1 Rotation d`une molécule diatomique rigide

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PA 101 ELECTRONIQUE QUANTIQUE
contrôle des connaissances - 12 décembre 2006 (3H)
Rappel : polycopié, notes de cours et de PC autorisées, à l’exclusion de tout autre document
Commentaires : les calculs sont simples s’ils sont menés correctement. Les exercices 1, 2 et 3
sont indépendants. De nombreuses sous parties ou questions sont indépendantes. Les
exercices, comme la nature, mélangent quantique et statistique. Ni leur ordre, ni celui des
question. n’est lié à la difficulté. Qu’on se le dise !
1 Rotation d’une molécule diatomique rigide
On s’intéresse ici (exclusivement) au mouvement de rotation d’une molécule diatomique
rigide, c'est-à-dire pour laquelle la distance inter atomique est fixe et égale à d. La mécanique
classique nous enseigne que l’énergie cinétique de rotation s’écrit sous la forme 2
2
1
ω IEc=
où 2 dI µ = (moment d’inertie),
21
21
mm
mm
+
= µ (masse réduite) et
ω
est la vitesse angulaire de
rotation autour du centre de masse.
On peut également écrire c E sous la forme
I
Ec
2
2
1l
=, où
l
r
est le moment cinétique, et
remarquer que le problème est formellement équivalent à celui d’une particule de masse
µ
orbitant autour de l’origine à la distance d.
1/ On quantifie le système par le remplacement du moment cinétique orbital
l
r
par l’opérateur
L
r
de la mécanique quantique. Quels sont les niveaux d’énergie stationnaires n E du rotateur ?
Quelles sont les valeurs prises par le nombre quantique n correspondant ? Quelle est la
dégénérescence d’un niveau d’énergie n quelconque ?
2/ Cette molécule diatomique est en contact avec un thermostat à la température absolue T.
Ecrire l’expression de la fonction de partition Z en tenant compte de la dégénérescence des
niveaux d’énergie. On posera 2/ 2
B
k I
θ =h
3/ Régime basse température : dans le cas où
θ
<<
T, montrer que l’expression de Z peut
s’approximer par ses deux premiers termes. En déduire l’énergie thermique de rotation
moyenne U, puis la capacité calorifique
T
U
C∂
∂
=. Quelle est la limite basse température ?
4/ Régime haute température : dans le cas où
θ
>>
T, montrer que l’expression de Z sous
forme de somme discrète peut naturellement s’approximer par une intégrale (pensez à
l’intégrale de Riemann !). Calculer cette intégrale, puis U et la capacité calorifique
T
U
C∂
∂
=.
Le résultat vous fait-il penser à un « théorème » bien connu des thermodynamiciens ?

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2 Photodétection infrarouge à boîtes quantiques
Les boîtes quantiques de semi-conducteurs sont des nanostructures qui forment des puits de
potentiel pour les électrons et constituent des "atomes artificiels" dans une matrice solide.
L'absorption infrarouge de ces nanostructures peut être exploitée pour fabriquer des
photodétecteurs infrarouges pour l'imagerie thermique.
L'objet de ce problème est de mettre en évidence l'absorption infrarouge de ces boîtes
quantiques à des longueurs d'onde qui correspondent au rayonnement thermique des objets à
température ambiante (corps noir: λ~10-30 µm). Cela ouvre la voie à une multitude
d’applications professionnelles et domestiques.
x
u
r
z
u
r
y
u
r
x
u
r
z
u
r
y
u
r
O
Figure 1: (A gauche) Coupe x0z d'une boîte quantique de semi-conducteurs obtenue par microscopie
électronique en transmission. (A droite) Forme simplifiée du puits de potentiel formé par la boîte quantique.
Une boîte quantique "auto-assemblée" typique est représentée sur la Figure 1 (zone sombre en
forme de lentille aplatie). On approximera sa forme aplatie par un parallélépipède rectangle de
taille
x
L
,
y
L
et
z
L
le long des axes du repère orthonormé
( , , , )
x y z
O u u u
r r r
.
On admettra que l'effet du potentiel cristallin sur un électron revient à :
- donner à cet électron une masse effective m plus légère que dans le
vide :
0
0.07
m m
=où
0
m
est la masse de l'électron1 dans le vide
- appliquer un potentiel effectif ressenti V nul dans la boîte quantique et suffisamment
grand à l'extérieur pour être considéré comme infini.
( , , ) 0 si 0 et 0 et 0
( , , ) sinon
x y z
V x y z x L y L z L
V x y z
= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
= ∞
 (1)
Le Hamiltonien de l'électron s'écrit donc :
2
,
2
P
H V P i
m
= + = − ∇
r
r r
h
(2)
Par souci de simplicité, on ne considèrera pas le spin des électrons, qui seront donc décrits
uniquement au travers de leur fonction d'onde spatiale.
2.1 Structure électronique
2.1.1 Donner l'équation vérifiée par les états stationnaires
( , , )
x y z
ψ
de l'électron confiné
dans une telle boîte quantique. Quelles sont les conditions aux limites sur le bord de la boîte
pour la fonction
ψ
?
1 Se référer aux constantes physiques à la fin du texte

