plus la charge, plutôt que la différentiation du terme de diffusion ou les densités des
maillages. Finalement, il est possible de remarquer que l’allure du profil de potentiel n’est
pas affectée de façon significative par le type d’implémentation.
20
10
Rectangles
Trapèzes
Simpson
18
(b)
1.0
0.8
16
10
U (eV)
|n| (cm-3)
10
1.2
(a)
0.6
0.4
14
10
0.2
0
12
10
15
20
25
x (nm)
30
35
-0.2
15
20
25
x (nm)
30
35
Fig. III-16 (a) Densité électronique et (b) profil de tension dans un barreau de silicium à polarisation nulle. Les
densités de maillage utilisées sont Nx = Ny = Nk = 400 nœuds. Les différentes courbes sont obtenues en variant
le schéma d’intégration dans le terme de dérive, en appliquant les méthodes des rectangles aval, des trapèzes
et de Simpson. Le terme de diffusion est implémenté avec une méthode de différentiation au premier ordre.
Les trois profils de potentiel se superposent parfaitement.
III.1.3.1 Comparaison du solveur de l’équation de Wigner avec ceux de l’équation
de Boltzmann et de l’équation de Schrödinger pour le barreau de silicium
Fig. III-17 compare trois profils de densité électronique obtenus pour un barreau de
silicium à polarisation nulle. Le premier est calculé par le solveur de Wigner ; le deuxième
par le solveur de l’Équation de Transport de Boltzmann (ETB – cf .§I.3) et le troisième en
solvant directement l’Équation de Schrödinger (ES) par la Méthode des Matrices de Transfert
(MMT – cf. §IV.1.3.3). L’épaisseur de la couche centrale est fixée à 15 nm, afin de mieux
différencier les trois courbes.
Le profil obtenu par le solveur de Boltzmann se différencie des deux autres puisque la
densité électronique chute plus rapidement dans la région centrale dopée P+. Ceci s’explique
par le fait que ce solveur ne tient pas compte des effets quantiques, et donc de la
pénétration de l’onde électronique dans la barrière. Les profils obtenus par les solveurs de
Wigner et de Schrödinger, qui au contraire tiennent compte de ces effets, devraient avoir
des caractéristiques similaires, mais seul celui issu de l’ES montre correctement une densité
électronique positive en tout point de la structure.
Dans cette simulation, l’ETW et l’ES décrivent exactement les mêmes fonctions d’onde,
étant donné que les structures sont à l’équilibre (cf. §II.1). La différence observée entre les
deux courbes suggère donc que l’implémentation utilisée pour le solveur de Wigner est
inadaptée à caractériser des chutes de densité de charge dépassant quatre à cinq décades.
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
20
10
Région à densité
électronique
négative
-3
|n| (cm )
10
10
Pénétration de la
fonction d'onde
dans la barrière
0
10
Boltzmann
Wigner
Schrödinger
0
10
20
x (nm)
30
40
50
Fig. III-17 Profils de densité électronique dans un barreau de silicium à polarisation nulle, obtenus en résolvant
l’ETB, l’ETW et l’ES.
III.1.3.2 Aspect de la fonction de Wigner aux contacts et au milieu de la structure
Cette section présente l’allure de la FW calculée à des endroits particuliers d’un barreau
de silicium, de façon similaire à §III.1.2.5 pour la DTR. Fig. III-18 montre le profil de la FW au
premier nœud à l’intérieur de la structure du côté émetteur, comparé avec la DFD qui est
imposée à la frontière. Le constat est similaire à celui fait pour la DTR : la FW calculée est
asymétrique, et montre des lobes qui divergent du pic central, quatre décades en dessous du
sommet pour les vecteurs d’onde positifs et deux seulement pour ceux négatifs.
15
10
|fW| (SI)
10
10
5
10
Référence ∝ DFD
FW émetteur
0
10
-8
-6
-4
-2
0
2
k (nm -1)
4
6
8
Fig. III-18 FW au premier nœud à l’intérieur d’une structure non polarisée à l’interface émetteur, comparé à la
condition à la limite à l’interface même. Les densités de maillage sont Nx = Ny = Nk = 400.
Fig. III-19 montre la FW au nœud au milieu de la structure. Tout comme pour la DTR, la
chute de la FW par rapport à sa valeur à l’origine de l’axe des vecteurs d’onde est très faible,
et le comportement est oscillatoire. De plus, aux extrémités du domaine maillé, au lieu de
converger vers une valeur nulle, la FW s’écarte rapidement et atteint des valeurs négatives
au moins trois fois plus élevées que sa valeur près de l’origine.
Comme les densités négatives observées précédemment, cet artefact est clairement dû à
une erreur numérique de quelque sorte. En effet, si le profil était exact, il indiquerait la
présence de porteurs à haute énergie à la limite du domaine maillé, ce qui n’a pas de sens
physique, d’autant plus que ces extrema se déplacent si l’étendue du maillage est modifiée.
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
11
0.5
x 10
12
10
(a)
0
11
10
-0.5
|f | (SI)
W
-1
fW (SI)
(b)
-1.5
-2
10
10
9
10
-2.5
-3
8
-3.5
-15
-10
-5
-1
k (nm )
10
15
10
5
0
-5
-10
-15
0
-1
k (nm )
15
10
5
Fig. III-19 FW au nœud qui se trouve à peu près au milieu du barreau de silicium, en (a) tracé linéaire et (b)
semilogarithmique. Les densités de maillage sont Nx = Ny = Nk = 400.
Ce comportement est très différent de celui observé en résolvant l’ETB : la Fonction de
Boltzmann (FB) au milieu de la structure tend bien vers zéro aux extrémités du domaine
maillé (cf. Fig. III-20).
12
x 10
(a)
(b)
10
6
10
4
10
0
B
|f | (SI)
fB (SI)
8
2
-20
10
0
-2
-10
10
-30
-6
-4
-2
0
-1
k (nm )
2
4
6
10
-6
-4
-2
0
-1
k (nm )
2
4
6
Fig. III-20 FB au nœud qui se trouve à peu près au milieu du barreau de silicium, en (a) tracé linéaire et (b)
semilogarithmique. Les densités de maillage sont Nx = Ny = Nk = 400. Les oscillations qui portent la FB à
atteindre des valeurs négatives sont dues à l’erreur numérique.
III.1.4
Résumé des résultats marquants
Les deux types de structure présentés dans cette section ont des caractéristiques très
différentes. Dans le cas de la RTD en matériaux III-V, les barrières sont suffisamment basses
et peu épaisses pour que la fonction d’onde associée aux porteurs pènètre à leur intérieur.
La densité électronique ne descend alors pas plus de deux décades en dessous de sa valeur
maximale dans les contacts. Au contraire, dans le barreau en silicium, Fig. III-17 montre que
les jonctions abruptes et l’épaisseur élevée de la couche centrale dopée P+ causent une
chute de la densité électronique qui dépasse quatre décades.
Globalement, les simulations montrent que le type d’implémentation des termes de
dérive et de diffusion n’affecte pas de façon significative les profils de charge ou de potentiel
dans les structures étudiées. Dans certains cas isolés, le choix d’une méthode précise
d’intégration ou de différentiation peut donner une solution plus réaliste ou qui converge
plus facilement. C’est le cas, par exemple, de l’application d’une différentiation de deuxième
ordre à la DTR polarisée et couplée à l’EP avec conditions de Neumann, où encore de
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
l’application d’une intégration avec règle de Simpson au barreau de silicium. Ces effets sont
cependant limités à des paramètres géométriques précis, et peuvent être éliminés par une
faible modification de la géométrie des dispositifs ou des dopages.
L’effet d’une variation des densités de maillage est plus difficile à caractériser : d’un côté,
les profils de charge et de tension ne sont pas affectés de façon significative sur aucun
dispositif. D’un autre côté, l’augmentation du nombre de nœuds dans la simulation d’une
DTR cause une variation importante de la caractéristique courant-tension, dont le rapport
pic/vallée croît sans arriver à converger.
Un autre problème mis en évidence est l’apparition de densités électroniques négatives.
Cet artefact est clairement lié au solveur de Wigner, puisque des profils obtenus par MMT
ne montrent pas le même effet. Plusieurs simulations indiquent que des charges négatives
commencent à apparaître dès que la densité varie de plus de quatre à cinq ordres de
grandeur à l’intérieur de la structure. Cette marge est très faible, notamment lorsque elle est
comparée à la précision machine utilisée dans les calculs (double standard IEEE 754, qui
correspond à entre 15 et 16 chiffres significatifs). Dans certaines simulations, un artefact
similaire a été observé aussi en résolvant l’ETB, mais avec une marge de plus de dix ordres
de grandeurs.
Un autre artefact rencontré est que la charge calculée à partir de l’ETW n’équilibre pas
complètement celle des dopants ionisés dans les régions de contact. Cela cause une chute
irréaliste du potentiel dans les contacts.
Pour ce qui concerne l’aspect de la FW, au niveau des contacts elle suit le profil d’une
DFD dans une région assez restreinte centrée sur l’origine de l’axe des vecteurs d’onde ; à
l’extérieur de cette région, elle se sépare du profil de référence et forme des artefacts en
forme de lobes. Au milieu de la structure, la FW montre un comportement non physique aux
extrémités du domaine maillé des vecteurs d’onde, puisqu’elle ne tend pas vers zéro.
Un obstacle dans la résolution de l’ETW est que la FW peut admettre des valeurs
négatives : c’est son moment d’ordre zéro par rapport aux vecteurs d’onde (la charge) qui
doit être positif. Par comparaison, la FB, qui est la solution de l’ETB, est toujours positive.
Ainsi, si la solution de l’ETB en un nœud quelconque est négative, il est tout de suite possible
de reconnaître une forme d’erreur numérique ; la valeur peut d’ailleurs être corrigée et
ramenée à zéro. Cela n’est pas possible dans le cas de l’ETW. La suite de ce chapitre étudie
plus en détail les problèmes mis en évidence dans cette première partie.
III.2
Étude des causes d’erreur numérique dans la résolution de
l’équation de transport de Wigner
Cette section commence par reprendre certaines observations faites au §III.1, en
particulier les artefacts en forme de lobes observées dans la FW à proximité des frontières
de la structure. Afin de trouver un début d’explication pour ces artefacts, l’étude porte alors
sur le terme de dérive, qui, à cause de sa formulation intégrale et de la présence d’une TF,
est celui dont la discrétisation est la plus problématique.
Il n’est pas sensé de rechercher des solutions à ces artefacts en affinant les maillages de
façon indiscriminée : les contraintes en mémoire liées au remplissage du système linéaire ne
permettent en effet que d’augmenter les densités d’un facteur 4 à 5 au plus. Au lieu de
regarder le système entier, il est plus raisonnable d’en considérer un morceau, comme par
exemple une ligne seulement, d’en observer le comportement si les paramètres de maillage
sont variés et finalement d’extrapoler les observations faites. Cette approche est utilisée ici :
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
l’étude de la matrice de dérive ne concerne qu’un bloc (par exemple, au premier nœud à
l’intérieur de la structure du côté de l’émetteur), ou alors une seule ligne de ce bloc.
L’étude porte d’abord sur le domaine de discrétisation et sur la densité de l’espace des
vecteurs d’onde. Ce maillage intervient en effet dans le calcul du potentiel non-local, et donc
du remplissage de la matrice de dérive. Dans cette première partie, la condition énoncée au
§II.1.4 sur le maillage de l’axe 𝑦 (étendue de – 𝑙 𝑇 à 𝑙 𝑇 , et 𝑁𝑥 = 𝑁𝑦 = 𝑁𝑘 ) est toujours
respectée. Dans la dernière partie, par contre, une nouvelle définition est proposée pour ce
maillage, ce qui permet de résoudre en partie les problèmes de densités électroniques
négatives.
III.2.1
Observations d’artefacts en forme de lobes dans la fonction de Wigner
aux contacts
À proximité des extrémités d’un dispositif, la FW se sépare brusquement du profil d’une
DFD et forme deux lobes (cf. §III.1.2.2 et §III.1.3.2). La forme des ces lobes varie suivant le
signe du vecteur d’onde, mais reste cohérente pour des structures différentes.
Du côté émetteur, le lobe gauche (vecteurs d’onde négatifs) s’écarte de façon visible de
la référence deux décades en dessous du sommet, puis il continue de chuter lentement pour
des vecteurs d’onde croissants. Son point de séparation se trouve plus en haut que le lobe
droit. Ceci peut s’expliquer par le fait que, pour les vecteurs d’onde négatifs, la condition à la
limite est imposée à l’autre extrémité du dispositif. La différence entre les deux lobes serait
alors due simplement à propagation de l’erreur numérique à travers la structure.
Le lobe droit (vecteurs d’onde positifs) s’écarte de façon visible du pic central quatre
décades en dessous du sommet, puis se maintient à un niveau à peu près constant jusqu’à
l’extrémité du domaine maillé. La forme du lobe ne varie de façon significative si le nœud est
rapproché de l’extrémité, même si la distance est réduite de moitié ou plus : le point de
séparation s’éloigne quelque peu de l’origine, mais le lobe ne chute ensuite pas plus de
quatre décades.
Bien que le point de séparation du lobe droit soit mois élevé que celui de gauche, la
présence même d’un lobe pour des vecteurs d’onde positif est symptomatique d’un
problème peut être plus grave : l’erreur numérique qui affecte la propagation de la condition
à la limite vers l’intérieur de la structure est déjà élevée à proximité de la frontière (cf.
Fig. III-12 et Fig. III-18). Ainsi, toute variation de plus de quatre à cinq ordres de grandeur du
profil de la FW à l’extrémité se perd dans le bruit numérique. De plus, la présence des lobes
cause une surestimation de la charge dans les contacts, qui, n’étant pas compensée
entièrement par les impuretés dopantes, porte à la variation importante du potentiel
observée dans le barreau de silicium.
Ces constats suggèrent que le système linéaire implémenté n’arrive pas à suivre de façon
exacte la propagation de la FW lorsque celle-ci subit une atténuation de quelques décades à
cause, par exemple, d’une barrière de potentiel. Ceci est le cas pour le barreau de silicium
dans les simulations présentées précédemment. Dans la DRT, au contraire, les barrières sont
suffisamment minces pour que les variations de la charge, et donc de la FW, soient
contenues à deux décades tout le long de la structure. Les lobes ont donc un impact moindre
sur le calcul de la charge.
En comparaison, cette erreur numérique affecte moins la résolution de l’ETB, puisque la
FB et la charge peut être calculées même avec des atténuations de plus de dix décades. Il est
alors possible de supposer que l’erreur soit au moins en partie liée au terme de dérive, qui
différencie les deux équations. Dans la suite, certaines sources d’erreur dans la résolution de
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77
III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
l’ETW sont étudiées, et notamment, la discrétisation du terme de dérive et les phénomènes
d’aliasing dans le calcul du potentiel non-local.
III.2.2
Discrétisation du terme de dérive
Fig. III-21 montre un tracé 3D du bloc de la matrice de dérive au deuxième nœud du
barreau de silicium, pour l’ETW et pour l’ETB. Dans le cas de l’ETB, ce terme est bidiagonal :
la diagonale centrale est nulle, et les deux à côté ont des valeurs opposées. Le problème de
la dimension du bloc, et donc de la définition du maillage dans l’espace réciproque, ne se
pose ainsi pas pour ce système, puisque tous les coefficients au delà des trois diagonales
centrales sont nuls.
Dans le cas de l’ETW, la diagonale centrale est la seule au contraire à contenir des termes
à priori nuls. Fig. III-22 affiche la ligne du milieu du bloc de l’ETW. Le bloc est antisymétrique
par rapport à la diagonale. Pour des vecteurs d’onde croissants, les coefficients du terme de
dérive oscillent fortement, alors que leurs valeurs absolues décroissent. Avec le maillage
utilisé dans la structure, la fonction enveloppe qui relie les extrema de ces oscillations
décroit d’à peine trois ordres de grandeur par rapport à sa valeur absolue maximale à côté
de la diagonale centrale. Ainsi, à cause de la taille limitée des blocs, le terme matriciel de
dérive est coupé de façon abrupte et artificielle, contrairement à l’ETB.
Matrice dérive (i=1, i'=1) (SI)
x 10
14
(a)
4
2
0
-2
-4
20
15
20
15
10
10
5
j'
0
5
j
0
11
Matrice dérive (i=1, i'=1) (SI)
x 10
(b)
5
0
-5
-10
20
15
20
15
10
10
5
j'
0
5
0
j
78
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
Fig. III-21 Aspect du bloc diagonal du terme de dérive (a) de l’ETW et (b) de l’ETB obtenus sur le barreau de
silicium présenté dans §III.1.1, au premier nœud à l’intérieur de la structure (i = i’ = 1, cf §II.3.2), pour les 20
premiers indices du maillage dans l’espace des vecteurs d’onde (0 ≤ (j, j’) ≤ 19). Nx = Ny = Nk = 400.
14
x 10
15
(a)
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
50
10
|Matrice dérive| (i=i'=1, j=100) (SI)
Matrice dérive (i=i'=1, j=100) (SI)
4
(b)
14
10
13
10
12
10
11
10
10
100
j'
150
10
0
50
100
j'
150
200
Fig. III-22 Aspect de la ligne au milieu du bloc du terme de dérive de Fig. III-21 pour le solveur de l’ETW, en
tracé (a) linéaire et (b) semilogarithmique.
III.2.3
Étude de l’étendue du maillage des vecteurs d’onde pour améliorer la
justesse du calcul exact du terme de dérive
Une méthode pour déterminer si la coupure abrupte de la matrice de dérive a un impact
sur le calcul de la FW est de faire varier l’étendue du domaine maillé des vecteurs d’onde et
d’observer l’effet sur la solution du système matriciel. La marge de variation de l’étendue du
maillage étant assez réduite à cause des contraintes en espace mémoire, il est sensé
d’essayer tout d’abord d’estimer de combien l’enveloppe de la matrice de dérive varie en
fonction de cette étendue. Si la variation est relativement faible, l’approche décrite ci-dessus
risque de ne pas aboutir à un résultat concluant, puisque la chute éventuelle des lobes serait
négligeable.
Afin de procéder à une telle estimation, cette section présente un calcul numérique du
terme de dérive dans trois structures simples, telles qu’elles sont montrés sur la Fig. III-21. La
première est constituée d’une barrière rectangulaire simple de 3 nm de longueur ; la
deuxième est constituée de deux barrières de 3 nm de longueur séparées d’un puits de 5
nm. Les paramètres sont représentatifs de matériaux III-V : la masse relative est 0.063, la
permittivité est 12.7 et la hauteur de barrière est de 0.3 eV. Le profil du potentiel est
constant au niveau des contacts, qui ont une longueur de 30 nm. La troisième structure
représente une jonction N+P+N+ à base silicium, avec les trois couches qui ont la même
longueur de 10 nm et le même dopage de 5×1019 cm-3. La masse relative est égale à 0.5
partout et la permittivité est de 11.9. Les jonctions sont modélisées par deux profils
paraboliques, qui s’étendent de 𝑤𝑁 et 𝑤𝑃 à l’intérieur des régions respectives. Puisque la
permittivité 𝜀 et la densité de dopage 𝑁 sont égales tout le long de la structure et que la
jonction est supposée abrupte les deux étendues sont données par [Sze81] :
1
𝜀𝑉bi 2
𝑤𝑁 = 𝑤𝑃 = �
�
𝑒𝑁
En supposant des niveaux dégénères, La hauteur de barrière 𝑉bi est donnée par :
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III-4
79
III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
𝑉bi = 𝐸𝐺 + [𝐸𝐹 − 𝐸𝐶 ]𝑁 + [𝐸𝑉 − 𝐸𝐹 ]𝑃
−1
[𝐸𝐹 − 𝐸𝐶 ]𝑁 = 𝑘𝐵 𝑇 �𝐹1 �
2
−1
[𝐸𝑉 − 𝐸𝐹 ]𝑉 = 𝑘𝐵 𝑇 �𝐹1 �
2
𝑁𝐷 √𝜋
�
�
2𝑁𝐶
𝑁𝐴 √𝜋
�
�
2𝑁𝑉
;
;
3
2𝜋𝑚𝑒∗ 𝑘𝐵 𝑇 2
𝑁𝐶 = 2 �
�
ℎ²
III-5
3
2
2𝜋𝑚ℎ∗ 𝑘𝐵 𝑇
𝑁𝑉 = 2 �
�
ℎ²
𝐸𝐺 est l’énergie de gap du semiconducteur (1.12 eV pour le silicium), 𝐸𝐶 la bande de
conduction et 𝐸𝑉 la bande de valence ; les indices 𝑁 et 𝑃 indiquent les régions respectives.
Le potentiel reste constant en dehors de la jonction. Les trois profils sont simplifiés, puisque
le but de cette étude n’est que d’estimer un ordre de grandeur pour l’étendue minimale du
maillage.
0.3 eV
EC
(a)
3 nm
30 nm
0.3 eV
EC
(b)
3 nm
30 nm
5 nm
Vbi
EF
(c)
EC
EV
10 nm
wN
wP
Fig. III-23 Profils de potentiel utilisés dans les simulations de cette section. (a) Barrière simple et (b) double en
+ + +
19
-3
matériaux III-V ; (c) jonction N P N en silicium avec dopage de 5×10 cm . Le potentiel de jonction donné par
Eq. III-5 a une valeur proche de 1.4 eV.
Fig. III-24 montre l’allure du potentiel non-local 𝛿𝑈(𝑥, 𝑦) dont l’intégrale est calculée
exactement pour 𝑥 = 0 dans la structure à barrière simple. Ce terme est égal à un facteur de
proportionnalité près aux coefficients de la matrice de dérive (cf. Eq. II-40). Ce facteur est
égal à l’espacement ∆𝑦 entre nœuds suivant l’axe 𝑦. Le potentiel non-local est la TF du
terme ∆𝑈(𝑥, 𝑦), donné par Eq. II-21. Le terme ∆𝑈 est aussi affiché dans la figure. Le tracé
logarithmique des valeurs de ∆𝑈 montre que la chute de l’enveloppe du potentiel non-local
est d’une décade pour chaque décade de variation du vecteur d’onde. Ce résultat est
cohérent avec la forme du potentiel, qui est décrit par une fonction rectangulaire, dont la TF
est la fonction sinc(𝑥) = sin(𝑥)⁄𝑥 (cf. §IV.2). L’enveloppe qui relie les extrema de cette
80
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
fonction évolue de façon inversement proportionnelle à 𝑥, et donc montre le comportement
observé dans la figure.
Ainsi, pour produire une chute non-négligeable (par exemple, quelques décades) de
l’enveloppe des coefficients de la matrice de dérive, il faudrait augmenter l’étendue du
maillage du même ordre de grandeur, ce qui n’est pas possible avec l’implémentation du
système matriciel du solveur actuel.
(a)
1 décade
1 décade
Pente
log-log
(b)
(c)
Fig. III-24 Barrière rectangulaire simple. (a) Terme ΔU(x = 0, y), pour une étendue du maillage y de –lT à lT, où lT
est la longueur du dispositif ; aspect du potentiel non-local δU(x = 0, k) en tracé (b) linéaire et (c) logarithmique.
Ce constat se reproduit dans le cas de la barrière double, qui est aussi produite par une
superposition de fonctions rectangulaires (cf. Fig. III-25).
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
(a)
1 décade
1 décade
Pente
log-log
(b)
(c)
Fig. III-25 Barrière rectangulaire double. (a) Terme ΔU(x = 0, y), pour une étendue du maillage y de – lT à lT, où lT
est la longueur du dispositif ; aspect du potentiel non-local δU(x = 0, k) en tracé (b) linéaire et (c) logarithmique.
(a)
Fig. III-26 Continue à la page suivante.
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
1 décade
1 décade
Pente
log-log
(b)
+ +
(c)
+
Fig. III-26 Jonction N P N . (a) Terme ΔU(x = 0, y), pour une étendue du maillage y de –lT à lT, où lT est la
longueur du dispositif ; aspect du potentiel non-local δU(x = 0, k) en (b) tracé linéaire et (c) logarithmique.
Le même type de chute est observé pour la jonction en silicium (cf. Fig. III-26). Ceci
pourrait paraître en contradiction avec l’explication donnée précédemment, c'est-à-dire, que
l’enveloppe chute de façon inversement proportionnelle au vecteur d’onde parce que le
profil du potentiel est une fonction rectangulaire. En effet, le profil est ici parabolique, ce qui
devrait donner une chute plus rapide puisque les raccordements du potentiel aux interfaces
entre les différentes régions sont continus ; au contraire, la relation de proportionnalité
inverse se maintient. Cependant, puisque la variable 𝑦 est divisée par deux dans le calcul de
∆𝑈, ce dernier terme est coupé de façon abrupte au milieu du dispositif, comme montré
dans la figure. Cette discontinuité peut être considérée comme une fonction rectangulaire,
et elle limite donc la chute des coefficients de dérive. Ainsi, avec l’implémentation actuelle
de l’ETW, il est impossible d’augmenter l’étendue du maillage suffisamment pour étudier
l’effet de chute de la fonction enveloppe.
Un autre facteur dont il faut tenir compte est que, dans le système matriciel du solveur
de l’ETW, les coefficients de la matrice de dérive sont multipliés, et donc pondérés, par la
FW (cf. Eq. II-40 à II-43). Au niveau des contacts, ce facteur de pondération tombe de 15
décades pour des valeurs du vecteur d’onde qui dépassent à peine 1 et 4 nm-1 pour des
structures III-V et silicium respectivement, comme montré sur la Fig. III-27. Il ne serait alors
peut être pas nécessaire d’étendre le maillage outre mesure, puisque la contribution des
vecteurs d’onde élevées est négligeable. Cependant, à l’intérieur de la structure, la chute de
la FW peut être beaucoup plus lente, comme montré sur la Fig. III-14 et Fig. III-19 : le
problème de l’étendue du maillage se pose alors à nouveau.
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
15
DFD (SI)
10
10
10
5
10
Silicium
III-V
0
10
-4
-3
-2
-1
0
1
-1
k (nm )
2
3
4
Fig. III-27 Profils de la DFD imposés aux contacts des structures simulées dans cette section. La DFD chute de 15
décades à peu près, puis tombe en dessous du niveau de précision numérique atteignable avec le type
d’arithmetique utilisé (double précision IEEE 754).
Dans le cas de la jonction, la chute de l’enveloppe du potentiel non-local peut devenir
plus raide à l’intérieur de la structure. Par exemple, Fig. III-28 montre que, à la hauteur de la
première jonction, le profil ∆𝑈 n’est plus tronqué de façon abrupte aux extrémités du
domaine maillé, et que le potentiel non-local évolue de façon inversement proportionnelle
au cube du vecteur d’onde.
1 décade
(a)
(b)
3 décades
Pente
log-log
+ + +
Fig. III-28 (a) Profil de ΔU(x, k) et (b) du potentiel non-local δU(x, k) au contact émetteur de la jonction N P N
+
+
et à l’interface entre la région N et la P , qui est située 10 nm à l’intérieur de la structure.
D’après ces observations, la jonction N+P+N+ est la structure la plus adaptée parmi les
trois étudiées pour l’étude de l’impact de l’étendue du maillage des vecteurs d’onde. Ce
profil de potentiel a alors été appliqué au solveur de l’ETW, en appliquant des étendues
jusqu’à 20 nm-1, soit jusqu’à quatre fois plus élevées que celles utilisées dans les simulations
de §III.1. Cependant, même avec ces paramètres, des lobes similaires des ceux observés sur
la Fig. III-18 ont été observés sur la FW au premier nœud à l’intérieur de la structure. La
variation de l’étendue du maillage n’a d’ailleurs pas affecté de façon significative la hauteur
de ces lobes. Pour ce qui est de l’aspect de la distribution au milieu de la structure, des
profils similaires de ceux sur la Fig. III-19 ont été observés ; en particulier, la FW ne tend
toujours pas vers zéro aux extrémités du maillage.
Une interprétation de ces résultats est difficile. D’un côté, les nouveaux paramètres de
maillage peuvent réduire l’enveloppe du terme de dérive jusqu’à deux décades, en
supposant une chute proportionnelle à l’inverse du cube. D’un autre, cette réduction
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
pourrait ne pas être suffisante pour avoir un effet visible au niveau de la solution du système
linéaire, d’autant plus qu’elle n’est pas homogène tout le long de la structure, et reste
contenue à moins d’une décade au niveau des contacts.
III.2.4
Étude de la densité du maillage des vecteurs d’onde
Un autre aspect à étudier concernant la discrétisation du terme de dérive est la densité
du maillage des vecteurs d’onde. Dans la première partie de ce chapitre, les simulations où
le maillage varie donnent des résultats contrastés : au niveau des profils de charge et de
potentiel, la variation n’est pas significative, alors que la caractéristique courant-tension
d’une DTR est affectée par une variation importante du rapport pic/vallée.
