1 Rappels sur les chaînes de Markov 2 Un exemple
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ISFA Semestre automne 2016-2017 Probabilités avancées - Master Économétrie et Statistique Hugo Vanneuville, Institut Camille Jordan, Lyon 1, bureau 219 http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/vanneuville/ Cinquième séance Chaînes de Markov Si vous avez des questions, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à l’adresse [email protected]. 1 Rappels sur les chaînes de Markov Une chaîne de Markov sert à modéliser un système aléatoire qui évolue au cours du temps et dont la particularité est que son évolution future ne dépend que de son état présent. Exercice 1. Rappeler la définition d’une chaîne de Markov sur un ensemble discret E. Rappeler la définition d’une mesure invariante. Exercice 2. Rappeler l’énoncé du théorème ergodique dans le cas d’une chaîne de Markov irréductible avec un nombre fini d’états. 2 Un exemple : Simulation stochastique de l’historique de parcelles forestières à Madagascar Une équipe de cherheurs et chercheuses a étudié en 2007 l’évolution des parcelles à Madasgar et a utilisé des chaînes de Markov pour modéliser cette évolution 1 . Exercice 3. Considérons une parcelle forestière à Madasgascar et supposons qu’elle peut être dans trois états différents : forêt, recru 2 et culture. Observons la même parcelle un an plus tard. Il est possible qu’elle ait changé d’état et les probabilités de transition d’un état à l’autre sont données par la Figure 1. 1. Quelle est la matrice de transition associée à ce graphe ? 2. La matrice de transition est-elle irréductible ? 3. Existe-t-il une mesure invariante ? Si oui, est-elle unique ? Si oui, la calculer. 4. Quel est le temps moyen de retour dans l’état “forêt” ? 5. Supposons qu’on est dans l’état “recru” à l’instant 0. Quelle est la probabilité qu’on soit dans l’état “forêt” deux ans plus tard ? 1. L’article est : “Simulation stochastique de l’historique de parcelles forestières depuis leur première défriche : le cas du couloir forestier de Fianarantsoa, Madagascar”. Les auteurs sont : Ratiarson, Treuil, Ramanmojisoa, Carrière, Randriamalala, Hervé. Je me suis inspiré de leur modèle dans l’exercice qui suit mais je l’ai beaucoup modifié/simplifié. Il est donc possible que ce ne soit plus pertinent scientifiquement. 2. Recru : bois qui repousse après une coupe. 1 6. Supposons qu’on est dans l’état “recru” à l’instant 0. Quelle est la probabilité qu’on soit dans l’état “culture” deux ans plus tard ? 7. Considérons notre système avec n’importe quelle mesure initiale. Notons Fn la fréquence de l’état “forêt” pendant les n premières années. Que pouvez-vous dire de Fn quand n est grand ? 1/5 Forêt Culture 1/5 3/5 1/5 1/5 4/5 Recru 4/5 Figure 1 – Transition avec les trois états forêt, recru, culture. Supposons maintenant que les trois états possibles sont : forêt, recru et rizière. La différence principale entre culture et rizière et que l’état “rizière” est absorbant (une fois qu’on est dans cet état on ne peut pas en ressortir), alors que ce n’est pas le cas de l’état “culture”. Les nouvelles probabiltés de transition sont données par la Figure 2. 1/5 Forêt Rizière 1/5 3/5 1/5 1 Recru 4/5 Figure 2 – Transition avec les trois états forêt, recru, rizière. 1. Quelle est la matrice de transition associée à ce graphe ? 2. La matrice de transition est-elle irréductible ? 3. Classifiez les états. 4. Considérons notre système avec n’importe quelle mesure initiale. Notons pn la probabilité d’être dans l’état “rizière” à l’année n. Que dire de pn quand n est grand ? 2
