Caractérisation de l`hémodynamique vasculaire

Projet Simulation
Caractérisation de l’hémodynamique vasculaire
Par Rizlane AOUNI, Julien SIGUENZA, Clément VALETTE
1
Introduction
Certaines décisions thérapeutiques relatives aux pathologies des vaisseaux sanguins
restent aujourd’hui difficiles. Par exemple, dans le cas d’une pathologie aortique telle qu’un
anévrisme, la décision d’un traitement est aujourd’hui basée essentiellement sur un critère de
taille de la lésion. Si l’anévrisme dépasse un certain diamètre, la décision sera prise de le
traiter afin d’écarter tout risque de rupture pouvant entraîner le décès du patient. Ce genre de
critère est basé sur de larges études épidémiologiques. Le problème est que ces mêmes études
montrent que de petits anévrismes peuvent se rompre avant d’avoir atteint le diamètre
considéré comme seuil critique. A l’inverse, des anévrismes plus larges peuvent ne présenter
aucune complication au fil des années. Il devient donc clair qu’un critère basé sur le diamètre
de la lésion est insuffisant.
Grâce à l’évolution des méthodes numériques, nous sommes aujourd’hui capables
d’extraire un modèle 3D de vaisseaux sanguins d’un patient et de simuler l’écoulement
hémodynamique dans la géométrie. L’appréciation de différents paramètres hémodynamiques
et de possibles nouveaux critères de décision thérapeutique devient alors envisageable.
L’objectif de ce projet s’inscrit donc dans cette lignée. Une première partie sera
consacrée à la compréhension et à la caractérisation de l’hémodynamique au sein de vaisseaux
sanguins idéalisés. Ensuite, nous analyserons différents paramètres pertinents. Enfin, notre
projet se terminera sur une étude réalisée sur des géométries réalistes tirées d’images
médicales de patients.
Introduction
Some therapeutic decisions which touch blood vessels pathologies stay today very
difficult to make. For example, in the case of an aortic pathology like an aneurysm, the
treatment decision is today essentially based on a geometric criterion. If the size of the
aneurysm is higher than a certain critical diameter, we decide to treat it to avoid any risk of
break causing the death of the patient. This kind of criterion is based in large epidemiologic
studies. The problem is that these same studies shown that small aneurysms can break before
reaching this critical diameter. In the opposite, others larger aneurysms can present no
complication during years. Then, it becomes clear that a criterion based on the aneurysm
diameter is insufficient.
Thanks to the evolution of numerical methods, today we are able to extract a 3D
model of blood vessels and to simulate the hemodynamic flow in this geometry. So the
appreciation of different hemodynamic parameters and news decision criteria become
possible.
The aim of this project goes in this way. In a first part, we are going to characterize the
hemodynamic inside an idealized blood vessel. Then, we will analyze some relevant
parameters. Finally, we will realize a study on realistic geometry obtained from medical
images of patients.
2
Table des matières
I/ Description du problème ...................................................................................................................... 4
II/ Etude sur géométrie idéalisée ............................................................................................................. 6
Etude en 2 dimensions ................................................................................................................. 6
1a)
Configuration........................................................................................................................... 6
b)
Stabilisation de l’écoulement .................................................................................................. 9
c)
Etude de convergence au maillage ........................................................................................ 11
d)
Visualisation des résultats ..................................................................................................... 12
Etude en 3 dimensions ............................................................................................................... 13
2a)
Définition............................................................................................................................... 13
b)
Configuration......................................................................................................................... 14
c)
Etude du Wall Shear Stress et de son gradient ...................................................................... 14
III/ Etude sur géométrie réaliste ............................................................................................................ 18
1-
Fonctionnement de ScanIP ........................................................................................................ 18
2-
Extraction d’une géométrie réaliste sur ScanIP ......................................................................... 19
3-
Configuration............................................................................................................................. 20
4-
Interprétation des résultats ......................................................................................................... 20
IV/ Interactions fluide-structure ............................................................................................................ 22
V/ Conclusion ........................................................................................................................................ 23
VI/ Références ....................................................................................................................................... 24
3
I/ Description du problème
Dans le cadre de notre étude, on traitera le cas d’un anévrisme de l’aorte abdominale
(AAA). L’AAA est une maladie vasculaire très commune chez la population adulte. Elle
apparaît généralement à partir de l’âge de 60 ans, et la prévalence chez l’homme est de 5 à
10% entre 65 et 80 ans. C’est en fait une dilatation localisée de l’artère qui se forme dans la
portion de l’aorte se situant en dessous des artères rénales et en amont de sa bifurcation avec
les deux artères iliaques. Cette pathologie affecte donc l’intégrité de la paroi artérielle via les
changements de forme induits, qui sont principalement fonction du métabolisme des cellules
endothéliales. Ici, l’objectif est de créer un modèle numérique nous permettant de modéliser le
problème considéré. Nous utiliserons pour cela le logiciel COMSOL Multiphysics.
Pour commencer, nous allons faire une analyse rapide du fonctionnement du cœur afin
de mieux comprendre les conditions qui règnent dans notre écoulement. Le cœur est un
organe qui se contracte et se décontracte périodiquement afin de permettre au sang de circuler
dans le système sanguin. Cette périodicité est marquée par deux phases importantes. La phase
de systole qui résulte de la contraction du myocarde, et la phase de diastole qui elle est
marquée par un relâchement de celui-ci. Le débit sanguin va donc quant à lui osciller entre un
maximum et un minimum correspondants à ces deux phases extremum. De plus, il est bon de
savoir qu’il va s’atténuer en progressant dans l’aorte. Cette évolution, dans le cas d’un patient
au repos, est représentée sur la figure 1.