Le calcul de l’intégrale du terme de dérive doit tenir compte de la nature très oscillatoire
du potentiel non-local. Fig. III-29 montre en détail les oscillations du ce terme à proximité de
l’origine pour les trois configurations. Pour les deux structures à base de matériaux III-V, la
période des oscillations est de l’ordre de 0.1 nm-1 ; elle entre deux et trois fois plus élevée
pour la jonction en silicium.
Fig. III-29 Potentiel non-local δU(x = 0, k) pour les trois structures au contact émetteur (x = 0).
Le terme de dérive est exprimé dans Eq. II-40. Afin d’estimer la densité minimale qui doit
être utilisée pour le maillage, cette équation a été évaluée au premier nœud de la jonction
N+P+N+ (𝑖 = 0) pour la ligne au milieu du bloc de la matrice de dérive (𝑗 = 𝑁𝑘 ⁄2 − 1).
L’intervalle de variation du vecteur d’onde a été fixé entre –4 et 4 nm-1, étant donné que, en
dehors de cet intervalle, la FW chute en dessous de la précision numérique, comme montré
sur la Fig. III-27 . La densité 𝑁𝑘 a été accrue jusqu’à ce que la valeur de l’intégrale du terme
de dérive converge à 1% et 1‰ près. Ces deux seuils de convergence ont été obtenus autour
de 𝑁𝑘 = 800 et 2000 nœuds, ce qui donne un espacement entre nœuds ∆𝑘 = 10 et 4 µm-1
respectivement. Ces densités sont en général plus élevées que dans toutes les simulations
réalisées dans ce chapitre ; il est d’ailleurs impossible d’appliquer de tels paramètres de
maillage puisqu’ils dépassent les limites en ressources mémoire.
III.2.5
Effet du dédoublement de l’étendue du maillage dans l’espace réel dans
le calcul du potentiel non-local
Il est logique de s’attendre à ce que la FW atteigne un pic pour des vecteurs d’onde
proches de l’origine et ensuite qu’elle décroisse et tende vers zéro aux extrémités du
domaine maillé des vecteurs d’onde. Ce type de profil serait cohérent avec le fait que les
porteurs se distribuent suivant la configuration énergétique la plus stable. En fait, la FW
calculée par le solveur de l’ETW montre un comportement bien différent, notamment au
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
milieu du barreau de silicium, où la courbe s’écarte fortement de la position nulle pour les
valeurs maximales du vecteur d’onde.
Ce type de profil peut être symptomatique d’un problème d’aliasing dans
l’implémentation d’une TF discrète, telle que celle qui est utilisée pour calculer le terme du
potentiel non-local 𝛿𝑈 dans l’ETW à partir de ∆𝑈 (cf. Eq. II-22). La TF transforme l’espace
réel 𝑦 en l’espace réciproque 𝑘 Si les simulations sont affectées par un artefact d’aliasing, il
est alors possible que celui-ci soit dû à une mauvaise discrétisation de l’axe 𝑦.
La présence d’un problème d’aliasing est d’ailleurs mise en évidence par l’observation du
potentiel non-local dans la matrice de dérive de l’ETW. Par exemple, Fig. III-30 montre la
première ligne du bloc correspondant au premier nœud à l’intérieur de la structure pour la
jonction N+P+N+ étudiée dans la section précédente. Au lieu de décroitre progressivement,
l’enveloppe de ce terme remonte pour les coefficients les plus à droite. Dans le bloc (cf. Fig.
II-8), les coefficients atteignent donc leurs valeurs maximales non seulement à proximité de
la diagonale, mais aussi dans le coin en haut à droite et, par symétrie, en bas à gauche.
14
Matrice dérive (i=i'=1, j=0) (SI)
4
x 10
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
50
100
j'
150
200
Fig. III-30 Aspect de la première ligne du bloc de la matrice de dérive au premier nœud du côté émetteur à
+ + +
l’intérieur de la jonction N P N étudiée dans la section précédente.
La construction du maillage de l’axe 𝑦, telle qu’elle est proposée dans la littérature, est
étudiée au §II.2.2. Le domaine de définition de 𝑦 est centré sur l’origine et s’étend sur 2𝑙 𝑇 ,
𝑙 𝑇 étant la longueur du dispositif. Cependant, cette variable est réduite d’un facteur deux
dans les expressions de la Matrice de Densité (MD – cf. Eq. II-17), ainsi que du potentiel non
local (cf. Eq. II-19 et Eq. II-22) : le maillage réel s’étend alors seulement de 𝑙 𝑇 ⁄2 de chaque
côté de l’origine. Cela signifie que le maillage 𝑦 ne couvre la structure entière que lorsque la
coordonnée 𝑥 se trouve exactement à sont milieu. Dans le cas où 𝑥 est placée au niveau des
contacts, la partie couverte n’est que la moitié.
Fig. III-31 montre une amélioration proposée au maillage. Il s’agit d’augmenter son
étendue de telle sorte à ce que toute la structure soit couverte, quelle que soit la
coordonnée 𝑥. Ceci n’est possible qu’en augmentant l’étendue d’un facteur deux au minium,
et correspond à appliquer la condition 𝑁𝑦 = 2𝑁𝑥 . Cela a un effet aussi sur le maillage dans
l’espace réciproque. Si l’espacement entre nœuds ∆𝑦 n’est pas modifié, l’étendue de 𝑘 ne
varie pas ; puisque l’étendue de 𝑦 double, l’espacement ∆𝑘 est réduit de moitié.
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
+ +
+
Fig. III-31 Aspect de ΔU(x = 0, y) calculé pour la jonction N P N étudiée précédemment, avec l’étendue maillée
au départ (simple) et la nouvelle (double), pour le domaine d’intégration utilisé pour le calcul du potentiel nonlocal.
Fig. III-32 illustre l’effet de cette opération sur le potentiel non-local pour les trois profils
de potentiel simplifiés étudiés précédemment. Pour les deux premiers, la fonction
enveloppe a la même allure qu’auparavant, avec une décroissance d’une décade pour
chaque décade de variation du vecteur d’onde. En effet, le profil de ∆𝑈 reste discontinu,
même avec l’extension du maillage, et une fonction rectangulaire donne toujours une TF qui
chute de façon inversement proportionnelle à la position dans l’espace réciproque. Pour ce
qui est de la jonction N+P+N+, au contraire, le profil de ∆𝑈 n’a plus de discontinuité, et le
potentiel non-local montre une chute de trois décades par décade de variation du vecteur
d’onde. C’est le même type de décroissance observé précédemment à l’intérieur de cette
structure avec l’ancien maillage ; ici, cette décroissance est par contre observable en tout
point.
(a)
Fig. III-32 Continue à la page suivante.
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
1 décade
(b)
(c)
3 décades
Pente
log-log
Fig. III-32 Effet du dédoublement de l’extension du maillage de l’axe y sur le potentiel non-local δU(x = 0, k),
+ + +
pour (a) la barrière simple, (b) la barrière double et (c) la jonction N P N .
Fig. III-33 illustre l’effet du nouveau maillage sur la FW au milieu du barreau de silicium
étudié au §III.1. La différence par rapport au maillage original est importante : l’enveloppe
de la FW décroit progressivement en s’éloignant de l’origine des vecteurs d’onde. Aux
extrémités du maillage, la FW chute de plusieurs décades par rapport à la région centrale.
12
6
x 10
(b)
(a)
4
12
10
0
W
|f | (SI)
fW (SI)
2
-2
10
10
-4
8
10
-6
-8
-15
-10
-5
0
-1
k (nm )
5
10
15
Domaine int. simple
Domaine int. double
-15
-10
-5
0
-1
5
10
15
k (nm )
Fig. III-33 FW au milieu du barreau de silicium étudié au §III.1, obtenue en doublant le domaine de maillage de
l’axe y dans le calcul du potentiel non-local ; (a) tracé linéaire et (b) semilogarithmique. Le tracé (b) est
comparé à celui obtenu avec le domaine d’intégration non doublé.
Pour ce qui est de la charge, l’application du nouveau maillage tend à réduire l’apparition
de densités électroniques négatives au milieu de la barrière, voire à l’éliminer
complètement, comme par exemple pour la structure étudiée au §III.1. L’application du
nouveau schéma de discrétisation a d’ailleurs l’effet d’accentuer, dans certains dispositifs, la
chute de la charge dans la barrière, comme illustré sur la Fig. III-34. La figure montre le profil
de charge dans une jonction N+P+N+ en GaAs, calculé à partir de l’ETB et de l’ETW, en
observant dans ce dernier cas l’effet du dédoublement de l’étendue du maillage 𝑦. Cet effet
est très spectaculaire dans la configuration montrée : la région à densité électronique
négative est complètement éliminée, et la chute de la charge augmente de deux à huit
décades.
88
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III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
20
10
15
-3
|n| (cm )
10
10
10
Wigner int. simple
Wigner int. double
Boltzmann
5
10
0
10
50
0
x (nm)
100
150
+ +
+
Fig. III-34 Profil de densité électronique obtenu en appliquant l’ETB et l’ETW à un barreau N P N en GaAs. Le
solveur de Wigner est implémenté soit dans sa configuration originale (simple), soit en doublant le domaine
d’intégration du potentiel non-local. Chaque couche dopée à une épaisseur de 50 nm ; la densité de dopage est
18
-3
de 2×10 cm .
Le changement dans le profil de la FW par le nouveau schéma de discrétisation de la TF
montre bien qu’un artefact d’aliasing était présent à l’origine. Cependant, bien que la
nouvelle FW s’estompe pour des vecteurs d’onde élevés, sa chute reste lente : le tracé
semilogarithmique sur la Fig. III-33 montre que, à l’extrémité du domaine maillé, la fonction
enveloppe qui relie les extrema ne décroît que de quatre décades par rapport à l’origine. En
outre, la FW montre une nature très oscillatoire, et les intégrales des parties positives et
négatives sont très proches de s’annuler réciproquement. À cause de ce type de profil, le
calcul de la charge reste problématique, puisque la FW doit être sur une plage importante de
vecteurs d’onde avec une faible marge d’erreur.
Pour des structures polarisées, cette amélioration du maillage n’est malheureusement
pas efficace. En effet, à polarisation non-nulle, la condition suivante est vérifiée :
lim ∆𝑈(𝑥, 𝑦) = ∆𝐸𝐹
𝑦→∞
∆𝐸𝐹 = 𝐸𝐹 Émetteur − 𝐸𝐹 Collecteur
III-6
Puisque le terme ∆𝑈 ne s’annule pas aux extrémités du domaine maillé en 𝑦, l’effet
d’aliasing dans la TF ne peut pas être éliminé.
III.3
Conclusion du chapitre
Ce chapitre a présenté des séries de simulations qui testent l’implémentation du solveur
de l’ETW décrite au Chapitre II. Ces simulations ciblent deux types de dispositifs : une DTR,
qui est une structure avec un fort caractère quantique, et une jonction N+P+N+, qui a un
caractère plutôt classique. Il a été constaté que, pour les deux structures, la WF est affectée
par plusieurs artefacts. En particulier, il a été observé que la solution de l’ETW n’est
cohérente avec les conditions aux limites que sur une plage limitée de quatre ou cinq
décades au plus ; ensuite, la FW forme des lobes. De plus, au milieu de la barrière, la chute
de la FW reste limitée même pour des valeurs élevées du vecteur d’onde ; parfois, la FW
même remonte aux extrémités du domaine maillé de l’espace réciproque.
Ces artefacts ont un impact sur les grandeurs macroscopiques. Par exemple, à
polarisation nulle, des densités électroniques négatives sont observées dans la jonction. De
plus, lorsqu’une polarisation est appliquée, la densité de charge calculée par la WTE
n’équilibre pas la densité de dopants dans les régions de contact. À cause de ceci, en
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89
III Implémentation de solveurs de l’équation de transport de Wigner
résolution auto-cohérente, le potentiel a une allure parabolique dans ces régions, au lieu de
rester constant.
En essayant de mieux comprendre et d’éliminer les artefacts, dans la suite du chapitre
nous avons examiné l’impact du maillage de l’espace des vecteurs d’onde sur le potentiel
non-local. Ce potentiel joue un rôle dans la définition du terme de dérive de l’ETW, qui est à
priori le plus problématique à discrétiser, du fait de sa nature intégrale. Les études
consistent à observer l’impact de l’étendue et de la densité de maillage de l’espace
réciproque. Malheureusement, ces études se révèlent en général peu concluantes,
puisqu’elles ne permettent pas de réduire totalement les artefacts.
Cependant, l’analyse du potentiel non-local a permis de déterminer que le calcul de ce
terme est affecté par un effet d’aliasing dans la FT. Cet effet peut être éliminé à polarisation
nulle en doublant l’étendue de maillage de l’axe 𝑦 dans l’espace réel. Avec cette
amélioration, l’allure de la FW devient plus réaliste au milieu de la barrière, puisque
l’enveloppe de la fonction chute pour des vecteurs d’onde croissants. Il est aussi possible
d’observer un profil de charge plus réaliste, avec la disparition des densités électroniques
négatives. Cette amélioration n’est toutefois pas possible dès que la structure est polarisée :
le phénomène d’aliasing avec polarisation est un aspect très intéressant qui reste à étudier
pour les solveurs de l’ETW.
Références
[Do07]
V.-N. Do, “Modeling and simulating quantum electronic transport in
semiconductor nanometer devices,” Ph.D. dissertation, Université Paris-Sud,
2007.
[Fre87]
W. R. Frensley, “Wigner-function model of a resonant-tunneling semiconductor
device,” Physical Review B, vol. 36, no. 3, pp. 1570–1580, 1987.
[Sze81]
S. M. Sze, Physics of semiconductor devices, 2nd ed. Wiley-Interscience, 1981.
[YTO09]
Y. Yamada, H. Tsuchiya, and M. Ogawa, “Quantum transport simulation of
silicon-nanowire transistors based on direct solution approach of the Wigner
transport equation,” IEEE Transactions on Electron Devices, vol. 56, no. 7, pp.
1396 – 1401, 2009.
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IV
Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
Le Chapitre III montre que l’implémentation de solveurs 1D de l’Équation de Transport
de Wigner (ETW) présente certains points faibles. Le premier concerne l’application des
conditions aux limites. Le profil imposé aux frontières est une Distribution de Fermi-Dirac
(DFD), comme indiqué dans la littérature ; la solution de l’ETW au voisinage des frontières
devrait être cohérente avec ce profil, alors qu’en réalité elle s’en écarte rapidement et forme
des artefacts en forme de lobes.
Un autre problème est que la Fonction de Wigner (FW) calculée à partir de l’ETW est
asymétrique à polarisation nulle, notamment à proximité des extrémités. Cet effet est
attribué à la dégradation de la solution de nœud en nœud à travers la structure, ainsi qu’au
schéma particulier de discrétisation de l’ETW, qui suit la direction des vecteurs d’onde. Ces
artefacts numériques portent à la surestimation de la charge dans les contacts, qui peut
engendrer un champ électrique non négligeable.
Un troisième point faible est observable lors de la simulation de dispositifs où la charge
ou le courant varient de plusieurs décades, comme par exemple une double jonction N+P+N+
fortement dopée de plusieurs nanomètres d’épaisseur. Dans ces conditions, les densités des
porteurs ne sont pas cohérentes avec celles calculées de la solution directe de l’Équation de
Schrödinger (ES). Finalement, des densités électroniques négatives peuvent apparaître, ce
qui n’a pas de sens physique.
Ce chapitre se propose d’étudier ces effets avec une méthode alternative à la résolution
de l’ET. Cette méthode consiste à calculer la FW à partir de fonctions d’onde obtenues de la
résolution de l’ES. Le calcul de la FW est alors séparé en plusieurs étapes. Cette approche a
l’avantage de permettre de mieux contrôler la propagation de l’erreur numérique par
rapport à la résolution du système linéaire de l’ETW. De plus, l’espace mémoire utilisé est
plus petit que celui qui est nécessaire pour l’ETW. Ceci permet de simuler des variations plus
importantes des paramètres de maillage, de façon à étudier leur effet sur la FW.
L’inconvénient est que cette méthode ne permet pas de simuler les interactions ; il est
d’ailleurs montré dans la suite qu’il est nécessaire d’appliquer un profil de potentiel
simplifié, sans résolution auto-cohérente, afin de pouvoir résoudre symboliquement l’ES et
ainsi éliminer certains artefacts numériques de la FW.
La section §IV.1 présente cette méthode en détail. Elle illustre d’abord les types de
structures qui sont simulées dans ce chapitre (géométrie, matériaux), puis les différentes
étapes du calcul des fonctions d’onde et de la FW, ainsi que les paramètres numériques
appliqués aux simulations, notamment les densités et les étendues des maillages. La section
§IV.2 montre l’application de cette méthode à un profil de potentiel constant et à une
barrière infinie, où la FW peut être calculée de façon quasi-analytique. Elle présente des
résultats qui aident la compréhension de l’allure de la FW sur des structures plus complexes.
La section §IV.3 montre une comparaison entre les différentes méthodes de calcul des
fonctions d’onde, en évaluant l’erreur numérique et son impact sur le profil de la FW.
La section §IV.4 étudie l’application de la méthode à une structure à barrière simple ; la
section §IV.5 l’application à une barrière double résonnante et la section §IV.6 l’application à
des structures polarisées. Chaque étude vise à examiner et expliquer la forme de la FW aux
extrémités des structures et à évaluer l’étendue minimale qu’il est nécessaire d’appliquer au
maillage de l’espace réciproque pour effectuer un calcul exact de la charge.
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91
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
IV.1
Présentation de la méthode
IV.1.1
Description des structures étudiées
Deux types de structures sont étudiés : une à barrière simple, et une à barrière double,
comme indiqué sur la Fig. IV-1. Dans la suite de ce chapitre, 𝑙 𝑇 désigne la longueur totale du
dispositif, 𝑙𝐶 celle des contacts, 𝑙𝐵 celle des barrières et 𝑙𝑃 celle du puits. 𝑈𝐵 désigne la
hauteur de barrière.
Bande de conduction ≡
Niveau d’énergie de Fermi
UB
(a)
lB
lC
UB
(b)
lC
lB
lP
lT
Fig. IV-1 Vue schématique des profils de potentiel étudiés à polarisation nulle, avec (a) barrière simple et (b)
double.
La structure à barrière simple est simulée pour étudier l’effet d’une forte atténuation de
la fonction d’onde : la barrière a donc une longueur assez importante de 7 nm. La structure à
barrière double, ou RTD, est censée au contraire montrer un caractère quantique, avec les
fonctions d’onde qui pénètrent de façon significative à l’intérieur des barrières et des effets
de résonnance ; la longueur des barrières par défaut est donc limitée à 1 nm et celle du puits
à 3 nm. La longueur des contacts est étudiée en détail au §IV.2, et la conclusion est que la
longueur minimale varie en fonction de la masse effective des porteurs dans les matériaux.
Pour les structures à base silicium, les contacts ont une longueur par défaut de 30 nm ; pour
celles à base III-V, la longueur est de 60 nm.
Les paramètres des matériaux sont simplifiés : la bande de conduction est supposée
parabolique et la masse effective est supposée constante. Deux configurations sont
étudiées : la première représente les paramètres moyens d’une structure en silicium, et la
deuxième d’une structure III-V. Les valeurs par défaut pour la première configuration sont
une masse relative de 0.5 et une hauteur de barrière de 1.5 eV, et pour la deuxième une
masse de 0.067 et une hauteur de 0.3 eV. Dans certaines des études présentées dans ce
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
chapitre, les valeurs par défaut peuvent être modifiées, par exemple lorsqu’il s’agit de
caractériser l’impact de la hauteur de barrière.
Les simulations présentées dans la suite ne sont pas auto-cohérentes, puisque le but de
ce chapitre est simplement d’étudier la FW pour un potentiel donné, et non pas son
couplage avec l’équation de Poisson. Les profils de potentiel appliqués sont très simples :
dans un dispositif non polarisé, le potentiel est plat tout le long de la structure ; avec
polarisation, il est plat dans les régions de contact et varie linéairement à l’intérieur (cf.
§IV.6). Avec ces profils, il est possible de résoudre l’ES de façon soit numérique, soit
analytique (cf. §IV.1.3) et de comparer la justesse de la FW issue des deux méthodes.
Finalement, dans les régions de contact, le niveau de Fermi coïncide avec la bande de
conduction, et il est le même à l’émetteur et au collecteur à polarisation nulle.
IV.1.2
Étapes de calcul de la fonction de Wigner
Le calcul de la FW se divise en trois étapes : le calcul des fonctions d’onde, de la Matrice
de Densité (MD) et finalement de la FW. La première étape comporte la définition de deux
paquets de fonctions d’onde , incidents à l’émetteur et au collecteur de la structure. Chaque
paquet est constitué de vecteurs d’onde incidents à une extrémité donnée ; leur nombre et
leur distribution énergétique sont discutés au §IV.1.2.1. Pour chaque vecteur incident, la
fonction d’onde est évaluée aux nœuds du maillage du dispositif en solvant l’ES ; cette
opération demande plus d’attention que les deux autres étapes, et elle est donc présentée
séparément (cf. §IV.1.3).
Au calcul de la fonction d’onde suit celui de la MD, qui s’obtient en combinant Eq. II-3 et
II-19 :
∗
2𝑚Émetteur
𝑘𝐵 𝑇 ∞
𝑦 �������������
𝑦
𝜌(𝑥, 𝑦) =
� 𝜓 �𝑥 + � 𝜓 �𝑥 − � 𝑓FD �𝐸(𝑘)�𝑑𝑘
2
ℎ
2
2
0
IV-1
∗
0
2𝑚Collecteur 𝑘𝐵 𝑇
𝑦 �������������
𝑦
+
� 𝜓 �𝑥 + � 𝜓 �𝑥 − � 𝑓FD �𝐸(𝑘)�𝑑𝑘
ℎ2
2
2
−∞
Dans cette expression, ℎ désigne la constante de Planck, 𝑘𝐵 celle de Boltzmann, 𝑇 la
température, qui est fixée à 300 K dans la suite des simulations ; 𝑚∗ est la masse effective
des électrons. Les deux termes intégraux indiquent les fonctions d’onde des paquets
incidents à l’émetteur et au collecteur respectivement, avec un vecteur d’onde. Finalement,
la FW est calculé en appliquant une Transformée de Fourier (TF) à la MD (cf. Eq. II-7,
appliquée au cas 1D) :
∞
𝑓𝑊 (𝑥, 𝑘) = � 𝑒 −𝐼𝑘𝑦 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
−∞
IV-2
Avec cette dérivation, les interactions qui affectent les fonctions d’onde sont négligées.
Cette section présente d’abord les règles de définition du maillage pour chaque étape, puis
elle détaille la discrétisation et le calcul de la MD et de la FW.
IV.1.2.1 Règles de définition du maillage
Les deux paquets de fonctions d’onde sont définis suivant un axe 𝑥 dans l’espace réel,
qui représente les points dans la structure où la fonction est évaluée, et un axe dans l’espace
réciproque 𝑘, qui représente l’énergie des vecteurs d’onde qui constituent chaque paquet.
La MD est définie suivant deux axes dans l’espace réel 𝑥 et 𝑦, et la FW par un axe dans
l’espace réel 𝑥 et un autre dans l’espace réciproque 𝑘. L’axe 𝑥 est commun aux fonctions
d’onde, à la MD et à la FW, avec le même maillage. Au contraire, deux maillages distincts
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
sont utilisés pour l’espace réciproque dans les fonctions d’onde et la FW. En effet, cet espace
n’est pas commun aux trois étapes du calcul, puisqu’il est transformé en espace réel dans la
MD.
Ainsi, les règles de discrétisation appliquées dans cette étude sont le suivantes :
premièrement, le maillage de l’espace réel est réutilisé à chaque étape du calcul ;
deuxièmement, les paramètres des maillages dans les espaces réel et réciproque pour la FW
sont interdépendants, afin d’éviter des phénomènes d’aliasing liés à la TF, et troisièmement,
le maillage de l’espace réciproque pour les fonctions d’onde est indépendant de celui de
l’espace réel.
Le maillage des axes 𝑥 et 𝑦 de l’espace réel dans tous les calculs, ainsi que de l’axe 𝑘 de
l’espace réciproque pour la FW, est défini suivant les règles énoncés au Chapitre II (cf. §II.2.2
et Eq. II-27, II-29 et II-30). Ces conditions stipulent que les maillages des axes 𝑦 et 𝑘 doivent
compter le même nombre de nœuds, et que les espacements respectifs entre nœuds sont
liés par une relation de proportionnalité inverse. Une autre contrainte est que le maillage 𝑦
utilise les mêmes nœuds que celui de l’axe 𝑥, ce qui est nécessaire pour le calcul de la MD,
qui est fonction de 𝑦⁄2 (cf. Eq. II-25). Tout comme pour l’ETW, il est nécessaire d’étendre le
maillage de l’espace réel au-delà des frontières du dispositif, afin de discrétiser
correctement l’axe 𝑦.
La différence de cette approche par rapport à l’ETW est qu’il est possible en général de
définir des maillages beaucoup plus étendus et plus denses, puisque il n’y a pas de système
linéaire à stocker en mémoire (cf. §IV.1.2.4). L’intérêt est qu’il est possible d’agrandir la taille
des maillages et d’observer en détail le comportement de la MD et de la FW, notamment
aux extrémités de la région maillée ; de plus, l’application d’un maillage dense à la FW
permet de calculer avec précision la charge. Dans les simulations présentées dans ce
chapitre, la densité par défaut des maillages 𝑦 et 𝑘 est de 5000 nœuds ; l’extension du
maillage dans l’espace réciproque par défaut est de 20 nm-1 des deux côtés de l’origine des
vecteurs d’onde. Cela correspond à une extension du maillage 𝑦 de 200 nm de chaque côté
de l’origine, et, pour les géométries étudiées, à un nombre de nœuds à l’intérieur de la
structure entre 500 et 1000.
Pour les fonctions d’onde, il est possible de reprendre le même maillage de l’espace
réciproque que celui utilisé pour la FW. En effet, il est possible d’appliquer un maillage moins
dense, tout en évitant l’apparition de phénomènes d’aliasing. Ceci permet d’accélérer le
calcul des fonctions d’onde, qui peut être dans certaines conditions le facteur principal qui
affecte le temps d’exécution d’une simulation. Par défaut, chaque paquet est constitué de
250 vecteurs d’onde, qui sont espacés linéairement sur une bande d’énergie de 1 eV de
hauteur, qui s’étend à partir de la bande de conduction du contact (cf. Fig. IV-2).
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
250 v. o. incidents à l’émetteur
1 eV
250 v. o. incidents au
collecteur
1 eV
Fig. IV-2 Bandes énergétiques des paquets d’ondes incidentes aux contacts émetteur et collecteur dans une
structure polarisée.
Il est montré dans les sections suivantes que 250 vecteurs d’onde sont suffisants dans la
plupart des configurations pour assurer la justesse du calcul de la MD et de la FW. Par
exemple, §IV.5.1 montre que les artefacts qui apparaissent dans la FW pour une double
barrière ne sont que très peu affectés si la densité des vecteurs d’onde est augmentée. Un
nombre plus élevé de fonctions d’onde est utilisé seulement dans certaines simulations, où
l’effet de la hauteur de barrière est étudié.
La valeur de 1 eV fixée pour la bande d’énergie provient du fait que, dans la formule de
la MD, les fonctions d’onde sont pondérées par une DFD : or, pour une énergie de 1 eV
environ, cette fonction chute en dessous du niveau de la précision machine double (standard
IEEE 754) utilisée dans les calculs. Les fonctions d’onde qui ont des énergies plus élevées
sont donc négligeables à la précision numérique près. Il a d’ailleurs été observé que ce
constat reste valable même si des niveaux de précision plus élevés sont utilisés.
