Machines thermiques - Les Pages Personnelles au LAL

Chapitre 9
Machines thermiques
Sommaire
9.1 G´en´eralit´es ....................................177
9.2 Cycles r´eversibles entre deux r´eservoirs d’´energie thermique . . . . . . 187
9.3 Cyclesmonophasiques .............................192
9.4 Cyclesdiphasiques................................200
On ne consid`erera dans ce chapitre que des cycles ferm´es. Pour les cycles ouverts, il suffit de
consid´erer une masse d´etermin´ee du fluide pour tourner la difficult´e.
Dans tout ce chapitre, on notera TCet TFdes temp´eratures de sources chaudes et froides respec-
tivement.
Le 1er paragraphe donne quelques g´en´eralit´es sur les machines thermiques. Le 2`eme d´etaille les
trois cycles r´eversibles possibles. Enfin, les deux derniers paragraphes donnent des exemples de
machines r´eelles en les classant en deux cat´egories : les machines dans lesquelles un m´elange gazeux
monophas´e subit un cycle et les machines dans lesquelles le fluide qui subit le cycle est diphas´e.
9.1 G´en´eralit´es
9.1.1 D´efinitions
On appelle source thermique un corps susceptible de donner ou de recevoir `a une temp´erature
donn´ee de l’´energie sous forme de chaleur.
On appelle machine thermique toute machine qui ´echange avec le milieu ext´erieur de l’´energie sous
forme de travail ou sous forme de chaleur. Parmi ces machines, on peut distinguer :
•les moteurs thermiques, qui d´elivrent du travail au milieu ext´erieur
•les pompes thermiques ou pompes `a chaleur qui fournissent `a un r´eservoir d’´energie thermique de
l’´energie sous forme de chaleur pour lesquels QM→R<0 (figure 9.1)
•les r´efrig´erateurs qui pr´el`event de la chaleur `a un r´eservoir d’´energie thermique pour lesquels
QR→M>0 (figure 9.2)
Dans tous les cas, le fluide qui circule dans une machine thermique est appel´e l’agent thermody-
namique. Ce peut ˆetre un liquide (eau, fr´eon, ammoniac, ...) qui peut ´eventuellement se vaporiser,
Thermodynamique classique, P. Puzo 175

9.1. G ´ EN ´ ERALIT ´ ES
RM
Machine
QM −> R
Réservoir
Figure 9.1 – Pompe thermique
Q
RM
Machine
R −> M
Réservoir
Figure 9.2 – R´efrig´erateur
ou un gaz (air, h´elium, ...). Dans les trois cas d´ecrits ci-dessus, l’agent thermodynamique d´ecrit un
cycle.
On a vu aux §1.5.1 et §4.2.6 qu’un cycle parcouru dans le sens des aiguilles d’une montre, aussi
bien dans le diagramme (T,S) que dans le diagramme (p,V), produisait du travail. Un tel cycle
est appel´e cycle moteur. Un cycle d´ecrit dans le sens trigonom´etrique est appel´e cycle invers´e.
On a vu au §1.4.1 qu’une transformation monotherme est une transformation au cours de laquelle
un syst`eme est en contact thermique avec une seule source thermique. S’il y a deux sources, on
parle de transformation ditherme. Dans le cas g´en´eral, on parle de transformation polytherme.
Si une transformation monotherme est r´eversible, le syst`eme est `a chaque instant en ´equilibre avec
la source thermique, alors sa temp´erature est constante (et ´egale `a celle de la source thermique) :
la transformation est donc isotherme. On retiendra qu’une transformation isotherme est une trans-
formation monotherme r´eversible.
9.1.2 Variation d’entropie et transferts thermiques
On consid`ere un syst`eme (S) en contact avec nsources thermiques Side temp´eratures respectives
Ti. En notant ∆Sla variation d’entropie de (S) et ∆Sila variation d’entropie de Si, on a d’apr`es
le 2`eme principe :
∆S+
n
X
i=1
∆Si≥0 (9.1)
o`u l’´egalit´e n’est observ´ee que dans le cas des transformations r´eversibles.
Si on note Q′
ila chaleur re¸cue par la source (Si), la variation d’entropie de la source (Si) s’´ecrit :
∆Si=Q′
i
Ti
(9.2)
En se pla¸cant du point de vue du syst`eme (S), l’apport thermique Qivenant de (Si) s’´ecrit Qi=
−Q′
i. En combinant (9.1) et (9.2), on obtient finalement :
∆S≥
n
X
i=1
Qi
Ti
(9.3)
Cette relation prend une signification particuli`ere dans le cas d’une transformation r´eversible. On
mod´elise alors un palier `a la temp´erature Ticomme r´esultant d’un contact isotherme avec une
source `a la temp´erature Tiapportant le transfert thermique δQi. Une transformation r´eversible
quelconque peut donc ˆetre consid´er´ee comme la limite d’une succession infinie de transformations
Thermodynamique classique, P. Puzo 176