Figure 1 : Evolution schématique du débit sanguin dans l’aorte chez un patient au repos
Comme on peut le voir sur la figure 1, le débit volumique maximal au repos au niveau
de l’artère abdominale est donc égal à
. Dans le cas d’un
patient en activité, il a été établit que le débit volumique pouvait être 4 à 6 fois supérieur à la
normale1. Ici, on a choisi de prendre un débit maximal en activité 4 fois supérieur à
soit
.
4
L’expression du débit maximal nous permet de calculer une vitesse. En effet, si l’on
fait l’hypothèse que l’artère à une section circulaire de rayon , l’expression de cette vitesse
est donnée par :
.
La présence des globules rouges font du sang un fluide non-Newtonien. En effet, la
viscosité dynamique du sang s’écrit comme une fonction non linéaire du taux de cisaillement
( ̇ ). On peut cependant mettre en évidence le fait qu’il peut être considéré, en
tel que
première approximation, comme un fluide Newtonien. A l’aide du modèle de Carreau, nous
avons simulé le comportement non-newtonien dans un tube de rayon . Nous avons regardé
le profil de vitesse obtenu en mettant un profil de vitesse plat d’intensité en entrée. Nous
avons ensuite comparé ce profil de vitesse avec celui obtenu en considérant le fluide comme
un fluide Newtonien. La figure 2 nous montre le résultat de ce test.
Figure 2 : Comparaison entre un fluide Newtonien et un fluide non-Newtonien
Ce test nous montre donc que pour un vaisseau de rayon
, qui est le rayon
4
moyen de l’aorte abdominale après 65 ans , le sang peut être considéré comme un fluide
Newtonien. On a ainsi 2-3:
et
. De plus, le sang sera considéré
comme un fluide incompressible.
On peut maintenant estimer la valeur du nombre de Reynolds dans notre écoulement.
En effet, celui-ci est donné par l’expression :
Où
est la dimension caractéristique qui sera ici le diamètre d’entrée
de notre
géométrie. On obtient donc un nombre de Reynolds de 1080 dans le cas d’un patient au repos,
et de 4321 dans le cas d’un patient en activité physique. Pour de tels nombres de Reynolds, on
5
sait que les effets d’inertie seront prépondérants devant les effets de viscosité. Il est cependant
ici important de ne négliger aucun terme dans les équations de Navier-Stokes lors de la
résolution numérique du problème.
II/ Etude sur géométrie idéalisée
Nous allons tout d’abord réaliser une première étude sur une géométrie idéalisée d’un
AAA. Afin de pouvoir voir l’influence des différents paramètres géométrique que sont : le
diamètre d’entrée , le diamètre au niveau de l’anévrisme , la longueur de l’anévrisme , et
la longueur totale de la géométrie
; nous avons décidé de paramétrer cette géométrie.
Elle est présentée figure 3.
𝐿
𝐷
𝑑
𝐿𝑡𝑜𝑡
Figure 3 : Géométrie idéalisée d’un AAA
Soit
𝑥
au centre de l’anévrisme, le rayon de la géométrie est donné par5 :
( )
*
(
(
))+
( )
| |
(
)
| |
1- Etude en 2 dimensions
Pour commencer, nous nous proposons de réaliser une étude en 2 dimensions afin de
mieux caractériser l’hémodynamique vasculaire et de comprendre comment le fluide réagit
lors de son passage au niveau de l’anévrisme.
a) Configuration
Il faut tout d’abord définir les conditions aux limites les plus pertinentes compte tenu
des conditions qui règnent dans notre écoulement. Nous avons ici choisi d’intégrer la
condition de périodicité du débit à travers une vitesse d’entrée périodique. Dans un premier
temps, on serait tenté d’implémenter une vitesse périodique longitudinale ayant un profil plat,
et dont l’intensité maximale serait la vitesse
calculée précédemment. Cependant, la
résolution des équations de Navier-Stokes montre que le profil de vitesse dans un tube de
section circulaire prend la forme d’un poiseuille dont l’expression est donnée par6 :
𝑈0
𝑈𝑎𝑥𝑒 (
𝑟2
)
𝑅2
6
. L’expression de ce poiseuille fait intervenir une nouvelle vitesse
Avec
doit choisir
tel que la moyenne du poiseuille entre –
et
. On
est égale à la vitesse . A
⁄
l’aide d’un calcul simple, on montre facilement que dans le cas 2D, la vitesse
.
Le code de calcul doit donc bien entendu vérifier cette vérité théorique. On peut si on le
souhaite faire un test simple en mettant un profil de vitesse plat d’intensité en entrée et
regarder si la vitesse au centre du tube (
donc
0
) tend vers ⁄
. Le code de
calcul utilisé ici tend effectivement à vérifier cette vérité, ce qui est plutôt positif quant à sa
validité. Ce que nous montre aussi ce test simple, c’est que le profil de poiseuille met un
certain temps avant de se mettre en place. Cela provient de la mise en place des couches
limites qui est d’autant plus longue que le fluide considéré est visqueux. Il en résulte un effet
de bord non désiré qui peut influer sur la solution recherchée. Même si l’on peut contourner
cet effet de bord en rendant notre géométrie suffisamment longue pour que le centre de notre
anévrisme ne soit pas impacté par celui-ci, il sera plus rigoureux d’imposer directement un
profil de vitesse en poiseuille.