IV.1.2.2 Conventions de désignation des indices
Dans l’espace réel, les nœuds à l’intérieur de la structure sont identifiés par 𝑥𝑖 . Le calcul
des fonctions d’onde s’effectue sur un maillage étendu, qui est identifié par 𝑥𝑖′ . Ce maillage
englobe les nœuds 𝑥𝑖 , puis en rajoute 𝑁𝑦 ⁄2 à gauche de l’émetteur et un nombre égal à
droite du collecteur. Cette extension est montrée sur la Fig. IV-3 et sert à calculer la MD. Les
fonctions d’onde sont indicées par :
𝜓Contact (𝑥, 𝑘) → 𝜓Contact �𝑥𝑖′ , 𝑘𝑗 � = 𝜓Contact 𝑖,𝑗
�𝑘𝑗 � = �𝑗
∗
∆𝐸
�2𝑚Contact
�
𝑁VO ℏ
𝑗=0..𝑁
IV-3
VO −1
Dans cette écriture les vecteurs d’onde sont identifiés par 𝑘𝑗 ; 𝑁VO est le nombre de
vecteurs (par défaut 250) et ∆𝐸 la bande d’énergie (par défaut 1 eV). Les coefficients de la
MD sont indicés par :
𝜌�𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 � = 𝜌𝑖,𝑗
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IV-4
95
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
La définition des nœuds 𝑦𝑗 est donnée par Eq. II-28. Finalement, les coefficients de la FW
sont indicés par :
𝑓𝑊 �𝑥𝑖 , 𝑘𝑗 � = 𝑓𝑊 𝑖,𝑗
IV-5
Comme il a été expliqué précédemment, les nœuds 𝑘𝑗 dans cette équation ne sont pas
les mêmes que ceux de Eq. IV-3, mais sont calculés à partir de Eq. II-28.
Couples de nœuds aux coordonnées x-y/2 (tête de la flèche) et
x+y/2 ; les numéros indiquent des valeurs croissantes de y
Nœuds {x'i}
1
2
1
3
4
3
4
Nœuds {xi}
Contact
émetteur
2
lT
Contact
collecteur
x
Fig. IV-3 Maillage de l’espace réel utilisé pour la définition de la fonction d’onde (nœuds x’i) et de la MD et la
FW (nœuds xi), dans une structure où Nx = 8 et Ny = 4. Les nœuds en noir (xi) se trouvent à l’intérieur de la
structure, qui a une longueur lT ; ceux en gris clair se trouvent à gauche du contact émetteur et à droite du
contact collecteur. La figure illustre le principe de calcul de la MD aux nœuds émetteur et collecteur (premier
et dernier respectivement du maillage noir), tel qu’il est réalisé dans Eq. IV-1. Cette équation montre que, pour
chaque vecteur incident, la fonction d’onde est multipliée avec sa réciproque sur des couples de points
symétriques par rapport au nœud où la MD est évaluée. Les flèches représentent ces couples de points ; la
pointe de chaque flèche indique le nœud à la coordonnée x-y/2 et l’autre bout le nœud à la coordonnée x+y/2.
Les numéros de 1 à 4 indiquent le sens de variation de y, des valeurs les plus faibles aux plus élevées.
IV.1.2.3 Calcul de la WF et de la MD à partir des fonctions d’onde
Le calcul de la MD (cf. Eq. IV-1) est donné par :
∗
𝑗 ′ =𝑁VO −1
2𝑚Émetteur
𝑘𝐵 𝑇∆𝑘
������������������������
�
𝜓Émetteur 𝑖+𝑗,𝑗′ 𝜓
Émetteur 𝑁𝑦 −1+𝚤−𝚥,𝚥′ 𝑓FD �𝐸�𝑘𝑗 ′ ��
ℎ2
𝑗 ′ =1
∗
𝑗 ′ =𝑁VO −1
2𝑚Collecteur
𝑘𝐵 𝑇∆𝑘
+
�
𝜓Collecteur 𝑖+𝑗,𝑗′ ������������������������
𝜓Collecteur 𝑁𝑦 −1+𝚤−𝚥,𝚥′ 𝑓FD �𝐸�𝑘𝑗′ ��
ℎ2
𝑗 ′ =1
𝜌𝑖,𝑗 =
IV-6
Le calcul de la FW est donné par :
𝑓𝑊 𝑖,𝑗 = ∆𝑦 �
𝑖′ =𝑁𝑦
𝑖′ =1
𝑒 −𝐼𝑘𝑗𝑦𝑖′ 𝜌𝑖 ′ ,𝑗
IV-7
Dans les deux cas, l’intégration est effectuée par un schéma rectangulaire amont.
L’utilisation d’un schéma rectangulaire aval ou trapézoïdal n’affecte pas de façon
significative la MD ou la FW.
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
IV.1.2.4 Considérations sur la quantité de mémoire ordinateur et sur les temps
de calcul
En première approximation, la taille de l’espace mémoire nécessaire au stockage des
fonctions d’onde, de la MD et de la FW augmente proportionnellement au carré de la
densité du maillage, puisque chaque matrice s’étend sur deux axes et que Eq. II-28 stipule
que les densités de maillage dans les espaces réel et réciproque sont directement
proportionnelles, du moins pour la MD et la FW. La taille globale des matrices avec les
paramètres numériques par défaut indiqués au §IV.1.2.1 est limitée à quelques centaines de
mégaoctets, ce qui permet de réaliser plusieurs simulations à la fois sur un serveur de calcul.
En utilisant la précision machine double IEEE 754, les temps de calcul sont de quelques
minutes pour la fonction d’onde et la MD. Si des précisions numériques plus élevées sont
requises pour l’évaluation de la fonction d’onde, comme par exemple dans le cas de
structures polarisées (cf. §IV.6), le temps de calcul des paquets d’ondes peut monter jusqu’à
quelques dizaines de minutes, et l’espace mémoire utilisé jusqu’à deux giga-octets.
En comparaison, le solveur de l’ETW demande des capacités de stockage dix fois plus
importantes pour une densité de maillage 𝑦 et 𝑘 de 500 nœuds, soit dix fois plus faible que
les paramètres numériques utilisés ici. Finalement, le fait de diviser le calcul de la FW en
plusieurs étapes permet d’éviter le stockage et la résolution du système linéaire de Eq. II-35,
et d’optimiser ainsi l’usage des ressources d’un calculateur.
IV.1.3
Calcul de la fonction d’onde
Cette section aborde le calcul de la fonction d’onde dans une structure 1D sans ou avec
polarisation. Elle reprend tout d’abord le point de départ de ce calcul, c’est-à-dire, l’ES, et
présente les solutions symboliques de cette équation en présence d’un potentiel constant
ou linéaire. Elle illustre ensuite le schéma numérique qui est appliqué dans l’évaluation des
fonctions d’onde, et notamment la définition d’un paquet d’ondes incidentes dans une
structure. Elle présente finalement les trois méthodes qui ont été testées dans le cadre de ce
travail pour évaluer la fonction d’onde : les deux approches utilisant les matrices de
transfert, analytique et numérique, et la méthode de Numerov.
IV.1.3.1 L’équation de Schrödinger comme point de départ
Le calcul des fonctions d’onde passe par la résolution de l’ES, qui est transcrite ci-dessous dans sa
forme 1D en régime stationnaire :
ℏ² 𝜕²
IV-8
𝜓(𝑥, 𝑘)
2𝑚∗ 𝜕𝑥²
Cette équation décrit un porteur d’énergie 𝐸(𝑘) auquel est associée la fonction d’onde
𝜓(𝑥, 𝑘). Ce porteur évolue dans un profil de potentiel 𝑈(𝑥). Il est utile de rappeler que cette
équation admet la solution générale :
𝜓(𝑥, 𝑘) = 𝑎(𝑘)𝑓(𝑥, 𝑘) + 𝑏(𝑘)𝑔(𝑥, 𝑘)
IV-9
[𝑈(𝑥) − 𝐸(𝑘)]𝜓(𝑥, 𝑘) =
Les coefficients 𝑎(𝑘) et 𝑏(𝑘) sont à priori complexes. En présence d’un potentiel plat, les
fonctions 𝑓(𝑥, 𝑘) et 𝑔(𝑥, 𝑘) dépendent de la valeur de l’énergie des porteurs et du
potentiel :
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
𝑬 >𝑼:
𝑬<𝑼:
𝑬=𝑼:
𝑓(𝑥, 𝑘) = 𝑒 𝐼𝑘𝑥
𝑔(𝑥, 𝑘) = 𝑒 −𝐼𝑘𝑥
𝑘 = �2𝑚∗ (𝐸 − 𝑈)⁄ℏ
𝑓(𝑥, 𝑘) = 𝑒 𝑘𝑥
𝑔(𝑥, 𝑘) = 𝑒 −𝑘𝑥
𝑘 = �2𝑚∗ (𝑈 − 𝐸)⁄ℏ
IV-10
IV-11
𝑓(𝑥, 𝑘) = 1
𝑔(𝑥, 𝑘) = 𝑥
IV-12
Le premier cas correspond à une région admise au sens classique, avec l’énergie des
électrons qui dépasse le potentiel extérieur ; les parties réelle et imaginaire de la fonction
d’onde ont une allure sinusoïdale. Le deuxième cas correspond à une région interdite au
sens classique : si les électrons libres étaient vus comme des particules, ils ne pourraient pas
y exister et seraient complètement réfléchis, leur énergie étant inférieure à la bande de
conduction. Au sens quantique, la fonction d’onde peut pénétrer sur une certaine longueur à
l’intérieur de cette région ; si la barrière est épaisse, la fonction d’onde montre une chute
exponentielle, le terme 𝑔(𝑥, 𝑘) avec un exposant négatif étant prédominant sur l’autre. Le
troisième cas correspond à une région neutre au sens classique.
Si le potentiel varie linéairement, la solution a la forme :
𝜓(𝑥, 𝑘) = 𝑎(𝑘) AiryA(𝑥, 𝑘) + 𝑏(𝑘) AiryB(𝑥, 𝑘)
IV-13
Dans cette formule, AiryA(𝑥, 𝑘) et AiryB(𝑥, 𝑘) sont les deux fonctions d’Airy [AS72,
TXZ90]. Ce chapitre présente deux façons d’évaluer la fonction d’onde à partir d’un potentiel
donné. La première est celle des matrices de transfert et consiste à diviser la structure en
morceaux où le potentiel est approximé par une constante ou une variation linéaire ; ensuite
l’ES est résolue de façon symbolique dans chaque morceau, et finalement les solutions sont
raccordées aux interfaces entre les morceaux adjacents. Avec un maillage suffisamment
dense, cette méthode est applicable à tout profil de potentiel. Dans le cadre de ce travail,
par contre, certaines hypothèses simplificatrices sont faites : les barrières sont abruptes, et
le potentiel est soit constant, à polarisation nulle, soit il varie linéairement. Ceci permet de
définir des morceaux aussi longs que des régions entières (les contacts, les barrières, le
puits), et de résoudre l’ES symboliquement sans perte de précision.
L’autre méthode de calcul des fonctions d’onde consiste à écrire l’ES sous la forme de
Sturm-Liouville, et à la résoudre ensuite par la méthode de Numerov (cf. §IV.1.3.5).
IV.1.3.2 Définition des paquets d’ondes
Fig. IV-4 illustre le principe de calcul des fonctions d’onde pour des porteurs incidents au
contact émetteur d’une structure à barrière simple sans et avec polarisation. En appliquant
une approximation parabolique de la bande de conduction, la relation entre l’énergie des
porteurs et le vecteur de l’onde associée est :
ℏ²𝑘²
IV-14
𝐸(𝑘) =
2𝑚∗
En prenant l’extrémité de côté émetteur comme origine de l’axe 𝑥 pour les vecteurs
d’onde incidents à ce contact, la fonction d’onde s’écrit [FG97] :
𝜓Émetteur (𝑥) = 𝑒 𝐼𝑘𝑥 + 𝑟(𝑘) 𝑒 −𝐼𝑘𝑥
IV-15
98
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
Dans cette formule, l’onde incidente est normalisée, avec un module unitaire. Une partie
de cette onde de composante 𝑟(𝑘) est réfléchie à la barrière. Au contact collecteur, à
polarisation nulle, l’onde a la forme [FG97] :
𝜓Collecteur (𝑥) = 𝑡(𝑘) 𝑒 𝐼𝑘𝑥
IV-16
Dans cette formulation, 𝑡(𝑘) représente la composante de l’onde incidente qui a
traversé la barrière et qui se propage dans le collecteur. Le vecteur d’onde est par définition
le même qu’à l’émetteur, les niveaux de Fermi étant alignés. Comme le paquet d’ondes est
incident à l’émetteur, il n’y a pas de composante avec vecteur d’onde négatif.
Les coefficients de réflexion 𝑅(𝑘) et de transmission 𝑇(𝑘) sont les modules carrés des
composantes réfléchie et transmise respectivement. Ces coefficients sont complémentaires
à1:
𝑅(𝑘) + 𝑇(𝑘) = 1
IV-17
Si la structure est polarisée, la forme de l’onde à l’émetteur est la même que dans
Eq. IV-15 . Si la région du collecteur est admise au sens classique (cf. Fig. IV-4), la fonction
d’onde est donnée par :
𝜓Collecteur (𝑥) = 𝑡(𝑘) 𝑒 𝐼𝑘Collecteur𝑥
2𝑚∗ ℏ²𝑘Émetteur
�
− 𝛥𝐸𝐹 �
𝑘Collecteur = �
2𝑚∗
ℏ²
IV-18
𝛥𝐸𝐹 = 𝐸𝐹 Collecteur − 𝐸𝐹 Émetteur
Ceci est la même formule que Eq. IV-16, au détail près que le vecteur d’onde n’est pas le
même qu’à l’émetteur, les niveaux de Fermi n’étant pas alignés. Cette formule suppose que
l’énergie du porteur se maintient constante à travers la structure, les interactions étant
négligées. Si la région du collecteur est interdite au sens classique, la fonction d’onde suit
une chute exponentielle :
𝜓Collecteur (𝑥) = 𝑡(𝑘) 𝑒 −𝑘Collecteur𝑥
2𝑚∗
ℏ²𝑘Émetteur
𝑘Collecteur = �
�𝛥𝐸𝐹 −
�
2𝑚∗
ℏ²
IV-19
Finalement, si la région du collecteur est neutre au sens classique, la fonction d’onde est
constante :
𝜓Collecteur (𝑥) = 𝑡(𝑘)
IV-20
Le paquet d’ondes incident au collecteur est calculé de la même façon. L’axe 𝑥 est alors
inversé, et le contact collecteur est utilisé comme origine. Le fait de changer la position de
l’origine n’est pas rédhibitoire. En effet, il entraîne qu’un déphasage des ondes incidentes
par rapport à celles incidentes à l’émetteur ; ce déphasage est le même en tout point de la
structure pour un vecteur d’onde donné. Or, dans la formulation de la MD (cf. Eq. IV-1), la
fonction d’onde est corrélée à sa réciproque, qui a un déphasage opposé : les deux
déphasages s’annulent alors dans la multiplication.
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99
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
(a)
r(k) e-ikx
t(k) eikx
eikx
(b)
-ikEmetteur x
r(k) e
t(k) e−kCollecteur x
EF Collecteur
ikEmetteur x
e
ΔEF > 0
EF Émetteur
r(k) e-ikEmetteur x
(c)
eikEmetteur x
t(k) eikCollecteur x
EF Émetteur
EF Collecteur
ΔEF < 0
Fig. IV-4 Vue schématique des composantes réfléchie et transmise (a) d’une onde normalisée incidente à
l’émetteur pour une structure sans polarisation, (b) polarisée négativement, avec la région du collecteur qui est
interdite au sens classique et (c) polarisée positivement, avec une région du collecteur qui est admise au sens
classique. Les flèches indiquent la direction des vecteurs d’onde. Les niveaux de Fermi aux contacts coïncident
avec la bande de conduction.
IV.1.3.3 Méthode analytique des matrices de transfert
En général, la méthode des matrices de transfert consiste à diviser le dispositif en
plusieurs régions, puis à approximer le potentiel dans chacun de ces morceaux par une
fonction permettant la résolution symbolique de la fonction de Schrödinger (par exemple,
un potentiel constant, qui est utilisé dans cette étude, ou qui varie linéairement), et enfin à
raccorder les coefficients des différentes solutions en imposant la continuité de la fonction
d’onde et de sa dérivée aux interfaces. Cette méthode a été étudiée avec deux
implémentations différentes, qui sont appelées dans la suite l’approche analytique et
numérique.
La méthode analytique est décrite dans cette section. Elle consiste à calculer les
coefficients des fonctions d’onde, et ensuite les fonctions mêmes, de façon symbolique, et
ensuite à les évaluer numériquement seulement. Le calcul symbolique n’est possible que si
100
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
le profil de potentiel est simplifié (constant ou linéaire, avec des barrières abruptes), tel qu’il
a été défini précédemment.
Avec les profils montrés sur la Fig. IV-1 et Fig. IV-4, les équations de continuité de la
fonction d’onde et de sa dérivée (cette dernière au facteur de la masse effective près) sont
appliquées aux interfaces entre les différentes régions (les contacts, la ou les barrières et le
puits dans une structure à barrière double). Les fonctions d’onde sont donc indépendantes
des paramètres de maillage dans l’espace réel.
L’avantage de l’approché analytique est qu’elle permet de calculer la fonction d’onde
avec plus de précision que la méthode numérique ou celle de Numerov. En effet,
l’application numérique est limitée à une simple évaluation de fonction. Il est toujours
possible que les calculs soient affectés par une erreur numérique, notamment avec des
structures polarisées, où les formules des fonctions d’onde peuvent être très complexes et
incluent des fonctions d’Airy (cf. §IV.6). Cependant, l’utilisation de librairies numériques avec
précision arbitraire permet d’éliminer l’erreur. Au contraire, pour les méthodes numérique
et de Numerov, la justesse de la solution est un problème plus complexe, puisqu’elle est
affectée par les densités de maillage et par le conditionnement du système linéaire.
IV.1.3.4 Méthode numérique des matrices de transfert
Avec cette approche, le calcul des coefficients des fonctions d’onde se fait
numériquement, et non de façon symbolique comme dans la méthode analytique. La
première étape de cette approche consiste à mailler la structure avec 𝑁𝑥 nœuds 𝑥𝑖
régulièrement espacés ; le maillage compte donc 𝑁𝑥 − 1 éléments, de telle sorte à ce que le
nœud 𝑖 se trouve à l’interface entre les éléments 𝑖 − 1 et 𝑖. Dans l’élément 𝑖, le potentiel est
supposé constant, et est donné par la moyenne des potentiels aux nœuds aux frontières de
l’élément :
𝑈𝑖+1 + 𝑈𝑖
𝑈[𝑖] =
IV-21
2
Dans cette écriture, les indices qui se trouvent entre crochets se réfèrent aux éléments,
alors que ceux hors-crochets se réfèrent aux nœuds. Dans chaque élément, la solution de
l’ES a la forme générale [RA84, TXZ90] :
[𝑖]
IV-22
𝜓 (𝑥, 𝑘) = 𝑎[𝑖] (𝑘) 𝑓 [𝑖] (𝑥 − 𝑥𝑖 , 𝑘) + 𝑏 [𝑖] (𝑘) 𝑔[𝑖] (𝑥 − 𝑥𝑖 , 𝑘)
Avec cette écriture, dans l’élément 𝑖, l’origine de l’axe 𝑥 pour les fonctions 𝑓(𝑥, 𝑘) et
𝑔(𝑥, 𝑘) est fixée au nœud 𝑥𝑖 . Le décalage de l’origine de chaque élément par rapport au
contact émetteur est pris en compte dans les coefficients 𝑎(𝑘) et 𝑏(𝑘) de la fonction
d’onde. Au nœud 𝑖, les fonctions d’onde dans les deux éléments 𝑖 et 𝑖 − 1 doivent se
raccorder, c'est-à-dire, leurs valeurs et leurs dérivées doivent être continues :
Cela donne :
[𝑖−1]
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 , 𝑘) = 𝜓[𝑖] (0, 𝑘)
𝜓
𝜕𝜓 [𝑖−1]
𝜕𝜓[𝑖]
(𝑥, 𝑘)�
(𝑥, 𝑘)�
=
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝑥 −𝑥
0
𝑖
IV-23
𝑖−1
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101
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
𝑎[𝑖−1] (𝑘) 𝑓 [𝑖−1] (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 , 𝑘) + 𝑏 [𝑖−1] (𝑘) 𝑔[𝑖−1] (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 , 𝑘)
= 𝑎 [𝑖] (𝑘) 𝑓 [𝑖] (0, 𝑘) + 𝑏 [𝑖] (𝑘) 𝑔[𝑖] (0, 𝑘)
[𝑖−1]
𝜕𝑓
𝜕𝑔[𝑖−1]
[𝑖−1]
[𝑖−1]
(𝑘)
(𝑥, 𝑘)�
(𝑘)
(𝑥, 𝑘)�
+𝑏
𝑎
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝑥 −𝑥
𝑥 −𝑥
= 𝑎 [𝑖] (𝑘)
𝑖
𝑖−1
𝑖
𝜕𝑓 [𝑖]
𝜕𝑔[𝑖]
(𝑥, 𝑘)� + 𝑏 [𝑖] (𝑘)
(𝑥, 𝑘)�
𝜕𝑥
𝜕𝑥
0
0
IV-24
𝑖−1
Les fonctions 𝑓 et 𝑔 sont définies dans Eq. IV-9. Ces équations peuvent se mettre sous
forme matricielle :
𝑨𝒊 = +
1
𝑎[𝑖]
𝑎 [𝑖−1]
� [𝑖] � = 𝑨𝒊 � [𝑖−1] �
𝑏
𝑏
×
𝜕𝑓 [𝑖] [𝑖]
−
𝑔
IV-25
𝜕𝑥
𝜕𝑥
[𝑖]
[𝑖−1]
[𝑖]
[𝑖−1]
𝜕𝑔
𝜕𝑓
𝜕𝑔
𝜕𝑔
⎡ 𝑓 [𝑖−1]
−
𝑔[𝑖]
𝑔[𝑖−1]
−
𝑔[𝑖] ⎤
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
⎥
×⎢
[𝑖]
[𝑖−1]
[𝑖]
[𝑖−1]
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑔
⎢ [𝑖−1]
⎥
+
𝑓 [𝑖] −𝑔[𝑖−1]
+
𝑓 [𝑖] ⎦
⎣−𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
À l’émetteur (nœud d’indice 0), les coefficients de la fonction d’onde à gauche de
l’interface, appelés 𝑎Émetteur et 𝑏Émetteur respectivement, sont donnés par Eq. IV-15. Au
collecteur (nœud d’indice 𝑁𝑥 − 1), les coefficients de la fonction d’onde à droite de
l’interface, appelés respectivement 𝑎Collecteur et 𝑏Collecteur , sont donnés par Eq. IV-16 :
𝑎Émetteur
1
𝑎Collecteur
𝑡(𝑘)
�
�
=�
�
;
�
�
=�
�
𝑏
𝑟(𝑘)
𝑏
0
IV-26
Collecteur
Émetteur
𝑥=𝑥
=𝑙
𝑥=𝑥
=0
�����������
𝑁𝑥 −1 𝑇
�������������
0
𝜕𝑔
𝑓 [𝑖]
[𝑖]
Composantes a l' émetteur
Composantes au collecteur
Le système linéaire dans cette équation établit une relation entre les coefficients de la
fonction d’onde dans les deux éléments adjacents. En effectuant la même opération sur tous
les éléments, il est possible d’assembler un système linéaire qui relie directement les
coefficients à l’émetteur et au collecteur. Le système s’écrit alors :
𝑎Collecteur
𝑎Émetteur
�
� = 𝑨�
�
𝑏Collecteur
𝑏Émetteur
𝑨=�
𝑁𝑥 −2
𝑖=0
IV-27
𝑨𝒊
La résolution de ce système linéaire permet d’évaluer les composantes réfléchie et
transmise de l’onde incidente. Une fois la composante réfléchie connue, il est possible de
calculer la fonction d’onde à tous les nœuds :
𝑖
𝑎[𝑖]
𝑎Collecteur
� [𝑖] � = ��
𝑨𝒊′ � �
�
𝑏
𝑏Collecteur
𝑖 ′ =1
IV-28
Un problème se pose au niveau de la gestion des régions interdites, où le module de la
fonction d’onde peut chuter de plusieurs décades. Dans ces régions, en présence de grandes
épaisseurs ou de potentiels fortement défavorables à la pénétration de la fonction d’onde,
l’assemblage des matrices 𝑨𝒊 peut entraîner une dégradation importante du nombre de
conditionnement du système linéaire. Ceci résulte en général en une forte propagation de
102
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
l’erreur numérique, et peut d’ailleurs porter à un dépassement ou soupassement pour
certains coefficients de la matrice 𝑨 de la capacité de stockage des formats de données
utilisés.
Afin d’éviter cette éventualité, il est convenable d’effectuer une première passe à travers
la structure, en isolant les régions interdites au sens classique, et de fixer un seuil pour
déterminer si chacune de ces régions peut ou non réfléchir complètement la fonction
d’onde. La procédure est la suivante : d’abord, il faut grouper les éléments du maillage
adjacents où le potentiel du réseau dépasse l’énergie des photons ; chacun de ces groupes
d’éléments correspond à une région interdite. Dans chacune de ces régions, la fonction
d’onde est donnée par Eq. IV-11 ; comme indiqué précédemment, cette fonction d’onde est
calculée dans un élément en utilisant le nœud à gauche comme origine. Les deux
composantes 𝑎 et 𝑏 de la fonction d’onde de Eq. IV-11 sont constitués de deux termes
exponentiels avec exposant réel ; pour des régions interdites larges, il est raisonnable de
s’attendre à ce que le terme avec exposant négatif soit dominant sur l’autre. Sur un élément
isolé, la valeur maximale de l’exposant est 𝑘 ∆𝑥, où la valeur de 𝑘 est donnée dans Eq. IV-11
et ∆𝑥 est la longueur de l’élément. Appliquée au terme avec exposant négatif, cette valeur
donne une bonne approximation de la chute de la fonction d’onde sur l’élément. La chute en
décades de l’amplitude la fonction d’onde dans la région entière est alors donnée par
[Bie97] :
|𝜓𝑠 |
≈ log(𝑒) �
𝑘𝑖 ∆𝑥𝑖
IV-29
|𝜓𝑒 |
𝑖 ∈ Région
Dans cette écriture, 𝜓𝑒 est la fonction d’onde à l’entrée de la région interdite, 𝜓𝑠 est
l’onde à la sortie, les indices 𝑖 désignent les éléments adjacents appartenant à la région et 𝑒
est le nombre de Neper. Dans le solveur implémenté, si la chute dépasse une valeur de 10
décades, il est considéré que l’onde est complètement réfléchie. A l’extrémité de l’élément
où la valeur seuil a été dépassée, la condition de réflexion totale est imposée : la fonction
d’onde à ce nœud et aux nœuds suivants est supposée nulle, et à l’émetteur la composante
réfléchie est fixée à 1.
IV.1.3.5 Méthode de Numerov
En physique, un grand nombre de phénomènes est décrit par des équations
différentielles ordinaires d’ordre 2. Par exemple, la loi fondamentale de la dynamique établit
une relation de proportionnalité entre la somme des forces qui agissent sur un corps et son
accélération, qui est la dérivée seconde de sa position dans l’espace par rapport au temps.
Par conséquent, plusieurs méthodes de résolution de ce type d’équations ont été étudiées,
notamment en ce qui concerne la rapidité de convergence et la propagation de l’erreur.
Parmi les équations différentielles de deuxième degré, certaines peuvent s’écrire sous la
forme de Sturm-Liouville [Pan06] :
[𝑝(𝑥)𝑢′(𝑥)]′ + 𝑞(𝑥)𝑢(𝑥) = 𝑠(𝑥)
IV-30
Ici, 𝑢(𝑥) est la solution de l’équation différentielle, alors que 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) et 𝑠(𝑥) sont des
fonctions connues. Dans le cas de l’ES, ces fonctions sont données par :
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103
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
𝑝(𝑥) = 1
𝑠(𝑥) = 0
IV-31
𝐸 − 𝑈(𝑥)
2𝑚∗
𝑞(𝑥) =
ℏ²
𝑢(𝑥) = 𝜓(𝑥)
La méthode de Numerov est un algorithme qui permet de résoudre une forme simplifiée
de l’équation de Sturm-Liouville, notamment avec 𝑝(𝑥) = 1, ce qui est bien le cas de l’ES. La
solution de l’ES est alors donnée par l’itération [Pan06] :
𝑐𝑖+1 𝜓𝑖+1 + 𝑐𝑖−1 𝜓𝑖−1 = 𝑐𝑖 𝜓𝑖 + 𝑂(𝛥𝑥 6 )
𝜓𝑖 = 𝜓(𝑥𝑖 )
IV-32
Les coefficients 𝑐𝑖 sont donnés par :
𝛥𝑥²
𝑞
12 𝑖+1
𝛥𝑥²
𝑐𝑖−1 = 1 +
𝑞
12 𝑖−1
5𝛥𝑥²
𝑐𝑖 = 1 +
𝑞
6 𝑖
𝑞𝑖 = 𝑞(𝑥𝑖 )
𝑐𝑖+1 = 1 +
IV-33
L’algorithme de calcul des fonctions d’onde par la méthode de Numerov se compose de
quatre étapes. La première consiste à définir la fonction d’onde sortante au collecteur ;
d’après Eq. IV-16, cette fonction a une seule composante. Dans la première partie du calcul,
cette composante est normalisée, c’est-à-dire, la valeur du coefficient 𝑎Collecteur (cf.
