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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/16
Centrale Physique 1 PC 2013 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Anne Mounier (ENS Lyon) ; il a été relu par Benoît
Lobry (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (ENS Ulm).
Le sujet porte sur l’étude du rayonnement émis par des électrons dans un accélé-
rateur synchrotron.
•Dans une première partie, on s’intéresse à la puissance rayonnée par une charge
accélérée. Cette partie s’approche de l’étude du rayonnement dipolaire.
•La deuxième partie s’attache à un élément crucial du synchrotron, l’injecteur
dans lequel les électrons sont accélérés par un champ électrostatique. Elle per-
met de tester ses connaissances en électrostatique et sur l’étude du mouvement
d’une particule chargée dans un champ électrostatique.
•La troisième partie, consacrée à l’étude de l’anneau de stockage du synchro-
tron, qui peut être considéré comme la piste de fond des électrons, complète la
précédente en étudiant cette fois-ci le mouvement d’une particule chargée dans
un champ magnétostatique. Elle permet également d’introduire le caractère re-
lativiste des phénomènes, même si aucune connaissance de relativité restreinte
n’est bien sûr nécessaire pour résoudre le problème.
•Par la suite, dans la quatrième partie, on étudie plus précisément le rayonne-
ment synchrotron et son spectre.
•Enfin, dans la dernière partie du problème, on considère des dispositifs magné-
tiques particuliers qui permettent de rendre le rayonnement synchrotron plus
intense. Après une nouvelle étude sur le mouvement de particules chargées dans
un champ magnétostatique, on développe des questions plus qualitatives.
Ce problème d’une difficulté raisonnable permet de vérifier ses compétences dans
plusieurs domaines de l’électromagnétisme. Il traite ainsi principalement du mouve-
ment de particules chargées dans un champ électromagnétique, mais également de
rayonnement dipolaire, d’électrostatique et de magnétostatique.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/16
Indications
Partie I
I.B Utiliser le développement d’un double produit vectoriel
−→
a∧−→ b∧−→ c=−→ a·−→ c−→ b−−→ a·−→ b−→ c
Partie II
II.A.1 Étudier d’abord les invariances et les symétries du problème pour réduire les
dépendances spatiales de −→ Eet déterminer sa direction.
II.A.2 Utiliser le théorème de superposition.
II.C.1 Déterminer tout d’abord x(t), puis utiliser la condition limite sur la taille de
la cavité accélératrice x(t= T) = d.
Partie III
III.A.2 Poser le changement de variables u=x+ iy.
III.B Exprimer l’accélération en fonction de la vitesse v0et du rayon du cercle R0.
Partie IV
IV.A.3 Il est possible de considérer en première approximation que l’arc de cercle AB
est rectiligne, ce qui simplifie la détermination de la longueur de l’impulsion.
IV.A.5 Attention à bien effectuer les développements limités au même ordre !
Partie V
V.C La moyenne temporelle cos2ωtsur une période vaut 1/2.
V.E Exprimer de deux manières différentes l’énergie rayonnée pendant une pé-
riode d’oscillation magnétique.
V.F Déterminer Ψ0en calculant la pente maximale de x(z), puis comparer sa
valeur à celle de ∆θ.
V.G Une polarisation circulaire peut se décomposer en la somme de deux polari-
sations rectilignes.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/16
Rayonnement synchrotron
I. Rayonnement d’une particule chargée accélérée
I.A.1 Le rayonnement électromagnétique se propage dans le vide à la célérité c. La
propagation de la source située en Oau point Mdure r/c. Par conséquent, le champ
−→
B (r, t)dépend des caractéristiques de la source à l’instant t−r/c, que l’on nomme
instant retardé.
