ECOLE D’INGENIEURS DU CANTON DE VAUD DEPARTEMENT E+I 3K\VLTXH,, (OHFWURPDJQpWLVPH -DPHV&OHUN0D[ZHOO François GAILLE, professeur Yverdon-les-Bains et Lausanne François GAILLE, professeur © eivd / FGE (/(&7520$*1(7,60( Table des matières I. ELECTROSTATIQUE I-1 1. Notions de base fondamentales I-4 2. Loi de Coulomb I-7 r 3. Le champ électrique ( et la loi de Gauss I-10 4. Le potentiel électrique I-30 5. Condensateurs électriques I-43 6. Matériaux diélectriques I-55 7. Energie électrique et condensateurs I-63 II. MAGNETOSTATIQUE DANS LE VIDE II-1 1. Notions de base fondamentales II-1 r 2. Champ d’induction magnétique % et forces II-3 3. Loi d’Ampère et applications II-13 4. Loi de Biot-Savart et applications II-18 III. INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE III-1 1. Expériences d’induction électromagnétique III-1 2. Loi de Faraday et loi de Lenz III-2 3. Forces électromotrices induites et applications III-6 4. Expression généralisée de la loi de Faraday III-8 5. Inductance mutuelle et inductance III-10 6. Energie magnétique et inductance III-14 IV. PROPRIETES MAGNETIQUES DE LA MATIERE 1. Aimant et champ magnétique terrestre IV-1 IV-1 2. Magnétisation 0 et champ magnétique + IV-5 3. Matériaux diamagnétiques et paramagnétiques IV-9 r r 4. Matériaux ferromagnétiques IV-10 5. Loi d’Ampère dans la matière IV-13 6. Calcul des circuits magnétiques IV-13 7. Les équations de Maxwell IV-18 8. Introduction aux ondes électromagnétiques IV-21 V. LE COURANT ALTERNATIF V-1 1. Calcul des nombres complexes V-1 2. Etude des fonctions sinusoïdales V-2 3. Tension, courant et impédance complexes V-4 4. La puissance en courant alternatif V-8 5. Deux méthodes de résolution des circuits électriques linéaires en courant alternatif V-12 Références bibliographiques : 1. Physique générale 2, Alonso et Finn, InterEditions, 1992 2. Physique 2, électricité et magnétisme, Resnick-Halliday, Editions du Renouveau pédagogique, 1979 3. University Physics, Young and Freedman, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1996 ,(/(&75267$7,48( I-1 L’électrostatique est l’étude des phénomènes dus aux charges électriques au repos. Comme le montre la figure de la page suivante, l’électrostatique fait partie d’une théorie plus vaste : l’électromagnétisme. Avant le génie de James Clerk Maxwell (1831-1879), physicien et scientifique écossais, les phénomènes électriques et magnétiques étaient séparés et décrits par des théories distinctes. Maxwell, à travers 4 équations fondamentales dites « Les équations de Maxwell », réunit sous une même théorie l’ensemble de ces types de phénomènes, aboutissant ainsi à l’unification des phénomènes électriques et magnétiques. L’électromagnétisme est né. Dans ce cours, nous allons étudier les différentes relations liant ou reliant les grandeurs électriques et magnétiques utilisées pour décrire les phénomènes physiques. Le mot « électricité » provient du mot grec « elektron » qui signifie ambre. Selon l’histoire des Sciences, le premier scientifique à s’être intéressé aux phénomènes électriques et magnétiques fut le grand philosophe Thalès de Milet (-625 à –545) né en Ionie (Côte Ouest de la Turquie actuelle). Ses réflexions portèrent sur des expériences réalisées avec de l’ambre (phénomènes électriques) et sur la magnétite (phénomènes magnétiques). 7+(25,('(/¶(/(&75,&,7( FKDUJHq r GHQVLWpGHFRXUDQW r FKDPSpOHFWULTXH ( r FKDPSPDJQpWLTXH % (/(&7520$*1(7,60( FKDUJHpOHFWULTXH q FKDPSpOHFWULTXH r ( 6 Faraday 7 Ampère-Maxwell ELECTROSTATIQUE 2 4 Ampère 5 Laplace 3 Gauss Coulomb 1 GHQVLWpGHFRXUDQW r - FKDPSPDJQpWLTXH r % MAGNETISME I-2 I-3 (OHFWURPDJQpWLVPHUHODWLRQVIRQGDPHQWDOHV HQWUHOHVJUDQGHXUVSK\VLTXHV 1. Les charges électriques agissent entre-elles. [N] r r Loi de Coulomb : ) = T¼( r 2. Un champ % agit sur une charge électrique et sur un courant électrique. r r r Loi de Laplace : ) = , ¼O % r r r Loi de Lorentz : ) = T¼Y % 3. Une charge électrique q crée un champ électrique. Loi de Gauss : [N] [N] r r ×× (' ¼ G$) = Ê T r 4. Un courant électrique I crée un champ magnétique % . r r % ¼ GO = m 0 ¼ , Loi d’ Ampère : ×( [A · s = C] 1 ) [V· s / m = T · m] r 5. Un champ électrique ( crée, dans un conducteur, un courant. r r - =s ¼( Loi d’ Ohm : r r r 6. Une variation du champ % (ou + ) crée un champ ( . r r r G (%r ¼ G$) Loi d’ induction ou loi de Faraday : ( ( ¼ G O ) = × GW ×× r r r 7. Une variation du champ ( (ou ' ), crée un champ % . r r Loi d’ Ampère-Maxwell : ( + ¼ GO ) = , + G GW × 8. Il n’ existe pas de charge magnétique monopolaire. Loi de Gauss magnétique : avec : r r r ' = e0 ¼ e ¼ ( = e ¼ ( r r r % = m0 ¼ m ¼ + = m ¼ + ×× r r ( ' ¼ G$) r r ( % ×× ¼ G$) = 0 [A / m2] [V] [A] [V·s = Wb] [A·s/m2] [V·s/m2=T] Les lois 3, 6, 7 et 8 sont les 4 équations de Maxwell à la base de l’ électromagnétisme (1865). I-4 1RWLRQVGHEDVHIRQGDPHQWDOHV Dans cette première partie, nous donnons les quelques notions fondamentales de l’ électrostatique reliées principalement à la charge électrique. 1.1 Charge électrique Si, après s’ être peigné, nous approchons le peigne de très petits morceaux de papier, nous observons qu’ ils sont attirés très rapidement par celui-ci. Un phénomène identique se produit si nous frottons une baguette de verre avec de la soie ou un bâtonnet d’ ambre avec de la fourrure. Nous pouvons en conclure que ces matériaux sont acquis une nouvelle propriété que nous appelons « électricité » et que cette propriété électrique donne naissance à une interaction bien plus forte que l’ interaction gravitationnelle! De la même manière que nous caractérisons la force de gravitation en associant à chaque corps une masse gravitationnelle, nous caractérisons l’ état d’ électrisation d’ un corps en définissant sa « masse » électrique. Plus communément, celle-ci est appelée charge électrique et est représentée par le symbole q. Ainsi, toute particule est caractérisée par 2 propriétés indépendantes et fondamentales: sa masse m et sa charge électrique q. Des expériences simples montrent qu’ il existe 2 états d’ électrisation correspondant à 2 espèces de charges électriques arbitrairement qualifiées de charge positive et de charge négative par le scientifique autodidacte américain Benjamin Franklin (1706-1790). 1.2 Charge électrique élémentaire et quantification de la charge électrique. Dans le système d’ unités international SI, la charge électrique q porte l’ unité : 1 ampère · seconde = 1 A·s = 1 C (I-1) (C = abrégé de Coulomb) A·s = C n’ est pas une unité fondamentale. Les propriétés électriques de la matière trouvent leur origine au niveau atomique et sont dues aux : protons possédant une charge électrique positive électrons possédant une charge électrique négative. I-5 L’ étude des systèmes atomiques (atomes et leurs noyaux) montre que protons et électrons possèdent exactement, en valeur absolue, la même charge électrique e dite charge élémentaire ou quantum de charge électrique : e = 1.602 · 10-19 [A · s = C] (I-2) Ainsi, la charge du proton est égale à +e et la charge de l’ électron vaut –e. Pratiquement, nous prendrons e = 1.60 · 10-19 [A·s]. Les forces électriques qui s’ exercent entre protons et électrons (charges positives et charges négatives) sont responsables de la cohésion des atomes et des molécules. Comme les noyaux, à l’ état normal, comportent un nombre de protons égal au nombre d’ électrons des couches atomiques, les atomes non ionisés sont électriquement neutres. Tout corps dont la charge électrique totale est nulle est dit neutre. Aucune force électrique ne s’ exerce sur un corps électriquement neutre, tout comme aucune force de gravitation ne s’ exerce sur une particule de masse nulle. Une charge électrique ne peut pas prendre n’ importe quelle valeur. En effet toute charge électrique est un multiple entier de la charge élémentaire : q = n ·e [A·s = C] Q³N (I-3) (principe de quantification de la charge électrique) Dans un système fermé, la somme algébrique des charges électriques contenues est constante au cours du temps et ce, quels que soient les phénomènes qui se produisent dans ce système. Ceci traduit le principe de conservation de la charge totale électrique d’ un système fermé. Nous avons parlé des protons et des électrons comme constituants fondamentaux de la matière et possédant chacun (en valeur absolue) une charge électrique élémentaire. L’ étude de la physique des hautes énergies ou des particules élémentaires (CERN à Genève, Fermilab aux USA) montre qu’ il existe des centaines d’ autres particules dites aussi « élémentaires ». Certaines d’ entreelles sont chargées électriquement, d’ autres sont neutres. Pour les particules chargées, leur charge est aussi un multiple entier de la charge électrique élémentaire. Notons cependant que la théorie des particules élémentaires est construite à partir de quarks portant une charge électrique fractionnaire! Par contre, à ce jour ces charges électriques fractionnaires n’ ont pas pu être isolées séparement et pour la suite du cours, nous admettrons que la charge élémentaire est toujours égale à la charge e décrite en (I-2). I-6 4XHOTXHVSDUWLFXOHV©pOpPHQWDLUHVª e+ 0.511 +1 ½ antiélectron - 0.511 -1 ½ électron e L’ électronvolt comme unité d’ énergie L’ électronvolt est l’ énergie gagnée par une charge élémentaire e sous une différence de potentiel de 1 volt : 1 eV = 1.6 · 10-19 As · 1 V = 1.6 · 10-19 [As · V] = 1.6 · 10-19 [J] à 1 eV = 1.602 · 10-19 [J] Par la relation E = mc2, les masses peuvent s’ exprimer sous forme d’ énergie, donc en électronvolt eV : masse du proton = 938.3 MeV = 1.672623 · 10-27 kg masse du neutron = 939.6 MeV = 1.674929 · 10-27 kg masse de l’ électron = 0.511 MeV = 9.10939 · 10-31 kg 1.3 Conducteurs et isolants I-7 La conduction d’ un élément solide est déterminée par sa structure atomique. Dans un atome, les électrons orbitent autour du noyau selon des couches distinctes les unes des autres. Ce sont uniquement les électrons de la couche extérieure qui sont susceptibles d’ être libérés et de participer ainsi à la conduction électrique. VL OD FRXFKH H[WpULHXUH GH O¶DWRPH G¶XQ pOpPHQW HVW WUès voisine de la saturation, elle ne libérera pas d’ électrons, au contraire, elle cherchera à en capter pour être saturée; un tel élément sera donc un isolant. VLDXFRQWUDLUHODFRXFKHH[WpULHXUHest loin de la saturation, l’ élément cèdera facilement un ou des électrons; un tel élément sera un bon conducteur. (voir en annexe les structures électroniques de divers éléments et repérer les bons conducteurs et les isolants!) Donc un bon conducteur solide est un élément possédant un grand nombre d’ électrons libres (= libres de se mouvoir). A l’ opposé, un élément est classé dans la catégorie des isolants s’ il ne possède que très peu d’ électrons libres. Un parfait isolant n’ a aucun électron libre! Dans les liquides, les atomes sont libres de se mouvoir. Les porteurs mobiles de charges électriques sont des ions. (Un ion positif est un atome ayant perdu un ou des électrons; un ion négatif est un atome ayant capté un ou des électrons supplémentaires). En électricité et dans la pratique, les conducteurs sont des éléments solides et métalliques, comme par exemple le cuivre (Cu) et l’ aluminium (Al). /RLGH&RXORPE Charles Augustin de Coulomb (1736-1806), physicien français, s’ est intéressé d’ abord à la résistance des matériaux, puis à l’ électricité. La loi qui porte son nom a été établie en 1785; elle décrit quantitativement la force électrique agissant entre 2 charges électriques en présence l’ une de l’ autre. Vers 1800, Charles de Coulomb s’ intéressa aussi au magnétisme et définit le concept d’ aimantation. A noter que selon l’ histoire des Sciences, la loi de Coulomb aurait été découverte en premier par le physicien anglais henry Cavendish, mais que ses travaux restèrent longtemps non publiés. Il faudrait donc appeler cette relation, la loi de Cavendish-Coulomb. 2.1 Aspects qualitatifs de la loi de Coulomb Pour obtenir une mesure quantitative de la force d’ attraction ou de répulsion entre corps chargés, on utiliserait deux petites sphères conductrices. Ces sphères sont considérées comme petites si leur rayon est négligeable par rapport à la distance qui les sépare. Dans ce cas, on peut considérer ces sphères comme des particules ponctuelles chargées. I-8 Considérons le montage suivant où q1 et q2 sont 2 charges électriques de masse m1 et m2 respectivement. A l’ aide de ce dispositif, on peut montrer, qualitativement, les 4 propriétés suivantes : r a) La direction de la force électrique ) est sur la droite reliant les deux particules chargées. r b) L’ amplitude de la force ) varie comme l’ inverse du carré de la distance d entre les deux particules. c) La force est directement proportionnelle à la charge de chaque particule q1 et q2. d) Pour une distance d donnée entre les particules, l’ amplitude (pas le sens !) de la force est indépendante du signe des charges. L’ appareil utilisé en réalité par Coulomb pour ses recherches s’ apparentait à une balance de torsion. Le but de ce chapitre était toutefois de montrer qu’ une vérification pratique de la loi de Coulomb est foncièrement possible avec le dispositif ci-dessus. 2.2 Aspects quantitatifs de la loi de Coulomb Si l’ on considère deux particules de charges q et Q, la force s’ exerçant entre-elles vaut : ) =.¼ T¼4 U2 F > 0 : répulsion, F < 0 : attraction où K est une constante et r la distance entre les particules. La force F est située sur la droite joignant les deux particules. Si les charges ont le même signe, le produit q·Q est positif, la force est répulsive. Au contraire, si les deux charges sont de signes différents, q·Q est négatif, il y a attraction. Pour tenir compte du sens de la force, il convient donc de remplacer la relation scalaire cidessus par une relation plus riche en informations, à savoir une relation vectorielle. Avant de le faire, on veut encore donner une valeur numérique à K. I-9 En partant de l’ unité électrique de base qui est l’ Ampère, on définit l’ unité de charge, le Coulomb, comme la charge transportée pendant une seconde par un courant de un Ampère. 1 Coulomb = 1 Ampère · seconde Une fois l’ unité de charge définie, l’ obtention de la valeur numérique de K se fait par voie expérimentale. Il est habituel de remplacer, dans le système international, la constante K par la grandeur : .= 1 4p ¼ e0 où e0 est appelée constante de permittivité du vide. La valeur expérimentale de K étant : . = 8.9875 ¼ 10 e0 doit valoir : 9 e0 = 8.8542 · 10-12 [ 1 ¼P ] &2 2 2 [ & 2] 1 ¼P (I-4) Cette grandeur apparaîtra par la suite dans plusieurs autres lois. On l’ utilisera plus volontiers que la constante K. L’ unité de e0 est &2 . 1 ¼ P2 Comme : 1 C=1 A · s 1 N · m = 1 J = 1 W · s =1 A · V · s = 1 C · V on obtient: 1 2 C = 1 A¼s 2 N¼m V¼m =1 C = 1 F/m avec 1 F = 1 C/V (Farad) V¼m La loi de Coulomb devient donc, sous forme scalaire : )= 1 ¼ T ¼4 2 U 4p ¼ e 0 [N] (I-5) Pour mettre cette relation sous forme vectorielle, on définit, en prenant comme origine le centre de la charge Q, un repère de coordonnées cartésiennes. I-10 r La force ) exercée par la charge située au centre des coordonnées sur l’ autre charge a la r r direction du vecteur-unité selon U . Ce vecteur ) peut s’ exprimer à l’ aide du vecteur-unité selon r U : r r X=U U En multipliant ce vecteur par la grandeur scalaire (positive ou négative) F, on obtient la relation vectorielle : r )= r 1 ¼ T ¼ 4 ¼ U = 1 ¼ T ¼ 4 ¼ Ur 4p ¼ e 0 U 2 U 4p ¼ e 0 U 3 (I-6) Q et q doivent être prises avec leur signe. Si ces signes sont opposés, le scalaire précédent r est négatif, ) est donc pointée vers Q (attraction). La loi de Coulomb est valable lorsque les charges q et Q sont concentrées, c’ est-à-dire lorsque l’ on est en présence de deux particules chargées infiniment petites. Lorsqu’ on a affaire à plusieurs charges réparties, la loi de Coulomb reste valable à condition qu’ on l’ applique à toutes les charges élémentaires. Rigoureusement, ce principe de superposition n’ est valable que si les particules chargées sont de très petites dimensions (relativement à la distance qui les sépare). Si l’ on avait affaire à des sphères chargées de dimensions finies, la force agissant entre les sphères 1 et 2 dépendrait de la position de la troisième sphère. Ceci résulte du fait que la présence de la sphère 3 créerait une redistribution des charges dans les deux autres. Dans le cas général où nous avons n charges électriques dans le vide, par le principe de superposition, les forces électrostatiques s’ additionnent. r r r Soit : q1, q2, …, qn n charges électriques, et U1 , U2 ,…, U leurs positions respectives. r La force ) exercée sur qi par les (n-1) charges : r ) = 1 ¼ 4p ¼ e0 Ê 1, T ¼ T r ¼ U U 3 [N] (I-7) r /HFKDPSpOHFWULTXH ( HWODORLGH*DXVV Nous allons tout d’ abord introduire la notion de champ, puis définir le champ électrique et donner la loi de Gauss. I-11 r 3.1 Notion de champ et champ électrique ( Le fait que deux charges électriques voisines soient soumises à des forces d’ attraction ou de répulsion nous amène à considérer que toute charge électrique modifie les caractéristiques physiques de l’ espace environnant. Pour qualifier cette modification, on dit que toute charge crée dans l’ espace environnant un champ électrique. Ceci permet d’ expliquer de façon satisfaisante l’ effet d’ attraction ou de répulsion électrique qui, avant le physicien Faraday, était considéré comme mystérieux et comme un phénomène « à distance » instantané sans en connaître le support. Ainsi, pour trouver le champ créé par un ensemble de charges électriques, on mesure la r force ) à laquelle est soumise une charge électrique de test q0, ceci pour tout point de l’ espace. Charge de test (de faible valeur) Ensemble de charges électriques r r )(3) Champ électrique en P : (( 3 ) = T0 r Si l’ on veut vraiment mesurer ( tel qu’ il existe lorsque q0 n’ est pas là, il faut faire en sorte que la charge q0 soit suffisamment petite pour ne pas influencer la répartition dans l’ espace des charges produisant le champ. r r Ë Û ) Ì ( = lim Ü 0Í T0 Ý 0 [ 1 ] = [ 9 ¼ $¼V / P =9 ] & $¼V P (I-8) En pratique, q0 e (1.602 · 10-19 C) En SI, le champ électrique s’ exprime donc en volt par mètre, soit [V / m]. 3.2 Champ créé par une particule chargée. r On considère une particule de charge q et une particule test q0 située à une distance U de la première : r r r ) est située sur la droite reliant q à q0. En divisant la force ) par q0, on trouve le champ ( : r )= r (= 1 ¼ T ¼ T0 4p ¼ e 0 U 2 r 1 ¼ T ¼U 2 4p ¼ e 0 U U I-12 r ¼U U [9 ] P (I-9) Le champ créé par une charge ponctuelle q est donc radial : sa direction passe par la charge. Son amplitude varie avec l’ inverse du carré de la distance à la charge. Le champ électrique est donc d’ amplitude constante sur des sphères centrées en q. r Il reste à préciser le sens de ( . On a dit que l’ on considérait q0 comme positive. Si q est r r aussi positive, il y a répulsion, ) est radial vers l’ extérieur et ( aussi. Si q est négatif, il y a r r attraction, ) et ( sont radiaux vers l’ intérieur. Ceci correspond bien à la définition vectorielle r donnée ci-dessus : le vecteur-unité U y est bien multiplié par la charge q qu’ il faut , bien entendu, U prendre avec son signe. En résumé donc : Le champ électrique créé par une charge ponctuelle q est : - radial - vers l’ extérieur si q > 0 vers l’ intérieur si q < 0 - amplitude : (( U ) = 1 ¼T 4p ¼ e 0 U 2 [V / m] 3.3 Champ électrique créé par un ensemble de particules chargées I-13 Comme on l’ a vu plus haut, la force exercée sur une particule par un ensemble d’ autres particules est égale à la somme vectorielle des forces exercées par les particules prises séparément. Ainsi, pour les trois particules suivantes : r la force )0 totale s’ exprime par : r )0 = r r 1 ¼ T ¼ Î T1 ¼ U01 + T2 ¼ U02 Þ 4p ¼ e 0 0 Ï U2 U01 U2 U02 ß 02 Ð 01 à Pour trouver le champ électrique créé par q1 et q2 au point où se trouve q0, il faut diviser par r q0 la force )0 . r (= r r Î T1 U01 T2 U02 Þ ¼Ï 2 ¼ + 2 ¼ ß ÏÐ U01 U01 U02 U02 ßà r r r ( = (1 + (2 1 4p ¼ e 0 Comme on pouvait s’ y attendre, le principe de superposition est aussi valable dans le cas du champ électrique. Comme pour la force, il ne faut pas oublier que le champ est un vecteur et qu’ il faut par conséquent faire la somme vectorielle des champs créés par les charges prises séparément. Ainsi, le champ créé en un point par un ensemble de n particules chargées s’ exprime par : r r Ë T U Û 1 (I-10) ¼ ÌÌ 2 ¼ ÜÜ [ 9 ] (= 4p ¼ e 0 Ê U P 1 Í U Ý r où U est le rayon-vecteur ayant son origine à l’ emplacement de qi et son extrémité au point où l’ on calcule le champ. I-14 3.4 Champ électrique créé par des distributions continues de la charge Les charges définies jusqu’ ici sont dites ponctuelles car de dimensions très petites. Dans le cas d’ un grand nombre de charges, on distingue : les charges « alignées », caractérisées par une densité linéique de charges : l = D4 DO D4 [C / m] charge : D4 longueur : DO DO les charges disposées sur une surface, caractérisées par D4 une densité surfacique de charges : s = D$ [C / m ] les charges disposées dans un volume, caractérisées par une densité volumique de charges : r = D4 D9 On désigne également par : charge : D4 aire : D$ 2 charge : D4 volume : D9 [C / m3] n le nombre d’ électrons libres par unité de volume p le nombre de charges positives par unité de volume La densité de charges vaut donc : r = -n · e pour des charges négatives (p. ex. électrons libres) r = +p · e pour des charges positives r = p ·e – n ·e lorsque les deux types de charges sont présentes simultanément. Bien que dans la nature la charge électrique soit concentrée sur les particules élémentaires, on peut considérer dans beaucoup d’ applications que la charge est répartie continûment à l’ intérieur ou à la surface d’ un solide. Cela revient donc à introduire une densité de charge qui peut être : volumique : r [C / m3] surfacique: s [C / m2] linéique : l I-15 [C / m] Ces densités ne sont pas forcément constantes dans le corps ou sur tout le corps considéré. Dans le cas de telles répartitions de charge, le principe de superposition reste valable : il faut considérer une infinité de petits volumes, surfaces ou segments élémentaires chargés, calculer le r r champ G( que chacun de ces éléments crée et faire la somme vectorielle des champs G( . Comme on prend des éléments infiniment petits, cette somme revient à une intégrale (triple, double ou simple) si l’ on considère un volume, une surface ou une longueur. r r On aura donc : ( = × G( r Les G( sont des vecteurs non forcément tous parallèles entre eux. Il serait donc faux de faire la somme de leurs modules : ( × G( !!! La méthode applicable dans ce cas est la sommation des composantes entre elles. Ainsi, dans un système d’ axes cartésiens Oxyz, on aura : r r r r G( = G( ¼ L + G( ¼ M + G( ¼ N r r r ( L , M , N sont les vecteurs-unité selon les axes x, y et z). ( En sommant, on aura donc : r r r r r r r ( = ( ¼ L + ( ¼ M + ( ¼ N = × G( ¼ L + G( ¼ M + G( ¼ N ) En égalant les composantes, on aura : (! = × G(! (" = ×(I-11) G(" ( = × G( [V / m] C’ est donc là le principe bien connu que les composantes d’ une somme vectorielle sont égales aux sommes des composantes des termes de la somme. Dans ce qui suit, on va étudier trois applications de ce principe. ère 1 I-16 application : champ créé par un barreau de longueur infinie et de densité linéique de charge l constante. Charge linéique constante l [C / m] r On se propose de calculer le champ électrique ( créé en P par l’ ensemble du barreau. En prenant l’ axe de ce dernier comme axe des x et la perpendiculaire au barreau par P comme axe des y, on obtient un repère cartésien suffisant au calcul de E (il n’ y a pas besoin de troisième axe, car le champ reste dans le plan contenant le barreau et le point P). Le petit élément à considérer est un segment de longueur dx. Si les dimensions de la section du barreau sont petites en comparaison de la distance a, le petit élément choisi peut être considéré comme une charge ponctuelle. Sa charge vaut : GT = l ¼ G[ r Le champ G( créé par dq est dans le prolongement du segment de longueur d reliant P à dq. En appliquant la relation du paragraphe 3.2, on obtient : 1 ¼ l ¼ G[ 2 4p ¼ e 0 G r Cette relation donne le module de G( . On peut appliquer également la relation vectorielle : G( = le rayon-vecteur reliant dq à P a les composantes (-x,a). Sa longueur vaut d = (x2 + a2)½ On obtient donc : r G( = 1 ¼ l ¼ G[ 4p ¼ e 0 [ 2 + D 2 Ë ¼ Ì 2 - [2 Ì [ +D Í ( ) 12 r ¼L + ( D 2 [ + D2 ) 12 rÛ ¼ MÜ Ü Ý On peut en tirer : ( ) G(# = - l ¼ 2[ ¼ G[2 3 2 4p ¼ e 0 [ + D [V / m] G($ = [V / m] ( ) l ¼ D ¼ G[ 32 4p ¼ e 0 [2 + D 2 I-17 On pourrait, à ce stade, effectuer les deux intégrations. On peut s’ épargner la moitié de ce travail en remarquant que deux charges dq et dq'situées symétriquement de part et d’ autre de l’ axe y (donc de positions +x et -x) créent des composantes horizontales du champ égales et de signes opposés. Elles s’ annulent donc mutuellement. Comme le barreau a été admis de longueur infinie, on peut en tirer la conclusion que l’ axe y, quelle que soit sa position dans l’ espace fini, sépare le r barreau en deux segments de longueurs égales. La composante selon x de ( sera donc nulle. (% = 0 r r On aura donc : ( = (& ¼ M et, en module : ( = (' Si le barreau n’ était pas de longueur infinie, cette conclusion ne resterait valable que si le point P était situé sur la médiatrice du barreau. On a donc finalement : ( = () = = l ¼D ¼ 4p ¼ e 0 3 × ([ 3 2 /,0 2 1 0 2 = l ¼D 4p ¼ e 0 On a finalement : × ( - *,+ ( - . + ( l ¼ D 2 4p ¼ e 0 [ + D 2 G[ + D2 ) 32 ) 32 ¼ G[ [ = l ¼D ¼ 4p ¼ e 0 D 2 ¼ [ 2 + D 2 (- 1) Þ Î ¼ Ï 12 - 2 ß = l ¼ D ¼ 22 D à 4p ¼ e 0 D ÐD ( = () = l 2pD ¼ e 0 /,0 1 0 [V / m] On voit donc que le champ électrique à une distance D d’ un barreau chargé infiniment long est radial. Son module est proportionnel à l’ inverse de la distance a (contrairement à celui créé par r une charge ponctuelle qui est proportionnel à l’ inverse du carré de la distance). Le champ ( est d’ amplitude constante sur des cylindres d’ axe coïncidant avec celui du barreau chargé. I-18 Si le barreau chargé n’ était pas de longueur infinie, mais d’ une longueur 2l finie, on trouverait que le champ électrique dans le plan médiateur du barreau est aussi radial. L’ amplitude de ce champ à une distance a du barreau vaut : (= ( lO ¼ 1 2 2pD ¼ e 0 D + O 2 ) 12 [V / m] Si l’ on compare ceci au champ à une distance a du barreau de longueur infinie, on obtient : ( ((2O) = 2 O 2 (() D +O ) 12 = 1 12 2 Ë Û D Ì1 + 2 Ü O Ý Í [1] Ce rapport vaut 95 % pour O = 3D et 99.5 % pour O = 10D. C’ est pour cette raison que le champ au voisinage immédiat d’ un barreau chargé fini peut souvent, sans grosse erreur, être calculé à l’ aide de la formule établie dans le cas du barreau infini. 