Eq. IV-26) est temporairement fixée à 1. Il est ainsi possible, à partir de Eq. IV-16, de calculer
la FW au contact collecteur et à un nœud fictif espacé de ∆𝑥 à droite de ce contact :
𝜓(𝑥𝐶 = 0, 𝑘) = 1
IV-34
𝜓(𝑥𝐶 = ∆𝑥, 𝑘) = 𝑒 𝐼𝑘∆𝑥
Dans cette écriture 𝑥𝐶 est une variable d’espace dont l’origine est fixée au contact
collecteur. À partir de ces deux points, la deuxième étape consiste à appliquer la méthode de
Numerov pour évaluer la fonction d’onde en arrière vers l’intérieur de la structure. Au
contact émetteur, la fonction d’onde ainsi calculée et sa dérivée ont la forme :
𝜓(𝑥 = 0, 𝑘) = 𝑎Émetteur + 𝑏Émetteur
IV-35
𝜕𝜓
(𝑥 = 0, 𝑘) = 𝐼𝑘𝑎Émetteur − 𝐼𝑘𝑏Émetteur
𝜕𝑥
Dans cette écriture, l’origine de la variable d’espace 𝑥 est fixée au contact émetteur. Le
coefficient 𝑎Émetteur n’est pas à priori égal à 1, comme dans Eq. IV-15, puisque pour l’instant
la fonction d’onde est normalisée au collecteur au lieu de l’émetteur. La troisième étape
consiste à déterminer la valeur des coefficients 𝑎Émetteur et 𝑏Émetteur , en résolvant
numériquement le système de Eq. IV-35. Pour cela, il faut évaluer la dérivée de la fonction
d’onde au contact émetteur. Deux schémas différentiels ont été testés pour ce calcul : le
premier implémente un premier ordre décentré, et utilise la valeur de la fonction à
l’émetteur et celle au nœud adjacent à sa droite, alors que le deuxième est un schéma
centré qui utilise un nœud fictif additionnel à gauche de l’émetteur. Le choix du schéma a
été observé avoir un impact négligeable sur la justesse globale de la méthode. La quatrième
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
étape consiste finalement à diviser la fonction d’onde à tous les nœuds de la structure par
𝑎Émetteur, de façon à les normaliser correctement.
Bien que Eq. IV-32 indique que la méthode d’intégration de Numerov est d’ordre 6, le
calcul des coefficients est basé sur des approximations d’ordre 4. De plus, dans la partie de
normalisation de la fonction d’onde, le calcul du gradient de la fonction même est d’ordre 1
ou 2 seulement [Pan06, BJN03].
Dans §IV.3, les trois méthodes seront comparées dans le calcul de la FW dans un barreau
de silicium à potentiel constant. Les solutions obtenues par les trois méthodes seront
comparées à la formule analytique de la FW dans ce type de structure, telle qu’elle est
dérivée dans la suite.
IV.2
Modèles analytiques pour un potentiel constant et une barrière
impénétrable
Cette section présente deux cas extrêmes où la FW peut être calculée analytiquement
dans un dispositif non-polarisé : un profil de potentiel constant, sans barrières, et un
dispositif avec une barrière infiniment haute, et donc impénétrable. Les résultats obtenus
dans cette étude seront utilisés dans la suite pour comprendre le comportement de la FW
pour des configurations plus complexes, telles que des dispositifs à simple ou double
barrière. Les formules pour le calcul de la MD et de la FW dans un barreau à potentiel
constant sont d’ailleurs reprises au §IV.3 pour évaluer la justesse des différentes méthodes
de calcul de la fonction d’onde. La masse effective est supposée constante et égale à 𝑚∗ .
Dans la configuration à potentiel constant, les fonctions d’onde, la MD et la FW sont
données par :
𝜓(𝑥) = 𝑒 𝐼𝑘𝑥
2𝑚∗ 𝑘𝐵 𝑇 ∞ 𝐼𝑘𝑦
𝜌(𝑥 + 𝑦⁄2 , 𝑥 − 𝑦⁄2) =
� 𝑒 𝑓FD �𝐸(𝑘)�𝑑𝑘
IV-36
ℎ2
−∞
∗
𝑚 𝑘𝐵 𝑇
𝑓𝑊 (𝑥, 𝑘) =
𝑓 �𝐸(𝑘)�
𝜋ℏ2 FD
Les fonctions d’onde incidentes ne sont pas perturbées ; le coefficient de transmission et
le coefficient de réflexion sont donc égaux à 1 et 0 respectivement pour tous les vecteurs
d’onde incidents. Lorsque l’expression des fonctions d’onde non perturbées est injectée
dans Eq. II-7, il est possible de montrer que la MD est égale à la Transformée de Fourier
Inverse (TFI) d’une Distribution de Fermi-Dirac (DFD). Puisque la FW est égale à la
Transformée de Fourier (TF) de la MD, les transformées s’annulent réciproquement, et la FW
est proportionnelle à la DFD. Fig. IV-5 montre la MD et la FW calculées pour des paramètres
correspondant à des structures en silicium et en matériaux III-V. A cause de la masse plus
faible, la DFD, et donc la FW, ont un profil plus étroit pour la structure III-V. Au contraire, le
profil de la MD est plus étroit pour la structure silicium, à cause des propriétés de la TF.
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105
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
25
10
(a)
Silicium
III-V
20
(b)
10
10
W
|f | (SI)
|ρ | (SI)
10
Silicium
III-V
15
10
15
10
5
10
10
10
0
5
10
-200
-100
200
100
0
y (nm)
10
-4
-3
-2
-1
0
k (nm -1)
1
2
3
4
Fig. IV-5 (a) MD et (b) FW calculées pour un profil de potentiel constant avec des masses effectives
représentatives de structures en silicium et en matériaux III-V. Ces profils sont aussi rencontrés dans des
structures avec une barrière impénétrable et, en général, dans des structures à barrière simple, si la longueur
des contacts est suffisamment élevée.
Dans la configuration avec une barrière infinie, les fonctions d’onde sont calculées à
partir de la solution de l’ES, en imposant la condition, |𝑦| < 2𝑙𝐶 où 𝑙𝐶 est la longueur de la
région de contact. Les fonctions d’onde sont alors données par :
𝑒 𝐼𝑘𝑥 − 𝑒 2𝐼𝑘𝑙𝐶 𝑒 −𝐼𝑘𝑥 ,
𝑥 < 𝑙𝐶
IV-37
𝜓(𝑥, 𝑘) = �
0,
𝑥 ≥ 𝑙𝐶
La composante réfléchie est égale en module à celle incidente. Les coefficients de
transmission et de réflexion sont égaux à 0 et 1 respectivement pour tous les vecteurs
d’onde incidents. Lors du calcul de la MD à l’émetteur dans Eq. IV-1, il est possible de
remarquer que le terme intégral relatif au collecteur est nul pour toutes les valeurs de 𝑦,
puisque aucune des fonctions incidentes au collecteur ne peut atteindre l’émetteur. Le
terme relatif à l’émetteur est, quant à lui, nul pour les valeurs de 𝑦 telles que |𝑦⁄2| ≥ 𝑙𝐶 . La
MD à l’émetteur est alors donnée par :
𝑦 𝑦
𝜌 � , − ��
=
2 2 𝑥=0
2𝑚∗ 𝑘𝐵 𝑇 ∞ 𝐼𝑘𝑦
4𝑚∗ 𝑘𝐵 𝑇 ∞
𝑦
⎧
(𝑘)𝑑𝑘
�
𝑒
𝑓
−
� cos(2𝑘𝑙𝐶 ) 𝑓FD (𝑘)𝑑𝑘 ,
� � < 𝑙𝐶
FD
2
2
IV-38
ℎ
ℎ
2
⎪�����������������
���������������������
−∞
0
=
𝐼1
𝐼2
⎨
𝑦
⎪
0
,
�
� ≥ 𝑙𝐶
⎩
2
De façon similaire à la configuration à potentiel constant, le premier terme intégral 𝐼1 est
une TFI de la DFD. Puisque ce terme n’est non-nul que sur un domaine 𝑦 limité, sa TF n’est
pas identique à la DFD. Cette différence est indiquée ci-dessous par un terme additionnel
∆(𝑘) :
2𝑙𝐶
𝑚∗ 𝑘B 𝑇
𝐹𝑇�𝐼1 (𝑦)� = � 𝑒 −𝐼𝑘𝑦 𝐼1 (𝑦) 𝑑𝑦 =
𝑓 (𝑘) + ∆(𝑘)
𝜋ℏ2 FD
−2𝑙𝐶
∆(𝑘) = − ��
2𝑙𝐶
−∞
𝑒
−𝐼𝑘𝑦
∞
𝐼1 (𝑦) 𝑑𝑦 + � 𝑒
2𝑙𝐶
IV-39
−𝐼𝑘𝑦
𝐼1 (𝑦) 𝑑𝑦�
La valeur de ∆(𝑘) dépend de la limite d’intégration 2𝑙𝐶 . Si cette limite augmente, c’est-àdire, si les contacts sont rallongés et la barrière est éloignée de l’émetteur, les termes 𝑒 𝐼𝑘𝑦
et 𝑒 −𝐼𝑘𝑦 deviennent de plus en plus oscillatoires. La valeur de ∆(𝑘) décroît alors et la TF du
106
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
terme 𝐼1 se rapproche d’une DFD (cf. Fig. IV-6). Pour une structure en silicium, avec une
masse relative de 0.5, ∆(𝑘) dévient négligeable à la précision double standard IEEE 754 pour
une longueur de contact entre 20 et 25 nm. En fait, la longueur minimale dépend de la
masse des porteurs, puisque celle-ci affecte la forme de la MD et de la FW ; plus la masse est
faible, plus le profil de la MD et large, et plus les contacts doivent être longs. Pour une
structure III-V, ∆(𝑘) devient négligeable pour une longueur de contact avoisinant 60 nm.
Le deuxième terme intégral 𝐼2 dans Eq. IV-38 correspond à une fonction rectangulaire
𝐼2 × 𝑓𝛼 (𝑦), où 𝑓𝛼 (𝑦) est une fonction rectangulaire de hauteur unitaire et de largeur
𝛼 = 4𝑙𝐶 , comme montré sur la Fig. IV-7. Sa TF est proportionnelle à une fonction
sinc(𝑥) = sin(𝑥)⁄𝑥 avec un maximum égal à 𝐼2 × 4𝑙𝐶 en 𝑘 = 0. Encore une fois, si 𝑙𝐶
augmente, l’argument de l’intégrale devient de plus en plus oscillatoire et la valeur de
l’intégrale 𝐼2 décroît (cf. Fig. IV-8), jusqu’à ce quelle dévient négligeable devant 𝐼1 . La FW
résultante au contact émetteur est ainsi moins perturbée, comme il est possible de voir dans
les figures ; le poids de 𝐼2 devient négligeable pour une longueur de contact autour de 20 nm
pour une structure en silicium et de 60 nm pour une structure III-V.
En conclusion, si la barrière réfléchit entièrement les fonctions d’onde incidentes, la WF
aux bords est égale à une DFD, tout comme pour un potentiel constant, à condition que la
longueur des contacts soit autour de 25 nm pour une structure silicium et de 60 nm pour
une structure III-V.
C
|TF( I1(y) )| (SI)
lC = 2.5 nm
l = 5 nm
C
10
10
l = 10 nm
1
C
5
10
l = 15 nm
Reference ∝ fFD (k)
0
10
-4
-3
-2
-1
0
1
k (nm -1)
2
lC = 10 nm
10
10
lC = 20 nm
l = 30 nm
C
5
10
lC = 40 nm
C
3
4
5
Référence
fFD (k)
l = 50 nm
∝
0
10
l = 20 nm
C
-5
(b)
l = 2.5 nm
10
|TF( I (y) )| (SI)
15
10
(a)
15
C
l = 60 nm
C
l = 25 nm
C
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
k (nm )
Fig. IV-6 TF l’intégrale I1 (cf. Eq. IV-38 et IV-39) pour une barrière impénétrable, pour une structure (a) en
silicium et (b) en matériaux III-V. La valeur de la TF de I1 est comparée à celle obtenue pour un profil de
potentiel constant, telle que donnée par Eq. IV-36. Ce profil de référence est proportionnel à la DFD.
I2× f4l (y)
(a)
C
I2
2lC
0
-2lC
y
I2× 4lC× sinc(4π lCk) =
FT(I2× f4l (y))
(b)
C
I2× 4lC
0
k
Fig. IV-7 Représentation schématique (a) de l’argument du terme intégral I2 dans Eq. IV-38, qui est une fonction
rectangulaire de largeur 4lC, où lC est la longueur des contacts, et de hauteur I2. Lorsque la FW est calculée, en
appliquant une TF à ce profil, la fonction rectangulaire est transformée (b) en une fonction sinc(x) = sin(x) / x.
Le sommet de cette fonction est égal à I2 × 4lC.
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107
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
(a)
20
|I2| (SI)
10
15
10
10
10
5
10
0
5
10
15
l (nm)
20
25
30
*
| [m kBT/ π h²] × fFD (k) + TF( I2(y) ) | (SI)
25
10
(b)
15
10
lC = 2.5 nm
lC = 5 nm
10
10
l = 10 nm
C
5
10
Référence ∝ fFD(k)
l = 15 nm
C
l = 20 nm
C
0
10
-5
-4
-3
-2
C
-1
0
1
k (nm -1)
2
3
4
5
Fig. IV-8 (a) Calcul numérique du terme intégral I2 dans Eq. IV-38 à des longueurs de contact lC croissantes.
L’évaluation de l’intégrale est effectuée en travaillant avec une précision double IEEE 754 (15 à 16 chiffres
significatifs). La valeur absolue de l’intégrale chute de 15 décades à peu près alors que lC atteint 20 nm, puis
elle tombe en dessous du niveau de bruit numérique. (b) Calcul numérique de la TF de l’intégral I2, comparée à
la FW obtenue pour un profil de potentiel constant, pour des différentes valeurs de lC.
(a)
20
|I2| (SI)
10
15
10
10
10
5
10
0
20
40
lC (nm)
60
80
100
| [m*kBT/π h²] × fFD (k) + TF( I2(y) ) | (SI)
25
10
15
10
(b)
l = 2.5 nm
C
l = 10 nm
C
10
10
l = 20 nm
C
l = 30 nm
C
5
10
l = 40 nm
C
Référence
∝ f (k)
FD
0
10
lC = 50 nm
l = 60 nm
C
-3
-2
-1
0
-1
k (nm )
1
2
3
Fig. IV-9 Courbes équivalentes de celle sur la Fig. IV-8 pour une structure III-V.
IV.3
Comparaison entre les différentes méthodes de calcul de la fonction
d’onde
Le but primaire de ce chapitre étant d’étudier les effets des paramètres géométriques et
du maillage sur la FW, il faut s’assurer que toute source d’erreur affectant la distribution soit
minimisée. Cette section se propose ainsi de déterminer laquelle parmi les trois méthodes
donne le résultat le plus juste dans le calcul des fonctions d’onde et de la WF.
Parmi les méthodes numériques, il a été observé que celle de Numerov s’adapte mieux
que celle des matrices de transfert à l’étude de structures avec des barrières hautes et
épaisses. En effet, en présence de telles barrières, le nombre de conditionnement de la
matrice assemblée dans Eq. IV-27 se dégrade rapidement et peut grimper de plusieurs
ordres de grandeur dès que la fonction d’onde pénètre de quelques nanomètres à l’intérieur
de la barrière. Avec un nombre de conditionnement élevé, la solution du système linéaire
pour le calcul des coefficients de réflexion et transmission est potentiellement affectée par
une erreur numérique importante : cela devient évident lorsque le module de la fonction
d’onde, au lieu de chuter exponentiellement à l’intérieur d’une barrière, commence au
contraire à remonter. En considérant dans Eq. IV-29 que la fonction d’onde est
complètement réfléchie à partir d’une certaine pénétration à l’intérieur d’une barrière, on
résout ce problème seulement en partie : d’un côté, on élimine certains artefacts
numériques, tells que le module qui remonte ; d’un autre côté, cela ne permet pas de
108
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
sonder l’allure de la FW au milieu d’une barrière, puisque toute contribution des fonctions
d’onde est annulée artificiellement.
En général, il a été observé que, en utilisant une précision machine double, il est possible
de calculer avec justesse des variations du module de la fonction d’onde de sept à huit
décades ; ensuite, des problèmes de conditionnement des matrices empêchent une
évaluation correcte. La méthode de Numerov se révèle plus robuste en ce sens, puisque des
variations dépassant les dix décades peuvent être simulées sans avoir à augmenter la
précision machine. Cependant, même cette méthode peut générer une erreur numérique
importante, notamment quand elle est comparée à la méthode analytique, comme montré
sur la Fig. IV-10.
|fW (x=0)| (SI)
10
10
10
15
Numérique
Paramètres par
défaut
10
Numérique
Nx =288
A : Paramètres par défaut
N : Paramètres par défaut
N : 1000 fonctions d'onde
N : N = 288
x
Numérique
1000 f. o.
5
Référence ∝ DFD
10
0
-8
-6
-4
-2
0
k (nm -1)
2
4
6
8
Fig. IV-10 FW en valeur absolue dans un barreau de silicium à potentiel constant, obtenue en appliquant les
solveurs analytique avec les matrices de transfert (A) et de Numerov (N). Les paramètres de simulation par
défaut sont : 250 fonctions d’onde, Nx = 144 et Nk = 1000. La courbe dé référence, qui est proportionnelle à une
DFD, est calculée à partir de Eq. IV-36.
Fig. IV-10 montre la FW calculée par la méthode analytique des matrices de transfert et
par celle de Numerov sur un barreau de silicium avec un potentiel constant. Les deux
premières courbes sont calculées avec 250 fonctions d’ondes incidentes, en appliquant un
maillage à 1000 nœuds pour calculer la FW. Comme montré dans Eq. IV-36, la FW dans ce
type de structure est proportionnelle à une DFD. La courbe obtenue par le solveur
analytique est bien cohérente avec ce profil de référence, qu’elle suit sur une plage de 15
décades à peu près, ce qui correspond au niveau de précision machine double IEEE 754. Ce
résultat confirme que l’aliasing dans la TF est négligeable, même si les résolutions et les
étendues des maillages de l’espace des vecteurs d’onde sont différentes pour la fonction
d’onde et pour la FW.
Les trois autres courbes, qui sont données par le solveur numérique, montrent une chute
beaucoup moins importante. En effet, elles présentent toutes des artefacts en forme de
lobes. Puisque l’aliasing a été montré être négligeable, ces artefacts ne peuvent être dus
qu’à une forme d’erreur numérique. La figure montre que, même si le nombre de fonctions
d’onde où la résolution du maillage 𝑥 sont doublés, cette erreur n’est pas réduite de façon
significative. Il faut remarquer que ces artefacts n’ont qu’un impact minime sur le calcul de
la charge, puisqu’ils se trouvent 4 décades à peu près en dessous du pic de la FW. Les
charges calculées par le solveur analytique et numérique sont alors cohérentes à 1% près.
Fig. IV-11 explique la présence de ces lobes. La figure montre graphiquement le
processus d’évaluation numérique du terme intégral qui donne la MD dans Eq. IV-36, pour
un barreau de silicium à potentiel constant. Dans l’équation analytique, les bornes
d’intégration se trouvent à l’infini ; lorsque la formule est discrétisée avec les règles établies
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109
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
[ψ (y/2,k) ψ (-y/2,k) f FD(E(k))] dk (SI)
Max
k = k'
× ∫k = -k
*
ρ (y/2,-y/2) = ( 2m kBT/h² ) ×
au §IV.1.2.1, l’intégration numérique s’effectue entre deux bornes finies – 𝑘Max et 𝑘Max , où
𝑘Max est le vecteur qui correspond à une énergie de 1 eV de l’onde incidente. La figure trace
la valeur de l’intégrale partielle, calculée entre l’extrémité inférieure du maillage – 𝑘Max et
une borne supérieure 𝑘′ qui augmente jusque à atteindre l’autre extrémité 𝑘Max . La figure
compare les courbes obtenues à partir des solveurs analytique et numérique.
Pour 𝑦 ≥ 10 nm, la valeur de l’intégrale atteint son maximum à 𝑘 = 0, puis retombe
alors que 𝑘′ augmente. Pour 𝑦 = 50 nm, la chute engendrée pour le solveur analytique est
de l’ordre de 15 décades. Cela signifie que, pour assurer la justesse du calcul de l’intégrale,
l’argument de l’intégrale, c'est-à-dire, les fonctions d’onde doivent être évaluées avec le
même niveau de précision.
10
10
25
y = 25 nm
(N)
y = 10 nm (N)
20
y
y
y
y
y
y
y
y
y = 50 nm (N)
10
10
15
10
-4
-2
0
2
4
k' (nm -1)
6
=
=
=
=
=
=
=
=
0 (A)
0 (N)
10 nm
10 nm
25 nm
25 nm
50 nm
50 nm
8
(A)
(N)
(A)
(N)
(A)
(N)
10
Fig. IV-11 Calcul de l’intégral de la MD (cf Eq. IV-6 et IV-36) entre la limite minimale du maillage –kMax et k’ à
x = 0 pour des différentes valeurs de y. La lettre A indique le solveur analytique, la lettre N le solveur de
Numerov. Pour des valeurs de y dépassant 10 nm, la valeur de l’intégrale obtenue par le solveur numérique
-1
reste constante, et les courbes obtenues pour y = 10, 25 et 50 nm coïncident. kMax = 10 nm .
La figure montre que le solveur analytique est capable de ce niveau de justesse, puisque
les trois courbes obtenues pour 𝑦 ≥ 10 nm retombent à des niveaux clairement distincts. Au
contraire, le solveur numérique ne l’est pas, puisque les mêmes trois courbes se
superposent après être retombées de seulement deux décades en dessous du pic. Dans le
cas de 𝑦 = 50 nm, l’erreur engendrée par le solveur numérique devrait être réduite de plus
de 10 ordres de grandeur pour atteindre celle du solveur analytique.
En conclusion, il est judicieux de baser les études qui suivent uniquement sur les
résultats du solveur analytique. Ce solveur est limité à des profils de potentiel simplifiés,
puisque la SE doit pouvoir être résolue symboliquement, mail il présente l’avantage d’être le
plus efficace à éliminer l’erreur numérique.
IV.4
Étude d’une structure à barrière simple sans polarisation
Cette section présente les résultats obtenus pour des structures non polarisées avec une
barrière simple. La première partie examine le problème de l’apparition d’artefacts en forme
de lobes dans la FW aux contacts, en fonction de la longueur des contacts mêmes et de la
hauteur de barrière. La deuxième partie se penche sur l’évaluation de la charge, en
examinant la question de l’étendue minimale du maillage des vecteurs d’onde.
110
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
IV.4.1
Allure de la fonction de Wigner en fonction de la longueur des contacts et
de la hauteur de barrière
Fig. IV-12 montre la MD et la FW au contact émetteur pour des dispositifs en silicium
avec des différentes longueurs des contacts.
|ρ (x=0)| (SI)
10
10
10
10
10
25
(a)
1 nm
7 nm
10 nm
15 nm
20 nm
30 nm
20
15
10
|fW (x=0)| (SI)
10
10
1 nm
5
7 nm
0
-60
-40
-20
10
10
10 nm
15 nm
-80
10
7 nm
10
5
20 nm
0
30 nm
20 nm
0
20
y (nm)
40
(b)
1 nm
7 nm
10 nm
15 nm
20 nm
30 nm
15
60
-10
80
-8
-6
-4
-2
0
k (nm -1)
2
4
6
8
10
Fig. IV-12 (a) MD et (b) FW au contact émetteur pour des dispositifs en silicium à barrière simple pour des
différentes longueurs des contacts, de 1 à 30 nm.
La variation de la FW à l’émetteur en fonction de la longueur des régions de contact est
similaire à celle observée pour une barrière infinie : pour des faibles longueurs, des artefacts
en forme de lobes apparaissent dans la FW, puis ils s’estompent si les contacts sont
suffisamment longs. Comme pour la barrière infinie, la longueur des contacts minimale qui
permet d’éliminer les lobes à un niveau de précision double IEEE 754 se situe entre 20 et
30 nm. Fig. IV-13 montre que, avec une hauteur de barrière de 1.5 eV, le comportement de
la structure est très similaire de celui d’une barrière infinie, puisque le coefficient de
transmission reste très faible dans toute la bande d’énergie des ondes incidentes.
0
10
UB = 0.3 eV
-10
10
1
(a)
(c)
UB = 0.7 eV
T
0.6
UB = 0.1 eV
0.4
UB = 0.5 eV
0.1
UB = 1 eV
0.12
0.14
0.16
E (eV)
0.18
0.2
0.22
1
-20
10
UB = 1.5 eV
T
0.2
0.4
E (eV)
(c)
0.8
UB = 0.1 eV
0
(b)
0.8
T
(b)
0.6
U = 0.3 eV
B
0.4
0.6
0.8
1
0.3
0.32
0.34
0.36
E (eV)
0.38
0.4
0.42
Fig. IV-13 Spectres de transmission pour des dispositifs à barrière simple avec la masse effective du silicium et
des différentes hauteurs de barrière (a). Agrandissement des régions de transition entre les énergies réfléchies
et transmises pour des barrières de (b) 0.1 et (c) 0.3 eV, correspondant aux encarts dans (a). L’échelle des axes
est la même dans les deux figures.
La FW aux contacts reste proportionnelle à une FW même si la hauteur de barrière est
portée en dessous de 1 eV, donc même si une partie des fonctions d’onde incidentes est
entièrement transmise. Cependant, si la barrière est baissée, il devient nécessaire
d’augmenter le nombre de vecteurs d’onde, sans quoi des lobes apparaissent. Fig. IV-14
montre le cas d’une barrière de 0.1 eV, où des lobes sont visibles 5 à 7 décades en dessous
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111
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
du pic si le nombre de vecteurs d’onde est inférieur à 350. Au-delà, les lobes tombent
rapidement, jusqu’à ce qu’ils chutent en dessous du niveau du bruit numérique, pour 1000
vecteurs d’onde à peu près.
Fig. IV-15 montre la variation de la hauteur moyenne de ces lobes en fonction du nombre
de vecteurs d’onde pour des différentes hauteurs de barrière. Comme montré dans
Fig. IV-14, si cette hauteur chute en dessous d’une valeur de 10 à peu près, cela signifie que
les lobes ont disparu en dessous du niveau de bruit numérique.
15
10
250 v. o.
150 v. o.
350 v. o.
|fW (x=0)|
10
10
450 v. o.
5
10
600 v. o.
1000 v. o.
0
10
-20
-15
-10
-5
0
k (nm -1)
5
10
15
20
Fig. IV-14 FW à l’émetteur d’un dispositif à barrière simple en silicium, avec une hauteur de barrière de 0.1 eV,
calculée en faisant varier le nombre de vecteurs d’onde incidents.
-1
Moy ( |fW (k=10± 0.1 nm )| )
UB = 1 eV
10
UB = 0.01 eV
10
UB = 0.7 eV
UB = 0.5 eV
UB = 0.3 eV
UB = 0.1 eV
UB = 0.01 eV
5
10
UB = 0.1 eV
0
10
200
800
600
400
Nombre de vecteurs d'onde
1000
Fig. IV-15 Hauteur moyenne des lobes de la FW à l’émetteur d’un dispositif à barrière simple en silicium, en
fonction du nombre de vecteurs d’onde incidents et de la hauteur de barrière UB. La hauteur de la FW est
-1
calculée comme la moyenne de dix points linéairement espacés dans l’intervalle (10.0 ± 0.1) nm .
Fig. IV-15 montre certaines tendances intéressantes. Premièrement, si le nombre de
vecteurs d’onde est plus petit que 300, la hauteur de lobes augmente en fonction de la
hauteur de barrière de façon quasi-monotone. Deuxièmement, le nombre de vecteurs qu’il
faut appliquer pour faire disparaître les lobes augmente d’abord, atteignant son maximum
pour une hauteur de barrière autour de 0.3 eV, puis chute pour des barrières plus faibles.
Las tracés des coefficients de transmission en fonction de l’énergie des porteurs (cf. Fig.
