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c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/16 Centrale Physique 1 PC 2013 — Corrigé Ce corrigé est proposé par Anne Mounier (ENS Lyon) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (ENS Ulm). Le sujet porte sur l’étude du rayonnement émis par des électrons dans un accélérateur synchrotron. • Dans une première partie, on s’intéresse à la puissance rayonnée par une charge accélérée. Cette partie s’approche de l’étude du rayonnement dipolaire. • La deuxième partie s’attache à un élément crucial du synchrotron, l’injecteur dans lequel les électrons sont accélérés par un champ électrostatique. Elle permet de tester ses connaissances en électrostatique et sur l’étude du mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique. • La troisième partie, consacrée à l’étude de l’anneau de stockage du synchrotron, qui peut être considéré comme la piste de fond des électrons, complète la précédente en étudiant cette fois-ci le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique. Elle permet également d’introduire le caractère relativiste des phénomènes, même si aucune connaissance de relativité restreinte n’est bien sûr nécessaire pour résoudre le problème. • Par la suite, dans la quatrième partie, on étudie plus précisément le rayonnement synchrotron et son spectre. • Enfin, dans la dernière partie du problème, on considère des dispositifs magnétiques particuliers qui permettent de rendre le rayonnement synchrotron plus intense. Après une nouvelle étude sur le mouvement de particules chargées dans un champ magnétostatique, on développe des questions plus qualitatives. Ce problème d’une difficulté raisonnable permet de vérifier ses compétences dans plusieurs domaines de l’électromagnétisme. Il traite ainsi principalement du mouvement de particules chargées dans un champ électromagnétique, mais également de rayonnement dipolaire, d’électrostatique et de magnétostatique. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/16 Indications Partie I I.B Utiliser le développement d’un double produit vectoriel − → → − → →→ − − → − → − a ∧ b ∧− c = → a ·− c b − → a · b − c Partie II II.A.1 Étudier d’abord les invariances et les symétries du problème pour réduire les → − dépendances spatiales de E et déterminer sa direction. II.A.2 Utiliser le théorème de superposition. II.C.1 Déterminer tout d’abord x(t), puis utiliser la condition limite sur la taille de la cavité accélératrice x(t = T) = d. Partie III III.A.2 Poser le changement de variables u = x + iy. III.B Exprimer l’accélération en fonction de la vitesse v0 et du rayon du cercle R0 . Partie IV IV.A.3 Il est possible de considérer en première approximation que l’arc de cercle AB est rectiligne, ce qui simplifie la détermination de la longueur de l’impulsion. IV.A.5 Attention à bien effectuer les développements limités au même ordre ! Partie V 2 V.C La moyenne temporelle cos ωt sur une période vaut 1/2. V.E Exprimer de deux manières différentes l’énergie rayonnée pendant une période d’oscillation magnétique. V.F Déterminer Ψ0 en calculant la pente maximale de x(z), puis comparer sa valeur à celle de ∆θ. V.G Une polarisation circulaire peut se décomposer en la somme de deux polarisations rectilignes. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/16 Rayonnement synchrotron I. Rayonnement d’une particule chargée accélérée I.A.1 Le rayonnement électromagnétique se propage dans le vide à la célérité c. La propagation de la source située en O au point M dure r/c. Par conséquent, le champ → − B (r, t) dépend des caractéristiques de la source à l’instant t − r/c, que l’on nomme instant retardé. I.A.2 L’onde rayonnée s’apparente localement à une onde plane se propageant dans → − − → → → le vide selon − e . De plus, (− e , E , B ) forme un trièdre orthogonal direct. La relation r r de structure de l’onde s’écrit donc : → − → → − − er ∧ E B = c → − Reprenons l’expression de B − → E (M, t) = − → → → − E = cB ∧ − er soit −q → → → (− er ∧ − a (t − r/c)) ∧ − er 4π ε0 rc2 I.B Repartons de l’expression générale du vecteur de Poynting → − − → → − E∧B Π= µ0 et utilisons le développement d’un double produit vectoriel qui s’exprime pour tous → → − → vecteurs − a , b et − c − → → − → →→ − − → − → − a ∧ b ∧− c = → a ·− c b − → a · b − c → − On obtient alors, en se souvenant que le champ B est orthogonal à la direction de → propagation − er → − → − → → − → → − → cB2 − c − → Π = B·B − er − B · − er B = er µ0 µ0 → → Or en notant θ l’angle entre − a et − e , l’amplitude du champ magnétique s’écrit r B= Finalement, q a(t − r/c) sin θ 4π ε0 c3 r − − → q 2 a2 (t − r/c) → Π (→ r , t) = sin2 θ − er 16π 2 c3 r2 ε0 Le vecteur de Poynting représente la densité surfacique de puissance du champ électromagnétique. Le rayonnement s’effectue préférentiellement dans la direction où la norme de ce vecteur est maximum, ce qui correspond ici à θ = π/2, c’est-à-dire dans le plan (xOy) perpendiculaire à la direction de l’accélération. Enfin, la direction du champ électrique reste constante au cours du temps. → − L’onde est donc polarisée rectilignement suivant la direction de E qui vaut → → → → → (− e ∧− e )∧− e =− e − cos θ − e r z r z r Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K 4/16 Publié dans les Annales des Concours La réponse sur la polarisation de l’onde est donnée à la fin de l’énoncé, à la question V.G. C’est pourquoi il est important de lire les énoncés en entier. I.C La puissance rayonnée par la particule chargée s’obtient en intégrant le vecteur de Poynting, qui s’exprime en W.m−2 , sur la surface S d’une sphère de rayon r ZZ → − − → P(r, t) = Π · dS = Z S π Z 2π Π(r, t)r2 sin θ dθ dϕ θ=0 ϕ=0 2 2 P(r, t) = q a (t − r/c) 8π c3 ε0 Z π sin3 θ dθ 0 Utilisons la valeur de l’intégrale donnée pour retrouver la formule de Larmor P(r, t) = q2 a2 (t − r/c) 6π ε0 c3 II. Injecteur II.A.1 Tout d’abord, la source, c’est-à-dire le plan chargé (yOz), est invariante par → → toute translation suivant les vecteurs − ey et − ez , donc le champ électromagnétique ne dépend que de la variable spatiale x. Ensuite, considérons les plans passant par un point M quelconque de l’espace. Les → − → → → → plans (M, − ex , − ey ) et (M, − ex , − ez ) sont des plans de symétries de la source. Or E est un vecteur polaire, donc il est contenu dans ces plans : le champ est suivant la direction → − ex . Finalement, → − → E (M) = E(x) − ex Considérons une portion de cylindre Σ, d’axe (Ox), fermée par des chapeaux plans d’aire S situés en x = x1 et x = x2 , avec x1 < x2 , et notons → Qint la charge contenue à l’intérieur de d− S1 cette surface fermée. Cette géométrie est représentée sur la figure suivante, avec dans ce cas x1 < 0 et x2 > 0. Le théorème de Gauss s’écrit : ZZ → − − → Q E . d S = int ε0 Σ ZZ ZZ ZZ → − − → → − → − Or E · dS = E (x1 ) · d S + Σ S1 S2 y −→ dSlat x1 x2 → − dS2 x z plan chargé − → − → E (x2 ) · d S + ZZ Slat = −E(x1 )S + E(x2 )S + 0 Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . − → → − E (x) · d S