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2.1.2 Donner les solutions de l'équation aux états stationnaires c'est-à-dire les énergies
, ,
x y z
n n n
Eet les fonctions d'onde normées
, ,
x y z
n n n
ψ
correspondantes, qu'on indexera par trois
entiers
x
n
,
y
n
et
z
n
. Quelles valeurs prennent les trois entiers
x
n
,
y
n
et
z
n
?
2.1.3 Représenter qualitativement sur un diagramme d'énergie le potentiel et l'énergie des 3
premiers niveaux discrets de la boîte quantique dans le cas où xyz LLL <<< avec
x
L
proche
de
y
L
. Pour chaque niveau on indiquera son énergie 1,1,1,, EE zyx nnn − par rapport au niveau
fondamental 1,1,1 E, et on notera par la suite les 3 premières valeurs de ces différences sous la
forme E1=0, E2, et E3.
2.1.4 Calculer sur l'état fondamental les moyennes :
X
,
2
X
. Donner l'expression de
2
2
x X X
∆ = − sur cet état.
2.1.5 Calculer sur l'état fondamental les moyennes :
x
P
,
2
x
P
. Donner l'expression de
2
2
x x x
p P P
∆ = − sur cet état.
2.1.6 Que représentent ces valeurs
x
∆
et
x
p
∆
? Que vaut la valeur du produit et quel
commentaire pouvez-vous faire ?
2.1.7 Rappeler qualitativement pourquoi, contrairement à la mécanique classique, l'énergie
du niveau fondamental de la boîte quantique n'est pas nulle.
2.2 Transitions optiques
L'électron dans l'état fondamental de la boîte quantique peut absorber des photons dont
l'énergie
ω
h
vaut
ω
h
=E2-E1=E2 ou
ω
h
=E3-E1=E3 et être promu sur le premier ou le
deuxième niveau excité de la boîte quantique. On admettra que lorsqu’elle est faible
l'absorption A d'un ensemble de boîtes quantiques modifie l'intensité I de la lumière suivant la
loi d’atténuation :
( )
2
.
I
A K E d
I
ε
∆
= − = ∆
r
r
(3)
f i
d R
ψ ψ
=
r
r
est associé au dipôle
eR
r
de l'électron et traduit l'oscillation de charge qui se
produit sous illumination lors de sa transition de l'état initial
i
ψ
vers l'état final
f
ψ
.
ε
r
est
la polarisation de la lumière que l'on considèrera dans la suite soit le long de
x
u
r
soit le long de
y
u
r
.
E Ef Ei
= −
ω
h
=
est l'énergie de la transition, et K est une constante qui fait intervenir
la densité surfacique de boîtes quantiques traversées par la lumière.
2.2.1 Que vaut le dipôle
( , , )
x y z
e d e d d d
=
r
pour les deux transitions E1→E2 et E1→E3 ?
2.2.2 Quelle doit être la polarisation de la lumière pour que l'électron absorbe le plus
photons lors de la transition E1→E2 ? Idem pour la transition E1→E3.