2ème application : champ créé par un anneau mince chargé uniformément. On considère un anneau de section faible par rapport à sa longueur : I-19 D ¼ Gq ¼ l = G4 On veut calculer le champ électrique au point P situé à la verticale du centre de l’ anneau et à une hauteur b. Le petit élément habituel est cette fois-ci un petit arc élémentaire d’ angle au centre Gq . La longueur de cet arc vaut donc D ¼ Gq et sa charge GT = l ¼ D ¼ Gq . Dans le plan formé par l’ axe z et la distance d, on peut utiliser les résultats de l’ application précédente. On trouve ainsi : l ¼ D ¼ D ¼ Gq 3 4p ¼ e 0 2 2 D +E 2 G(4 = - G( 5 = ( ) l ¼ E ¼ D ¼ Gq 3 4p ¼ e 0 D 2 + E 2 2 ( ) On voit que l’ amplitude de ces deux composantes ne dépend pas de l’ angle q . Comme un petit élément dq'diamétralement opposé à dq crée un champ horizontal égal et opposé à celui créé par dq, on peut en déduire que la composante horizontale du champ total est nulle. (6 = 0 On a donc : (8 = × G(8 = Finalement : (= × 4pl¼ e 27 0 ¼ 0 (D DE 2 +E 2 ) 3 2 ¼ Gq Sur l’ axe de l’ anneau : r ( est porté par l’ axe (2pD ) ¼ E ¼ l ( 4p ¼ e 0 ¼ D2 + E2 ) 3 2 [V / m] 2pDl = 4 est la charge totale de l’ anneau. Le résultat ainsi trouvé va permettre un calcul rapide du cas suivant. I-20 3ème application :champ créé par une plaque infinie de charge uniformément répartie (plaque non conductrice). On considère une plaque de dimensions infinies portant une charge de densité surfacique s [C/m2]. On prend comme petit élément de surface un anneau de rayon r et d’ épaisseur dr dont le centre O est la trace dans le plan de la plaque du point P où l’ on veut calculer le champ. Comme on l’ a vu dans l’ application précédente, un tel anneau crée un champ vertical (les composantes horizontales s’ annulent mutuellement). Pour calculer dE, on peut utiliser la formule de l’ application précédente où l’ on introduit, comme charge totale de l’ anneau, la valeur : 2pU ¼ GU ¼ s , 2pU ¼ GU correspondant à la surface en noir de l’ anneau. On obtient ainsi : G( = s ¼ 2pU ¼ E ¼ GU 3 2 2 4pe 0 ¼ U + E 2 ( ) Pour trouver le champ total, on intègre entre U = 0 et U = : ( = s ¼E ¼ × 2e0 0 9 U ¼ GU U + E2 ( 2 ) 3 2 On fait le même changement de variable que dans la première application : U = E ¼ WJq = E ¼ sin q cos q E Gq cos 2 q GU = (U 2 ) +E 3 2 2 = E 3 cos q 3 ( = s ¼ E ¼ 1 × sin q ¼ Gq = s 2e0 E 0 2e0 : 2 On arrive à : I-21 car × sin q ¼ Gq = 1 ; 2 0 Le champ créé par une plaque chargée infinie est perpendiculaire à la plaque. Son amplitude vaut : (= s 2e0 [V / m] Elle ne dépend pas de la distance par rapport à la plaque. 3.5 Représentation géométrique du champ électrique Il est pratique de représenter le champ électrique associé à une distribution de charges par une série de courbes appelées lignes de champ électrique. Ces lignes, en plus du fait qu’ elles sont dotées d’ un sens de parcours, sont construites de telle manière qu’ elles aient les propriétés suivantes : r en tout point d’ une ligne de champ, le champ électrique ( est tangent à la ligne. Le sens r de ( est le même que le sens de parcours de la ligne. le nombre de lignes de champ traversant une région de l’ espace est proportionnel à l’ amplitude du champ dans cette région. Donc : forte « densité » de lignes de champ @ grand champ électrique faible « densité » de lignes de champ @ faible champ électrique On peut facilement trouver la forme des lignes de champ dans le cas d’ une charge ponctuelle. Comme on l’ a vu plus haut, le champ créé par une telle charge est radial. Les lignes de I-22 champ sont donc des demi-droites se coupant au point où est située la charge. Dans le cas d’ une charge positive, le champ est dirigé vers l’ extérieur : il en va de même des lignes de champ. Si la charge est négative, les sens de parcours des différentes lignes convergent vers la charge. On voit sur les figures qu’ au voisinage de la charge le nombre de lignes de champ par unité de surface est plus grand qu’ à une distance supérieure. Si l’ on prend comme surfaces des sphères centrées sur la charge, le nombre de lignes de champ par unité de surface vaut : 1 '= 1 2 4pU où N est le nombre de lignes considérées On retrouve donc la loi selon laquelle le champ créé par une charge ponctuelle est proportionnel à l’ inverse du carré de la distance. Lorsqu’ on a plusieurs charges en présence, on peut dire que le champ au voisinage de l’ une d’ elles est essentiellement créé par elle-même (en vertu de la loi de l’ inverse du carré de la distance). Ceci entraîne que les lignes de champ ont, au voisinage immédiat d’ une charge, la même allure qu’ elles auraient si la charge était seule. Dans des régions de l’ espace où le champ d’ aucune des particules ne prédomine, la recherche des lignes de champ est moins aisée. Il faut dans un tel cas observer les deux règles suivantes : • le seul cas où deux lignes de champ se croisent est celui où une particule chargée se trouve à leur intersection. Donc, en l’ absence de particules chargées, les lignes de charge ne se croisent pas. • les lignes de champ sont continues dans toute région de l’ espace ne contenant aucune charge. Ainsi, une ligne de champ doit avoir son origine sur une particule chargée positive et son extrémité sur une particule chargée négative. Aucune ligne de champ ne peut s’ effacer en un point où ne figure aucune charge. Lorsqu’ on est en présence que d’ une seule charge (positive ou I-23 négative), les lignes de champ aboutissent à l’ infini, ce qui revient à dire qu’ il existe à l’ infini une charge de signe opposé telle que les lignes de champ y aient leur origine ou leur extrémité. Comme exemple, on peut considérer le champ créé par une plaque chargée de dimensions infinies. Comme on l’ a vu au paragraphe précédent, le champ en tout point de l’ espace est perpendiculaire à la plaque et d’ amplitude constante. On obtient donc la figure suivante : Dans le cas de deux droites parallèles de charges opposées (les deux droites pénètrent dans la feuille), les lignes de champ dans tout plan perpendiculaire aux deux droites ont l’ allure suivante : I-24 3.6 Flux électrique La notion de flux est une notion qui se retrouve dans plusieurs branches de la physique, telles par exemple l’ électrostatique, l’ électromagnétisme et l’ hydraulique. Par flux, on entend en réalité le flux d’ un vecteur à travers une surface. r Considérons par exemple un champ vectoriel F quelconque : en tout point de l’ espace existe r donc un vecteur F d’ amplitude et de direction pas forcément constantes dans cet espace. On considère d’ autre part une petite surface élémentaire dA quelconque. Il est courant de représenter cette surface par un vecteur de module égal à la surface et de direction normale à la surface : r G$ = G$ [m2] r G$ ^ surface G$ r L’ orientation de G$ est arbitraire. Dans le cas de surfaces fermées (c’ est-à-dire délimitant r un volume) on prendra les G$ pointant vers l’ extérieur du volume. La surface G$ est infiniment petite : elle se réduit à un point. On peut donc définir en ce point une r valeur de F . r Le flux élémentaire de F à travers G$ est défini par : r r GF< = F ¼G$ ( ) ( ) Il s’ agit donc du produit scalaire de deux vecteurs. Si l’ angle formé par ces deux vecteurs est r r a , ce produit scalaire vaut : GF= = F ¼G$ =F¼G$¼cosa Pour le moment, la notion de flux paraît être très théorique. Elle cesse de l’ être si l’ on prend r r par exemple comme vecteur F , la vitesse d’ écoulement Y de l’ eau dans une conduite. On admettra dans ce qui suit que l’ eau garde une masse volumique constante. Si l’ on prend une petite surface au r sein de l’ écoulement, on voit que le flux de Y à travers cette surface n’ est rien d’ autre que le débitvolume d’ eau traversant la surface (en m3 / s). I-25 ( ) r r GF > = Y ¼G$ =G9& = G9 GW Si l’ on prend une surface non forcément plane A, le débit-volume traversant la surface s’ exprime par la somme (intégrale) de tous les débits-volumes élémentaires G9& . Le débit-volume 9& total traversant la surface A vaut : r r [m3 / s] ? Y ¼ G$ F@ = 9& = ×× r r On peut noter encore que seule la composante de Y parallèle à G$ produit une contribution au débit-volume. En hydraulique, le flux traversant toute surface fermée est nul. Ce n’ est pas le cas r en électrostatique où le flux de ( à travers une surface fermée peut être soit positif, soit nul, soit négatif. Si le flux d’ un vecteur au travers d’ une surface fermée est positif, on dit qu’ il y a une source à l’ intérieur de la surface. Si le flux est négatif, on dit que la surface fermée renferme un puit ou un gouffre. Dans le cas où le flux traversant la surface fermée est nul, on dit qu’ il y a absence de sources ou de puits. Pour revenir à l’ électrostatique, on appelle flux du champ électrique au travers d’ une surface $ la grandeur : FB = r ( ( ¼ G$ ) ×× r A [V · m] (I-12) 3.7 Loi de Gauss La loi de Gauss exprime la relation entre le flux électrique traversant une surface fermée et le nombre de charges comprises à l’ intérieur du volume délimité par cette surface. Pour commencer, on considère une charge ponctuelle q positive. Celle-ci crée un champ radial dirigé vers l’ extérieur et de module valant : ((U) = 1 ¼T 4p ¼ e 0 U 2 I-26 On prend ensuite comme surface fermée une sphère de rayon r centrée sur la charge. r Comme on est en présence d’ une sphère, tous les vecteurs G$ sont radiaux, donc de même r support et direction que ( . ( ) Le flux du champ électrique à travers une petite surface vaut donc : r r GF C = ( ¼ G$ = ( ¼ G$ r ( ( ¼ G$ ) = ×× ×× Si l’ on intègre sur toute la sphère, on obtient : FN = r D EGFIHKJML D EGFIHKJML 1 ¼ T ¼ G$ 4p ¼ e 0 U 2 Comme r est constant sur la sphère, il reste : FU = 1 2 ¼ T ×× G$ O PGQIRKS T 4p ¼ e 0 ¼ U L’ intégrale se réduit à la surface A de la sphère qui vaut : $ = 4pU 2 En remplaçant, on trouve : FV = T e0 Flux du champ électrique sortant de la sphère au centre de laquelle se trouve q. Le flux du champ électrique sortant d’ une sphère au centre de laquelle se trouve une charge ponctuelle positive T vaut T e 0 . r Si la charge est négative, le champ ( pointe vers le centre de la sphère. Le produit scalaire est négatif, donc FW aussi. Dans ce cas, c’ est donc le flux entrant qui vaut T e 0 . La relation trouvée par le calcul pour une seule charge et une sphère est en réalité valable dans le cas général. On considère pour cela une surface fermée renfermant n charges q1, q2, … , qn pas forcément toutes positives : I-27 On peut montrer que dans un tel cas, on a la relation : F\ = ×× ( Y ) ÊT ¼ 1 e r r ( ¼ G$ = Z [X [ 1 [V · m] (I-12) 0 Le flux du champ électrique sortant d’ une surface fermée est égal à la somme algébrique des charges comprises dans le volume délimité par la surface, divisée par la permittivité du vide e 0 . Cette loi est connue sous le nom de LOI DE GAUSS. Elle permet de calculer facilement, comme on va le voir, le champ électrique créé par des répartitions de charge simples. Il faut noter que, sous le signe somme, les charges doivent être prises avec leur signe. Ainsi, le flux électrique sortant de toute surface fermée comprenant deux charges égales et de signes opposés est nul. Si les charges positives prédominent dans le volume délimité par la surface fermée A, on est en présence d’ une « source de champ électrique ». Si les charges négatives prédominent, il s’ agit d’ un « puits » pour le champ électrique. 3.8 Calcul du champ électrique à l’ aide de la loi de Gauss La loi de Gauss est une relation de forme intégrale, donc d’ abord plutôt difficile. Dans certains cas, elle permet toutefois de calculer simplement le champ électrique. Ces cas sont ceux où l’ on peut, a priori, trouver la direction du champ, en général par des considérations de symétrie. On va en donner trois exemples. 1er exemple : calcul du champ électrique créé par une charge ponctuelle q. On se propose de montrer le raisonnement qui, basé sur la loi de Gauss, permet de retrouver la relation donnant le champ électrique. Pour des raisons de symétrie, on peut dire que : • que le champ doit être radial (toute composante non radiale du champ amènerait avec elle une I-28 rupture de la symétrie) • que le champ doit être constant en module sur des sphères ayant la charge q en leur centre. Pour appliquer la loi de Gauss, on choisit une de ces sphères de rayon r. Sur une telle sphère, r r tous les G$ sont radiaux, donc de même support que ( . ((r ¼ G$) = ( ¼ G$ r On a donc : En intégrant, on obtient : r ( ( ¼ G$) = ×× ×× ( ¼ G$ = ( ¼ ×× G$ = ( ¼ 4pU r ^ _G`IaKbMc On en tire donc : ^ _G`IaKbMc ((U) = ^ _G`IaKbMc 1 ¼T 4pe 0 U 2 2 = T e] [V /m] Cet exemple va évidemment de soi puisqu’ on était parti de cette relation pour trouver la loi de Gauss. En reprenant dans ce qui suit la droite chargée et le plan chargé, on va montrer que la loi de Gauss est un instrument très puissant pour le calcul du champ. 2ème exemple : champ créé par un barreau uniformément chargé de longueur infinie. Comme le barreau est de longueur infinie, tout plan perpendiculaire à celui-ci est un plan de symétrie. Le champ est donc radial et d’ amplitude constante sur des cylindres d’ axes confondus avec le barreau. Pour l’ intégration, on prend une portion d’ un tel cylindre de hauteur h. I-29 r r Sur les surfaces supérieure et inférieure, le champ ( est perpendiculaire au vecteur G$ . Il ( ) ( ) ( ) ( ) n’ y a donc aucun flux traversant ces surfaces car le produit scalaire est nul. r r r r r r r r ( ¼ G $ = ( ¼ G $ + ( ¼ G $ + ( ×× ×× ×× ×× ¼G$ surface fermée surface supérieure (= 0) surface latérale surface inférieure (= 0) r Sur la surface latérale, les G$ sont radiaux, tout comme le champ. On a donc : r ( ( ¼ G$ ) = ×× ×× ( ¼ G$ = ( (U ) ¼ ×× G$ = ( (U ) ¼ 2pU ¼ K r surface fermée surface latérale surface latérale La charge comprise dans la portion de cylindre vaut, divisée par e d : 1 ¼T = l ¼K¼ 1 e0 e0 En égalant les deux relations ci-dessus, on obtient : ((U) ¼ 2pU = 1 ¼ l e0 On en tire : ((U) = l 2pU ¼ e0 [V / m] On retrouve donc bien le même résultat que dans la première application du paragraphe 3.4. 3ème exemple :champ créé par une plaque de dimensions infinies chargée uniformément (plaque non conductrice). Vu les dimensions infinies de la plaque, le champ doit être perpendiculaire à la plaque. Son module doit être constant en tout cas à distance constante du plan. On prend comme surface fermée d’ intégration un cylindre perpendiculaire au plan et dont les faces supérieure et inférieure sont situées à égales distances du plan chargé. I-30 r r Sur la surface latérale du cylindre, G$ est perpendiculaire à ( . Il n’ y a donc pas de flux électrique traversant cette surface. D’ autre part, le flux traversant la surface supérieure du cylindre ×× ( ) ×× ( ) ×× est égal à celui traversant la surface inférieure. On a donc, si A est la section du cylindre : r r r r ( ¼ G$ = 2 ¼ ( ¼ G$ = 2 ¼ ( ¼ G$ = 2 ($ surface fermée surface supérieure surface supérieure La charge comprise dans le cylindre vaut : T =s ¼$ 2($ = s ¼ $ ¼ 1 e0 d’ où : (= s 2e0 ou, finalement : [V / m] On retrouve le résultat de la troisième application du paragraphe 3.4. Les trois exemples ci-dessus ont montré comment on peut arriver simplement à calculer le champ électrique lorsque la configuration de la charge possède des symétries telles que l’ on peut prévoir la direction du champ et prévoir également sur quelles surfaces ce champ est constant. Lorsque ceci n’ est pas faisable, il faut avoir recours à la formule générale de calcul du champ : r T Ur 1 ¼ ¼ [V / m] (= 4pUe 0 U 2 U /HSRWHQWLHOpOHFWULTXH 4.1 Energie et champ électrique On considère une région de l’ espace où règne un champ électrique. Toute particule q0 située dans ce champ est soumise à une force électrique r r ) = T0 ¼ ( r de même sens que ( si q0 est positive. [N] lignes de champ r Si elle n’ est pas retenue, la charge q0se déplace dans le sens de ) . I-31 Considérons maintenant qu’ un observateur veuille faire parcourir un certain trajet à la particule q0 et ceci très lentement. Pour cela, il faut tout d’ abord neutraliser la force électrique (en exerçant une force égale et de sens opposé) et exercer une force supplémentaire dans la direction où l’ on veut mouvoir la charge. La vitesse de déplacement dépendra de l’ amplitude de cette force supplémentaire. A la limite, pour avoir un déplacement infiniment lent , on peut considérer qu’ il ne faut, en tout point où se trouve la charge q0, que compenser la force électrique. Ceci revient donc à exercer sur la charge une force r r )e = -T0 ¼ ( Si l’ on veut faire parcourir à q0 un trajet AB quelconque, il faut fournir un certain travail WAB, c’ est-à-dire une certaine quantité d’ énergie. lignes de champ électrique Pour calculer la petite quantité d’ énergie (travail) qu’ il faut fournir pour faire parcourir à q0 une petite distance GO le long de la trajectoire, on introduit, en tout point de cette trajectoire, un r vecteur élémentaire GO tel que : r GO tangent à la trajectoire r GO = GO Pour une position quelconque de q0 sur la trajectoire, on a donc : trajectoire ligne de champ Le travail élémentaire à fournir s’ exprime alors par : ( ) I-32 r r r r G: = )f ¼GO = produit scalaire de )g par GO . r En remplaçant )g par sa valeur, on trouve : ( ( r r G: =-T0¼ (¼GO ) ) r r La grandeur (¼GO est appelée circulation du champ électrique le long de dl. L’ énergie à fournir pour faire passer q0 du point A au point B s’ obtient en sommant tous les travaux élémentaire dW : :i h = -T0 ¼ r ( ( ¼ GO ) × h r i [J] (I-13) 4.2 Potentiel électrique r L’ intégrale ci-dessus est appelée circulation de ( le long de la trajectoire AB. En général, en mathématique, une telle intégrale ne dépend non seulement des limites, mais également du parcours emprunté pour relier A à B. Dans le cas de l’ électrostatique, ce n’ est pas le cas. Ainsi, dans l’ exemple suivant : lignes de champ ×( j on aurait : k ) ×( r r ( ¼ GO = Contour C1 j k ) × ((r ¼ GOr ) r r ( ¼ GO = Contour C2 j k Contour C3 L’ énergie à fournir pour faire passer q0 de A à B ne dépend donc pas du trajet emprunté. Lorsque la circulation d’ un champ le long d’ un contour ne dépend pas de ce contour, mais uniquement des points de départ et d’ arrivée, on dit que le champ est conservatif. C’ est donc le cas du champ électrostatique (= champ électrique dans le cas de l’ électrostatique). r r ( ( ¼ GO ) ne dépende pas du trajet emprunté exige mathématiquement × l Le fait que l’ intégrale m que l’ expression sous l’ intégrale soit une différentielle totale. I-33 Ceci entraîne qu’ il doit exister une fonction de potentiel électrique V telle que sa différentielle r r s’ exprime par : G9 =- (¼GO ( ) (le signe – est posé ici par pure convention). V est un scalaire appelé potentiel électrique. Un contrôle des unités permet de constater qu’ il r est bien exprimé en Volt. On dit également dans un tel cas que le champ électrique ( dérive d’ un potentiel V. L’ énergie à fournir à la charge q0 pour la faire passer de A à B vaut donc : La grandeur (9q - 9p :n ) o = - T0 ¼ r ( ( ¼ GO ) = + T × o r n ¼9 0 = (9o - 9n ) ¼ T 0 o n est appelée tension ou différence de potentiel entre les points B et A et désignée par le symbole UBA : 8s,r = 9s - 9r = :rts T0 Î Þ Ï $V = 9 ß Ð à (I-14) On voit ici qu’ aussi bien le potentiel électrique V que la tension UAB correspondent à une énergie par unité de charge. On retrouve la définition que l’ on avait donnée au premier chapitre de ce cours d’ électrotechnique : la tension aux bornes d’ une source est égale à l’ énergie fournie par la source à toute charge unité de 1 C la traversant. Cette fois-ci, d’ une manière plus générale, on peut dire : La différence de potentiel (VB – VA) est égale au travail qu’ il faut fournir à une charge unitaire pour la faire passer d’ un point A à un point B. 4.3 Circulation du champ électrique le long d’ un contour fermé vaut : Comme on vient de le voir, la circulation du champ électrique le long de contours ouverts (I-15) ( ) r r contour élémentaire : ( ¼ GO = - G9 r ( ( ¼ GO ) = 9 × u contour AB : v r v - 9u r On peut se poser la question de savoir ce que devient la circulation de ( le long d’ un contour fermé I-34 Sens de parcours de la r boucle = sens des GO On trouve facilement la réponse si l’ on définit sur ce contour fermé deux points A et B. On a en effet : ×( y ) ×( r r ( ¼ GO = x ) × ((r ¼ GO ) r r ( ¼ GO + w r =(9z -9{ )+(9{ -9z )=0 w x En électrostatique, la circulation du champ ×( ) électrique le long de tout contour fermé est nulle : r r ( ¼ GO = 0 | Ceci est toujours le cas lorsque le champ dérive d’ un potentiel. 