Nous devons également définir le caractère périodique de cette condition d’entrée. On
peut commencer par définir :
-
Le rythme cardiaque donné en nombre de pulsations par minute qu’on notera
-
La période cardiaque que l’on obtient en calculant
-
La pulsation cardiaque que l’on obtient en calculant
2
Des études montrent que le rythme cardiaque moyen pour un adulte au repos est
de
pulsations par minute7. De plus, Astrand et Ryhming ont établis en 1954 que la
Fréquence Cardiaque Maximale (FCM) était donnée par la formule suivante8 :
Si l’on suppose que notre patient est environ âgé de 60, sa FCM est donc de 160
pulsations par minutes. Pour cette étude, nous avons décidé de tester le cas d’un patient en
activité physique modérée. Or, la FCM est atteinte pour un effort très intense. Nous avons
donc décidé de partir sur une pulsation cardiaque en activité de 130 pulsations par minutes.
Pour notre étude, nous avons donc choisi :
-
pulsations/min, rythme cardiaque au repos
pulsations/min, rythme cardiaque lors d’une activité physique
Prototypage des conditions aux limites sur Matlab :
A partir de ces paramètres, nous sommes capables de définir une fonction périodique
oscillant entre 0 et 1 avec une période . Womersley a démontré que le profil de vitesse
entrant dans l’artère était dépendant de la pulsation cardiaque ainsi que du rayon d’entrée de
7
l’artère considérée9. Ici, dans un souci de simplification, nous avons fait l’hypothèse que quel
que soit la pulsation cardiaque et le rayon d’entrée, le profil de vitesse entrant dans l’artère
prendra la forme d’un poiseuille. En multipliant la fonction périodique par le profil de vitesse
en poiseuille, on aura donc totalement déterminé notre condition d’entrée périodique. Dans un
premier temps, nous avons donc cherché à trouver cette fonction périodique. Nous sommes
( ). Ensuite, on a déphasé cette fonction afin qu’elle varie d’un
donc partis de la fonction
minimum à l’autre. Soit :
( (
))
Le minimum de cette nouvelle fonction est égal à -1. Afin d’avoir un minimum égal à
0, on doit ajouter 1 à cette dernière fonction. Soit :
( (
))
Cette fonction a toujours une amplitude de 2. Donc pour avoir la fonction périodique
recherchée, on multiplie cette dernière fonction par ⁄ . La vitesse périodique d’entrée est
donc donnée par l’expression suivante :
2
(
2
)*
( (
))+
Cette vitesse périodique dans le cas d’un patient au repos est représentée sur la figure 4.
𝒕
𝟎
𝒕
𝑻
𝟖
𝒕
𝑻
𝟒
𝒕
𝟑𝑻
𝟖
𝒕
𝑻
𝟐
Figure 4 : Evolution de la vitesse d’entrée au cours d’une période cardiaque pour le cas d’un patient au repos
La condition de périodicité de l’écoulement a donc été définie à travers une condition
d’entrée périodique. On serait tenté d’appliquer une condition de sortie elle aussi périodique,
8
par exemple une pression qui oscillerait suivant la même fonction qui régit l’oscillation de
notre vitesse d’entrée. Seulement ce genre de condition se révéle être bien trop restrictif pour
l’écoulement. En effet, cela a pour effet d’entrainer des phénomènes d’instabilité au sein de
l’écoulement. Ainsi, pour permettre à l’écoulement de s’adapter plus facilement à sa condition
de périodicité, nous avons choisis d’appliquer une condition de frontière ouverte en sortie de
géométrie. Pour terminer, nous avons fait l’approximation que la paroi artérielle était une
paroi rigide indéformable. Les glissements du fluide sur celle-ci sont quant à eux nuls. C’està-dire que les particules fluides en contact contre la paroi sont immobiles.
Cette étude en 2 dimensions a pour objectif de visualiser le comportement du fluide
lors de son passage dans l’anévrisme. C’est pourquoi nous avons choisis de se placer dans un
cas standard d’AAA dont les paramètres géométriques sont :
et
. Le maillage sera un maillage structuré constitué d’élément de type
quadrangle. Le nombre d’éléments pour cette étude sera de
.
b) Stabilisation de l’écoulement
Dans un premier temps, avant même de commencer à visualiser les résultats obtenus,
il serait judicieux d’essayer de déterminer une période caractéristique correspondant à une
période durant laquelle l’écoulement s’est stabilisé. Pour cela, on se propose d’observer ce
qu’il se passe sur plusieurs périodes. Pour savoir quand est-ce que l’écoulement se stabilise,
nous avons utilisé un système de sondes. Nous avons placés dans notre géométrie quatre
sondes ponctuelles dans des zones plus ou moins stratégiques. La figure 5 nous montre la
localisation de ces sondes.
1
2
3
4
Figure 5 : Localisation des sondes, la condition d’entrée se trouve à gauche de la géométrie
Ensuite, nous avons visualisé l’évolution de la composante du champ de vitesse au
cours du temps sur chacune de ces sondes. On s’attend donc ici à observer une stabilisation de
l’écoulement qui sera caractérisé par une périodicité du signal enregistré par chaque sonde.
