Actes, Congrès intern. Math., 1970. Tome 2, p. 663 à 665. NOMBRES DE PISOT ET ANALYSE HARMONIQUE par Yves MEYER 1. Notations. On désigne par L°°(R) l'espace de Banach des fonctions y : R -> C mesurables et essentiellement bornées sur la droite réelle ; ||i/?|| = sup ess. 1^(01teR Le spectre de <p est le support de la distribution (p, transformée de Fourier de \p au sens des distributions. Un polynôme trigonométriqué est une somme finie P(t) — ^ ax&xv2iriXt ; \eF F est un ensemble fini de nombres réels et les XEF fréquences de P. tels que ax =£ 0 sont les Soit 0 > 2 un nombre réel, Ee l'ensemble, du type Cantor, à rapport de dissection I/o ; Ee est l'ensemble de toutes les sommes X eiç®~k> €k = 0 ou 1. i 2. Les nombres de Pisot et l'unicité. Raphaël Salem a prouvé en 1955 que si 0 est un nombre de Pisot et \p un élément de L°°(R) dont le spectre est contenu dans Ee, alors on a l'implication suivante lim \p(t) — 0 =• if == 0 identiquement. 3. Les nombres de Pisot et la synthèse harmonique. Le théorème suivant permet de décrire complètement l'espace des éléments <p de L°°(R) dont le spectre est contenu dans Ee à l'aide du sous-espace des sommes trigonométriques finies dont les fréquences appartiennent à Ed ; ceci lorsque 6 est un nombre de Pisot. THEOREME 1. - Soit d > 2 un nombre de Pisot. A toute fonction ipEL°°(R) dont le spectre est contenu dans E on peut associer une suite (^fc)fc>! de sommes trigonométriques finies ayant les propriétés suivantes a) les fréquences de \pk appartiennent à E b) ipk dépend linéairement de y c) il existe une constante C(6), ne dépendant que de 6, telle que HftlL<c(«)iML 664 Y.MEYER D 9 (d) <pk(t) -• ip(t), k -> + oo uniformément sur tout ensemble compact de nombres réels t. Le théorème 1 exprime de façon très précise que EQ est un ensemble de synthèse harmonique lorsque 0 est un nombre de Pisot. La preuve du théorème 1 s'étend sur les § 4, 5 et 6. 4. Ensembles harmonieux dans un groupe abélien localement compact. Soit G un groupe abélien localement compact, Hom(G,T) le groupe des homomorphismes continus de G dans le groupe T des nombres complexes de module 1. Soit Gd le groupe G muni de la topologie discrete et Horn (Gd , T) le groupe des homomorphismes de Gd dans T. On a évidemment l'inclusion Hom(G,T)CHom(G d ,T) Une partie h de G est un ensemble harmonieux si pour tout e > 0 et tout élément x e Hom(G d ,T), on peut associer un élément x' E Horn (G ,T) tel que suplx(X)-x'(X)l<c Exemples. — Soit 0 > 1, A l'ensemble des puissances 6k, k> 0, de 0 et G = R Alors A est harmonieux si et seulement si 0 est un entier algébrique (soit n le degré de 0) dont les conjugués 0 2 ,. . . , 0n, autres que 0, ont une valeur absolue inférieure ou égaie à i. Soit 0 > 2, A l'ensemble de toutes les sommes finies £ ek^k^ €k = 0 ou 1. k SsO Alors A est un ensemble harmonieux si et seulement si 0 est un nombre de Pisot. 5. Les ensembles harmonieux et l'approximation des fonctions bornées par des fonctions presque périodiques. THEOREME 2. — Soit G un groupe commutatif localement compact, A un ensemble harmonieux de G et E un ensemble compact dans G. Soit V le groupe dual de G. On peut trouver une partie finie F de E et une constante C avec les propriétés suivantes : pour toute fonction y : F -> C continue et bornée sur F, dont le spectre est contenu dans A + E, il existe une fonction presque périodique \p sur T dont le spectre est contenu dans A + F et telle que (a) H I M L < C I M L (b) l'application y -> \jj est linéaire ; on posera \jj = L(y) (c) \JJ(0) = </?(0) [si G = T = R, on a, pour tout tER liKO-rtOI<C|/| lp IL] (d) pour tout XEA, si le spectre de y est contenu dans X + E, celui de i// est contenu dans X + F. La preuve de ce résultat est trop longue pour être reproduite ici ([ 1 ]). NOMBRES DE PISOT ET ANALYSE HARMONIQUE 665 6. Fin de la preuve du théorème 1. Soit 0 un nombre de Pisot supérieur à 2, E l'ensemble de toutes les sommes oo 2J €J 6~t, e* = 0,1 et A l'ensemble de toutes les sommes finies 2 Soit enfin Ak k>\i6*E l'ensemble de toutes les sommes = 2-t e / *K ej = 0,l. €jd. Alors, pour tout Ak+ECA+E. Appelons Tk l'isométrie de L°° (R) définie par ( 7 ^ ) (/) = \p(ßkt) si <p E L" (R). Si le spectre de <> / est contenu dans E, celui de Tk*p est contenu dans Ak 4- E et l'on peut appliquer à Tk\p le théorème 2. Posons </?fc = (T_k <> L o Tk) (y). Le spectre de tpk est contenu dans 6~k Ak 4- 6~kF, partie finie de E. On a IWL < c M . et |^(/) - ^(01 < c0-k u| M . . 7. Compléments. Par des méthodes analogues on peut "atomiser", par des procédés linéaires, les distributions appartenant à divers espaces "raisonnables" de distributions sur R ou sur des groupes abéliens localement compacts. Citons un résultat précis. ([2]) Soit G un groupe localement compact commutatif et metrisable. Soit 1 < p < + oo et CVp(G) l'espace de Banach des convoluteurs S de LP(G). On peut trouver une constante O 0 et une suite Gk, k> 1, de parties finies de G ayant les propriétés suivantes : pour tout S dans CVp(G) il existe une suite Sk de mesures telles que (a) Sk est portée par Gk ; S -+ Sk est une application linéaire 0>)HSk\\cvp<G)<C\\S\\CVpiG) (c) pour tout / dans LP(G), Sk*f-+S*f dans LP(G). BIBLIOGRAPHIE [1] MEYER Y. — Les nombres de Pisot et la synthèse harmonique. Ann. Sci. E. N. S., 4e série, t. 3, 1970, p. 235 à 246. [2] LOHOUé N. — Thèse. Faculté des Sciences d'Orsay. Faculté des Sciences d'Orsay Bâtiment 425 Département de Mathématique 91 - Orsay France