9.1. G ´ EN ´ ERALIT ´ ES
isothermes (figure 9.3) . La relation (9.3) s’´ecrit alors :
∆S=ZF
I
δQ
T(9.4)
i
TF
I
T
Temps
Température
T
Figure 9.3 – Une variation r´eversible de temp´erature peut ˆetre vue comme la limite d’une succession de
transformations isothermes
9.1.3 Cas d’un seul r´eservoir d’´energie thermique
L’application du 1er principe `a une machine thermique d´ecrivant un cycle permet d’´ecrire que :
∆U=W+Q= 0 (9.5)
La variation d’entropie au cours du cycle est nulle donc ∆S=Sr+Sc= 0. Puisqu’il n’y a qu’un
seul r´eservoir d’´energie thermique, Sr=Q/T (d’apr`es (4.23)) d’o`u :
Sc+Q
T= 0 (9.6)
Or d’apr`es le 2`eme principe, Sc≥0, d’o`u Q≤0 d’apr`es (9.6) et W≥0 d’apr`es (9.5). Ainsi, si on
ne dispose que d’un seul r´eservoir d’´energie thermique, il est impossible de concevoir un moteur
(puisque W≥0) ou un r´efrig´erateur (puisque Q≤0). Seule est concevable une pompe thermique
dont le coefficient de performance d´efini par :
µP=|Q|
W= 1
montre qu’elle est sans int´erˆet comme on le verra au §9.1.4.
On peut remarquer que cette conclusion n’est valable que parce que l’agent thermodynamique d´ecrit
un cycle. S’il ne d´ecrivait pas un cycle, on aurait :
∆U=W+Qet ∆S=Sc+Q
T
Dans ce cas, on peut avoir :
•W < 0 et Q > 0, mais la transformation est forc´ement limit´ee dans le temps (cas d’un canon par
exemple)
•W > 0 et Q > 0, mais la transformation est forc´ement limit´ee dans le temps pour ´eviter une
croissance infinie de U
Thermodynamique classique, P. Puzo 177

9.1. G ´ EN ´ ERALIT ´ ES
9.1.4 Cas de deux r´eservoirs d’´energie thermique
L’agent thermodynamique d´ecrivant un cycle, on a :
∆U=W+QC+QF= 0 (9.7)
o`u QCet QFsont les chaleurs ´echang´ees avec les deux r´eservoirs. Toujours d’apr`es (4.23), on a :
∆S=Sr+Sc=QC
TC
+QF
TF
+Sc= 0 (9.8)
Puisque Sc≥0, on en d´eduit : QC
TC
+QF
TF
≤0 (9.9)
Cette derni`ere ´equation est connue sous le nom d’in´egalit´e de Clausius.
Suivant [34], on appelera efficacit´e d’une machine thermique le rapport entre le transfert d’´energie
utile, compte tenu de la vocation de la machine, et celui qui est d´epens´e pour faire fonctionner la
machine. Le rendement est le rapport entre l’efficacit´e et l’efficacit´e maximale.
Cas d’un moteur (W < 0)
Si W < 0, alors (9.7) implique que :
QC+QF>0 (9.10)
soit encore :
−QC
TC
−QF
TC
<0
En ajoutant cette derni`ere ´equation `a (9.9), on obtient :
QF1
TF
−1
TC<0
Comme TC> TF, il faut pour que cette ´equation soit satisfaite que QF<0 et donc QC>0 pour
satisfaire (9.10). La machine pr´el`eve donc de l’´energie sous forme de chaleur au r´eservoir chaud
pour la fournir au r´eservoir froid (figure 9.4).
W
Q
Q
F
C
RC
RF
M
Figure 9.4 – W < 0
Q
Q
F
C
RC
RF
M
Figure 9.5 – W= 0
On d´efinit l’efficacit´e du moteur par le rapport de la grandeur recherch´ee (le travail −W) par la
grandeur coˆuteuse QC:
η=−W
QC
=QC+QF
QC
= 1 + QF
QC
= 1 −|QF|
QC
(9.11)
Thermodynamique classique, P. Puzo 178

9.1. G ´ EN ´ ERALIT ´ ES
D’apr`es (9.9), on a :
QC
TC
≤|QF|
TF
soit |QF|
QC
≥TF
TC
et finalement :
η≤1−TF
TC
(9.12)
En fait, d’apr`es (9.8), on peut ´ecrire (9.11) selon :
η= 1 −TF
TC
−TFSc
QC
(9.13)
L’´egalit´e dans (9.12) correspond `a Sc= 0, c’est `a dire `a une transformation r´eversible. De mani`ere
g´en´erale :
η≤ηR= 1 −TF
TC
(9.14)
o`u ηRcorrespond `a l’efficacit´e du cycle d´ecrit de mani`ere r´eversible.
Figure 9.6 – Efficacit´e th´eorique ηRd’un moteur
thermique ditherme r´eversible en supposant que la
temp´erature de source froide est TF= 300 K
L’efficacit´e d’un moteur ditherme est maximale
si le cycle est d´ecrit de mani`ere r´eversible. L’ef-
ficacit´e th´eorique d’un moteur ditherme r´ever-
sible est repr´esent´e sur la figure 9.6.
La relation (9.14) est connue sous le nom
de th´eor`eme de Carnot et a longtemps servi
comme formulation du 2`eme principe de la ther-
modynamique (§4.2.3).
Le rendement rs’´ecrit simplement :
r=η
ηR
= 1 −TFSc
QC1−TF
TC(9.15)
Le rendement est toujours inf´erieur ou ´egal `a
un, l’´egalit´e ne se produisant que pour des pro-
cessus r´eversibles.
Cas d’une machine ne mettant en jeu aucun travail (W= 0)
On d´eduit de (9.7) que :
QC+QF= 0 soit encore −QC
TC
−QF
TC
= 0
En ajoutant cette derni`ere ´equation `a (9.9), on obtient `a nouveau :
QF1
TF
−1
TC<0
Comme TC> TF, il faut pour que cette ´equation soit satisfaite que QF<0 et donc QC>0 pour
satisfaire QC+QF= 0. Il y a transport d’´energie sous forme de chaleur de la source chaude `a la
source froide. Ceci est possible mais ne caract´erise pas une machine thermique ’classique’ puisqu’il
n’y a pas de travail ´echang´e (figure 9.5).
Thermodynamique classique, P. Puzo 179