Cette expérience a été réalisée dans le cas d’un patient au repos, et dans le cas d’un
patient en activité physique. Les résultats de cette expérience sont présentés sur les figures 6
et 7. La courbe bleue foncée correspond au signal enregistré par la sonde 1, la courbe verte à
celui enregistré par la sonde 2, la rouge à celui enregistré par la sonde 3 et enfin la bleue clair
à celui enregistré par la sonde 4.
9
Figure 6 : Observation de la composante axiale du champ de vitesse au cours du temps (au repos)
Figure 7 : Observation de la composante axiale du champ de vitesse au cours du temps (en activité)
On peut voir que dans le cas d’un patient au repos, l’écoulement se stabilise aux
alentours de la 9ème période. Dans le cas d’un patient en activité physique, il se stabilise plus
rapidement puisqu’il devient stable à partir de la 6ème période. Les périodes caractéristiques
choisis pour ces deux cas de figure seront donc les périodes encadrées en rouge sur les figures
6 et 7. Bien entendu, ce temps de stabilisation dépend d’un grand nombre de paramètres. Il est
spécifique à chaque géométrie et dépend aussi du maillage choisi. Dans notre cas, dans ce
qu’il va suivre, on fera l’hypothèse que quel que soit la géométrie de notre anévrisme, les
périodes de stabilisation correspondent aux périodes que l’on vient de déterminer.
10
c) Etude de convergence au maillage
Afin de valider les résultats obtenus, nous avons effectué une étude de convergence au
maillage. Cette étude a uniquement été faite dans le cas d’un patient en activité physique.
Nous avons ainsi regardé, pour différents nombre d’éléments dans notre maillage, l’évolution
de la composante du champ de vitesse sur la période caractéristique, et ce au niveau de nos
quatre sondes. Le résultat de cette étude est présenté figure 8.
0,6
0,25
Sonde n°1
0,5
Sonde n°2
29756
0,2
16320
u (m/s)
0,4
8556
0,15
4112
0,3
2256
0,1
0,2
1260
228
0
0
2,3
2,4
0,6
u (m/s)
735
0,05
0,1
2,5
2,6
2,7
2,8
2,3
2,4
0,3
Sonde n°4
0,5
0,25
0,4
0,2
2,5
2,6
2,7
2,8
Sonde n°3
29756
16320
8556
0,3
0,15
0,2
0,1
0,1
0,05
4112
2256
1260
735
228
0
0
2,3
2,4
2,5
2,6
Temps (s)
2,7
2,8
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
Temps (s)
Figure 8 : Convergence au maillage, évolution de la composante u au cours du temps au niveau des 4 sondes
Cette étude nous montre qu’au niveau des 4 sondes, la composante du champ de
vitesse finit par converger pour un nombre suffisamment important d’éléments. Cela assure la
validité de nos résultats, puisque la solution ainsi obtenu devient non maillage-dépendante à
partir d’un certain nombre d’éléments. Le modèle numérique du problème observé est donc
convergent.
11
d) Visualisation des résultats
Maintenant que nous avons déterminé les périodes caractéristiques de l’écoulement, et
que nous avons vérifié que nos résultats convergeaient, nous pouvons visualiser ce qu’il se
passe dans l’anévrisme. Les figures 9 et 10 nous présentent les résultats obtenus dans le cas
d’un patient au repos et en activité physique.
Evolution de la norme de vitesse au cours d’une période caractéristique
𝒕
𝟎
𝒕
𝑻⁄
𝟒
𝒕
𝑻⁄
𝟐
𝒕
𝟑𝑻⁄
𝟒
𝒕
𝑻
𝒎 𝒔
Figure 9 : Cas d’un patient au repos, la condition d’entrée est situé en haut de la géométrie
𝒎 𝒔
Figure 10 : Cas d’un patient en activité physique, avec superposition des vecteurs vitesse
Ici, on peut voir que dans les deux cas considérés, l’écoulement réagit de manière
analogue. En effet, le comportement de l’écoulement lors de son passage dans l’anévrisme est
quasiment le même si l’on est dans le cas d’un patient au repos que si l’on est dans le cas d’un
patient en activité physique. La plus grosse différence entre ces deux cas étant bien entendu la
différence d’intensité de la norme de vitesse. Comme l’illustre la figure 10, le début et la fin
du cycle cardiaque sont marqués par un phénomène de recirculation du fluide en amont de
l’anévrisme. En effet, les particules fluides proches de la paroi ont tendance à remonter la
12
géométrie dans le sens opposé à l’écoulement. Ce phénomène s’observe aussi dans le cas d’un
patient au repos.
Répartition du champ de pression à différents instants
𝑷𝒂
𝑷𝒂
𝑷𝒂
Figure 11 : Champ de pression dans le cas d’un patient en activité physique, la condition d’entrée se situe en haut
La figure 11 nous montre que le cycle cardiaque est marqué par un phénomène de
propagation de la pression. Ce phénomène est en fait dû au passage d’une onde de pression
qui traverse la géométrie.
