Effet Casimir thermique entre deux plaques - Pct

ESPCI 1ère année, Tutorat de physique statistique
Effet Casimir thermique entre deux plaques
En 1948, Hendrik Casimir a montré que les fluctuations quantiques du champ électromagnétiques in-
duisaient une attraction entre deux plaques parfaitement conductrice parallèles [1]. Cette interaction a été
observée 49 ans plus tard par Lamoreaux [2]. Cette interaction peut aussi être engendrée par des fluctuations
thermiques, un effet que nous allons calculer ici.
1 Analyse dimensionnelle
1. Par une analyse dimensionnelle, donner à un facteur numérique près la pression entre les deux plaques
séparées d’une distance Ldue aux fluctuations thermiques à une température T.
2. Même question pour des fluctuations quantiques (on pourra faire intervenir la vitesse cdu champ
fluctuant).
2 Cas unidimensionnel
Considérons un oscillateur harmonique, dont l’espace des états est Ret où l’énergie de l’état x∈Rvaut
E(x) = ω2x2
2.(1)
3. Donner la fonction de partition et l’énergie libre de ce système.
On veut calculer la fonction de partition d’un « champ » confiné entre deux plaques. Un champ est une
fonction φ: [0, L]→R, où 0et Lsont les positions des plaques. On impose au champ de s’annuler sur les
plaques, φ(0) = φ(L)=0, et on donne son énergie
H[φ] = 1
2ZL
0φ0(x)2+m2φ(x)2dx, (2)
où m > 0est la « masse » du champ. La fonction de partition de ce champ s’écrit
Z=Ze−βH[φ][dφ]; (3)
c’est une intégrale fonctionnelle, qui est difficile à calculer. Pour voir notre système comme une superposition
d’oscillateurs harmoniques, nous allons décomposer ce champ en série de Fourier :
φ(x) =
∞
X
n=1
ansin nπx
L.(4)
1

4. Montrez que l’énergie du champ peut s’écrire sous la forme
H[φ] =
∞
X
n=1
ω2
na2 n
2,(5)
et donnez ωn. Expliquer pourquoi les différents modes du champ sont indépendants.
Dans la fonction de partition, Eq. (3), on veut remplacer l’intégrale fonctionnelle sur φpar un produit
d’intégrales sur les coefficients an:[dφ] = JQndan.Jest le jacobien du changement de variables ; il est
donné par J=QnJn, où
Jn=
∂φ
∂an
="ZL
0∂φ
∂an
(x)2 dx#1/2 .(6)
5. Déterminer Jnet calculer la fonction de partition du système :
Z=Zexp −
∞
X
n=1
ω2
na2 n
2T!∞
Y
n=1
Jndan.(7)
En déduire l’énergie libre (en ne gardant que les termes qui dépendent de L).
6. La pression est donnée par la dérivée de l’énergie libre, P(L) = −∂F
∂L . Déterminer la pression, en utilisant
les égalités suivantes :
∞
X
n=1
1 = ζ(0) = −1/2,(8)
∞
X
n=1
1
x2+π2n2=xcoth(x)−1 2x2.(9)
ζest la fonction zêta de Riemann.
7. Si on suppose que le même « champ » vit à l’extérieur de l’intervalle [0, L], la force exercée sur le point
L, qui correspond à l’effet Casimir, est donnée par P(L)−P(L=∞) = ∆P(L). Calculer et tracer ∆P(L).
Comment dépend-elle de la masse mdu champ ? Quelle est sa limite quand m→0? Montrez que ce résultat
est cohérent avec une analyse dimensionnelle en dimension 1.
3 Cas tridimensionnel
Dans le cas tri-dimensionnel, le champ φ(x, y, z)doit s’annuler sur des plaques carrées de côté `situées
en x= 0 et x=L, et son énergie est donnée par
H[φ] = 1
2Z[∇φ(x, y, z)]2dxdydz. (10)
8. On décompose le champ en modes de Fourier dans directions transverses, yet z:
φ(x) =
∞
X
p=−∞
∞
X
q=−∞
ψp,q(x) exp i2π(py +qz)
`.(11)
Comme le champ est réel, ψ−p,−q(x) = ψp,q (x)∗. Montrer que l’énergie du champ s’écrit
H[φ] = X
p,q
`2
2ZL
0|ψ0
p,q(x)|2+m2 p,q|ψp,q(x)|2dx, (12)
2

que vaut mp,q ? En déduire que les modes transverses, ψp,q (x), sont des champs indépendants.
9. En remarquant que `2peut être « absorbé » dans la température dans l’expression (12), donner la
différence de pression ∆Pen utilisant le résultat unidimensionnel. Calculer la somme dans la limite `→ ∞
(il faut utiliser une somme de Riemann), avec
Z∞
0
x2
ex−1dx= 2ζ(3) '2,4.(13)
Références
[1] Hendrik B. G. Casimir. On the attraction between two perfectly conducting plates. Proceedings of the
Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences, 51(7) :793–795, 1948.
[2] S. K. Lamoreaux. Demonstration of the Casimir Force in the 0.6 to 6µm Range. Phys. Rev. Lett.,
78(1) :5–8, Jan 1997. doi : 10.1103/PhysRevLett.78.5. URL http://link.aps.org/doi/10.1103/
PhysRevLett.78.5.
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