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2.3 Absorption infrarouge expérimentale
On fait croître un ensemble de boîtes quantiques (Figure 2-Gauche). Le spectre d'absorption
optique mesuré dans l'infrarouge pour des photons d'énergie
ω
h
compris entre 45 et 70 meV,
est donné sur la Figure 2-Droite pour deux polarisations
x
u
ε
=
r
r
et
y
u
ε
=
r
r
.
L'absorption présente deux maxima à 56 meV et 63 meV et une largeur à mi-hauteur de 6
meV qui provient de la fluctuation de taille de boîte quantique à boîte quantique (chaque boîte
quantique contribue avec une raie d'absorption ultrafine qui lui est propre).
45 50 55 60 65 70 75 80
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
y
u ε =
rr
x
u ε =
rr
Absorption
Énergie (meV)
Figure 2: (A gauche) Coupe x0z de 30 plans de boîtes quantiques. L'image fait 500 nm de côté.
(A droite) Spectre d'absorption pour deux polarisations croisées.
2.3.1 Application numérique (A. N.) : à quelles longueurs d'onde les deux résonances
infrarouges maximum à 56 meV et 63 meV correspondent-elles ?
2.3.2 A. N. : quelles sont les valeurs de tailles moyennes
x
L
et
y
L
déduite de ce spectre
expérimental ? Sont-elles égales ? Comment la taille latérale se compare-elle à celle observée
sur l'image de la Figure 1-Gauche (très inférieure, très supérieure, à peu près égale) ?
2.3.3 A. N. : quelle sont approximativement les fluctuations de taille
x
L
∆
et
y
L
∆
des boîtes
quantiques que l'on peut déduire de tels spectres d'absorption ? (Pour comparaison, l'épaisseur
d'une monocouche atomique dans le matériau est approximativement de 0,28 nm.)
2.3.4 L'amplitude maximale
max
A
de l'absorption (absorptance) mesurée est 0,09. On
donne:
2
0
0
2 ln(2)
plans
opt
e
K N n n c W
π
ε
∆ = h
plans
N=30 est le nombre de plan de boîtes quantiques.
10 -2
0
410 cm
n= est la densité surfacique de boîtes quantiques sur un plan.
3,3
opt
n= est l'indice optique du matériau.

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W= 6 meV est la largeur à mi-hauteur de l'absorption
A. N. : quelle valeur de longueur de dipôle
x
d
(exprimé en nm) déduit-on pour la transition
E1→E2 ? Comment cela se compare-t-il (très inférieure, très supérieure, à peu près égale) à la
valeur calculée en 2.2.1 (on prendra 17
x
L nm
=) ?
2.4 Effet de la température
La situation précédente correspondait à une température nulle où l'électron dans chaque boîte
quantique occupait le niveau fondamental. A température ambiante T=300K, on observe que
l'amplitude de l'absorption diminue significativement (non montré sur la Figure 2) parce que
le facteur d'occupation de l'électron sur ce niveau diminue.
2.4.1 Rappeler l’expression du facteur d'occupation
( )
f E
d'un état d'énergie E pour
l'électron.
2.4.2 Calculer numériquement la diminution de l'absorption
(
)
(
)
300 300 0 0
( 1) ( 2) / ( 1) ( 2)
K K K K
f E f E f E f E− − en exprimant que la boîte quantique contient
exactement un électron. On supposera pour simplifier que seuls sont peuplés les trois premiers
niveaux avec pour énergie E1=0 et E2=E3=(56+63)/2 meV=59.5 meV (attention ! Niveau
dégénéré). On pourra poser exp
B
µ
X
k T
= − et écrire et résoudre l’équation portant sur X.
2.5 Constantes physiques
Attention: la masse effective de l'électron dans une boîte quantique est plus petite que la
masse réelle dans le vide :
0
0,07
m m
= (cf le début de l'énoncé).
34
31
0
19
19
1
12 1
0
1,054 10 J s
9,109 10 kg
1,602 10
1 eV= 1,602 10
299792458
8,854 10
25,85 pour 300
3,3
B
opt
m
e C
J
c m s
F m
k T meV T K
n
ε
−
−
−
−
−
− −
=
=
=
=
=
= =
=
h
Imagerie infrarouge avec une caméra thermique
pour la détection du cancer du sein.