2- Etude en 3 dimensions
Maintenant que nous avons globalement caractérisé le comportement hémodynamique
du sang lors de son passage dans l’anévrisme, nous allons à présent réaliser une étude en 3
dimensions sur cette même géométrie.
a) Définition
Pour cette étude en 3 dimensions, nous avons décidé de se focaliser sur un seul et
unique paramètre : le Wall Shear Stress (WSS) ainsi que son gradient (GWSS). Le WSS est
donné par l’expression suivante10 :
(
Où
)
et sont respectivement les vecteurs normal et tangentiel unitaires et :
13
Le WSS représente la contrainte induite par les frottements du fluide contre la paroi
artérielle. Il est ainsi donné en . La paroi artérielle est recouverte de cellules appelée VEC
(Vascular Endothelial Cells). Ces cellules sont capables, par l’intermédiaire d’un phénomène
de mechanotransduction11, de réguler la sécrétion de différentes hormones qui influent sur la
contraction ou la dilatation de la paroi artérielle. Ce phénomène de mechanotransduction peut
être perturbé par la présence d’un WSS anormalement élevé, causant alors le développement
de l’anévrisme.
De plus, la présence d’un anévrisme a pour effet de fragiliser la paroi artérielle. Ainsi
une trop forte augmentation du WSS ou du GWSS au niveau de l’anévrisme aura pour effet
de dangereusement augmenter les risques de rupture. De ce point de vu, il apparaît évident
que le WSS et son gradient sont l’un des paramètres hémodynamiques qui influe le plus sur
les risques de rupture d’un anévrisme.
b) Configuration
Pour cette étude en 3 dimensions, la configuration sera la même que celle de l’étude en
2 dimensions. La différence notable est qu’ici, la vitesse
du poiseuille sera égale à .
6
En effet, un calcul analytique simple montre encore une fois que pour le cas en 3 dimensions,
afin que la moyenne du poiseuille soit égale à la vitesse obtenue avec le débit, la vitesse
du poiseuille doit être égale à . Le maillage utilisé ici sera un maillage constitué
d’environ 30000 éléments de type tétraédriques.
c) Etude du Wall Shear Stress et de son gradient
Nous allons à présent réaliser une étude qui consiste à analyser les pics (en valeur
absolue) de WSS et de GWSS au cours d’une période cardiaque. L’objectif ici étant de
comparer le cas d’un patient sain avec celui d’un patient atteint d’un AAA. Cette étude sera
complétée par une observation de l’influence des rapports / et / sur le WSS et le GWSS.
Pour commencer, nous nous proposons de faire une première étude sur la géométrie sur
laquelle nous avons réalisés notre étude en 2 dimensions. Ici, les rapports / et / sont
respectivement égaux à 4,8 et 2,4.
On sait que la zone où la paroi artérielle est la plus fragile se situe entre - / et / .
Nous avons donc placé différentes sondes au niveau de cette zone critique et nous avons
enregistré les pics de WSS et de GWSS sur chacune de ces sondes au cours d’un cycle
cardiaque. Aussi, on notera l’abscisse curviligne telle que
pour
/ et
pour
/ . Les résultats de cette étude sont présentés figure 12.
14
WSS(Pa)
Pics de WSS (au repos)
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
0,2
0,4
𝑠
0,6
0,8
Pics de WSS (en activité)
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
AAA
Cas sain
0
0,2
0,4
𝑠
0,6
0,8
1
Figure 12a : Comparaison des pics de WSS sur un patient sain et un patient atteint d’un AAA
50
350
Pics de GWSS (au repos)
45
300
40
GWSS(Pa/m)
Pics de GWSS (en activité)
35
250
30
200
25
20
150
15
100
10
AAA
Cas sain
50
5
0
0
0
0,2
0,4
𝑠
0,6
0,8
1
0
0,2
0,4
𝑠
0,6
0,8
1
Figure 12b : Comparaison des pics du GWSS sur un patient sain et un patient atteint d’un AAA
On constate ici que les pics de WSS sont plus importants dans le cas d’un patient sain.
Dans le cas considéré, la présence de l’anévrisme a donc pour effet de diminuer localement le
WSS. Il faut cependant noter que même si dans ce cas de figure, il n’y a pas d’augmentation
significative du WSS, il n’en reste pas moins que les gradients de WSS sont anormalement
élevés. En effet, si dans le cas d’un patient sain, les pics de GWSS restent assez faibles tout au
long du cycle cardiaque, le cas d’un patient atteint d’un AAA est marqué par la présence de
pics de GWSS relativement importants.
On notera au passage une augmentation significative des pics de GWSS lorsque l’on
est dans le cas d’un patient en activité physique. Dans le cas de figure considéré, nous ne
pouvons donc pas écarter les risques de rupture de l’anévrisme.
15
WSS à 𝒕
𝑻⁄
𝟐
GWSS à 𝒕
𝑷𝒂
𝑻⁄
𝟐
𝑵 𝒎𝟑
Figure 13 : Répartition du WSS et du GWSS dans le cas d’un patient en activité physique, la condition d’entrée est située à
gauche de la géométrie
Il peut aussi être intéressant de calculer la moyenne du WSS sur une période. On peut
ainsi définir :
-
∫0
-
∫0 |
-
2
(
|
)
L’
nous permet d’avoir une idée de la direction principale de l’écoulement. Un
égale
à 0 correspondra à un écoulement avançant pendant toute la durée du cycle cardiaque. Un
de 1 correspondra à un écoulement entièrement inversé. Et un
de 0,5 correspondra à un
écoulement purement oscillant. Les valeurs obtenues sont présentées dans le tableau 1.