4.4 Calcul du potentiel en électrostatique ( ) La relation fondamentale permettant de calculer le potentiel est, comme on l’ a vu plus haut : r r G9 = - ( ¼ GO [V] (I-16) Si, par la formule classique ou par la loi de Gauss, on arrive à calculer le champ dû à un ensemble de charges, on peut, à l’ aide de la relation ci-dessus, calculer le potentiel. Ceci se fera par intégration de la relation. Il en résulte que le potentiel ne sera connu qu’ à une constante près (constante d’ intégration). Ainsi, en prenant la circulation de A à B, on trouve la différence de potentiel entre A et B, mais pas la valeur absolue du potentiel. Dans plusieurs cas, on admettra que le potentiel est nul à une distance infinie des charges qui créent le champ. Ceci est une pure convention. 1er exemple : potentiel dû à une charge ponctuelle q. Comme on l’ a vu plus haut, le champ créé par une telle charge est radial. Son module vaut : T ((U) = 1 ¼ 2 4pe 0 U I-35 r Pour calculer V, on calcule la circulation de ( le long d’ un des rayons. On a alors : r r GO = GU r r GU parallèle à ( On obtient : ( ) r r T G9 = - ( ¼ GU = - ( ¼ GU = ¼ GU2 4 pe 0 U En prenant l’ intégrale indéfinie, on obtient : 9(U) = × G9 = - T T ¼ × GU2 = + &VWH 4pe 0 U 4pe 0U Si l’ on admet que le potentiel est nul lorsque le rayon est infini, on trouve que la constante est nulle. On a donc : 9 (U ) = T 4 pe 0 U [V] Le potentiel est constant sur des sphères de rayon r centrées sur la charge. On dit que de telles sphères constituent des surfaces équipotentielles. La différence de potentiel entre deux sphères de rayons r1 et r2 s’ exprime par : 91 - 9 2 = Ë Û ¼Ì 1 - 1 Ü 4 pe 0 ÌÍ U1 U2 ÜÝ T [V] I-36 2ème exemple : potentiel créé par une droite chargée On sait que dans un tel cas, le champ est également radial et que son amplitude vaut : ((U) = l ¼ 1 2pe 0 U r r On pose de nouveau : GO = GU et on intègre le long du rayon : 9 = - l ¼ × GU = - l ¼ ln(U) + &VWH 2pe 0 2pe 0 U = - l ¼ ln(U) + l ¼ ln(N) 2pe 0 2pe 0 Ë Û = l ¼ lnÌ N Ü 2pe 0 Í U Ý où N = FVWH Ici, on ne pourrait pas poser que le potentiel est nul à l’ infini, car cela nous donnerait un potentiel infini à toute distance finie de la droite. On posera plutôt que le potentiel est nul à une certaine distance r0 de la droite. On en tire : Ë Û 9(U0) = 0 = l ¼ lnÌ N Ü 2pe 0 ÌÍ U0 ÜÝ Ceci est vérifié si k=r0. Donc : ËU Û 9(U) = l ¼ lnÌÌ 0 ÜÜ avec 9 ( U0 ) = 0 2pe 0 Í U Ý Les surfaces équipotentielles sont des cylindres axés sur la droite chargée. La différence de potentiel entre deux cylindres de rayons r1 et r2 vaut : ËU Û 91 - 92 = l ¼ lnÌ 2 Ü 2pe 0 ÌÍ U1 ÜÝ [V] Ceci est valable quel que soit le potentiel de référence choisi. ème 3 I-37 exemple : potentiel dû à une plaque chargée infinie Le champ est perpendiculaire à la plaque. Son amplitude vaut : (= s 2e 0 En prenant la circulation le long d’ une droite perpendiculaire à la plaque, on trouve : G9 = -( ¼ GD = - s ¼ GD 2e 0 ou, en intégrant : 9 = - s ¼ D + FVWH 2e0 Si l’ on admet que V = 0 à une distance a0 de la plaque, on a : 9(D) = s ¼ (D0 - D) 2e0 avec 9(D0) = 0 Les surfaces équipotentielles sont donc des plans parallèles à la plaque chargée. La différence de potentiel entre deux plans distants de d vaut : 91 - 92 = s ¼ G 2e 0 [V] 4ème exemple : calcul du potentiel créé par n charges concentrées q1, q2, … , qn I-38 r Le principe de superposition qui était valable pour le champ ( est encore valable pour le potentiel V. Si l’ on admet que V est nul à l’ infini, le potentiel créé par qi en P vaut : 9} (3) = En sommant, on trouve : 9(3) = T} 4pe 0U} 1 ¼ T avec 9() = 0 Ê 4pe 0 1 U ~ [V] (I-17) Alors que, dans le cas du champ, on avait à faire à une somme vectorielle des champs partiels, ici, on n’ a plus qu’ une somme de grandeurs scalaires. Les ri sont des grandeurs positives (distances). Les qi peuvent être positives ou négatives et doivent être prises avec leur signe. r 4.5 Calcul de ( à partir de V r Dans ce qui précède, on a admis que l’ on partait des charges, que l’ on en tirait le champ ( r et, qu’ à partir de ( , on calculait V. On pourrait concevoir le problème inverse, c’ est-à-dire celui r où V serait donné en tout point de l’ espace et où il faudrait calculer ( . ( ) La relation de départ est donc toujours la même : r r G9 = - ( ¼ GO r Elle nous permet, si le potentiel et le champ ( sont connus en un point A de l’ espace, de calculer le r potentiel VA + dV en tout point relié à A par le vecteur infinitésimal GO . Considérons un repère cartésien Oxyz : I-39 Considérons tout d’ abord que l’ on s’ éloigne de A dans la direction x (en laissant constantes r r les coordonnées y et z). On a alors : GO = L ¼ G[ r r d’ où : G9 M , M = - ( ¼ L ¼ G[ = -( ¼ G[ ( ) On obtient dans ce cas particulier où y et z sont constantes : ( = - G9 M , M G[ où G9 est la variation de V lorsque y et z sont constantes et que seul x varie. Cette condition correspond tout à fait à celle posée dans le cas de la dérivation partielle. On peut ( = - 9 [ donc écrire : et, en répétant le raisonnement pour y et z : ( = - 9 \ ou encore : ( = - 9 ] r r r r -( = 9 ¼ L + 9 ¼ M + 9 ¼ N [ \ ] [V / m] (I-18) r On comprend bien ici l’ expression « le champ électrique ( dérive du potentiel V ». 9([, \, ]) = D[2 \ + E]2 Exemple : [V] donné 9 [ 2 D[\ vecteur r 2 9 champ [V / m] (== - D[ \ électrique 2E] 9 ] r r r Le champ ( (U ) dérive du potentiel électrique 9 (U ) . 4.6 Surfaces équipotentielles et conducteurs r On considère une région de l’ espace où existe un champ électrique ( , accompagné de la fonction de potentiel V qui lui est associée. On dit qu’ une surface (qu’ elle soit mathématique où physique) est une surface équipotentielle si le potentiel est le même en tout point de la surface. Sur une telle surface, le potentiel obéit à la relation : 9([, \, ]) = FVWH I-40 Les surfaces équipotentielles ont diverses propriétés intéressantes, parmi lesquelles les deux suivantes, qui découlent directement de la définition : 1) Le travail requis pour mouvoir une particule chargée d’ un point à un autre de la même surface équipotentielle est nul. 2) Les lignes de champ électrique sont en tout point de l’ espace perpendiculaires aux surfaces équipotentielles. La première propriété est évidente puisque le travail nécessaire à mouvoir une charge q0 de A à B s’ exprime par : : = T0 ¼ (9 - 9 ) WAB est donc nul si VA = VB. ( ) La seconde propriété s’ explique par la relation : r r ( ¼ GO = - G9 ( ) Pour tout trajet situé sur une surface équipotentielle, on doit avoir dV = 0, donc r r ( ¼ GO = 0 r r r Ceci est le cas lorsque ( est perpendiculaire à GO . Comme GO est tangent à la surface r r équipotentielle, ( lui est donc perpendiculaire. Il en va de même des lignes de champ puisque ( est tangent à celles-ci. ligne de champ Surface équipotentielle V = cste Une des plus importantes applications de cette notion de surfaces équipotentielles concerne les conducteurs placés dans un champ électrique. On peut en effet montrer que tout point d’ un conducteur placé dans un champ électrique est au r même potentiel. A l’ intérieur du conducteur, ceci est évident puisque ( y est nul : r r ( ¼ GO = - G9 = 0 ( ) I-41 r A la surface, ( n’ est pas nul, mais il est, comme on l’ a montré, perpendiculaire à la surface. La surface du conducteur est donc équipotentielle. On en conclut donc que dV est nul pour tout déplacement à l’ intérieur et à la surface du conducteur. D’ où : Tous les points d’ un conducteur placé dans un champ électrostatique extérieur sont au même potentiel. Considérons maintenant une région de l’ espace où règne un champ électrique et, dans ce champ, une surface équipotentielle géométrique ayant par exemple le potentiel de la terre (par convention V=0). Supposons que l’ on place à l’ emplacement de cette surface un conducteur ayant exactement les mêmes dimensions qu’ elle et qu’ on lui impose le même potentiel (en l’ occurrence celui de la terre). Il n’ y aura aucun changement dans le champ extérieur, mais, par contre, le champ à l’ intérieur disparaîtra. Ainsi, si une surface équipotentielle est remplacée par un conducteur de mêmes dimensions et de même potentiel, les lignes de champ restent les mêmes à l’ extérieur. Toutefois, les lignes qui, à l’ origine, traversaient la surface équipotentielle prennent dorénavant leur origine ou aboutissent sur les charges induites à la surface du conducteur. 4.7 Energie dans le champ électrostatique On considère tout d’ abord le cas de deux particules chargées q1 et q2 situées à une distance r12 l’ une de l’ autre : L’ énergie électrostatique WQ associée à un tel système est numériquement égale au travail qu’ il faudrait fournir pour les amener à la distance r12 l’ une de l’ autre (en admettant qu’ au départ la I-42 distance qui les sépare est infinie). Pour calculer WQ, on part du principe que l’ on amène successivement q1 et q2 de l’ infini à leur position finale. Si l’ on considère tout d’ abord q1 séparément, il ne faut fournir aucun travail puisque il n’ existe aucun potentiel dans l’ espace dû à d’ autres charges. Une fois q1 en place, elle produit dans l’ espace une répartition du potentiel V s’ exprimant par : 9 (T1 ) = 1 ¼ T1 + FVWH 4pe 0 U Pour amener q2 de l’ infini, on doit lui faire traverser le champ créé par q1, donc lui fournir une énergie : : = T2 ¼ [9(U = U12) - 9(U = ) ] = T1T2 4pe 0 ¼ U12 L’ énergie associée au système des deux particules vaut donc : : = 1 ¼ T1 T 2 4pe 0 U12 [J] (I-19) Pour un système de trois particules chargées, il suffit d’ ajouter à cette énergie celle qu’ il faut fournir pour amener à sa position finale, c’ est-à-dire pour lui faire traverser le champ dû à q1 et q2. Le potentiel dû à q1 et q2 s’ exprime par : ËT T Û 9(T1, T2) = 1 ¼ Ì 1 + 2 Ü + FVWH 4pe 0 ÌÍ U1 U2 ÜÝ Le travail à fournir pour déplacer q3 vaut : : = 9(U1 = U31 / U2 = U23) - 9(U1 = / U2 = ) 3 Ë TT T T Û = 1 ¼Ì 1 3 + 2 3 Ü 4pe 0 ÌÍ U31 U23 ÜÝ En l’ ajoutant à l’ énergie associée à q1 et q2 seules, on arrive à : Ë TT T T T T Û : = 1 ¼ Ì 1 2 + 2 3 + 3 1 Ü 4pe 0 ÌÍ U12 U23 U31 ÜÝ [J] (I-20) I-43 &RQGHQVDWHXUVpOHFWULTXHV 5.1 Condensateurs et capacité On considère deux conducteurs isolés A et B et l’ on admet qu’ une charge +Q a été enlevée de l’ un d’ eux pour être déposée sur l’ autre. Si les deux conducteurs étaient initialement neutres, on obtient ainsi deux conducteurs de charges égales et de signes opposés. Comme on le voit sur la figure, les lignes de champ partent du conducteur chargé positivement pour rejoindre celui de charge négative. Les charges +Q et –Q sont stationnées à la surface des conducteurs. Une telle configuration est appelée condensateur, les deux conducteurs qui la constituent étant les armatures du condensateur. Il va sans dire que, si l’ on a pris, dans la figure ci-dessus, des armatures de formes quelconques, ce n’ est généralement pas le cas dans la réalisation industrielle. Néanmoins il faut préciser que les condensateurs réalisés comme tels ne sont pas les seuls existants, mais que tout conducteur forme avec la terre, avec des conducteurs voisins, etc. des condensateurs aux effets souvent combattus (capacités parasites). On peut se représenter une manière très simple de charger un condensateur. Il consiste tout d’ abord à électriser par influence l’ une des armatures que l’ on a préalablement relié électriquement à l’ autre : I-44 Les charges négatives du barreau repoussent le plus loin possible (c’ est-à-dire dans la seconde armature) les charges négatives de la première armature. En partant, celles-ci laissent un nombre égal de charges positives. En coupant le fil de liaison et en retirant le barreau, on obtient deux conducteurs de charges égales, mais de signes opposés. Comme on l’ a vu plus haut, chacune des armatures est une surface équipotentielle. Si Q est différente de zéro, les potentiels de l’ armature chargée négativement sont différents. Comme le champ est dirigé de l’ armature positive vers la négative, le potentiel de la première est plus élevé que celui de la seconde. On appelle tension aux bornes du condensateur la différence de potentiel entre les armatures : 8 = 9 - 9 [V] (I-21) Cette tension correspond, d’ après les définitions des paragraphes précédents au travail qu’ il faudrait fournir pour faire passer une charge positive unité de l’ armature négative sur l’ armature positive. Bien que les deux armatures portent chacune une charge de valeur absolue Q (mais de signes opposés), on appelle charge du condensateur la valeur positive Q. Q = charge située sur l’ armature chargée positivement = charge du condensateur [A · s = C] On appelle capacité du condensateur la valeur : &= 4 8 Î C A ¼sÞ ÏF = V = V ß Ð à (I-22) Celle-ci s’ exprime en Coulomb / Volt ou encore en Ampère · seconde / Volt. Cette unité a reçu le nom de Farad : 1 Farad = 1 Ampère · seconde / Volt Q étant par définition la charge positive et U la différence de potentiel entre l’ armature positive et la négative, C est une grandeur par définition positive. La capacité C d’ un condensateur est indépendante de la tension et de la charge : elle constitue seulement le facteur de proportionnalité (constant) entre les deux. C dépend de la configuration géométrique du condensateur (forme et dimensions des armatures, distance entre celles-ci) ainsi que des propriétés diélectriques du milieu entre les deux armatures. La méthode de charge du condensateur donnée au début de ce paragraphe est correcte, mais assez peu efficace, donc très rarement appliquée dans la pratique. I-45 La meilleure méthode pour charger le condensateur est celle qui consiste à le brancher à une source de tension continue. Au moment où la liaison est faite, les armatures n’ ont pas le même potentiel que les bornes de la source. Il va donc y avoir circulation de charges d’ une armature à l’ autre au travers de la source jusqu’ à ce que les potentiels des armatures soient les mêmes que ceux de la source. Si celle-ci a une tension valant U0, le processus de charge s’ arrête lorsque l’ armature positive a reçu une charge C · U0 et l’ armature négative une charge –C · U0. A ce moment, l’ équilibre électrostatique est atteint, le condensateur est chargé. La représentation schématique générale de la capacité est la suivante : 5.2 Energie électrostatique emmagasinée dans un condensateur chargé Pour calculer l’ énergie électrostatique emmagasinée dans un condensateur, on utilise la méthode déjà utilisée précédemment lors du calcul de l’ énergie d’ un système de plusieurs charges ponctuelles. A un instant t de la charge d’ un condensateur, sa tension aux bornes vaut : X(W) = 4(W) & Si l’ on veut amener à cet instant une charge supplémentaire dQ de l’ armature négative à l’ armature positive, il faut fournir un travail : G: = X(W) ¼ G4 = 1 ¼ 4 ¼ G4 & L’ énergie totale emmagasinée est égale à la somme des dW qu’ il a fallu fournir pour faire passer la charge de la valeur 0 à la valeur Q(t) : : = Ê G: = 2 1 ¼ 4 ¼ G4 = 4 × 0 & 2& I-46 Comme 4 = & ¼ X , on a aussi la relation : 42(W) 2 : (W) = 1 ¼ & ¼ X (W) = 2 2& [J] (I-23) Cette relation donne, à n’ importe quel instant, la valeur de l’ énergie emmagasinée en fonction de la valeur instantanée de la tension ou de la charge. La dernière relation donne que la puissance instantanée est : & ( t ) = 1 ¼ C ¼ du ( t ) = C ¼ u ( t ) ¼ u& ( t ) PQ ( t ) = W Q 2 dt [W] Si la tension u(t) variait instantanément alors X&(W) , donc la puissance 3 (W) ce qui est évidemment impossible et non physique. Donc : La tension u(t) aux bornes d’ un condensateur ne peut pas, pour des raisons énergétiques, varier par sauts brusques. Si X(W) = X0 est une tension constante aux bornes du condensateur, alors (I-23) donne : 42 : = 1 ¼ & ¼ 802 = 2 2& [A·V·s = J] (I-24) c’ est l’ énergie électrostatique emmagasinée par C. 5.3 Calcul de la capacité résultante de combinaisons de condensateurs Par combinaisons de condensateurs, on entend la mise en série ou en parallèle des condensateurs. Mise en série : Lors de la mise en série de condensateurs, ceux-ci ont tous la même charge. On s’ en persuade facilement en considérant l’ ensemble des condensateurs. La tension totale vaut alors : Ë1 1 1 X£ ¤¥£ =Ê ¢ X¢ =4¼Ì Ì & + & +L+ &¡ 1 Í 1 2 ¡ Û ÜÜ Ý I-47 Comme les armatures extrêmes de la mise en série des condensateurs ont une charge +Q, respectivement –Q, la charge de la mise en série des capacités vaut aussi Q. On doit donc avoir la 4 = &¦ §¥¦ ¼ X¦ §¥¦ relation : 1 = 1 + 1 +L+ 1 &© ª¥© &1 &2 &¨ Il en résulte : Mise en série (I-25) Lors de la mise en série de condensateurs, tous les condensateurs reçoivent la même charge. Ceci est valable également pour la capacité totale : Q = C1 ¼ u 1 = C 2 ¼ u 2 = L = C n ¼ u n = C tot ¼ u tot Mise en parallèle : Il va de soi, puisque toutes les armatures de gauche ou de droite sont reliées entre elles, que la tension est la même pour tous les condensateurs. Lors de la charge, les charges se répartissent entre les n condensateurs. La charge totale est donc égale à la somme des charges des n condensateurs : 4¬ ­¥¬ = 41 + 42 + L + 4« en remplaçant les 4® par &¯ ¼ X , on obtient : &± ²¥± ¼ X = &1 ¼ X + &2 ¼ X + L + &° ¼ X ou encore : &± ²¥± = &1 + &2 + L + &° Mise en parallèle Lors de la mise en parallèle de condensateurs, tous ont la même tension aux bornes. La charge totale se répartit dans le rapport des capacités : Q Q1 Q 2 Q = = L = n = tot = u C1 C 2 C n C tot (I-26) I-48 5.4 Calcul de la capacité de condensateurs de formes simples Dans ce qui suit, on se propose de calculer la capacité de trois configurations simples de condensateurs, soit : le condensateur plan le condensateur cylindrique le condensateur sphérique Dans les trois cas, on admettra que les armatures du condensateur sont dans le vide (ou, ce qui revient pratiquement au même, dans l’ air). On verra au paragraphe suivant ce qu’ il se passe lorsque les armatures sont séparées par un matériau diélectrique. Le développement ou calcul de la capacité d’ un condensateur est pratiquement toujours le même et se compose des pas suivants : • à l’ aide d’ hypothèses simplificatrices, on se ramène à une configuration géométrique idéale, ce qui permet, au vu des symétries, de déterminer la répartition de la charge sur les armatures. • calcul du champ électrique entre les armatures (le plus souvent à l’ aide de la loi de Gauss). • calcul de la répartition du potentiel entre les armatures par intégration de la relation : r r dV = - E ¼ d l ( ) ceci permet d’ obtenir la relation liant la différence de potentiel U entre les armatures et la charge Q. • obtention de la capacité & = 4 . 8 1er cas : condensateur plan Un condensateur plan est formé par deux armatures planes de même section A situées à une distance d l’ une de l’ autre (plaques parallèles ). Soit, vu en coupe, un tel condensateur : les effets de bords sont négligés I-49 armature plane et conductrice s est la densité surfacique de charges [A · s / m2] r Toujours pour des raisons de symétrie, le champ ( est, en tout point entre les plaques, perpendiculaire à celles-ci. Son module est constant. Comme le champ vaut, par définition (loi de 4 (=s = e0 e0 ¼ $ Gauss) : à la surface des plaques, il garde cette valeur entre les armatures. ( Pour calculer le potentiel, on utilise la relation : r r G9 = - ( ¼ GO ) r Si l’ on considère un point quelconque situé à une distance x de l’ armature positive, on prend un GO d’ amplitude égale à G[ et de direction normale aux armatures. On a donc : G9 = -( ¼ G[ = - et, en intégrant : 9 ( [) = - 4 e0 ¼ $ 4 ¼ G[ e0 ¼ $ ¼ [ + FVWH Si V1 et V2 sont les potentiels des armatures, on a : 8 = 91 - 92 = 9([ = 0) - 9([ = G) = Comme 8 = 4 , on en tire finalement : & &= e0 ¼ $ G 4 ¼G e0 ¼ $ Î ) P2 Þ ÏP ¼ P = )ß Ð à (I-27) I-50 C’ est la formule générale de la capacité d’ un condensateur plan. Le diagramme ci-dessous donne la répartition du champ électrique et du potentiel entre les plaques : Les surfaces équipotentielles sont des plans parallèles aux armatures. En remplaçant 4 e0 ¼ $ dans la relation de E, on voit que le champ entre les plaques vaut : ( = 8 = FVWH G [V / m] 2ème cas : condensateur cylindrique On considère un condensateur formé par deux armatures cylindriques coaxiales : I-51 Comme précédemment, on négligera les effets de bord, c’ est-à-dire, on considérera le condensateur comme une portion de longueur l d’ un condensateur cylindrique de longueur infinie. Ceci étant admis, on voit que les armatures ne sont rien d’ autre que la matérialisation de deux surfaces équipotentielles situées dans le champ créé par un barreau infini de charge linéique constante l = 4 O . Comme dans le cas du barreau, le champ est radial et d’ amplitude constante sur des cylindres coaxiaux. En appliquant la loi de Gauss à un tel cylindre (rayon r compris entre Ri et Re), ((U) ¼ 2pUO = 1 ¼ 4 e0 on obtient : ((U) = d’ où : 4 1 ¼ 2pe 0O U r r On applique ensuite la loi de la circulation du champ en prenant pour GO un GU . On a G9 = -((U) ¼ GU = - donc : et, en intégrant : 4 ¼ GU 2pe 0 ¼ O U 4 9 = ¼ ln 1 + FVWH 2 pe 0 ¼ O U Si V1 est le potentiel de l’ armature intérieure et V2 celui de l’ extérieure, on obtient : 4 91 = ¼ ln 1 + FVWH 2 pe 0 ¼ O 5³ 92 = 4 ¼ ln 1 + FVWH 2 pe 0 ¼ O 5´ 8 = 91 - 92 = donc : Comme 4 = & ¼ 8 , on obtient : &= 5¶ 4 ¼ ln 2pe 0 ¼ O 5µ 2pe 0 ¼ O 5¸ ln 5· [Farad] La capacité par unité de longueur ou capacité linéique &’=& &’= 2pe 0 5º ln 5¹ (I-28) O est donnée par : [Farad / mètre] Le diagramme suivant montre la variation de E(r) et V(r) entre les armatures : I-52 En remplaçant Q par C · U dans l’ expression du champ, on obtient : ( (U ) = 1 ¼8 5¼ U ln 5» [V / m] Comme on pouvait s’ y attendre, E(r) ne dépend pas de la longueur l ni de la permittivité du milieu séparant les armatures. Le champ prend son maximum sur l’ armature intérieure. Il y vaut : (max = 5» 8 ¼ ln 5¼ [V / m] 5» Ces relations montrent qu’ il faut bien se garder d’ appliquer aux condensateurs cylindriques les formules des condensateurs plans. On va voir qu’ il en est de même pour les condensateurs sphériques. 3ème cas : condensateurs sphériques Le condensateur est formé par deux armatures sphériques concentriques de rayons Ri et Re : I-53 Les armatures sphériques peuvent être considérées comme la matérialisation de deux surfaces équipotentielles situées dans le champ créé par une charge ponctuelle. On sait que dans ce cas, le champ est radial et d’ amplitude constante sur des sphères concentriques. Si l’ on applique la loi de Gauss à une telle sphère de rayon r, on trouve : 2 ((U) ¼ 4pU = 1 ¼ 4 e0 ((U) = donc : 1 4 4pe 0 U 2 r En appliquant la loi de la circulation du champ le long d’ un GU , on trouve : G9 = - 1 ¼ 4 ¼ GU2 4pe 0 U et en intégrant : 9 (U ) = 1 ¼ 4 + FVWH 4pe 0 U On voit que tout se passe effectivement comme si toute la charge Q était concentrée au centre des sphères. La différence de potentiel entre les deux armatures est donnée par : 8 = 91 - 92 = La capacité vaut donc : &= Ë Û 4 ¼Ì 1 - 1 Ü = 4 pe 0 ÌÍ 5¾ 5½ ÜÝ & 4 4 pe 0 1 - 1 5¾ 5½ [Farad] (I-29) Le diagramme suivant montre la variation du champ et du potentiel entre les deux sphères : I-54 En introduisant C · U dans l’ expression du champ, on trouve : ( (U ) = 1 ¼8 1 - 1 U2 5À 5 ¿ [V / m] Le champ prend son maximum sur l’ armature intérieure. Il y vaut : (max = 8 ¼ 5 ¼ 1 5Á 5 - 5Á [V / m] Cas particulier de la sphère de rayon R Une sphère de rayon R portant une charge Q, située dans une position éloignée de tout entre objet, peut être considérée comme un condensateur sphérique dont l’ armature extérieure est située à l’ infini. Donc (I-29) donne 5à 5 et 5Ä & = 4pe 0 ¼ 5 [F] capacité d’ une sphère ! 