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1. |Im c1|=|Im c2|
2. Il existe une permutation πdes couleurs de Im c1telle que
∀v∈V, c2(v) = (π◦c1)(v)
Définition 6. On note P(G)le nombre de coloriages corrects non-équivalents d’un graphe.
On décrit maintenant une méthode de transformation du problème de dénombrement de
relations totales en un problème de comptage des coloriages corrects non-équivalents d’un graphe.
Définition 7. On appellera GL,Rle graphe associé à une relation partielle Rsur L. Ce graphe
est défini par GL,R= (V, E)avec
V={[ak]|ak∈L}
E={([ai],[aj]) | R−(ai, aj)}.
Exemple 2.Pour l’exemple précédent, GL,Rest le graphe ci-dessous :
[a][c] [e]
Propriété 1. Si GL,Rcontient une boucle (arête d’un sommet vers lui-même), il n’existe aucun
coloriage correct (sommet relié à lui-même, de même couleur).
Ce cas correspond à une situation dans laquelle R+∩ R−6=∅, dans lequel il n’existe pas
non plus de relation totale contenant R(car on aurait ∃(a, b)∈L2,R+(a, b)et R−(a, b)).
Théorème 1. R0est une relation d’équivalence contenant Rsi et seulement s’il existe un
coloriage cde GL,Rtel que R0(ai, aj)est vrai si et seulement si c([ai]R) = c([aj]R).
Démonstration. S’il existe un tel coloriage, nécessairement R0contient Rcar deux éléments en
relation par Rseront dans la même classe (en particulier dans des classes de même couleur),
donc en relation par R0. Deux même, deux éléments de R−seront dans des classes de couleurs
différentes car reliées par une arête (par construction du graphe).
Réciproquement, si R0est une relation contenant R, il suffit d’attribuer une couleur différente
à chaque classe d’équivalence de R0. Comme R0contient R, cela définit également les couleurs
pour les classes d’équivalence de R(sommets du graphe), donc un coloriage du graphe. Comme
R−⊂ R0−, les éléments du graphes reliés par une arête (dans des classes de Rdistinctes) sont
dans des classes de R0distinctes. Ce coloriage est donc un coloriage correct.
Corollaire 1. |ML,R|=P(GL,R). Autrement dit, le nombre de relations de ML,Rest égal au
nombre de coloriages corrects non-équivalents de GL,R.
Exemple 3.Pour notre exemple, les coloriages corrects et non-équivalents de GL,Rsont les sui-
vants :
[a][c] [e] [a][c] [e]
Ces coloriages correspondent aux deux relations trouvées précédemment (R+(c, e)et R−(c, e)).
D’après le corollaire 1, pour compter le nombre de relations de ML,R, il suffit de construire
le graphe associé GL,Rpuis compter le nombre de coloriages non-équivalents de GL,R.
Remarque 1. La réduction réciproque existe également : pour connaître le nombre de colo-
riages corrects non-équivalents d’un graphe G, il suffit de dénombrer le nombre de relations
d’équivalences contenant la relation partielle RGdéfinie par R+
G=Id et R−
G=E.
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