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Introduction : Graphes et esquisses
Esquisses et systèmes formels
Le contexte conceptuel
Des Structures locales aux Esquisses
Les esquisses, entre logique et géométrie:
La théorie des espèces de structures de Charles Ehresmann
Sylvain Cabanacq
Laboratoire SPHERE, UMR 7219 CNRS - Université Paris Diderot
Journée "Informatique, Philosophie, Mathématiques", Toulouse – le 29
novembre 2013
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Introduction : Graphes et esquisses
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Le contexte conceptuel
Des Structures locales aux Esquisses
Charles Ehresmann : 1905 - 1979.
Les esquisses : "a way of bringing the formal system closer to the
mathematician’s naive description". (Barr and Wells, 1984).
Une esquisse des groupes, des corps, des modèles bien-fondés de ZF... des
esquisses...
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Introduction : Graphes et esquisses
Esquisses et systèmes formels
Le contexte conceptuel
Des Structures locales aux Esquisses
Définition
Une esquisse Sest la donnée de :
un graphe orienté GS
un ensemble de diagrammes DSdans GS
un ensemble de cônes LSdans GS
un ensemble de cocônes CSdans GS
Exemple : l’esquisse des monoïdes
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Des Structures locales aux Esquisses
Charles Wells :
"There is a clear analogy with the way a path is defined as a
continuous map from a closed interval to a space."
Définition
Un modèle Md’une esquisse Sdans une catégorie Aest un morphisme de
graphes, de GSdans le graphe sous-jacent à A, associant à chaque
diagramme de DSun diagramme commutatif dans A, à chaque cône de LS
un cône limite dans Aet à chaque cocône de CSun cocône colimite de A.
ModA(S)catégorie des modèles d’une esquisse Sdans une catégorie A.
Définition
Une catégorie Dest esquissable s’il existe une esquisse Set une catégorie
A, telle que Dest équivalente à ModA(S).
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Théorème (Lair 1981, Makkai-Paré 1985)
Une catégorie C est esquissable ssi elle est accessible ssi elle est
axiomatisable dans une logique infinitaire du premier ordre L∞,∞.
Mais : la catégorie Top des espaces topologiques n’est pas esquissable
dans Set ni dans Pos.
Makkai-Paré :
"[there is] an (obvious) identification of a class of sketches S so
that the categories Mod(S)for such sketches are precisely the
categories of models of complete theories with elementary
embeddings as morphisms"
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