4ème cas : capacité d’ une ligne bifilaire Dans le cas de deux conducteurs parallèles de rayon D et distant de G : r En tous points, les lignes de champ ( sont perpendiculaires à la surface des conducteurs &= pe 0 ¼ O Ë 2G Û ln Ì -1 Ü Í D Ý [F] (I-30) 0DWpULDX[GLpOHFWULTXHV Un diélectrique est un matériau isolant placé entre les armatures conductrices d’ un condensateur. Nous allons étudier leurs caractéristiques ainsi que leur influence sur la capacité C d’ un condensateur. 6.1 Notion de base sur les diélectriques Dans un conducteur, les électrons sont relativement libres de se mouvoir dans la structure formée par les ions positifs (= atomes sans les électrons libres). On a ainsi une mise en commun entre atomes voisins des électrons libres. I-55 Dans un isolant (matériau diélectrique), les électrons ne peuvent pas se mouvoir librement. Chaque électron est lié fermement au ion apparenté et, de ce fait, lui est attaché de manière permanente. En l’ absence d’ un champ électrique extérieur, on peut considérer que chaque électron se meut sur une orbite entourant le noyau, et ce de telle manière que l’ atome reste électriquement neutre. En absence de champ électrique extérieur, le nuage d’ électrons est symétrique autour du noyau et son centre de gravité coïncide avec celui du noyau. En présence de champ extérieur, ce nuage électronique se distort et les deux centres de gravité des charges + et – ne coïncident plus. On a ainsi formation d’ un dipôle électrique qui va s’ orienter sous l’ effet du champ électrique extérieur. Cette orientation s’ appelle polarisation des diélectriques. Absence de champ électrique extérieur : Présence de champ électrique extérieur : électrons pas de polarisation (centres de gravité sont confondus) -q +q polarisation (dipôle électrique induit) 6.2 Dipôle dans un champ électrique extérieur On appelle dipôle électrique un ensemble de deux charges électriques +q et –q distantes de G : r r S = T¼G [As · m = C · m] moment dipolaire du dipôle électrique r Si l’ on place ce dipôle dans un champ électrique extérieur ( 0 uniforme : 1) la somme des forces exercées par le champ r ( 0 sur le dipôle : r r r r r Ê ) = )1 + ) 2 = T ¼ ( 0 + ( - T ) ¼ ( 0 r r Ê) = 0 Donc le centre de masse du dipôle ne va pas bouger 2) par contre le dipôle va subir un moment de force : r r r r r t = T ¼ G (0 = S ( 0 I-56 [A·V·s = J] r dont l’ effet va faire tourner le dipôle et l’ orienter parallèlement au champ électrique extérieur ( 0 , r r r r dans le même sens que celui-ci (lorsque t = R , alors S ( 0 ). r Dans un champ électrique extérieur ( 0 non uniforme : r r 1) Ê ) 0 OHFHQWUHGHPDVVHGXGLS{OHYDVHGpSODFHU 2) même moment de force que ci-dessus. Donc dans un champ électrique extérieur non uniforme, le dipôle, d’ une part, va s’ orienter dans le sens du champ et, d’ autre part, va être entraîné dans la région où le champ a la plus forte intensité. 6.3 Constante diélectrique Au niveau macroscopique, les propriétés d’ un diélectrique sont caractérisées par une certaine constante appelée constante diélectrique. Pour mettre en évidence ceci, on imagine deux expériences. 1ère expérience : On considère un condensateur plan dont les armatures baignent tout d’ abord dans le vide. On le charge, ce qui l’ amène à une tension U0. Sa capacité vaut : &0 = e0 ¼ $ G Une fois ce condensateur chargé, on l’ isole électriquement de telle sorte que sa charge reste constante. Ceci étant fait, on introduit entre les armatures une plaque de diélectrique d’ épaisseur d et de section A. Si l’ on mesure la tension, on voit, qu’ après introduction du diélectrique, la tension a baissé et prend une valeur U telle que : 8 <1 80 comme Q = C · U et Q = cste, on peut en déduire : 8 = &0 80 & La capacité a donc varié dans le rapport inverse de la tension (elle a augmenté). I-57 2ème expérience : On répète l’ opération ci-dessus en laissant cette fois le condensateur branché à la source de tension constante. Avant l’ introduction du diélectrique, il a la charge Q0. Une fois le diélectrique en place, on constate que la charge a augmenté. Elle prend une valeur Q telle que : 4 >1 40 Comme 4 = & ¼ 8 et puisque, cette fois-ci, 8 = FVWH , on peut écrire : & = 4 >1 & 0 40 La capacité a donc augmenté Si l’ on compare les facteurs d’ augmentation de la capacité obtenus lors des deux expériences, on voit qu’ ils sont les mêmes (à condition bien entendu d’ avoir utilisé le même diélectrique). Si l’ on effectuait les mêmes expériences avec un condensateur de forme différente, on trouverait, toujours pour le même diélectrique, le même facteur d’ augmentation de la capacité. Ce facteur peut donc être considéré comme une constante du matériau diélectrique utilisé : c’ est la constante diélectrique. On lui donne aussi un autre nom : en effet, lors de l’ introduction du diélectrique, la capacité est multipliée par la constante. Or, dans le vide, l’ expression de la capacité est : &0 = e0 ¼ $ G Tout se passe donc, puisque A et d sont constantes, comme si e 0 était multiplié par la constante diélectrique. On appelle de ce fait la constante diélectrique aussi permittivité relative e Å du diélectrique. La permittivité absolue [Farad / m] s’ exprime donc par : e = e0 ¼e Æ [Farad / m] (I-31) Parmi les principaux matériaux isolants utilisés en construction, on peut citer le mica qui a une permittivité relative d’ environ 5, le verre (4 à 10), le papier (2 à 6), l’ huile minérale (environ 2). L’ air a une permittivité relative de 1.00059, ce qui correspond à très peu de chose près à celle du vide qui est par définition e Æ (vide) = 1.00000. Dans ce qui précède, on a envisagé un condensateur plan. Il va sans dire que les conclusions que l’ on en a tirées seraient aussi valables pour toute autre forme de condensateurs. I-58 6.4 Charge de polarisation et polarisation Dans ce qui suit, on va trouver le lien entre la constante diélectrique e Æ d’ un diélectrique et la charge induite dans ce diélectrique. Pour cela, on considère à nouveau le condensateur plan chargé et isolé (charge Q constante) du paragraphe précédent. Lorsque les armatures sont dans le vide, la tension vaut U0. Le champ électrique entre les (0 = plaques s’ exprime donc par : 80 G Après introduction du diélectrique, le champ doit valoir : ( ( = 8 = 0 < (0 G eÇ [V / m] (I-32) Il s’ agit ici du champ à l’ intérieur du diélectrique. Cette atténuation du champ à l’ intérieur des diélectriques est aussi valable lorsque l’ épaisseur de la plaque isolante est plus petite que la distance entre les armatures. Ainsi, dans l’ exemple suivant, on aurait : dans le vide ( 0 dans le diélectrique ( = (0 eÈ diélectrique Cette diminution du champ dans le diélectrique s’ explique par les phénomènes se passant lors de la polarisation de ce dernier. En effet, sous l’ influence du champ initial E0, on a apparition dans le diélectrique de dipôles électriques qui s’ orientent selon la direction du champ : On peut considérer que les charges de signes contraires s’ annulent « à la queue leu leu » et qu’ il reste, sur la face de gauche, une charge de surface négative, sur la face de droite, une charge I-59 de surface positive. On a donc induction sur les faces du diélectrique de charges dites de polarisation. La charge de polarisation positive apparaît en face de l’ armature négative et la charge de polarisation négative en face de l’ armature positive. Ces charges de surfaces créent à l’ intérieur du diélectrique un champ qui s’ oppose au champ initial sans toutefois, comme dans les conducteurs, l’ annuler complètement. Le champ à l’ intérieur du diélectrique est donc inférieur au champ initial. isolant diélectrique plaque conductrice (armature) Dans la figure ci-dessus, s = e0.E0 est la charge surfacique des armatures (celle qui correspond à la charge Q du condensateur) et s É la charge de polarisation. On peut calculer facilement cette charge de polarisation en appliquant la loi de Gauss à un cylindre de « fonds » situés de part et d’ autre de la surface du diélectrique : (( On obtient : comme ( = (0 eÈ 0 - ( ) ¼ D$ = 1 ¼ s Ê ¼ D$ e0 , on en tire : Ë e Ë -1Û 1 s Ì = e 0 ¼ ÌÌ Ë ÜÜ ¼ (0 = s (1 - Ë ) [As / m2] (I-33) e Í e Ý r On appelle polarisation 3 le vecteur égal au moment électrique dipolaire total du r r r 1 ( diélectrique par unité de volume : 3= S Î =s Í ¼ [As / m2] Ê 9ROXPH ( r 2 3 =sÏ [As / m ] charge de polarisation : I-60 6.5 Susceptibilité électrique c Ð et relation avec e Ñ Reprenons la figure de la page précédente. r ( 0 = champ électrique en l’ absence de diélectrique (dans le vide) r ( = champ électrique dans le diélectrique En appliquant la loi de Gauss à l’ ensemble du condensateur, il vient immédiatement : (= 1 ¼ (s - s Ò e0 )= s e0 - 3 3 (0 e0 e0 r Pour des champs électriques extérieurs pas trop intenses, il y a proportionnalité entre le vecteur 3 r de polarisation et le champ électrique ( dans le diélectrique : r r Î& $¼ V 2 Þ 3 = cÓ ¼e0( (I-34) 2 = P ßà ÐÏ P e0 est introduite pour des raisons de commodité. La constante de proportionnalité c Ð (khi) est dite la susceptibilité électrique du diélectrique. C’ est un nombre sans dimension : r $¼ V 2 3 P =1 [c Ô ] = r = 9 ) e0( . P P [] [ ] et sa valeur numérique dépend uniquement du diélectrique considéré. Sa relation avec e Ñ est alors : r r r r r r cÕ ¼e0( r 3 ( = (0 = (0 = (0 - c Õ ( e0 e0 r r d’ où : ( ¼ (1 + c Ö ) = (0 en comparant ceci avec l’ équation (I-32), il vient : e × = 1+ cÔ [1] et r r ( ¼ e × = (0 [V / m] (I-35) r r Comme c Ø > 0 , e Ù > 1 ; donc ( < ( 0 et encore & > & 0 , la capacité d’ un condensateur augmente en présence d’ un matériau diélectrique. Comme annoncé plus haut, c Ø dépend du diélectrique considéré. Néanmoins, les ordres de grandeurs de c Ø sont les suivants. c Ø >@ 'LpOHFWULTXH Gaz 10-4 à 10-2 (air : c Ø =0.00059) Liquides 1 à 150 (eau pure : c Ø =79.37) Solides 1 à 300 Il existe des modèles basés sur les propriétés atomiques de la matière permettant de calculer c Ø . I-61 En résumé : • e â = 1+ cá • e 0 = 8.854 ¼ 10 ã • e = e0 ¼e ä • cæ = • r r r 3 = c è ¼ e 0 ( = e 0 ¼ (e ç - 1) ¼ ( • [1] 12 Î) Þ ÏÐ P ßà Î& =& =) Þ 9 ¼P P ßà ÏÐ 1 ¼ P 2 permittivité du vide permittivité ou constante diélectrique absolue [1] e - e0 e0 ¼eå - e0 = = (e å - 1) e0 e0 susceptibilité électrique du diélectrique Î& Þ ÏÐ P 2 ßà polarisation du diélectrique Ë e é -1Û ÜÜ ¼ (0 s ë = 3 = c ê ¼ e 0 ( = e 0 ¼ (e é - 1) ¼ ( = e 0 ¼ ÌÌ Í eé Ý 1 = s (1 - ) eé • s = e 0 (0 permittivité ou constante diélectrique relative Î& Þ ÏÐ P 2 ßà Î& Þ ÏÐ P 2 ßà est la charge de polarisation ou encore la densité surfacique de charge induite densité surfacique de charge due aux charges électriques libres r r ( (= 0 • et bien sûr : e Î9 Þ ÏÐ P ßà ì (I-36) Dans le vide (absence de diélectrique) : r r cØ 0, 3 = 0, s Ú = 0 , e Ù = 1 r r e = e 0 et ( = (0 d’ où : r 6.6 Loi de Gauss en présence d’ un diélectrique et champ de déplacement électrique ' En présence d’ un diélectrique, la loi de Gauss (I-12) reste valable si l’ on prend le soin de remplacer e 0 par e 0 ¼ e Ù , donc la loi de Gauss générale s’ écrit : ×× ( Ü ) r r ( ¼ G$ = 1 ¼ e0 ¼e ß ÊT Ý ÞÛ Þ [(V / m) · m2 = V · m] (I-37) 1 r On définit le champ de déplacement électrique ' : r r Î$¼ V 9 $¼ V 2 = & 2 Þ ' = e0 ¼e à ¼ ( (9 ¼ P ) ¼ P = P P ßà ÐÏ ( ) (I-38) I-62 r r r ' = e0 ¼ ( + 3 et r En utilisant ' , la loi de Gauss devient alors : ) ÊT ×× ( r r ' ¼ G$ = î ïí ï [A · s = C] (I-39) 1 C’ est la forme la plus simple et la plus compacte de la loi de Gauss. En l’ utilisant, il faudra r « oublier » les charges de polarisation qui sont déjà contenues dans ' via la constante e ð et ne prendre pour qi que les « vraies » charges électriques extérieures. 6.7 Rigidité diélectrique d’ un isolant On appelle rigidité diélectrique ( ñ d’ un isolant le champ maximum extérieur que celui-ci peut supporter. Au-delà de cette valeur, il y a claquage de l’ isolant avec circulation d’ un courant électrique. Permittivité relative et rigidité diélectrique 6XEVWDQFH e ò c ó >@ ( ô >09P@ 5HPDUTXH Vide absolu 1.00059 3 Conditions normales huile minérale 2.24 8 à 20 Transformateur Polyéthylène (PE) 2.25 20 à 30 Isolation pour câbles mica 4à7 150 Condensateurs verre 4 à 10 20 à 40 papier paraffiné 2à3 10 à 20 PVC 3.18 12 à 20 Isolation simple porcelaine 7 4 à 16 Isolateurs Germanium 16 eau 80.4 titanate de strontium 310 vide parfait 1 air Les valeurs ci-dessus peuvent varier fortement suivant la composition chimique exacte du diélectrique et les conditions d’ utilisation. Par exemple pour l’ air sous 100 atm, e = 1.055. I-63 (QHUJLHpOHFWULTXHHWFRQGHQVDWHXUV Nous avons montré précédemment qu’ un condensateur de capacité C soumis à une tension u(t) accumulait q charges : T = & ¼ X (W ) [As = C] L = T& = & ¼ X& (W ) [A] La puissance instantanée est donc : 3 (W ) = X (W ) ¼ L (W ) = & ¼ X ¼ X& (W ) = & ¼ X (W ) ¼ GX GW Ë Û 2 G: õ (W ) = 3 (W ) ¼ GW = & ¼ X ¼ GX G Ì 1 & ¼ X (W ) Ü Í2 Ý T (W ) 2 : õ (W ) = 1 & ¼ X (W ) = 2 2& 2 d’ où : [J] (I-40) Ce résultat a déjà été présenté en (I-24) Considérons par exemple le condensateur plan : &= e0 ¼ $ G [F] e ¼$ 2 :ö = 1 ¼ 0 ¼X 2 G [J] si l’ on divise cette énergie par le volume du condensateur : = :÷ YROXPH = e0 ¼ $¼X 2 2G ¼ $ ¼ G = e0 ¼X 2G 2 exprimons ceci en terme du champ électrique ( = X Z= e0 2 ¼( [J / m3] 2 [J / m3] 2 G : (I-41) w est la densité d’ énergie électrique dans le vide. En présence d’ un diélectrique, e 0 e = e 0 ¼ e ø Z= et : e ¼(2 2 [J / m3] (I-42) De façon plus générale si le milieu diélectrique n’ est pas linéaire (à savoir les relations I-34 r r et I-38 ne sont pas vérifiées), w peut encore s’ exprimer en fonction des champs ( et ' : r r Z = 1¼ (¼' [J / m3] (I-42’ ) 2 ( ) Comme on le verra dans le chapitre III, un résultat très analogue est obtenu dans le cas magnétique. I-64 )RUPXODLUHG¶pOHFWURVWDWLTXH • Charges : ponctuelles : Q linéiques : l [ C =A · s] [C / m] surfaciques : s [C / m2] volumiques : r r ' déplacement ou induction électrique [C / m2] r ( champ électrique [V / m] [C / m3] • Champs : • En général : r r r ' = e0 ¼ ( + 3 e 0 = permittivité du vide = 8.85 ¼ 10 Milieu linéaire : r r ' = e ú ¼e0 ¼ ( r 3 = vecteur polarisation Lois de base : r 1) div ' = r ou r r 2) rot ( = 0 ou • • Potentiel : 9 =- r r ( ( ¼ GO ) × r ( ' ¼ G$ ) = Ê 4 ×× r r r ( ( ¼ GO ) = 0 × r ( ( ¼ GO ) × • Tension : 8 = 9 - 9 = • Travail : : = T ¼ 8 • Capacité : &= • Loi de Coulomb : • Cas de la charge ponctuelle placée dans le vide : e 0 10 36p 9 4 ( r r G9 = - ( ¼ GO ûMü ý¥ûKþ ÿ = ÎC Þ ÏÐ m 2 ßà ù 12 Î FÞ ÏÐ m ßà ××× r G9 . ûMü ý¥ûKþ ÿ ) r [& 9 = $ ¼ V 9 = ) ] et : = 1 & ¼ 8 2 2 8 r r ) = 4 ¼ ( ; la force s’ exerce sur Q. r (= r 1 ¼ 4 ¼U 4pe 0 U 2 U 9 Î$¼ V Î9 ¼ P Þ 1 ) Þ ÏÐ (9 ¼ P ) = P ßà et 4pe 0 9 ¼ 10 ÏÐ ( $ ¼ V )ßà • Cas du condensateur plan avec diélectrique linéaire : • Associations de condensateurs : &= e0 ¼e ¼ $ G 9 = 1 ¼ 4 , avec 9 ( ) = 0 4pe 0 U A : aire des armatures d : distance entre armatures série : 1 = 1 + 1 + 1 + L & &1 & 2 & 3 parallèle : & = &1 + & 2 + & 3 + L • Energie électrostatique : • Densité d’ énergie électrique : : = T ¼ (9 ( U ) - 9 ( ) ) = T ¼ ( r r Z= 1 ¼ (¼' 2 ) [J / m3] 4 4pe 0 U [J] ,,0$*1(7267$7,48('$16/(9,'( II-1 Comme le nom du chapitre l’indique, nous allons étudier l’ensemble des phénomènes magnétiques tout d’abord en absence de matière (dans le vide) et en ne considérant que les champs magnétiques ne variant pas dans le temps, c’est-à-dire constant. 1. 1RWLRQVIRQGDPHQWDOHVGHEDVH 1.1 Introduction historique Le phénomène du magnétisme a été observé et étudié dès l’antiquité par les Grecs, plus spécialement par Thalès de Milet vers l’an –600. Il tire son nom d’une contrée de l’Asie Mineure, la Magnésie, et d’une ville appelée de nos jours Manisa sur la côte Ouest de la Turquie actuelle. Cette région contenait des gisements d’un minerai (la magnétite) possédant des propriétés spéciales. En effet, il a été observé d’une part que 2 morceaux de minerai pouvaient exercer des forces d’attraction et de répulsion l’un sur l’autre et, d’autre part, qu’ils pouvaient transmettre leur propriété à des morceaux de fer placés à proximité. D’autre part, au début du 19ème siècle, le physicien danois Hans Christian Oersted (17771851) découvrit qu’ un fil parcouru par un courant électrique présentait les mêmes propriétés magnétiques que les aimants naturels, à savoir générait un champ magnétique similaire à celui produit par un aimant naturel. De nos jours, il est généralement reconnu que tous les phénomènes magnétiques observés sont dus à 2 causes ; à savoir : 1) au mouvement de charges électriques (courant) 2) à certaines propriétés intrinsèques de la matière (magnétisation) II-2 1.2 Champ magnétique Pour introduire le concept de champ magnétique, pensons à l’ interaction électrique où nous avions introduit le concept de champ électrique. Nous avions procédé en 2 phases : 1) une distribution de charges électriques qi r au repos crée un champ électrique ( dans son espace avoisinant. r le champ électrique ( exerce sur une 2) charge électrique extérieure q une force r r déterminée par ) = T ¼ ( [N] Nous pouvons alors, par analogie, introduire le concept d’ interaction magnétique de la façon suivante : 1) une charge ou une distribution de charges électriques en mouvement crée dans son espace charges qi en mouvement champ magnétique 2) avoisinant un champ dit « magnétique ». ce champ magnétique exerce sur une champ magnétique charge électrique extérieure q en r mouvement une force ) (ou sur un courant puisqu’ un courant n’ est rien d’ autre qu’ un ensemble de charges en mouvement). r Tout comme le champ électrique ( , le champ magnétique est aussi un champ vectoriel. Ce r champ vectoriel est symbolisé par la lettre % et appelé plus précisément : r % = champ d’ induction magnétique ses unités : [] r % =T= II-3 N = V ¼s 2 A¼m m (II-1) T est l’ abréviation de tesla en souvenir de l’ ingénieur scientifique génial serbo-américain que fut Nikola Tesla (1857-1943) qui a émigré aux USA vers 1880 ! r &KDPSG¶LQGXFWLRQPDJQpWLTXH % HWIRUFHV r 2.1 Définition du champ d’ induction magnétique % Soit une charge ou une distribution de charges électriques en mouvement. En plus du r champ électrique ( , un champ d’ induction r magnétique % est créé par ces charges en mouvement. Une charge électrique extérieure test q va r subir de la part de % une force magnétique : r r r ) = T ¼ Y % [N] (II-2) r Le champ d’ induction magnétique % (aussi dit densité de flux magnétique) est défini à travers la relation (II-2). A noter que cette relation n’ est pas déduite théoriquement, mais est basée sur des observations expérimentales. r r La combinaison du champ électrique ( et du champ d’ induction magnétique % permet de définir un nouveau champ dit champ électromagnétique, d’ où le nom de théorie de l’ électromagnétisme ou électromagnétique. 2.2 Lignes de champ magnétique et flux magnétique r r Tout comme dans le cas du champ électrique ( , le champ magnétique % peut être géométriquement représenté par des lignes de champ magnétique. Les lignes de champ sont ainsi des courbes dans l’ espace dessinées de telle sorte qu’ en chaque point de l’ espace, la courbe soit r tangente au vecteur champ d’ induction magnétique % . II-4 r Soit une surface A non fermée traversée par un champ % . ( ) On appelle flux magnétique élémentaire la grandeur r r scalaire : GF = % ¼ G$ ÎV ¼s Þ 2 ÏÐ m 2 ¼ m = V ¼ s ßà surface ×× ( ) Le flux total à travers toute la surface A non fermée sur elle-même est alors : r r Flux magnétique : F= % ¼ G$ [V · s] (II-3) l’ unité de F , volt · seconde, est dite aussi le Weber abrégé Wb. [F] = 1 T · m2 = 1 V · s = 1Wb =1 N¼m = 1 J A A en l’ honneur du physicien allemand Wilhelm Weber (1804-1891). r De par l’ équation (II-3), on comprend pourquoi le champ d’ induction magnétique % est aussi appelé champ de densité de flux magnétique. II-5 2.3 Loi de Gauss du magnétisme Considérons une surface A fermée (c’ est-à-dire comprenant un volume comme par exemple r un ballon) plongée dans un champ % . ×× ( ) La loi de Gauss du magnétisme s’ exprime par : r r F= % ¼ G$ = 0 [V·s] (II-4) Le flux magnétique net traversant une surface fermée est nul. Ceci traduit le fait que contrairement au cas électrique où il existe évidemment des « monopôles » électriques (c’ est ce que l’ on appelle les charges), il n’ y a pas de monopôle magnétique. De plus, contrairement aux lignes de champ électrique qui peuvent aboutir en un point (sur une charge électrique par exemple), les lignes de champ magnétique ne peuvent pas se concentrer en un point de l’ espace, ce qui indiquerait la présence d’ un monopôle magnétique. r 2.4 Force de Lorentz et mouvement d’ une particule chargée dans un champ magnétique % r Soit une charge électrique q en mouvement dans un champ électrique ( et un champ r d’ induction % . r r Nous savons que : ) = T ¼ ( [N] force électrique r r r ) = T ¼ Y % [N] force magnétique r r r Donc la force totale ) due aux champs ( et % agissant sur q est : r r r r r r ) = ) + ) = T ¼ ( + T ¼ Y % r r r r ) = T¼ ( +Y% [N] ( ) (II-5) II-6 r ) est dite force de Lorentz, en hommage au physicien néerlandais Hendrik Artoon Lorentz (1853-1928). Considérons une particule de masse m, de charge r r électrique q, placée dans un champ % constant, de vitesse Y r r parallèle à % et dont Y constante. r r r par l’ équation (II-5) : ) = T¼Y % r r r Comme Y est perpendiculaire à % , ) est un vecteur contenu dans le plan et toujours r perpendiculaire à Y . Il s’ agit d’ une force centripète : ) = T ¼ Y % = P ¼ D = P ¼ Y 5 2 5 = P¼Y T ¼% d’ où : [m] qui équivaut au rayon du cercle de la trajectoire circulaire. L’ impulsion (ou la quantité de mouvement) de la particule vaut : S = P¼Y 5= d' où : [kg · m · s-1] S T ¼% [m] (II-6) La trajectoire de la particule est donc un cercle de rayon R. La vitesse angulaire : T ¼% Y Z= Y = = 5 P¼Y P T ¼% d’ où, la fréquence cyclotronique : T ¼% I = Z = 2p 2p ¼ P [rad / s] [Hz] L’ idée de faire effectuer des trajectoires circulaires à des particules chargées est à la base de r la technologie des accélérateurs cyclotron. Pour accroître l’ énergie des particules, un champ ( est r r r superposé au champ % et c’ est la force électrique ) qui accroît la vitesse Y . 