IV-13) peuvent être utilisés pour expliquer ce comportement. Pour des barrières plus hautes
que 1 eV, la structure réfléchit presque complètement les fonctions d’onde, et
l’approximation de la barrière infinie peut être appliquée. Si la barrière est réduite, la
structure transmet la partie supérieure de la bande d’énergie. Dans la région de transition
entre les énergies réfléchies et transmises, le coefficient de transmission montre des
oscillations.
112
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
Lorsque la barrière s’abaisse, la région de transition se décale vers des énergies plus
faibles ; elle prend alors un poids de plus en plus grand dans le calcul de la MD, étant donné
que les fonctions d’onde sont pondérées par une DFD qui est maximale pour une énergie
nulle. Les oscillations dans cette région doivent être alors maillées plus finement, afin
d’évaluer avec exactitude l’intégrale de la MD (cf. Eq. IV-1). Cependant, alors que la barrière
baisse, les oscillations deviennent moins prononcées, et la résolution du maillage peut donc
être relâchée. Un nombre plus petit de vecteurs d’onde est alors nécessaire pour éliminer
l’erreur numérique qui cause les lobes. En conclusion deux mécanismes s’opposent : l’un
porte à augmenter la résolution, alors que l’autre permet l’application d’un maillage plus
grossier. C’est pourquoi la résolution minimale passe par un maximum pour une hauteur de
barrière de 0.3 eV.
Dans le cas d’une structure III-V, l’évolution de la MD en fonction de la longueur des
régions de contact est similaire que pour un dispositif silicium, même si moins évidente
visuellement. Pour ce qui est de la FW, des lobes apparaissent encore une fois aux faibles
longueurs, puis ils s’estompent et s’effacent dans le bruit numérique pour des contacts plus
longs, comme montré sur la Fig. IV-16. Dès que la longueur des contacts atteint une valeur
entre 50 et 60 nm, les deux profils se conforment à ceux obtenus pour un barreau à
potentiel constant.
15
10
(a)
(b)
50 nm
20
10
|f (x=0)| (SI)
15
10
W
|ρ (x=0)| (SI)
10
10
10
1 nm
10 nm
30 nm
60 nm
5
10
0
1 nm
10
10 nm
20 nm
5
10
30 nm
40 nm
0
10
60 nm
50
y (nm)
100
150
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-1
k (nm )
2
3
4
5
Fig. IV-16 (a) MD et (b) WF au contact émetteur pour des dispositifs en matériaux III-V à barrière simple pour
des différentes longueurs des contacts, de 1 à 60 nm.
Pour une structure III-V, il n’est pas en général nécessaire d’augmenter le nombre de
vecteurs d’onde incidents pour éliminer des lobes, même pour des hauteurs de barrière en
dessous de 0.3 eV. Ceci peut s’expliquer par le fait que le spectre de transmission ne montre
en général pas d’oscillations dans la région de transition entre les énergies réfléchies et
transmises, comme montré sur la Fig. IV-17.
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113
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
0
T
10
III-V
-2
10
silicium
-4
10
0.1
0.2
0.3
E (eV)
0.4
0.5
0.6
Fig. IV-17 Spectre de transmission pour une structure III-V, comparé à celui d’un dispositif en silicium avec une
hauteur de barrière de 0.3 eV.
IV.4.2
Calcul de la charge et étude de l’extension minimale du maillage dans
l’espace réciproque pour la fonction de Wigner
Lors de la résolution de l’ETW, il est important de bien choisir l’étendue du maillage dans
l’espace réciproque. En effet, la charge est donnée par l’intégrale de la FW dans cet espace,
et une étendue trop faible peut causer une sous-estimation importante de cette intégrale.
Une étendue trop large a d’ailleurs aussi un coût, notamment en ressources mémoire ; ce
coût est d’autant plus élevé que les paramètres de maillage des espaces réel et réciproque
sont interdépendants, et que l’augmentation de la taille de l’un d’eux entraîne le même effet
pour l’autre (cf §II.2.2).
Cette section se propose d’établir des ordres de grandeur pour l’étendue minimale du
maillage de l’espace réciproque pour le calcul la charge à une erreur près. L’étude utilise une
FW de référence obtenue en appliquant les paramètres géométriques par défaut, avec une
résolution du maillage de l’espace réciproque de 5000 nœuds et une étendue de 20 nm-1.
À partir de cette référence, la charge est calculée tout au long de la structure en
appliquant Eq. II-32. Ensuite, la même formule est recalculée, cette fois en évaluant la
somme seulement pour les indices 1 ≤ 𝑗 ′ ≤ 𝑁𝑘 − 2, puis encore avec 2 ≤ 𝑗 ′ ≤ 𝑁𝑘 − 3 et
ainsi de suite. À chaque fois, la charge est donc calculée en intégrant la FW sur une plage de
vecteurs d’onde plus restreinte. L’écart avec la charge de référence est ensuite calculé.
Alors que les bornes d’intégration sont rapprochées, cet écart augmente, jusqu’à ce qu’il
dépasse un seuil donné. L’étendue des bornes d’intégration où le dépassement a lieu
correspond à l’étendue minimale du maillage permettant le calcul de la charge à ce seuil
près.
114
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
2
kMax 10%
(nm )
-1
-1
Max
k
(b)
kMax 10%
1.5
6
4
(a)
1
0.5
2
0
20
kMax 1%
kMax 5%
kMax 5%
Max
(nm )
8
Barrière
kMax 1%
k
10
25
30
35
x (nm)
40
0
50
45
60
55
70
65
x (nm)
75
Fig. IV-18 Étendue kMax du maillage des vecteurs d’onde pour la FW permettant d’évaluer la charge à 1, 5 et
10% près pour des structures à barrière simple en (a) silicium et (b) matériaux III-V.
Fig. IV-18 montre la valeur de cette étendue le long de structures en silicium et III-V pour
des seuils de 1, 5 et 10%. Il est possible d’observer tout d’abord que les étendues de
maillage minimales sont plus grandes pour le silicium, ce qui peut être attribué à l’ouverture
plus importante de la FW à cause de la masse plus grande. De plus, l’étendue de maillage est
minimale au niveau de contacts, puis elle atteint un maximum aux pieds de la barrière et
chute à nouveau au centre. Fig. IV-19 montre en effet que le profil de la FW chute le moins
rapidement aux pieds de la barrière.
|fW (x=0)| (SI)
|fW (=0)| (SI)
(b)
10
10
10
5
10
Émetteur
Pied barrière
Milieu barrière
0
10
-10
15
10
(a)
15
10
-5
0
-1
k (nm )
5
10
5
10
Émetteur
Pied barrière
Milieu barrière
0
10
10
-8
-6
-4
-2
0
k (nm -1)
2
4
6
8
Fig. IV-19 FW au contact émetteur, au pied et au milieu de la barrière pour des structures à barrière simple en
(a) silicium et (b) matériaux III-V.
Dans les résultats présentés, la charge de référence utilisée dans la détermination de
l’étendue minimale est bien sûr calculée elle-même en utilisant une extension finie du
maillage. L’approximation faite est tout de même négligeable : des tests réalisés en étendant
le maillage à 25 nm-1 au lieu des 20 par défaut n’ont pas révélé des variations significatives
dans les profils de Fig. IV-18.
IV.5
Étude d’une structure à barrière double sans polarisation
IV.5.1
Effet de la variation des paramètres de simulation
Cette section présente les résultats obtenus pour des structures à double barrière. Ces
dispositifs sont composés de deux régions de contact qui renferment deux barrières de
même hauteur séparées par un puits. Le potentiel dans le puits est supposé être au même
niveau que dans les contacts.
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115
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
Fig. IV-20 montre la MD et la FW aux frontières d’un dispositif silicium. Les différentes
courbes sont calculées en faisant varier les paramètres numériques des simulations, la
géométrie des dispositifs et la précision numérique. La courbe (a) utilise la précision machine
double IEEE 754, ainsi que les paramètres géométriques et de maillage appliqués par défaut
(250 vecteurs d’onde linéairement espacés sur une plage de 1 eV à partir de la bande de
conduction) ; (b) présente les mêmes paramètres que (a), mais les calculs sont effectués
avec la librairie MPMATH de Python [Joh10], avec une précision numérique de 50 chiffres
significatifs ; (c) revient à la précision double, mais en utilisant 2500 vecteurs d’onde et (d) a
été calculée avec une précision arbitraire de 50 chiffres significatifs, avec des contacts de
100 nm de longueur.
Contacts longs
22
10
2500 v. o.
20
(b)
15
10
|fW (x=0)| (SI)
|ρ (x=0)| (SI)
(a)
250 v. o. (précision
double et arbitraire
24
10
10
10
10
5
18
10
-200
-100
0
y (nm)
100
200
10
-20
-15
-10
-5
0
-1
5
10
15
20
k (nm )
Fig. IV-20 (a) MD et (b) FW calculés pour une barrière double en silicium avec les paramètres géométriques par
défaut. Quatre courbes sont tracées, mais trois seulement sont visibles. Les deux premières sont calculées en
utilisant 250 vecteurs d’onde. La première courbe est calculée avec la précision machine double IEEE 754, alors
que la deuxième est calculée avec une précision arbitraire de 50 chiffres significatifs ; ces deux courbes sont
quasiment superposées. La troisième courbe utilise à nouveau une précision double, mais 2500 vecteurs
d’onde. La quatrième courbe introduit une modification dans la géométrie du dispositif, avec une longueur des
contacts de 100 nm, au lieu de la valeur usuelle de 30 nm ; le calcul utilise encore une fois 250 vecteurs d’onde.
Tout d’abord, il est possible d’observer que la FW suit un profil de DFD seulement jusqu’à
5 à 7 décades en dessous du pic, puis diverge du pic central et présente des artefacts en
forme de lobes. La forme de ces lobes n’est pas affectée de façon significative par le
changement des paramètres de la simulation dans les quatre configurations. Les courbes (a)
et (b) sont quasiment confondues, ce qui suggère que la précision double est suffisante pour
calculer la FW pour une structure à barrière double. De plus, le fait de densifier le maillage
des vecteurs d’onde incidents ne baisse pas de façon significative les lobes, mais semble
juste affecter l’amplitude des oscillations par rapport à leur valeur moyenne.
IV.5.2
Interprétation de la forme des lobes à partir de la forme de la matrice de
densité
Dans la section précédente, la précision numérique insuffisante, la longueur des contacts
et le maillage des vecteurs d’onde ont été écartés comme causes possible des artefacts en
forme de lobes observés dans la FW. Cette section propose alors d’investiguer l’origine des
ces artefacts à partir de la définition et du calcul de la FW.
En examinant la visualisation de la MD sur la Fig. IV-20, il est possible de remarquer
qu’elles montrent toutes la même allure générale, dont le schéma de base est détaillé sur la
Fig. IV-21. Chaque courbe peut être divisée en quatre régions distinctes. La première
contient le pic autour de 𝑦 = 0 : dans cette région, la MD suit le profil qui serait obtenu avec
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
un potentiel constant (cf. Fig. IV-5) ; cependant, à partir d’une certaine distance de l’origine,
les côtés du pic arrêtent de chuter et forment un plateau (la deuxième région), qui continue
jusqu’à ce que la coordonnée 𝑦 atteigne la première barrière. Alors que la forme du pic
central ne semble pas être affectée de façon significative par les paramètres de la
simulation, la hauteur du plateau peut varier considérablement, d’au moins deux décades. Il
n’est toutefois pas possible de déceler une tendance dans la variation du pic par rapport à
l’un des paramètres qui sont faits varier dans les simulations. La troisième région couvre les
valeurs de 𝑦 qui correspondent aux barrières et au puits ; dans cette région, la MD atteint un
nouveau pic. La quatrième région correspond aux valeurs de 𝑦 au-delà de la deuxième
barrière ; la DM a ici la forme d’une fonction sinusoïdale, avec une amplitude à peu près
constante.
R3
2lC
R1
ℜ [ρ (x=0)]
|ρ (x=0)| (SI)
10
R4
7× 1019 SI
24
10
22
R2
y
6.9 nm
20
10
18
10
Référence
∝ TFI(f )
FD
-100
-50
y (nm)
0
50
100
Fig. IV-21 Profil de la MD au contact émetteur pour une double barrière en silicium avec les paramètres par
défaut. Cette courbe est divisée en quatre régions, qui sont marquées de R1 à R4. L’encart trace l’allure de la
valeur réelle de la MD dans la quatrième région : des oscillations sinusoïdales avec amplitude constante sont
observées. Le profil de la MD est comparé à celui obtenu avec un potentiel constant, qui est une TFI de la DFD.
Il est possible de remarquer que, alors que le pic de la MD pour le potentiel constant continue de chuter, celui
pour la double barrière forme un plateau. Il est utile de remarque que l’échelle de l’axe y est divisée d’un
acteur deux par rapport aux dimensions physiques réelles (cf. Eq. IV-1). De plus, le profil de la MD est
symétrique, à cause des fonctions d’onde incidentes au collecteur.
La première étape de cette étude consiste à regarder quelle est la contribution de
chacune de ces quatre régions à la formation de lobes dans la FW. Visuellement, le profil de
la DM dans la première et dans la deuxième région est similaire à celui obtenu avec un
potentiel plat, avec une valeur constante ajoutée qui est égale à la hauteur du plateau. En
effet, en soustrayant la hauteur du plateau à la MD, en remplaçant les valeurs aux nœuds
dans les autres deux régions par des zéros et en calculant la TF des valeurs résultantes, le
profil obtenu est égal à une DFD sans lobes. De plus, si les mêmes opérations sont effectuées
à l’exception du remplacement par des zéros, les lobes dans la FW restent inchangés. En
conclusion, la hauteur du plateau paraît n’avoir aucun effet sur la FW lorsque les deux autres
régions sont différentes de zéro. Il est alors raisonnable de supposer que toute erreur
numérique affectant la hauteur du plateau aurait peu d’impact sur les lobes. La forme de la
MD dans la première et dans la deuxième région, c'est-à-dire, pour |𝑦⁄2| ≤ 𝑙𝐶 , est donnée
par :
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
∞
𝑦 𝑦
2𝑚∗ 𝑘𝐵 𝑇
������𝑒 −𝐼𝑘𝑦 + 𝑟(𝑘) + ������
𝜌 � , − ��
=
�+
�
�𝑒 𝐼𝑘𝑦 + 𝑟(𝑘)𝑟(𝑘)
𝑟(𝑘)�𝑓FD (𝑘)𝑑𝑘
2 2 𝑥=0
ℎ2
0
∞
������𝑒 𝐼𝑘𝑦 𝑓FD (𝑘)𝑑𝑘 +�
+ � 𝑡(𝑘)𝑡(𝑘)
IV-40
0
Cette formule a été calculée en développant Eq. IV-1, en tenant compte du fait que, dans
la première et la deuxième région, les fonctions d’onde incidentes à l’émetteur ont la
forme :
𝑦
𝑦
𝑦
𝜓 � ��
= 𝑒 𝐼𝑘 2 + 𝑟(𝑘)𝑒 −𝐼𝑘 2
IV-41
2 |𝑦⁄2| ≤𝑙𝐶
Les fonctions d’onde incidentes au collecteur ont la forme :
𝑦
𝑦
𝜓 � ��
= 𝑡(𝑘)𝑒 𝐼𝑘�𝑙𝑇 −2�
IV-42
2 |𝑦⁄2|≤𝑙𝐶 +2𝑙𝐵 +𝑙𝑃
Dans cette formule, l’origine de l’espace réel est fixée au contact émetteur pour les
fonctions d’onde avec vecteur d’onde positif, alors qu’elle est fixée au collecteur pour les
ondes avec vecteur négatif. Il faut remarquer que les composantes réfléchies et transmises,
dépendent les deux de la position de l’origine, au contraire de leurs modules, qui sont les
coefficients de réflexion et de transmission. Puisque les coefficients de réflexion et
transmission sont complémentaires à 1, Eq. IV-40 peut s’écrire :
∞
𝑦 𝑦
2𝑚∗ 𝑘𝐵 𝑇 ∞ 𝐼𝑘𝑦
IV-43
(𝑘)𝑑𝑘
𝜌 � , − ��
=
��
𝑒
𝑓
+
2
�
ℜ[𝑟(𝑘)] 𝑓FD (𝑘)𝑑𝑘�
FD
2 2 𝑥=0
ℎ2
−∞
0
La première intégrale est une TFI de la DFD. La deuxième est une constante qui dépend
du spectre de transmission. Cette formule est bien cohérente avec les profils observés sur la
Fig. IV-21. Les valeurs de ℜ[𝑟(𝑘)] ont une nature très oscillatoire. À cause de cela, il est très
problématique d’évaluer numériquement la deuxième intégrale dans Eq. IV-43 : c’est
vraisemblablement la raison pour laquelle la valeur du plateau varie de plusieurs ordres de
grandeur dans les courbes sur la Fig. IV-21, suivant les différents paramètres numériques.
Cependant, comme il est montré ci-dessus, l’effet de cette variation sur les lobes de la FW
est supposé être négligeable.
La troisième région dans le profil de la MD correspond aux valeurs de 𝑦 dans les barrières
et le puits. Quand ces valeurs sont remplacées par des zéros, et que la TF est calculée, les
petites oscillations dans les lobes montrées sur la Fig. IV-20 sont éliminées. Aussi, les lobes
sont quelque peux aplatis, mais leur hauteur n’est pas abaissée de plus d’une décade (cf.
Fig. IV-22).
15
|fW (x=0)| (SI)
10
3ème région
remplacée par
des zéros
3ème région
inchangée
10
10
5
10
-20
-15
-10
-5
0
5
k (nm -1)
10
15
20
Fig. IV-22 Comparaison des lobes observés lorsque la FW est calculée à partir de la MD originale (gauche) et de
la MD où la troisième région (cf. Fig. IV-21) a été remplacée par des zéros (droite).
118
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
La quatrième région dans le profil de la MD correspond aux valeurs de 𝑦 au delà de la
deuxième barrière. Dans cette région, la MD est donnée par :
∞
𝑦 𝑦
2𝑚∗ 𝑘𝐵 𝑇 ⎡
������𝑒 −𝐼𝑘𝑦 �𝑓FD (𝑘)𝑑𝑘
⎢+ � �𝑡(𝑘)𝑒𝐼𝑘𝑦 + 𝑡(𝑘)
𝜌 � , − ��
=
2 2 𝑥=0
ℎ2 ⎢�������������������������
0
⎣
𝐼1
IV-44
⎤
∞
−2𝐼𝑘𝑙𝑇
������
������
+ � �𝑡(𝑘)𝑟(𝑘) + 𝑟(𝑘)𝑡(𝑘)𝑒
�𝑓FD (𝑘)𝑑𝑘 +⎥
⎥
�����������������������������
0
⎦
𝐼2
Étant donné que la structure analysée ici est symétrique, puisque elle n’est pas polarisée,
la fonction 𝑡(𝑘) est aussi symétrique par rapport au vecteur d’onde. Le terme 𝐼1 dans
Eq. IV-44 peut alors être réécrit sous la forme :
∞
4𝑚∗ 𝑘𝐵 𝑇 ∞
IV-45
𝐼1 =
�� ℜ[𝑡(𝑘)] cos(𝑘𝑦) 𝑓FD (𝑘)𝑑𝑘 − � ℑ[𝑡(𝑘)] sin(𝑘𝑦) 𝑓FD (𝑘)𝑑𝑘�
ℎ2
0
0
La suite de cette section propose d’approximer les fonctions ℜ[𝑡(𝑘)] et ℑ[𝑡(𝑘)] par des
fonctions rectangulaires, et ainsi d’évaluer et simplifier Eq. IV-45. Fig. IV-23 montre le
spectre de transmission de la structure à barrière double. Ce spectre est caractérisé par des
pics de transmission très étroits, qui se produisent aux énergies auxquelles le puits résonne.
En observant le premier pic, il est possible de remarquer que les parties réelle et imaginaire
de la composante transmise atteignent un maximum et un minimum local de ses deux côtés.
Dans la courbe correspondant à la partie réelle, le maximum est plus petit que le minimum
en valeur absolue ; l’opposé se produit dans le cas de la partie imaginaire.
0
10
-5
10
1
T
T(k)
ℑ[
0.5
-10
10
t(k) ]
0
0.91 nm -1
-0.5
-15
0.9094
10
0
ℜ[
1
2
-1
t(k) ]
k (nm -1)
0.9095
3
0.9096
4
k (nm )
Fig. IV-23 Spectre de transmission de la structure à double barrière, tracé en fonction du vecteur des fonctions
d’onde incidentes. L’encart montre le premier pic en détail : le coefficient de transmission est décomposé en
ses parties réelle et imaginaire.
Afin de vérifier si Eq. IV-45 et cohérente avec le profil de la MD sur la Fig. IV-21, l’aire
sous chacune des deux courbes autour de ces deux extrema est approximée par deux
rectangles de largeur 𝛿, localisés des deux côtés du vecteur d’onde 𝑘0 au pic (cf. Fig. IV-24).
L’extrémum le plus grand en valeur absolue des deux a une hauteur 𝑡𝑀 , le plus petit, 𝑡𝑚 .
Pour des raisons de simplicité, les paramètres 𝛿, 𝑡𝑀 et 𝑡𝑚 sont supposés égaux pour les
parties réelle et imaginaire. Cette approximation est cohérente avec l’aspect visuel des deux
courbes. Finalement, 𝛿 est supposé être suffisamment petit pour que la variation de la DFD
soit négligeable, de telle sorte que 𝑓FD (𝑘) ≈ 𝑓FD (𝑘0 ) pour 𝑘0 − 𝛿 < 𝑘 < 𝑘0 − 𝛿. Eq. IV-45
devient alors :
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119
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
4𝑚∗ 𝑘𝐵 𝑇𝑓FD (𝑘0 ) sin(𝑘0 𝑦) − cos(𝑘0 𝑦)
[+(𝑡𝑀 + 𝑡𝑚 )(cos(𝛿𝑦) − 1)
𝐼1 =
IV-46
ℎ2
𝑦
+(𝑡𝑀 − 𝑡𝑚 ) sin(𝛿𝑦)]
Il est possible de remarquer d’emblée que cette écriture contient des termes sinusoïdaux
qui dépendent de 𝑦 : ceci est cohérent avec l’allure du profil de la MD sur la Fig. IV-21. De
plus, dans la même figure, les oscillations observées dans la région au delà de la deuxième
barrière ont une période de 6.9 nm à peu près. Or, si cette valeur est injectée dans Eq. IV-46,
et appliquée notamment aux termes sinusoïdaux avec argument 𝑘0 𝑦, la valeur résultante
pour 𝑘0 est 0.91 nm-1, qui correspond au premier pic dans le spectre de transmission. Cette
observation suggère que l’effet des autres pics est négligeable ; en effet, le deuxième pic est
situé à 1.85 nm-1 à peu près, et la valeur de la DFD qui pondère les fonctions d’onde dans
Eq. IV-1 est 2000 fois plus faible que pour le premier.
Fig. IV-24 Modèle schématique qui approxime l’allure des parties réelle et imaginaire de la composante
transmise de la fonction d’onde autour du premier pic de transmission (vecteur d’onde k0).
La valeur de la MD dans Eq. IV-46 est censée chuter pour des valeurs croissantes de 𝑦, à
cause de la relation de proportionnalité inverse. Cette tendance n’est cependant pas
évidente sur la Fig. IV-21, puisque les maxima de la MD ont à peu près la même amplitude
de 7×1019 SI. Ceci peut s’expliquer du fait de la très faible largeur du pic de résonnance : une
valeur pour 𝛿 de 50 nm-1, qui correspond à peu près à la largeur à mi-hauteur des pics dans
les profils de ℜ[𝑡(𝑘)] et ℑ[𝑡(𝑘)] de Fig. IV-23, vérifie la condition 𝛿 𝑦 ≪ 1, pour 𝑦 de l’ordre
de 100 nm. Ainsi, il est possible d’écrire la série de Taylor pour les termes sinusoïdaux
d’argument 𝛿 𝑦 dans Eq. IV-46 ; avec une approximation au premier ordre, cela donne :
4𝑚∗ 𝑘𝐵 𝑇𝑓FD (𝑘0 )
IV-47
[sin(𝑘0 𝑦) − cos(𝑘0 𝑦)](𝑡𝑀 − 𝑡𝑚 )𝛿
𝐼1 ≈
ℎ2
L’enveloppe qui relie les extrema de cette fonction maintient bien une valeur constante.
En effet, le domaine du maillage en 𝑦 devrait être étendu jusqu’à 1.5 µm à peu près pour
mesurer une différence de seulement 1% entre Eq. IV-46 et son approximation de Taylor. Si
le domaine est étendu davantage, des oscillations très lentes de période 2𝜋⁄𝛿
commenceraient à apparaître, et la fonction enveloppe commencerait à chuter suivant une
proportionnalité inverse avec 𝑦. Alors que le domaine en 𝑦 est rallongé, et que la chute de la
MD devient non-négligeable, les lobes de la FW pourraient peut-être se réduire. L’étendue
du maillage en 𝑦 devrait cependant être augmentée de plusieurs ordres de grandeur pour
montrer une chute importante.
120
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
En conclusion, l’approximation effectuée sur le spectre de transmission suggère que les
oscillations observées dans la MD ne sont pas causées par une forme d’erreur numérique.
Au contraire, elles sont dues à la résonnance des fonctions d’onde dans le puits quantique,
qui engendre des pics dans le spectre de transmission. L’amplitude de ces oscillations décroît
très lentement, et il faudrait augmenter l’étendue du maillage 𝑦 de plusieurs décades pour
observer une chute significative.
Au contraire, les artefacts observés dans la FW sont causés par une forme d’erreur
numérique, et notamment par un effet d’aliasing dans la TF : l’étendue du maillage de
l’espace réel étant trop faible, les oscillations de la MD sont coupées de façon abrupte alors
que leur amplitude est encore non-négligeable. Cette coupure est la cause des lobes
observés dans la FW. Il est possible de supposer que ces artefacts pourraient être réduits en
augmentant l’étendue du maillage, de façon à augmenter aussi la chute de la MD. En
pratique, cela est irréalisable, à cause des contraintes en ressources de calcul. Puisque les
espacements entre nœuds dans les axes 𝑦 et 𝑘 sont inversement proportionnels, si le
maillage 𝑦 est agrandi sans augmenter la résolution, l’étendue du maillage 𝑘 est réduite. Ce
problème affecte aussi les solveurs de l’ETW, où les paramètres de maillage des espaces réel
et réciproque sont interdépendants.
Les simulations présentées ici ne sont pas auto-cohérentes, donc les structures ne se
trouvent pas à l’équilibre. Il reste donc à vérifier si les mêmes artefacts affectent le système
aussi en résolution auto-cohérente. Pour un tel schéma de résolution, le solveur analytique
ne suffit plus, la SE ne peut pas être résolue symboliquement. Malheureusement, §IV.3
montre que les solveurs numériques implémentés ne sont pas suffisamment précis pour
calculer la FW, et engendrent davantage d’artefacts dus à l’erreur numérique. Il est alors
impossible de distinguer entre les lobes générés par le calcul inexact des fonctions d’onde et
ceux dus à l’étendue insuffisante du maillage dans la MD.
Avec un solveur numérique, il est cependant possible de calculer avec exactitude les
densités de charge : en le couplant à l’équation de Poisson, il est alors possible de calculer le
profil de potentiel de la structure à l’équilibre. Le solveur numérique peut ensuite être utilisé
pour calculer le spectre de transmission à l’équilibre à partir de ce potentiel. Le nouveau
spectre montre des pics de transmission quasiment aussi aigus que ceux obtenu sans autocohérence. Puisque le modèle présenté ci-dessus montre que ce sont ces pics qui causent les
artefacts observés dans la FW, des artefacts similaires pourraient être observés aussi en
résolution auto-cohérente.
IV.5.3
Impact de la longueur des barrières et du puits sur les lobes de la
fonction de Wigner
Fig. IV-25 montre l’impact de la longueur du puits sur le spectre de transmission, sur la
MD et sur la FW pour un dispositif avec une longueur de barrière de 1 nm. Le puits varie
entre 0.5 et 3 nm. En général, les lobes ont tendance à disparaître lorsque le puits est court,
puisque les niveaux de résonnance et les pics de transmission se décalent vers des énergies
plus élevées, qui ont moins de poids dans le calcul de la MD. Alors que la longueur du puits
augmente, les pics de transmission sont décalés vers des énergies plus faibles. Ceci a un
double effet sur les lobes de la FW : d’abord la hauteur des lobes augmente pour des
longueurs du puits inférieures à 2.5 nm, puis elle rechute.
Fig. IV-26 montre des tracés similaires, mais la longueur des barrières est portée à 3 nm.
