Mehdi DANECH-PAJOUH INRETS-GRETIA [email protected] TEC n° 162 novembre décembre 2000 Le temps de parcours et ses deux variantes de calcul Le temps de parcours est un moyen d’évaluer la performance d’un itinéraire ou d’un axe routier. Il est aussi destiné à l’information routière et à la gestion du trafic. En général, il est calculé à partir des variables macroscopiques mesurées par des capteurs. Dans cet article nous abordons successivement : ¾ Les conditions de base de recueil des variables du trafic. ¾ Les deux variantes du calcul de temps de parcours ainsi que leur différence. ¾ La représentativité des temps affichés sur les Panneaux à Messages Variables. ¾ Les enjeux de l’indicateur de temps de parcours pour l’exploitant. Les trois variables macroscopiques issues des capteurs Pour permettre de décrire globalement des flots de véhicules sur un tronçon de route, les capteurs fournissent normalement les trois variables essentielles du trafic, le débit (le nombre de véhicules observés dans une unité de temps), le taux d’occupation (qui permet une évaluation approximative de la concentration) et la vitesse (distance parcourue dans une unité de temps ). Ces variables sont mesurées, selon l’équipement du réseau, par file ou par sens, à des intervalles réguliers de temps (20 secondes, 1 minute, 6 minutes). Pour éviter toute confusion nous supposons que ces trois variables sont mesurées par tronçon par sens et au même instant sur tout le trajet avec la même périodicité par exemple toutes les minutes. Autrement dit chacune de ces mesures représente une image instantanée de l’itinéraire dans les conditions de l’instant de mesure. Les deux variantes de calcul de temps de parcours moyen Il est important de noter que la nature macroscopiques des variables mesurées conduit obligatoirement, quelque soit la méthode de calcul, à un temps de parcours moyen (TPM). Celui-ci s’obtient en rapportant la longueur totale de trajet à la vitesse moyenne de l’ensemble des individus présents sur le trajet à l’instant de mesure. La différence entre les deux variantes de calcul (voir l’encadré n° 2) provient de la manière dont nous calculons la vitesse moyenne sur un trajet. La méthode actuellement employée par certains exploitants, pour affichage de temps de parcours sur les Panneaux à Messages Variables, consiste à calculer la moyenne harmonique 1 non pondérée de la vitesse. La méthode que nous préconisons est la moyenne harmonique de la même variable mais pondérée par le débit. Dans une première considération nous justifions cette pondération pour deux raisons suivantes : • Une notion élémentaire de la statistique : pour calculer la moyenne d’une variable mesurée par groupe (et non pas par individu) il faut tenir compte de l’effectif de chaque groupe (voir encadré n°1). • Une notion de base de la théorie du trafic : Le débit et la vitesse mesurés sur un tronçon de route ne sont pas indépendants, ils sont reliés par une loi dite fondamentale. La comparaison entre les deux variantes Seulement dans trois cas les deux variantes de calcul de TPM aboutiront au même résultats : • • • Le cas trivial où le trajet est composé d’un seul et unique tronçon Le cas où les débits mesurés sur les tronçons sont égaux Le cas où les vitesses mesurées sont égales. Dans tous les autre cas les deux variantes peuvent donner des résultats différents et ceci nous conduit à relever certains défauts de la variante non pondérée : Forcer l’équipartition de la demande Nos venons de voir que la variante non pondérée donne, aussi, un temps de parcours moyen et non pas individuel. Mais celle-ci ne tient pas compte de l ‘effet de la répartition par tronçon de l’ensemble des véhicules se trouvant à l’instant de mesure sur le trajet. Autrement dit, on suppose que tout au long du trajet il y a le même nombre de véhicules par tronçon (une fausse équipartition de la demande). Accentuer la sur estimation Le temps de parcours déduit de la variante non pondérée est trop sensible aux vitesses faibles. En effet il suffit que l’une des