2.5 Applications du mouvement de particules chargées II-7 Nous allons décrire brièvement 4 applications du principe introduit dans le paragraphe précédent : A. Sélecteur de vitesse ( P) B. Expérience de Thomson H C. Spectromètre de masse D. Cyclotron A. Sélecteur de vitesse Soit à gauche de la figure une source de particules chargés ayant des vitesses différentes. Seules les charges ayant une vitesse Y bien particulière seront recueillies à droite. Pour ces particules : d’ où : ) = T ¼ ( = ) = T ¼ Y ¼ % Y= ( % [m / s] B. Expérience de Thomson : détermination du rapport e / m Sir Joseph John Thomson (1856-1940); à ne pas confondre avec : son fils sir George Paget Thomson (1892-1975) et sir William Thomson (1824-1907) dit Lord Kelvin ( P ) dit Cette expérience fondamentale en physique a consisté à déterminer le rapport H II-8 « charge spécifique de l’ électron ». Réalisée en 1897 au Cavendish laboratory, Cambridge, UK. 1 P ¼ Y 2 = H ¼9 2 énergie : d’ où : Y = Y= ( % vitesse : (= % 2H9 P (voir sélecteur de vitesse) 2H9 P H = ( 2 = 1.75881962 ¼ 1011 2 P 29% donc : [m / s] [C / kg] V étant le potentiel électrique en volt. Quinze ans après l’ expérience de Thomson, le physicien américain Robert Millikan (18681953) mesure, en 1911, la charge électrique de l’ électron, soit : H = -1.60217733 ¼ 10 19 P = 9.1093897 ¼ 10 d' où : 31 [C = As] [kg] A partir de cette date, l’ électron est une particule élémentaire parfaitement identifiée. C. Spectromètre de masse En 1919, Francis Aston (1877-1945), un étudiant de Sir Thomson à Cambridge, construisit la première famille de spectromètre de masse. Il s’ agit d’ un appareil pouvant sélectionner des particules chargées de masses différentes. v : vitesse connue [m / s] 51 = 52 = P1 ¼ Y T ¼ %’ [m] T ¼ %’ [m] P2 ¼ Y donc des charges de masse différente seront récoltées à des endroits différents. La précision actuelle d’ un tel appareil est de 1 partie sur 10000 ! II-9 D. Accélérateur cyclotron r Il s’ agit d’ une superposition du champ électrique ( pour accélérer les particules chargées r (électrons ou protons) et d’ un champ % pour obtenir des trajectoires circulaires de ces particules. Inventé par Ernest O. Lawrence (1901-1958) en 1932 à Berkeley, USA. r r ) = T ¼ ( r r r ) = T ¼ Y % à à r Y augmente puisque il y a accélération trajectoire circulaire Le temps de passage T (période) dans la cavité reste constant (période cyclotronique) : 7= 1 I = 2p ¼ P T ¼% [s] et ne dépend pas de la vitesse. Ce processus successif d’ accélération et de courbure se poursuit jusqu’ à ce que la particule se fasse dévier à la périphérie de l’ accélérateur. Suite de quoi elle est éjectée tangentiellement à l’ accélérateur avec une énergie cinétique maximum de : ( max T % 5 2 = 1 P ¼ Y = 2 2P 2 2 2 2.6 Force magnétique agissant sur un courant, loi de Laplace Soit un conducteur parcouru par un courant I constant plongé dans un champ r d’ induction magnétique % extérieur. Comme le courant I n’ est rien d’ autre qu’ un déplacement de charges à l’ intérieur du conducteur, de par la force de Lorentz le conducteur lui-même va subir r une force due à la présence du champ % . [J] r La force élémentaire sur un élément GO est : r r r G) = , ¼ GO % Loi de Laplace : II-10 [N] où la croix signifie « produit vectoriel ». (II-7) r Il s’ agit de la force résultante exercée par % sur l’ ensemble des porteurs de charges r électriques en mouvement dans le conducteur GO . )RUFHPDJQpWLTXHVXUXQFRQGXFWHXUGHIRUPHTXHOFRQTXH Appliquons conducteur de (II-7) forme sur un quelconque parcouru par un courant électrique I. Si r % varie dans l’ espace, il faut alors connaître ses composantes : % ( [ , \ , ] ) r % ( [ , \ , ] ) = % ( [ , \ , ] ) % ( [ , \ , ] ) De même il faut connaître les équations paramétriques donnant forme du conducteur dans l’ espace la × r r ) = G) = × r v , ¼ GO % [N] r r L’ intégration peut s’ avérer compliquée si Y et % varient de façon compliquée dans l’ espace. r &DVROHFKDPSG¶LQGXFWLRQPDJQpWLTXH % HVWFRQVWDQW r r Dans le cas où % ne varie pas dans l’ espace (c’ est-à-dire % est le même en chaque point (x, y, z) alors : r )= × × Ë rÛ v r v r , ¼ GO % = , Ì GO Ü % = , ¼ $& % Ì Ü Í Ý r si le champ % est uniforme, la force est la même que celle d’ un conducteur rectiligne joignant les extrémités du conducteur de forme quelconque : r r ) = , ¼ $& % [N] (II-8) II-11 r &RQGXFWHXUUHFWLOLJQHGDQVXQFKDPS % XQLIRUPH C’ est le cas le plus simple mais aussi le plus réaliste car souvent les conducteurs × électriques dans la pratique sont rectilignes. r r r r ) = G) =, ¼ O % [N] (II-9) La force magnétique est donc r r perpendiculaire à O et à % . r r Si le champ % est perpendiculaire à O , on a simplement : ) = , ¼O ¼ % [N] 2.7 Deux applications de forces magnétiques Nous allons considérer 2 applications directes de forces magnétiques : Boucle conductrice en forme de cadre Le moteur à courant continu Application 1 : Boucle conductrice cadre dans un champ magnétique r Considérons la boucle ci-dessous dans un champ % : r La boucle est parcourue par un courant I et le champ % est uniforme. (II-9' ) De la figure : II-12 ) = , ¼D¼% ) ’= , ¼ E ¼ % ¼ cos F r r r r r r ) = ) + - ) + ) ’+ - ) ’ 0 ( ) ( ) r La force totale agissant sur le cadre est nulle. Par contre, calculons le couple t (moment de force) exercé par les forces magnétiques sur le cadre : t = , ¼ DE ¼ % ¼ sin F = , ¼ $% sin F r r m =,¼$ Définition : [N · m] [A · m2] est dit le moment magnétique ou le moment dipolaire magnétique de la boucle-cadre de surface A. La boucle de courant (ou tout autre objet) sur laquelle est exercée un moment de force magnétique est dite « dipôle magnétique »par analogie au dipôle électrique. r r r t = m % [N · m = J] Sous forme vectorielle : ( ) L’ énergie potentielle du dipôle magnétique est : r r 8 = - m¼% [N · m = J] (II-10) (II-11) Rappelons que dans le cas électrique, nous avions obtenu des résultats analogues : r r r r r t = m( [J] avec m = T ¼ G [As · m] le moment dipolaire électrique. r r 8 = - m ¼( [J] ( ) r Donc en résumé, la boucle parcourue par I et plongée dans un champ d’ induction % uniforme subira de la part de ce champ une force totale nulle d’ une part et un moment de force magnétique non nul dont l’ effet va engendrer une rotation du cadre autour d’ un axe (y dans la figure). Application : galvanomètre permettant la mesure pratique d’ un faible courant électrique I. Application 2 : Principe du moteur à courant continu II-13 Considérons les figures ci-dessous : La spire, alimentée par une source de tension continue, est parcourue par un courant I. Cette r spire est placée dans un champ d’ induction magnétique extérieur % produit par un aimant permanent ou par des bobines. La spire placée sur une support mécanique possédant un axe de rotation va subir un moment de force magnétique, donc se mettre à tourner. Dans la pratique, il n’ y a pas seulement une spire, mais un ensemble de spires constituant le r rotor. L’ aimant, ou les bobines fixes, générant le champ % dans lequel baigne le rotor, est appelé stator. /RLG¶$PSqUHHWDSSOLFDWLRQV Jusqu’ à ce point, nous avons étudié l’ effet des champs d’ induction magnétique sur des courants électriques, mais nous n’ avons pas dit comment il est possible de déterminer la valeur du r champ % produit par les courants. Il y a 2 approches possibles : par la loi d’ Ampère (la plus simple) plus généralement par la loi de Biot-Savart (plus compliquée, mais plus générale). Nous allons tout d’ abord considérer la loi d’ Ampère puis dans le paragraphe suivant la loi de BiotSavart. 3.1 Loi (ou théorème) d’ Ampère André Marie Ampère (1775-1836), physicien français, est impressionné par les travaux de Hans Christian Oersted. Il reprend en 1826 l’ étude de l’ action d’ un courant électrique sur une aiguille aimantée et en quelques jours « découvre » la loi expérimentale qui porte son nom. Considérons n conducteurs I1, I2,…, In dans l’ espace et un contour fermé l entourant ces n conducteurs. II-14 contour formé l ×( La loi d’ Ampère stipule : ) r r % ¼ GO = constante · Ê, 1 La constante de proportionnalité est notée m 0 et est dite perméabilité magnétique du vide. Sa valeur numérique est déterminé par la définition même de l’ unité de l’ ampère, via la loi d’ Ampère ! m 0 = 4p ¼ 10 7 Î1 ¼ V2 Þ :E = 7 ¼ P = + = 9 ¼ V 2 = Ï $ P $ ¼ P ßà & $¼P Ð ×( ) (II-12) Ayant défini cette constante de proportionnalité, la loi devient : r r % ¼ GO = m 0 ¼ Ê, [V · s / m] (II-13) 1 Ceci est la loi d’ Ampère. Fixer un sens de parcours de l revient par la règle du tire-bouchon à fixer un signe aux courants électriques. Le signe est + si la règle est vérifiée, - dans le cas contraire. Dans la somme en (II-13), les courants doivent être comptés avec leur signe respectif ! Condition d’ utilisation de la loi d’ Ampère La loi d’ Ampère est simple à utiliser et permet de calculer le champ B lorsque la forme des lignes de champ d’ induction peut être déterminée par symétrie. Le contour fermé l doit avoir une position simple (tangent ou perpendiculaire) par rapport aux lignes de champ. Souvent, le contour l représente lui-même une ligne de champ d’ induction. 3.2 Deux applications de la loi d’ Ampère Nous allons calculer le champ d’ induction magnétique créé : par un conducteur rectiligne parcouru par un courant I par une bobine toroïdale (tore) parcouru par I. II-15 Conducteur long, rectiligne parcouru par un courant I Soit un conducteur de rayon R et de longueur l > R, droit et parcouru par un courant constant I. Le conducteur est non ferromagnétique. Deux régions sont à considérer : l’ intérieur du conducteur l’ extérieur du conducteur r Pour des raisons de symétrie, les lignes de champ % sont des cercles concentriques centrés sur l’ axe du conducteur et dans un plan perpendiculaire à cet axe. r r ( % ¼ GO ) = % ¼ GO = % ¼ GO = 2pU ¼ % × × × r < R : intérieur du conducteur ! ! ! courant enfermé dans la surface délimitée par r : Ê " # $ 1 2 2 2pU ¼ % = U 2 ¼ , ¼ m 0 5 Ampère : d' où : 2 Ë Û , # = , ¼ pU 2 = Ì U Ü ¼ , p5 Í5Ý %(U ) = m0 ¼ , U 2 ¼ 2 2p 5 [T] r<R En r = 0 (centre) B(0) = 0 et le champ B(r) augmente linéairement avec r jusqu’ en r = R r R extérieur du conducteur r r ( % ¼ GO ) = 2pU ¼ % × ! Ê, % le courant parcourant le conducteur : Ampère : d’ où : & ' & (idem à l’ intérieur) =, 1 2pU ¼ % = m 0 ¼ , %(U ) = m0 ¼ , 2pU [T] (II-14) II-16 Ce résultat est extrêmement important, car il permettra de définir l’ unité Ampère comme nous le verrons plus tard. Notons qu’ à l’ extérieur du conducteur, B(r) 1 , donc le champ magnétique U décroît hyperboliquement avec r. m0 ¼ , ¼ U2 [T] 2p 5 m ¼, % ( )+* ( U ) = 0 ¼ 1 [T] 2p U %int ( U ) = En résumé : % ( 0) = % ( ) = 0 Bobine toroïdale (ou tore) et % max = %(U = 5) = m0 ¼ , 2p5 conducteur non ferromagnétique parcouru par un courant constant I Soit la bobine toroïdale de section circulaire ou rectangulaire, constituée de N spires parcourues par un courant I. Pour des raisons de symétrie, les lignes de champ sont des cercles concentriques de rayon r, r centrés sur l’ axe de la bobine. Par symétrie, le champ % est confiné à l’ intérieur de l’ anneau. ×( )× II-17 × Prenons pour l la ligne de champ de rayon r. r r % ¼ GO = % ¼ GO =% ¼ GO =% ¼ 2pU , , Ê, , - . / . = 1 ¼, 1 % ¼ 2pU = m 0 ¼ 1 ¼ , Ampère : %(U) = m0 ¼ 1 ¼ , 1 ¼ 2p U On pourra prendre pour champ % 021 35476 : % 829 :5;7< = m0 ¼ 1 ¼ , p ¼ '8 [T] (II-15) avec ' ? = 5> + 5= [T] [m] % 021 35476 est le champ d’ induction magnétique situé sur le diamètre ' @ (cercle de rayon moyen). Si 5B 5A 1 , alors le champ est constant à l’ intérieur de la bobine. 3.3 Force magnétique s’ exerçant entre deux conducteurs parallèles et définition de l’ ampère Soient 2 conducteurs parallèles, rectilignes, distants de r, parcourus par des courants électriques I et I'et de longueur beaucoup plus grande que leur propre rayon. Le conducteur parcouru par I produit un champ d’ induction déterminé par la loi (II-14) : %(U ) = m0 ¼ , 2pU Ce champ B(r) produit, sur le conducteur parcouru par le courant I' , une force magnétique donnée par (II-9' ) ) = , ’¼ / ¼ % ( U ) = m0 ¼ / 2pU ¼ , ¼ ,’ [N] II-18 ) = m0 ¼ , ¼ , ’ / 2pU d’ où : ) = m0 ¼ , / 2pU si I = I' , alors : [N /m] (II-16) 2 [N / m] (II-16' ) Définition de l’ unité d’ intensité du courant électrique On appelle 1 ampère [A], l’ unité de l’ intensité du courant électrique qui, circulant dans 2 conducteurs parallèles, rectilignes, infinis, distants de 1 mètre, produit entre-eux une force de 2 ¼ 10 E 7 (II-17) newton par mètre de longueur du conducteur. Pour calculer la valeur de la perméabilité magnétique du vide m 0 donnée en (II-12), reprenons la relation (II-16' ) et insérons la définition de l’ ampère : ) = m 0 ¼ 1 2 ¼ 10 C / 2p ¼ 1 2 7 [N / m] ( signifiant « par définition ») m 0 = 4p ¼ 10 d’ où : D 7 [9 ¼ V $ ¼ P] comme annoncé en relation (II-12) ! Donc la valeur de m 0 est trouvée via la loi d’ Ampère et sa valeur numérique est dictée par le choix de l’ unité de courant électrique ! /RLGH%LRWHW6DYDUWHWDSSOLFDWLRQV Comme indiqué préalablement, la loi de Biot-Savart permet de calculer le champ r r d’ induction magnétique % (U ) en un point de l’ espace, créé par un conducteur de forme quelconque et parcouru par un courant I. 4.1 Loi de Biot-Savart Jean-Baptiste Biot (1774-1862) et Félix Savart (1791-1841) sont tous deux des scientifiques français. Ils formulent en 1820 la loi expérimentale qui porte leurs noms. r En un point P de l’ espace, l’ élément de conducteur GO , parcouru par I, génère un champ r d’ induction magnétique élémentaire G% . II-19 conducteur l élément de conducteur r r avec UF = Ur le rayon vecteur unité : U r m ¼, r r G% = 0 2 GO UG 4p ¼ U r m ¼, r r G% = 0 2 GO U [T] (II-18) 4p ¼ U U r Si l’ on veut déterminer en P le champ d’ induction % dû à l’ ensemble du fil conducteur, alors : r r r m0 ¼ , GO UI [T] (II-19) %= ¼ 4p H U 2 Loi de Biot et Savart : × r r Le sens de G% est donné par la règle du tire-bouchon. La direction de G% est elle donnée r r par le produit vectoriel GO UJ . Calculer avec la loi de Biot-Savart n’ est pas toujours facile. Il faut être très prudent dans son choix du système de coordonnées. De plus, il faut que le fil conducteur l ait une forme possédant une symétrie. Si la forme est vraiment quelconque (sans aucune symétrie), la loi de Biot et Savart devra être résolue par calcul numérique ! 4.2 Applications de la loi de Biot-Savart Quatre cas seront étudiés : conducteur rectiligne de longueur infinie boucle de courant de rayon a solénoïde (bobine) de N spires conducteur de longueur finie II-20 Cas 1 : conducteur rectiligne de longueur infinie Ce cas a déjà été étudié via la loi d’ Ampère. Nous devrions retrouver le résultat important (II-14). Dans le plan Oxy -[ r U= G 0 r G[ GO = 0 0 mais : U=G r r m ¼ , r r G ¼ m0 ¼ , G% = 0 3 ¼ GO U = ¼ G[ ¼ N 3 4pU 4pU [ = G ¼ tan a cos a G[ = G ¼ 1 d’ où : K L × L 2 ¼ Ga r r m ¼, G% = 0 ¼ cos a ¼ Ga ¼ N 4pG le long de l’ axe Oz : r %= cos 2 a × r m0 ¼ , r 2 m ¼, r G% = ¼ N ¼ cos a ¼ Ga = 0 ¼ N K 4pG 2pG L 2 L 2 r m0 ¼ , 0 %(G ) = ¼0 2pG 1 finalement : [T] (II-20) ceci est absolument équivalent au résultat (II-14). Cas 2 : boucle de courant circulaire Considérons la boucle de courant circulaire de rayon D et parcourue par un courant I. r Calculons le champ d’ induction % sur l’ axe de la boucle. II-21 - sin a r GO = D ¼ Ga ¼ cos a 0 -[ r U = -\ E r L r m ¼, ¼D G% = 0 3 ¼ - sin a 4pU - D ¼ cos a × G% et %Q = × 2P 0 d’ où : N = 0 et %O = 0 m0 ¼ D ¼ , 2 4pU 3 r N E ¼ cos a ¼ Ga m0 ¼ , ¼ D 0 Ga = ¼ E ¼ sin a ¼ Ga 4pU 3 E D ¼ Ga r M cos a - D ¼ sin a 2M %N = r m ¼, r r G% = 0 3 ¼ GO U 4pU × G% 2M =0 O 0 ¼ Ga = 0 r % (E ) = 0 m0 ¼ D ¼ , 4p ¼ ( D + E ) 2 2 m0 ¼ D ¼ , 2( D + E ) 2 b est un point le long de l’ axe z. r Le champ % est parallèle à l’ axe Oz lui-même. 2 3 2 ¼ Ga [T] 2 3 2 × 2P 2 0 (II-21) II-22 0 r % (E = 0) = 0 m0 ¼ , En b = 0 (centre de la bobine) : [T] avec D=rayon de la spire. 2D Cas 3 : Solénoïde ou bobine de N spires Soit une bobine de longueur O, formée de N spires, parcourue par un courant I et calculons le r champ % en un point quelconque P situé sur l’ axe de la bobine Oz.. En prenant le point P pour origine et en utilisant le résultat obtenu dans l’ application précédente, il vient : r 0 G% = 0 ( m0 ¼ D 2 D +E d’ où : G] = mais ] = D ¼ tan a G%R = %T = 2 S × S 2 1 1 ¼ , ¼ m0 G%T = 2O ¼ cos a ¼ Ga m0 ¼ 1 ¼ , 2O S × 2 2 ) S 1 2 ¼ 1 ¼ , ¼ G] O D ¼ Ga cos 2 a car ¼ cos a ¼ Ga = 2 3 1 + tan 2 a = m0 ¼ 1 ¼ , 2O r m0 ¼ 1 ¼ , 0 %= ¼0 2O sin a 2 - sin a 1 1 cos 2 a ¼ (sin a 2 - sin a 1 ) [T] a = rayon moyen du solénoïde (II-22) II-23 U 1Ë Û a 2 = -a 1 = tan Ì O Ü Í 2D Ý Au centre C de la bobine : sin a 2 = - sin a 1 = %V ( FHQWUH ) = O 2 2 2ËÌ D + O ÛÜ 4Ý Í m0 ¼ 1 ¼ , 4D + O 2 1 2 [T] 2 (II-23) Pour un solénoïde de longueur infinie (O >> D) le champ sur l’ axe Oz est : % = %W = m0 ¼ 1 ¼ , O [T] r Donc dans le cas d’ un solénoïde de longueur O >> D, le champ d’ induction magnétique % sur l’ axe du solénoïde vaut : r 0 %= 0 m0 ¼ 1 ¼ , [T] (II-24) O Par la loi d’ Ampère, à l’ extérieur du solénoïde, le champ d’ induction magnétique est nul ! Cas 4 : conducteur de longueur finie ( Finalement, considérons le cas d’ un conducteur rectiligne, de longueur finie [ Y + [ X parcouru par I. Comme nous l’ avons vu précédemment, seul la composante en z subsiste : r r m ¼, ¼G G% = 0 3 ¼ G[ ¼ N 4pU U = G 2 + [2 ) et × \ Z r r % = G% = \ × (G mais : [ × \ \ Z m0 ¼ , ¼ G 4p [ G[ 2 +[ 2 ) 3 2 = II-24 ¼ (G G[ 2 +[ 2 ) 3 2 r ¼N [ 2 2 G ¼ [ +G 2 r m ¼, ¼G [ %= 0 2 ¼ 2 2 4pG [ +G _ ] _ ^ r 0 %= 0 m 0 ¼ , ËÌ [a [` ¼Ì 2 2 4pG Ì G 2 + [ a 2 G + [` Í Û Ü ÜÜ Ý [T] (II-25) 4.3 Bobines de Helmholtz Considérons tout d’ abord le cas simple de 2 spires circulaires parallèles, distantes de 2R0 et parcourues par le même courant I. r r r r En un point P (o,o,z) situé sur l’ axe Oz du système, le champ d’ induction % est : % = %b ced f g 1 + % b ced f g Par la relation (II-21) ces champs sont connus : 0 r %1 = 0 [ m0 ¼ , ¼ 52 2 5 2 + ( ] + 50 ) 2 ] 3 0 r %2 = 0 2 [ m0 ¼ , ¼ 52 2 5 2 + ( ] - 50 ) 2 ] 3 2 2 II-25 r m0 ¼ , ¼ 52 0 %= ¼0 2 donc [5 1 2 + ( ] + 50 ) 2 ] 3 2 + [5 1 2 + ( ] - 50 ) 2 ] 3 2 r En point 0, le centre du système, le champ % : 2 0 r m0 ¼ , ¼ 5 % ( 0) = ¼0 3 2 2 5 + 50 2 1 [ ] [T] (II-26) Bobines de Helmholtz Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894) imagina un système composé de 2 bobines annulaires plates, de grand diamètre, montées sur un même axe. Les spires ont pratiquement toutes le même diamètre et la distance entre les bobines est égale au rayon moyen Rm d’ une bobine. Chaque bobine est composée de N spires parcourues par le même courant I. r Pour calculer % sur l’ axe Oz du dispositif, on utilise la relation (II-26) avec : , 1 ¼, 5 5 h2i j5k7l r 0 %(]) = 0 %s (]) 50 = 1 ¼ 5 m2n o5prq 2 II-26 Ë Û Ì Ü Ì Ü 2 Ì Ü m ¼ 1 ¼ , ¼ 5t 1 1 Ü %u ( ] ) = 0 ¼Ì + 3 3 2 2 Ü ÌÎ 2 2 2 Î Ë 5t Û Þ 5t Û Þ Ü Ì Ï 2 ËÌ Ï 5t 2 + Ì ] Ü ß Ü ß 5 t + ]+ ÌÏ Ì Ü Ì ß Ï 2 Ý 2 ÜÝ ß ÜÜ ÌÐ Í Í à Ð à Ý Í r Au centre du système en z = 0, le champ % est pratiquement uniforme et c’ est là toute son utilité pratique. Ce champ est : r 8m 0 ¼ 1 ¼ , 0 % ( 0) = ¼0 5 5 ¼ 5v 1 [T] (II-27) III-1 ,,,,1'8&7,21(/(&7520$*1(7,48( Dans la majorité des cas en pratique, les sources de tension ne sont pas des batteries ou des piles, mais sont des stations génératrices de tension, transformant une forme d’énergie (potentielle, charbon, gaz, nucléaire…) en une énergie électrique. Quelle est la physique derrière cette transformation ? La réponse réside dans le phénomène connu de l’induction électromagnétique, à savoir : si à travers un circuit électrique le flux d’induction magnétique F varie, alors une force ou une tension électromotrice e et un courant sont induits dans le circuit. Le principe central de l’induction électromagnétique est la loi de Faraday. Cette loi relie la force électromotrice induite e à la variation de flux magnétique qui l’engendre. Lorsque le phénomène d’induction électromagnétique a été observé dans les années 1830, il s’agissait d’une simple curiosité de laboratoire. De nos jours, ce phénomène joue un rôle central dans la production d’énergie électrique et est à la base de la technologie de notre société contemporaine. ([SpULHQFHVG¶LQGXFWLRQpOHFWURPDJQpWLTXH Durant la décennie 1830’s, des expériences portant sur l’induction électromagnétique ont été réalisées par Michael Faraday (1791-1867) en Angleterre et par Joseph Henry (1797-1878) aux USA. Dans les 2 expériences suivantes, à chaque fois qu’il y a variation de flux d’induction magnétique r F ou variation du champ d’induction % lui-même, un courant i est alors mesuré par le galvanomètre. Ce courant est dit courant induit et la tension correspondante ayant provoqué ce courant est dite tension ou force e électromotrice induite. III-2 L’ élément commun aux deux expériences est le changement ou la variation temporelle du flux d’ induction F à travers la bobine reliée au galvanomètre. /RLGH)DUDGD\HWORLGH/HQ] ( ) r Rappelons que si un champ d’ induction magnétique traverse une surface élémentaire G$ , r r GF = % ¼ G$ [V·s = Wb] ×× ( ) Le flux d’ induction magnétique à travers toute la surface A est : r r F = % ¼ G$ [Wb = V·s] (III-1) r Si le champ % est constant à travers une surface plate : r r r r F = % ¼ G$ = % ¼ $ = % ¼ $ ¼ cos j ×× ( ) 2.1 Loi d’ induction électromagnétique de Faraday Cette loi expérimentale : e =- GF GW & = -F [V·s / s= V] (III-2) (le point sur une grandeur physique signifie la dérivée par rapport au temps, donc G ) GW III-3 stipule que la tension e (ou la force) électromotrice induite dans un circuit fermé est égale (au signe près) à la variation du flux d’ induction magnétique. Pour la démontrer, considérons le dispositif suivant : Soit un conducteur électrique en forme de « U » sur lequel on force un conducteur CD à rouler de r gauche à droite. Tout le dispositif est baigné dans un champ d’ induction magnétique % uniforme et dirigé selon l’ axe Oz. ×× ( ) ×× Le barreau roulant est repéré par sa position x(t). r r r r F (W ) = % ¼ G$ = % ¼ G$ ( W ) = % ¼ $ ( W ) = % ¼ O ¼ [ ( W ) donc : F (W ) = % ¼ O ¼ [ (W ) [Wb] Que vaut la force électromotrice induite e ? r r Force électromotrice induite dans un barreau se déplaçant dans un champ % uniforme à vitesse Y CD = longueur O r Sous l’ effet de la force magnétique ) , les électrons libres vont se déplacer à l’ extrémité du barreau en laissant des charges + à l’ autre extrémité. Un état d’ équilibre est rapidement atteint avec création à l’ intérieur du barreau d’ un champ r électrique induit ( . III-4 r r r ) + ) = 0 r r r r T ¼ ( + T ¼ Y % = 0 r r r ( = - Y % [V / m] A l’ état d’ équilibre : (III-3) A noter que ceci est contraire au résultat obtenu en électrostatique, où il n’ y pouvait pas avoir de r champ électrique à l’ intérieur d’ un conducteur. Ici les charges sont en mouvement à vitesse Y et nous sommes en présence d’ un phénomène électromagnétique et non plus électrostatique ! La différence de potentiel électrique entre les points C et D : 9 - 9 = - ×( ) × r r ( ¼ GO = - ( ¼ GO ¼ cosp = ( = 9 ¼ % ¼ sin p × 2 ×( ¼ GO = 9 ¼ % = constante 9 - 9 = Y ¼ % ¼ GO = Y ¼ % ¼ O d’ où : [V] (III-4) Revenons maintenant au départ avec : F (W ) = % ¼ O ¼ [ (W ) & (W ) = F Faraday : GF ( W ) GW = % ¼ O ¼ [& (W ) = % ¼ O ¼ Y (W ) & = - % ¼ O ¼ Y (W ) e = -F [V] (III-5) Au signe près, (III-4) et (III-5) sont identiques. Par cet exemple, nous avons prouvé la justesse de la loi d’ induction électromagnétique de Faraday. Remarque : Dans cet exemple, nous aurions tout aussi bien pu laisser le barreau fixe (Y = 0) et faire r r varier le champ d’ induction magnétique % = % (W ) . Le résultat aurait été le même ! 