Les lobes sont en général moins prononcés que ceux des Fig. IV-25, puisque les barrières
plus longues isolent mieux le puits. Si des barrières encore plus longues sont simulées, les
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121
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
fonctions d’onde sont complètement réfléchies et la résonnance dans le puits a encore
moins d’impact. La FW devient à nouveau proportionnelle à la DFD à précision double près.
0
10
(a)
lP = 2 nm
-2
lP = 2.5 nm
-4
lP = 3 nm
10
T
10
lP = 0.5 nm
-6
10
lP = 1 nm
-8
10
lP = 1.5 nm
-10
10
0
1
2
3
vecteur d'onde incident (nm -1)
4
25
10
lP = 2.5 nm
lP = 1.5 nm
(b)
lP = 2 nm
(c)
15
10
|fW (x=0)| (SI)
|ρ (x=0)| (SI)
10
15
10
lP = 3 nm
lP = 1 nm
10
10
5
10
lP = 0.5 nm
lP = 1 nm
0
10
10
-100
lP = 3 nm
lP = 2.5 nm
20
10
lP = 0.5 nm
-50
0
y (nm)
-20
100
50
lP = 1.5 nm
-15
-10
-5
0
k (nm -1)
5
10
15
20
Fig. IV-25 (a) spectre de transmission, (b) MD et (c) FW à l’émetteur de structures à barrière double en silicium,
avec un puits de 1 nm de longueur et des longueurs de barrière variables.
-5
10
lP = 1.5 nm
-10
lP = 2 nm
10
-15
lP = 2.5 nm
-20
lP = 3 nm
T
10
10
(a)
lP = 0.5 nm
lP = 1 nm
-25
10
-30
10
0
1
2
3
vecteur d'onde incident (nm -1)
4
Fig. IV-26 Continue à la page suivante.
122
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
25
10
(b)
lP = 2 nm
|ρ (x=0)| (SI)
lP = 1.5 nm
15
10
10
10
-100
-50
10
10
5
10
10
lP = 1 nm
lP = 0.5 nm
lP = 0.5 nm
-20
100
50
0
y (nm)
lP = 3 nm
lP = 2.5 nm
0
lP = 3 nm
5
10
lP = 2 nm
lP = 2.5 nm
|fW (x=0)| (SI)
20
10
(c)
15
10
-15
-10
-5
0
lP = 1.5 nm
-1
5
10
15
20
k (nm )
Fig. IV-26 (a) spectre de transmission, (b) MD et (c) FW à l’émetteur de structures à barrière double en silicium,
avec un puits de 3 nm de longueur et des longueurs de barrière variables.
En conclusion, ces résultats montrent que, en général, les lobes sont les plus hauts
lorsque les barrières sont suffisamment faibles pour ne pas complètement isoler le puits des
contacts. Ceci est cohérent avec l’étude du profil de la MD, qui montre que ce sont les
structures à fort caractère quantique qui sont les plus affectées par des lobes dans la FW.
Cependant, si le puits est trop court, les niveaux de résonnance deviennent trop élevés. Le
puits agit alors comme une barrière, et les lobes sont par conséquent abaissés.
IV.5.4
Impact de la hauteur de barrière sur les lobes de la fonction de Wigner
Lorsque la hauteur des deux barrières chute en dessous de 1 eV, les pics de transmission
deviennent moins marqués, et se rapprochent des ceux observés pour une structure à
barrière simple (cf. Fig. IV-27 et Fig. IV-13).
0
10
-2
T
10
-4
10
UB = 1.5 eV
UB = 1.0 eV
-6
10
UB = 0.5 eV
UB = 0.1 eV
-8
10
0
0.2
0.4
E (eV)
0.6
0.8
1
Fig. IV-27 Spectre de transmission pour une double barrière en silicium lorsque la barrière est baissée.
Fig. IV-28 montre la hauteur moyenne des lobes en fonction du nombre de vecteurs
d’onde incidents, avec des différentes hauteurs de barrière. Pour des barrières dépassant
0.5 eV, la hauteur des lobes n’est pas affectée de façon significative par le nombre de
vecteurs. Ce résultat est cohérent avec le modèle au §IV.5.2, qui identifie la cause de ces
artefacts dans la discrétisation de la MD, au lieu de celle des fonctions d’onde. Pour des
barrières plus faibles, la discrétisation a au contraire un impact visible, ce qui peut
s’expliquer par le même mécanisme proposé pour une barrière simple (cf. §IV.4.1).
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123
-1
Moy ( |fW (k=10± 0.1 nm )| )
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
10
10
UB = 0.01 eV
UB = 0.1 eV
UB = 1 eV
UB = 0.7 eV
5
10
UB = 0.5 eV
UB = 0.3 eV
UB = 0.1 eV
UB = 0.01 eV
0
10
1000
800
600
400
Nombre de vecteurs d'onde
200
Fig. IV-28 Hauteur moyenne des lobes de la FW à l’émetteur d’un dispositif à barrière double en silicium, en
fonction du nombre de vecteurs d’onde incidents et de la hauteur de barrière. La hauteur de la FW est calculée
-1
comme la moyenne de dix points linéairement espacés dans l’intervalle (10.0 ± 0.1) nm .
Fig. IV-29 montre que, lorsque la hauteur d’une barrière seulement est réduite, les lobes
disparaissent progressivement, puisque les niveaux de résonnance sont aplatis vers la bande
de conduction et que le dispositif se rapproche d’une configuration à barrière simple.
UB = 1.5 eV
15
10
UB = 0.3 eV
W
|f (x=0)| (SI)
UB = 0.7 eV
10
10
UB = 0.1 eV
UB = 0.5 eV
5
10
0
10
-20
-15
-10
-5
0
-1
k (nm )
5
10
15
20
Fig. IV-29 FW dans une structure à barrière double asymétrique. La barrière du côté émetteur a une hauteur de
1.5 eV, celle du côté collecteur est indiquée par UB dans la figure.
Pour des dispositifs III-V, les artefacts observés dans la configuration par défaut sont
beaucoup plus faibles que ceux observés dans les structures en silicium. En effet, Fig. IV-30
montre que le spectre de résonnance de ce type de structure ne montre pas les pics
observés dans un dispositif en silicium avec la même hauteur de barrière. Ce constat est
similaire aux observations faites pour la barrière simple : encore une fois, les artefacts
numériques sont réduits du fait de la masse plus faible des porteurs.
124
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
0
10
-1
T
10
-2
10
-3
10
U = 0.3 eV, Si
B
UB = 0.3 eV, III-V
-4
10
0
0.05
0.10
0.15
E (eV)
0.20
0.25
0.30
Fig. IV-30 Comparaison des spectres de transmission d’une structure en silicium et une en matériaux III-V pour
la même hauteur de barrière de 0.3 eV.
IV.5.5
Calcul de la charge et étude de l’extension minimale du maillage dans
l’espace réciproque pour la fonction de Wigner
La même étude menée au §IV.4.2 pour une barrière simple est reproduite ici. Fig. IV-31
montre l’allure de l’étendue minimale du maillage de la FW dans l’espace réciproque
nécessaire calculer la charge à 1, 5 et 10% près pour des structures en silicium et matériaux
III-V. Encore une fois, cette étendue est maximale au pieds des barrières, et plus élevée pour
le silicium.
15 Barrière
Barrière côté
collecteur
côté
émetteur
kMax 5%
12
kMax 10%
-1
(nm )
(a)
k
Max 1%
3
0
25
Max
6
1
k
k
Max
-1
(nm )
1.5
9
(b)
kMax 1%
2
0.5
k
Max 5%
kMax 10%
30
x (nm)
35
40
0
50
55
60
x (nm)
65
70
75
Fig. IV-31 Étendue minimale du maillage de la FW permettant d’évaluer la charge à 1, 5 et 10% près pour des
structures à barrière double en (a) silicium et (b) matériaux III-V.
IV.6
Étude de structures polarisées
Cette section présente des simulations sur des structures sans barrière, ou alors avec une
barrière simple ou double, auxquelles une polarisation est appliquée. Le but est d’observer si
des artefacts apparaissent dans la FW, et, dans ce cas, d’estimer leur ordre de grandeur. Les
simulations contiennent des approximations importantes : d’abord, le profil du potentiel est
simplifié de façon à permettre de résoudre symboliquement l’ES, et deuxièmement les
interactions entre porteurs ne sont pas prises en compte. Cependant, les simulations
présentées ici peuvent donner une idée de l’évolution de la FW à des différentes
polarisations. Les trois configurations étudiées sont montrées sur la Fig. IV-32.
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125
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
(a)
Bias
P
(c)
Fig. IV-32 Vue schématique des profils de potentiel avec polarisation (a) sans barrière,(b) avec une barrière
simple et (c) une barrière double. Le potentiel est constant dans les régions des contacts et varie linéairement à
l’intérieur.
Le potentiel est constant dans les contacts, puis varie linéairement à l’intérieur de la
structure. En appliquant la méthode analytique des matrices de transfert, les formules
littérales des coefficients des fonctions d’onde sont obtenues par un logiciel de calcul formel
(Maple) : ces formules sont complexes, et leur application numérique peut donner des
résultats grossièrement inexacts à cause d’une forte propagation de l’erreur. Il devient alors
nécessaire d’utiliser des librairies qui utilisent des précisions de calcul plus élevées que celle
double. La librairie à précision arbitraire MPMATH sous Python a été utilisée ici pour le calcul
des fonctions d’onde.
Fig. IV-33 donne une idée du niveau de précision numérique nécessaire à calculer les
fonctions d’onde dans des structures à barrière simple. La figure montre l’erreur numérique
maximale calculée sur les modules d’un paquet de fonctions d’onde incidentes à l’émetteur
d’une structure à barrière simple. Cette erreur est évaluée à différents niveaux de précision,
par rapport à une référence à 200 chiffres significatifs. Les courbes s’arrêtent toutes à une
valeur de 10-15 environ ; ceci est du au fait que, après que les fonctions d’onde ont été
évaluées à précision arbitraire, elles sont converties en précision double pour le calcul de la
MD et de la FW, ce qui ne permet pas de mesurer des différences relatives plus grandes que
15 décades à peu près. L’extrémité inférieure de chaque courbe indique le nombre de
chiffres significatifs qu’il faut utiliser dans les calculs pour avoir un résultat exact à précision
double près.
Alors que la précision double IEEE 754 est suffisante pour le calcul des fonctions d’onde
dans les dispositifs non polarisées, des niveaux de précision jusqu’à dix fois plus élevés sont
nécessaires ici. Bien sûr, ces niveaux pourraient être relaxés si les formulations analytiques
étaient optimisées pour limiter la propagation de l’erreur ; la précision double standard
pourrait cependant n’être toujours pas suffisante.
30
10
polarisation = 0.3 V
polarisation = 0.5 V
polarisation = 0.7 V
Max différence relative
20
10
10
10
0
10
-10
10
-20
10
40
60
80
100
n. chiffres significatifs
120
140
Fig. IV-33 Écart relatif maximal entre les modules des fonctions d’onde et une référence à 200 chiffres
126
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
significatifs, tracé en fonction du niveau de précision.
Fig. IV-34 montre la FW calculée à des différents niveaux de polarisation aux contacts
émetteur et collecteur pour un dispositif à barrière simple en silicium. Les courbes à
l’émetteur sont quasiment superposées. Elles sont aussi très similaires à celles obtenues
pour une structure non polarisée ; en effet, le coté gauche des courbes (vecteurs d’onde
négatifs) est quelque peu moins bombé que le droit, mais cet effet ne peut se constater
qu’en examinant les valeurs numériques de la FW. Du côté du collecteur, la dissymétrie est
plus marquée, et elle augmente avec la polarisation. Le profil asymétrique de la FW indique
le passage d’un courant entre les extrémités du dispositif.
W
|f (x=0)| (SI)
10
10
(a)
Courbes quasiment
confondues pour
polarisations
entre 0.5 et 2 V
5
10
(b)
15
10
|fW (x=l T )| (SI)
15
10
10
10
1V
1.5 V
2V
5
10
0
0
10
10
0.5 V
-20
-15
-10
-5
0
5
k (nm -1)
10
15
-20
20
-10
0
k (nm -1)
10
20
Fig. IV-34 FW (a) à l’émetteur et (b) au collecteur d’une structure à barrière simple à plusieurs niveaux de
polarisation.
15
1.5 V
0.5 V
10
10
|fW (x=l T )| (SI)
|fW (x=0)| (SI)
10
(a)
5
10
2V
0
10
-20
-15
-10
-5
0
5
k (nm -1)
|f (x=l T )| (SI)
W
Fig. IV-35 montre les profils de la FW calculés aux extrémités émetteur et collecteur
d’une structure à barrière double. À l’émetteur, l’asymétrie entre les lobes des côtés gauche
et droit est plus marquée que dans le cas précédent, en particulier pour une polarisation de
1.5 V. Au collecteur, l’asymétrie est encore une fois très évidente, et des lobes apparaissent
environ 5 décades en dessous du pic de la FW.
10
15
20
16
10
(b)
0.5 V
14
10
12
10
10
10
8
10
-20
-15
-10
-5
0
5
k (nm-1)
10
15
16
10
20
2V
14
10
12
10
10
10
8
10
-20
-15
-10
-5
0
5
k (nm-1)
10
15
20
Fig. IV-35 FW (a) à l’émetteur d’une structure à barrière simple à plusieurs niveaux de polarisation et (b) au
collecteur à des polarisations de 0.5 et 2 V.
IV.6.1
Calcul de la charge et étude de l’extension minimale du maillage dans
l’espace réciproque pour la fonction de Wigner
Une étude similaire à celle présentée au §IV.4.2 et §IV.5.5 est menée ici pour les
structures polarisées. Fig. IV-36 trace l’étendue minimale du maillage des vecteurs d’onde
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127
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
nécessaire pour calculer la charge avec une marge d’erreur de 1% au plus, à des
polarisations de 0, 0.5 et 1 V dans les trois types de structure. Si une polarisation est
appliquée, les courbes perdent leur symétrie. Tout comme à polarisation nulle, les courbes
atteignent des maxima aux deux extrémités de la région centrale ; cependant, le pic de
gauche (où le potentiel est le plus élevé), est plus haut en général que celui de droite. L’écart
en hauteur le plus important est observé dans la structure à barrière double, où il est de 30%
à peu près.
20
bias = 0
bias = 0.5 V
bias = 1 V
10
k
Max
(nm -1)
15
(a)
5
0
25
20
bias = 0
bias = 0.5 V
bias = 1 V
35
14
Max
(c)
bias = 0
bias = 0.5 V
bias = 1 V
16
k
5
40
18
(b)
-1
-1
10
k
Max
x (nm)
(nm )
15
(nm )
30
12
10
8
6
4
2
0
25
30
x (nm)
35
40
0
25
30
x (nm)
35
40
Fig. IV-36 Étendue minimale du maillage k pour la FW permettant d’évaluer la charge à 1, 5 et 10 % près pour
des structures à barrière double en (a) silicium et (b) matériaux III-V.
La différence la plus marquée par rapport à la polarisation nulle est observée au milieu
des structures, où un pic très haut apparaît. Ce pic varie considérablement avec la
polarisation, et est le plus élevé dans la structure à barrière double, où il atteint 60 nm-1 à
peu près pour une polarisation de 1 V. En fait, dans le cas de la barrière double, deux pics
apparaissent, celui de droite étant le plus haut. Fig. IV-37 montre la FW au point au point où
le pic est le plus élevé : la distribution est très asymétrique et elle montre un comportement
fortement oscillatoire, de telle sorte que les parties positive et négative s’annulent
réciproquement dans le calcul de la charge. Des observations similaires ont été faites pour
des dispositifs III-V.
Dans cette étude, les interactions ne sont pas prises en compte. À polarisation non-nulle,
elles auraient l’effet de dissiper l’énergie des porteurs, et d’engendrer ainsi un effet d’écran
sur le champ électrique. Il est donc possible que les pics à haute énergie observés dans
Fig. IV-36 puissent être considérablement réduits si les simulations incluaient les
interactions.
128
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IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
14
3
x 10
1
0
f
W
(x ≈ 33.3 nm) (SI)
2
-1
-2
-3
-2
-1
0
1
2
-1
k (nm )
3
4
5
Fig. IV-37 FW dans une structure à barrière double avec une polarisation de 1 V, au nœud où le pic observé sur
la Fig. IV-36 est le plus élevé.
IV.7
Conclusion du chapitre
Ce chapitre a étudié une méthode qui permet de déterminer les étendues et les densités
de maillage qui sont nécessaires pour un calcul juste de la FW. L’approche utilisée consiste à
calculer la FW à partir des fonctions d’onde, qui sont obtenues en résolvant l’ES.
Le calcul est divisé en trois étapes, à savoir, l’évaluation des fonctions d’onde, de la MD
et de la FW. Ceci permet de contrôler et contenir l’erreur numérique mieux que dans la
résolution de l’ETW, qui est un système monolithique. Les paramètres de maillage calculés
ici pourraient donc être insuffisants si appliqués à l’ETW, où d’autres sources d’erreur
doivent être prises en compte, comme par exemple la résolution du système linéaire.
L’approche présentée dans ce chapitre permet tout de même de valider les conditions aux
limites aux contacts.
Il a été déterminé que, pour évaluer exactement la FW, il est nécessaire de calculer les
fonctions d’onde de façon symbolique. Ceci empêche de réaliser des simulations autocohérentes, ce qui n’est cependant pas rédhibitoire pour la portée de l’étude. Les
simulations portent sur des structures à barrière simple, qui ont un caractère classique, et
d’autres à barrière double, qui ont un caractère quantique, puisqu’elles montrent des
phénomènes de résonnance dans le puits central. Les simulations sont réalisées avec et sans
polarisation.
Dans les structures à barrière simple, il a été observé que l’utilisation d’une DFD comme
condition aux limites est fondamentalement valide, si la longueur des contacts est adéquate.
Des artefacts numériques en forme de lobes apparaissent si le maillage des vecteurs d’onde
n’est pas suffisamment dense. Ce phénomène est accentué dans les structures avec des
hauteurs de barrière intermédiaires. Le spectre de transmission de ces structures, pour des
vecteurs d’onde qui ont un poids non-négligeable dans le calcul de la MD, montre une région
de transition entre les énergies réfléchies et celles transmises ; si des oscillations
apparaissent dans cette région, le maillage en énergie doit être affiné suffisamment pour
calculer correctement l’intégrale de la MD. Si la masse effective des porteurs est réduite, cet
effet devient moins important, et le maillage en énergie peut être par conséquent relâché ;
en même temps, il est nécessaire d’augmenter la longueur des contacts, à cause de
l’ouverture plus importante de la MD.
Dans les structures à barrière double, des artefacts ont été observées dans la FW aux
contacts d’une structure. Ces artefacts ne sont pas affectés par les densités de maillage, les
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129
IV Calcul de la fonction de Wigner à partir des fonctions d’onde
précisions de calcul ou la longueur des contacts. Leur présence a été expliquée à partir des
pics de résonnance dans les spectres de transmission des structures ; ces pics causent des
oscillations dans le profil de la MD, qui sont elles-mêmes à l’origine d’un effet d’aliasing qui
engendre les artefacts dans la FW. L’élimination des pics ne serait possible qu’en
augmentant l’étendue du maillage dans l’espace réel au delà des capacités de stockage d’un
calculateur. Par ailleurs, puisque ces artefacts sont dus à la nature quantique des dispositifs,
ils pourraient à priori se reproduire à chaque fois où des phénomènes de résonnance sont
observés. Si l’effet de confinement dans le puits est augmenté, soit en réduisant la longueur
du puits, soit en augmentant la longueur des barrières, les artefacts sont réduits, puisque les
deux contacts sont plus isolés. Si la hauteur des barrières ou la masse sont abaissées, les
artefacts sont encore une fois réduits, puisque les pics de résonnance disparaissent
progressivement.
Pour ce qui est de l’étendue du maillage de l’espace réciproque, elle a été mesurée à 10
et 15 nm-1 à peu près pour un calcul de la charge exact à 1%, dans des structures à base
silicium non polarisées à barrière simple et double respectivement. Ces étendues se
réduisent si la masse effective des porteurs est abaissée. Au contraire, elles augmentent si
une polarisation est appliquée, à cause de l’accélération des porteurs dans la région où le
potentiel chute.
Références
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formulas, graphs and mathematical tables. Dover, 1972.
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Stanford University, 1997.
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J. Bastien and J.-N. Martin, Introduction à l’analyse numérique. Dunod, 2003.
[FG97]
D. Ferry and S. M. Goodnick, Transport in nanostructures. Cambridge University
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[Joh10]
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[Pan06]
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B. Ricco and M. Y. Azbel, “Physics of resonant tunneling. The one-dimensional
double-barrier case,” Physical Review B, vol. 29, no. 4, pp. 1970–1981, 1984.
[TXZ90]
C. M. Tan, J. Xu, and S. Zukotynski, “Study of resonant tunneling structures: A
hybrid incremental Airy function plane-wave approach,” Journal of Applied
Physics, vol. 67, no. 6, pp. 3011–3017, 1990.
130
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V
Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur
la charge
Dans les chapitres précédents, la Fonction de Wigner (FW) a été étudiée par deux
approches différentes : la résolution de l’Équation de Transport de Wigner (ETW) et le calcul
à partir de l’Équation de Schrödinger (ES) et des fonctions d’onde. Ces deux méthodes ont
permis de mettre en évidence plusieurs problèmes concernant la justesse de l’évaluation
numérique de la FW.
Dans l’approche utilisée dans le Chapitre III, la FW est calculée par la résolution de l’ETW.
Cette équation est discrétisée en un système linéaire, comme montré au Chapitre II. Les
problèmes observés dans le Chapitre III concernent en particulier la cohérence entre la
solution de l’équation et les conditions aux limites. Cette cohérence ne tient que sur une
plage limitée entre quatre et cinq décades ; ensuite, la solution se dégrade et des artefacts
en forme de lobes sont observés. Ce problème affecte aussi les grandeurs macroscopiques
issues des simulations, et notamment la densité de charge. Il est exacerbé dans des
structures avec des barrières de potentiel élevées et épaisses, où il est possible d’observer
des densités électroniques négatives, ce qui n’a pas de sens physique. Une erreur numérique
importante affecte aussi le courant, qui peut varier fortement suivant la densité de maillage.
Dans le Chapitre IV, la FW est calculée à partir des fonctions d’onde. Ceci permet de
conclure que les conditions aux limites étudiées au Chapitre III sont fondamentalement
valides, au moins pour les structures à barrière simple et épaisse où les problèmes de
résolution de l’ETW sont les plus évidents.
Les deux études présentent des avantages et des inconvénients. La résolution de l’ETW
est nécessaire pour implémenter un solveur complet, qui tienne compte des interactions
dans le transport des porteurs de charge. Cependant, si les interactions sont négligées, le
calcul à partir des fonctions d’onde se révèle être une méthode utile pour étudier les
caractéristiques de la FW, puisque l’espace mémoire nécessaire et les temps de calcul sont
beaucoup plus faibles qu’avec l’ETW. Ceci permet alors de pousser les paramètres de
maillage à des niveaux beaucoup plus élevés : alors qu’avec l’ETW, un serveur de calcul avec
une capacité de 15 giga-octets de mémoire ne peut pas simuler des structures avec des
maillages plus denses que 500 nœuds dans les espaces réels et réciproques, des densités dix
fois plus grandes peuvent être atteintes avec les fonctions d’onde. Au Chapitre IV, il a ainsi
été possible de mailler des dispositifs à plusieurs milliers de nœuds. Ceci a permis ensuite de
déterminer les valeurs minimales pour les paramètres de maillage, ou du moins des ordres
de grandeur, permettant de réduire l’erreur numérique dans la FW jusqu’à la précision
machine utilisée dans les calculs.
Il reste cependant la question de savoir si les résultats obtenus au Chapitre IV sont
applicables à l’ETW, étant donné que la méthode de calcul de la FW est différente. Avec la
méthode des fonctions d’onde, le calcul est divisé en plusieurs étapes. Ceci permet de
départager et de contenir séparément les différentes sources d’erreur numérique. Les
différentes étapes sont le calcul des fonctions d’onde (les sources d’erreur possibles sont
alors la discrétisation de l’espace réel, la précision machine etc.), le calcul de la Matrice de
Densité (MD – le nombre de vecteurs d’onde incidents) et finalement l’évaluation de la FW
(l’effet d’aliasing sur la TF). Avec l’ETW, toutes ces sources d’erreur sont réunies et affectent
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131
V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
toutes ensemble la résolution du système linéaire. La propagation de l’erreur peut par
conséquent être plus importante qu’avec des calculs séparés ; pour limiter les artefacts dus à
cette propagation, il pourrait ainsi être nécessaire d’imposer aux paramètres de simulations
des marges encore plus élevées que celles calculées au Chapitre IV.
Ce chapitre propose d’étudier cette problématique par des simulations qui combinent les
méthodes étudiées précédemment. Par exemple, la FW est calculée d’abord à partir des
fonctions d’onde, puis elle est injectée dans l’ETW, afin de comparer les différents termes de
cette équation ; une autre application consiste à utiliser la FW precalculée comme condition
aux limites pour l’EFW. L’objectif est de focaliser l’étude de la FW dans les zones d’une
structure où les problèmes les plus flagrants apparaissent (par exemple, les densités
électroniques négatives), sans gaspiller des ressources mémoire pour mailler les régions de
contact. Il serait donc possible d’observer le comportement de l’ETW en poussant les
paramètres de définition du maillage plus qu’il ne l’à été possible dans le Chapitre III.
La section §V.1 présente la structure étudiée et la procédure appliquée aux simulations.
La section §V.2 se penche sur le calcul des termes de dérive et de diffusion à partir de la FW
reconstruite, et étudie l’erreur numérique. La section §V.3 montre finalement les résultats
principaux, et notamment l’effet des densités des maillages de l’espace réel et réciproque
sur la densité de charge dans la barrière.
V.1
Présentation générale des études menées
Le fil conducteur qui relie les études présentées dans ce chapitre est d’utiliser la
méthode de calcul de la FW à partir des fonctions d’onde, telle qu’elle décrite dans le
Chapitre IV, afin de mieux comprendre les problèmes du solveur de l’ETW, et d’envisager des
solutions possibles. L’hypothèse fondamentale qui est faite dans les études qui suivent est
que le calcul à partir des fonctions d’onde donne la valeur exacte de la FW, qui peut donc
être utilisée comme référence. Le Chapitre IV montre que cette hypothèse est raisonnable si
certaines précautions sont respectées. En particulier, la méthode dite analytique doit être
utilisée, en appliquant une résolution symbolique de l’ES. De plus, le nombre de vecteurs
d’onde doit être suffisamment élevé. La FW ainsi calculée est alors utilisée comme référence
pour plusieurs études possibles : pour évaluer l’écart avec la FW calculée en résolvant
l’ETW ; pour évaluer l’erreur sur des grandeurs macroscopiques telles que le profil de
charge ; pour être utilisée comme condition aux limites aux frontières d’une structure etc.
Ce chapitre explore deux axes de recherche. Le premier concerne l’impact des
paramètres de maillage (densité, étendue) sur la FW, alors que le deuxième regarde l’effet
sur les grandeurs macroscopiques, et notamment sur la densité de charge. La première
étude observe l’erreur numérique qui affecte les termes de dérive et de diffusion de l’ETW.
Dans le système linéaire discrétisé qui est présenté dans le Chapitre II, ces termes se
présentent sous la forme de vecteurs colonnes qui sont donnés par le produit des matrices
respectives avec la FW (cf. Eq. II-34 et II-35). En régime stationnaire, sans interactions, ces
deux termes devraient être égaux en valeur absolue. Toute différence observée est donc
causée par une erreur numérique dans le système linéaire qui discrétise l’ETW. L’étude
menée observe la variation de cette erreur en fonction des paramètres de maillage : le but
est de déterminer des ordres de grandeur pour ces paramètres qui permettent de réduire
l’erreur en dessous d’un seuil donné, par exemple la précision machine.
La deuxième étude consiste à calculer la densité de charge par le biais de l’ETW dans une
barrière de potentiel, sans régions de contact, en faisant varier les densités des maillages, et
de comparer la charge à la référence. Les conditions aux limites sont obtenues en recalculant
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V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
la FW à partir des fonctions d’onde. Le but de cette étude est, encore une fois, de donner un
ordre de grandeur pour les paramètres de maillage, en réduisant l’écart avec le profil de
référence en dessous d’un seuil donné.
Finalement, les deux études sont censées permettre de conclure quant à la viabilité de la
méthode de résolution de l’ETW pour simuler des structures non-quantiques, avec des
barrières épaisses qui atténuent fortement les fonctions d’onde, et donc avec une variation
importante de la charge à certains endroits. Le but final est d’estimer les ressources en
mémoire et en temps de calcul nécessaires à conduire des simulations avec des résultats
raisonnablement justes sur ces types de structures.
