Chapitre 2 : Méthodes de Monte Carlo et algorithme EM

Nouveaux outils informatiques pour la Statistique exploratoire (=NOISE)
M´ethodes de Monte Carlo et algorithme EM
Chapitre 2 :
M´ethodes de Monte Carlo et
algorithme EM
Introduction
Int´egration par la m´ethode de Monte Carlo
Fonctions d’importance
M´ethodes d’acc´eleration
Algorithme EM

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M´ethodes de Monte Carlo et algorithme EM
Introduction
Utilisations de la simulation
1int´egration
I=Ef[h(X)] = Zh(x)f(x)dx
2comportement limite/stationnaire de syst`emes complexes
3optimisation
arg min
xh(x) = arg max xexp{−βh(x)}β > 0

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M´ethodes de Monte Carlo et algorithme EM
Introduction
Example (Propagation d’une ´epid´emie)
Sur un territoire quadrill´e, on repr´esente par x, y les coordonn´ees
d’un point.
La probabilit´e d’attraper la maladie est
Px,y =exp(α+β·nx,y)
1 + exp(α+β·nx,y)Inx,y>0
si nx,y d´enote le nombre de voisins de (x, y) ayant d´ej`a cette
maladie.
La probabilit´e de gu´erir de la maladie est
Qx,y =exp(δ+γ·nx,y)
1 + exp(δ+γ·nx,y)

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M´ethodes de Monte Carlo et algorithme EM
Introduction
Example (Propagation d’une ´epid´emie (2))
Question
En fonction de (α, β, γ, δ), quelle est la vitesse de propagation de
cette ´epid´emie ? la dur´ee moyenne ? le nombre de personnes
infect´ees ?

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M´ethodes de Monte Carlo et algorithme EM
Int´egration par la m´ethode de Monte Carlo
Int´egration par Monte Carlo
Loi des grands nombres
Si X1,...,Xnsimul´es suivant f,
ˆ
In=1
n
n
X
i=1
h(Xi)−→ I