vitesses soit relativement petite pour que le temps de parcours devienne anormalement grand. Lors de l’affichage sur les PMV, pour éviter d’annoncer des temps absurdes, les valeurs calculées sont écrêtées jusqu’à un seuil raisonnable. Dans la procédure pondérée, cette valeur faible sera relativisée et ceci évitera qu’une seule perturbation dégrade la qualité de l’estimation. Par essence, les indicateurs pondérés sont plus lisses que les non pondérés et ils évitent les valeurs exagérément élevées. Gommer l’interaction entre l’offre et la demande La non pondération se justifie en partie par la facilité de son application. Sa validité ne dépend que de celle de la variable vitesse. En revanche, la variante pondérée de par sa constitution tient compte du diagramme fondamental débit-vitesse. Par ailleurs, il faut rappeler qu’à tout moment le débit exprime au moins une partie de la demande. En faisant intervenir son effet dans le calcul du temps de parcours nous aurons un moyen facile de prendre en compte de l’impact de l’interaction entre l’offre et la demande. 2 La représentativité des temps affichés sur les PMV Avant d’évoquer le problème de la représentativité, voyons dans quelle mesure les deux concepts, individuel et moyen, de temps de parcours sont différents. Supposons que le trajet à parcourir soit composé de n tronçons de longueurs différentes. Le temps de parcours individuel de ce trajet est le temps exact que met un individu pour le parcourir, il est la somme des temps de parcours par tronçon. Ce temps n’appartient qu’à cet individu et il dépend d’au moins trois facteurs : l’individu, son véhicule et la route empruntée. Le temps de parcours moyen d’un groupe d’individus est la moyenne des temps de parcours individuels. Ici, implicitement, nous supposons que nous avons la possibilité de disposer du temps de parcours individuel sur chaque tronçon. Seulement, sous cette hypothèse le temps de parcours du trajet s’exprime comme une fonction additive des temps des trajets élémentaires. Or nous savons que jusqu’à présent les temps affichés sur les PMV sont obtenus grâce à l’une des trois variables macroscopiques mesurées par des capteurs, la vitesse. La problématique que nous venons de soulever ici est l’impossibilité de calculer un temps de parcours individuel à partir des variables macroscopiques. La variante non pondérée du temps de parcours ne représente ni un temps individuel et ni un véritable temps parcours moyen (dans le sens statistique du terme). Existe-il un moyen pour prouver que l’une des deux variantes représente mieux le temps parcours moyen que l’autre ?. On peut envisager une campagne de mesures de véhicules suiveurs (ils suivent un flot de véhicules) qui produit des temps moyens en rapport avec le flot suivi. Ensuite, on compare ces mesures avec les résultats des deux variantes. Cette campagne exige une très bonne synchronisation entre l’instant du départ (à l’endroit d’un PMV) et l’affichage du temps de parcours. On peut aussi envisager une campagne de mesures par des véhicules flottants (chaque véhicule doit dépasser autant de fois un véhicule qu’il a été lui-même dépassé, cf. 2) ; malheureusement une telle procédure qui théoriquement produit des temps parcours moyens est pratiquement impossible à réaliser. Il existe une troisième possibilité qui consiste à reconstruire les TPM à partir des données historiques très fines et en suivant les diagrammes espace-temps (tenir compte des mesures décalées). Il y encore deux variantes pondéré et non pondérée pour calculer ce TPM dit « fictif » voir encadré n° 3. Même dans ce cas, les temps estimés représenteront des temps moyens et non pas individuels, et c’est dans ce contexte qu’ils doivent être comparés avec ceux issus des deux variantes. Malgré la complexité de sa réalisation informatique, nous avons testé cette troisième approche de comparaison dans nos laboratoires (cf. 4 & 6) dont les tableaux cidessous récapitulent les résultats. 