Les simulations réalisées dans ce chapitre ne comportent pas de terme de collision. Ce
terme ne peut en effet pas être appliqué à la FW reconstruite à partir des fonctions d’onde.
Ceci a pour effet de réduire la portée de l’étude, qui est ainsi limitée aux termes de dérive et
de diffusion seulement. Les sections suivantes montrent que la propagation de l’erreur
numérique est déjà très importante avec le système linéaire de l’ETW limité à ces deux
termes.
V.1.1
Type de structure simulé
La structure simulée (cf. Fig. V-1) a été déjà considérée au Chapitre IV. Il s’agit d’une
barrière simple non-polarisée en silicium, d’une longueur de 7 nm et d’une hauteur de
1.5 eV. Les régions de contact ont une longueur de 30 nm ; il est montré au §IV.4 que cette
longueur est suffisante pour appliquer une Distribution de Fermi-Dirac (DFF) aux frontières
de la structure. La masse relative est fixée à 0.5 tout le long du dispositif. Le niveau de Fermi
est supposé identique à l’énergie de la bande de conduction au niveau des contacts.
1.5 eV
EC ≡ EF
30 nm
7 nm
Fig. V-1 Profil du potentiel de la structure simulée dans ce chapitre.
Comme montré dans le Chapitre IV, ce type de structure est quasi-opaque aux fonctions
d’onde, avec un coefficient de transmission entre 10-20 et 10-15 pour tous les vecteurs d’onde
qui ont un poids non-négligeable dans le calcul de la MD. Ainsi, le module des fonctions
d’onde chute de plus de 10 décades à l’intérieur de la structure, et la densité de charge suit
la même tendance. L’étude de ce type de structure permet alors d’observer le
comportement de l’ETW dans les conditions les moins favorables, en présence d’une forte
variation de la charge.
Le calcul de la FW à partir des fonctions d’onde est réalisé sur la structure entière. Dans
la première étude, ceci permet d’évaluer les termes de dérive et de diffusion à tout point, et
notamment à proximité des contacts et au milieu de la structure. Dans la deuxième étude, la
résolution de l’ETW est limitée à la barrière, soit en entier (𝑥 entre 30 et 37 nm) soit en
partie (𝑥 entre 32 et 35 nm). Ceci permet de s’intéresser uniquement à la partie de la
structure où la variation de la charge est la plus importante. Il est alors possible
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133
V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
d’économiser les ressources disponibles en mémoire du serveur de calcul, et donc d’utiliser
des maillages plus fins. Les conditions aux limites de cette portion de la structure ne sont
bien sûr plus égales à des FDD, mais peuvent se calculer à partir des fonctions d’onde.
V.1.2
Polarisation de la structure et problème de l’auto-cohérence
Les simulations sont limitées à une structure non-polarisée. Ceci permet d’économiser
des ressources mémoire, puisque le Chapitre IV montre que, si une différence de potentiel
est appliquée, le domaine maillé des vecteurs d’onde doit être étendu.
Le fait de conduire l’étude sans polarisation a un autre avantage. Puisque le potentiel est
le même aux deux extrémités du dispositif, la fonction ∆𝑈(𝑥, 𝑦) dans Eq. II-21 s’annule aux
extrémités du domaine maillé dans l’espace réel. Cette fonction intervient dans le calcul du
potentiel non-local, qui est sa Transformée de Fourier (TF), comme montré dans Eq. II-22.
Or, en présence d’une polarisation, la valeur de ∆𝑈 ne s’annule pas pour 𝑦 → ∞, et la
fonction est donc coupée de façon abrupte aux extrémités du domaine maillé. Ceci peut
potentiellement causer des phénomènes d’aliasing dans le potentiel non-local ; ces artefacts
se répercuteraient alors dans la matrice de dérive du système et, finalement, dans la
solution de l’ETW.
Puisque l’ES doit être résolue symboliquement, le profil de potentiel doit être simplifié,
ce qui empêche de réaliser des simulations auto-cohérentes. Cet aspect est toutefois
secondaire : ce qui est important est que le calcul de la FW à partir des fonctions d’onde et
de l’ETW se fasse avec le même profil de potentiel, quel que celui-ci soit il. Les résultats de
ces études restent alors applicables à la structure à l’équilibre, si l’auto-cohérence est
implémentée.
V.1.3
Conditions appliquées au maillage
Puisque les deux méthodes de calcul de la FW sont appliquées dans la même simulation,
il est nécessaire de s’assurer que les maillages soient compatibles. Cette section discute les
conditions à imposer aux maillages dans les espaces réel 𝑥 et réciproque 𝑘.
Pur ce qui est de l’espace réel, les paramètres de maillage peuvent être plus relaxés avec
le solveur de Schrödinger qu’avec celui de l’ETW. En effet, avec la méthode de résolution
analytique de l’ES, les fonctions d’onde sont calculées de façon symbolique, donc
indépendamment du maillage. La discrétisation de l’espace réel n’a pas d’impact non plus
sur le calcul de la MD, puisque les termes intégraux qui composent cette fonction sont
calculés dans l’espace des vecteurs d’onde. Le maillage de l’espace réel affecte donc
uniquement la dernière étape du calcul, soit l’évaluation de la TF qui permet de passer de la
MD à la FW. Dans cette étape, un maillage trop peu dense ou trop peu étendu (cf.
Chapitre IV) peut donner lieu à des phénomènes d’aliasing qui se répercutent sur le profil de
la FW, causant la formation d’artefacts numériques.
Au contraire, dans la méthode de résolution de l’ETW, les paramètres du maillage de
l’espace réel affectent l’équation en entier. Ils ont un impact aussi bien sur le terme de
dérive, où le potentiel non-local contient une TF, que sur le terme de diffusion, qui est
différentiel par rapport à 𝑥.
Pour ce qui est du maillage de l’espace réciproque, les deux méthodes sont affectées de
façon égale. Dans les deux cas, en effet, la variable 𝑘 apparaît dans deux calculs d’intégrale.
Dans l’un de ces calculs, le vecteur d’onde est la variable d’intégration ; l’autre calcul est une
TF qui relie les espaces réels et réciproque. Pour ce qui est de la méthode du calcul des
fonctions d’onde, le premier calcul d’intégrale se trouve dans la formule de la MD (cf.
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V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
Eq. IV-1), et le second dans la formule de la FW (cf. Eq. IV-2). Pour la méthode de l’ETW, la
première intégrale donne le terme de dérive, alors que la seconde se trouve dans la formule
du potentiel non-local.
En conclusion, la méthode des fonctions d’onde permet de relaxer le maillage de
l’espace réel, alors que les deux méthodes sont en première analyse équivalentes en ce qui
concerne l’espace réciproque. En réalité, la méthode des fonctions d’onde permet aussi à
priori de relaxer le maillage des vecteurs d’onde : avec cette méthode, les deux intégrales
mentionnées précédemment sont calculées séparément, ce qui permet de mieux contrôler
la propagation de l’erreur numérique en utilisant deux maillages adaptées. Au contraire,
dans l’ETW, les deux intégrales sont confondues dans le même système linéaire, donc un
même maillage doit être utilisé. Le contrôle sur l’erreur numérique est par conséquent plus
faible, et un maillage plus fin est donc à priori nécessaire.
Ainsi, globalement, le calcul de la FW à partir des fonctions d’onde est plus souple pour
ce qui est de la définition du maillage. De plus, cette méthode est moins gourmande en
ressources mémoire comparée à l’ETW : le stockage des valeurs des fonctions d’onde, de la
MD et de la FW varie en 𝑂(𝑁 2 ) par rapport aux densités de maillage dans les espaces réel et
réciproque confondus (cf. §II.3.9), alors que la matrice de l’ETW varie en 𝑂(𝑁 3 ) (cf. §Erreur !
Source du renvoi introuvable.).
De ce fait, lorsque les deux méthodes sont combinées dans la suite, l’espace mémoire
utilisé par l’ETW est le facteur limitant, qui peut causer un débordement par rapport à la
capacité d’un serveur de calcul. Même en rajoutant les régions de contact, l’espace mémoire
nécessaire au calcul des fonctions d’onde et de la MD n’est qu’une petite fraction du
premier. Ainsi, lorsque les deux méthodes sont combinées, les paramètres de maillage sont
d’abord fixés pour l’ETW
V.2
Évaluation de l’erreur numérique dans les termes de dérive et de
diffusion
V.2.1
Méthode de calcul
Cette étude consiste à comparer les termes de dérive et de diffusion, tels qu’ils sont
définis dans Eq. II-34, à des endroits donnés de la structure, en multipliant les matrices
respectives avec la FW calculée à partir des fonctions d’onde. L’équation montre que, en
régime stationnaire et sans interactions, ces deux termes doivent être opposés à tout nœud.
Ainsi, toute différence observée représente une forme d’erreur numérique.
Fig. V-2 montre le principe du calcul ; le but dans cet exemple est d’évaluer et comparer
les termes de dérive et de diffusion au deuxième nœud de la structure. La figure affiche le
système linéaire de Eq. II-35, en décomposant la matrice en ses deux composantes de dérive
et de diffusion. La composante de dérive est une matrice à blocs de côté 𝑁𝑘 ; celle de
diffusion utilise un premier ordre de différentiation et elle est donc tri-diagonale, avec un
premier ordre de différentiation.
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135
V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
A
X
AP
i’=0
i’=1
B
AK
i’=2
i’=0
i’=1
X’
i’=2
B’
i=0
i=1
+
×
=
i=2
Fig. V-2 Illustration du système linéaire de Eq. II-35. La matrice A est divisée en ses deux composantes de dérive
AP et diffusion AK (le terme des collisions est nul). Les traits en gras divisent les matrices en blocs qui
correspondent à des différents nœuds dans l’espace réel (cf. Fig. II-7). Dans ce système, Nk = 4, ce qui
correspond à la taille de chaque bloc. Une partie seulement du système est montrée, et elle est centrée sur le
deuxième nœud dans l’espace réel. Les bandes en gris dans les matrices indiquent les lignes et les colonnes
dont les coefficients interviennent dans le calcul des termes de dérive et de diffusion au deuxième nœud.
L’intersection de ces bandes délimite les matrices AP’ et AK’, dont les coefficients sont remplis en trait ; les
coefficients non-nuls de ces matrices sont marqués en noir. Le vecteur colonne X contient la FW. Les
coefficients marquées en trait, qui forment le vecteur X’, son ceux qui doivent être multipliés aux matrices AP’
et AK’ pour obtenir les termes de dérive et de diffusion. Le résultat de cette multiplication donne le vecteur
colonne B’, qui est un sous-ensemble de B.
Le système linéaire montré est centré sur le deuxième nœud de l’espace réel. Le calcul
des termes de dérive et de diffusion se fait en multipliant les sous-matrices Ë\È et Ë\É
marquées en trait avec le sous-vecteur Ì\ , comme indiqué ci-dessous :
Ë\È Ì\ = È\ ; Ë\É Ì\ = É\
V-1
È\ + É\ = Í\
Les matrices réduites Ë\È et Ë\É et les sous-vecteurs È\ et É\ sont illustrés sur la Fig. V-3.
AP’, AK’
i=0
i=1
i’=0
i’=1
X’
P’, K’
i’=2
×
=
i=2
Fig. V-3 Réduction du système linéaire de Fig. V-2 aux coefficients qui interviennent dans le calcul des termes
de dérive P’ et diffusion K’ au deuxième nœud. Les matrices AP’ et AK’ ont les dimensions Nk×2Nk. Dans les
matrices, les cases en trait indiquent les coefficients du terme de dérive, celles en gris les coefficients du terme
de diffusion, celles en noir les coefficients communs aux deux termes et celles en blanc les coefficients nuls. Les
Nk colonnes en excès dérivent du débordement de la matrice de dérive sur les deux nœuds à côté.
136
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V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
Les matrices et le sous-vecteur 𝑿′ qui interviennent dans le calcul au deuxième nœud
débordent de 𝑁𝑘 ⁄2 indices sur les nœuds précédents, à cause du terme de diffusion, qui est
différentiel par rapport à l’espace réel, et dont la discrétisation utilise un schéma amontaval.
Les coefficients de 𝑨′𝑷 sont égaux au potentiel non-local, qui est donné par Eq. II-22. Pour
le type de structure étudiée ici, la TF dans cette équation peut être calculée
symboliquement. Ceci permet d’éliminer l’erreur numérique dans le remplissage de la
matrice. Les termes du potentiel non-local sont données par :
2
{cos[2(𝑙𝐶 + 𝑙𝐵 − 𝑥)] − cos[2(𝑙𝐶 − 𝑥)]},
𝑘<0
𝛿𝑈(𝑥, 𝑘) = �− 𝑘
V-2
0,
𝑘=0
Cette formule est valable pour toute valeur de 𝑥. 𝑙𝐶 est la longueur des régions de
contact, alors que 𝑙𝐵 est celle de la barrière. Dans cette formule, si 𝑥 = 𝑙𝐶 + 𝑙𝐵 ⁄2 (la
coordonnée 𝑥 se trouve au milieu géométrique de la structure), le potentiel non-local
devient nul.
Les coefficients de 𝑨′𝑲 se calculent à partir des méthodes de discrétisation présentées
dans Eq. II-46, II-47 et II-48. Les coefficients de 𝑿’ sont données par la FW calculée à partir
des fonctions d’onde. Comme indiqué dans Eq. V-1 La procédure utilisée dans ce chapitre
consiste à évaluer les termes 𝑷’ et 𝑲’. La somme de ces deux termes est nulle, et leurs
coefficients doivent donc être opposés deux à deux. Toute différence observée indique alors
une propagation de l’erreur numérique dans le système discrétisé.
Les simulations présentées dans la suite ont pour objectif d’analyser l’impact sur cette
erreur des méthodes d’intégration et de dérivation numérique utilisés pour les termes de
dérive et de diffusion respectivement, ainsi que des paramètres de définition des maillages
dans les espaces réel et réciproque. Si le schéma d’intégration est modifié, le système
linéaire réduit reste le même que celui présenté ci-dessus. Au contraire, si c’est le schéma de
différentiation qui est changé, le système linéaire l’est aussi. En effet, si l’ordre de
différentiation est augmenté, il est nécessaire d’ajouter un nœud à la droite et un à la
gauche du nœud où les deux termes sont évalués. Par exemple, Fig. V-3 montre le système
linéaire réduit pour un ordre 2.
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137
V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
AP’, AK’
X’
P’,K’
i=0
i=1
i’=0
i’=1
i’=2
i’=3
i’=4
i=2
×
=
i=3
i=4
Fig. V-4 Schémas du système matriciel réduit avec un schéma de différentiation d’ordre 2 pour le terme de
diffusion. Les matrices AP’ et AK’ ont dimension Nk×3Nk. Dans les matrices, les cases en trait de haut à gauche
vers le bas à droite indiquent les coefficients du terme de dérive, celles en trait de haut à droite vers le bas à
gauche les coefficients du terme de diffusion, celles en noir les coefficients communs aux deux termes et celles
en blanc les coefficients nuls. Les Nk colonnes en excès dérivent du débordement de la matrice de dérive sur les
deux nœuds à côté.
V.2.2
Précautions à appliquer dans la définition du maillage
Dans la suite, les termes de dérive et de diffusion sont calculés à deux endroits différents
dans la structure : à un nœud à proximité du contact émetteur, et à un autre proche du
milieu de la barrière. Fig. V-5 montre la forme typique du terme de dérive calculé au contact.
Terme dérive (Émetteur) (SI)
10
10
10
10
16
14
12
10
-10
-5
0
k (nm -1)
5
10
Fig. V-5 Terme de dérive au premier nœud à l’intérieur de la structure du côté émetteur. Le calcul est réalisé en
utilisant pour l’intégration une règle des rectangles aval et une règle de Simpson. Les deux courbes coïncident.
Pour le calcul au contact, le choix du nœud dépend du schéma de différentiation utilisé
pour le terme de diffusion. Pour un schéma d’ordre 1, le vecteur Ì\ contient la fonction au
nœud même, ainsi qu’aux deux nœuds adjacents. Les trois premiers nœuds à partir du
contact peuvent donc être utilisés, le terme étant finalement calculé au premier nœud à
138
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V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
l’intérieur de la structure. Pour un ordre 2, ce sont les cinq premiers nœuds qui sont utilisés,
et le terme est évalué au deuxième nœud à l’intérieur de la structure, et ainsi de suite.
20
Terme diffusion (Émetteur) (SI)
10
18
10
16
10
14
10
1er ordre
2ème ordre
3ème ordre
12
10
-10
-5
0
k (nm -1)
5
10
Fig. V-6 Terme de diffusion à proximité du contact du côté émetteur. Le calcul est réalisé en utilisant plusieurs
ordres de différentiation.
Tout comme pour le terme de dérive, la figure montrent que les schéma numérique a un
impact relativement faible sur les courbes. Le fait que le calcul soit fait sur des nœuds
différents si l’ordre varie n’est pas rédhibitoire dans le cadre d’une comparaison entre les
différents schémas de différentiation. En effet, avec les densités appliquées au maillage de
l’espace réel, l’espacement entre nœuds adjacents est toujours inférieur à 0.5 nm. Or, il est
montré dans le Chapitre IV que, au delà d’une distance de 25 nm de la barrière (cf. Fig.
IV-12), la FW est quasiment constante et suit une DFD à la précision machine près. Ainsi, la
FW peut être considérée constante dans les premiers dix nœuds à partir de l’extrémité du
collecteur.
Pour ce qui est du nœud au milieu de la structure, il est nécessaire de distinguer entre les
maillages avec un nombre pair et impair de nœuds. La différence est importante à la fois
pour les termes de dérive et de diffusion. Avec un nombre pair, le milieu géométrique du
dispositif ne correspond avec aucun nœud. Il existe cependant deux nœuds qui sont
équidistants de ce point. À polarisation nulle, la structure étant symétrique, la FW est
exactement égale sur ces deux nœuds. Par convention, c’est sur le nœud de gauche que les
termes de dérive et de diffusion seront évalués. Avec un nombre impair, au contraire, il
existe un nœud qui se trouve exactement au milieu du dispositif.
Pour le terme de dérive, Fig. V-7 montre l’allure du terme de dérive pour un nombre pair
de nœuds.
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V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
16
Terme dérive (x ≈ lT /2) (SI)
10
14
10
12
10
Rectangles aval/amont et trap.
Simpson
10
10
-10
-5
0
k (nm -1)
5
10
Fig. V-7 Terme de dérive au milieu de la structure, évalué avec les règles des rectangles aval et amont et de
Simpson, pour un nombre pair de nœuds.
Avec un nombre impair, le potentiel non-local s’annule quelle que soit la valeur du
vecteur d’onde. Ceci est dû au fait que la fonction ∆𝑈(𝑥, 𝑦) (cf. Eq. II-21), dont le potentielnon local est la TF, est nulle partout lorsque la valeur de 𝑥 coïncide avec le milieu
géométrique de la structure.
Pour ce qui est du terme de diffusion, avec un nombre pair, quel que soit le nœud utilisé
parmi les deux équidistants du milieu géométrique, une moitié de ce terme est nulle, soit
pour des vecteurs d’onde positifs, soit négatifs. Ceci est montré dans le calcul ci-dessous :
Différentiation sur le nœud 𝑖 immédiatement à gauche du milieu géométrique :
𝑲𝑖,𝑗
𝑖 = 𝑁𝑥 ⁄2 − 1 ; 𝑓𝑖,𝑗 = 𝑓𝑖+1,𝑗
ℏ𝑘𝑗 �𝑓𝑖+1,𝑗 − 𝑓𝑖,𝑗 = 0�
=
�
𝑚 𝛥𝑥
𝑓𝑖,𝑗 − 𝑓𝑖−1,𝑗
�0 < 𝑗 <
𝑁𝑘
− 1�
2
V-3
𝑁𝑘
� < 𝑗 < 𝑁𝑘 − 1�
2
Différentiation sur le nœud immédiatement à droite du milieu géométrique :
𝑲𝑖,𝑗
𝑖 = 𝑁𝑥 ⁄2 ; 𝑓𝑖,𝑗 = 𝑓𝑖−1,𝑗
𝑓𝑖+1,𝑗 − 𝑓𝑖,𝑗
ℏ𝑘𝑗
=
�
𝑚 𝛥𝑥
�𝑓𝑖,𝑗 − 𝑓𝑖−1,𝑗 = 0�
�0 < 𝑗 <
𝑁𝑘
− 1�
2
V-4
𝑁𝑘
� < 𝑗 < 𝑁𝑘 − 1�
2
Si le nœud à gauche est utilisé, la moitié nulle est alors du côté des vecteurs d’onde
négatifs (schéma de différentiation en amont). Les valeurs seront bien sûr nulles seulement
si une différentiation de premier ordre est utilisée ; même avec des ordres supérieurs,
cependant, les deux moitiés sont asymétriques.
Avec un nombre impair, le terme de diffusion au milieu de la structure est
antisymétrique par rapport à l’origine des vecteurs d’onde, quel que soit l’ordre de
différentiation utilisé, comme montré ci-dessous :
140
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V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
𝑲𝑖,𝑗 =
ℏ𝑘𝑗
�
𝑚 𝛥𝑥
𝑓𝑖−1,𝑗 = 𝑓𝑖+1,𝑗
𝑓𝑖+1,𝑗 − 𝑓𝑖,𝑗
�0 < 𝑗 <
𝑁𝑘
− 1�
2
V-5
𝑁𝑘
�𝑓𝑖,𝑗 − 𝑓𝑖−1,𝑗 = 𝑓𝑖,𝑗 − 𝑓𝑖+1,𝑗 � � < 𝑗 < 𝑁𝑘 − 1�
2
Fig. V-8 montre l’allure du terme de diffusion au milieu de la structure pour un nombre
pair et impair de nœuds avec plusieurs ordres de différentiation.
(b)
16
10
T
Terme diffusion (x=l /2) (SI)
Terme diffusion (x ≈ lT /2) (SI)
(a)
16
10
er
1
ordre
ème
2
ordre
3
ordre
ème
-10
-5
0
-1
k (nm )
5
10
15
10
1er ordre
2ème ordre
14
10
3ème ordre
-10
-5
0
k (nm -1)
5
10
Fig. V-8 Terme de diffusion au milieu de la structure, avec différents ordres de différentiation et en utilisant un
nombre de nœuds (a) pair et (b) impair.
Contrairement à ce qui a été observé à proximité du contact émetteur, le schéma
numérique a un effet significatif sur la forme du terme de diffusion. La figure montre que,
avec un nombre pair de nœuds, même avec un ordre de différentiation supérieur à 1, il reste
une forte asymétrie entre les vecteurs d’onde positifs et négatifs.
V.2.3
Comparaison des termes de dérive et de diffusion au contact émetteur
Fig. V-9 montre la FW, ainsi que les termes de dérive et de diffusion à proximité du
contact émetteur de la structure. Le terme de dérive est calculé avec la méthode des
rectangles aval, les autres donnant des courbes parfaitement égales ; le terme de diffusion
est évalué avec plusieurs ordres de dérivation. Les paramètres de base de la simulation sont
𝑁𝑘 = 3000, 𝑘Max = 20 nm-1, avec 𝑁𝑥 = 854. Une très légère variation de 𝑘Max permet
d’obtenir
𝑁𝑥 = 853 afin de pouvoir effectuer les calculs aussi avec un nombre impair de nœuds.
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141
V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
18
Dérive/Diffusion (Émetteur) (SI)
10
f (x= ∆ x) (SI)
W
10
(a)
15
10
10
5
10
0
10
(b)
17
10
16
10
15
10
Dérive
14
10
Diffusion 1er ordre
Diffusion 3ème ordre
13
-10
-5
5
0
-1
k (nm )
10
10
-10
0
-5
-1
k (nm )
5
10
Fig. V-9 (a) FW et (b) comparaison des termes de dérive et de diffusion à proximité de l’émetteur de la
structure. Le calcul du terme de dérive utilise la méthode des rectangles aval ; celui du terme de diffusion
utilise plusieurs schémas de différentiation.
Alors que les deux termes devraient être égaux, leur écart relatif est très important : il
est de quasiment 100% à proximité de l’origine (la région où la FW est maximale), puis il
monte jusqu’à 103 pour des vecteurs d’onde croissants (cf. Fig. V-10). Il est important de
remarquer que cette erreur n’a de signification que dans une plage de vecteurs d’onde
restreinte et centrée sur l’origine, entre -4 et 4 nm-1 ; en effet, en dehors de cette plage, la
FW tombe en dessous du niveau de bruit numérique. L’écart à proximité de l’origine reste de
toute façon très important, et laisse penser à une forte propagation de l’erreur numérique
dans le système matriciel.
Diffusion 1er ordre
Diffusion 3ème ordre
4
Erreur
significative
Erreur relative
10
2
10
0
10
-10
Pas de
signification
physique
-5
k (nm -1)
0
5
Fig. V-10 Erreur relative entre les termes de dérive et de diffusion à proximité de l’émetteur. Le premier est
calculé avec une méthode des rectangles aval, le deuxième avec une différentiation d’ordres 1 et 3. La figure
met en évidence deux régions des courbes : dans la première, qui est centrée sur l’origine, l’erreur, qui se situe
autour de 100%, a une signification physique, puisque la FW atteint son maximum ; dans la deuxième, qui se
trouve à la périphérie du maillage des vecteurs d’onde, l’erreur n’a pas de signification physique, puisque la FW
a chuté en dessous du niveau de bruit numérique.
Fig. V-11 montre l’impact du maillage de l’espace réel sur cet écart. L’espacement entre
nœuds consécutifs suivant l’axe 𝑥 est réduit de moitié, alors que celui dans l’espace
réciproque est maintenu constant. Ceci est possible en doublant le nombre de nœuds dans
les espaces réel 𝑦 et réciproque, ainsi que l’étendue du maillage de l’espace réciproque. La
comparaison avec la courbe de référence montre que cette modification du maillage a un
effet quasiment négligeable sur l’erreur négative, en particulier pour des vecteurs d’onde
proches de l’origine.
142
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V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
4
10
Référence
∆x / 2
3
Erreur relative
10
2
10
1
10
0
10
-1
10
-10
-5
0
-1
k (nm )
5
10
Fig. V-11 Comparaison entre l’erreur relative entre les termes de dérive et de diffusion à proximité de
l’émetteur, avec le maillage de référence et en réduisant l’espacement entre nœuds dans l’espace réel de
moitié. La méthode d’intégration pour le terme de dérive est celle des rectangles aval, alors que le terme de
diffusion est obtenu avec une différentiation d’ordre 3.
Fig. V-12 montre l’impact du maillage de l’espace réciproque sur l’erreur. L’espacement
entre nœuds consécutifs suivant l’axe 𝑘 est réduit de moitié, alors que celui dans l’espace
réel est maintenu constant. Ceci est possible en doublant le nombre de nœuds dans les
espaces réel 𝑦 et réciproque, ainsi que l’étendue du maillage de l’espace réel. Encore une
fois, il est évident que l’impact de ces deux modifications sur l’erreur rélative est négligeable.
Référence
∆k/2
4
Erreur relative
10
2
10
0
10
-10
-5
0
k (nm -1)
5
10
Fig. V-12 Comparaison entre l’erreur relative entre les termes de dérive et de diffusion à proximité de
l’émetteur, avec le maillage de référence et en réduisant l’espacement entre nœuds dans l’espace réciproque
de moitié. La méthode d’intégration pour le terme de dérive est celle des rectangles aval, alors que le terme de
diffusion est obtenu avec une différentiation d’ordre 3.
En conclusion, ces simulations montrent que la définition du maillage a très peu d’effet
sur l’évaluation des termes de dérive et de diffusion à proximité des contacts.
V.2.4
Comparaison des termes de dérive et de diffusion au milieu de la
structure
Fig. V-13 montre la FW, ainsi que les termes de dérive et de diffusion à proximité du
milieu de la structure, l’axe 𝑥 étant discrétisé avec un nombre pair et impair de nœuds. Les
paramètres de maillage sont les mêmes que dans l’étude précédente.