I.A.2 L’onde rayonnée s’apparente localement à une onde plane se propageant dans
le vide selon −→ er. De plus, (−→ er,−→ E,−→ B ) forme un trièdre orthogonal direct. La relation
de structure de l’onde s’écrit donc :
−→
B =
−→
er∧−→ E
csoit −→
E = c−→ B∧−→ er
Reprenons l’expression de −→ B
−→
E (M, t) = −q
4π ε0rc2(−→
er∧−→ a(t−r/c)) ∧−→ er
I.B Repartons de l’expression générale du vecteur de Poynting
−→
Π =
−→
E∧−→ B
µ0
et utilisons le développement d’un double produit vectoriel qui s’exprime pour tous
vecteurs −→ a,−→ bet −→ c
−→
a∧−→ b∧−→ c=−→ a·−→ c−→ b−−→ a·−→ b−→ c
On obtient alors, en se souvenant que le champ −→ Best orthogonal à la direction de
propagation −→ er
−→
Π = c
µ0−→
B·−→ B−→ er−−→ B·−→ er−→ B=cB2
µ0
−→
er
Or en notant θl’angle entre −→ aet −→ er, l’amplitude du champ magnétique s’écrit
B = q a(t−r/c)
4π ε0c3rsin θ
Finalement, −→ Π(−→ r , t) = q2a2(t−r/c)
16π2c3r2ε0
sin2θ−→ er
Le vecteur de Poynting représente la densité surfacique de puissance du champ
électromagnétique. Le rayonnement s’effectue préférentiellement dans la di-
rection où la norme de ce vecteur est maximum, ce qui correspond ici à
θ=π/2, c’est-à-dire dans le plan (xOy)perpendiculaire à la direction de l’accé-
lération. Enfin, la direction du champ électrique reste constante au cours du temps.
L’onde est donc polarisée rectilignement suivant la direction de −→ Equi vaut
(−→ er∧−→ ez)∧−→ er=−→ ez−cos θ−→ er
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/16
La réponse sur la polarisation de l’onde est donnée à la fin de l’énoncé, à la
question V.G. C’est pourquoi il est important de lire les énoncés en entier.
I.C La puissance rayonnée par la particule chargée s’obtient en intégrant le vecteur
de Poynting, qui s’exprime en W.m−2, sur la surface Sd’une sphère de rayon r
P(r, t) = ZZS
−→
Π·d
−→
S
=Zπ
θ=0Z2π ϕ=0
Π(r, t)r2sin θdθdϕ
P(r, t) = q2a2(t−r/c)
8π c3ε0Zπ
0
sin3θdθ
Utilisons la valeur de l’intégrale donnée pour retrouver la formule de Larmor
P(r, t) = q2
6π ε0c3a2(t−r/c)
II. Injecteur
II.A.1 Tout d’abord, la source, c’est-à-dire le plan chargé (yOz), est invariante par
toute translation suivant les vecteurs −→ eyet −→ ez, donc le champ électromagnétique ne
dépend que de la variable spatiale x.
Ensuite, considérons les plans passant par un point Mquelconque de l’espace. Les
plans (M,−→ ex,−→ ey)et (M,−→ ex,−→ ez)sont des plans de symétries de la source. Or −→ Eest un
vecteur polaire, donc il est contenu dans ces plans : le champ est suivant la direction
−→
ex. Finalement,
−→
E (M) = E(x)−→ ex
Considérons une portion de cylindre
Σ, d’axe (Ox), fermée par des cha-
peaux plans d’aire Ssitués en x=x1
et x=x2, avec x1< x2, et notons
Qint la charge contenue à l’intérieur de
cette surface fermée. Cette géométrie
est représentée sur la figure suivante,
avec dans ce cas x1<0et x2>0. Le
théorème de Gauss s’écrit :
ZZΣ
−→
E.d
−→
S = Qint
ε0
plan chargé
x2 x1
y
z
x
d−→ S1
d−→ Slat
d−→ S2
Or 
ZZΣ
−→
E·d
−→
S = ZZS1
−→
E (x1)·d
−→
S + ZZS2
−→
E (x2)·d
−→
S + ZZSlat
−→
E (x)·d
−→
S
=−E(x1)S + E(x2)S + 0
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