3 Porte d’Ivry - Porte de la Chapelle (périphérique extérieur, 13200 mètres) Trafic globalement non fluide, base de comparaisons TPM fictif pondérée Date Heures Nombre TPM non pondérée TPM pondéré d’observations Erreur Erreur Erreur Erreur relative absolue relative absolue 11/01/96 15h-21h 325 13,0% 2m53s 9,1% 2m1s TP M fictif (pond.) 21m57s 16/01/96 15h-21h 250 8,5% 1m33s 6,2% 1m8s 17m58s 17/01/96 6h-12h 176 22,8% 5m8s 12,4% 2m48s 22m3s 12/01/96 6h-12hh 261 34,7 8m9s 15,7 3m41s 22m49s 12/01/96 6h-12h 292 21,4 5m20s 11,2 2m47s 24m24s 1304 22,6% 5m5s 11,6% 2m36s 21m55s Global Porte d’Ivry - Porte de la Chapelle (périphérique extérieur, 13200 mètres) Trafic globalement non fluide, base de comparaisons TPM fictif non pondérée Date Heures Nombre TPM non pondérée TPM pondéré TP M d’observations Erreur fictif Erreur Erreur Erreur (n. pond) relative absolue relative absolue 11/01/96 15h-21h 325 9,0% 2m7s 8,3% 1m57s 23m11s 16/01/96 15h-21h 254 6,3% 1m11s 5,8% 1m6s 18m26s 17/01/96 6h-12h 199 15,3% 3m38s 12,9% 3m3s 22m38s 12/01/96 6h-12hh 264 23,4% 6m19s 18,8% 5m5s 25m43s 12/01/96 6h-12h 290 15,2% 4m7s 11,8% 3m11s 26m28s 1332 15,9 3m52s 12,9% 3m8s 23m17s Global Réseau du SIER (tranche horaire de 6h à 12h) Trafic globalement non fluide, base de comparaisons TPM fictif pondérée TPM non pondérée TPM pondéré Date trajet longueur Nombre d’obs. Erreur Erreur Erreur Erreur relative absolue relative absolue 16/01/98 A6 Corbeil - 29200m 181 35,9% 15m30s 26,4% 11m21s BP par A6-a 20/01/98 A6 Corbeil - 29200m 163 26,7% 10m43s 20,3% 8m9s BP par A66-a 16/01/98 A6 Savigny - 15500m 170 24,0% 7m0s 14,9% 4m20s BP par A6-a 20/01/98 A6 Savigny - 15500m 161 16,9% 4m14s 12,5% 3m7s BP par A6-a 16/01/98 A6-a 5100m 188 23,8% 4m8s 19,9% 3m27s Orly- BP 20/01/98 A6-a 5100m 178 20,5% 2m50s 17,9% 2m28s Orly- BP TPM fictif (pond) 42m16 s 39m40 s 28m33 s 24m42 s 16m20 s 13m9s 4 Réseau du SIER (tranche horaire de 6h à 12h) Trafic globalement non fluide, base de comparaisons TPM fictif non pondérée Date trajet longueur Nombre TPM non pondérée TPM pondéré d’obs. Erreur Erreur Erreur Erreur relative absolue relative absolue 16/01/98 A6 Corbeil 29200 185 27,1% 13m53s 25,3% 12m59s BP par A6-a 20/01/98 A6 Corbeil 29200 168 23,2% 10m52s 20,7% 9m28s BP par A66-a 16/01/98 A6 Savigny 15500 173 19,8% 6m23s 19,1% 6m9s BP par A6-a 20/01/98 A6 Savigny - 15500 166 27,4% 7m14s 15,0% 3m58s BP par A6-a 16/01/98 A6-a 5100 187 21,5% 3m54s 19,0% 3m26s Orly- BP 20/01/98 A6-a 5100 178 16,8% 2m21s 14,5% 2m3s Orly- BP TPM fictif (n. pond) 50m2s 45m52s 31m20s 25m49s 17m6s 13m15s Quand le trafic est fluide (la vitesse moyenne dépasse 60km/h) il n’ y a pas une différence significative entre les TPM calculés par les deux variantes. C’est pourquoi ces tableaux ne concernent que les moments où le trafic n’était pas fluide. Ainsi on constate que, quelque soit la référence de comparaison (TPM fictif pondérée ou non), l’erreur de la variante proposée est toujours en dessous de celle de la variante utilisée pour l’affichage des PMV. Par ailleurs la Ville de Paris et le SIER ont procédé à deux enquêtes distinctes de mesure de temps de parcours dite « véhicules flottants ». Les données provenant du SIER ont été, dans le cadre du projet DACCORD, exploités par l’Université de DELFT. Il en découle que, sous réserve de la validité des données, la variante pondérée est plus performante que celle actuellement en application (cf. 8). La Ville de Paris, pour des raisons techniques n’a pas encore conclu sur son propre enquête. VIII. Deux exemples numériques Premier exemple Trajet : Le boulevard périphérique extérieur, entre la Porte de St Mandé (PMV) et la Porte de la Chapelle Distance : 10,01 km Nombre de tronçons : 20 (un capteur par tronçon) Données : moyenne glissante sur 4 minutes Périodicité de rafraîchissement : 1 minute mardi 9 janvier 1996 BP St Mande-Chapelle (10,01 Km) TPM pondéré tpm non pondéré 35 30 25 20 11h25 11h07 10h49 10h31 10h13 9h55 9h37 9h19 9h01 8h43 8h25 8h07 7h49 7h31 7h13 6h55 6h37 6h19 15 10 5 0 6h01 minutes 50 45 40 5 D’après les schémas ci-dessus, on constate que les différences les plus importantes