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143
V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
(a)
2
|fW (x=l T /2)| (SI)
10
0
10
-2
10
k (nm -1)
(c)
(b)
15
10
16
10
10
10
Dérive/Diffusion (SI)
Dérive/Diffusion (SI)
10
5
0
-5
-10
Dérive
Diffusion 1er ordre
Diffusion 3ème ordre
5
10
15
10
14
10
Diffusion 1er ordre
-10
Diffusion 3ème ordre
13
0
10
-5
0
k (nm -1)
5
10
10
-10
-5
0
k (nm -1)
5
10
Fig. V-13 (a) FW et (b, c) comparaison des termes de dérive et de diffusion au milieu de la structure. Le calcul
du terme de dérive utilise la méthode des rectangles aval ; celui du terme de diffusion utilise plusieurs schémas
de différentiation. Tracés avec (b) un nombre de nœuds pair et (c) un nombre de nœuds impair. Dans (b), le
terme de diffusion avec une différentiation d’ordre 1 montre clairement la différence (cf. Eq. V-3) entre les
3
vecteurs négatifs, avec une valeur autour de 10 SI qui correspond au niveau de bruit numérique, et les
vecteurs positifs. Dans (c), le terme de dérive n’est pas montré puisqu’il est nul.
Comme indiqué précédemment, le terme de dérive est nul au point au milieu de la
structure. Le terme de diffusion l’est bien sûr aussi, puisque la FW est symétrique par
rapport à ce point, et sa dérivée première est donc nulle. Les valeurs des deux termes
doivent donc être relativement proches de zéro, en particulier avec une résolution impaire.
Les figures montrent que cela n’est pas le cas. Avec une résolution paire, le terme de
dérive atteint un maximum autour de 1016, ce qui est une décade seulement plus faible que
sa valeur maximale à côté de l’émetteur. Le terme de diffusion oscille aussi autour de cette
valeur, et ce, avec une résolution paire et impaire.
L’écart relatif entre les termes de dérive et de diffusion reste très élevé, dépassant la
valeur de 103, tout comme au deuxième nœud. Cet écart est montré sur la Fig. V-14.
144
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V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
6
10
4
Diffusion 1er ordre
Diffusion 3ème ordre
Erreur relative
10
2
10
0
10
-2
10
-10
-5
0
k (nm -1)
10
5
Fig. V-14 Erreur relative entre les termes de dérive et de diffusion au milieu de la structure, pour une résolution
impaire. Le terme de dérive est intégré avec la méthode des rectangles aval, alors que pour celui de diffusions
plusieurs ordres de différentiation sont utilisés.
Fig. V-15 montre l’écart relatif entre les deux termes lorsque l’espacement des nœuds
dans l’espace réel est réduit de moitié, sans affecter celui dans l’espace réciproque, de façon
similaire à Fig. V-11. Tout comme pour le calcul au deuxième nœud, l’erreur varie très peu
avec cette modification.
6
10
Référence
∆x / 2
4
Erreur relative
10
2
10
0
10
-2
10
-10
-5
0
-1
5
10
k (nm )
Fig. V-15 Comparaison entre l’erreur relative entre les termes de dérive et de diffusion à proximité de
l’émetteur, avec le maillage de référence et en réduisant l’espacement entre nœuds dans l’espace réel de
moitié. La méthode d’intégration pour le terme de dérive est celle des rectangles aval, alors que le terme de
diffusion est obtenu avec une différentiation d’ordre 3.
Un résultat similaire est obtenu en réduisant de moitié l’espacement entre nœuds dans
l’espace réciproque, comme montré sur la Fig. V-16.
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145
V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
6
10
Référence
∆k / 2
4
Erreur relative
10
2
10
0
10
-2
10
-10
-5
0
k (nm -1)
5
10
Fig. V-16 Comparaison entre l’erreur relative entre les termes de dérive et de diffusion à proximité de
l’émetteur, avec le maillage de référence et en réduisant l’espacement entre nœuds dans l’espace réciproque
de moitié. La méthode d’intégration pour le terme de dérive est celle des rectangles aval, alors que le terme de
diffusion est obtenu avec une différentiation d’ordre 3.
V.2.5
Conclusion
Cette section montre le calcul des termes de dérive et de diffusion de l’ETW à un nœud
donné. Ces termes sont évalués à proximité du contact émetteur et au milieu géométrique
de la structure. En l’absence du terme de collisions, les termes de dérive et de diffusion
devraient être égaux et opposés ; en réalité, des écarts importants sont observés, à tous les
deux emplacements, quels que soient les schémas numériques implémentés. Les écarts
relatifs observés ne descendent jamais en dessous de 100%, et peuvent aller jusqu’à 103 aux
extrémités du domaine maillé des vecteurs d’onde. Si l’espacement entre nœuds des
maillages dans les espaces réel et réciproque est réduit de moitié, les écarts ne sont pas
affectés de façon significative.
Les écarts observés indiquent la présence d’une erreur numérique importante qui
affecte le système matriciel. Son origine reste peu claire, étant donné l’impact relativement
faible des paramètres de maillage. Une étude plus approfondie devrait être menée, par
exemple en recalculant les termes avec des précisions de calcul plus élevées.
V.3
Résolution de l’équation de transport de Wigner limitée à la
barrière
V.3.1
Considérations additionnelles sur le maillage
Avant de présenter les études de cette section, il est nécessaire de faire quelques
considérations concernant les propriétés du maillage. Un maillage est défini par deux
paramètres : son étendue et l’espacement entre les nœuds et, donc le nombre de nœuds.
Comme établi dans Eq. II-30, les espacements entre nœuds dans les espaces réel et
réciproque sont interdépendants. Cette équation contient trois variables : les espacements
et le nombre de nœuds. Elle peut d’ailleurs être réécrite en remplaçant les variables
existantes par les étendues des maillages. Dans tous les cas, le système contient deux degrés
de liberté, le troisième paramètre étant déterminé à partir de l’équation.
Bien qu’il ne soit pas possible de modifier un paramètre de maillage dans l’espace réel ou
réciproque sans que le maillage dans l’autre soit affecté, il est tout de même possible de
limiter ce type d’effet collatéral. Par exemple, dans l’étude précédente, l’espacement entre
nœuds dans l’espace réel était modifié sans faire varier celui dans l’espace réciproque. Le
146
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V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
prix à payer était une variation de l’étendue du maillage dans l’espace réciproque, mais cela
n’était pas rédhibitoire au sens de l’étude.
Dans la suite, plusieurs graphiques tracent des densités ou des rapports de charge en
fonction de l’étendue du maillage dans l’espace réciproque. Les tracés sont ensuite
paramétrés en fonction de la densité de ce même maillage. L’avantage de ce type de tracé
est qu’il permet d’avoir une vision d’ensemble de l’évolution des grandeurs macroscopiques
lorsque les paramètres de maillage sont faits varier. Cependant, dans ces séries de courbes,
les deux degrés de liberté de Eq. II-30 sont pris par les deux paramètres qui définissent le
maillage de l’espace des vecteurs d’onde, ce qui fait perdre tout contrôle sur celui de
l’espace réel. Il est alors impossible de déterminer lequel des deux maillages à l’impact le
plus important sur des variations éventuelles de la charge.
Si de telles variations sont observées, une étude plus approfondie est alors nécessaire.
Elle est semblable à celle faite dans la section précédente, et consiste à varier l’espacement
entre nœuds dans un espace indépendamment de l’autre. Par exemple, les équations cidessous montrent cette procédure dans l’espace réel :
∆𝑥 ′ = 𝛼 𝛥𝑥 ⟹ ∆𝑦 ′ = 𝛼 𝛥𝑦
1
𝑁′ = 𝑁
𝛼
V-6
1
′
𝑘Max = 𝑘Max
𝛼
′
∆𝑘 = 𝛥𝑘
Si l’espacement ∆𝑥 est réduit d’un facteur 𝛼, le nombre de nœuds est multiplié par
l’inverse de ce facteur. Eq. II-30 est ensuite appliquée pour calculer les paramètres de
maillage dans l’espace réciproque : l’étendue de ce maillage se trouve aussi multipliée par
l’inverse du facteur de réduction, alors que l’espacement entre nœuds reste le même.
V.3.2
Comparaison entre les fonctions de Wigner issues soit de l’équation de
transport de Wigner, soit des fonctions d’onde
Cette étude consiste à reprendre le système matriciel étudié dans §V.2.1 pour calculer
les termes de dérive et de diffusion, et à l’utiliser pour recalculer la FW à l’aide de l’ETW à un
nœud donné, soit à proximité du contact émetteur, soit au milieu de la structure. Quelques
modifications doivent être apportées à cause du changement d’inconnus. Le nouveau
système est montré sur la Fig. V-17.
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147
V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
A
i’=0
X’
i’=1
B’
i’=2
i=0
i=1
×
=
i=2
Fig. V-17 Illustration du système linéaire pour le calcul de la FW au deuxième nœud, avec Nk = 4. Le terme de
diffusion est implémenté avec un schéma de différentiation d’ordre 1. La matrice A’ a les dimensions Nk×2Nk.
Dans les matrices, les cases en trait indiquent les coefficients du terme de dérive, celles en gris les coefficients
du terme de diffusion, celles en noir les coefficients communs aux deux termes et celles en blanc les
coefficients nuls. Les cases quadrillées contiennent des coefficients unitaires, nécessaires à l’application de
conditions de Dirichlet. Dans le vecteur colonne B’, les cases en blanc contiennent des coefficients nuls, alors
que celles en noir contiennent les valeurs de la FW au premier nœud (vecteurs d’onde positifs) et au troisième
(vecteurs négatifs). Le vecteur colonne X’ contient la résolution du système linéaire ; la FW au deuxième nœud
se trouve dans les cases en noir.
La matrice est la somme des composantes de dérive et de diffusion Ë\È et Ë\É définies
auparavant. Elle est carrée, mais les coefficients non-nuls ajoutés sont égaux à 1, puisque la
FW dans les nœuds adjacents est utilisée pour définir les conditions aux limites, qui sont de
type Dirichlet. La résolution du système linéaire donne le vecteur Ì\ , dont il est possible
d’extraire la FW au nœud central. Fig. V-18 montre la FW obtenue par la résolution de ce
système au deuxième nœud de la structure, comparée à celle precalculée à partir des
fonctions d’onde. En dépit du fort écart entre les termes de dérive et de diffusion observé
précédemment, les deux tracés se superposent quasiment.
10
10
15
10
5
f
W
(Émetteur) (SI)
10
10
0
Schrödinger
Wigner
-10
-5
0
k (nm -1)
5
10
Fig. V-18 Comparaison entre la FW calculée au deuxième nœud par l’ETW et à partir des fonctions d’onde. Le
terme de dérive est implémenté avec un schéma d’intégration avec rectangles aval, celui de diffusion avec une
différentiation d’ordre 3.
Fig. V-19 montre la même comparaison effectuée au milieu de la structure, pour une
résolution paire et impaire. Dans les deux cas, les deux tracés sont cohérents pour des
vecteurs d’onde à l’intérieur de la plage entre -5 et 5 nm-1 ; ensuite, les deux courbes se
séparent, puisque l’enveloppe de celle calculée à partir de l’ETW cesse de chuter.
148
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V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
|fW (x=l T /2)| (SI)
0
10
W
-2
10
0
10
-2
10
-4
-4
10
-20
(b)
Schrödinger
Wigner
2
10
T
|f (x ≈ l /2)| (SI)
(a)
Schrödinger
Wigner
2
10
-15
-10
-5
0
5
-1
k (nm )
10
15
10
-20
20
-10
-15
-5
0
k (nm -1)
5
10
15
20
Fig. V-19 Comparaison entre la FW calculée au milieu de la structure par l’ETW et les fonctions d’onde, avec (a)
un nombre de nœuds pair et (b) impair. Le terme de dérive est implémenté avec un schéma d’intégration avec
rectangles aval, celui de diffusion avec différentiation d’ordre 3.
De façon similaire à §V.2, si les espacements entre nœuds dans les espaces réel et
réciproque sont réduits de moitié, l’aspect de profils montrés dans les figures change
relativement peu.
V.3.3
Calcul de la charge à un point donné
À partir de la méthode de calcul de la FW à un nœud donné, telle qu’elle est décrite cidessus, il est possible d’évaluer la charge au même nœud. Fig. V-20 montre la valeur de la
charge ainsi calculée au milieu géométrique de la structure, avec une résolution impaire. Les
courbes tracent la charge en fonction de la résolution dans l’espace réciproque, et sont
paramétrées par l’étendue du maillage dans ce même espace. Le graphique montre que,
pour une étendue donnée, la charge est quasiment constante, même si le nombre de nœuds
augmente jusqu’à dix fois. Lorsque l’étendue est modifiée, par contre, le maillage la charge
se rapproche progressivement de celle calculée à partir des fonctions d’onde.
-1
kMax = 5.0 nm
k
= 7.5 nm -1
k
= 10.0 nm
-1
kMax = 15.0 nm
-1
kMax = 20.0 nm
-1
Max
|n (x=lT /2)| (cm-3)
Max
kMax Schrödinger
4
10
0
500
1000
1500
Nk
2000
2500
3000
Fig. V-20 Charge calculée au nœud au milieu de la structure, en fonction de la résolution dans l’espace
réciproque. Les différentes courbes sont obtenues en faisant varier l’étendue kMax de ce maillage, et comparées
à celle obtenue à partir des fonctions d’onde. Cette dernière ne varie pas si l’étendue du maillage est changée.
Le fait d’augmenter l’étendue du maillage dans l’espace réciproque pour une densité
donnée a aussi pour effet d’affiner le maillage dans l’espace réel. Il n’est donc pas possible à
priori de déterminer lequel de ces deux paramètres cause la convergence de la charge. Par
contre, les simulations sur l’étendue du maillage dans §IV.4.2 (cf. Fig. IV-18) montrent que,
au milieu de la structure, la charge est calculée à 1% près pour une étendue entre 4 et
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149
V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
6 nm-1. Cette observation indique que le changement de l’étendue n’est pas à l’origine de la
convergence de la charge sur la Fig. V-20. Cette convergence est donc attribuable à
l’affinement du maillage dans l’espace réel.
V.3.4
Calcul de la charge dans la région de la barrière
Cette étude se base sur le calcul de charge de la section précédente, mais l’applique à la
barrière entière, au lieu qu’à un seul nœud. Les limites du système sont fixées soit aux
nœuds les plus proches des pieds de la barrière, aux coordonnées 𝑥 = 30 et 37 nm, soit à
deux points qui se trouvent 2 nm à l’intérieur de la barrière, aux coordonnées 𝑥 = 32 et
35 nm.
La FW est alors calculée dans la région entre ces deux limites, et ensuite la charge est
évaluée. Le profil de charge est finalement comparé à celui calculé à partir des fonctions
d’onde. Fig. V-21 montre le profil typique observé dans ce type de structure. Si le maillage
est suffisamment fin, la charge chute sur l’espace d’un nanomètre à peu près, puis elle
atteint une valeur constante. Si au contraire le maillage est trop grossier, la charge reste à
peu près constante et montre une allure oscillatoire, ce qui indique une importante erreur
numérique.
15
7
x 10
16
Schrödinger
Wigner
6
(b)
14
MAX(n)
10
4
-3
n (cm )
-3
n (cm )
5
10
(a)
3
12
10
2
1
min(n)
Schrödinger
Wigner
10
0
31.5
10
32.5
33.5
x (nm)
34.5
35.5
31.5
33.5
x (nm)
32.5
34.5
35.5
15
2.0868
x 10
(c)
2.0867
n (cm -3)
2.0866
2.0865
2.0864
2.0863
2.0862
2.0861
2.086
31.5
32.5
33.5
x (nm)
34.5
35.5
Fig. V-21 Profil de charge de obtenu à partir de l’ETW entre x = 32 et 35 nm, comparé à celui donné par les
-1
fonctions d’onde. Tracé en échelle (a) linéaire et (b) logarithmique avec kMax = 10 nm et Nk = 500 (maillage
-1
suffisamment fin dans l’espace des vecteurs d’onde) ; (c) tracé avec kMax = 50 nm et Nk = 500 (maillage trop
grossier).
Le tracé logarithmique dans la figure montre que la chute de la charge obtenue par
l’ETW est normalement limitée à une décade seulement, et donc très faible comparée à celle
obtenue par les fonctions d’onde. Afin de caractériser cette chute, le tracé montre qu’il est
150
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V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
possible de se baser sur le rapport des valeurs maximale et minimale de la charge, qui sont
observés respectivement aux limites et dans le creux.
Fig. V-22 montre l’allure typique de cette figure de mérite pour une résolution fixée dans
l’espace réciproque, avec une étendue de maillage qui varie. Le rapport croît de façon
linéaire, puis il chute lorsque la résolution devient insuffisante. Si le tracé est prolongé,
l’allure de la figure de mérite devient erratique, ce qui indique que le profil de charge calculé
a perdu toute signification physique.
9
50
(a)
8
40
6
30
MAX(n) / min(n)
MAX(n) / min(n)
7
5
4
3
Nk = 250
Nk = 500
20
10
2
0
1
0
0
(b)
Nk = 100
20
40
-1
kMax (nm )
-10
0
80
60
40
20
60
kMax (nm -1)
80
100
Fig. V-22 Figure de mérite MAX(n)/min(n) entre x = 32 et 35 nm, avec Nx = Ny = Nk. (a) montre la montée
linéaire de la figure de mérite ; (b) montre la région où l’étendue du maillage de l’espace réciproque devient
trop importante et le maillage trop grossier.
Fig. V-23 montre la figure de mérite pour les deux longueurs de maillage. Avec des
résolutions importantes, très peu de points sont présents à cause de la grande taille du
système linéaire, qui se heurte aux contraintes en espace mémoire disponible. Les courbes
montrées dans cette figure utilisent le schéma de maillage original montré sur la Fig. II-1,
avec 𝑁𝑥 = 𝑁𝑦 = 𝑁𝑘 . La chute de la charge est relativement faible, puisqu’elle dépasse à
peine le facteur dix.
Nk = 500; [32,35]
16
14
Nk = 750; [32,35]
Nk = 1000; [30,37]
[30,37]
Nk = 1000; [32,35]
MAX(n) / min(n)
12
Nk = 1200; [32,35]
10
Nk = 1500; [30,37]
Nk = 2000; [30,37]
8
Nk = 2000; [32,35]
6
4
[32,35]
2
0
0
20
40
k
Max
60
(nm -1)
80
100
Fig. V-23 Comparaison de la figure de mérite MAX(n)/min(n) pour des différentes étendues et résolutions du
maillage dans l’espace réciproque.
Fig. V-24 montre la chute de la charge obtenue en appliquant la condition 𝑁𝑥 = 40 𝑁𝑦 ,
ce qui permet d’affiner le maillage dans l’espace réel. Des ratios jusqu’à huit fois plus
importants que sur la Fig. V-23 sont alors obtenus sur la longueur entre 𝑥 = 32 et 35 nm.
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V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
70
Nk = 100
MAX(n) / min(n)
60
Nk = 250
Nk = 500
50
40
30
20
10
0
0
5
10
25
20
15
-1
kMax (nm )
Fig. V-24 Figures de mérite MAX(n)/min(n) entre x = 32 et 35 nm, avec Nx = 40 Ny.
Fig. V-25 montre la chute maximale observée sur la charge, entre 𝑥 = 32 et 35 nm. Le
ratio entre les charges maximale et minimale est de 2 décades à peut près. Afin d’obtenir ce
résultat, il a été nécessaire d’optimiser le maillage afin de minimiser l’espacement entre
nœuds dans l’espace réel ; par ailleurs, l’espace mémoire du serveur de calcul, qui est de
quinze giga-octets à peu près, a été complètement utilisé pour réaliser cette simulation. La
chute reste très faible par rapport au profil de charge de référence, qui varie de cinq décades
à peu près.
20
10
15
-3
n (cm -3)
10
10
10
2 décades
5 décades
5
10
Schrödinger
Wigner
20
25
30
35
x (nm)
40
45
Fig. V-25 Chute de charge maximale obtenue entre x = 32 et 35 nm.
Comme indiqué auparavant, le fait de modifier l’étendue du maillage de l’espace
réciproque modifie en même temps la résolution dans l’espace réel. Encore une fois, la
convergence vers les valeurs de référence doit être attribuée à l’affinement du maillage dans
l’espace réel, puisque, d’après §IV.4.2, les étendues appliquées ici sont largement suffisantes
pour avoir une convergence de la charge à 1% près.
V.3.5
Conclusion
Cette section présente des études qui consistent à calculer la FW et la charge à partir de
l’ETW dans la barrière d’une structure en silicium. Le calcul est fait sans mailler les contacts,
et les conditions aux limites sont calculées à partir des fonctions d’onde. La FW et la charge
sont alors comparées aux valeurs de référence, qui sont aussi calculées à partir des fonctions
d’onde.
Lorsque ce calcul est limité à un seul nœud, la FW se sépare de la référence aux
extrémités du maillage de l’espace réciproque, en dehors de la plage entre -5 et 5 nm-1 à peu
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V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
près. Ce manque de cohérence est particulièrement évident au milieu de la structure. Le fait
de réduire de moitié les espacements entre les nœuds dans les espaces réel et réciproque a
un effet très réduit sur ces artefacts. Pour ce qui est de la charge, elle n’est pas affectée par
la résolution du maillage des vecteurs d’onde ; elle l’est cependant par la résolution dans
l’espace réel.
La même observation est faite en appliquant la méthode à la barrière entière. Dans cette
étude, le ratio entre les charges maximale et minimale est utilisé comme figure de mérite. Ce
ratio varie linéairement avec l’espacement des nœuds dans l’espace réel. Il reste très faible
comparé à la référence : en optimisant les maillages et en exploitant un espace mémoire de
quinze giga-octets, il est possible d’obtenir une chute de la charge de deux décades à peu
près, alors que la référence varie de cinq décades sur le même intervalle.
V.4
Conclusion du chapitre
Ce chapitre a présenté deux études. La première consiste à calculer les termes de dérive
et de diffusion de l’ETW, en utilisant les valeurs de la FW calculées à partir des fonctions
d’onde. Le potentiel non-local a été calculé exactement, ce qui est possible en simplifiant le
profil de potentiel, avec des contacts plats et une barrière simple rectangulaire. La deuxième
étude consiste à calculer la FW et la charge soit sur un seul nœud, soit sur une plage limitée
à la barrière, sans mailler les contacts. Le but des deux études est d’observer l’écart entre les
quantités calculées par l’ETW et celles de référence, qui sont obtenues à partir des fonctions
d’onde, ainsi que d’évaluer comment cet écart varie en fonction des paramètres de maillage.
Il a été observé que l’espacement des nœuds dans l’espace réciproque n’a pas d’effet
significatif, ni sur les termes de dérive et de diffusion, ni sur la FW ou sur la charge. Ce
résultat est cohérent avec les observations faites au Chapitre III. Au contraire, l’affinement
du maillage dans l’espace réel s’accompagne d’une convergence linéaire de la charge vers
celle de référence. La chute de la charge dans la barrière reste cependant très faible par
rapport à celle calculée à partir des fonctions d’onde.
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V Calcul de l’erreur sur les termes de dérive et de diffusion et sur la charge
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Conclusion générale
Ce travail a étudié la résolution directe déterministe de l’Équation de Transport de
Wigner (ETW) dans des structures 1D. L’équation a été appliquée à deux structures : une a
caractère quantique, et l’autre à caractère classique. La première est une diode à tunnel
résonnante, dont le comportement électrique est fortement affecté par les effets
quantiques (pénétration des fonctions d’onde à l’intérieur d’une barrière, résonnance dans
un puits de potentiel). L’autre est une structure à barrière simple, soit abrupte, soit définie
par une jonction N+P+N+, et son fonctionnement est de type classique ; elle est simulée pour
vérifier que le solveur reste performant en présence d’une forte variation de la densité de
charge, telle qu’elle peut se rencontrer dans un transistor à l’état bloqué.
L’ETW a été discrétisée par un système matriciel ; la fonction appliquée aux limites est
une Distribution de Fermi-Dirac (DFD) intégrée par rapport aux moments transverses. Les
Fonctions de Wigner (FW) ainsi calculées dans les deux structures montrent des artefacts
similaires. Premièrement, la solution de l’équation à proximité des frontières est
incohérente par rapport aux conditions aux limites. Deuxièmement, en présence de
structures avec une barrière épaisse, dès que la densité électronique chute de quatre à cinq
décades, elle peut prendre des valeurs négatives. Ces artefacts n’ont pas pu être résolus ni
en augmentant la longueur des contacts ou les densités de maillage, ni en changeant les
schémas de discrétisation des différents termes de l’ETW. Le problème des densités
électroniques négatives a finalement pu être partiellement résolu, dans les structures non
polarisées, en doublant l’étendue du maillage dans l’espace réel. Les artefacts à proximité
des frontières restent toutefois présents.
Afin d’essayer de comprendre la nature des artefacts (et, par exemple, de déterminer
s’ils sont dus à des problèmes de géométrie des dispositifs ou à des paramètres de maillage
inadéquats), la FW a été calculée par une méthode alternative, à partir des fonctions d’onde
et en passant par la matrice de densité. Les fonctions d’onde sont calculées en résolvant
symboliquement l’équation de Schrödinger.
L’application de cette méthode à la barrière simple permet de déterminer que la DFD
n’est une condition aux limites adéquate que si la longueur des contacts et la résolution de
l’espace des vecteurs d’onde sont suffisantes. L’application à la barrière double montre des
artefacts qui ne peuvent pas être éliminés ni en augmentant la longueur des contacts, ni les
densités des maillages. Leur cause a été identifiée dans les effets de résonnance du puits
quantique, qui produisent des pics dans le spectre de transmission. La présence de ces pics
engendre une décroissance très lente de la matrice de densité, ainsi que des effets d’aliasing
lors du calcul de la FW. Afin d’éliminer de tels artefacts, il a été estimé que l’étendue du
maillage de l’espace réel devrait être augmentée de plusieurs ordres de grandeur, ce qui
n’est pas possible avec des ressources de calcul réalistes. Ces artefacts peuvent par ailleurs
affecter à priori toute structure quantique où des effets de résonnance sont présents. Une
solution à ce problème reste à étudier.
Le calcul de la FW à partir des fonctions d’onde permet de se concentrer sur l’erreur
numérique causée par des paramètres de maillage inadéquats. Si la FW est au contraire
calculée à partir de l’ETW, une erreur additionnelle, liée au conditionnement de la matrice,
se rajoute lors de la résolution du système linéaire. La dernière étude qui présentée dans ce
travail a montré l’impact de cette erreur sur la FW. L’approche utilisée consiste à résoudre
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155
Conclusion générale
l’ETW à l’intérieur d’une barrière ; les conditions aux limites sont alors calculées à partir des
fonctions d’onde, ce qui permet de ne pas avoir à mailler des régions de contact, et donc de
tester des maillages beaucoup plus fins.
Cette étude a montré des figures de mérite où la charge est comparée à un profil de
référence obtenu à partir des fonctions d’onde. La charge calculée par l’ETW montre
normalement un écart de plusieurs décades par rapport à la référence au milieu de la
barrière. Cette observation est cohérente avec les résultats de la première étude. Des profils
de charge plus réalistes ont été obtenus en réduisant l’espacement entre nœuds dans
l’espace réel. La variation n’est cependant que linéaire : les densités de maillage devraient
être augmentées de plusieurs ordres de grandeur pour que la charge devienne cohérente
avec celle de référence.
En conclusion, la résolution déterministe de l’ETW sur des structures 1D se heurte à
plusieurs problèmes. Il y a d’abord le conditionnement de la matrice, qui produit des
artefacts importants au niveau et de la FW et des grandeurs macroscopiques (charge et
courant) calculées de cette distribution. L’affinement des maillages dans les espaces réel et
réciproque a peu d’effet sur cette erreur, et garantit au plus une convergence linéaire, qui
est trop lente pour combler des écarts de plusieurs décades par rapport aux profils exacts.
Même si ces problèmes étaient résolus, il y a ensuite celui des conditions aux limites dans les
structures quantiques avec des effets de résonnance ; pour des telles structures, des effets
d’aliasing additionnels peuvent affecter la FW.
Ces problématiques doivent être résolues avant de pouvoir envisager des applications
multidimensionnelles de la FW. Une première direction à suivre pourrait être d’envisager
des schémas de stockage plus performants pour les coefficients du système matriciel de
l’ETW. Par exemple, au lieu de générer les coefficients de ce système en une fois, il pourrait
être possible de les calculer juste moment où ils sont requis dans le calcul. Des différents
schémas de résolution des systèmes matriciels (par exemple, des schémas itératifs)
pourraient être comparés dans cette optique. Il pourrait par ailleurs être intéressant de
perfectionner des algorithmes de gestion des données, qui stockent temporairement les
coefficients non-utilisés sur support fixe, au lieu de les maintenir en mémoire vive. Cette
étude permettrait d’avoir plus de marge pour étudier de façon plus approfondie l’effet des
maillages sur la solution de l’ETW.
Une autre approche pourrait être de résoudre le système linéaire à des différents
niveaux de précision numérique, de façon à étudier quantitativement l’effet sur son
conditionnement.
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