NOMBRES DE PISOT ET ANALYSE HARMONIQUE

Actes, Congrès intern. Math., 1970. Tome 2, p. 663 à 665.
NOMBRES DE PISOT ET ANALYSE HARMONIQUE
par Yves MEYER
1. Notations.
On désigne par L°°(R) l'espace de Banach des fonctions y : R -> C mesurables
et essentiellement bornées sur la droite réelle ; ||i/?|| = sup ess. 1^(01-
teR
Le spectre de <p est le support de la distribution (p, transformée de Fourier
de \p au sens des distributions.
Un polynôme trigonométriqué est une somme finie P(t) — ^ ax&xv2iriXt ;
\eF
F est un ensemble fini de nombres réels et les XEF tels que ax =£ 0 sont les
fréquences de P.
Soit 0 > 2 un nombre réel, Ee l'ensemble, du type Cantor, à rapport de dissec-
tion I/o ; Ee est l'ensemble de toutes les sommes X
eiç®~k> €k = 0 ou
1.
i
2. Les nombres de Pisot et l'unicité.
Raphaël Salem a prouvé en 1955 que si 0 est un nombre de Pisot et \p un élé-
ment de L°°(R) dont le spectre est contenu dans Ee, alors on a l'implication
suivante lim
\p(t) — 0 =• if == 0 identiquement.
3. Les nombres de Pisot et la synthèse harmonique.
Le théorème suivant permet de décrire complètement l'espace des éléments
<p de L°°(R) dont le spectre est contenu dans Ee à l'aide du sous-espace des sommes
trigonométriques finies dont les fréquences appartiennent à Ed ; ceci lorsque 6
est un nombre de Pisot.
THEOREME 1. - Soit d > 2 un nombre de Pisot. A toute fonction ipEL°°(R)
dont le spectre est contenu dans E on peut associer une suite (^fc)fc>! de sommes
trigonométriques finies ayant les propriétés suivantes
a) les fréquences de \pk appartiennent à E
b) ipk dépend linéairement de y
c) il existe une constante C(6), ne dépendant que de 6, telle que
HftlL<c(«)iML

664 Y.MEYER D 9
(d) <pk(t) -• ip(t), k -> + oo uniformément sur tout ensemble compact de nombres
réels t.
Le théorème 1 exprime de façon très précise que EQ est un ensemble de synthèse
harmonique lorsque 0 est un nombre de Pisot.
La preuve du théorème 1 s'étend sur les § 4, 5 et 6.
4. Ensembles harmonieux dans un groupe abélien localement compact.
Soit G un groupe abélien localement compact, Hom(G,T) le groupe des
homomorphismes continus de G dans le groupe T des nombres complexes de
module 1. Soit Gd le groupe G muni de la topologie discrete et Horn (Gd , T)
le groupe des homomorphismes de Gd dans T. On a évidemment l'inclusion
Hom(G,T)CHom(Gd,T)
Une partie h de G est un ensemble harmonieux si pour tout e > 0 et tout
élément xeHom(Gd,T), on peut associer un élément x' E Horn (G ,T) tel que
suplx(X)-x'(X)l<c
Exemples. — Soit 0 > 1, A l'ensemble des puissances 6k, k> 0, de 0 et G = R
Alors A est harmonieux si et seulement si 0 est un entier algébrique (soit n le
degré de 0) dont les conjugués 02,. .., 0n, autres que 0, ont une valeur absolue
inférieure ou égaie à i.
Soit 0 > 2, A l'ensemble de toutes les sommes finies £
ek^k^ €k =
0 ou 1.
k SsO
Alors A est un ensemble harmonieux si et seulement si 0 est un nombre de Pisot.
5. Les ensembles harmonieux et l'approximation des fonctions bornées par des
fonctions presque périodiques.
THEOREME 2. — Soit G un groupe commutatif localement compact, A un en-
semble harmonieux de G et E un ensemble compact dans G. Soit V le groupe dual
de G. On peut trouver une partie finie F de E et une constante C avec les pro-
priétés suivantes : pour toute fonction y : F -> C continue et bornée sur F, dont
le spectre est contenu dans A + E, il existe une fonction presque périodique \p
sur T dont le spectre est contenu dans A + F et telle que
(a) HIML<CIML
(b) l'application y -> \jj est linéaire ; on posera \jj = L(y)
(c) \JJ(0) = </?(0) [si G = T = R, on a, pour tout tER
liKO-rtOI<C|/| lp IL]
(d) pour tout XEA, si le spectre de y est contenu dans X + E, celui de i// est
contenu dans X + F.
La preuve de ce résultat est trop longue pour être reproduite ici ([ 1 ]).

NOMBRES DE PISOT ET ANALYSE HARMONIQUE 665
6. Fin de la preuve du théorème 1.
Soit 0 un nombre de Pisot supérieur à 2, E l'ensemble de toutes les sommes
oo
2J €J 6~t, e* = 0,1 et A l'ensemble de toutes les sommes finies 2 e/ *K ej = 0,l.
Soit enfin Ak l'ensemble de toutes les sommes 2-t €jd. Alors, pour tout
k>\i6*E = Ak+ECA+E.
Appelons Tk l'isométrie de L°° (R) définie par (7^) (/) = \p(ßkt) si <p E L" (R).
Si le spectre de </> est contenu dans E, celui de Tk*p est contenu dans Ak 4- E
et l'on peut appliquer à Tk\p le théorème 2. Posons </?fc = (T_k <> L o Tk) (y).
Le spectre de tpk est contenu dans 6~k Ak 4- 6~kF, partie finie de E. On a
IWL < c M. et |^(/) - ^(01 < c0-k u| M..
7. Compléments.
Par des méthodes analogues on peut "atomiser", par des procédés linéaires,
les distributions appartenant à divers espaces "raisonnables" de distributions sur R
ou sur des groupes abéliens localement compacts.
Citons un résultat précis. ([2])
Soit G un groupe localement compact commutatif et metrisable. Soit 1 < p < + oo
et CVp(G) l'espace de Banach des convoluteurs S de LP(G). On peut trouver une
constante O 0 et une suite Gk, k> 1, de parties finies de G ayant les pro-
priétés suivantes : pour tout S dans CVp(G) il existe une suite Sk de mesures
telles que
(a) Sk est portée par Gk ; S -+ Sk est une application linéaire
0>)HSk\\cvp<G)<C\\S\\CVpiG)
(c) pour tout / dans LP(G), Sk*f-+S*f dans LP(G).
BIBLIOGRAPHIE
[1] MEYER Y. — Les nombres de Pisot et la synthèse harmonique. Ann. Sci. E. N. S.,
4e série, t. 3, 1970, p. 235 à 246.
[2] LOHOUé N. — Thèse. Faculté des Sciences d'Orsay.
Faculté des Sciences d'Orsay
Bâtiment 425
Département de Mathématique
91 - Orsay
France