entre les deux variantes apparaissent pendant la congestion. A 8h02, la différence est de l’ordre de 10 minutes (TPM=24 e tpm=32 ). A cet instant les vitesses mesurées sont relativement basses et sur l’un des tronçons elle est de l’ordre de 2km/h. Deuxième exemple Trajet : L’autoroute A6 entre la Commune de Corbeil-Essones (PMV) et le boulevard périphérique (Porte d’Italie) Distance : 29,2 km Nombre de capteurs : 51 (un capteur par tronçon) Vitesse critique : 60 km/h Données : moyenne glissante sur 4 minutes Périodicité de rafraîchissement : 1 minute Vendredi 16 Janvier 98 Corbeil (A6)-BP(A6a) 29,2 minutes 70 60 tpm non pondéré 50 TPM Pondéré 40 30 20 11h58 11h41 11h24 11h07 10h50 10h33 10h16 9h59 9h42 9h25 9h08 8h51 8h34 8h17 8h00 7h43 7h26 7h09 6h52 6h35 6h18 6h01 10 Ce deuxième exemple montre aussi que les différences les plus importantes entre les deux variantes apparaissent pendant la congestion. A 8h00, la différence est de l’ordre de 12 minutes (TPM=54 e tpm=66 ). A cet instant les vitesses mesurées sur les 15 derniers tronçons (à l’approche du Bd Périphérique) sont en dessous de 20 Km /h. Les divers enjeux des indicateurs du trafic Le TPM est en principe destiné à l’information routière, à la gestion du trafic et à l’échange de données avec les exploitants des modes de transport concurrents. Il arrive aussi qu’il ait un caractère commercial vis a vis des diffuseurs d’informations (radios, journaux, Internet…). D’après les enquêtes faites auprès des usagers il semble que, les messages sur les durées de parcours (ex. PMV installés sur des sections courantes), soient perçues par 6 une grande partie d’entre eux comme un élément de confort (cf. 9). Dans ce cas pour les raisons suivantes le choix de la procédure de calcul importe peu : • Le temps de parcours pour les usagers est une entité subjective, il suffit que les temps affichés soient dans une fourchette acceptable de précision. C’est ainsi que la majorité des usagers sont satisfaits des temps affichés (cf. 7) ;. • Dans le cas des trajets relativement courts (inférieurs à 10 km), la fréquence de rafraîchissement au cours du trajet (un usager peut rencontrer plusieurs PMV sur son trajet) peut en partie corriger l’imprécision de la procédure non pondérée. Quant à l’usage de TPM dans le domaine de la gestion du trafic, pour les raisons qui suivent, le choix de la procédure de calcul devient important : ¾ Le délestage est l’un des moyens pour les gestionnaires d’améliorer les conditions de circulation dans le cas de forte demande. Un indicateur qui est calculé sans tenir compte de la variation de la demande ne permet pas d’atteindre l’effet escompté. Quand un PMV est situé en amont d’un point de choix autoroutier (une bifurcation) ainsi que quand il est installé sur le réseau associé (hors autoroute et hors le Bd périphérique), il aura aussi le rôle d’encourager le délestage. Le choix par l’usager de l’itinéraire dépendra des temps affichés pour les alternatives existantes. Un temps de parcours sur estimé produira un effet inverse à celui attendu par l’exploitant. ¾ Le gestionnaire, pour évaluer l’effet d’un incident, a besoin de faire intervenir la variation de la demande exprimée (au moins partiellement ) par le débit, il a donc besoin des indicateurs de trafic qui puissent intégrer une telle variation. ¾ Le gestionnaire a besoin à tout moment d’évaluer l’interaction entre l’offre et la demande. La présence d’un chantier réduit la capacité, la génération exceptionnelle de la demande due à une manifestation sportive ou culturelle et la grève partielle (ou totale) de transport en commun sont tous des événements exogènes au trafic. Pour réguler en temps réel ou prévoir des actions, le gestionnaire a besoin en plus des instruments de mesure, d’outils d’évaluation, (ici le TPM), qui soient capables de tenir compte de l’effet de tels événements sur l’interaction entre l’offre et la demande (cf. 3 & 5). ¾ Une mauvaise condition météo réduit la capacité. L’évaluation de l’effet d’une telle restriction sur l’écoulement