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Chapitre 2 : La démonstration en Géométrie 1/4 4
èmes
Ozar Hatorah 2011-2012
CHAPITRE II
La démonstration en Géométrie
Objectifs du Chapitre
1 Connaître les propriétés des angles Résumé p 267
2 Connaître les propriétés des quadrilatères classiques Résumé p 266-267
3 Rédiger une démonstration Méthode 2 p 150
I. Propriétés classiques de géométrie
1. Angles et droites
a) Définitions
• Un angle est dit droit lorsqu’il mesure 90°.
• Un angle est dit plat lorsqu’il mesure 180°.
• Deux angles sont dits égaux lorsqu’ils ont même mesure.
• Deux droites sont dites perpendiculaires lorsque l’angle qu’elles forment en se coupant est droit.
• Deux droites sont dites parallèles lorsqu’elles ne se coupent pas.
• Deux droites parallèles sont dites confondues lorsqu’elles admettent un point commun.
b) Premiers théorèmes sur les droites
D1 :
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
D2 :
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
D3 :
Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l’une, alors elle est
perpendiculaire à l’autre.
c) Théorèmes sur les angles et les droites
A1 :
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
A2 :
Si deux angles alternes internes sont formés par deux parallèles, alors ils sont égaux.
A3 :
Si deux angles correspondants sont formés par deux parallèles, alors ils sont égaux.
A4 :
Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux.
A5 :
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes internes égaux, alors ces deux
droites sont parallèles.
A6 :
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants égaux, alors ces deux
droites sont parallèles.

Chapitre 2 : La démonstration en Géométrie 2/4 4
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Ozar Hatorah 2011-2012
2. Quadrilatères classiques
a) Le parallélogramme
P1 : (Définition du parallélogramme)
Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c’est un parallélogramme.
P2 :
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
P3 :
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme.
P4 : (réciproque de P3)
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu.
P5 :
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même longueur.
P6 : (réciproque de P5)
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles de même longueur, alors c’est un
parallélogramme.
b) Le losange
L1 : (Définition du losange)
Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c’est un losange.
L2 :
Si un quadrilatère est un losange, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et ses quatre
côtés sont de même longueur.
L3 :
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et sont perpendiculaires, alors c’est un
losange.
L4 : (réciproque de L3)
Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires.
L5 :
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.
L6 :
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
c) Le rectangle
R1 : (Définition du rectangle)
Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle.
R2 :
Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, de même
longueur et ses quatre angles sont droits.
R3 :
Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et de même longueur, alors c’est un rectangle.
R4 : (réciproque de R3)
Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu et sont de même longueur.

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R5 :
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.
R6 :
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.
d) Le carré
C1 : (Définition du carré)
Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur et un angle droit, alors c’est un carré.
C2 :
Si un quadrilatère est un carré, alors il a quatre côtés de même longueur, quatre angles droits et ses
côtés opposés sont parallèles deux à deux.
C3 :
Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, de même longueur et perpendiculaires, alors c’est
un carré.
C4 : (réciproque de C3)
Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales ont le même milieu, sont perpendiculaires et sont
de même longueur.
C5 :
Si un losange a un angle droit, alors c’est un carré.
C6 :
Si un losange a deux diagonales de même longueur, alors c’est un carré.
C7 :
Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un carré.
C8 :
Si un rectangle a des diagonales perpendiculaires, alors c’est un carré.
e) Synthèse des propriétés des quadrilatères

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II. La démonstration en Géométrie
1. Chercher une démonstration
Il faut se poser les questions suivantes :
 Que veut-on démontrer ?
 Comment va-t-on le démontrer ? (i.e. : avec quel théorème)
 Quelles sont les conditions d’utilisation de ce théorème (i.e. : les hypothèses du théorème)
 Peut-on réunir ces conditions ?
Lorsque vous avez répondu positivement à toutes ces questions, vous pouvez commencer la rédaction
de la démonstration.
2. Contrôler une démonstration
Une démonstration est constituée d’un ou plusieurs chaînons déductifs . Une démonstration est valide
lorsque chacun des ses chaînons est juste. Contrôler une démonstration revient donc à contrôler tous
ses chaînons.
P
o
u
r
q
u
’
u
n
c
h
a
î
n
o
n
d
Pour qu’un chaînon déductif soit juste, il faut vérifier :
 Que les DONNEES existent bel et bien dans l’énoncé, ou ont déjà été démontrées.
 Que la PROPRIETE est juste.
 Que les HYPOTHESES sont contenues dans les DONNEES.
 Que la CONCLUSION de la PROPRIETE est bien la même que la CONCLUSION du chaînon.
Chaînon
déductif
PROPRIETE
ou
THEOREME
On sait que DONNEES
Si HYPOTHESES, alors CONCLUSION
Donc CONCLUSION