2.2 Loi de Lenz Le signe – dans la loi de Faraday a une signification bien précise donnée explicitement par la loi de Lenz. Comme le nom l’ indique, cette loi a été formulée par Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804-1865) en 1833 à Saint-Petersbourg et précise le phénomène d’ induction que Faraday avait observé en 1831. C’ est une loi qualitative : Le sens du courant induit lors d’ un phénomène d’ induction électromagnétique dans un circuit électrique est tel qu’ il s’ oppose à la variation du flux initial. Donc la force électromotrice induite e s’ oppose à la cause qui l’ engendre. (III-6) Dans le cas de l’ exemple du barreau, le courant circule de D à C : r r r ) = L ¼O % III-5 Une force magnétique va naître qui aura tendance à s’ opposer au mouvement forcé du barreau de gauche à droite. Il faudra effectuer un travail pour maintenir le mouvement du barreau de gauche à r droite sans quoi celui-ci s’ arrêterait par « la loi de Lenz » ! (la force d’ opposition ) est de droite à gauche). r Exemple : courant induit dans une spire plongée dans un champ d’ induction % variable r Considérons la spire plongée dans un champ % variable en module. La spire est fixe, mais r le champ % varie. Un courant va apparaître. Prenons : %& = G% = 0.02 GW $ = 120 F = ×× ( [T / s] 5 = 5 .0 & = $ ¼ %& = 0.02 ¼ 120 ¼ 10 e =F [V·s] & = G ( % ¼ $) = $ ¼ G% = $ ¼ %& F GW GW [V] 4 [V] e = 0.24 tension induite : courant induit : [W] ) ×× % ¼ G$ = % ¼ ×× G$ = % ¼ $ [cm2] r r % ¼ G$ = L= [mV] = 0.24 = 0.048 5 5.0 e [mA] Pour le sens de la force électromotrice induite e , utilisons la loi de Lenz. L’ action de e doit r s’ opposer à la variation du champ % : e va dans le sens des aiguilles de la montre r r e crée un champ d’ induction % !!"# $ opposé à % r % !!"# $ crée un flux F %'& qui s’ oppose à la variation du flux de %. Procédure pour la détermination du sens de e III-6 Pour trouver le sens du courant ou de la tension induite, considérons la procédure suivante : r 1) définir un sens positif du vecteur surface $ r r 2) de par le sens relatif des vecteurs $ et % (le champ), déterminer le signe du flux & ) (W ) d’ induction F ( ainsi que de sa variation temporelle F 3) on détermine maintenant le sens de e : &) >0 : si F &) <0 : si F e <0 e >0 ceci est une application de la règle du « tire-bouchon ». )RUFHVpOHFWURPRWULFHVLQGXLWHVHWDSSOLFDWLRQV Nous allons considérer 3 applications des forces électromotrices induites. r 3.1 Barreau rectiligne se déplaçant dans un champ d’ induction % uniforme le barreau conducteur a une longueur O r 0 %= 0 % Y r Y= 0 0 uniforme et constant III-7 vitesse constante Au temps t, le flux balayé par le barreau en mouvement est F ( (W ) = % ¼ O ¼ [ (W ) & * = - G ( % ¼ O ¼ [ (W ) ) e = -F GW Faraday (III-2) : e = - % ¼ O ¼ Y (W ) D' où : [V] (III-5' ) Il s’ agit évidemment du résultat trouvé en (III-5). Si ce barreau conducteur est relié à un circuit électrique fermé, un courant induit i va circuler à travers le barreau. Le sens de i est fixé par la loi de Lenz, à savoir sera opposé à l’ axe Oy. r 3.2 Spire rectangulaire tournant dans un champ % uniforme : principe de l’ alternateur Considérons une spire rectangulaire conductrice tournant à une vitesse angulaire w [rad / s] r autour de son axe et plongée dans un champ d’ induction magnétique % uniforme et constant. En temps t=0, la boucle est horizontale, j = 0 F 1 (W ) = r r ( % ¼ G$ ) = ×× ×× % ¼ G$ ¼ cos j = % ¼ ×× G$ ¼ cos wW + ,.- / 0 = % ¼ cos w W ¼ ×× G$ = % ¼ cos wW ¼ $ F 2 (W ) = % ¼ $ ¼ cos w W d’ où : Faraday : [V·s = Wb] & 3 (W ) = w ¼ % ¼ $ ¼ sin w W e (W ) = - F [V] (III-7) La tension induite e (W ) varie sinusoïdalement avec le temps t. La spire en rotation est donc le siège d’ une tension induite e (W ) alternative variant de façon sinusoïdale dans le temps. Ceci est le principe fondamental d’ un générateur d’ une tension électrique III-8 alternative. Dans la pratique, la technologie peut être compliquée, mais le principe est toujours le même. En général, il y a des milliers de spires en rotation. Exemple : 1 = 1000 [spires] Q = 3000 [t / min] = 50 [t / s] % = 0.2 [T] et $=0.1 [m2] e (W ) = 2pQ ¼ 1 ¼ %$ ¼ sin (2pQ ¼ W ) @ 6283 ¼ sin (100p ¼ W ) [V] r 3.3 Spire rectangulaire tournant dans un champ % uniforme : principe de la dynamo Le principe de la dynamo est le même que celui du générateur à tension induite alternative, la seule différence est dans la façon où les extrémités de la spire tournante sont connectés au circuit extérieur. Dans le cas de la dynamo, la connexion se fait à travers 2 demi-anneaux (appelés : commutateur), dispositif simple, mais génial dans son principe. Le résultat pour e (W ) est le même que précédemment (III-7), sauf que e (W ) est toujours de même signe : e (W ) = w ¼ % ¼ $ ¼ sin w W [V] ([SUHVVLRQJpQpUDOLVpHGHODORLGH)DUDGD\ 4.1 Force électromotrice induite due à un mouvement Revenons à nouveau au cas d’ un barreau conducteur se déplaçant r r dans un champ % uniforme et constant à une vitesse Y . Comme démontré en (III-4), la différence de potentiel entre les points D et E est : 95 4 = 95 - 94 = Y ¼ % ¼ / [V] Le courant I, circulant de D à E à travers le circuit électrique, est dû à l’ action d’ un champ électrique induit à l’ intérieur du barreau. (III-8) Nous avons appelé 98!9 : e = 9 :!; = Y ¼ % ¼ / III-9 [V] la force électromotrice induite par le mouvement. Nous pouvons généraliser ce résultat pour un r conducteur se déplaçant à la vitesse Y , de forme quelconque, dans le champ d’ induction r magnétique % . r r r e = × ((Y[%) ¼ GO ) [V] 6 (III-9) 7 conducteur Il s’ agit d’ une autre expression de la loi de Faraday (III-2). Bien que ces 2 expressions paraissent, à première vue, différentes, elles sont pleinement équivalentes. L’ expression (III-2) sera plus appropriée dans son utilisation pratique dans le cas où il y a changement de flux dans une boucle par exemple, alors que (III-9) sera plus appropriée lorsque le conducteur se déplace à travers un champ d’ induction magnétique. 4.2 Champ électrique induit r Lorsqu’ un barreau se déplace dans un champ d’ induction magnétique extérieur % , un champ électrique est induit à l’ intérieur de celui-ci et génère une tension induite e . Mais nous savons qu’ une force électromotrice est aussi induite dans le cas où des objets sont tous immobiles, comme par exemple dans le cas de la figure ci-dessous : Lorsque le courant I varie, un courant I'est induit dans l’ anneau entourant la bobine. Flux vu par l’ anneau : Tension induite : F< = % ¼ $ = m0 ¼ 1 ¼ , ¼ $ &= =e = -F O m0 ¼ 1 ¼ $ & ¼, O [V·s] [V] Et , ’= e III-10 [A] courant induit dans l’ anneau. Quelle est la cause provoquant le déplacement des 5 électrons libres de l’ anneau conducteur ? Ce ne peut pas être une force d’ origine magnétique puisque l’ anneau est immobile et qui plus est, il n’ y a pas de champ magnétique là où l’ anneau est situé. Nous devons conclure qu’ il y a un champ électrique induit dans l’ anneau conducteur généré par la variation du flux magnétique. ×( ) La tension électromotrice induite e est alors donnée par : r r e = ( ¼ GO [V] > (III-10) r ( = champ électrique induit [V / m]. Ce champ d’ induction n’ est pas conservatif, contrairement au champ électrique électrostatique qui lui est conservatif. Donc il est nécessaire d’ être très prudent lorsque l’ on parle de champ électrique et de bien définir de quel champ l’ on parle. ( ) Finalement, réunissant les relations (III-2 et 10) : r r &? e = × ( ¼ GO = -F @ [V] (III-11) Ceci est l’ expression la plus générale de la loi de Faraday et constitue l’ une des 4 équations de Maxwell. ,QGXFWDQFHPXWXHOOHHWLQGXFWDQFH Une variation de courant dans une bobine induit une force électromotrice e dans une bobine voisine. Le couplage magnétique entre ces deux bobines est dû à leur inductance mutuelle M. De même, une variation de courant dans une bobine provoque aussi une tension électromotrice induite dans la même bobine. La bobine est un inducteur. La relation entre courant et force électromotrice induite est décrite par le coefficient de self-inductance ou tout simplement l’ inductance L. 5.1 Inductance mutuelle M Considérons les deux bobines de la figure ci-contre. Le courant r i1 crée le champ % qui génère un flux F A 2 à travers la bobine 2. Le flux F B Le flux : 2 r % L1 FC 2 L1 III-11 Donc nous pouvons introduire une constante de proportionnalité : 1 2 ¼ FD 2 = 0 21 ¼ L1 [V·s =Wb] M21 est le coefficient d’ inductance mutuelle entre les 2 bobines 1 et 2. [M21]= V ¼ s = Wb = H A A M 21 = Donc : N 2 ¼ F B2 i1 [H] (III-12) est l’ inductance mutuelle entre les deux circuits. L’ unité de ce coefficient est l’ Henry abrégé [H], en l’ honneur du physicien américain Joseph Henry (1797-1878). M21 est un coefficient qui ne dépend que de la géométrie des 2 bobines et de leur position relative (forme, dimensions, matériaux, positions,…). di & = - d (M ¼ i ) = - M ¼ 1 e 2 = -N2 ¼ F B2 21 1 21 dt dt e 2 = - 0 21 ¼ d’ où : GL1 GW [V] Nous pourrions inverser notre raisonnement et, au lieu de considérer l’ effet de la bobine 1 sur la bobine 2, nous aurions pu considérer l’ effet de la bobine 2 sur la bobine 1. Le résultat aurait sur le fond été le même. Donc M21 = M12 = M et il n’ y a qu’ un seul coefficient d’ inductance mutuelle, même si les deux bobines ne sont pas identiques. Finalement : M= N 2 ¼ FB2 i1 GL e 2 = -0 ¼ 1 GW = N1 ¼ F B1 i2 [H = V·s / A] GL e1 = -0 ¼ 2 GW (III-13) [V] e 1 et e 2 sont des forces électromotrices induites mutuellement à travers leur coefficient d’ inductance mutuel commun. Application : coefficient M de deux bobines concentriques Soient les deux bobines concentriques ci-dessous : III-12 %1 = m 0 ¼ Le courant i1 crée un champ : Le flux traversant la bobine 2 dû au champ B1 est : FE 0 = 2 = %1 ¼ $ = 1 2 ¼ FF L1 0 = d’ où : 2 11 O ¼ L1 m 0 ¼ 1 1 ¼ L1 ¼ $ O 1 2 m 0 ¼ 1 1 ¼ L1 ¼ $ ¼ L1 O = m 0 ¼ 11 ¼ 1 2 ¼ $ O [H] (III-14) 5.2 Self-inductance (ou inductance) L Soit un seul circuit comme une bobine par exemple (solénoïde de N spires). Le courant i provoque un champ B qui lui-même génère un flux d’ induction F G % L , donc le flux F G L . Le coefficient de proportionnalité est appelé coefficient d’ inductance : /= 1 ¼ FH L de self-inductance ou [V·s / A = Wb / A = H] (III-15) Une variation de i va générer au sein de la bobine une force électromotrice self-induite & I = - / ¼ GL e = -1 ¼ F GW [V] (III-16) e , de par la loi de Lenz (d’ ailleurs reflétée par la présence du signe – dans la relation ci-dessus) va créer dans le circuit un courant induit qui s’ opposera au courant i. Application 1 : inductance d’ un solénoïde droit (bobine) Nous procédons de la façon suivante : 1) calcul du champ d’ induction B : %= m0 ¼ 1 ¼ L O surface [T] de (II-24) 2) calcul du flux d’ induction F J : FK = r m ( % ¼ G$ ) = % ¼ $ = ×× r 0 ¼ 1 ¼ $¼L O 3) calcul du coefficient d’ inductance L : /= 1 ¼ FL L m0 ¼ 1 ¼ $ ¼ L m0 ¼ 1 2 ¼ $ 1 = ¼ = L O O [H] N spires /= d’ où : III-13 m0 ¼ 1 ¼ $ 2 [H] O (III-17) Application 2 : bobine toroïdale de N spires Si l’ on considère que dans le noyau le champ B est uniforme (ce qui est presque correcte) alors : 1) % = %MON PRQTS = 2) F K = 3) / = m0 ¼ 1 ¼ L constant où U = UUOV WRXY 2pU r r m ¼ 1 ¼L ( % ¼ G$ ) = % ¼ $ = ¼$ ×× 2pU 0 1 ¼ FZ L m ¼ 1 ¼L ¼ $ =1¼ 0 L 2pU /= d’ où : m0 ¼ 1 2 ¼ $ [H] 2pU (III-18) Application 3 : bobine toroïdale de section rectangulaire 1) calcul du champ de B(r) a déjà été fait (II-15) : %(U ) = 2) F] = ×× ( \ ) × r r % ¼ G$ = F^ = 3) /= 1 ¼ F_ L m0 ¼ 1 ¼ L 2pU m0 ¼ 1 ¼ L 2pU ¼D ¼ GU = m0 ¼ 1 ¼ L ¼ D 2p [T] m0 ¼ 1 ¼ L ¼ D ËU ¼ ln Ì 2 ÌU Í 1 2p Û Ü Ü Ý m ¼ 1 ¼ L ¼ D Ë U2 =1¼ 0 ¼ ln Ì ÌU L 2p Í 1 × [ ¼ GU U [ 2 1 Û Ü Ü Ý /= m0 ¼ 1 ¼ D 2 2p ËU ¼ ln Ì 2 ÌU Í 1 Û Ü Ü Ý III-14 [H] (III-19) Application 4 : inductance d’ une boucle Soit une boucle de courant de rayon r 1) % ( 0) = % `baTced f a = 2) F l = 3) / = m0 ¼ L 2U r % ¼ G$ ) $ ¼ % ( ×× [T] r Fm L = m0 ¼ $ 2U = gbhTiej k h de (II-21) m0 ¼ $¼L 2U = m 0 ¼ pU 2 2U /= d’ où : m0 ¼p 2 ¼U [H] (III-20) Finalement, donnons à titre d’ information deux autres inductances : / = m 0 ¼ cosh n 1 G O p 2D / m 0 ¼ ln G D O p [H / m] [H / m] si G >> D / = m 0 ¼ cosh o 1 G O 2p 2D / m 0 ¼ ln G D O 2p [H / m] [H / m] (QHUJLHPDJQpWLTXHHWLQGXFWDQFH Soit une inductance L quelconque dans laquelle on fait circuler un courant i variable et croissant. III-15 Le courant i génère une force électromotrice e qui s’ oppose à Vab : e = - / ¼ GL = -9 p!q GW 9r!s = / ¼ GL GW d’ où : [V] (III-21) En faisant l’ hypothèse que l’ inductance L est pure, c’ est-à-dire que sa résistance électrique R est nulle, alors la puissance P dans l’ inducteur (fournie par une source extérieure) est : 3 = 9 t!u ¼ L = / ¼ L ¼ GL GW Ë 2 Û G:v = 3 ¼ GW = / ¼ L ¼ GL = G Ì 1 ¼ / ¼ L Ü Í2 Ý :w = 1 ¼ / ¼ L 2 2 [J] (III-22) où WL est l’ énergie magnétique stockée par l’ inductance L. Considérons la bobine rectiligne par exemple : m0 ¼ 1 2 ¼ $ 2 2 1 1 :x = ¼ / ¼ L = ¼ ¼L 2 2 O [J] si l’ on divise cette énergie WL par le volume de la bobine : m ¼1 ¼$ 2 1 m ¼ 1 ¼L = 1¼ 0 ¼L ¼ = 0 2 YROXPH 2 O $¼O 2O :y 2 Z= :z YROXPH = 2 m0 ¼ 1 2 ¼ L2 2O 2 2 [J / m3] (III-23) mais l’ on se souvient que dans le cas d’ une longue bobine (longueur >> rayon), le champ B est : %= m0 ¼ 1 ¼ L O 1 ¼L = % m0 O à 2 Ë Û Z = m0 ¼ Ì % Ü ¼ 1 = % 2m 0 Í m0 Ý 2 2 insérons dans (III-23) : 2 Z= % d’ où : 2m 0 [J / m3] (III-24) w est la densité d’ énergie magnétique dans le vide. En présence de matière, m0 m = m0 ¼ m { ( 2 r r Z = % = 1 ¼ %¼+ 2m 2 ) [J / m3] Ceci est l’ analogue du résultat (I-42' ) dans le cas électrique. (III-24' ) ,935235,(7(60$*1(7,48(6'(/$0$7,(5( IV-1 Jusqu’à présent lorsque nous avons décrit les phénomènes magnétiques provoqués ou générés par des courants, nous avons toujours présupposés que ces conducteurs étaient plongés dans le vide, c’est-à-dire en absence de matière. Or, en pratique il y a présence de matière : pensons simplement aux transformateurs, aux moteurs, générateurs, etc. On va voir que la matière a face au magnétisme, des propriétés très spéciales et intéressantes d’ailleurs utilisées très souvent en technologie actuelle. De plus nous n’avons presque rien dit en ce qui concerne les aimants naturels. $LPDQWHWFKDPSPDJQpWLTXHWHUUHVWUH 1.1 Aimant naturel Chacun a eu entre les mains un aimant permanent. De façon naturelle, un aimant génère un champ d’induction magnétique (sans qu’il y ait du tout une circulation de courant) dont les lignes de champ peuvent être mises en évidence avec de la limaille de fer, comme le montre la figure cidessous. r Un aimant droit est un dipôle magnétique caractérisé par son moment dipolaire magnétique m r m = moment dipolaire magnétique r [ m ] = A · m2 (IV-1) r r Ceci est l’analogue du moment dipolaire électrique m = T ¼ G introduit en électrostatique. La figure ci-dessus montre clairement que le dipôle magnétique est constitué de 2 pôles (d’où le nom de di-pôle) appelés arbitrairement pôle Nord et pôle Sud. IV-2 Lorsqu’ on brise un aimant en plusieurs parties, les fragments obtenus sont de nouveaux aimants possédant aussi deux pôles et non pas un pôle. Toute tentative d’ isoler un monopôle magnétique a échoué. Il n’ existe pas dans la nature de monopôle magnétique (contrairement au cas électrique où l’ on peut isoler un type de charge + ou – comme l’ électron par exemple). Cette non-existence de monopôle magnétique est traduite mathématiquement par la loi de Gauss magnétique qui stipule : F= r ( % ¼ G$ ) = 0 ×× r [V · s] (II-4) r Ceci est d’ ailleurs une des 4 équations de Maxwell ! Le moment dipolaire magnétique m d’ un r aimant droit peut être mis en évidence par la mesure du moment de force t produit par la présence r d’ un champ d’ induction extérieure % : r r r t = m % [J] (IV-2) r r Sous l’ effet du champ % , le moment dipolaire magnétique subira un moment de force t r r dont l’ effet conduira à une rotation de l’ aimant jusqu’ à ce que m soit aligné avec % . Donc de façon intrinsèque et ceci étant dû aux propriétés magnétiques de la matière qui le constitue, un aimant est un dipôle magnétique créant un champ d’ induction. Ces propriétés sont reliées au ferromagnétisme discuté plus loin. 1.2 Champ magnétique terrestre IV-3 La Terre, vue sous l’ angle magnétique, se comporte comme un gigantesque aimant naturel situé à l’ intérieur de la terre et dont le moment dipolaire magnétique serait à peu près parallèle à l’ axe terrestre de rotation. La description complète et précise du géomagnétisme est compliquée et sort totalement du cadre de ce cours. Néanmoins nous allons donner des bases correctes du géomagnétisme. 1) L’ axe du dipôle magnétique (MM) est incliné de 11.6 degrés par rapport à l’ axe de rotation de la terre (RR). L’ axe MM passe environ à 400 km du centre de la terre. 2) Le pôle Sud magnétique (là où les lignes de champ rentrent) est au pôle Nord géographique et vice-versa. IV-4 3) Les pôles géomagnétiques ne coïncident pas avec les pôles géographiques. Au nord, le pôle géomagnétique est situé à 69 degrés longitude ouest et 78.5 degrés latitude nord (au lieu de 90 degrés comme on s’ y attendait). r 4) Le champ d’ induction magnétique terrestre % varie de lieu en lieu et de plus, varie avec le temps ( FDUWRJUDSKLHWUès compliquée !) r 5) En un point O quelconque sur le globe, la direction de % est repérée par 2 angles : D = déclinaison = angle dans le plan horizontal entre le Nord géographique et le Nord magnétique r I = inclinaison = angle entre le plan horizontal et le champ magnétique terrestre % . I > 0 si le champ pointe vers le sol. 6) r % le module du champ varie aussi de point en point. r 33 % 70 [ m T] (IV-3) 33 correspond à l’ équateur, 70 au voisinage du pôle Sud géographique. Le champ moyen % à la surface du globe : % 50 [ m T] (IV-4) Exemple d’ un point à Tucson en Arizona : D = 13° ; I = +59° % composante horizontale = 26 m T Compléments : au-delà de la Terre Evidemment, aucun aimant n’ est enfoui dans la Terre ! Le magnétisme terrestre est lié au fait que le noyau de la Terre est liquide, conducteur et en rotation . Un effet de dynamo est créé par des courants en circulation. IV-5 Le magnétisme n’ est pas propre à la Terre. Plusieurs planètes (dont Mercure et Jupiter) possédent un champ magnétique. C’ est également le cas du Soleil et des étoiles. Même notre propre galaxie, la Voie Lactée, génère son propre champ magnétique. Sa valeur est faible (2 pT), mais ses effets sont importants à cause de sa grande étendue. r r 0DJQpWLVDWLRQ 0 HWFKDPSPDJQpWLTXH + La figure ci-après montre la similitude des lignes de champ d’ induction magnétique dans le cas d’ un aimant à gauche (aucun courant extérieur, le magnétisme est dû aux propriétés intrinsèques de la matière) et d’ une bobine rectiligne où le champ est créé par un courant extérieur. Nous allons tenter de décrire ce qui se passe dans la matière au point de vue des phénomènes magnétiques. Les pôles Nord magnétiques sont en haut de la figure. r 2.1 Aimantation ou magnétisation 0 Considérons le dispositif suivant mis au point en 1878 par le physicien américain H. A. Rowland (1848-1901) constitué d’ un tore principal et d’ une bobine secondaire S. Le tore peut être « vide » ou avoir au contraire un noyau de fer. Le courant i est variable. Dans la bobine S une &. tension électromotrice va être induite due à la variation de courant : e = - F IV-6 1) sans noyau de fer champ d’ induction magnétique créé par le tore sans matière : 2) avec noyau de fer champ d’ induction avec noyau en fer : & % e = -F On constate expérimentalement que e > e 0 Formons les rapports : e = % >1 e 0 %0 Définition : on appelle m = % %0 & % e 0 = -F 0 0 [V] [1] la perméabilité magnétique relative du matériau. [ m ] = 1 (nombre pur) puisqu’ il s’ agit d’ un simple rapport de champs d’ induction. Donc : % = m ! ¼ %0 [T = V · s / m2] % = champ d’ induction magnétique en présence de matière (IV-5) %0 = champ d’ induction magnétique dans le vide m" > 0 ; m " 1 dans le vide car % = %0 r En fait, lors de la présence de matière, au champ %0 s’ ajoute un champ d’ induction supplémentaire attribuable aux propriétés magnétiques du noyau de fer. r On appelle %# l’ induction magnétique attribuable au noyau de fer. r r Par définition : %$ = m 0 ¼ 0 [T] (IV-6) r où 0 est l’ aimantation ou la magnétisation de la matière r 0 = A / m = A · m-1 r r r r Donc : % = %0 + %% = %0 + m 0 ¼ 0 [T] (IV-7) r Le champ d’ induction %0 correspondant à l’ absence de matière est « renforcé » par la [ ] magnétisation de la matière, ici le noyau de fer. r Interprétation atomique de la magnétisation 0 Sans entrer dans des considérations de physique atomique et de mécanique quantique, nous r pouvons donner une première idée de l’ existence de 0 dans la matière. Soit un électron de charge électrique –e orbitant autour du noyau atomique. IV-7 Son mouvement correspond à une boucle de courant : , = H = HY 7 2pU [A] auquel un moment dipolaire magnétique est associé : r r m = , ¼ $ = HYU [A · m2] 2 r Sous l’ effet d’ un champ d’ induction extérieur %0 , les 10 23 moments dipolaires de la matière vont r r s’ orienter dans la direction de %0 et vont créer un moment dipolaire total m & '& (*) . La magnétisation est alors : r 0 = r m + ,+ -*. YROXPH GH OD PDWLqUH [ A · m2 / m3 = A / m] r r En résumé: électrons orbitant m m total sur l’ ensemble des atomes r r r B = B 0 + m 0 ¼ M [T] (IV-8) r M magnétisation r 2.2 Champ d’ excitation magnétique H r r r r r Comme on l’ a vu plus haut : B = B 0 + B M = B 0 + m 0 ¼ M r Il est évident que B dépend de la matière en présence. Il est utile de définir un vecteur qui ne dépendrait pas de la matière en présence : r r r r % - m 0 ¼ 0 %0 + = m0 m0 [A / m] (IV-9) [H] = ampère par mètre = A · m-1 r Le vecteur H est dit vecteur champ d’ excitation magnétique ou tout simplement champ magnétique. Trois vecteurs ont donc été définis : r B 0 = champ d’ induction magnétique dans le vide [V · s / m2 = T] r M = aimantation ou magnétisation de la matière [A · m] r H = champ magnétique (ou d’ excitation) indépendant de la matière [A / m] r r De plus nous avons obtenu que : % = m / ¼ %0 . En remplaçant ceci dans le résultat (IV-9) : r r r % m0 % += = m0 m0 ¼ m0 r r r d’ où : % = m0 ¼ m1 ¼ + = m ¼ + [V · s / m2 = Wb / m2 = T] (IV-10) IV-8 La constante m = m 0 ¼ m r dépend uniquement du matériau considéré ; elle est nommée perméabilité magnétique absolue du matériau : m = m0 ¼ m 2 [V · s / A · m = Wb / A · m] Dans le vide: Avec : m = m 0 = 4p ¼ 10 3 7 Î V¼s Þ Ï ß ÐA ¼ mà mr 1 (IV-11) [1] perméabilité magnétique absolue du vide ! 2.3 Susceptibilité magnétique c m Dans la plupart des matériaux magnétiques (en fait tous, sauf les matériaux magnétiques), la r r magnétisation M est proportionnelle au champ magnétique H : r r 0 = c4 ¼ + [A / m] (IV-12) c m est dite la susceptibilité magnétique de la matière. Il s’ agit d’ un simple rapport, son unité est 1. Cette constante c m est intrinsèque à chaque matériau et est déterminée expérimentalement. Finalement, on sait que : r r r r r r r % = m 6 ¼ %0 = m 0 ¼ m 6 ¼ + = %0 + m 0 ¼ 0 = m 0 ¼ + + m 0 ¼ c 5 ¼ + r r m 8 ¼ m0 ¼ + = m0 ¼ 1 + c 7 ¼ + m: = 1+ c9 ( ) [1] (IV-13) Cette dernière relation lie la perméabilité magnétique relative m r et la susceptibilité magnétique c m . Elle est analogue à la relation (I-35) établie en électrostatique. Les matériaux sont, sous le point de vue magnétique, classés en trois catégories distinctes : 1) matériaux diamagnétiques : 2) matériaux paramagnétiques : 3) matériaux ferromagnétiques : c; < 0 à m< <1 c = >> 1 à m > >> 1 c >0 à m< > 1 Tout comme c ? , il existe des modèles en physique atomique permettant de calculer théoriquement les valeurs de c m pour un matériau donné. IV-9 0DWpULDX[GLDPDJQpWLTXHVHWSDUDPDJQpWLTXHV 3.1 Matériaux diamagnétiques r r Le champ additionnel créé par un champ d’ induction extérieur %0 s’ oppose au champ %0 c m < 0 , mais proche de 0. Donc m A = 1 + c @ < 1 , mais très voisin de 1. PDWpULDX[ m A >@ PDWpULDX[ m A >@ bismuth 1-16.6 · 10-5 plomb 1-1.8 · 10-5 antimoine 1-7.0 · 10-5 NaCl 1-1.4 · 10-5 mercure 1-2.9 · 10-5 cuivre 1-1.0 · 10-5 argent 1-2.6 · 10-5 eau 1-0.88 · 10-5 carbone 1-2.1 · 10-5 hydrogène 1-0.21 · 10-8 Les atomes ou molécules de ces matériaux ont un moment magnétique nul. La propriété de diamagnétisme est présente dans toutes les substances, mais est totalement masquée lorsque la matière présente des propriétés de paramagnétisme ou de ferromagnétisme. Toute substance diamagnétique est repoussée par un aimant. 