nécessite l’introduction de la demande dans le calcul de TPM. Quant à l’échange des données entre les différents exploitants, pour les raisons qui suivent, le choix de la procédure de calcul reste important : ¾ Les gestionnaires veulent garantir la validité des données qu’ils échangent avec leurs partenaires. Ces données comprennent à la fois celles mesurées par des capteurs et celles synthétisées par des indicateurs comme TPM. 7 ¾ Le TPM non pondérés étant conçus à partir d’une seule variable (vitesse), leur validité (statistique) est beaucoup plus fragile. En termes d’échange, les acquéreurs préfèrent recevoir des données de qualité plus sûre. Ce dernier point nous amène à rappeler un aspect qui touche une étape à l’amont du calcul d’un indicateur, à savoir la qualité des données mesurées. Les exploitants veulent pouvoir maîtriser et assurer la qualité des données. Celles-ci nécessitent à la fois l’application des algorithmes de détection des données aberrantes ou manquantes (cf. 2) et des algorithmes multidimensionnels de traitement des données manquantes. Cette approche est exigée par l’existence de l’interaction entre les variables mesurées, formulée par les « relations fondamentales » connues en ingénierie du trafic. Conclusions Dans cet article nous avons présenté une nouvelle variante de calcul de temps de parcours moyen. La pertinence de cette variante réside dans • la nature des variables mesurées par des capteurs, • la justification mathématique de ses formulations, • son adéquation à la théorie du trafic et aux diagrammes fondamentaux, • sa cohérence avec l’usage de cet indicateur dans l’exploitation de la route. De plus les tests effectués, soient dans les laboratoires soient avec les enquêtes, attestent la performance relative de la variante proposée et de l’intérêt de poursuivre des recherches sur ce thème afin d’aboutir à une meilleure compréhension du trafic routier. Bibliographie : 1. Probabilité Analyse des Données et Statistique, G. SAPORTA, Edition Technip, 1990 2. Ingénierie du trafic routier. Eléments de théorie du trafic et applications, S. Cohen, Presses de l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, nouvelle édition, Paris.1993 3. Prévision du trafic à J+1 (J+2) une approche intermodale, S. Van Iseghem, M. Danech-Pajouh, RTS n° 65 Octobre-Décembre 1999 4. DACCORD : On-Line Travel Time Predictions dr.ir. H.J.M. van Grol, Hague Consulting Group, The Netherlands, dr. M. Danech-Pajouh, INRETS, France, dr. S. Manfredi, CSST, Italy, dr. J. Whittaker, University of Lancaster, United Kingdom, 8th WCTR 1998 5. Projet CAPITALS, Prévision du trafic à J+1 (J+2), rapport final, M. Danech-Pajouh, S. Van Iseghem, Rapport INRETS, juin 1998 6. Projet DACCORD, prévision de temps de parcours sur le Bd périphérique et les voies rapides, M. Danech-Pajouh, S. Bercu Rapport INRETS, février 1998 8 7. Méthode d’analyse de l’impact des informations dynamiques des panneaux à message variables sur le comportement des usagers franciliens. P. Jardin, J ; Laterrasse, Congrès International de l’ATEC 1998. 8. DACCORD, Project TR 1017, Annex B, Travel time evaluation at the Paris test site, Februrary 1999. 9. Incidences de l’information sur les durées de parcours sur la circulation des voies rapides urbaines, B. Cambon de Lavalette, Rapport de convention DSCR-INRETS, Février 2000. 9 Encadré 1 Rappel de quelques notions de base de la statistique La notion de moyenne pondérée (cf. 1) Si une variable X est observée n fois ( x1 , x 2 ,........x n ), sa moyenne arithmétique X a est égale à : 1 n X a = ∑ xi n i =1 . Dans ce calcul toutes les observations ont le même poids (1/n). Dans le cas où nous ne disposons que des mesures par groupes (et non par individu), la moyenne se calcule différemment. On désigne par y j la valeur de la variable Y en j-ème mesure et par f j le nombre individus la concernant. La moyenne pondérée de m la variable Y s’obtient ainsi : Yp = ∑fy j =1 m i ∑f j =1 j j m et il est complètement erroné de ne pas tenir compte des effectifs Yp ≠ ∑y j =1 