2
2
Sain (au repos)
-0,08
4,95
0,51
AAA (au repos)
0
0,06
0,47
Sain (en activité)
-0,18
0,90
0,6
AAA (en activité)
0,07
0,27
0,37
Tableau 1 : Comparaison de différentes quantités caractéristiques de l’écoulement
On peut voir que dans le cas d’un patient sain et au repos, l’
est environ égale à 0,5
ce qui correspond à un écoulement purement oscillant. De plus, il est intéressant de constater
que dans le cas d’un patient sain, on a une augmentation de l’
lorsque le patient est en
activité physique. Alors que dans le cas d’un patient atteint d’un AAA, l’
diminue lorsque
le patient est en activité physique. L’écoulement a donc un comportement totalement différent
entre un patient sein et un patient atteint d’un AAA.
16
Nous allons à présent réaliser une étude qui consiste à regarder l’influence de la
géométrie de l’anévrisme sur le WSS et le GWSS. Cette étude a été réalisée uniquement dans
la configuration où le patient est au repos. En effet, le cas d’un patient en activité physique
reste relativement atypique et peut fréquent, surtout lorsque l’on considère le fait que la
population touchée par les AAA est âgé en moyenne de 65 ans. Le détail de cette étude est
présenté sur le tableau 2.
𝑳⁄
𝒅
𝑫⁄
𝒅
1,4
1,8
2,2
2,6
2,8
4
5,2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Tableau 2 : Caractéristiques géométriques des différents modèles d’anévrismes testés numériquement
Pour cette étude, nous avons choisi de regarder les pics de WSS et de GWSS (encore
une fois en valeur absolue) dans toute la zone de l’anévrisme. En effet, on sait qu’un pic de
WSS ou de GWSS aussi local soit-il, peut entrainer la rupture d’un anévrisme. Ici encore,
nous avons donc utilisé un système de sondes ponctuelles. Seulement cette fois-ci, nous
n’enregistrerons pas les pics en chaque sonde, mais le pic maximal enregistré par toutes les
sondes.
/ = 2,8
2
Ecart relatif/cas sain (%)
Ecart relatif/cas sain (%)
1(1,4)
0,48
+4,35
64,22
+615
2(1,8)
0,42
-8,70
99,63
+1010
3(2,2)
0,43
-6,52
104,97
+1070
4(2,6)
0,52
+13,04
142,52
+1490
7
0,26
-43,48
57,90
+545
8
0,25
-45,65
59,53
+563
11
0,27
-41,30
46,71
+420
12
0,25
-45,65
47,59
+430
Tableau 3 : Résultats obtenus pour un rapport L/D égal à 2,8
/ =4
2
Ecart relatif/cas sain (%)
Ecart relatif/cas sain (%)
5
0,47
+2,17
44,68
+398
6
0,35
-23,91
51,53
+474
Tableau 4 : Résultats obtenus pour un rapport L/D égal à 4
/ = 5,2
2
Ecart relatif/cas sain (%)
Ecart relatif/cas sain (%)
9
0,48
+4,35
31,88
+255
10
0,37
-19,57
48,18
+437
Tableau 5 : Résultats obtenus pour un rapport L/D égal à 5,2
17
Cette étude nous montre que globalement, on a tendance à observer une augmentation
du pic de GWSS lorsque le facteur / augmente et lorsque le facteur / diminue. A noter
au passage que pour tous les couples de rapports / et / testés dans cette étude, le pic de
GWSS a une augmentation très significative allant de 255% à 1490%.
Si l’on observe ensuite l’évolution du pic de WSS suivant les rapports / et / , on
peut voir qu’il n’y a pas de tendance particulière qui se dégage. Ici, le pic de WSS observé est
donc relativement spécifique à un couple de rapports / et / donné. Il est cependant très
intéressant de constater que pour un rapport / donné égal à 1,4, et quel que soit le
rapport / , on observe un pic de WSS plus important que celui enregistré dans le cas sain,
alors que ce n’est pas le cas pour certains cas que l’on pourrait considérer comme critique
(ayant un rapport / plus élevé). Cette observation contredit donc totalement le critère
géométrique utilisé à l’heure actuelle, qui considère comme critique les anévrismes ayant un
rapport / important.
Ce qu’on pourra retenir de cette étude, c’est qu’il est important de considérer les
anévrismes au cas par cas. En effet, le comportement de l’écoulement reste spécifique à la
géométrie de l’anévrisme, même dans le cas d’une géométrie idéalisée. De plus, cette étude
montre l’importance et la nécessité de la détermination d’un nouveau critère de décision
d’avantage basé sur des critères hémodynamiques tel que le WSS ou le GWSS.
III/ Etude sur géométrie réaliste
Maintenant que nous avons conscience de l’importance de l’analyse spécifique de
chaque géométrie d’anévrisme, il apparaît indispensable de tester notre modèle numérique sur
des géométries réaliste. Il est en effet aujourd’hui possible d’extraire des géométries
d’anévrismes tirées d’images IRM de patients. C’est donc ce que nous avons fait à l’aide du
logiciel ScanIP.
1- Fonctionnement de ScanIP
Scan IP est un logiciel qui permet, à travers une interface simple et intuitive, d’extraire
des géométries à partir d’images IRM de patients. La superposition des images IRM peut être
représentée par un objet en 3 dimensions, par exemple un cube, composé d’un certain nombre
de pixels (ou voxels).
Chaque pixel est représenté par une teinte de gris associée à un certain type de tissu
biologique (os, vaisseaux sanguins, organes,…). En extrayant la gamme de teintes appropriée,
on est capable d’extraire une géométrie désirée. La figure 14 présente de manière schématique
le fonctionnement de ScanIP.