3.2 Matériaux paramagnétiques Contrairement aux matériaux diamagnétiques, les matériaux paramagnétiques sont attirés par les aimants. Leurs atomes ou molécules ont un moment dipolaire magnétique non nul. En présence d’ un champ d’ induction magnétique extérieur , ces moments dipolaires atomiques vont s’ aligner plus ou moins collectivement et contribuer à créer un moment dipolaire magnétique r r m B CB D*E 0 . PDWpULDX[ m A >@ PDWpULDX[ m A >@ oxygène liquide 1+400 · 10-5 sodium 1+0.72 · 10-5 uranium 1+40 · 10-5 oxygène gazeux 1+0.19 · 10-5 platine 1+29 · 10-5 air 1+0.036 · 10-5 aluminium 1+2 · 10-5 En 1895, Pierre Curie (1859-1906, époux de Marie Curie) a découvert expérimentalement que l’ aimantation M d’ une matière paramagnétique est proportionnelle au champ d’ induction magnétique extérieure dans lequel elle est placée. Ceci est reflété par l’ équation (IV-12). De plus M IV-10 est inversement proportionnelle à T la température absolue en degré Kelvin de l’ échantillon, d’ où la loi de Curie : ( ) 0 %0 , 7 = & ¼ %0 7 [A / m] (IV-14) Ceci est la loi de Curie et C est la constante de Curie. Ci-contre, la courbe d’ aimantation pour le sel Cr K (SO 4 )2 ¼ 12 H 2 O . Le paramagnétisme de la substance est dû aux ions de chrome. Comme le montre la figure, la loi de Curie est parfaitement vérifiée (à savoir M est à B 0 ) pour autant que le champ d’ induction B 0 appliqué ne soit pas trop grand ( B 0 1 T ). 0DWpULDX[IHUURPDJQpWLTXHV Les substances ferromagnétiques sont principalement le fer (d’ où le nom de ces matériaux) le nickel et le cobalt ainsi que de nombreux alliages contenant ces éléments. Trois propriétés essentielles : 1) m A >> 1 2) m A = m A (7 ) 3) m A = m A (+ ) jusqu’ à quelques milliers, voire dizaines de milliers dépend de la température M et B ne sont plus simplement proportionnels à H ! La dépendance est plus compliquée. Dans ces matériaux, il existe de très fortes interactions entre les moments magnétiques dipolaires qui s’ alignent parallèlement les uns aux autres dans des régions appelées domaines magnétiques. En présence d’ un champ d’ induction magnétique extérieure B 0 même très faible, tous r les domaines vont s’ aligner les uns sur les autres parallèlement au champ B 0 et contribuer à générer r un forte aimantation M . IV-11 Comme on l’ a dit, m A = m A (+ ) , donc B possède une dépendance non linéaire avec H. De plus cette dépendance varie d’ une substance ferromagnétique à l’ autre et de plus dépend de l’ histoire de l’ échantillon. La courbe d’ aimantation B = B(H) d’ un ferromagnétique non aimanté est dite courbe de première aimantation. Elle s’ obtient par expérience. % = %0 + m 0 ¼ 0 Comme : Nous pouvons déterminer : et % ( + ) = m 0 ¼ m F ( + ) ¼ + G% ( + ) m 8 (+ ) = 1 ¼ m0 G+ [1] La mesure de la pente de la courbe de première aimantation donne donc en chaque point la valeur de la perméabilité relative du matériau m F . Courbe de première aimantation et courbe m r = m r ( H ) pour du fer recuit. A partir de H 500 [A / m], B ne croît presque plus ; cela signifie que pratiquement tous les domaines magnétiques sont orientés parallèlement à H. IV-12 Température de Curie Si l’ on élève la température d’ un ferromagnétique, on augmente l’ agitation thermique des atomes et des molécules et l’ on favorise le désordre dans l’ orientation des moments dipolaires magnétiques. C’ est pourquoi m r = m r ( T ) et m r diminue lorsque T augmente. On appelle température de Curie, la température à laquelle m r tombe à 1, c’ est-à-dire la température à laquelle le ferromagnétique devient paramagnétique. Pour le fer 7G 1043 K (soit 770 degrés Celsius). Courbe d’ hystérèse ou cycle d’ hystérésis. On l’ a dit, la courbe d’ aimantation M = M(H) ou B = B(H) (ce qui est équivalent) dépend de l’ histoire de l’ échantillon ferromagnétique. Si l’ on fait subir à un échantillon ferromagnétique la présence d’ un champ magnétique H en effectuant lentement un cycle (cycle quasi-statique) nous obtenons une courbe d’ hystérèse ou un cycle d’ hystérésis suivant : Br = induction rémanente (champ d’ induction rémanent) Hc = excitation coercitive (champ magnétique coercitif). On voit que lorsque H = 0 : Br 0 IV-13 La substance ferromagnétique est devenue un aimant permanent, résultat du phénomène d’ hystérésis. De façon naturelle, la Terre nous offre quelques aimants permanents, certainement des substances ferromagnétiques « aimantées » par le champ d’ induction magnétique terrestre. Ainsi Br 0 traduit la présence d’ un aimant permanent. On imagine sans peine la foule d’ applications technologiques possibles à partir du cycle d’ hystérésis où l’ on peut, à volonté, aimanter, désaimanter puis réaimanter une substance ferromagnétique (mémoire de PC, disque dur,…). 0DWpULDX[ &RPSRVLWLRQ %H >7@ +I >$P@ Acier au carbone 98 % Fe ; 0.86 % Co ; 0.9 % Mn 0.95 3600 Alnico 2 55 % Fe; 10 % Al; 17 % Ni; 12 % Co; 6 % Cu 0.76 42000 Alnico 5 51 % Fe; 8 % Al; 14 % Ni; 24 % Co; 3 % Cu 1.25 44000 /RLG¶$PSqUHGDQVODPDWLqUH ×( ) r r ( 0 ¼ GO ) × Dans le cas où il y a présence de matière, la loi d’ Ampère décrite en (II-13) doit être reformulée. K r r % ¼ GO = m 0 ¼ × Q Ê L MJ 1 r r Ë %-m ¼0 0 Ì Ì m0 Í U K Û r Ü ¼ GO = m ¼ 0 Ü Ý r H r r + ¼ GO = ×( ,M + m0 ¼ ) Ê, Ê, O PN P Terme tenant compte de l’ aimantation 1 S TR [A] T (IV-15) 1 Ceci est la loi d’ Ampère généralisée valable en présence ou en absence de substances magnétiques. C’ est une des quatre équations de Maxwell. &DOFXOGHVFLUFXLWVPDJQpWLTXHV Les circuits électriques linéaires satisfont la loi d’ Ohm : Courant continu : Courant alternatif : 8 = 5¼, 8 = = ¼, [V] [V] (IV-16) Découverte en 1826 par le physicien allemand Georg Simon Ohm (1787-1854), cette loi traduit la dépendance linéaire entre tension et courant électriques aux bornes d’ un circuit électrique. Il existe une relation similaire dans le cas des circuits magnétiques. IV-14 6.1 Réluctance magnétique et loi d’ Ohm magnétique Soit une portion de circuit magnétique de longueur l, de section A constante traversée par un flux d’ induction magnétique F : r r r B est constant et parallèle à H et à d l . r r ( + ¼ GO ) = + ¼ O 8 × 2 V [A] 12 (IV-17) 1 U m est appelé la différence de potentiel magnétique entre les points 1 et 2 du circuit. L’ unité de 12 8 W s’ exprime en ampères (et non pas en volts comme l’ unité d’ un potentiel électrique !). F= r r ( % ¼ G$ ) = % ¼ $ = m ×× Y + =F d’ où : en remplaçant dans (IV-17) : 8Z 12 = O m$ 0 ¼ mX ¼ + ¼ $ m ¼ + ¼ $ m$ ¼F [A] Un nom est donné à la constante de proportionnalité : O 5\ = O m$ m 0 m [ ¼ $ [H-1] (IV-18) est dite la résistance magnétique ou encore la réluctance de cette portion de circuit magnétique. [Rm] sont des 1 / H = H-1. L’ équation linéaire : 8 ] = 5] ¼ F [A] (IV-19) est dite (par analogie au cas électrique) loi d’ Ohm magnétique. Si le circuit a une caractéristique magnétique linéaire (matériau magnétique non saturé) Rm est alors constant. On définit parfois : m$ m 0 m ^ ¼ $ L_ 1 = = 5_ O O [H] L ` est la perméance magnétique (inverse de la résistance magnétique). (IV-20) IV-15 6.2 Calcul d’ un circuit magnétique Le calcul d’ un circuit magnétique se fait par analogie au calcul des circuits électriques. Considérons le circuit magnétique suivant : N ¼ i = R m tot ¼ F [A] le produit N ¼ i appelé solénation UHSUésente la source magnétique du circuit. Ce schéma peut être remplacé par son équivalent électrique : X = 5a ba ¼ L Loi d’ Ohm : électrique u [V] R [W] i [A] magnétique N ¼ i = Um Rm F Le calcul de l’ inductance se fait alors par (III-15) : / = 1 ¼F = 1 ¼ 1 ¼L = 1 L L 5 e c dc 5 e c dc 2 [A] [H-1] [Wb = V · s] (IV-21) 2 / = 1 = 1 ¼ Le 5 e c dc IV-16 2 c dc [H] (IV-22) Exemple de calcul de circuit magnétique Soit le circuit magnétique simple ci-contre : l1 = 10 cm a = 1 cm l2 = 5 cm b = 1 cm (épaisseur) N = 20 spires m r = 50000 (constant) et d = 0.5 cm l’ entrefer Le schéma électrique équivalent est alors : Q = 1 ¼ L = 20 ¼ L 5g = [A] est la « source magnétique » ( ) 2 O + O - 4D O = 1 2 41380 m0m f ¼ $ m0m f ¼ D ¼ E [H-1] l = longueur moyenne du circuit magnétique, l’ entrefer d est négligé pour le calcul de 5h Ri = 7 d = d 3.98 ¼ 10 m 0 ¼ 1 ¼ A m 0 ¼ ab [H-1] $WWHQWLRQ bien que d << O , R j >> R M , ceci provient du fait que 5m m l k 1 Dans les matériaux ferromagnétiques où m n est grand, la réluctance magnétique 5h 1 m n est faible. Dans le vide, m r 1 et la réluctance magnétique 5 o distances ! est élevée, et ce même pour de courtes IV-17 Dans ce qui suit, on calculera F , B et L dans les situations avec et sans entrefer ( d = 0 ) DYHFHQWUHIHU d JUDQGHXUV Q 1 ¼ L = 20 ¼ L [A] solénation Rm [H-1] 5t réluctance totale F [Wb = V · s] flux B [T = Vs / m2] induction L F= ( Um ) = y zy 5x 7 = 5u = 4.138 ¼ 10 4 % = F = 4.83 ¼ 10 ¼ L 4.83 ¼ L $ DE } 7 / = 1 ¼ F = 1 = 10 L 5 2 inductance v wv 8{ | 7 | 20 ¼ L 20 ¼ L 5 . 02 ¼ 10 ¼ i 4.83 ¼ 10 4 ¼ i F = = 7 4 3.984 ¼ 10 5 { y zy 4.138 ¼ 10 } 3 % = F = 5.02 ¼ 10 ¼ L 5.02 ¼ 10 ¼ L $ DE [H] ( Um ) 1 ¼ L = 20 ¼ L = 5q + 5p = 3.984 ¼ 10 r sr 8{ 5{ VDQVHQWUHIHU d = [ mH ] ~ 4 / = 1 ¼ F = 1 = 9.66 L 5 2 [ mH ] La présence de l’ entrefer augmente fortement R m tot , donc diminue B, F et L. 6.3 Analogies magnétisme-électrocinétique Nous avons vu l’ analogie entre loi d’ Ohm électrique et loi d’ Ohm magnétique. Um = R m ¼ F [A] et U = R ¼ i [V] (IV-21) Le tableau suivant donne l’ analogie complète entre les grandeurs physiques du magnétisme et de l’ électrocinétique. 0DJQpWLVPH (OHFWURFLQpWLTXH Grandeur Symbole Grandeur Excitation r + [A / m] r % [Wb / m2] Champ électrique Induction Perméabilité Différence de potentiel magnétique Flux Réluctance Perméance Solénation = f · m · m m Densité de courant Symbole r ( r - [V / m] s = 1 [A / m2] r [S / m] [H / m] Conductivité 8 [A] Tension X [V] F [Wb] Courant L [A] [1 / H] Résistance [H] Conductance * [S] [A] Force électromotrice H [V] 5 L Q 5 > 6@ IV-18 /HVpTXDWLRQVGH0D[ZHOO 7.1 Introduction Jusqu’au milieu du 19ème siècle, électricité et magnétisme formaient deux théories distinctes et différenciées de la physique. Il revient à James Clerk Maxwell (1831-1879), physicien écossais de talent exceptionnel, d’ avoir unifié en 1865 ces deux théories distinctes en une seule et unique théorie dite « électromagnétisme ». Cette théorie unifiée est sous-tendue à la base par les quatre équations de Maxwell. Mais il serait injuste de ne pas rendre hommage à plusieurs grands physiciens, prédécesseurs de Maxwell, qui ont ouvert la voie à la formulation de la théorie de l’ électromagnétisme ; mentionnons par exemple Michael Faraday (Anglais, 1791-1867), André Marie Ampère (Français, 1775-1836), Hans Christian Oersted (Danois, 1777-1851), Karl Friedrich Gauss (Allemand, 17771855) et d’ autres encore. Mais il est communément admis qu’ il revient à James Maxwell d’ avoir posé les bases fondamentales de l’ électromagnétisme. Avant d’ énoncer les quatre équations de Maxwell, résumons les quatre champs qui ont été introduits jusqu’ ici. En électricité : r ( = champ électrique [V / m] r ' = champ de déplacement électrique [As / m2 = C / m2] r r r r r ' = e 0 ¼ e ¼ ( e ¼ ( = e 0 ¼ ( + 3 [C / m2] e 0 = 8.85 · 10-12 = permittivité du vide e = permittivité relative d’ un diélectrique e = e 0 ¼ e = permittivité absolue [C / Vm] (e > 0 ) [1] [C / Vm] Dans le vide e = 1 et e = e 0 . En magnétisme : r + = champ magnétique [A / m] r B = champ d’ induction magnétique [T = V·s / m2 = Wb / m2] r r r r r r r % = m0 ¼ + + m0 ¼ 0 = m0 ¼ + + 0 = m0 ¼ m ¼ + = m ¼ + m 0 = 4p ¼ 10 7 = perméabilité du vide ( ) [T] (IV-23) [Tm / A = H / m = Vs / Am] m = perméabilité relative d’ un matériau [1] m = m 0 ¼ m = perméabilité absolue magnétique Dans le vide m = 1 et m = m 0 . (IV–22) ( m > R) [H / m = Vs / Am] r r r A noter que les champs ' [As/m2] et + [A/m] sont plutôt des champs de calcul, alors que ( r [V/m] et % [Vs/ m2] sont les 2 champs physiques ! IV-19 Nous pouvons résumer sous forme d’ un tableau les grandeurs introduites en électricité et en magnétisme avec leur correspondance. (OHFWULFLWp r ( champ électrique [V/m] e 0 =8.854 10-12 permittivité du vide [F/m] 0DJQpWLVPH r + champ d’ excitation magnétique [A/m] m 0 =4p 10-7 perméabilité du vide [H/m] e permittivité diélectrique relative [1] e = e 0 e permittivité diélectrique absolue [F/m] r r 3 = c .e 0 .( polarisation [C/m2] m perméabilité magnétique relative [1] m = m 0 m perméabilité magnétique absolue [H/m] r r 0 = c .+ magnétisation [A/m] c = e - 1 susceptibilité électrique [1] c = m - 1 susceptibilité magnétique [1] r r r r r r r ' = e 0 .( + 3 = e .( champ déplacement [C/m2] % = m 0 .+ + m 0 .0 = m .+ champ magnétique [T] 7.2 Equations de Maxwell sous forme intégrale ×× ( ) Ê r r ( % ¼ G$ ) = 0 ×× , 'DQVODPDWLqUH r r ' ¼ G$ = T [C] ,, ,,, ,9 ×× ( [Wb] ¢ ¢ r ×( « £ ) ¤ ( © r r r r G + ¼ GO = Ê , ª + ×× ' ¼ G$ ª§ GW ¨ 1 ) ×× ( ) r r r r ( ( ( ¼ GO ) = - G % ¼ G$ ) × GW ×× ¡ 1 r r r G ( ( ¼ G O ) = ( % ¼ G$) × GW ×× 6DQVPDWLqUH r r 1 ( ¼ G$ = ¼ Ê T e0 1 r r % ¼ G$ = 0 ) [V] ¥ [A] ¦ Idem ci-contre Loi de Gauss (électrique) Loi de Gauss (magnétique) Loi de Faraday d’ induction électromagnétique Théorème d’ Ampère modifié par Maxwell La signification physique de ces 4 équations de Maxwell ci-dessus (IV-24) est la suivante : I Loi de Gauss (électrique): il existe des monopôles électriques dits charges électriques q. Deux sortes de charges : + et -. Deux charges de même signe se repoussent, de signe contraire elles s’ attirent. Traduit la loi de Coulomb en 1/r2. II Loi de Gauss (magnétique): il n’ existe pas de monopôle magnétique (ou de charge magnétique isolée). III Loi de Faraday (induction): toute variation de flux d’ induction magnétique génère une tension induite (force électromotrice induite). IV Loi d’ Ampère (généralisée): tout courant électrique et toute variation de flux électrique génère un champ magnétique. Les quatre équations de Maxwell ci-dessus sont données sous une forme intégrale. Il est possible de les exprimer de façon plus compacte (mais plus difficilement compréhensible) sous leur forme r différentielle. Pour ceci il est pratique d’ introduire l’ opérateur vectoriel nabla ¶ . IV-20 7.3 Opérateur nabla, théorème de Gauss (de la divergence) et théorème de Stokes r Nabla ¶ est un opérateur vectoriel à 3 composantes défini simplement par : r r r r ¶=L + M +N ] [ \ Cet opérateur peut agir (ou opérer) soit sur une fonction scalaire S(x,y,z) ou sur une fonction r vectorielle ) ( [, \ , ] ) . Nous nous appuyons maintenant sur 2 théorèmes que nous ne démontrerons pas. Le premier dit théorème de Gauss ou encore théorème de la divergence, établit une relation entre l’ intégrale sur r une surface d’ une fonction vectorielle ) ( [, \ , ] ) quelconque et l’ intégrale du volume contenu par ×× ××× cette surface : r r ( ) ¼ G$) = ­ ¬ r r (¶ ¼ ) )G9 (IV-25) r r r r la quantité (¶ ¼ ) ) = GLY) (un scalaire) est dite la divergence de la fonction vectorielle ) ( [, \ , ] ) . Le deuxième théorème dit de Stokes, relie l’ intégrale de ligne sur un contour C fermé et l’ intégrale × ×× de la surface déterminée par ce contour : r r r r r ( ) ¼ GO ) = ¶[) ¼ G$ ® (IV-26) ­ r r r r la quantité ¶[) = URW) (un vecteur) est dite le rotationnel de la fonction vectorielle ) ( [, \ , ] ) . Notons finalement que l’ on peut définir une troisième opération avec l’ opérateur nabla. En effet, en faisant agir nabla sur une fonction scalaire S(x,y,z), on peut définir : r r 6 r 6 r 6 ¶6 ( [, \ , ] ) = L + M +N (IV-27) [ \ ] r r la quantité ¶6 ( [, \ , ] ) = JUDG6 (un vecteur) est dite le gradient de la fonction scalaire S. r r r r r A noter que les calculs de ¶6 , (¶ ¼ ) ) et ¶[) se font exactement de la même façon que dans le r cas du calcul vectoriel habituel où l’ on considérera simplement l’ opérateur nabla ¶ comme un vecteur à 3 composantes. 7.4 Equations de Maxwell sous forme différentielle En reprenant les équations de Maxwell sous forme intégrale (IV-24) et en appliquant le théorème de Gauss sur les équations I et II, et le théorème de Stokes sur III et IV, nous obtenons directement les 4 équations de Maxwell sous leur forme différentielle, reportées dans le tableau suivant (IV-28). IV-21 , 'DQVODPDWLqUH r r (¶ ¼ ' ) = r [As/m3] ,, r v (¶ ¼ % ) = 0 ,9 [Vs/m3] r r r % ¶ [( = W ,,, 6DQVPDWLqUH r r [V/m2] (¶ ¼ ( ) = r e0 r v (¶ ¼ % ) = 0 [Vs/m3] r r r % ¶ [( = W 2 [V/m ] v v v v ' ¶ [+ = - + W [A/m2] v r v 1 ¶ [% = m 0 - + 2 F 1RP Loi de Gauss (électrique) Loi de Gauss (magnétique) Loi de Faraday d’ induction [V/m2] électromagnétique r Théorème d’ Ampère ( [Vs/m3] modifié par Maxwell W Pour un problème donné, on appliquera les équations de Maxwell soit sous leur forme intégrale ou soit différentielle, en choisissant la forme la plus pratique et la plus appropriée pour le cas à traiter. Etant donné que cet ensemble compacte d’ équations inclut tout l’ électromagnétisme, on considère les équations de Maxwell comme l’ une des grandes réalisations de l’ esprit humain. Finalement, remarquons que dans un espace libre ou totalement vide où n’ existent ni charges électriques (r=0) v r et ni courants électriques ( - = 0 ), les 4 équations de Maxwell se simplifient et deviennent (IV-29) : r r (¶ ¼ ( ) = 0 r r r % ¶ [( = W [V/m2] 2 [V/m ] r v (¶ ¼ % ) = 0 r v r 1 ( ¶[% = 2 F W [Vs/m3] [Vs/m3] ,QWURGXFWLRQDX[RQGHVpOHFWURPDJQpWLTXHV 8.1 Introduction r Lorsqu’ un champ électrique E est statique (c’ est-à-dire qui ne varie pas dans le temps) comme par exemple s’ il est produit par une charge (ou des charges) au repos et que le champ r magnétique H est aussi statique (comme par exemple s’ il est généré par un courant constant), alors r r les champs E et H peuvent être étudiés séparément puisqu’ il n’ y a pas d’ interaction entre ces deux types de champs. Electricité et magnétisme sont alors séparés et peuvent être étudiés séparément. r r Mais lorsque les champs E et H varient dans le temps, comme l’ indiquent explicitement les équations III et IV de Maxwell, ces champs ne sont plus indépendants, mais sont couplés l’ un à l’ autre à travers l’ interaction électromagnétique. Plus de découplage possible entre électricité et magnétisme. IV-22 Ainsi, toute variation temporelle du champ électrique (ou du champ magnétique) en un endroit de l’ espace, génère un champ magnétique (ou électrique) dans cet espace. Variation de champ électrique à génération de champ magnétique variable Variation de champ magnétique à génération de champ électrique variable Cette propriété « variation-génération-variation » se propage à travers l’ espace d’ une région à l’ autre et ce, qu’ il y ait de la matière ou non dans les différentes régions de l’ espace. Une telle perturbation de l’ espace aura les propriétés d’ une onde appelée onde électromagnétique. Dans notre monde actuel, nous sommes totalement inondés de telles ondes électromagnétiques. Elles sont soit naturelles (générées par la nature, pensons par exemple à la lumière du Soleil ou encore aux OEM produites par les d’ éclairs) ou artificielles (créées par l’ Homme, pensons aux transmissions radio, TV, rayons X et récemment les téléphones mobiles !). 8.2 Onde électromagnétique plane dans le vide r r Considérons un champ E et un champ B se propageant dans le vide selon l’ axe Ox à une vitesse notée c. Le plan limite, divisant l’ espace en deux, est dit le front d’ onde. (abrégeons OEM = Onde ElectroMagnétique). 0 r ( ( [; W ) = ( ¯ ( [; W ) 0 et r % ( [; W ) = 0 0 % ° ( [; W ) r r A gauche du front d’ onde, ( ( [; W ) et B ( [; W ) sont uniformes ; à droite du front d’ onde (qui se r r r r r propage à la vitesse c) ( = % = 0 . Une telle configuration simple de champs E et B dans laquelle en chaque instant t les champs sont uniformes dans un plan Oyz perpendiculaire à la direction de propagation Ox est dite une onde électromagnétique plane. IV-23 Quelles sont les conditions à imposer à cette onde OEM plane pour qu’ elle satisfasse les quatre équations de Maxwell ? I et II à III à r r E ( [; W ) et B ( [; W ) doivent être perpendiculaires à Ox ( ( [; W ) = F ¼ %( [; W ) [V / m] (IV-30) où c = vitesse de la propagation de l’ OEM % ( [; W ) = e 0 ¼ m 0 ¼ F ¼ ( ( [; W ) à IV [V·s / m2 = Wb / m2] % = e0 ¼ m0 ¼ F ¼ F ¼ % Remplaçant (IV-30) dans (IV-31) : F= [m / s] 1 1 ± ± = 12 e 0 ¼ m0 8.85 ¼ 10 ¼ 4p ¼ 10 7 = 3.00 ¼ 10 8 (IV-31) [m / s] (IV-32) c est la célérité ou la vitesse de l’ OEM dans le vide et plus communément appelée vitesse de la lumière dans le vide. La valeur non arrondie de cette vitesse c = 299 792 458 (pratiquement par chance on peut prendre simplement c = 3.0.108 [m / s] [ m / s]). En résumé : r r 1) L’ OEM est transversale ( E et B sont perpendiculaires à l’ axe de propagation) r r et la direction de propagation est définie par le vecteur ( % . ( ( [; W ) = F ¼ %( [; W ) 2) la relation entre E et B : 3) dans le vide, l’ OEM se propage à une vitesse c invariante F = 1 et finie (non-infinie) e0 ¼ m0 4) pour se propager, contrairement aux ondes mécaniques, l’ OEM n’ a pas besoin d’ un support r r matériel. Les ondulations de l’ OEM sont les champs E et B eux-mêmes, les OEM sont des ondes de champs. 