m j . Ainsi, chaque mesure peut avoir un poids différent des autres, la moyenne pondérée tient compte de la répartition des individus dans les divers groupes de mesure. Les deux moyennes (arithmétique et pondérée) sont égales si les n individus sont répartis d’une manière uniforme (l’équipartition) entre les m groupes f1 = f 2 = .... f m = n / m . Un exemple de bon sens D’après l’INSEE, en 1991, le parcours annuel moyen d’un véhicule diesel était de 21000 km et celui d’un véhicule à essence s’estimait à 12230 km. Le parcours annuel moyen d’un véhicule quelconque est bien évidemment la moyenne pondérée par les effectifs de ces deux types de véhicules (le parc d’automobiles en 1991 comprenait 18% de diesel et 82% d’essence), c’est à dire 13809 km et non pas 16615 [la moyenne sans pondération = (12230+21000)/2)]. La notion de moyenne harmonique Quand la variable X possède un caractère composite (exemple la vitesse relève du temps et de l’espace), son inverse peut représenter une quantité intéressante voire plus simple. La moyenne harmonique de la variable X est l’inverse de la moyenne de sa transformée. La moyenne harmonique, aussi, peut se calculer sans pondération : H= n n ∑1 / x i =1 i 10 ou avec pondération : m Hp = ∑f j =1 m ∑f j =1 j j / yj 11 Encadré 2 Deux variantes pour calculer la vitesse moyenne sur un trajet Un trajet composé de n tronçons point de départ i=1 arrivée i=2 i=3 i= n L = longueur totale du trajet A chaque tronçon i, est attribuée une longueur : qi li vi Son débit est désigné par et sa vitesse par . Il s’agit des meures prises au même instant sur tous les tronçons du trajet. La longueur totale du trajet L est égale à la somme des longueurs des tronçons. Pour calculer le TPM on doit rapporter la longueur totale du trajet à la vitesse moyenne de l’ensemble des individus présents sur le trajet à l’instant de mesure. Cette vitesse moyenne s’obtient de deux façons par une moyenne harmonique pondérée (ce que nous proposons) et par une moyenne harmonique non pondéré ce qui est pratiqué actuellement pour l’affichage de TPM sur les Panneaux à Messages Variables. Pour faciliter la compréhension nous distinguons ces deux variantes par des lettres majuscules et minuscules. La variante pondérée par le débit (VM) Dans cette variante la vitesse moyenne résulte de la moyenne harmonique pondérée à la fois par les longueurs des tronçons (un facteur statique) et par les débits (un facteur dynamique). n n V M = ∑ q i ⋅ l i / ∑ q i .l i / v i i =1 i =1 Le sens physique de cette formulation s’explique par ce qu’une vitesse s’obtient toujours par le rapport entre la distance parcourue et le temps passé. Le numérateur de cette fraction donne la distance globale parcourue par l’ensemble des individus. Le dénominateur correspond au temps global passé par l’ensemble des individus. Le temps de parcours moyen (TPM) s’obtient en rapportant la longueur totale du trajet L sur le vitesse moyenne VM TPM = L /VM 12 La variante non pondérée par le débit (vm) Toujours, pour calculer le temps de parcours moyen on doit rapporter la longueur totale du trajet à la vitesse moyenne. Cette fois la vitesse moyenne est calculée par une moyenne harmonique non pondérée par le débit. La vitesse moyenne vm se calcule par vm = L n ∑ i =1 li vi Le temps de parcours moyen s’obtient donc : tp m = L / vm = n ∑ i =1 li vi Dans cette formulation, on confond le « temps de parcours moyen par tronçon » avec « le temps de parcours individuel par tronçon ». Or, sommer des moyennes sans tenir compte de leur effectif va à l’encontre des principes élémentaires du calcul statistique. Encadré n° 3 Deux variante de temps de parcours fictif Variante pondérée par le débit : n n TP ( t ) = L .∑ q i ( h i ) l i / v i ( h i ) / ∑ q i ( h i ) ⋅ l i i =1 i =1 Variante non pondérée : tp ( t ) = n ∑ i =1 Où hi li v i ( hi ) est l’instant d’arrivé sur le tronçon i lorsque l’on est parti du PMV à l’instant t. q i ( hi ) est le débit mesuré sur le tronçon i à l’instant vitesse mesurée à cet instant. hi et Vi ( hi ) est la 13