18
Figure 14 : Description schématique du fonctionnement de ScanIP
Dans un premier temps, on a donc un bloc tiré à partir d’un fichier d’images IRM (A).
Ce bloc est composé d’un certain nombre de pixel ayant chacun une teinte de gris associée.
On va ensuite appliquer un masque sur ce bloc (B). Ce masque est appliqué sur la gamme de
teinte correspondant à la géométrie que l’on souhaite extraire. Une fois le masque appliqué,
on peut extraire la géométrie (C). Pour finir, on maille la géométrie (D) afin de l’exporter vers
un logiciel de calcul (ici COMSOL).
2- Extraction d’une géométrie réaliste sur ScanIP
Des images IRM d’un patient atteint d’un AAA ont été mises à notre disposition. A
partir du logiciel ScanIP, nous avons donc extrait la partie utile de l’anévrisme afin de pouvoir
la tester avec notre modèle numérique. Cependant, ce test n’a d’intérêt que si l’on compare le
cas d’un patient atteint d’un AAA avec le cas d’un patient sain. Il est donc primordial ici de
tester également le cas d’une géométrie réaliste sans anévrisme.
L’enjeu ici était donc de créer une géométrie réaliste d’artère saine à partir de la
géométrie mise à notre disposition. Pour cela, nous avons modifié le masque que nous avions
appliqué lors de l’extraction de la géométrie avec anévrisme. En effet, il est possible de venir
modifier, slice par slice, le masque appliqué. On est ainsi capable de réduire la section de
l’artère au niveau de l’anévrisme. On peut donc de la sorte transformer une artère ayant un
AAA en une artère saine. Les géométries obtenues sont présentées sur la figure 15.
19
Figure 15 : A gauche, l’artère avec AAA et à droite, l’artère saine
3- Configuration
Pour cette étude, la configuration du problème sera sensiblement la même. La seule et
unique différence provient de la condition d’entrée. En effet, les irrégularités de la géométrie
nous ont ici contraints à appliquer un profil de vitesse plat en entrée. Le maillage utilisé ici est
constitué de 11529 éléments tétraédriques. Il faut savoir que sur une telle géométrie, même
avec un faible nombre d’éléments, les temps de calcul sont extrêmement plus longs. Nous
avons ainsi décidé de couper la partie basse de la géométrie. En effet, la zone vraiment
intéressante à observer se trouve être la partie haute de la géométrie où se situe l’anévrisme.
Lors de cette étude, pour les même raisons que précédemment, nous considérerons
uniquement le cas d’un patient au repos.
4- Interprétation des résultats
Nous avons déjà mis en évidence le fait que la présence d’un anévrisme entrainait,
dans la plupart des cas, une augmentation significative des pics de GWSS. Pour cette étude,
nous avons donc choisi de se concentrer uniquement sur le WSS. La figure 16 nous présente
les résultats obtenus.
20
𝑻⁄ dans le cas d’un patient au repos
𝟐
Comparaison du WSS à 𝒕
AAA
Vue de face
Cas sain
Vue de face
Vue de dos
𝑷𝒂
Vue de dos
Figure 16 : Comparaison du WSS sur des géométries réalistes, la condition d’entrée se situe en haut de la géométrie
Pour commencer, on peut noter la présence d’un fort WSS au niveau du bord supérieur
de la géométrie. Ce fort WSS est en fait un effet de bord dû à la condition d’entrée. Ce pic de
WSS ne doit donc pas être pris en compte dans notre observation. On voit donc ici la
nécessité de l’implémentation de conditions aux limites les plus réalistes possible.
On aimerait avoir ici une idée du pic de WSS dans la partie utile de l’anévrisme. En
effet, les pics de WSS en entrée et au niveau de la jonction entre les deux artères iliaques ne
doivent pas entrer en considération dans notre analyse. Même si une analyse visuelle nous
permet de constater qu’il n’y a pas de réelle augmentation du WSS dans le cas d’un AAA, on
sait qu’un pic de WSS, aussi local soit-il, peut devenir très critique pour la vie du patient.
Aussi, il est indispensable de se convaincre qu’il n’y a pas de pic anormalement élevés de
WSS dans l’anévrisme. Ici, nous avons donc encore une fois utilisé un système de sonde nous
permettant d’enregistrer les pics de WSS. Cependant, si le positionnement des sondes est
relativement simple dans le cas d’une géométrie idéalisée d’AAA, il devient beaucoup plus
complexe dans le cas d’une géométrie réaliste. Pour être le plus précis possible, nous avons
placé 24 sondes sur chaque géométrie et nous avons observé les pics de WSS sur chacune de
ces sondes.
Sain
AAA
2
2,82
1,91
2
0,97
0,46
Tableau 6 : Comparaison de WSS sur une géométrie réaliste
21
WSS moyen
2,00
Pics de WSS
3,00
1,80
2,50
1,60
WSS(Pa)
1,40
cas sain
AAA
2,00
1,20
1,00
1,50
0,80
0,60
1,00
0,40
0,50
0,20
0,00
0,00
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,00
0,20
t/T
0,40
0,60
0,80
1,00
t/T
Figure 17 : Evolution de la moyenne du WSS et des pics de WSS au niveau des sondes
Ici, on peut voir que notre intuition se confirme. En effet, si l’on observe l’évolution
des pics de WSS et de la moyenne du WSS sur une période, on peut voir que celui-ci est
globalement plus élevé dans le cas d’un patient sain. Ici, on peut voir qu’il s’agit d’un
anévrisme plutôt étendu qui correspondrait à un rapport / relativement important.