8.3 Equation d’ onde d’ une OEM Lorsque nous exploitons plus à fond les 2 dernières équations de Maxwell prises sous leur forme différentielle (IV-29) : III loi d’ induction IV loi d’ Ampère mais e 0 m 0 = 12 c à à à ( ³ ( [, W ) [ 2 ( ´ ( [, W ) [ 2 [ %² ( [, W ) W = e0m0 ¼ 2 ( µ ( [, W ) 2 =- 2 ( ´ ( [, W ) W 2 2 1 ( µ ( [, W ) = 2¼ F W 2 [V/m2] (IV-33) [V/m3] [V/m3] (IV-34) Ceci est l’ équation d’ onde décrivant la propagation d’ une OEM dans le vide. IV-24 Analogie: une onde mécanique y(x,t) se déplaçant le long de l’ axe Ox (par exemple une onde dans \ ( [, W ) 2 un barreau métallique) satisfait une équation d’ onde similaire: v=vitesse de propagation de l' onde mécanique [ 2 \ ( [, W ) = 12 ¼ 2 Y W 2 [m / s] A noter que Bz(x,t) doit aussi satisfaire l’ équation d’ onde (IV-34): 2 %¶ ( [, W ) [ 2 2 %¶ ( [ , W ) 1 = 2¼ F W 2 [Vs/m4] (IV-35) 8.4 Ondes électromagnétiques sinusoïdales Dans une OEM sinusoïdale : temps t fixé r r • en tout point fixé de l’ espace, E ( [; W ) et B ( [; W ) varient sinusoïdalement avec le temps t • et en tout temps t donné, les variations spatiales de r r E ( [; W ) et B ( [; W ) avec x sont aussi sinusoïdales. Pour une onde OEM sinusoïdale se propageant le long de l’ axe Ox (voir figure ci-dessus) : 0 r ( ( [; W ) = ( max ¼ sin (w W - N[ ) 0 avec évidemment comme toute onde sinusoïdale : f = fréquence de l’ OEM [Hz] 1 = T période de l’ OEM f [s] l = longueur d’ onde de l’ OEM [m] k = nombre d’ onde de l’ OEM 2p l [m-1] r % ( [; W ) = 0 %max 0 ¼ sin (w W - N[ ) w = 2 p ¼ f = pulsation ou vitesse angulaire [rad / s] l¼ I = F et de plus : IV-25 [m / s] (IV-36) r r Les champs E et B sont en phase, donc : ( max = F ¼ %max [V / m] 8.5 L’ énergie des OEM et vecteur de Poynting Considérons une OEM se progageant dans le vide (absence de milieu matériel) le long de l’ axe Ox ; l’ onde transporte à travers l’ espace de l’ énergie associée aux champs électrique et magnétique variables dans l’ espace et le temps. Les équations (I-41) et (III-24) donnent respectivement les r r densités d’ énergie électrique et magnétique associées aux champs ( ( [; W ) et % ( [; W ) . Par conséquent, la densité totale d’ énergie instantanée d’ une OEM est donnée par : Z( [, W ) = 1 1 e 0 ( 2 ( [, W ) + % 2 ( [, W ) 2 2m 0 [J/m3] (IV-37) E ( [, W ) et B ( [, W ) représentent l’ amplitude des champs électrique et magnétique en tout temps t et en tout point de l’ espace. Sachant que F = Z( [, W ) = e 0 ( 2 ( [, W ) = 1 et que E = c.B, (IV-37) peut être écrite comme : e0 ¼ m0 e0 ( ( [, W ) ¼ % ( [ , W ) m0 1 2 % ( [, W ) = m0 [J/m3] (IV-38) On définit Z0 l’ impédance électromagnétique du vide comme : =0 = m0 4p ¼ 10 7 · = = 376,8 e0 8,85 ¼ 10 12 · [W] (IV-39) et la densité totale d’ énergie de l’ OEM devient simplement : Z( [, W ) = ( ( [, W ) ¼ % ( [ , W ) =0 [J/m3] (IV-40) Passons maintenant à l’ énergie portée par l’ OEM. Le physicien anglais John Henry Poynting (18521914) a introduit un nouveau vecteur très utile, dit Vecteur de Poynting comme : r r 1 r 6 ( [, W ) = ( ( [, W ) [% ( [, W ) m0 [W/m2=(J/s)/m2] (IV-41) Ce vecteur pointe dans la direction de l’ axe de propagation de l’ OEM. Il représente, en tout instant t donné, l’ énergie transportée par l’ OEM par unité de surface et par unité de temps. En d’ autres mots, r le module de 6 représente la puissance instantanée surfacique transmise par l’ OEM. En général, on IV-26 cherche à connaître non pas la puissance instantanée mais la puissance moyenne temporelle notée r r 6 t. Si les champs ( ( [, W ) et % ( [, W ) varient sinusoïdalement comme supposés, alors : (2 = 1 2 ( max 2 et %2 = 1 2 %max . 2 Ainsi, l’ intensité I de l’ OEM, c’ est-à-dire la valeur moyenne temporelle de sa puissance surfacique devient alors : ,= 6 ¸ = = ( % 1 1 1 F 2 2 2 2 ( max = 02 %max = max max = e 0 ¼ F( max = %max [W/m2=(J/s)/m2] (IV-42) 2= 0 2 m 2 2 m 2m 0 0 0 La valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting correspond à l’ intensité de l’ OEM ou à sa puissance surfacique moyenne. Finalement, la densité totale d’ énergie de l’ OEM, moyennée sur le temps, devient : , [J/m3] (IV-43) F 8.6 Quantité de mouvement et pression de radiation d’ une OEM Z¹ = En se propageant, les OEM transportent de l’ énergie, donc elles possèdent une quantité de mouvement (ou impulsion) définie par : r r r r 6 S = 2 = e 0 ([% F Î NJP / V 1V Þ Ï P3 = P3 ß Ð à (IV-44) r r S est la quantité de mouvement par unité de volume de l’ OEM ; ce vecteur est colinéaire à 6 et il pointe selon l’ axe de propagation de l’ onde. Cas d’ une OEM ayant une seule direction de propagation Considérons une OEM tombant sur une surface. Puisque cette onde possède une quantité de r mouvement volumique S , elle exercera une certaine pression en étant absorbée ou réfléchie par la surface (de façon analogue à la pression exercée par un gaz sur les parois du récipient). Si l’ axe de propDJDWLRQ GH O¶2(0 IDLW XQ DQJOH DYHF OD QRUPDOH à la surface, la pression de radiation instantanée est : 3º »¼ = N ¼ FS ¼ cos 2 Q 1 Î 1V P Þ ¼ = 3 Ï P V P 2 = 3D ß Ð à (IV-45) OEM ½ où k est un facteur numérique sans dimension : k=1 si l’ OEM est totalement absorbée par la surface S u rface IV-27 k=2 si l’ OEM est totalement réfléchie par la surface. Dans le cas d’ une OEM sinusoïdale, la pression de radiation moyennée temporellement peut être exprimée simplement par l’ intensité ou la densité totale d’ énergie à l’ aide des relations IV-42 et 43 : 3¿ ÀÁ , = N ¼ ¼ cos 2 Q = N ¼ Z ¾ ¼ cos 2 Q F ¾ [Pa] Si l’ onde tombe perpendiculairement à la surface ( 3à ÄÅ Â =N¼ , =N¼ Z F [Pa]  (IV-46) DORUV : (IV-47) et évidemment si l’ OEM est parallèle à la surface ( ), la pression de radiation est nulle. Cas d’ un rayonnement EM se propageant dans toutes les directions Si le rayonnement EM se propage dans toutes les directions de l’ espace, il est alors nécessaire d’ intégrer les quantités de mouvement sur toutes les directions et l’ on obtient : 3Ç ÈÉ Æ 1 , 1 = N¼ = N¼ Z 3 F 3 [Pa] Æ (IV-48) 8.7 Ondes électromagnétiques dans la matière (milieu matériel) Lorsqu’ une OEM se propage dans un milieu matériel caractérisé par sa permittivité relative e r et la perméabilité magnétique relative m r , il vient des équations de Maxwell : ( = Y ¼ % et % = e 0 e Ê ¼ m 0 m Ê ¼ Y ¼ ( d’ où : Y= 1 = e 0 e Ë ¼ m 0m Ë comme le produit e Ì ¼ m Ì 1 , la vitesse Y F 1 1 ¼ = eË ¼mË e0 ¼ m0 (IV-49) 1 ¼F eË ¼mË Définition : on appelle en optique n = e r ¼ m r l’ indice de réfraction du milieu. v= c =c er ¼ mr n [m / s] (IV-50) v = vitesse de propagation de l’ OEM dans un milieu matériel. 8.8 Le spectre électromagnétique Les ondes OEM couvrent un spectre très large en longueur d’ onde et en fréquence. Le spectre électromagnétique comprend les transmissions radio et TV, la lumière visible, les rayons X et rayons g . 1 f 10 Les fréquences : IV-28 24 [Hz] La figure suivante donne une portion importante du spectre. Le spectre de la lumière visible : 400 à 440 nm violet 560 à 590 nm jaune 440 à 480 nm bleu 590 à 630 nm orange 480 à 560 nm vert 630 à 700 nm rouge si l < 400 nm et si l > 700 nm ultraviolet infrarouge Bien qu’ il existe de grandes différences dans leur production et leur utilisation, toutes les OEM sont caractérisées par f, l et la relation : c = f ¼ l = 3.0 ¼ 10 8 [m / s] (IV-51) est toujours vraie pour toutes les OEM se propageant dans le vide. 8.9 La production d’ ondes électromagnétiques La façon la plus simple de produire des ondes électromagnétiques consiste à considérer 2 tiges métalliques (des antennes) alignées selon la figure ci-dessous. Lors de la fermeture de l’ interrupteur S, des charges positives vont s’ accumuler sur la tige supérieure et des charges négatives sur la tige inférieure. Ces charges vont créer un champ électrique. D’ autre part, pendant que les charges circulent, un courant électrique existe r r créant à son tour un champ magnétique. Ces champs ( et % naissant près des antennes, vont se propager dans l’ espace. Au lieu d’ une source de tension continue, considérons que l’ antenne et ses 2 tiges conductrices soit alimentée par une source de tension alternative sinusoïdale comme le montre les figures ci-après. IV-29 r r Une première alternance positive va créer les 2 champs ( et % (a) ; l’ alternance négative suivante va créer des champs opposés en sens aux 2 champs précédents et qui viendront se superposer à ceux-ci (b). Si ce processus est répèté de nombreuses fois et si l’ on se placent assez loin du dispositif expérimental, l’ espace sera rempli d’ une suite de champs électrique et magnétique alternant dans l’ espace et dans le temps. Ces champs dits de UDGLDWLRQne sont rien d’ autre qu’ une onde EM sinusoïdale dont une représentation est donnée ci-dessous. Les OEM sont toujours des ondes transversales : la variation de l’ amplitude de l’ onde (les 2 champs r r ( et % ) est perpendiculaire à la direction de propagation de l’ onde. Ce sont des ondes de champs et contrairement aux ondes mécaniques, elles n’ ont pas besoin d’ un support matériel pour se propager. En absence de matière (dans le vide), elles se propagent à la vitesse de la lumière c=3,0 108 [m/s]. Nous constatons que les OEM sont donc produites par des charges électriques oscillantes et subissant une accélération. Finalement, nous pouvons en conclure que OHV2(0VRQWSURGXLWHV SDUGHVFKDUJHVpOHFWULTXHVDFFpOpUpHV V-1 9/(&285$17$/7(51$7,) Cette partie sort du cours d’électromagnétisme et est habituellement traitée à part en faisant l’objet d’un propre cours. Par conséquent, nous ne donnerons ici que les notions fondamentales concernant le courant alternatif monophasé en omettant les longues démonstrations. Quelques exemples d’application seront traités pour illustrer la théorie. /HFDOFXODYHFOHVQRPEUHVFRPSOH[HV Ceci ne constitue pas une théorie des nombres complexes, mais plutôt un rappel mathématique succinct des principaux résultats. En mathématique, l’unité complexe est souvent désignée par la lettre i ; pour éviter toute confusion avec le courant électrique i, les électriciens utilisent uniquement et toujours la lettre j ,à savoir : Soit : c = a + ib ³ a, b ³ j 2 = -1 une lettre soulignée ³ c = a + jb = représentation rectangulaire (V-1) (V-2) c = c ¼ e j = représentation polaire c = a 2 + b 2 module de c j = arg (c ) = tg 1 b ( arctg ) a e j = cos j + j ¼ sin j (V-3) Soient 2 nombres complexes c1 = a 1 + jb1 et c 2 = a 2 + jb 2 Addition : c= Soustraction : c= (a (a ( ) ( ) c = c1 + c 2 = a 1 + a 2 + j b1 + b 2 a + jb 1 + a2 ) + (b 2 1 + b2 ( ) 2 ¼ej Ë b + b2 avec j = tg 1 Ì 1 Ìa +a Í 1 2 Û Ü Ü Ý Ë b - b2 avec j = tg 1 Ì 1 Ì a -a Í 1 2 Û Ü Ü Ý ) ( ) c = c1 - c 2 = a 1 - a 2 + j b1 - b 2 a + jb - a2 1 ) + (b 2 - b2 1 ) 2 ¼ej Multiplication : ( ) ( c = c1 ¼ c 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2 + j a 1 b 2 + a 2 b 1 c = c1 ¼ e c = c1 Division : = c2 j 1 ¼ c2 ¼ e c1 ¼ e j i 2 = c1 ¼ c 2 ¼ e = 1 c2 ¼ e j 2 c1 c2 j ( ¼e 1 j 2 ( ) ) 1 Pour les opérations d’ addition et de soustraction dans 2 V-2 ) , les formes rectangulaires sont pratiques. Pour les opérations de multiplication et de division dans , il est préférable d’ utiliser les représentations polaires. Si c = a + jb = c ¼ e j , on appelle c le complexe conjugué de c : * c = a - jb = c ¼ e * c¼c = c¼ej ¼c¼e * c¼c = c * D’ où : j = c 2 ¼ e j( j (V-4) ) = c2 ¼ e j 0 = c2 module du nombre c . Quelques nombres particuliers j = -1 = e 1 = 1 j j e j 2 2 =e j 2 1 = e j 0 et -1 = e j si c = a + jb = c ¼ e j = -j à j ¼ j = j2 = - 1 évidemment avec : a = Re( c ) = c ¼ cos j b = Im( c ) = c ¼ sin j (WXGHGHVIRQFWLRQVVLQXVRwGDOHV Soit la fonction sinusoïdale suivante : g ( t ) = Ĝ ¼ sin (w t + g ) Ĝ est la valeur crête de g(t) (V-5) V-3 T = 2 p = période de la fonction w f = 1 = fréquence T [s] [Hz = 1/s] w = 2 p ¼ f = pulsation ou vitesse angulaire [rad / s] Valeur moyenne sur une demi-période (sur une alternance) × Ë Û G m = 1 ¼ Ĝ ¼ sin Ì 2 p ¼ t Ü ¼ dt = 2 ¼ Ĝ p T Í T Ý 2 0 T 2 G m = 2 ¼ Ĝ = 0.637 ¼ Ĝ p (V-6) Valeur quadratique moyenne ou valeur efficace : G= × 1 ¼ Î Ĝ ¼ sin Ë 2 p ¼ t Û Þ ¼ dt = Ĝ Ì Üß Ï T 0Ð Í T Ýà 2 T 2 G = Ĝ = 0.707 ¼ Ĝ 2 (V-7) Passage des valeurs instantanées sinusoïdales aux grandeurs complexes Soit g ( t ) = Ĝ ¼ sin (w t + g ) . On lui associe une fonction complexe g ( t ) appelée valeur instantanée ˆ¼ e j( g(t ) g( t) = G complexe : t ) On définit alors la valeur efficace complexe G (ou le phaseur) de g(t) par G= g( t ) 2 ¼ej = G ¼ e j = Ĝ ¼ e j 2 t { 2 ¼G¼e } (V-8) Pour retrouver la fonction sinusoïdale de départ : g ( t ) = Im j t (V-9) Exemple ( Soit u ( t ) = 2 ¼ 10 ¼ sin 100 p ¼ t + p ) 4 V-4 [V] une source de tension sinusoïdale U= 2 ¼ 10 ¼ e j 2 = 10 ¼ e 4 j [V] 4 U est la valeur efficace complexe (ou le phaseur) de u(t). A noter que les valeurs efficaces { 2 ¼U¼e } = Im ÑÒÓ complexes portent toujours des majuscules. Pour revenir à la valeur instantanée non-complexe : u ( t ) = Im ( j100 t ! # u ( t ) = 2 ¼ 10 ¼ sin 100 p ¼ t + p 4 2 ¼ 10 ¼ e ) [V] ( j 100 t ! " ! # 4 )á â ã évidemment Le calcul avec les valeurs efficaces complexes est extrêmement simplifié par le fait que la dépendance temporelle des grandeurs électriques a totalement disparu. Avec l’ introduction des nombres complexes, un circuit à courant alternatif sinusoïdal se traite donc comme un circuit à courant continu mais où les grandeurs électriques comme U et I sont des phaseurs !!! Evidemment, il faudra veiller à bien indiquer la présence des valeurs complexes par la barre soulignée. De plus, on peut faire ce passage en fonctions complexes uniquement si toutes les fonctions sinusoïdales impliquées dans un circuit ont la même fréquence f. 7HQVLRQFRXUDQWHWLPSpGDQFHFRPSOH[HV Soit un utilisateur alimenté en tension sinusoïdale : u ( t ) = 2 ¼ U ¼ sin (w t + a ) [V] i ( t ) = 2 ¼ I ¼ sin (w t + b ) [A] On appelle j = a - b l’ angle de déphasage de la tension par rapport au courant. (en raccourci : la phase). i ( t ) = 2 ¼ I ¼ sin (w t + a - j ) Si l’ on introduit les valeurs efficaces complexes : X(W) 8 = 8 ¼ H % $ L(W) , = , ¼ H = , ¼ H ( ' ) ( % $ & ) V-5 3.1 Impédance et admittance On appelle Z l’ impédance complexe du circuit : Z= j U j = U ¼j(e ) = U ¼ e I I¼e I , , Z = Z¼ej A noter que : u(t) i( t ) = [W] ³ - Z= U I Avec : * * + et j = a - b j( t 2 ¼U¼e j( 2 ¼I¼e 0 1 1 t / 2 0 ) (V-10) U ¼ej Z ) = . I Contrairement à U et I , Z n’ est pas la représentation dans le plan complexe d’ une fonction temporelle (autrement dit z(t) n’ existe pas !). De par sa définition : U = Z¼I [V] (V-11) Loi d’ Ohm complexe ! Donc de façon générale, pour un circuit donné, l’ impédance Z ³ , donc peut être écrit en représentation cartésienne : Z = R + jX [W] ³ R = résistance ohmique du circuit X = réactance du circuit [W] [W] R0 Attention : alors que R 0 , X > 0 (inductif) ou X <0 (capacitif) Evidemment, si le circuit est purement ohmique, X 0 , dans ce cas : (V-12) Z=R V-6 ³ Définition : on appelle l’ admittance Y d’ un circuit : Y = 1 = Y¼e Z 4 j 3 = 1 ¼e Z 4 j [S] 3 l’ unité de Y est exprimée en Siemens, abrégé S = 1 A nouveau, comme Z et Y ³ (V-13) W , alors Y dans sa représentation rectangulaire : Y = 1 = G + jB Z [S] G = conductance [S = 1 B = susceptance [S = 1 Bien que de façon générale Z et Y ³ ³ W W ] (V-14) ] , les quatre grandeurs R, X, G et B sont elles toujours réelles ! Passage impédance-admittance Rectangulaire : Z= Y= Polaire : (- B ) R + jX G + j¼ 2 2 2 G +B G +B (- X ) G + jB R + j¼ 2 2 2 R +X R +X 2 2 Y=1 à Z Z= 1 Y 3.2 Impédances en série et impédances en parallèle En série : On a : U = Z ¼ I U 1 + U 2 + K + U n = Z1 ¼ I + Z 2 ¼ I + K + Z n ¼ I Z= ÊZ n 5 i [W] i 1 Lorsque les éléments sont en série, leurs impédances s’ additionnent algébriquement (V-15) V-7 En parallèle : U = Z¼I I= On a : U U U U = I1 + I 2 + K + I n = + +K+ Z Z1 Z 2 Zn 1 = Z Ê Z1 on se souvient que Y = 1 = admittance Z Y= d’ où : n i 1 [ W 1] (V-16) [S] (V-16’ ) 7 6 i ÊY n 6 i i 1 Lorsque les éléments sont en parallèle, on ajoute leurs admittances (ou l’ inverse des impédances) 3.3 Les 3 éléments R, L et C et leur impédance Résistance R u ( t ) = R ¼ i( t ) Z=R [W] U = R¼I (V-17) réel pur Y= 1 = 1 =G Z R [S] réel pur j=0 Courant et tension sont en phase Inductance L Loi d’ induction : u(t) = L ¼ di ( t ) U = jw L ¼ I dt [V] Z = jw L = j ¼ 2 pf ¼ L [W] (V-18) Y = 1 = 1 = - j¼ 1 Z jw L wL d’ où : X = + w L B=- 1 wL j = +p 2 [W] V-8 [S] réactance >0 [S] susceptance la tension est en avance sur le courant Capacité C q(t ) = C ¼ u ( t) à q& ( t ) = i ( t ) = C ¼ u& ( t ) U = 1 ¼ I = - j¼ 1 ¼ I jw C wC j Z= 1 =jw C wC d’ où : X = - 1 wC B = wC j = -p 2 [W] [S] × u ( t ) = 1 ¼ i ¼ dt C [V] [W] Y = 1 = 1 = jw C Z 1 jw C à (V-19) [S] réactance <0 susceptance >0 la tension est en retard par rapport au courant /DSXLVVDQFHHQFRXUDQWDOWHUQDWLI 4.1 La puissance instantanée Soit un récepteur quelconque alimenté par : u ( t ) = Û ¼ sin (w t + a ) = 2 ¼ U ¼ sin (w t + a ) i ( t ) = Î ¼ sin (w t + b ) = 2 ¼ I ¼ sin (w t + b ) j = a - b = déphasage de la tension par rapport au courant p ( t ) = u ( t ) ¼ i ( t ) = 2 ¼ U ¼ sin (w t + a ) ¼ 2 ¼ I ¼ sin (w t + b ) p ( t ) = U ¼ I ¼ cos j - U ¼ I ¼ cos (2wt + a + b) [W] (V-20) V-9 1) p(t) a pour valeur moyenne U ¼ I ¼ cos j (dépend pas du temps) 2) la variation temporelle de p(t) est de 2w et non pas de w ! On appelle P = U ¼ I ¼ cos j la puissance active absorbée par le récepteur et le terme cos j est dit le facteur de puissance de l’ installation réceptrice. A noter que : p ( t ) = P - U ¼ I ¼ cos (2wt + a + b) peut être positif, nul et négatif selon l’ instant t considéré. P, la puissance active, est une grandeur physique tangible qui, du point de vue énergétique, est comparable à une puissance mécanique ou thermique. P s’ exprime en watts [W] On définit encore 2 autres puissances : S U ¼ I = puissance apparente [V · A] (pas des watts) Q = U ¼ I ¼ sin j = puissance réactive P = S ¼ cos j [W] Q = S ¼ sin j S = U¼I = P +Q 2 4.2 Puissance complexe [Var] [Var] 2 [V · A] (V-21) V-10 X(W) 8 = 8 ¼ H L(W) , = , ¼ H j = a -b avec : 9 8 : 9 le déphasage On définit la puissance apparente complexe S absorbée par le récepteur d’ impédance Z comme : S = U¼I ( S = U¼I = U¼e ¼ I¼e * j > j * < ) = U¼I¼e ( [V · A] * j ) < > = (V-22) = U¼I¼e j ; S = U ¼ I ¼ e j = U ¼ I ¼ cos j + j ¼ U ¼ I ¼ sin j P + jQ ? S = P + jQ puissance apparente complexe: P = Re{S} = U ¼ I ¼ cos j puissance active : Q = Im{S} = U ¼ I ¼ sin j puissance réactive : S= P +Q 2 puissance apparente : déphasage : facteur de puissance Continuons un peu avec : [V · A] j = tg @ 1 Q P cos j = P S [Var] [V · A] [rad] [1] U = Z ¼ I et Y = Z A 1 S = U¼I = Z¼I¼I = Z¼I * 2 [W] * 2 S = U ¼ (Y ¼ U ) = Y ¼ U ¼ U = Y ¼ U 2 * d’ où : * * * S = Z ¼ I 2 = Y ¼ U 2 = P + jQ * 2 2 S = S = Z¼I = Y¼U = U Z 2 P = Re{S} = R ¼ I 2 = G ¼ U 2 Q = Im{S} = X ¼ I 2 = - B ¼ U 2 [V · A] [W] [Var] (V-23) Z = R + jX avec : V-11 [W] Y = G + jB [S] Donc nous avons le tableau suivant : 6 >9Â$@ (OpPHQW = = 5 R ¼ I2 U UpVLVWDQFH = = Mw / LQGXFWDQFH 2 R jw L ¼ I 2 j ¼ U 2 wL == Mw & - j ¼ I 2 = - jw C ¼ U 2 wC FDSDFLWp 6 >9Â$@ R ¼ I2 U 2 wL ¼ I 2 U 2 +I 2 wC R 3>:@ R ¼ I2 U wL j >UDG@ 0 0 2 R 0 = wC ¼ U 2 4>9DU@ 0 wL ¼ I 2 U -I 2 Ë Que les éléments soient en série Ì Z = Ì Í Ê n B i 1 apparente complexe totale est : S= Û Ë Z i Ü ou alors en parallèle ÌÌ Y = Ü Í Ý ÊS wL = -w C ¼ U 2 wC Puissance complexe d’ éléments combinés 2 +p 2 -p 2 Ê Y ÜÜÝ , la puissance n C i Û i 1 n D [V · A] i (V-24) i 1 Attention: il s’ agit d’ une somme complexe P= ÊP n [W] i ÊQ E i 1 Q= n E i [Var] i 1 Alors que S = Ê S , il faut bien se garder de ne pas écrire que S = Ê S , car les modules ne n D i 1 s’ additionnent pas. n i D i 1 i 'HX[PpWKRGHVGHUpVROXWLRQGHVFLUFXLWVpOHFWULTXHVOLQpDLUHVHQFRXUDQWDOWHUQDWLI V-12 Nous l’ avons vu précédemment : toute fonction périodique sinusoïdale comme u ( t ) = Û ¼ sin (w t + a ) peut être représentée par son image (son phaseur) dans le plan complexe : U = U¼ej F On nomme parfois le nombre complexe U un phaseur, ce que nous avions aussi appelé la valeur efficace complexe. U = U (sans la barre soulignée) est tout simplement dite la valeur efficace de u(t). Lorsqu’ un circuit électrique linéaire est alimenté en courant alternatif, toutes les méthodes de résolution des circuits étudiées en courant continu sont encore valables, pour autant que u(t) et i(t) soient remplacés par leur phaseur et que les composants du circuit soient caractérisés par leur impédance Z . Quatre méthodes possibles : Méthode par réduction du circuit Méthode des courants de mailles indépendantes Méthode par application des lois de Kirchhoff Méthode des potentiels indépendants. Nous allons voir en détail les premières méthodes. 5.1 Méthode par réduction du circuit Cette méthode est simple, compréhensible, mais pas forcément la plus courte et la plus directe. L’ idée est simple et très piétonne à savoir : 1) recherche de l’ impédance totale Z du circuit 2) calcul de I si U est fixé, par I = U Z 3) calcul des différentes tensions et courants dans le circuit à l’ aide de la loi d’ Ohm appliquée successivement 4) si demandé, calcul des différentes puissances sur les différents composants du circuit. Cette méthode est illustrée par un exemple concret. Exemple V-13 ( valeur instantanée de la tension : u ( t ) = 20 ¼ sin 100 p ¼ t + p 4 ) On réduit le circuit à : U = 10 ¼ (1 + j) 1) calcul du phaseur Z R = R 1 = 100 R1 : 2) calcul des impédances [W] 1 Z L = jwL = 10 j L: Z R = R 2 = 10 3 R2 : [W] [W] 2 ZC = 1 C: jw C = - j10 4 [W] Z C + Z R = 10 3 ¼ (1 - 10 j) ( ) 2 ZR ¼ ZC ZR C = ZR ZC = 2 [V] 2 ZC + ZR 2 = 947.65 - j ¼ 94.75 [W] 2 3) calcul de l’ impédance totale Z : Z = Z R + Z C + Z R C = 1051 ¼ e 1 d’ où : 2 j = -4.63 < 0 I I=U 4) calcul du courant I : Z G j 4.63 à H 1047.65 - j ¼ 87.45 circuit capacitif = 0.01346 ¼ e j 49.63 J K 5) calcul des tensions et des courants individuels U1 = Z R ¼ I = 0.87 + j ¼ 1.03 1 [V] U 2 = Z L ¼ I = -0.102 + j ¼ 0.087 U 3 = Z R C ¼ I = 9.234 + j ¼ 8.892 2 I1 = [V] ¼ I = 0.0096 + j ¼ 0.0093 ZC ZC + ZR [V] 2 [A] [W] [V] I2 = ZR ZC + ZR ¼ I = -0.00093 + j ¼ 0.00096 2 V-14 [A] 2 on vérifie que U1 + U 2 + U 3 = U et que I1 + I 2 = I ! 6) calcul de la puissance apparente S = U ¼ I = 0.1898 - j ¼ 0.0154 * S = S = 0.1904 d’ où : P = 0.1898 [V · A] [V · A] [W] Q = -0.0154 [Var] cos j = P = 0.9968 S <0 car capacitif facteur de puissance on vérifie que cos( -4.63 ) = 0.9968 le cos j ! L ( 7) si l’ on veut retrouver i(t) : i ( t ) = 2 ¼ sin (w t + b ) = 2 ¼ 0.01346 ¼ sin 100 pt + 49.63 ( i ( t ) = 0.019 ¼ sin 100 pt + 49.63 ( et u ( t ) = 20 ¼ sin 100 pt + 45 O ) N ) M ) [A] [V] 5.2 Méthodes des courants de mailles indépendantes Le circuit est laissé tel quel ; on recherche les mailles élémentaires indépendantes du circuit et on attribue arbitrairement, à chaque maille élémentaire, un courant de maille. S’ il y a n mailles élémentaires, il y a alors n courants de mailles inconnus. En appliquant la loi de Kirchhoff à chaque maille, on obtient n équations. Le système est résoluble et on détermine ainsi les n courants indépendants. Reprenons l’ exemple ci dessus : 1) calcul du phaseur et des impédances idem ci-dessus : V-15 U , ZR , ZL , ZR , ZC 1 2 2) 2 mailles indépendantes notées a et b auxquelles on attribue les courants indépendants I a et I b dont le sens (arbitraire) est le même pour les deux courants. Ici le choix est selon les aiguilles de la montre 3) les équations régissant le circuit électrique linéaire se mettent sous forme matricielle : =¼, = 8 [V] [W] = = matrice n n , symétrique, formée des impédances (V-25) , = matrice colonne de n composantes formée des n courants indépendants des mailles élémentaires [A] 8 = matrice colonne de n composantes formée des s sources de tension du circuit 1 s n [V] Z ii = la somme des impédances de la maille élémentaire i [W] Z ij = Z ji = - la somme des impédances communes aux mailles i et j (somme avec signe négatif) Dans notre exemple : Ë ZR + ZL + ZR = = ÌÌ - ZR Í 1 ËI Û , =Ì aÜ Í Ib Ý 2 2 - ZR Û Ü Z R + Z C ÜÝ 2 2 ËUÛ 8 =Ì Ü Í0Ý nous avons une seule source de tension dans la maille i 4) passons aux valeurs numériques des équations Z R + Z L + Z R = 1100 + 10 j 1 2 - Z R = -1000 [W] Z R + Z C = 10 3 (1 - 10 j) 2 2 d’ où : 2 équations : Ë 1100 + 10 j Ì Í - 1000 [W] [W] - 1000 Û Ë I a Û Ë 10(1 + j) Û Ü¼Ì Ü = Ì Ü 10 (1 - 10 j) Ý Í I b Ý Í 0 Ý 3 (1100 + 10 j)I a + (- 1000 )I b = 10(1 + j) 1000 I a + 10 3 (1 - 10 j)I b = 0 5) on résout les deux équations avec les deux inconnues I a et I b et on obtient : I a = 0.013 ¼ e j 49.67 P = 0.0084 + j ¼ 0.0099 I b = 0.00129 ¼ e j133.96 = -0.000895 + j ¼ 0.00093 Q 6) Recherche des courants de branches En revenant au circuit de départ, on a de façon évidente : I Ia et I2 Ib Il reste à trouver I1 ; deux façons de faire : I1 = I a - I b = 0.013 ¼ e j 43.96 = 0.0093 + j ¼ 0.00897 R ou alors I1 = U3 ZR lorsque l’ on connait U 3 . 2 7) Calcul des tensions et de la puissance S U1 , U 2 , U 3 et S se calculent comme en 5.1. V-16