Cependant, rien ne nous permet pour autant de pouvoir conclure que ce genre d’anévrisme
n’est pas sujet à la rupture sans avoir réalisé des calculs préalables.
IV/ Interactions fluide-structure
Nous allons à présent réaliser une étude sur les interactions fluide-structure. En effet,
jusqu’à présent, nous avons considéré que la paroi artérielle était indéformable. En réalité, le
fluide et la paroi artérielle interagissent, ce qui modifie alors les propriétés de l’écoulement.
On pourra ainsi définir les propriétés mécaniques de l’artère12. On prendra un module de
Young
, un coefficient de poisson
et une masse volumique
. On traitera se problème dans le cas d’un matériau linéaire élastique isotrope.
Afin de quantifier l’influence des interactions fluide-structure sur le comportement de
l’écoulement, nous nous proposons de faire une étude simple en régime stationnaire. Cette
étude consiste à regarder le déplacement maximal de l’artère au niveau de l’anévrisme lorsque
la vitesse d’entrée de l’écoulement est un poiseuille. Afin de faciliter la convergence des
calculs, nous avons choisi de bloquer tous les déplacements des extrémités de la géométrie.
On pourra ainsi avoir un ordre de grandeur du déplacement maximal de l’anévrisme. La figure
18 nous montre le déplacement total dans l’anévrisme dans le cas d’un patient en activité
physique. La condition d’entrée se situe à gauche de la géométrie
22
Déplacement totale au niveau de l’anévrisme
𝒄𝒎
Figure 18 : Interaction fluide structure dans le cas d’un patient en activité physique
On voit ici que le déplacement maximal dans l’anévrisme est de l’ordre de
.
Cela nous montre donc que l’hypothèse de la paroi rigide indéformable est plutôt bien
vérifiée. Cependant, la prise en compte des interactions fluide-structure reste un axe majeur
que l’on ne doit pas laisser de côté. En effet, les déplacements de la structure, aussi faibles
soient-ils, influent sur le comportement de l’écoulement. Il faut aussi savoir que le caractère
oscillant de l’écoulement va entrainer des phénomènes d’oscillation de l’artère qui vont se
caractériser par l’apparition d’une onde de pression pouvant influer sur le WSS et le GWSS.
V/ Conclusion
Ce projet nous a permis de soulever un certain nombre de question auxquelles nous ne
sommes pas toute parvenues à répondre. Nous avons soulevé le fait que le critère géométrique
utilisé actuellement se révèle être très peu fiable lorsque l’on considère certains paramètres
hémodynamiques de l’écoulement tel que le WSS ou le GWSS. Aussi, la détermination d’un
nouveau critère de décision basé sur ce type de paramètre se révèle à nos yeux indispensables.
Cependant, un certain nombre de questions n’ont toujours pas été élucidées. En effet, si la
détermination d’un nouveau critère de décision devient importante, il nous faut alors définir
les seuils critiques à ne pas franchir. Car si l’on a observé une augmentation significative du
WSS pour certains cas, nous avons aussi pu voir que quel que soit la géométrie considérée, la
présence d’un anévrisme est toujours marquée par une énorme augmentation du GWSS
(pouvant aller jusqu’à 1490%). Et si l’on sait qu’une augmentation du GWSS a pour effet
d’augmenter les risques de rupture d’un anévrisme, on ne sait pas à partir de quel seuil cette
augmentation devient critique pour la vie du patient. Pour finir, l’influence des interactions
fluide-structure sur le comportement de l’écoulement reste à ce jour pour nous un mystère.
Même si l’on a pu voir que le déplacement au niveau de l’anévrisme reste relativement faible,
nous ne connaissons pas l’influence que ces déplacements peuvent avoir sur les paramètres
hémodynamiques que nous avons étudiés.
23
VI/ Références
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
http://biowiki.mbolduc1.ep.profweb.qc.ca/index.php/Le_coeur,_la_fr%C3%A9quence_c
ardiaque_et_le_d%C3%A9bit_cardiaque
http://fr.wikipedia.org/wiki/Viscosit%C3%A9
http://fr.wikipedia.org/wiki/Masse_volumique
http://fr.wikipedia.org/wiki/An%C3%A9vrisme_de_l%27aorte_abdominale
COMPARISON OF BODY-FITTED AND IMMERSED BOUNDARY METHODS FOR
BIOMECHANICAL APPLICATIONS
Bruno Tayllamin, Simon Mendez, Ramiro Moreno, Ming Chau, Franck Nicoud
p9
Mécanique des Fluides
3. Quelques solutions analytiques
Franck Nicoud – I3M
http://fr.wikipedia.org/wiki/Rythme_cardiaque
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9quence_Cardiaque_Maximum
http://lions.math.hr/tok-kroz-cijev/tekstovi/womersley/womersley_en.html
Evolution of the wall shear stresses during the progressive enlargement of symmetric
abdominal aortic aneurysms
By A.-V. SALSAC1, 2, S. R. SPARKS1, 3, J.-M. CHOMAZ2 AND J. C. LASHERAS1
Haemodynamic stresses and the onset and progression of vascular diseases
JUAN C. LASHERAS
Fluid-Structure Interaction in a Network of Blood Vessels (tutorial COMSOL)
24